2011. tavaszi félév

Matematika BSc tana´rszak Anal´ızis IV. elo˝ada´sjegyzet 2010/2011. tavaszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Anal´ızis és Szám´ıtásmatematikai Tanszék 2011. október 11.

ii

Tartalomjegyz´ ek El˝ osz´ o

v

1. Differenci´ alegyenletek 1.1. Radioakt´ıv anyag boml´ asa (vagy szaporodás) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Inhomogén line´ aris differenci´ alegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Szétv´ alaszthat´ o v´ altoz´ oj´ u differenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 3

2. To altoz´ os differenci´ alsz´ am´ıt´ as I. ¨bbv´ 2.1. Parci´ alis deriv´ alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. f : R2 → R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Lok´ alis széls˝ oérték és parciális derivált . . . . 2.1.3. f : Rp → R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Differenci´ alhat´ os´ ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Bevezet˝ o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. f : R2 → R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Ir´ anymenti deriv´ alt, Lagrange-középértéktétel 2.2.4. f : Rp → R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. A Young-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. A Taylor-polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Kétszer differenci´ alhat´ o f¨ uggvény széls˝oértéke . . . . 2.6. f : Rp → R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

5 5 5 6 8 8 8 9 11 13 14 16 18 21

3. To altoz´ os differenci´ alsz´ am´ıt´ as II. 23 ¨bbv´ 3.1. f : Rp → Rq f¨ uggvények differenciálhatósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Differenci´ al´ asi szab´ alyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4. Implicit ´ es inverz fu enyek 29 ¨ ggv´ 4.1. Egyv´ altoz´ os implicitf¨ uggvény-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2. Implicit- és inverzf¨ uggvény-tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5. ´ Ivhossz, vonalintegr´ al, primit´ıv fu eny ¨ ggv´ 5.1. G¨ orbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Vonalintegr´ al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Primit´ıv f¨ uggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Folytonos f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvénye . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvénye . . . . 5.5.1. Paraméteres integr´ al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Folytonosan differenci´ alható f¨ uggvény csillagtartományon 5.6. A Newton-Leibniz tétel tov´ abbi ´ altalános´ıtásai . . . . . . . . . . 5.6.1. Green tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2. Fel¨ ulet, felsz´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3. Integr´ altételek h´ arom dimenzióban . . . . . . . . . . . . . iii

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

35 35 38 39 40 43 43 44 45 45 46 47

´ TARTALOMJEGYZEK

´ TARTALOMJEGYZEK

T´ argymutat´ o

49

iv

El˝ osz´ o Ez a jegyzet a 2010/2011-es tanév tavaszi félévében tartott matematika tanárszakos Anal´ızis IV. kurzus anyag´ ahoz kész¨ ul. A jegyzet a félév sor´ an folyamatosan b˝ov¨ ul, az utolsó változtatás dátuma a c´ımlapon látható. A jegyzetben bizony´ ara el˝ ofordulhatnak hib´ ak – ezek jelzését örömmel veszem a [email protected] e-mail-c´ımen ! A tételek, ´ all´ıt´ asok, bizony´ıt´ asok stb. ut´ an található számok a Laczkovich M. - T. Sós Vera : Anal´ızis II. c. k¨ onyv megfelel˝ oire utalnak. q Fontos jel¨ olés : a jegyzet sor´ an haszn´ alom egy x = (x1 , . . . , xp ) ∈ Rp vektor hosszára az |x| := x21 + · · · + x2p jel¨ olést. Ez az el˝ oz˝ o féléves sz´ ohaszn´ alattal az x pontnak a 0 ∈ Rp origótól vett u ń. euklideszi távolsága, vagyis |x| = d2 (x,0), ahol d2 az Rp -beli euklideszi metrik´ at jel¨ oli. Néh´ any sz´ o a tanul´ asr´ ol. 1. Javaslom, hogy ezen jegyzeten k´ıv¨ ul az el˝oadásokon kész¨ ult órai jegyzetet is tanulmányozzák! 2. Az anyag egyszeri, alapos elolvas´ asa a megértést szolgálja – az anyag elsaját´ıtásához nem elég. Nagyban megk¨ onny´ıti és megr¨ ovid´ıti a vizsgaid˝oszaki felkész¨ ulést, ha a megértés a félév során folyamatosan t¨ orténik, az anyagban val´ o halad´ assal p´ arhuzamosan. 3. Az anyag els˝ o´ attanulm´ anyoz´ asa ut´ an – például a Tárgymutató seg´ıtségével – fejb˝ol próbálják meg le´ırni a legfontosabb defin´ıci´ okat és tételeket! Ha valami nem megy, lapozzák fel egyb˝ol a megfelel˝o részt, és nézzék at u ´ ´jb´ ol! 4. Ha a defin´ıci´ okat és tételeket elsaj´ at´ıtották, csak akkor kezdjék el a bizony´ıtások megtanulását! Ez hasonl´ oan végezhet˝ o, ahogy az el˝ oz˝ o pontokban le´ırtam. Minden bizony´ıtásnál els˝osorban azokat a lényeges ´ all´ıt´ asokat, tételeket jegyezzék meg, amely(ek) a bizony´ıtás f˝o lépéseit alkotják. 5. Vég¨ ul, hogy az anyag nagyobb ¨ osszef¨ uggéseit is megértsék, sz¨ ukség van a teljes anyag u ´jból elolvas´ as´ ara, vagy legal´ abbis a f˝ obb pontok ´ attekintésére. Aj´ anlott irodalom : Thomas-féle kalkulus 3., Typotex, 2007. (Jól használhatók az 1-2. kötetek is) Fekete Z. - Zalay M.: T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggvények anal´ızise, M˝ uszaki Könyvkiadó, 2006. Laczkovich M. - T. S´ os Vera : Anal´ızis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007.

v

´ TARTALOMJEGYZEK

´ TARTALOMJEGYZEK

vi

Els˝ o fejezet

Differenci´ alegyenletek 1.1. Radioakt´ıv anyag boml´ asa (vagy szaporod´ as) y 0 (t) = k · y(t) y 0 (t) =k y(t) ln |y(t)| = k · t + ln c,

c ∈ R+

kt

c∈R

kt

c ∈ R.

|y(t)| = c · e , y(t) = c · e ,

/ exp(·)

+

´ ıt´ 1.1. All´ as. Minden olyan differenci´ alhat´ o y : R → R f¨ uggvényhez, melyre y 0 = k · y, létezik c ∈ R konstans, hogy y(t) = c · ekt ,

t ∈ R.

Bizony´ıt´ as. Legyen ϕ(t) := y(t) · e−kt . Ekkor ϕ0 (t) = y 0 (t) · e−kt − ky(t) · e−kt = ky(t) · e−kt − ky(t) · e−kt = 0, teh´ at ϕ konstans. ´ Altal´ anos´ıtva a fenti problém´ at, keress¨ uk azokat az y, az I intervallumon értelmezett differenciálható f¨ uggvényeket, melyekre teljes¨ ul, hogy y 0 (x) = f (x)y(x), (1.1) ahol f ∈ C(I). Vil´ agos, hogy ha F egy primit´ıv f¨ uggvénye f -nek (minden folytonos f¨ uggvénynek van primit´ıv f¨ uggvénye, ld. 2. félév), akkor y(x) := c · eF (x) , x ∈ I ´ ıtás bizony´ıtásával analóg módon látható, hogy csak ilyen megold´ as tetsz˝ oleges c val´ os sz´ am esetén. A fenti 1.1. All´ alak´ u megold´ asok léteznek. 1.2. P´ elda. y 0 (x) = x · y(x) A megold´ asok az 1.1. ´ abr´ an l´ athat´ ok. Kezdetiérték-feladat megold´ asa Keres¨ unk olyan differenci´ alhat´ o y : I → R f¨ uggvényt, melyre y 0 (x) = f (x) · y(x), y(x0 ) = y0 ∈ R. 1

x∈I

´ LINEARIS ´ ´ 1.2. INHOMOGEN DIFFERENCIALEGYENLET

1.1. ´ abra. y(x) = c · e

x2 2

˝ FEJEZET ELSO

c∈R

,

V´ alasszunk f -nek olyan F primit´ıv f¨ uggvényét, melyre F (x0 ) = 0, tehát x

Z F (x) :=

f (t) dt, x0

és legyen c := y0 . Ekkor y(x) = c · eF (x) = y0 · e

Rx x0

f (t) dt

j´ o megold´ as, hiszen y(x0 ) = y0 · e

Rx

0 x0

f (t) dt

= y0 .

1.3. P´ elda. ( y 0 (x) = x · y(x), y(0) = 1 Ekkor az 1.2. Példa megold´ asai k¨ oz¨ ul csak az y(x) = e

x2 2

a megoldás.

1.2. Inhomog´ en line´ aris differenci´ alegyenlet Keress¨ uk azokat az y, az I intervallumon értelmezett differenciálható f¨ uggvényeket, melyekre teljes¨ ul, hogy y 0 (x) = f (x)y(x) + g(x), ahol f, g ∈ C(I). Megszorozva az egyenlet mindkét oldalát egy tetsz˝oleges ρ differenciálható f¨ uggvénnyel, kapjuk, hogy y 0 (x)ρ(x) − ρ(x)f (x)y(x) = ρ(x)g(x). Ha elérj¨ uk, hogy ρ(x)f (x) = −ρ0 (x) legyen, akkor a kapott egyenlet [y(x)ρ(x)]0 = ρ(x)g(x) alak´ uv´ a egyszer˝ us¨ odik. Az (1.1) megold´ as´ ab´ ol kapjuk (1.2)-re, hogy ρ(x) = e−F (x) 2

(1.2)

˝ FEJEZET ELSO

´ ALASZTHAT ´ ´ VALTOZ ´ ´ U ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 1.3. SZETV O OJ

egy j´ o megold´ as, ahol F a f egy primit´ıv f¨ uggvénye. Ebb˝ol, mivel ρ · g ∈ C(I), vagyis Riemann-integr´ alhat´ o is, [y(x)ρ(x)]0 = ρ(x)g(x) Z x y(x)ρ(x) = c + ρ(t)g(t) dt x0 Z x e−F (t) g(t) dt y(x) = c · eF (x) + eF (x) x0 Z x = c · eF (x) + eF (x)−F (t) g(t) dt, x0

ahol x0 ∈ I tetsz˝ oleges. Ha kezdeti ´gy, hogy F (x0 ) = 0 legyen, vagyis R x érték is adva van, vagyis y(x0 ) = y0 , akkor válasszuk ismét F -et u F (x0 ) = x0 f (t) dt, és c := y0 . Ekkor y(x0 ) = y0 · eF (x0 ) + eF (x0 )

Z

x0

e−F (t) g(t) dt = y0 .

x0

1.4. P´ elda. y 0 (x) +

x+1 x y(x) = ·e x x

A megold´ asok az 1.2. ´ abr´ an l´ athat´ ok.

1.2. ábra. y(x) = ex + xc , 1.5. P´ elda.

(

y 0 (x) + y(x) x = y(1) = e.

x+1 x

c∈R

· ex ,

Ekkor az 1.4. Példa megold´ asai k¨ oz¨ ul csak az y(x) = ex , D(y) = (0, +∞) a megoldás.

