Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ıtog ´ epes ´ Szam´ Grafika ´ Gergely Klar
[email protected] ¨ os ¨ Lorand ´ ´ Eotv Tudomanyegyetem Informatikai Kar
´ ev ´ 2010/2011. tavaszi fel
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Tartalom 1
Pont
2
Egyenes
3
S´ık
4
´ ¨ Haromsz og
5
¨ Gomb
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
Tartalom 1
Pont ´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
2
Egyenes
3
S´ık
4
´ ¨ Haromsz og
5
¨ Gomb ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ak ´ Descartes-koordinat
´ legelterjedtebb megadasi ´ modja ´ ´ A legegyszerubb a ter ˝ es pontjainak. ´ minden p pontjat ´ egy-egyertelm ´ ´ A ter uen hozzarendelj uk ˝ ¨ ´ R3 egy elemehez. ´ szorzassal ´ Mivel R3 a skalaris vektorteret alkot, ´ tekinthetjuk hogy minden ponthoz a helyvektorat ¨ ugy, ´ ´ rendeljuk ¨ hozza. ´Igy a ter ´ pontjait koordinat ´ aik ´ seg´ıtseg ´ evel ´ ´ egyertelm uen ˝ ~ megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ak ´ Descartes-koordinat
´ legelterjedtebb megadasi ´ modja ´ ´ A legegyszerubb a ter ˝ es pontjainak. ´ minden p pontjat ´ egy-egyertelm ´ ´ A ter uen hozzarendelj uk ˝ ¨ ´ R3 egy elemehez. ´ szorzassal ´ Mivel R3 a skalaris vektorteret alkot, ´ tekinthetjuk hogy minden ponthoz a helyvektorat ¨ ugy, ´ ´ rendeljuk ¨ hozza. ´Igy a ter ´ pontjait koordinat ´ aik ´ seg´ıtseg ´ evel ´ ´ egyertelm uen ˝ ~ megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ak ´ Descartes-koordinat
´ legelterjedtebb megadasi ´ modja ´ ´ A legegyszerubb a ter ˝ es pontjainak. ´ minden p pontjat ´ egy-egyertelm ´ ´ A ter uen hozzarendelj uk ˝ ¨ ´ R3 egy elemehez. ´ szorzassal ´ Mivel R3 a skalaris vektorteret alkot, ´ tekinthetjuk hogy minden ponthoz a helyvektorat ¨ ugy, ´ ´ rendeljuk ¨ hozza. ´Igy a ter ´ pontjait koordinat ´ aik ´ seg´ıtseg ´ evel ´ ´ egyertelm uen ˝ ~ megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ak ´ Descartes-koordinat
´ legelterjedtebb megadasi ´ modja ´ ´ A legegyszerubb a ter ˝ es pontjainak. ´ minden p pontjat ´ egy-egyertelm ´ ´ A ter uen hozzarendelj uk ˝ ¨ ´ R3 egy elemehez. ´ szorzassal ´ Mivel R3 a skalaris vektorteret alkot, ´ tekinthetjuk hogy minden ponthoz a helyvektorat ¨ ugy, ´ ´ rendeljuk ¨ hozza. ´Igy a ter ´ pontjait koordinat ´ aik ´ seg´ıtseg ´ evel ´ ´ egyertelm uen ˝ ~ megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ Geometriai ertelmez es
´ ´ Adottak x, y, z tengelyek, rajtuk az egysegnyi hosszus ´ aggal. ´ aj ´ u´ pont ertelmez ´ ´ ekkor: Egy p = (a, b, c) koordinat ese ´ ol ´ az x tengely menten ´ a egyseget ´ Az a pont, amit az origob ´ ´ b egyseget ´ ´ ´ ul lepve, majd az y tengely menten lepve, veg ¨ az ´ c egyseget ´ ´ tengely menten lepve kapunk.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ irany ´ Sodras
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat
´ egy olyan vektorter, ´ ami elfelejtette, hogy hol is ”Az affin ter ¨ van a kozepe.” John Baez ´ a vektor fogalmat: ´ Rendbe teszi a pont es ´ vektor muveletek skalar, mint eddig ˝ vektor, vektor muveletek mint eddig ˝ pont+vektor→pont pont-pont→vektor ´ pont+pont nincs ertelmezve ´ pont muveletek ´ skalar, nincsenek ertelmezve ˝
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat
´ egy olyan vektorter, ´ ami elfelejtette, hogy hol is ”Az affin ter ¨ van a kozepe.” John Baez ´ a vektor fogalmat: ´ Rendbe teszi a pont es ´ vektor muveletek skalar, mint eddig ˝ vektor, vektor muveletek mint eddig ˝ pont+vektor→pont pont-pont→vektor ´ pont+pont nincs ertelmezve ´ pont muveletek ´ skalar, nincsenek ertelmezve ˝
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat
´ egy olyan vektorter, ´ ami elfelejtette, hogy hol is ”Az affin ter ¨ van a kozepe.” John Baez ´ a vektor fogalmat: ´ Rendbe teszi a pont es ´ vektor muveletek skalar, mint eddig ˝ vektor, vektor muveletek mint eddig ˝ pont+vektor→pont pont-pont→vektor ´ pont+pont nincs ertelmezve ´ pont muveletek ´ skalar, nincsenek ertelmezve ˝
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat
´ egy olyan vektorter, ´ ami elfelejtette, hogy hol is ”Az affin ter ¨ van a kozepe.” John Baez ´ a vektor fogalmat: ´ Rendbe teszi a pont es ´ vektor muveletek skalar, mint eddig ˝ vektor, vektor muveletek mint eddig ˝ pont+vektor→pont pont-pont→vektor ´ pont+pont nincs ertelmezve ´ pont muveletek ´ skalar, nincsenek ertelmezve ˝
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat
´ egy olyan vektorter, ´ ami elfelejtette, hogy hol is ”Az affin ter ¨ van a kozepe.” John Baez ´ a vektor fogalmat: ´ Rendbe teszi a pont es ´ vektor muveletek skalar, mint eddig ˝ vektor, vektor muveletek mint eddig ˝ pont+vektor→pont pont-pont→vektor ´ pont+pont nincs ertelmezve ´ pont muveletek ´ skalar, nincsenek ertelmezve ˝