1.3. Sz´ etv´ alaszthat´ o v´ altoz´ oj´ u differenci´ alegyenletek Keress¨ uk azokat az y : I → J intervallumon értelmezett differenciálható f¨ uggvényeket, melyekre teljes¨ ul, hogy y 0 (x) = f (x) · g(y(x)), ahol f ∈ C(I), g ∈ C(J). Tegy¨ uk fel, hogy 0 ∈ / R(g). Ekkor 3

´ ALASZTHAT ´ ´ VALTOZ ´ ´ U ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 1.3. SZETV O OJ

Ha G a

1 g

y 0 (x) = f (x). g(y(x)) Ry 1 egy primit´ıv f¨ uggvénye, vagyis G(y) = y0 g(t) dt, akkor mindkét oldalt integrálva Z

x

G(y(x)) = c +

f (t) dt. x0

Szerencsés esetben ebb˝ ol y(x) ki is fejezhet˝ o. 1.6. P´ elda. y 2 (x) · y 0 (x) = 1 − 2x A megold´ asok az 1.3. ´ abr´ an l´ athat´ ok.

1.3. ´ abra. y(x) =

√ √ 3 3 3 x − x2 + c,

4

c∈R

˝ FEJEZET ELSO

M´ asodik fejezet

T¨ obbv´ altoz´ os differenci´ alsz´ am´ıt´ as I. Eml´ ekeztet˝ o f : R2 → R f¨ uggvény grafikonja

2.1. ´ abra. Kétváltozós f¨ uggvény grafikonja Graph(f ) = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D(f ), z = f (x, y)} ⊂ R3

2.1. Parci´ alis deriv´ alt 2.1.1. f : R2 → R eset 2.1. Defin´ıci´ o (19.54). Legyen f : R2 → R, (a, b) ∈ int D(f ). Az f f¨ uggvény x szerinti vagy els˝ o v´ altoz´ o szerinti parci´ alis deriv´ altja létezik (a, b)-ben, ha ∃ lim

x→a

f (x, b) − f (a, b) f (a + h, b) − f (a, b) = lim ∈ R. h→0 x−a h

0 eppen az történik, hogy az (a, b) pont 2. koordin´ at´ aj´ at Jel¨ olés: D1 f (a, b) vagy ∂f ∂x (a, b) vagy fx (a, b) stb. Itt tulajdonk´ ler¨ ogz´ıtj¨ uk, és az ´ıgy kapott x 7→ f (x, b) egyváltozós f¨ uggvényt deriváljuk a-ban.

2.2. Defin´ıci´ o (19.54). Legyen f : R2 → R, (a, b) ∈ int D(f ). Az f f¨ uggvény y szerinti vagy m´ asodik v´ altoz´ o szerinti parci´ alis deriv´ altja létezik (a, b)-ben, ha f (a, b + h) − f (a, b) f (a, y) − f (a, b) = lim ∈ R. y→b h→0 y−b h

∃ lim

5

´ ´ 2.1. PARCIALIS DERIVALT

´ MASODIK FEJEZET

2.2. ´ abra. x szerinti parciális derivált

2.3. ´ abra. y szerinti parciális derivált 0 eppen az történik, hogy az (a, b) pont 1. koordin´ at´ aj´ at Jelölés: D2 f (a, b) vagy ∂f ∂y (a, b) vagy fy (a, b) stb. Itt tulajdonk´ ler¨ ogz´ıtj¨ uk, és az ´ıgy kapott y 7→ f (a, y) egyv´ altozós f¨ uggvényt deriváljuk b-ben.

2.3. Defin´ıci´ o. Az f : R2 → R f¨ uggvény els˝ o ill. m´ asodik parci´ alis deriv´ altf¨ uggvénye D1 f : R2 → R ill. D2 f : 2 :R →R D(D1 f ) = {(x, y) ∈ int D(f ) : ∃D1 f (x, y)} ,

(D1 f )(x, y) := D1 f (x, y)

D(D2 f ) = {(x, y) ∈ int D(f ) : ∃D2 f (x, y)} ,

(D2 f )(x, y) := D2 f (x, y)

2.4. Defin´ıci´ o (19.78). Az f : R2 → R m´ asodrend˝ u parci´ alis deriv´ altjait az els˝o ill. második parciális deriváltf¨ uggvények tov´ abbi paric´ alis deriv´ altjaib´ ol nyerj¨ uk : D11 f := D1 (D1 f ), D12 f := D1 (D2 f ), D21 f := D2 (D1 f ), D22 f := D2 (D2 f )

2.1.2. Lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ek ´ es parci´ alis deriv´ alt 2.5. Defin´ıci´ o (19.57). Az f : R2 → R f¨ uggvénynek lok´ alis minimuma ill. maximuma (lok´ alis széls˝ oértéke) van az (a, b) ∈ int D(f ) pontban, ha (a, b)-nek létezik olyan U = B((a, b), r) környezete, hogy f (x, y) ≥ f (a, b) ill. f (x, y) ≤ f (a, b) ∀(x, y) ∈ U. Az f (a, b) ∈ R sz´ am az f lok´ alis minimuma ill. maximuma (a, b)-ben. Ha f (x, y) > f (a, b) ill. f (x, y) < f (a, b) ∀(x, y) ∈ U teljes¨ ul, akkor f -nek szigor´ u lok´ alis minimuma ill. maximuma (szigor´ u lok´ alis széls˝ oértéke) van (a, b)-ben. 6

´ MASODIK FEJEZET

´ ´ 2.1. PARCIALIS DERIVALT

2.4. ábra. Lokális maximum 2.6. T´ etel (Lok´ alis széls˝ oérték sz¨ ukséges feltétele, 19.58). Ha az f : R2 → R f¨ uggvénynek az (a, b) ∈ int D(f ) pontban lok´ alis széls˝ oértéke van, és léteznek a parci´ alis deriv´ altjai (a, b)-ben, akkor D1 f (a, b) = D2 f (a, b) = 0. Bizony´ıt´ as. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy ha az f : R2 → R f¨ uggvénynek az (a, b) ∈ int D(f ) pontban lokális széls˝ oértéke van, akkor az x 7→ f (x, b) ill. y 7→ f (a, y) egyváltozós f¨ uggvényeknek is lokális széls˝oértéke van a-ban ill. b-ben. Az all´ıt´ ´ as a 2.1. és a 2.2. Defin´ıci´ okb´ ol, valamint az egyváltozós differenciálszám´ıtás keretében tanultakból ad´ odik. 2.7. P´ elda. Az f (x, y) = sgn (xy) f¨ uggvényre D1 f (0,0) = D2 f (0,0) = 0, mégsincs lokális széls˝oértéke (0,0)-ban. 2.8. P´ elda. Az f (x, y) = xy (nyeregfel¨ ulet) f¨ uggvényre D1 f (0,0) = D2 f (0,0) = 0, mégsincs lokális széls˝ oértéke (0,0)-ban.

2.5. ábra. f (x, y) = xy 2.9. T´ etel (19.59). Legyen f az A korl´ atos és z´ art halmazon értelmezett folytonos f¨ uggvény, és tegy¨ uk fel, hogy f -nek léteznek a parci´ alis deriv´ altjai int A pontjaiban. Ekkor f a legkisebb és legnagyobb értékét vagy ∂A-n veszi fel, vagy int A egy olyan pontj´ aban, ahol D1 f (a, b) = D2 f (a, b) = 0. ´ Bizony´ıt´ as. Az el˝ oz˝ o félévben l´ attuk (ld. Altal´ anos´ıtott Weierstrass-tétel), hogy f -nek van legkisebb és legnagyobb értéke A-n. A tétel ´ıgy a 2.6. Tételb˝ ol ad´ odik. 2.10. P´ elda (19.56). Az ( f (x, y) =

xy x2 +y 2 ,

0,

(x, y) 6= (0,0) (x, y) = (0,0)

f¨ uggvénynek léteznek a parci´ alis deriv´ altjai (0,0)-ban, D1 f (0,0) = D2 f (0,0) = 0, de a f¨ uggvény nem folytonos (0,0)-ban (ld. el˝ oz˝ o félév.) 7

´ ´ AG ´ 2.2. DIFFERENCIALHAT OS

´ MASODIK FEJEZET

2.1.3. f : Rp → R eset A fentiek k¨ onnyen ´ altal´ anos´ıthat´ ok p v´ altoz´ os f¨ uggvényekre. Például: 2.11. Defin´ıci´ o (19.54). Legyen f : Rp → R, a = (a1 , . . . , ap ) ∈ int D(f ), i ∈ {1, . . . , p}. Az f f¨ uggvény i. v´ altoz´ o szerinti parci´ alis deriv´ altja létezik a-ban, ha ∃ lim

t→ai

f (a1 , . . . ai−1 , t, ai+1 , . . . , ap ) − f (a1 , . . . , ap ) ∈ R. t − ai

∂f (a) vagy fx0 i (a, b) stb. Itt tulajdonképpen az történik, hogy az a pont összes koordin´ at´ aj´ at Jelölés: Di f (a) vagy ∂x i ler¨ ogz´ıtj¨ uk az i. kivételével, és az ´ıgy kapott t 7→ f (a1 , . . . ai−1 , t, ai+1 , . . . , ap ) egyváltozós f¨ uggvényt deriv´ aljuk ai -ben.

2.2. Differenci´ alhat´ os´ ag 2.2.1. Bevezet˝ o 2.12. Defin´ıci´ o. Egy f : R → R f¨ uggvény differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban, ha ∃ lim

x→a

f (x) − f (a) = f 0 (a) ∈ R x−a m

f (x) − f (a) − f 0 (a) · (x − a) =0 x→a x−a lim

(2.1)

m f (x) = f (a) + f 0 (a) · (x − a) + ε(x) · (x − a),

lim ε(x) = 0.

x→a

(x,f(x))

f(x)−f(a)

szelõ érintõ

(a,f(a))

x−a a

x

2.6. ´ abra. Egyv´ altozós f¨ uggvény deriváltja a-ban 2.13. Megjegyzés. Az y = f (a) + f 0 (a) · (x − a) a f¨ uggvény a pontbeli érint˝ ojének egyenlete. 2.14. Defin´ıci´ o (Ld. line´ aris algebra). Az ` : R2 → R (homogén) line´ aris f¨ uggvény, ha ∃α1 , α2 ∈ R, hogy `(x, y) = α1 · x + α2 · y, (Itt α1 = `(1,0), α2 = `(0,1).) 8

(x, y) ∈ R2 .

(2.2)

´ MASODIK FEJEZET


2.2.2. f : R2 → R eset 2.15. Defin´ıci´ o (19.61). Legyen f : R2 → R f¨ uggvény, (a, b) ∈ int D(f ). Azt mondjuk, hogy f differenci´ alhat´ o az (a, b) pontban, ha létezik olyan ` = `(a,b) : R2 → R lineáris f¨ uggvény, melyre f (x, y) − f (a, b) − `(x − a, y − b) = 0 (vö. (2.1)) |(x − a, y − b)| (x,y)→(a,b) lim

(2.3)

m f (x, y) = f (a, b) + `(x − a, y − b) + ε(x, y) · |(x − a, y − b)|,

lim

ε(x, y) = 0 (vö. (2.2))

(2.4)

(x,y)→(a,b)

2.16. T´ etel (19.64). Ha f differenci´ alhat´ o (a, b)-ben, akkor folytonos is (a, b)-ben. Bizony´ıt´ as. A (2.4) egyenlet alapj´ an k¨ onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy ∃ lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b), tehát f folytonos (a, b)-ben. 2.17. T´ etel (19.65). Ha f differenci´ alhat´ o (a, b)-ben, akkor f -nek léteznek a parci´ alis deriv´ altjai (a, b)-ben, és a fenti defin´ıci´ oban `(x, y) = D1 f (a, b) · x + D2 f (a, b) · y. Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk a differenci´ alhat´ os´ ag (2.3) defin´ıcióját és rögz´ıts¨ uk le y = b-t! Ekkor `(x, y) = α1 · x + α2 · y jel¨ oléssel kapjuk, hogy f (x, b) − f (a, b) − α1 · (x − a) lim = 0, x→a |x − a| amib˝ ol a 2.1. Defin´ıci´ o alapj´ an k¨ ovetkezik, hogy ∃D1 f (a, b) = α1 . A ∃D2 f (a, b) = α2 hasonlóan adódik.

2.7. ´ abra. Kétváltozós f¨ uggvény deriváltja 2.18. K¨ ovetkezm´ eny (19.66). Legyen f : R2 → R f¨ uggvény, (a, b) ∈ int D(f ). Az f pontosan akkor differenci´ alhat´ o az (a, b) pontban, ha ott léteznek a parci´ alis deriv´ altjai D1 f (a, b) és D2 f (a, b), tov´ abb´ a f (x, y) − f (a, b) − D1 f (a, b) · (x − a) − D2 f (a, b) · (y − b) =0 |(x − a, y − b)| (x,y)→(a,b) lim

(2.5)

m f (x, y) = f (a, b) + D1 f (a, b) · (x − a) + D2 f (a, b) · (y − b) + ε(x, y) · |(x − a, y − b)|,

lim

ε(x, y) = 0

(x,y)→(a,b)

2.19. Defin´ıci´ o (19.68). Ha f differenci´ alható (a, b)-ben, akkor az f 0 (a, b) := (D1 f (a, b), D2 f (a, b)) ∈ R2 vektort a f¨ uggvény (a, b)-beli deriv´ altvektor´ anak vagy gradiensének nevezz¨ uk. 9


´ MASODIK FEJEZET

2.20. T´ etel (19.69). Legyen f : R2 → R f¨ uggvény, (a, b) ∈ int D(f ), és tegy¨ uk fel, hogy a D1 f és D2 f parci´ alis deriv´ altf¨ uggvények léteznek az (a, b) pont egy k¨ ornyezetében és folytonosak (a, b)-ben. Ekkor f differenci´ alhat´ o (a, b)ben. Bizony´ıt´ as. Legyen ε > 0 r¨ ogz´ıtve. Megmutatjuk, hogy létezik δ > 0, hogy ha |(x, y) − (a, b)| < δ, akkor |f (x, y) − f (a, b) − D1 f (a, b) · (x − a) − D2 f (a, b) · (y − b)| < ε · |(x − a, y − b)|, amivel a 2.18. K¨ ovetkezmény alapj´ an az ´ all´ıt´ ast beláttuk.

2.8. ábra. A D1 f és D2 f parci´ alis deriv´ altf¨ uggvények folytonossága miatt létezik δ > 0, hogy ha |(x, y) − (a, b)| < δ, akkor |D1 f (x, y) − D1 f (a, b)| <

ε ε és |D2 f (x, y) − D2 f (a, b)| < . 2 2

(2.6)

Rögz´ıts¨ unk le egy |(x, y) − (a, b)| < δ tulajdonság´ u (x, y) pontot és alkalmazzuk az t 7→ f (x, t) f¨ uggvényre az egyv´ altoz´ os Lagrange-k¨ ozépértéktételt a [b, y] (vagy [y, b]) szakaszon! Eszerint létezik c = c(x, y) ∈ [b, y] pont, melyre f (x, y) − f (x, b) = D2 f (x, c) · (y − b). (2.7) Alkalmazva most a t 7→ f (t, b) f¨ uggvényre az egyváltozós Lagrange-középértéktételt a [a, x] (vagy [x, a]) szakaszon kapjuk, hogy létezik d = d(x, y) ∈ [a, x] pont, melyre f (x, b) − f (a, b) = D1 f (d, b) · (x − a).

(2.8)

A feltételekb˝ ol ad´ odik, hogy |(x, c) − (a, b)| < δ és |(d, b) − (a, b)| < δ is teljes¨ ul, amib˝ ol (2.6) alapj´ an |D2 f (x, c) − D2 f (a, b)| <

ε ε , és |D1 f (d, b) − D1 f (a, b)| < . 2 2

(2.9)

A (2.7), (2.8) és (2.9) felhaszn´ al´ as´ aval |f (x, y) − f (a, b) − D1 f (a, b) · (x − a) − D2 f (a, b) · (y − b)| ≤ |f (x, y) − f (x, b) − D2 f (a, b) · (y − b)| + |f (x, b) − f (a, b) − D1 f (a, b) · (x − a)| = |D2 f (x, c) · (y − b) − D2 f (a, b) · (y − b)| + |D1 f (d, b) · (x − a) − D1 f (a, b) · (x − a)| ε ε < · |y − b| + · |x − a| < ε · |(x − a, y − b)|, 2 2 amivel a bizony´ıt´ as kész. 2.21. Defin´ıci´ o. Az f : R2 → R f¨ uggvényt kétv´ altoz´ os polinomf¨ uggvénynek (vagy polinomnak ) nevezz¨ uk, ha az f (x, y) f¨ uggvényérték c · xn · y m (c ∈ R, n, m ∈ N) alak´ u tagok összegeként áll el˝o. Két kétv´ altoz´ os polinom h´ anyados´ at kétv´ altoz´ os racion´ alis t¨ ortf¨ uggvénynek nevezz¨ uk. 10

´ MASODIK FEJEZET


2.22. K¨ ovetkezm´ eny (19.70). A polinomf¨ uggvények minden¨ utt differenci´ alhat´ ok. A racion´ alis t¨ ortf¨ uggvények differenci´ alhat´ ok az értelmezési tartom´ anyuk minden pontj´ aban. 2.23. Defin´ıci´ o (19.72). Legyen (a, b) ∈ int D(f ) és f differenciálható (a, b)-ben. Ekkor az f f¨ uggvény (a, b) pontbeli érint˝ os´ıkja a z = f (a, b) + D1 f (a, b) · (x − a) + D2 f (a, b) · (y − b) ´ egyenlet˝ u s´ık. Atrendezve, 0 = D1 f (a, b) · (x − a) + D2 f (a, b) · (y − b) + (−1)(z − f (a, b)), teh´ at az érint˝ os´ık az R3 tér egy (a, b, f (a, b)) ponton átmen˝o (D1 f (a, b), D2 f (a, b), −1) normálvektor´ u s´ıkja.

2.9. ´ abra. Az f (x, y) = x2 + y 2 + 3 f¨ uggvény egy érint˝os´ıkja 2.24. Megjegyzés. A deriv´ alt defin´ıci´ oj´ ab´ ol adódik, hogy az érint˝os´ık elég közel” van a f¨ uggvény grafikonj´ ahoz, ” hiszen |f (x, y) − (f (a, b) + D1 f (a, b) · (x − a) + D2 f (a, b) · (y − b))| = 0, lim |(x − a, y − b)| (x,y)→(a,b) ahol a sz´ aml´ al´ oban az f (x, y) és az érint˝ os´ık megfelel˝o pontjának távolsága szerepel.

2.2.3. Ir´ anymenti deriv´ alt, Lagrange-k¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etel 2.25. Defin´ıci´ o (19.74). Legyen v = (v1 , v2 ) egy egységvektor, vagyis q |v| = v12 + v22 = 1. Az f : R2 → R f¨ uggvény (a, b) ∈ int D(f ) pontbeli v irány´ u ir´ anymenti deriv´ altja létezik, ha ∃ lim

t→0

f ((a, b) + t · (v1 , v2 )) − f (a, b) f (a + tv1 , b + tv2 ) − f (a, b) = lim ∈ R. t→0 t t

eppen az történik, hogy a t 7→ f ((a, b) + t · (v1 , v2 )) egyv´ altoz´ os Jel¨ olés: Dv f (a, b) vagy ∂f ∂v (a, b). Itt tulajdonk´ f¨ uggvényt deriv´ aljuk 0-ban. 2.26. Megjegyzés (19.76). A parci´ alis deriv´ altak valójában speciális iránymenti deriváltak: D1 f (a, b) = D(1,0) f (a, b),

D2 f (a, b) = D(0,1) f (a, b)

2.27. T´ etel (19.75). Ha egy f : R2 → R f¨ uggvény differenci´ alhat´ o az (a, b) ∈ int D(f ) pontban, akkor ebben a pontban létezik minden v = (v1 , v2 ), |v| = 1 ir´ any menti deriv´ altja Dv f (a, b), tov´ abb´ a Dv f (a, b) = hf 0 (a, b), vi = h(D1 f (a, b), D2 f (a, b)) , (v1 , v2 )i = D1 f (a, b) · v1 + D2 f (a, b) · v2 11


´ MASODIK FEJEZET

2.10. ´ abra. Iránymenti derivált Bizony´ıt´ as. A bizony´ıt´ asban az egyszer˝ uség kedvéért (a, b) helyett ´ırjunk a-t, (x, y) helyett pedig x-et. Ekkor a 2.18. K¨ ovetkezmény alapj´ an f differenci´ alhat´ osága a-ban azt jelenti, hogy létezik olyan ε f¨ uggvény, melyre f (x) = f (a) + hf 0 (a), x − ai + ε(x) · |x − a|,

lim ε(x) = 0.

x→a

Írjunk x helyébe a + t · v-t! Ekkor f (a + t · v) = f (a) + hf 0 (a), t · vi + ε(a + t · v) · |t| · |v|. Mivel a skal´ aris szorz´ as line´ aris, valamint |v| = 1, ezért ebb˝ol

Elvégezve a limt→0

f (a + t · v) − f (a) = hf 0 (a), vi ± ε(a + t · v). t hat´ ar´ atmenetet kapjuk, hogy

(2.10)

Dv f (a) = hf 0 (a), vi.

2.28. P´ elda. Olyan f¨ uggvényre, amelynek minden v irány´ u deriváltja létezik a (0,0)-ban, de mégcsak nem is folytonos a (0,0)-ban, ld. 2.11. ´ abra.

2.11. ´ abra. f (x, y) = 1, (x, y) ∈ Γ,

f (x, y) = 0, (x, y) ∈ / Γ.