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat
´ egy olyan vektorter, ´ ami elfelejtette, hogy hol is ”Az affin ter ¨ van a kozepe.” John Baez ´ a vektor fogalmat: ´ Rendbe teszi a pont es ´ vektor muveletek skalar, mint eddig ˝ vektor, vektor muveletek mint eddig ˝ pont+vektor→pont pont-pont→vektor ´ pont+pont nincs ertelmezve ´ pont muveletek ´ skalar, nincsenek ertelmezve ˝
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat
´ egy olyan vektorter, ´ ami elfelejtette, hogy hol is ”Az affin ter ¨ van a kozepe.” John Baez ´ a vektor fogalmat: ´ Rendbe teszi a pont es ´ vektor muveletek skalar, mint eddig ˝ vektor, vektor muveletek mint eddig ˝ pont+vektor→pont pont-pont→vektor ´ pont+pont nincs ertelmezve ´ pont muveletek ´ skalar, nincsenek ertelmezve ˝
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat
´ egy olyan vektorter, ´ ami elfelejtette, hogy hol is ”Az affin ter ¨ van a kozepe.” John Baez ´ a vektor fogalmat: ´ Rendbe teszi a pont es ´ vektor muveletek skalar, mint eddig ˝ vektor, vektor muveletek mint eddig ˝ pont+vektor→pont pont-pont→vektor ´ pont+pont nincs ertelmezve ´ pont muveletek ´ skalar, nincsenek ertelmezve ˝
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ak ´ Baricentrikus koordinat
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ak ´ Baricentrikus koordinat ¨ August Ferdinand Mobius [1827] ´ a ter ´ egy p pontja. Legyenek adottak x1 , . . . , xn vektorok, es (a1 , . . . , an ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus ´ ai, ´ ha koordinat (a1 + · · · + an )p = a1 x1 + · · · + an xn ´ baricentrikus koordinat ´ akr ´ ol ´ vagy affin Homogen ´ akr ´ ol ´ beszel ´ unk, koordinat ha ¨ a1 + · · · + an = 1
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ak ´ Baricentrikus koordinat ¨ August Ferdinand Mobius [1827] ´ a ter ´ egy p pontja. Legyenek adottak x1 , . . . , xn vektorok, es (a1 , . . . , an ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus ´ ai, ´ ha koordinat (a1 + · · · + an )p = a1 x1 + · · · + an xn ´ baricentrikus koordinat ´ akr ´ ol ´ vagy affin Homogen ´ akr ´ ol ´ beszel ´ unk, koordinat ha ¨ a1 + · · · + an = 1
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ak ´ Baricentrikus koordinat ¨ August Ferdinand Mobius [1827] ´ a ter ´ egy p pontja. Legyenek adottak x1 , . . . , xn vektorok, es (a1 , . . . , an ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus ´ ai, ´ ha koordinat (a1 + · · · + an )p = a1 x1 + · · · + an xn ´ baricentrikus koordinat ´ akr ´ ol ´ vagy affin Homogen ´ akr ´ ol ´ beszel ´ unk, koordinat ha ¨ a1 + · · · + an = 1
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ak ´ Baricentrikus koordinat ¨ August Ferdinand Mobius [1827] ´ a ter ´ egy p pontja. Legyenek adottak x1 , . . . , xn vektorok, es (a1 , . . . , an ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus ´ ai, ´ ha koordinat (a1 + · · · + an )p = a1 x1 + · · · + an xn ´ baricentrikus koordinat ´ akr ´ ol ´ vagy affin Homogen ´ akr ´ ol ´ beszel ´ unk, koordinat ha ¨ a1 + · · · + an = 1
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ Erelmez ese ´ ¨ Vegyunk oget, x1 , x2 , x3 csucsokkal! ¨ egy haromsz ´ Helyezzunk λ1 , λ2 , λ3 sulyokat! ¨ a csucsokba ´ ´ Ekkor a ”rendszer” sulypontja pontosan a ´ λ1 x1 + λ2 x2 + λ3 x3 pont, azaz a (λ1 , λ2 , λ3 ) (baricentikus) ´ aj ´ u´ pont. koordinat ´ ¨ Ha negat´ıv sulyokat is megengedunk, akkor a haromsz og ´ ¨ ´ ˝ ´ s´ıkjanak tetszoleges pontja megadhato! ´ 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1, akkor a Ha λ1 + λ2 + λ3 = 1 es ´ akkal ´ ¨ lesz! koordinat adott pont a 4-on
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ Erelmez ese ´ ¨ Vegyunk oget, x1 , x2 , x3 csucsokkal! ¨ egy haromsz ´ Helyezzunk λ1 , λ2 , λ3 sulyokat! ¨ a csucsokba ´ ´ Ekkor a ”rendszer” sulypontja pontosan a ´ λ1 x1 + λ2 x2 + λ3 x3 pont, azaz a (λ1 , λ2 , λ3 ) (baricentikus) ´ aj ´ u´ pont. koordinat ´ ¨ Ha negat´ıv sulyokat is megengedunk, akkor a haromsz og ´ ¨ ´ ˝ ´ s´ıkjanak tetszoleges pontja megadhato! ´ 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1, akkor a Ha λ1 + λ2 + λ3 = 1 es ´ akkal ´ ¨ lesz! koordinat adott pont a 4-on