2.29. Defin´ıci´ o. Legyenek a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ∈ R2 pontok a s´ıkon. Az [a, b] szakasz az [a, b] := {a + t · (b − a) : t ∈ [0,1]} = {(1 − t) · a + t · b : t ∈ [0,1]} ponthalmaz. 12

´ MASODIK FEJEZET


2.30. T´ etel (Lagrange-k¨ ozépértéktétel, 19.77). Legyen az f : R2 → R f¨ uggvény differenci´ alhat´ o az [a, b] szakasz 2 pontjaiban, a, b ∈ R . Ekkor (a) az F (t) := f (a + t · (b − a)), t ∈ [0,1] f¨ uggvény differenci´ alhat´ o [0,1]-en és F 0 (t) = hf 0 (a + t · (b − a)), b − ai,

t ∈ [0,1];

(b) létezik olyan c ∈ [a, b] pont, melyre f (b) − f (a) = hf 0 (c), b − ai = D1 f (c) · (b1 − a1 ) + D2 f (c) · (b2 − a2 ). Bizony´ıt´ as. (a) Legyen t ∈ [0,1] r¨ ogz´ıtve. Azt kell belátnunk, hogy F (t + h) − F (t) = hf 0 (a + t · (b − a)), b − ai. h→0 h

∃ lim

Defin´ıci´ o szerint F (t + h) = f (a + (t + h) · (b − a)) = f (a + t · (b − a) + h · (b − a)). Jelölje a ˜ := a + t · (b − a), v := b − a. Ekkor a bel´ atand´ o´ all´ıt´ as ∃ lim

h→0

f (˜ a + h · v) − f (˜ a) = hf 0 (˜ a), vi, h

ami ad´ odik a 2.27. Tétel bizony´ıt´ as´ aban szerepl˝o (2.10) egyenl˝oségb˝ol, az ott látottakkal teljesen anal´ og m´ odon. (K¨ onnyen meggondolhat´ o, hogy a bizony´ıt´ as a |v| = 1 feltétel nélk¨ ul is m˝ uködik.) (b) Az (a) pont jel¨ olésével f (b) = F (1), f (a) = F (0). Mivel F differenciálható [0,1]-en, ezért az egyváltoz´ os Lagrangek¨ ozépértéktétel szerint létezik u ∈ (0,1), melyre f (b) − f (a) =

F (1) − F (0) = F 0 (u) = hf 0 (a + u · (b − a)), b − ai 1−0

az (a) pont alapj´ an. Ebb˝ ol c := a + u · (b − a) ∈ [a, b] jelöléssel következik az áll´ıtás.

2.2.4. f : Rp → R eset K¨ onnyen meggondolhat´ o, hogy fentiek hogyan általános´ıthatók a p változós esetre. 2.31. Defin´ıci´ o (Ld. line´ aris algebra). Az ` : Rp → R (homogén) line´ aris f¨ uggvény, ha ∃α1 , . . . , αp ∈ R, hogy `(x) = α1 · x1 + · · · + αp · xp ,

x = (x1 , . . . , xp ) ∈ Rp .

(Itt α1 = `(1,0, . . . ,0), . . . , αp = `(0, . . . ,0,1).) 2.32. Defin´ıci´ o (19.61). Legyen f : Rp → R f¨ uggvény, a = (a1 , . . . , ap ) ∈ int D(f ). Azt mondjuk, hogy f differenci´ alhat´ o az a pontban, ha létezik olyan ` = à : Rp → R lineáris f¨ uggvény, melyre f (x) − f (a) − `(x − a) =0 x→a |x − a| lim

m f (x) = f (a) + `(x − a) + ε(x) · |x − a|, lim ε(x) = 0 x→a

p

2.33. T´ etel (19.64). Ha f : R → R differenci´ alhat´ o a-ban, akkor folytonos is a-ban. 2.34. T´ etel (19.65). A fenti defin´ıci´ oban `(x) = D1 f (a) · x1 + · · · + Dp f (a) · xp . 2.35. Defin´ıci´ o (19.68). Ha f differenci´ alható a-ban, akkor az f 0 (a) := (D1 f (a), . . . , Dp f (a)) ∈ Rp vektort a f¨ uggvény a-beli deriv´ altvektor´ anak vagy gradiensének nevezz¨ uk. 13

´ 2.3. A YOUNG-TETEL

´ MASODIK FEJEZET

2.36. T´ etel (19.69). Legyen f : Rp → R f¨ uggvény, a ∈ int D(f ), és tegy¨ uk fel, hogy a D1 f, . . . , Dp f parci´ alis deriv´ altf¨ uggvények mind értelmezve vannak az a pont egy k¨ ornyezetében és folytonosak a-ban. Ekkor f differenci´ alhat´ o a-ban. 2.37. Defin´ıci´ o (19.72). Legyen a ∈ int D(f ) és f differenciálható a-ban. Ekkor az f f¨ uggvény a pontbeli érint˝ o hipers´ıkja a xp+1 = f (a) + D1 f (a) · (x1 − a1 ) + · · · + Dp f (a) · (xp − ap ) ´ egyenlet˝ u hipers´ık. Atrendezve, 0 = D1 f (a) · (x1 − a1 ) + · · · + Dp f (a) · (xp − ap ) + (−1)(xp+1 − f (a)), teh´ at az érint˝ o hipers´ık az Rp+1 tér egy (a1 , . . . , ap , f (a)) ponton átmen˝o (D1 f (a), . . . , Dp f (a), −1) normálvektor´ u hipers´ıkja. 2.38. Defin´ıci´ o (19.74). Legyen v ∈ Rp egy egységvektor, vagyis q |v| = v12 + · · · + vp2 = 1. Az f : Rp → R f¨ uggvény a ∈ int D(f ) pontbeli v irány´ u ir´ anymenti deriv´ altja létezik, ha ∃ lim

t→0

Jelölés: Dv f (a) vagy 0-ban.

∂f ∂v (a).

f (a + t · v) − f (a) ∈ R. t

Itt tulajdonképpen az történik, hogy a t 7→ f (a + t · v) egyváltozós f¨ uggvényt deriv´ aljuk

2.39. T´ etel (19.75). Ha egy f : Rp → R f¨ uggvény differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban, akkor ebben a pontban létezik minden v ∈ Rp , |v| = 1 ir´ any menti deriv´ altja Dv f (a), tov´ abb´ a Dv f (a) = hf 0 (a), vi = h(D1 f (a), . . . , Dp f (a)) , (v1 , . . . , vp )i = D1 f (a) · v1 + · · · + Dp f (a) · vp 2.40. Defin´ıci´ o. Legyenek a, b ∈ Rp pontok a s´ıkon. Az [a, b] (´ altal´ anos´ıtott) szakasz az [a, b] := {a + t · (b − a) : t ∈ [0,1]} = {(1 − t) · a + t · b : t ∈ [0,1]} ponthalmaz. 2.41. T´ etel (Lagrange-k¨ ozépértéktétel, 19.77). Legyen az f : Rp → R f¨ uggvény differenci´ alhat´ o az [a, b] szakasz p pontjaiban, a, b ∈ R . Ekkor (a) az F (t) := f (a + t · (b − a)), t ∈ [0,1] f¨ uggvény differenci´ alhat´ o [0,1]-en és F 0 (t) = hf 0 (a + t · (b − a)), b − ai,

t ∈ [0,1];

(b) létezik olyan c ∈ [a, b] pont, melyre f (b) − f (a) = hf 0 (c), b − ai = D1 f (c) · (b1 − a1 ) + · · · + Dp f (c) · (bp − ap ).

2.3. A Young-t´ etel Az al´ abbi tétel arr´ ol sz´ ol, hogy mikor cserélhet˝ o fel az egyes változók szerinti deriválás sorrendje. 2.42. T´ etel (Young, 19.80). Ha az f : R2 → R f¨ uggvény D1 f és D2 f parci´ alis deriv´ altf¨ uggvényei értelmezve vannak az (a, b) ∈ int D(f ) pont egy k¨ ornyezetében és differenciálhatók az (a, b) pontban, akkor D12 f (a, b) = D21 f (a, b).

14

´ MASODIK FEJEZET

´ 2.3. A YOUNG-TETEL

2.12. ábra. Lemma a Young-tételhez 2.43. Lemma (19.81). 1. Ha a D1 f parci´ alis deriv´ altf¨ uggvény értelmezve van az (a, b) ∈ int D(f ) pont egy k¨ ornyezetében és differenci´ alhat´ o az (a, b) pontban, akkor f (a + h, b + h) − f (a + h, b) − f (a, b + h) + f (a, b) = D21 f (a, b). h→0 h2 lim

(2.11)

2. Ha a D2 f parci´ alis deriv´ altf¨ uggvény értelmezve van az (a, b) ∈ int D(f ) pont egy k¨ ornyezetében és differenci´ alhat´ o az (a, b) pontban, akkor lim

h→0

f (a + h, b + h) − f (a + h, b) − f (a, b + h) + f (a, b) = D12 f (a, b). h2

(2.12)

Bizony´ıt´ as. Az 1. pontot bizony´ıtjuk, a 2. teljesen hasonlóan megy. A differenciálhatóság 2.18. Következménybeli defin´ıci´ oj´ at fel´ırva a D1 f¨ uggvényre (a, b)-ben kapjuk, hogy D1 f (x, y) = D1 f (a, b) + D11 f (a, b) · (x − a) + D21 f (a, b) · (y − b) + ε(x, y) · |(x − a, y − b)|,

(2.13)

ahol lim(x,y)→(a,b) ε(x, y) = 0. R¨ ogz´ıtett h > 0 esetén jelölje uh (x) := f (x, b + h) − f (x, b)

(2.14)

egyv´ altoz´ os f¨ uggvényt. Ekkor a lemma ´ all´ıtásában szerepl˝o kifejezésre f (a + h, b + h) − f (a + h, b) − f (a, b + h) + f (a, b) = uh (a + h) − uh (a).

(2.15)

Mivel f az els˝ o v´ altoz´ oja szerint differenci´ alható (a, b) egy környezetében, ezért kis h esetén uh := u is differenci´ alhat´ o az a pont egy k¨ ornyezetében. Alkalmazzuk egy ilyen u-ra az egyváltozós Lagrange-középértéktételt [a, a + h]-n! Eszerint létezik α = α(h) ∈ [a, a + h], melyre u(a + h) − u(a) = u0 (α) · h = (D1 f (α, b + h) − D1 f (α, b)) · h

(2.16)

az u (2.14) defin´ıci´ oja alapj´ an. Most ´ırjuk fel a (2.13) egyenl˝oséget (x, y) helyett (α, b + h)-ra ill. (α, b)-re ! Ebb˝ ol D1 f (α, b + h) = D1 f (a, b) + D11 f (a, b) · (α − a) + D21 f (a, b) · h + ε(α, b + h) · |(α − a, h)|; D1 f (α, b) = D1 f (a, b) + D11 f (a, b) · (α − a) + D21 f (a, b) · 0 + ε(α, b) · |α − a|.