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ Erelmez ese ´ ¨ Vegyunk oget, x1 , x2 , x3 csucsokkal! ¨ egy haromsz ´ Helyezzunk λ1 , λ2 , λ3 sulyokat! ¨ a csucsokba ´ ´ Ekkor a ”rendszer” sulypontja pontosan a ´ λ1 x1 + λ2 x2 + λ3 x3 pont, azaz a (λ1 , λ2 , λ3 ) (baricentikus) ´ aj ´ u´ pont. koordinat ´ ¨ Ha negat´ıv sulyokat is megengedunk, akkor a haromsz og ´ ¨ ´ ˝ ´ s´ıkjanak tetszoleges pontja megadhato! ´ 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1, akkor a Ha λ1 + λ2 + λ3 = 1 es ´ akkal ´ ¨ lesz! koordinat adott pont a 4-on
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ Erelmez ese ´ ¨ Vegyunk oget, x1 , x2 , x3 csucsokkal! ¨ egy haromsz ´ Helyezzunk λ1 , λ2 , λ3 sulyokat! ¨ a csucsokba ´ ´ Ekkor a ”rendszer” sulypontja pontosan a ´ λ1 x1 + λ2 x2 + λ3 x3 pont, azaz a (λ1 , λ2 , λ3 ) (baricentikus) ´ aj ´ u´ pont. koordinat ´ ¨ Ha negat´ıv sulyokat is megengedunk, akkor a haromsz og ´ ¨ ´ ˝ ´ s´ıkjanak tetszoleges pontja megadhato! ´ 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1, akkor a Ha λ1 + λ2 + λ3 = 1 es ´ akkal ´ ¨ lesz! koordinat adott pont a 4-on
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ ´ Erelmez ese ´ ¨ Vegyunk oget, x1 , x2 , x3 csucsokkal! ¨ egy haromsz ´ Helyezzunk λ1 , λ2 , λ3 sulyokat! ¨ a csucsokba ´ ´ Ekkor a ”rendszer” sulypontja pontosan a ´ λ1 x1 + λ2 x2 + λ3 x3 pont, azaz a (λ1 , λ2 , λ3 ) (baricentikus) ´ aj ´ u´ pont. koordinat ´ ¨ Ha negat´ıv sulyokat is megengedunk, akkor a haromsz og ´ ¨ ´ ˝ ´ s´ıkjanak tetszoleges pontja megadhato! ´ 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1, akkor a Ha λ1 + λ2 + λ3 = 1 es ´ akkal ´ ¨ lesz! koordinat adott pont a 4-on
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
¨ ´ Kovetkezm enyek
´ ¨ mintaj ´ ara ´ beszelhet ´ A haromsz og unk ¨ 3D-s baricentrikus ´ akr ´ ol ´ tetraeder ´ ´ evel. ´ koordinat seg´ıtseg ´ ´ ara ´ van szuks ´ unk n dimenzoban n + 1 koordinat ¨ eg ¨ baricentrikus alakban. ´ ai, ´ akkor Ha (a1 , . . . , an ) egy pont baricentrikus koordinat ´ mindig hasznalhatunk ´ (ra1 , . . . , ran ), r 6= 0 is azok, ezert ´ baricentrikus koordinat ´ akat. ´ homogen
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
¨ ´ Kovetkezm enyek
´ ¨ mintaj ´ ara ´ beszelhet ´ A haromsz og unk ¨ 3D-s baricentrikus ´ akr ´ ol ´ tetraeder ´ ´ evel. ´ koordinat seg´ıtseg ´ ´ ara ´ van szuks ´ unk n dimenzoban n + 1 koordinat ¨ eg ¨ baricentrikus alakban. ´ ai, ´ akkor Ha (a1 , . . . , an ) egy pont baricentrikus koordinat ´ mindig hasznalhatunk ´ (ra1 , . . . , ran ), r 6= 0 is azok, ezert ´ baricentrikus koordinat ´ akat. ´ homogen
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
¨ ´ Kovetkezm enyek
´ ¨ mintaj ´ ara ´ beszelhet ´ A haromsz og unk ¨ 3D-s baricentrikus ´ akr ´ ol ´ tetraeder ´ ´ evel. ´ koordinat seg´ıtseg ´ ´ ara ´ van szuks ´ unk n dimenzoban n + 1 koordinat ¨ eg ¨ baricentrikus alakban. ´ ai, ´ akkor Ha (a1 , . . . , an ) egy pont baricentrikus koordinat ´ mindig hasznalhatunk ´ (ra1 , . . . , ran ), r 6= 0 is azok, ezert ´ baricentrikus koordinat ´ akat. ´ homogen
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ August Ferdinand Mobius ¨ Ismet [1827] ˝ e´ teszik vegtelen ´ ´ et ´ veges ´ Lehetov pontok kezeles ´ ak ´ seg´ıtseg ´ evel. ´ koordinat ´ pontjai ´ırhatok ´ le vele, ami magaban ´ A projekt´ıv ter foglalja ´ ´ (a ”sima” 3D ter) ´ pontjait. az eukleideszi ter
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ August Ferdinand Mobius ¨ Ismet [1827] ˝ e´ teszik vegtelen ´ ´ et ´ veges ´ Lehetov pontok kezeles ´ ak ´ seg´ıtseg ´ evel. ´ koordinat ´ pontjai ´ırhatok ´ le vele, ami magaban ´ A projekt´ıv ter foglalja ´ ´ (a ”sima” 3D ter) ´ pontjait. az eukleideszi ter
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ August Ferdinand Mobius ¨ Ismet [1827] ˝ e´ teszik vegtelen ´ ´ et ´ veges ´ Lehetov pontok kezeles ´ ak ´ seg´ıtseg ´ evel. ´ koordinat ´ pontjai ´ırhatok ´ le vele, ami magaban ´ A projekt´ıv ter foglalja ´ ´ (a ”sima” 3D ter) ´ pontjait. az eukleideszi ter
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ koordinat ´ ak ´ Homogen
Definicio´ 3D-ben: ´ ´ eukleideszi ´ ´ egy Legyen (x, y, z) ∈ R3 a haromdimenzi os ter pontja. ´ beli pont[ok], homogen ´ Az ennek megfelelo˝ projekt´ıv ter ´ a[k]val: ´ koordinat [wx, wy , wz, w], w 6= 0 ´ Az origo´ (0, 0, 0) kepe a [0, 0, 0, 1] pont.
´ [x, y , z, 0] pontjait idealis ´ pontoknak A projekt´ıv ter ´ nincs megfeleloj ˝ uk ´ ´ nevezzuk, terben ¨ es ¨ az eukleideszi ´ A [0, 0, 0, 0] pontot nem ertelezz uk. ¨
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ koordinat ´ ak ´ Homogen
Definicio´ 3D-ben: ´ ´ eukleideszi ´ ´ egy Legyen (x, y, z) ∈ R3 a haromdimenzi os ter pontja. ´ beli pont[ok], homogen ´ Az ennek megfelelo˝ projekt´ıv ter ´ a[k]val: ´ koordinat [wx, wy , wz, w], w 6= 0 ´ Az origo´ (0, 0, 0) kepe a [0, 0, 0, 1] pont.