(2.17)

¨ Osszevetve a (2.15), (2.16) és (2.17) egyenl˝oségeket kapjuk, hogy f (a + h, b + h) − f (a + h, b) − f (a, b + h) + f (a, b) u(a + h) − u(a) D1 f (α, b + h) − D1 f (α, b) = = 2 2 h h h |(α − a, h)| |α − a| = D21 f (a, b) + ε(α, b + h) · − ε(α, b) · . h h 15

´ MASODIK FEJEZET

2.4. A TAYLOR-POLINOM

Mivel |α−a| ≤ h, ezért az utols´ o két tagban a t¨ ortek korlátosak, h → 0 esetén α = α(h) → a, ´ıgy lim(x,y)→(a,b) ε(x, y) = = 0 miatt limh→0 ε(α, b + h) = limh→0 ε(α, b) = 0. Ebb˝ol f (a + h, b + h) − f (a + h, b) − f (a, b + h) + f (a, b) = D21 f (a, b), h→0 h2 lim

és ezt kellett bel´ atnunk. Bizony´ıt´ as. (Young-tételé) Mivel a Young-tétel feltételei alapján a Lemma mindkét pontjának feltétele teljes¨ ul, ezért sz¨ ukségképpen D12 f (a, b) = D21 f (a, b). 2.44. P´ elda. A Young-tétel nem teljes¨ ul az al´ abbi f¨ uggvényre : ( 2 2 xy xx2 −y (x, y) 6= (0,0), 2, +y f (x, y) = 0, (x, y) = (0,0). 2.45. Defin´ıci´ o (18.28). Legyen f differenci´ alható az (a, b) ∈ R2 pont egy környezetében. Ha f parciális deriv´ altf¨ uggvényei differenci´ alhat´ ok az (a, b) pontban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenci´ alhat´ o az (a, b) pontban. A defin´ıci´ ob´ ol nyilv´ anval´ o, hogy ha f kétszer differenciálható (a, b)-ben, akkor teljes¨ ul rá a Young-tétel.

2.4. A Taylor-polinom 2.46. Defin´ıci´ o. Legyen az f : R2 → R f¨ uggvény differenciálható az (a, b) ∈ int D(f ) pontban. Ekkor az f f¨ uggvény (a, b) pontbeli 1. Taylor-polinomja f T1,(a,b) (x, y) = f (a, b) + D1 f (a, b) · (x − a) + D2 f (a, b) · (y − b)

az a legfeljebb els˝ ofok´ u polinomf¨ uggvény, melynek grafikonja az érint˝os´ık. A (2.5) képlet alapj´ an lim (x,y)→(a,b)

f f (x, y) − T1,(a,b) (x, y)

|(x − a, y − b)|

= 0,

amit u ´gy is mondhatunk, hogy az 1. Taylor-polinom els˝ orendben k¨ ozel´ıti f -et, mivel a nevez˝oben az (x − a, y − b) vektor hossz´ anak els˝ o hatv´ anya szerepel. 2.47. Defin´ıci´ o (19.92). Legyen az f : R2 → R f¨ uggvény kétszer differenciálható az (a, b) ∈ int D(f ) pontban. Ekkor az f f¨ uggvény (a, b) pontbeli 2. Taylor-polinomja f T2,(a,b) (x, y) = f (a, b) + D1 f (a, b) · (x − a) + D2 f (a, b) · (y − b)+

+

1 D11 f (a, b) · (x − a)2 + D21 f (a, b) · (x − a) · (y − b) + D12 f (a, b) · (x − a) · (y − b) + D22 f (a, b) · (y − b)2 2!

egy legfeljebb m´ asodfok´ u polinomf¨ uggvény. Jel¨ olés. Legyen az f : R2 → R f¨ uggvény kétszer differenciálható az (a, b) ∈ int D(f ) pontban. Jelölje d1 f (a, b) : 2 2 2 : R → R és d f (a, b) : R → R az al´ abbi (kétv´ altozós) f¨ uggvényeket: d1 f (a, b) (x, y) := D1 f (a, b) · x + D2 f (a, b) · y; d2 f (a, b) (x, y) := D11 f (a, b) · x2 + D21 f (a, b) · x · y + D12 f (a, b) · x · y + D22 f (a, b) · y 2 = D11 f (a, b) · x2 + 2D21 f (a, b) · x · y + D22 f (a, b) · y 2 16

´ MASODIK FEJEZET

2.4. A TAYLOR-POLINOM

Ezzel a jel¨ oléssel 1 2 (d f (a, b))(x − a, y − b) 2! Ez nagyon hasonl´ıt az f : R → R f¨ uggvények 2. Taylor-polinomjának alakjához : 1 f T2,a (x) = f (a) + f 0 (a) · (x − a) + f 00 (a) · (x − a)2 . 2 Az al´ abbiakban megmutatjuk, hogy a 2. Taylor-polinom m´ asodrendben k¨ ozel´ıti a f¨ uggvényt. f (x, y) = f (a, b) + (d1 f (a, b))(x − a, y − b) + T2,(a,b)

(2.18)

2.48. T´ etel (19.91). f (a, b) = Di f (a, b), Di T2,(a,b)

f (a, b) = f (a, b), T2,(a,b)

f (a, b) = Dij f (a, b), i, j = 1,2. Dij T2,(a,b)

f Tov´ abb´ a, ha p olyan legfeljebb m´ asodfok´ u polinomf¨ uggvény, melyre a fentiek teljes¨ ulnek, akkor p = T2,(a,b) .

Bizony´ıt´ as. A tétel els˝ o része egyszer˝ u sz´ amolással ellen˝orizhet˝o. A második részt nem bizony´ıtjuk. 2.49. T´ etel (19.97). Legyen az f : R2 → R f¨ uggvény kétszer differenci´ alhat´ o az (a, b) ∈ int D(f ) pontban. Ekkor 1. lim

f f (x, y) − T2,(a,b) (x, y)

(x,y)→(a,b)

|(x − a, y − b)|2

= 0,

(2.19)

f vagyis T2,(a,b) m´ asodrendben k¨ ozel´ıti a f¨ uggvényt. f 2. Ha p olyan legfeljebb m´ asodfok´ u polinomf¨ uggvény, melyre (2.19) teljes¨ ul, akkor p = T2,(a,b) . f Bizony´ıt´ as. Az 1. pontot bizony´ıtjuk, a 2-t nem. Jelölje g(x, y) := f (x, y) − T2,(a,b) (x, y). A 2.48. Tétel szerint

g(a, b) = 0, Di g(a, b) = 0, Dij g(a, b) = 0,

i, j = 1,2.

(2.20)

f T2,(a,b)

Mivel f és differenci´ alhat´ o az (a, b) egy környezetében, ´ıgy g is. Legyen (x, y) ebb˝ol a környezetb˝ ol, és alkalmazzuk g-re a 2.30. Lagrange-k¨ ozépértéktételt az [(a, b), (x, y)] szakaszon ! Eszerint létezik c = (c1 , c2 ) ∈ ∈ [(a, b), (x, y)], melyre g(x, y) = g(x, y) − g(a, b) = D1 g(c) · (x − a) + D2 g(c) · (y − b).

(2.21)

f T2,(a,b)

Mivel f kétszer differenci´ alhat´ o (a, b)-ben, pedig akárhányszor differenciálható a s´ıkon (hiszen polinom), ezért g is kétszer differenci´ alhat´ o (a, b)-ben. Defin´ıció szerint és (2.20) alapján D1 g(x, y) = D1 g(a, b) + D11 g(a, b) · (x − a) + D21 g(a, b) · (y − b) + ε1 (x, y) · |(x − a, y − b)| = ε1 (x, y) · |(x − a, y − b)| D2 g(x, y) = D2 g(a, b) + D12 g(a, b) · (x − a) + D22 g(a, b) · (y − b) + ε2 (x, y) · |(x − a, y − b)| = ε2 (x, y) · |(x − a, y − b)|. Ezeket fel´ırva (x, y) helyett c = (c1 , c2 )-re kapjuk, hogy D1 g(c) = ε1 (c) · |(c1 − a, c2 − b)|,

D2 g(c) = ε2 (c) · |(c1 − a, c2 − b)|.

A kapott kifejezéseket (2.21)-be helyettes´ıtve g(x, y) = ε1 (c) · |(c1 − a, c2 − b)| · (x − a) + ε2 (c) · |(c1 − a, c2 − b)| · (y − b). A c pont v´ alaszt´ asa miatt (x, y) → (a, b) esetén c = (c1 , c2 ) → (a, b). Továbbá, nyilván |(c1 − a, c2 − b)| ≤ |(x − − a, y − b)|, |x − a| ≤ |(x − a, y − b)| és |y − b| ≤ |(x − a, y − b)|. Ezek alapján lim (x,y)→(a,b)

f f (x, y) − T2,(a,b) (x, y)

|(x − a, y − b)|2

g(x, y) |(x − a, y − b)|2 |(c1 − a, c2 − b)| · (x − a) |(c1 − a, c2 − b)| · (y − b) = lim ε1 (c) · + ε (c) · 2 |(x − a, y − b)|2 |(x − a, y − b)|2 (x,y)→(a,b) =

lim

(x,y)→(a,b)

= 0, mivel az utols´ o két tagban a t¨ ortek korl´ atosak és lim(x,y)→(a,b) ε1 (x, y) = lim(x,y)→(a,b) ε2 (x, y) = 0. 17

´ ´ ´ FUGGV ´ ´ O ˝ ERT ´ EKE ´ ¨ 2.5. KETSZER DIFFERENCIALHAT O ENY SZELS

´ MASODIK FEJEZET

2.5. K´ etszer differenci´ alhat´ o fu eny sz´ els˝ o´ ert´ eke, konvexit´ asa ¨ ggv´ A tov´ abbiakban célunk, hogy - az egyv´ altoz´ os esethez hasonlóan - elégséges feltételt adjunk kétszer differenci´ alhat´ o f¨ uggvények lok´ alis széls˝ oértékének létezésére ill. konvexitására. Ehhez sz¨ ukség¨ unk lesz a kvadratikus alak fogalm´ ara. 2.50. Defin´ıci´ o. Legyen q : R2 → R polinom. Azt mondjuk, hogy q kvadratikus alak, ha q(x, y) = c11 x2 + c21 xy + c12 yx + c22 y 2 .

(2.22)

2.13. ´ abra. Pozit´ıv definit kvadratikus alak, q(x, y) = 21 (x2 + y 2 ) 2.51. P´ elda. Kvadratikus alakra : f kétszer differenciálható (a, b)-ben, q = d2 f (a, b) d2 f (a, b) (x, y) = D11 f (a, b) · x2 + D21 f (a, b) · x · y + D12 f (a, b) · x · y + D22 f (a, b) · y 2 .

(2.23)

2.52. Defin´ıci´ o (19.98). Egy q : R2 → R kvadratikus alak pozit´ıv ill. negat´ıv definit, ha minden (x, y) ∈ R2 \{(0,0)} esetén q(x, y) > 0 ill. q(x, y) < 0. A kvadratikus alakot pozit´ıv ill. negat´ıv szemidefinitnek h´ıvjuk, ha az el˝obbiekben egyenl˝ oség is meg van engedve. Egy q : R2 → R kvadratikus alak indefinit, ha felvesz pozit´ıv és negat´ıv értékeket is.

2.14. ´ abra. Indefinit kvadratikus alak, q(x, y) = 21 (y 2 − x2 ) 2.53. Megjegyzés. A fenti defin´ıci´ oban a feltételek teljes¨ ulését elég egy abszol´ ut érték˝ u (hossz´ u) (x, y) ∈ R2 vektorokra megk¨ ovetelni. Tov´ abb´ a, line´ aris algebr´ ab´ ol ismeretes, hogy egy q kvadratikus alak definitsége a (2.22) egyenletben szerepl˝o egy¨ utthat´ okb´ ol képezett c11 c21 C := c12 c22 18

´ MASODIK FEJEZET


m´ atrix definitségével egyezik meg. Ha det C > 0 és c11 > 0, akkor C pozit´ıv definit, ha det C > 0 és c11 < 0, akkor C negat´ıv definit. A c21 = c12 (szimmetrikus mátrix) esetben ha det C = 0, akkor C (pozit´ıv vagy negat´ıv) szemidefinit, ha det C < 0, akkor C indefinit. (Ebben az esetben a det C > 0, c11 = 0 nem fordulhat el˝o.) Az al´ abbi tétel arr´ ol sz´ ol, hogy ha egy f¨ uggvény kétszer differenciálható (a, b)-ben, akkor a d2 f (a, b) kvadratikus alak definitsége hasonl´ o szerepet j´ atszik a lokális széls˝oérték létezésében, mint egyváltozós f¨ uggvények esetén az adott pontbeli m´ asodik deriv´ alt el˝ ojele. 2.54. T´ etel (Lok´ alis széls˝ oérték létezése, 19.99). Legyen f : R2 → R kétszer differenci´ alhat´ o az (a, b) ∈ int D(f ) pontban, és tegy¨ uk fel, hogy D1 f (a, b) = D2 f (a, b) = 0. 1. Ha f -nek (a, b)-ben lok´ alis minimuma ill. maximuma van, akkor a (2.23)-ban defini´ alt d2 f (a, b) kvadratikus alak pozit´ıv ill. negat´ıv szemidefinit. 2. Ha a (2.23)-ban defini´ alt d2 f (a, b) kvadratikus alak pozit´ıv ill. negat´ıv definit, akkor f -nek (szigor´ u) lok´ alis minimuma ill. maximuma van (a, b)-ben. Bizony´ıt´ as. A bizony´ıt´ as elején gondoljuk meg, hogy a q kvadratikus alak (2.22) defin´ıciója alapján tetsz˝ oleges t ∈ R val´ os sz´ amra q(t · x) = t2 · q(x), x ∈ R2 . (2.24) A bizony´ıt´ as sor´ an az egyszer˝ uség kedvéért (a, b) helyett a-t, (x, y) helyett pedig x-et ´ırunk. Mindkét pont bizony´ıt´ asa a (2.19) Taylor-formul´ an alapul, mely a (2.18) jelölés valamint a D1 f (a, b) = D2 f (a, b) = 0 feltétel felhaszn´ al´ as´ aval az al´ abbi alakot ¨ olti: f (x) − f (a) − 21 d2 f (a)(x − a) = 0. (2.25) lim x→a |x − a|2 Mindkét pontban a lok´ alis minimum esetét bizony´ıtjuk, a lokális maximum esete hasonlóan megy. 1. Indirekt tegy¨ uk fel, hogy d2 f (a) nem pozit´ıv szemidefinit, tehát található olyan x0 ∈ R2 , |x0 | = 1 vektor, melyre d2 f (a)(x0 ) < 0. Legyen d2 f (a)(x0 ) ε := − > 0. 2 A (2.25) hat´ arérték alapj´ an ε-hoz létezik δ1 > 0, hogy ha 0 < |x − a| < δ1 , akkor f (x) − f (a) − 1 d2 f (a)(x − a) d2 f (a)(x0 ) 2 < ε = − . (2.26) |x − a|2 2 M´ asrészt, mivel f -nek a-ban lok´ alis minimuma van, ezért létezik olyan δ2 > 0, hogy ha |x − a| < δ2 , akkor f (x) ≥ ≥ f (a). Legyen δ := min{δ1 , δ2 } és 0 < t < δ tetsz˝oleges. Ekkor az x := a + t · x0 pontra |x − a| = t < δ teljes¨ ul. Erre fel´ırva (2.26)-ot kapjuk, hogy 2 f (a + t · x0 ) − f (a) − 1 d2 f (a)(t · x0 ) < − d f (a)(x0 ) · t2 . 2 2 Ebb˝ ol, felhaszn´ alva (2.24)-et, 1 d2 f (a)(x0 ) 2 f (a + t · x0 ) − f (a) < t2 d2 f (a)(x0 ) − · t = 0, 2 2 ami ellentmond f (a + t · x0 ) ≥ f (a)-nak. 2. Tegy¨ uk fel, hogy a d2 f (a) kvadratikus alak pozit´ıv definit. Mivel d2 f (a) egy (kétváltozós) polinom, ´ıgy folytonos az egész s´ıkon, ezért az (´ altal´ anos´ıtott) Weierstrass-tétel szerint az S := x ∈ R2 : |x| = 1 kompakt halmazon van minimuma – ez legyen m := minS d2 f (a) > 0, a feltétel alapján. A (2.25) határérték alapj´ an ε := m -h¨ o z l´ e tezik olyan δ > 0, hogy ha 0 < |x − a| < δ, akkor 2 f (x) − f (a) − 1 d2 f (a)(x − a) m 2 <ε= , 2 |x − a| 2 19


´ MASODIK FEJEZET

amib˝ ol −f (x) + f (a) <

1 m · |x − a|2 − d2 f (a)(x − a). 2 2

A (2.24) felhaszn´ al´ as´ aval, m defin´ıci´ oja szerint 2

2

2

d f (a)(x − a) = |x − a| · d f (a)

x−a |x − a|

≥ m · |x − a|2 .

Így −f (x) + f (a) <

m 1 m 1 · |x − a|2 − d2 f (a)(x − a) ≤ · |x − a|2 − m · |x − a|2 = 0, 2 2 2 2

vagyis ha 0 < |x − a| < δ, akkor f (a) < f (x), tehát f -nek szigor´ u lokális minimuma van a-ban. 2.55. Megjegyzés. A 2.53. Megjegyzés alapj´ an d2 f (a, b) definitsége eldönthet˝o a

D11 f (a, b) D21 f (a, b) D12 f (a, b) D22 f (a, b)

(2.27)

(a feltételek alapj´ an szimmetrikus) m´ atrix definitsége alapján. 2.56. Megjegyzés. A fenti tétel egyik ´ all´ıt´ asa sem megford´ıtható ! (Ld. egyváltozós eset.) Térj¨ unk most r´ a a konvexit´ asra ! 2.57. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy a G ⊂ R2 halmaz konvex, ha minden olyan szakaszt tartalmaz, melynek végpontjai G-ben vannak.

2.15. ´ abra. Kétv´ altoz´ os konvex f¨ uggvény, f (x, y) = 12 (x2 + y 2 ) 2.58. Defin´ıci´ o (19.101). Az f : R2 → R f¨ uggvény konvex (konk´ av) a G ⊂ D(f ) konvex halmazon, ha minden x1 , x2 ∈ G esetén az egyv´ altoz´ os t 7→ f ((1 − t)x1 + tx2 ) f¨ uggvény konvex (konkáv) [0,1]-en, vagyis minden x1 , x2 ∈ G esetén f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (≥)(1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ), ∀t ∈ [0,1] 2.59. T´ etel (19.103). Legyen f : R2 → R kétszer differenci´ alhat´ o a G ⊂ D(f ) konvex ny´ılt halmazon. Az f f¨ uggvény akkor és csak akkor konvex (konk´ av) G-n, ha minden (a, b) ∈ G esetén a d2 f (a, b) kvadratikus alak pozit´ıv (negat´ıv) szemidefinit. Bizony´ıt´ as. Nem bizony´ıtjuk – a 2.54. Tétel bizony´ıtásában használt technikák felhasználásával igazolható. 20

´ MASODIK FEJEZET

2.6. F : RP → R ESET

2.6. f : Rp → R eset Az eddigiekben t´ argyaltak megfelel˝ oen ´ altalános´ıthatók R2 helyett Rp -re (p ≥ 2). 2.60. Defin´ıci´ o (19.85). Egy f : Rp → R f¨ uggvény a ∈ int D(f ) pontbeli k-adrend˝ u parci´ alis deriv´ altjai, Di1 ...ik f (a), 1 ≤ i1 , . . . , ik ≤ p (k ≥ 2) u ´gy kaphat´ ok, hogy a k − 1-edrend˝ u parciális deriváltf¨ uggvényeket: Di1 ...ik−1 f , 1 ≤ ≤ i1 , . . . , ik−1 ≤ p deriv´ aljuk valamelyik v´ altozó szerint a-ban. Egy f : Rp → R f¨ uggvény a pontbeli kétszeres differenciálhatóságát ugyan´ ugy definiáljuk, mint p = 2 esetben (differenci´ alhat´ o a egy k¨ ornyezetében, és minden parciális deriváltja differenciálható a-ban.) 2.61. T´ etel (Young-tétel, 19.84). Ha az f : Rp → R f¨ uggvény kétszer differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban, akkor Dij f (a) = Dji f (a), i, j = 1, . . . , p. 2.62. Defin´ıci´ o. Legyen az f : Rp → R f¨ uggvény kétszer differenciálható az a ∈ int D(f ) pontban. Az   D11 f (a) D21 f (a) . . . Dp1 f (a)  D12 f (a) D22 f (a) . . . Dp2 f (a)    f 00 (a) :=   .. .. .. ..   . . . . D1p f (a) D2p f (a) . . .

Dpp f (a)

p × p m´ atrix neve Hesse-m´ atrix. Az (´ altal´ anos´ıtott) Young-tétel alapj´ an a Hesse-mátrix szimmetrikus. A (2.27) képletben szerepl˝o m´ atrix egy f : : R2 → R f¨ uggvény Hesse-m´ atrixa. Az el˝ oz˝ o alfejezet alapján a Hesse-mátrix definitségéb˝ol következtethet¨ unk lok´ alis széls˝ oérték létezésére, illetve a f¨ uggvény konvexitására/konkávitására. Ezek a tételek is megfelel˝o módon ´ altal´ anos´ıthat´ ok p v´ altoz´ os f¨ uggvényekre. A k¨ ovetkez˝ okben a Taylor-polinommal kapcsolatban tanultak általános´ıtásáról lesz szó. 2.63. Defin´ıci´ o (19.86). Egy f : Rp → R f¨ uggvényr˝ol azt mondjuk, hogy k-szor differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) (k ≥ 3) pontban, ha k − 1-szer differenci´ alható az a pont egy környezetében, továbbá minden k − 1-edrend˝ u parci´ alis deriv´ altja differenci´ alhat´ o a-ban. 2.64. Defin´ıci´ o (19.92). Legyen az f : Rp → R f¨ uggvény n-szer differenciálható a-ban. Ekkor az f a pont k¨ or¨ uli n. Taylor-polinomja f Tn,a (x) = f (a) +

+··+

p X

p

Di f (a) · (xi − ai ) +

i=1 p X

1 n! i

1 X Di i f (a) · (xi1 − ai1 )(xi2 − ai2 ) 2! i ,i =1 1 2 1

2

Di1 ···in f (a) · (xi1 − ai1 ) · ·(xin − ain )

1 ...in =1

(x ∈ Rp ) legfeljebb n-edfok´ u polinomf¨ uggvény. Bevezetve a p X

k

(d f (a))(x) :=

Di1 ···ik f (a) · xi1 · · · xik

i1 ,...ik =1

jel¨ olést, a Taylor-polinom az al´ abbi alakba ´ırható : f Tn,a (x) = f (a) + (d1 f (a))(x − a) +

1 2 1 (d f (a))(x − a) + · · · + (dn f (a))(x − a). 2! n!