´ [x, y , z, 0] pontjait idealis ´ pontoknak A projekt´ıv ter ´ nincs megfeleloj ˝ uk ´ ´ nevezzuk, terben ¨ es ¨ az eukleideszi ´ A [0, 0, 0, 0] pontot nem ertelezz uk. ¨
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ koordinat ´ ak ´ Homogen
Definicio´ 3D-ben: ´ ´ eukleideszi ´ ´ egy Legyen (x, y, z) ∈ R3 a haromdimenzi os ter pontja. ´ beli pont[ok], homogen ´ Az ennek megfelelo˝ projekt´ıv ter ´ a[k]val: ´ koordinat [wx, wy , wz, w], w 6= 0 ´ Az origo´ (0, 0, 0) kepe a [0, 0, 0, 1] pont.
´ [x, y , z, 0] pontjait idealis ´ pontoknak A projekt´ıv ter ´ nincs megfeleloj ˝ uk ´ ´ nevezzuk, terben ¨ es ¨ az eukleideszi ´ A [0, 0, 0, 0] pontot nem ertelezz uk. ¨
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ koordinat ´ ak ´ Homogen
Definicio´ 3D-ben: ´ ´ eukleideszi ´ ´ egy Legyen (x, y, z) ∈ R3 a haromdimenzi os ter pontja. ´ beli pont[ok], homogen ´ Az ennek megfelelo˝ projekt´ıv ter ´ a[k]val: ´ koordinat [wx, wy , wz, w], w 6= 0 ´ Az origo´ (0, 0, 0) kepe a [0, 0, 0, 1] pont.
´ [x, y , z, 0] pontjait idealis ´ pontoknak A projekt´ıv ter ´ nincs megfeleloj ˝ uk ´ ´ nevezzuk, terben ¨ es ¨ az eukleideszi ´ A [0, 0, 0, 0] pontot nem ertelezz uk. ¨
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ koordinat ´ ak ´ Homogen
Definicio´ 3D-ben: ´ ´ eukleideszi ´ ´ egy Legyen (x, y, z) ∈ R3 a haromdimenzi os ter pontja. ´ beli pont[ok], homogen ´ Az ennek megfelelo˝ projekt´ıv ter ´ a[k]val: ´ koordinat [wx, wy , wz, w], w 6= 0 ´ Az origo´ (0, 0, 0) kepe a [0, 0, 0, 1] pont.
´ [x, y , z, 0] pontjait idealis ´ pontoknak A projekt´ıv ter ´ nincs megfeleloj ˝ uk ´ ´ nevezzuk, terben ¨ es ¨ az eukleideszi ´ A [0, 0, 0, 0] pontot nem ertelezz uk. ¨
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ koordinat ´ ak ´ Homogen
Definicio´ 3D-ben: ´ ´ eukleideszi ´ ´ egy Legyen (x, y, z) ∈ R3 a haromdimenzi os ter pontja. ´ beli pont[ok], homogen ´ Az ennek megfelelo˝ projekt´ıv ter ´ a[k]val: ´ koordinat [wx, wy , wz, w], w 6= 0 ´ Az origo´ (0, 0, 0) kepe a [0, 0, 0, 1] pont.
´ [x, y , z, 0] pontjait idealis ´ pontoknak A projekt´ıv ter ´ nincs megfeleloj ˝ uk ´ ´ nevezzuk, terben ¨ es ¨ az eukleideszi ´ A [0, 0, 0, 0] pontot nem ertelezz uk. ¨
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ Tulajdonsagok ´ [x, y, z, w] pont koordinat ´ ai ´ az eukleideszi ´ Egy nem idealis ´ terben x y z , , , w w w ´ ´ w 6= 0. mivel a pont nem idealis, ezert ´ koordinat ´ as ´ pontra teljesul, Minden homogen ¨ hogy [x, y , z, w] = λ[x, y , z, w] = [λx, λy , λz, λw], λ 6= 0 ˝ o˝ tulajdonsag ´ miatt [x, y , z, 0] = [−x, −y, −z, 0], Az eloz ´ azaz ”vegtelen messze menve, a pontosan ellenkezo˝ ´ ´ iranyba haladva is ugyan oda jutnank”. ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ Tulajdonsagok ´ [x, y, z, w] pont koordinat ´ ai ´ az eukleideszi ´ Egy nem idealis ´ terben x y z , , , w w w ´ ´ w 6= 0. mivel a pont nem idealis, ezert ´ koordinat ´ as ´ pontra teljesul, Minden homogen ¨ hogy [x, y , z, w] = λ[x, y , z, w] = [λx, λy , λz, λw], λ 6= 0 ˝ o˝ tulajdonsag ´ miatt [x, y , z, 0] = [−x, −y, −z, 0], Az eloz ´ azaz ”vegtelen messze menve, a pontosan ellenkezo˝ ´ ´ iranyba haladva is ugyan oda jutnank”. ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ ak ´ Descartes-koordinat ´ ´ ak ´ Affin-terbeli koordinat ´ ak ´ Baricentrikus koordinat ´ koordinat ´ ak ´ Homogen
´ Tulajdonsagok ´ [x, y, z, w] pont koordinat ´ ai ´ az eukleideszi ´ Egy nem idealis ´ terben x y z , , , w w w ´ ´ w 6= 0. mivel a pont nem idealis, ezert ´ koordinat ´ as ´ pontra teljesul, Minden homogen ¨ hogy [x, y , z, w] = λ[x, y , z, w] = [λx, λy , λz, λw], λ 6= 0 ˝ o˝ tulajdonsag ´ miatt [x, y , z, 0] = [−x, −y, −z, 0], Az eloz ´ azaz ”vegtelen messze menve, a pontosan ellenkezo˝ ´ ´ iranyba haladva is ugyan oda jutnank”. ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
Tartalom 1
Pont
2
Egyenes ”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
3
S´ık
4
´ ¨ Haromsz og
5
¨ Gomb ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
”Klasszikus” egyenlete
´ ´ nelk ´ uli ´ ´ kb. i.sz. ”A vonal szeless eg Eukleidesz ¨ hosszus ´ ag”, 300 y = mx + b ´ de Jo, ´ mert nem jo, ´ azoljuk ´ ˝ ´ hogyan abr a fugg y tengellyel parhuzamos ¨ oleges, egyeneseket? ´ hogyan hasznaljuk 3D-ben?
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
”Klasszikus” egyenlete
´ ´ nelk ´ uli ´ ´ kb. i.sz. ”A vonal szeless eg Eukleidesz ¨ hosszus ´ ag”, 300 y = mx + b ´ de Jo, ´ mert nem jo, ´ azoljuk ´ ˝ ´ hogyan abr a fugg y tengellyel parhuzamos ¨ oleges, egyeneseket? ´ hogyan hasznaljuk 3D-ben?
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
”Klasszikus” egyenlete
´ ´ nelk ´ uli ´ ´ kb. i.sz. ”A vonal szeless eg Eukleidesz ¨ hosszus ´ ag”, 300 y = mx + b ´ de Jo, ´ mert nem jo, ´ azoljuk ´ ˝ ´ hogyan abr a fugg y tengellyel parhuzamos ¨ oleges, egyeneseket? ´ hogyan hasznaljuk 3D-ben?
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
”Klasszikus” egyenlete
´ ´ nelk ´ uli ´ ´ kb. i.sz. ”A vonal szeless eg Eukleidesz ¨ hosszus ´ ag”, 300 y = mx + b ´ de Jo, ´ mert nem jo, ´ azoljuk ´ ˝ ´ hogyan abr a fugg y tengellyel parhuzamos ¨ oleges, egyeneseket? ´ hogyan hasznaljuk 3D-ben?
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
”Klasszikus” egyenlete
´ ´ nelk ´ uli ´ ´ kb. i.sz. ”A vonal szeless eg Eukleidesz ¨ hosszus ´ ag”, 300 y = mx + b ´ de Jo, ´ mert nem jo, ´ azoljuk ´ ˝ ´ hogyan abr a fugg y tengellyel parhuzamos ¨ oleges, egyeneseket? ´ hogyan hasznaljuk 3D-ben?
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
”Klasszikus” egyenlete
´ ´ nelk ´ uli ´ ´ kb. i.sz. ”A vonal szeless eg Eukleidesz ¨ hosszus ´ ag”, 300 y = mx + b ´ de Jo, ´ mert nem jo, ´ azoljuk ´ ˝ ´ hogyan abr a fugg y tengellyel parhuzamos ¨ oleges, egyeneseket? ´ hogyan hasznaljuk 3D-ben?
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
Parametrikus egyenlete
´ Legyen p0 az egyenes egy pontja, ~v pedig az iranyvektora, ekkor p = p0 + t ~v t ∈ R ¨ ´ megadja az egyenes osszes pontjat. ´ p0 , p1 pontjat ´ ismerjuk, Ha csak az egyenes ket ¨ akkor ~v = p1 − p0 utan ´ az eredeti egyenlet hasznalhat ´ ´ o. ´ szam ´ at ´ ol ´ fuggetlen. Az egyenlet a dimenziok ¨
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
Parametrikus egyenlete
´ Legyen p0 az egyenes egy pontja, ~v pedig az iranyvektora, ekkor p = p0 + t ~v t ∈ R ¨ ´ megadja az egyenes osszes pontjat. ´ p0 , p1 pontjat ´ ismerjuk, Ha csak az egyenes ket ¨ akkor ~v = p1 − p0 utan ´ az eredeti egyenlet hasznalhat ´ ´ o. ´ szam ´ at ´ ol ´ fuggetlen. Az egyenlet a dimenziok ¨
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
Parametrikus egyenlete
´ Legyen p0 az egyenes egy pontja, ~v pedig az iranyvektora, ekkor p = p0 + t ~v t ∈ R ¨ ´ megadja az egyenes osszes pontjat. ´ p0 , p1 pontjat ´ ismerjuk, Ha csak az egyenes ket ¨ akkor ~v = p1 − p0 utan ´ az eredeti egyenlet hasznalhat ´ ´ o. ´ szam ´ at ´ ol ´ fuggetlen. Az egyenlet a dimenziok ¨
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
´ egyenlete A sugar
´ egy felegyenes, ´ ˝ ´ ´ A sugar amit kezdopontj aval es ´ ´ iranyvektor aval adhatunk meg. ~v pedig az iranyvektora, ´ kezdopontja, ˝ ´ Legyen p0 a sugar ekkor p = p0 + t ~v t ≥ 0 ´ osszes ¨ ´ megadja a sugar pontjat.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
”Klasszikus” egyenlete Parametrikus egyenlete ´ Sugar
´ egyenlete A sugar
´ egy felegyenes, ´ ˝ ´ ´ A sugar amit kezdopontj aval es ´ ´ iranyvektor aval adhatunk meg. ~v pedig az iranyvektora, ´ kezdopontja, ˝ ´ Legyen p0 a sugar ekkor p = p0 + t ~v t ≥ 0 ´ osszes ¨ ´ megadja a sugar pontjat.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
Tartalom 1
Pont
2
Egyenes
3
S´ık ´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
4
´ ¨ Haromsz og
5
¨ Gomb ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ Normalvektoros egyenlete
´ Legyen p0 a s´ık egy pontja, ~n pedig a normalvektora, ekkor h~n, p − p0 i = 0 ´ csak akkor teljesul, akkor es ¨ ha p a s´ıkon fekszik.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ Legyen p0 a s´ık egy pontja, ~n a normalvektora, ´ Legyen q0 ez egyenes egy pontja, ~v az iranyvektora. Az egyenes egynlete: p = q0 + t ~v A s´ık egyenlete: h~n, p − p0 i = 0
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ Legyen p0 a s´ık egy pontja, ~n a normalvektora, ´ Legyen q0 ez egyenes egy pontja, ~v az iranyvektora. Az egyenes egynlete: p = q0 + t ~v A s´ık egyenlete: h~n, p − p0 i = 0