2.65. T´ etel (Taylor-fomula Lagrange-maradéktaggal, 19.95). Legyen az f : Rp → R f¨ uggvény n + 1-szer differenci´ alhat´ o az [a, x] szakasz pontjaiban, a, x ∈ int D(f ). Ekkor van olyan c ∈ [a, x] pont, melyre f f (x) = Tn,a (x) +

1 (dn+1 f (c))(x − a). (n + 1)! 21

´ MASODIK FEJEZET

2.6. F : RP → R ESET

Ennek seg´ıtségével igazolhat´ o az al´ abbi ´ altal´ anos tétel, mely szerint f n-dik Taylor-polinom n-edrendben k¨ ozel´ıti f -et. 2.66. T´ etel (19.97). Legyen az f : Rp → R f¨ uggvény n-szer differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban. Ekkor 1.

f f (x) − Tn,a (x) = 0, n x→a |x − a|

lim

f vagyis Tn,a n-edrendben k¨ ozel´ıti a f¨ uggvényt. f 2. Ha p olyan legfeljebb n-edfok´ u polinomf¨ uggvény, melyre (2.19) teljes¨ ul, akkor p = Tn,a .

22

Harmadik fejezet

T¨ obbv´ altoz´ os differenci´ alsz´ am´ıt´ as II. 3.1. f : Rp → Rq fu enyek differenci´ alhat´ os´ aga ¨ ggv´ 3.1. Defin´ıci´ o. Legyen f : Rp → Rq , i ∈ {1, . . . , q}. Az f f¨ uggvény i-dik koordin´ ataf¨ uggvénye fi : Rp → R,

fi (x) = [f (x)]i ,

x ∈ D(f ),

q

ahol [f (x)]i ∈ R jel¨ oli az f (x) ∈ R vektor i-dik koordinátáját. 3.2. Defin´ıci´ o (Ld. line´ aris algebra). Az ` : Rp → Rq line´ aris leképezés, ha `(x+y) = `(x)+`(y) és `(λ·x) = λ·`(x) p teljes¨ ul minden x, y ∈ R , λ ∈ R esetén. Ismeretes, hogy ha az Rp és Rq vektortereket a szokásos bázissal látjuk el, akkor minden ` lineáris leképezéshez egyértelm˝ uen hozz´ arendelhet˝ o egy A = (aij )q×p q × p mátrix, melyre `(x) = A · x minden x ∈ Rp -re, teh´ at A-t a tov´ abbiakban azonos´ıthatjuk `-el. Az A mátrix i. sorában éppen az Ai : Rp → R, Ai (x) = ai1 x1 + · · · + aip xp , x ∈ Rp i-dik koordin´ ataf¨ uggvény (egy lineáris f¨ uggvény) egy¨ utthatói állnak. Az A mátrix j-dik oszlop´ aban pedig éppen az A(ej ) ∈ Rq , ej = (0, . . . ,1,0, . . . ) ∈ Rp j-dik bázisvektor képének koordinátái állnak. 3.3. Defin´ıci´ o (20.11). Legyen f : Rp → Rq f¨ uggvény, a ∈ int D(f ). Azt mondjuk, hogy f differenci´ alhat´ o az a pontban, ha létezik olyan A : Rp → Rq line´ aris leképezés (azaz, q × p mátrix), melyre lim

x→a

f (x) − f (a) − A(x − a) = 0Rq |x − a|

(3.1)

m f (x) = f (a) + A(x − a) + ε(x) · |x − a|,

lim ε(x) = 0Rq

x→a

(3.2)

3.4. T´ etel (20.13). Az f : Rp → Rq f¨ uggvény akkor és csak akkor differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban, ha f minden fi (i ∈ {1, . . . , q}) koordin´ ataf¨ uggvénye differenci´ alhat´ o a-ban. Ekkor a (3.1)-ben szerepl˝ o A q × p m´ atrixban aij = Dj fi (a), i = 1, . . . , q, j = 1, . . . , p, vagyis   D1 f1 (a) D2 f1 (a) . . . Dp f1 (a)  D1 f2 (a) D2 f2 (a) . . . Dp f2 (a)    A= (3.3)  .. .. .. ..   . . . . D1 fq (a)

D2 fq (a)

...

Dp fq (a)

Bizony´ıt´ as. Vil´ agos, hogy a (3.1)-ben lim

x→a

fi (x) − fi (a) − Ai (x − a) f (x) − f (a) − A(x − a) = 0Rq ⇔ lim = 0 ∈ R ∀i = 1, . . . , q. x→a |x − a| |x − a|

Mivel A linearit´ asa esetén Ai line´ aris, ill. megford´ıtva, ha Ai lineáris minden i-re, akkor a bel˝ol¨ uk mint koordin´ ataf¨ uggvényekb˝ ol képezett A f¨ uggvény is line´ aris, a tétel els˝o részét a 2.32. Defin´ıció alapján beláttuk. Szintén a fenti ekvivalencia alapj´ an kapjuk, hogy a mátrix alakja sz¨ ukségképpen (3.3), hiszen a 2.34. Tétel szerint az egyes Ai koordin´ ataf¨ uggvényeket meghatározó egy¨ utthatók éppen (D1 fi (a), . . . , Dp fi (a)). 23

´ ASI ´ SZABALYOK ´ 3.2. DIFFERENCIAL

HARMADIK FEJEZET

3.5. K¨ ovetkezm´ eny (20.14). Ha az f : Rp → Rq f¨ uggvény differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban, akkor a (3.1)ben szerepl˝ o A m´ atrix egyértelm˝ u, (3.3) alak´ u, és neve : f a pontbeli Jacobi-mátrixa. Jel¨ olés : A = f 0 (a). 3.6. T´ etel (20.16). 1. Ha f differenci´ alhat´ o a-ban, akkor f folytonos a-ban. 2. Ha minden i = 1, . . . , q, j = 1, . . . , p, esetén a Dj fi parci´ alis deriv´ altf¨ uggvények léteznek a egy k¨ ornyezetében és folytonosak a-ban, akkor f differenci´ alhat´ o a-ban. Bizony´ıt´ as. 1. A 3.4. Tétel szerint minden fi koordinátaf¨ uggvény differenciálható a-ban, ´ıgy a 2.33. Tétel alapj´ an folytonos is a-ban. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy ekkor f folytonos a-ban. 2. A 2.36. Tételb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy minden fi koordinátaf¨ uggvény differenciálható a-ban, ´ıgy a 3.4. Tétel alapj´ an nyerj¨ uk az ´ all´ıt´ ast.

3.2. Differenci´ al´ asi szab´ alyok A k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ as annak az ´ altal´ anos´ıt´ asa, hogy egyváltozós esetben a lineáris (a·id) f¨ uggvények deriváltja konstans. ´ ıt´ 3.7. All´ as. Ha f : Rp → Rq egy line´ aris leképezés, a hozz´ a tartoz´ o m´ atrix A, akkor f minden x ∈ Rp pontban 0 p differenci´ alhat´ o, és f (x) = A, x ∈ R . Bizony´ıt´ as. Egyszer˝ uen k¨ ovetkezik abb´ ol, hogy lim

x→a

A(x) − A(a) − A(x − a) 0 f (x) − f (a) − A(x − a) = lim = lim = 0Rq . x→a x→a |x − a| |x − a| |x − a|

3.8. T´ etel (20.19). Ha az f, g : Rp → Rq f¨ uggvények differenci´ alhat´ ok az a ∈ int D(f ) ∩ int D(g) pontban, akkor f + g és λ · f is differenci´ alhat´ o a-ban, és (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a),

(λ · f )0 (a) = λ · f 0 (a).

Bizony´ıt´ as. K¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o a differenci´ alhatóság defin´ıciójából. 3.9. T´ etel (Kompoz´ıci´ of¨ uggvény differenci´ alhat´ osága, 20.20). Legyen g : Rp → Rq differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(g) q s pontban, f : R → R differenci´ alhat´ o az g(a) ∈ int D(f ) pontban. Ekkor f ◦ g differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ◦ g) pontban, és (f ◦ g)0 (a) = f 0 (g(a)) · g 0 (a). A jobb oldalon egy s × q és egy q × p m´ atrix s × p szorzata ´ all, ami a megfelel˝ o line´ aris leképezések kompoz´ıci´ oj´ aval azonos´ıthat´ o. 3.10. Lemma. Minden A : Rp → Rq line´ aris leképezéshez tal´ alhat´ o olyan K ∈ R+ sz´ am, melyre |A(x) − A(y)| = |A(x − y)| ≤ K · |x − y| , Bizony´ıt´ as. Pl. K =

qP

ij

x, y ∈ Rp .

a2ij megfelel˝ o – ld. lineáris algebra ill. el˝oz˝o félév.

Bizony´ıt´ as. (Tételé) A bizony´ıt´ as teljesen az egyváltozós eset analógjára történik. Jelölje A := g 0 (a), B := f 0 (g(a)). Ekkor a differenci´ alhat´ os´ ag (3.2) defin´ıci´ oja alapján léteznek olyan ε és η f¨ uggvények, hogy g(x) = g(a) + A(x − a) + ε(x) · |x − a|,

(3.4)

f (y) = f (g(a)) + B(y − g(a)) + η(y) · |y − g(a)|,

(3.5)

24


HARMADIK FEJEZET

és limx→a ε(x) = 0, limy→g(a) η(y) = η(g(a)) = 0 (η folytonossága is feltehet˝o). Mivel g differenci´ alhat´ o, ezért folytonos is a-ban, ´ıgy létezik olyan δ > 0, hogy ha |x − a| < δ, akkor g(x) ∈ D(f ) (itt kihasználtuk, hogy g(a) ∈ ∈ int D(f )), teh´ at a ∈ int D(f ◦ g) teljes¨ ul. Ilyen x-ekre tehát y = g(x) helyettes´ıthet˝o (3.5)-be, tehát felhaszn´ alva (3.4)-et, kapjuk f (g(x)) = f (g(a)) + B (A(x − a) + ε(x) · |x − a|) + η(g(x)) · |g(x) − g(a)| = f (g(a)) + (B ◦ A)(x − a) + B(ε(x)) · |x − a| + η(g(x)) · |A(x − a) + ε(x) · |x − a||, ahol kihaszn´ altuk a B linearit´ as´ at. Ahhoz, hogy ∃(f ◦ g)0 (a) = B ◦ A elég belátni, hogy r(x) := B(ε(x)) · |x − a| + η(g(x)) · |A(x − a) + ε(x) · |x − a|| jel¨ oléssel létezik olyan θ f¨ uggvény, melyre |r(x)| ≤ θ(x) · |x − a| és lim θ(x) = 0. x→a