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ Legyen p0 a s´ık egy pontja, ~n a normalvektora, ´ Legyen q0 ez egyenes egy pontja, ~v az iranyvektora. Az egyenes egynlete: p = q0 + t ~v A s´ık egyenlete: h~n, p − p0 i = 0
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ Legyen p0 a s´ık egy pontja, ~n a normalvektora, ´ Legyen q0 ez egyenes egy pontja, ~v az iranyvektora. Az egyenes egynlete: p = q0 + t ~v A s´ık egyenlete: h~n, p − p0 i = 0
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es Behelyettes´ıtve p-t: h~n, q0 + t ~v − p0 i = 0, h~n, q0 i + th~n, ~v i − h~n, p0 i = 0, t=
h~n, p0 i − h~n, q0 i h~n, p0 − q0 i = , h~n, ~v i h~n, ~v i
ha h~n, ~v i = 6 0. ~ ~ ´ ´ Ha hn, v i = 0, akkor az egyenes parhuzamos a s´ıkkal, es ´ vagy az egyenes a s´ıkon ´ıgy vagy nincs metszespontjuk, fut. ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es Behelyettes´ıtve p-t: h~n, q0 + t ~v − p0 i = 0, h~n, q0 i + th~n, ~v i − h~n, p0 i = 0, t=
h~n, p0 i − h~n, q0 i h~n, p0 − q0 i = , h~n, ~v i h~n, ~v i
ha h~n, ~v i = 6 0. ~ ~ ´ ´ Ha hn, v i = 0, akkor az egyenes parhuzamos a s´ıkkal, es ´ vagy az egyenes a s´ıkon ´ıgy vagy nincs metszespontjuk, fut. ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es Behelyettes´ıtve p-t: h~n, q0 + t ~v − p0 i = 0, h~n, q0 i + th~n, ~v i − h~n, p0 i = 0, t=
h~n, p0 i − h~n, q0 i h~n, p0 − q0 i = , h~n, ~v i h~n, ~v i
ha h~n, ~v i = 6 0. ~ ~ ´ ´ Ha hn, v i = 0, akkor az egyenes parhuzamos a s´ıkkal, es ´ vagy az egyenes a s´ıkon ´ıgy vagy nincs metszespontjuk, fut. ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Normalvektoros egyenlete ´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es
´ s´ık metszespontja ´ Egyenes es Behelyettes´ıtve p-t: h~n, q0 + t ~v − p0 i = 0, h~n, q0 i + th~n, ~v i − h~n, p0 i = 0, t=
h~n, p0 i − h~n, q0 i h~n, p0 − q0 i = , h~n, ~v i h~n, ~v i
ha h~n, ~v i = 6 0. ~ ~ ´ ´ Ha hn, v i = 0, akkor az egyenes parhuzamos a s´ıkkal, es ´ vagy az egyenes a s´ıkon ´ıgy vagy nincs metszespontjuk, fut. ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
Tartalom 1
Pont
2
Egyenes
3
S´ık
4
´ ¨ Haromsz og ´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
5
¨ Gomb ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ Megadasa
´ ´ ´ Egyertelm uen megadhato´ harom csucs ˝ ´ aval. ´ ¨ csucsai, ´ Ha A, B, C a haromsz og akkor a hozzatartoz o´ s´ık ´ ´ egy pontja A, B, C barmelyike ´ normalvektora ~n =
(C − A) × (B − A) , k(C − A) × (B − A)k
´ szorzast ´ jeloli, ¨ es ´ ekkor ~n egysegnyi ´ ahol × a vektorialis ´ u. hosszus ´ ag ´
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ Megadasa
´ ´ ´ Egyertelm uen megadhato´ harom csucs ˝ ´ aval. ´ ¨ csucsai, ´ Ha A, B, C a haromsz og akkor a hozzatartoz o´ s´ık ´ ´ egy pontja A, B, C barmelyike ´ normalvektora ~n =
(C − A) × (B − A) , k(C − A) × (B − A)k
´ szorzast ´ jeloli, ¨ es ´ ekkor ~n egysegnyi ´ ahol × a vektorialis ´ u. hosszus ´ ag ´
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og ˝ or ¨ szam´ ´ ıtsuk ki az egyenes es ´ a haromsz ´ ¨ s´ıkjanak ´ Elosz og ´ ´ ez legyen p (mar ´ ha letezik). ´ metszespontj at, ´ ¨ on ¨ beluli Legyenek λ1 , λ2 , λ3 a p pont haromsz og ¨ ´ ai, ´ ugy baricentikus koordinat ´ hogy p = λ1 A + λ2 B + λ3 C. ´ csak akkor van a 4-on ¨ belul, p akkor, es ¨ ha 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og ˝ or ¨ szam´ ´ ıtsuk ki az egyenes es ´ a haromsz ´ ¨ s´ıkjanak ´ Elosz og ´ ´ ez legyen p (mar ´ ha letezik). ´ metszespontj at, ´ ¨ on ¨ beluli Legyenek λ1 , λ2 , λ3 a p pont haromsz og ¨ ´ ai, ´ ugy baricentikus koordinat ´ hogy p = λ1 A + λ2 B + λ3 C. ´ csak akkor van a 4-on ¨ belul, p akkor, es ¨ ha 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og ˝ or ¨ szam´ ´ ıtsuk ki az egyenes es ´ a haromsz ´ ¨ s´ıkjanak ´ Elosz og ´ ´ ez legyen p (mar ´ ha letezik). ´ metszespontj at, ´ ¨ on ¨ beluli Legyenek λ1 , λ2 , λ3 a p pont haromsz og ¨ ´ ai, ´ ugy baricentikus koordinat ´ hogy p = λ1 A + λ2 B + λ3 C. ´ csak akkor van a 4-on ¨ belul, p akkor, es ¨ ha 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ on ¨ vizsgalat ´ Pont a haromsz og Tudjuk, hogy p = (x, y, z) = λ1 A + λ2 B + λ3 C. Ekkor x =λ1 Ax + λ2 Bx + λ3 Cx y =λ1 Ay + λ2 By + λ3 Cy z =λ1 Az + λ2 Bz + λ3 Cz , ill. λ1 + λ2 + λ3 = 1 ⇒ λ3 = 1 − λ1 − λ2 ´ ´ negy ´ egyenletunk. Van harom ismeretlenunk Mi ¨ (λ-k), es ¨ legyen? ´ ¨ 2D vetulet ´ az XY , XZ vagy YZ Vegyuk og ¨ a haromsz ¨ et s´ıkra! A vetulethez egyszeruen elhagyjuk z, y vagy x ¨ ˝ ´ megfeleloen. ˝ egyenletet, ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ on ¨ vizsgalat ´ Pont a haromsz og Tudjuk, hogy p = (x, y, z) = λ1 A + λ2 B + λ3 C. Ekkor x =λ1 Ax + λ2 Bx + λ3 Cx y =λ1 Ay + λ2 By + λ3 Cy z =λ1 Az + λ2 Bz + λ3 Cz , ill. λ1 + λ2 + λ3 = 1 ⇒ λ3 = 1 − λ1 − λ2 ´ ´ negy ´ egyenletunk. Van harom ismeretlenunk Mi ¨ (λ-k), es ¨ legyen? ´ ¨ 2D vetulet ´ az XY , XZ vagy YZ Vegyuk og ¨ a haromsz ¨ et s´ıkra! A vetulethez egyszeruen elhagyjuk z, y vagy x ¨ ˝ ´ megfeleloen. ˝ egyenletet, ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ on ¨ vizsgalat ´ Pont a haromsz og Tudjuk, hogy p = (x, y, z) = λ1 A + λ2 B + λ3 C. Ekkor x =λ1 Ax + λ2 Bx + λ3 Cx y =λ1 Ay + λ2 By + λ3 Cy z =λ1 Az + λ2 Bz + λ3 Cz , ill. λ1 + λ2 + λ3 = 1 ⇒ λ3 = 1 − λ1 − λ2 ´ ´ negy ´ egyenletunk. Van harom ismeretlenunk Mi ¨ (λ-k), es ¨ legyen? ´ ¨ 2D vetulet ´ az XY , XZ vagy YZ Vegyuk og ¨ a haromsz ¨ et s´ıkra! A vetulethez egyszeruen elhagyjuk z, y vagy x ¨ ˝ ´ megfeleloen. ˝ egyenletet, ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ on ¨ vizsgalat ´ Pont a haromsz og ´ ´ a legnagyobb a Azt tengely kell valasztani, amelyik menten ´ ¨ normalvektor ´ ´ ´ eke. ´ haromsz og anak abszolut ´ ert ˝ hogy a haromsz ´ ¨ meroleges ˝ (´Igy biztos nem fordulhat elo, og a ´ csak egy szakasz marad belole!) ˝ s´ıkra, es
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ on ¨ vizsgalat ´ Pont a haromsz og ´ Pl. legyen a z a valsztott tengely. Ekkor x =λ1 Ax + λ2 Bx + λ3 Cx y =λ1 Ay + λ2 By + λ3 Cy ´ rendezve: Behelyettes´ıtve λ3 = 1 − λ1 + λ2 -t, es x =λ1 (Ax − Cx ) + λ2 (Bx − Cx ) + Cx y =λ1 (Ay − Cy ) + λ2 (By − Cy ) + Cy
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ on ¨ vizsgalat ´ Pont a haromsz og ´ Pl. legyen a z a valsztott tengely. Ekkor x =λ1 Ax + λ2 Bx + λ3 Cx y =λ1 Ay + λ2 By + λ3 Cy ´ rendezve: Behelyettes´ıtve λ3 = 1 − λ1 + λ2 -t, es x =λ1 (Ax − Cx ) + λ2 (Bx − Cx ) + Cx y =λ1 (Ay − Cy ) + λ2 (By − Cy ) + Cy
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ on ¨ vizsgalat ´ Pont a haromsz og Rendezve λ1 , λ2 -re kapjuk: (By − Cy )(x − Cx ) − (Bx − Cx )(y − Cy ) (Ax − Cx )(By − Cy ) − (Bx − Cx )(Ay − Cy ) −(Ay − Cy )(x − Cx ) − (Ax − Cx )(y − Cy ) λ2 = (Ax − Cx )(By − Cy ) − (Bx − Cx )(Ay − Cy ) λ1 =
´ har ´ omsz ¨ ¨ eseten ´ lehet nulla. A nevezo˝ csak degeneralt og ´ csak akkor van a 4-on ¨ belul, p akkor, es ¨ ha 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ on ¨ vizsgalat ´ Pont a haromsz og Rendezve λ1 , λ2 -re kapjuk: (By − Cy )(x − Cx ) − (Bx − Cx )(y − Cy ) (Ax − Cx )(By − Cy ) − (Bx − Cx )(Ay − Cy ) −(Ay − Cy )(x − Cx ) − (Ax − Cx )(y − Cy ) λ2 = (Ax − Cx )(By − Cy ) − (Bx − Cx )(Ay − Cy ) λ1 =
´ har ´ omsz ¨ ¨ eseten ´ lehet nulla. A nevezo˝ csak degeneralt og ´ csak akkor van a 4-on ¨ belul, p akkor, es ¨ ha 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
´ Megadasa ´ ¨ es ´ egyenes metszespontja ´ Haromsz og
´ ¨ on ¨ vizsgalat ´ Pont a haromsz og Rendezve λ1 , λ2 -re kapjuk: (By − Cy )(x − Cx ) − (Bx − Cx )(y − Cy ) (Ax − Cx )(By − Cy ) − (Bx − Cx )(Ay − Cy ) −(Ay − Cy )(x − Cx ) − (Ax − Cx )(y − Cy ) λ2 = (Ax − Cx )(By − Cy ) − (Bx − Cx )(Ay − Cy ) λ1 =
´ har ´ omsz ¨ ¨ eseten ´ lehet nulla. A nevezo˝ csak degeneralt og ´ csak akkor van a 4-on ¨ belul, p akkor, es ¨ ha 0 ≤ λ1 , λ2 , λ3 ≤ 1.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
Tartalom 1
Pont
2
Egyenes
3
S´ık
4
´ ¨ Haromsz og
5
¨ Gomb Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es ˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
Egyenlete
¨ eppont ´ ¨ egyenlete: Az r sugaru, u´ kor ´ c = (cx , cy , cz ) koz (x − cx )2 + (y − cy )2 + (z − cz )2 − r 2 = 0 ´ Ugyanez skalarszorzattal fel´ırva: hp − c, p − ci − r 2 = 0, ahol p = (x, y , z).
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
Egyenlete
¨ eppont ´ ¨ egyenlete: Az r sugaru, u´ kor ´ c = (cx , cy , cz ) koz (x − cx )2 + (y − cy )2 + (z − cz )2 − r 2 = 0 ´ Ugyanez skalarszorzattal fel´ırva: hp − c, p − ci − r 2 = 0, ahol p = (x, y , z).
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es ´ Legyen q0 ez egyenes egy pontja, ~v az iranyvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q0 + t ~v ¨ ´ Behelyettes´ıtve a gomb egyenletebe, kapjuk: hq0 + t ~v − c, q0 + t ~v − ci − r 2 = 0 Kifejtve: t 2 h~v , ~v i + 2th~v , q0 − ci + hq0 − c, q0 − ci − r 2 = 0
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es ´ Legyen q0 ez egyenes egy pontja, ~v az iranyvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q0 + t ~v ¨ ´ Behelyettes´ıtve a gomb egyenletebe, kapjuk: hq0 + t ~v − c, q0 + t ~v − ci − r 2 = 0 Kifejtve: t 2 h~v , ~v i + 2th~v , q0 − ci + hq0 − c, q0 − ci − r 2 = 0
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es ´ Legyen q0 ez egyenes egy pontja, ~v az iranyvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q0 + t ~v ¨ ´ Behelyettes´ıtve a gomb egyenletebe, kapjuk: hq0 + t ~v − c, q0 + t ~v − ci − r 2 = 0 Kifejtve: t 2 h~v , ~v i + 2th~v , q0 − ci + hq0 − c, q0 − ci − r 2 = 0
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es ´ Legyen q0 ez egyenes egy pontja, ~v az iranyvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q0 + t ~v ¨ ´ Behelyettes´ıtve a gomb egyenletebe, kapjuk: hq0 + t ~v − c, q0 + t ~v − ci − r 2 = 0 Kifejtve: t 2 h~v , ~v i + 2th~v , q0 − ci + hq0 − c, q0 − ci − r 2 = 0
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
t 2 h~v , ~v i + 2th~v , q0 − ci + hq0 − c, q0 − ci − r 2 = 0 ´ ´ ismert). Ez masodfok u´ egyenlet t-re (minden mas 2 Legyen D = (2h~v , q0 − ci) − 4h~v , ~v i(hq0 − c, q0 − ci − r 2 ) ´ megoldas ´ van, az egyenes metszi a gomb ¨ ¨ Ha D > 0: ket ot. ´ van, az egyenes erinti ´ ¨ ¨ Ha D = 0: egy megoldas a gomb ot. ´ megoldas, ´ az egyenes nem metszi Ha D < 0: nincs valos ¨ ¨ a gomb ot.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
t 2 h~v , ~v i + 2th~v , q0 − ci + hq0 − c, q0 − ci − r 2 = 0 ´ ´ ismert). Ez masodfok u´ egyenlet t-re (minden mas 2 Legyen D = (2h~v , q0 − ci) − 4h~v , ~v i(hq0 − c, q0 − ci − r 2 ) ´ megoldas ´ van, az egyenes metszi a gomb ¨ ¨ Ha D > 0: ket ot. ´ van, az egyenes erinti ´ ¨ ¨ Ha D = 0: egy megoldas a gomb ot. ´ megoldas, ´ az egyenes nem metszi Ha D < 0: nincs valos ¨ ¨ a gomb ot.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
t 2 h~v , ~v i + 2th~v , q0 − ci + hq0 − c, q0 − ci − r 2 = 0 ´ ´ ismert). Ez masodfok u´ egyenlet t-re (minden mas 2 Legyen D = (2h~v , q0 − ci) − 4h~v , ~v i(hq0 − c, q0 − ci − r 2 ) ´ megoldas ´ van, az egyenes metszi a gomb ¨ ¨ Ha D > 0: ket ot. ´ van, az egyenes erinti ´ ¨ ¨ Ha D = 0: egy megoldas a gomb ot. ´ megoldas, ´ az egyenes nem metszi Ha D < 0: nincs valos ¨ ¨ a gomb ot.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
t 2 h~v , ~v i + 2th~v , q0 − ci + hq0 − c, q0 − ci − r 2 = 0 ´ ´ ismert). Ez masodfok u´ egyenlet t-re (minden mas 2 Legyen D = (2h~v , q0 − ci) − 4h~v , ~v i(hq0 − c, q0 − ci − r 2 ) ´ megoldas ´ van, az egyenes metszi a gomb ¨ ¨ Ha D > 0: ket ot. ´ van, az egyenes erinti ´ ¨ ¨ Ha D = 0: egy megoldas a gomb ot. ´ megoldas, ´ az egyenes nem metszi Ha D < 0: nincs valos ¨ ¨ a gomb ot.
˝ as ´ 2. eload
Pont Egyenes S´ık ´ ¨ Haromsz og ¨ Gomb
Egyenlete ¨ ´ egyenes metszespontja ´ Gomb es
t 2 h~v , ~v i + 2th~v , q0 − ci + hq0 − c, q0 − ci − r 2 = 0 ´ ´ ismert). Ez masodfok u´ egyenlet t-re (minden mas 2 Legyen D = (2h~v , q0 − ci) − 4h~v , ~v i(hq0 − c, q0 − ci − r 2 ) ´ megoldas ´ van, az egyenes metszi a gomb ¨ ¨ Ha D > 0: ket ot. ´ van, az egyenes erinti ´ ¨ ¨ Ha D = 0: egy megoldas a gomb ot. ´ megoldas, ´ az egyenes nem metszi Ha D < 0: nincs valos ¨ ¨ a gomb ot.
˝ as ´ 2. eload