A 3.10. Lemma alapj´ an létezik olyan K > 0, melyre |A(x − a)| ≤ K · |x − a|, ´ıgy |r(x)| ≤ (|B(ε(x))| + |η(g(x))| · (K + |ε(x)|)) · |x − a| := θ(x) · |x − a|. Ha x → a, akkor ε(x) → 0, és mivel B lineáris, ´ıgy folytonos is, ezért B(ε(x)) → B(0) = 0. Felhaszn´ alva g folytonoss´ ag´ at a-ban és a limy→g(a) η(y) = η(g(a)) = 0-t kapjuk, hogy limx→a η(g(x)) = 0. Ebb˝ol limx→a θ(x) = 0 k¨ ovetkezik, és ezt akartuk bel´ atni. 3.11. K¨ ovetkezm´ eny (20.23). Legyen g : Rp → Rq differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(g) pontban, f : Rq → R (s = = 1 eset) differenci´ alhat´ o a g(a) ∈ int D(f ) pontban. Ekkor F = f ◦g (ahol F (x) = f (g1 (x), . . . , gq (x)), x ∈ D(f ◦g)) differenci´ alhat´ o a-ban, és minden j = 1, . . . , p esetén Dj F (a) =

q X (Di f )(g(a)) · Dj gi (a). i=1

Ez a képlet k¨ onnyebben megjegyezhet˝ o, ha f v´ altoz´ oit y1 , . . . , yq -val jel¨ olj¨ uk, és g1 , . . . , gq helyett is y1 , . . . , yq -t ´ırunk. Ezzel a jel¨ oléssel a fenti képlet : ∂F ∂f ∂y1 ∂f ∂y2 ∂f ∂yq = · + · + ··· + · ∂xj ∂y1 ∂xj ∂y2 ∂xj ∂yq ∂xj szok´ as l´ ancszab´ alynak is nevezni. 3.12. K¨ ovetkezm´ eny (20.25). Ha f, g : Rp → R (q = 1) f¨ uggvények differenci´ alhat´ ok az a ∈ int D(f ) ∩ int D(g) alhat´ o a-ban. pontban, akkor f · g és g(a) 6= 0 esetén fg is differenci´ Bizony´ıt´ as. Jel¨ olje T : Rp → R2 , T (x) := (f (x), g(x)), valamint legyen ϕ : R2 → R, ϕ(x, y) := x · y. Vil´ agos, hogy f · g = ϕ ◦ T . Mivel T koordin´ ataf¨ uggvényei f és g differenciálhatók a-ban, ´ıgy a 3.4. Tétel szerint T is az. ϕ differenci´ alhat´ os´ aga k¨ ovetkezik abb´ ol, hogy polinom. Ezért a 3.9. Tétel alapján f · g is differenciálhat´ o. alasztani, amely racionális törtf¨ uggvény lévén az y 6= 0 halmazon differenci´ alhat´ o. Az fg esetén ϕ(x, y) := xy -t kell v´ Az ´ all´ıt´ as az el˝ obbihez hasonl´ oan ad´ odik. A k¨ ovetkez˝ o tétel annak az egyv´ altoz´ os differenciálszám´ıtásból ismert áll´ıtásnak az általános´ıtása, hogy ha egy invert´ alhat´ o, folytonos f f¨ uggvény esetén ∃f 0 (a) 6= 0, akkor ∃(f −1 )0 (f (a)) = 1/f 0 (a). 3.13. T´ etel (Inverzf¨ uggvény differenci´ alhatósága, 20.26). Legyen f : Rp → Rp differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) 0 pontban, és legyen az f (a) (p × p) m´ atrix invert´ alhat´ o. Tegy¨ uk fel, hogy létezik olyan g : Rp → Rp folytonos f¨ uggvény, mely f (a) egy k¨ ornyezetében van értelmezve, és ott f (g(x)) = x, g(f (a)) = a. Ekkor g differenci´ alhat´ o f (a)-ban, és g 0 (f (a)) = [f 0 (a)]−1 .

25


HARMADIK FEJEZET

Bizony´ıt´ as. A bizony´ıt´ as sor´ an tegy¨ uk fel az egyszer˝ uség kedvéért, hogy a = f (a) = 0 (a továbbiakban az egyszer˝ uség kedvéért 0Rp helyett 0-t ´ırunk). Ugyanis, ha ez nem ´ıgy volna, akkor f helyett a f˜(x) := f (x + a) − f (a) f¨ uggvényt tekintve, a bizony´ıt´ as f˜-re érvényes, és ebb˝ol egyszer˝ uen meggondolható f -re is. Ezut´ an két lépésben j´ arunk el. I. Tegy¨ uk fel, hogy f 0 (0) = I az Rp identit´ as-leképezése. Azt kell belátnunk, hogy ha a 0 egy környezetében f (g(x)) = x, g folytonos, akkor ∃g 0 (0) = I. Az f 0 pontbeli differenciálhatósága és f (0) = 0 alapján lim

x→0

f (x) − x f (x) − f (0) − I(x − 0) = lim = 0. x→0 |x − 0| |x|

Mivel limx→0 g(x) = g(0) = 0 és g 6= 0 a 0 egy kipontozott környezetében (f (g(x)) = x miatt), ezért a fenti hat´ arértékben a kompoz´ıci´ of¨ uggvény hat´ arértékér˝ol szóló tétel szerint ´ırhatunk x helyett g(x)-et, vagyis lim

x→0

f (g(x)) − g(x) x − g(x) = lim = 0. x→0 |g(x)| |g(x)|

(3.6)

Ahhoz, hogy a ∃g 0 (0) = I ´ all´ıt´ ast bel´ assuk, az kell, hogy lim

x→0

g(x) − x g(x) − g(0) − I(x − 0) = lim = 0. x→0 |x − 0| |x|

(3.7)

Egyszer˝ u´ atalak´ıt´ assal kapjuk, hogy a 0 egy kipontozott környezetében g(x) − x g(x) − x |g(x)| = · . |x| |g(x)| |x| Felhaszn´ alva a (3.6) hat´ arértéket, elég bel´ atni, hogy a 0 egy elég kicsi kipontozott környezetében A (3.6) hat´ arérték alapj´ an, ε = 1/2-hez létezik olyan δ > 0, hogy 0 < |x| < δ esetén

|g(x)| |x|

korl´ atos.

1 |g(x) − x| < , |g(x)| 2 amib˝ ol |g(x)| ≤ |g(x) − x| + |x| <

1 |g(x)| 1 |g(x)| |g(x)| + |x| ⇒ < + 1, 2 |x| 2 |x|

|g(x)| |x|

< 2. Ezzel a k´ıv´ ant (3.7) határértéket beláttuk, ´ıgy ∃g 0 (0) = I. ´ ıt´ II. Ha f 0 (0) = A egy tetsz˝ oleges invert´ alhat´ o m´ atrix, akkor definiálja f˜ := A−1 ◦ f . A 3.9. Tétel és a 3.7. All´ as alapj´ an f˜0 (0) = (A−1 )0 (f (0)) · f 0 (0) = A−1 · A = I.

´ıgy 0 < |x| < δ esetén

Ezért f˜-ra alkalmazhat´ o az I. rész bizony´ıt´ asa a g˜ := g ◦ A f¨ uggvénnyel, hiszen f˜(˜ g (x)) = A−1 (f (g(Ax))) = A−1 (Ax) = x. Így kapjuk, szintén a 3.9. Tétel és a 3.7. All´ ´ ıt´ as alapján, I = g˜0 (0) = (g ◦ A)0 (0) = g 0 (A(0)) · A0 (0) = g 0 (0) · A. Ebb˝ ol g 0 (0) = A−1 k¨ ovetkezik. Térj¨ unk most vissza egy tétel erejéig a t¨ obbv´ altozós integrálszám´ıtáshoz ! A Jacobi-mátrix seg´ıtségével általános´ıthatjuk az egyv´ altoz´ os helyettes´ıtéses integr´ al´ asr´ ol tanultakat. 3.14. Defin´ıci´ o (20.31). Az f : Rp → Rq f¨ uggvénye folytonosan differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban, ha f differenci´ alhat´ o az a pont egy k¨ ornyezetében, és koordinátaf¨ uggvényeinek parciális deriváltjai folytonosak a-ban. 26


HARMADIK FEJEZET

3.15. T´ etel (Integr´ altranszform´ aci´ o, 22.23). Legyen H ⊂ Rp mérhet˝ o halmaz, g : H → Rp folytonosan differenci´ alhat´ o és injekt´ıv int H-ban. Ekkor g(H) is mérhet˝ o, és ha f : g(H) → R korl´ atos, akkor Z Z f= (f ◦ g) · | det g 0 | g(H)

H

(az egyik oldal pontosan akkor létezik, ha a m´ asik, és ekkor egyenl˝ ok). Bizony´ıt´ as. Nem bizony´ıtjuk. 3.16. P´ elda. Legyen g(r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ), (r, ϕ) ∈ H az u ń. pol´ artranszform´ aci´ o. Ekkor cos ϕ −r sin ϕ det g 0 = sin ϕ r cos ϕ = r cos2 ϕ + r sin2 ϕ = r.

27


HARMADIK FEJEZET

28

Negyedik fejezet

Implicit ´ es inverz fu enyek ¨ ggv´ 4.1. Egyv´ altoz´ os implicitfu eny-t´ etel, Lagrange-multiplik´ atorok ¨ ggv´ Probléma. Az f (x, y) = 0 alak´ u¨ osszef¨ uggésb˝ol kifejezhet˝o-e az y az x seg´ıtségével? Vagyis : van-e olyan ϕ f¨ uggvény, hogy f (x, ϕ(x)) = 0 ∀x ∈ D(ϕ) ? 4.1. P´ elda. f1 (x, y) := x2 + y 2 − 2x − 4y + 5 = 0 Vil´ agos, hogy csak x = 1 és y = 2 esetén teljes¨ ul. f2 (x, y) := x2 + y 2 − 2x − 4y + 4 = 0 K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy a ϕ1 : [0,2] → [2,3], és

ϕ1 (x) =

p

2x − x2 + 2

p ϕ2 (x) = − 2x − x2 + 2

ϕ2 : [0,2] → [1,2],

f¨ uggvényre is igaz, hogy f2 (x, ϕ1 (x)) = 0 ∀x ∈ D(ϕ1 ) és f2 (x, ϕ2 (x)) = 0 ∀x ∈ D(ϕ2 ). 4.2. T´ etel (Egyv´ altoz´ os implicitf¨ uggvény-tétel, 20.28). Legyen f : R2 → R, és tegy¨ uk fel, hogy f (a, b) = 0, (a, b) ∈ ∈ D(f ). Tegy¨ uk fel, hogy f folytonos az (a, b) pont egy k¨ ornyezetében és ∃D2 f 6= 0 ebben a k¨ ornyezetben. Ekkor létezik a-nak ill. b-nek olyan K(a) ⊂ R ill. K(b) ⊂ R k¨ ornyezete, hogy 1. Minden x ∈ K(a) esetén ∃! ϕ(x) ∈ K(b), melyre f (x, ϕ(x)) = 0. 2. A ϕ : K(a) → K(b) f¨ uggvény folytonos K(a)-n, ϕ(a) = b. 3. Ha f folytonosan differenci´ alhat´ o (a, b)-ben, akkor ϕ differenci´ alhat´ o is az a pontban, és ϕ0 (a) = −

D1 f (a, b) . D2 f (a, b)

Megjegyezz¨ uk, hogy a tétel csak a ϕ implicit f¨ uggvény létezésér˝ol szól, általában nem tudjuk ezt a f¨ uggvényt el˝ o´ all´ıtani. Ennek ellenére a ϕ deriv´ altj´ at ki tudjuk szám´ıtani az a pontban. . . ! Bizony´ıt´ as. A tételnek az 1. részét bizony´ıtjuk abban az esetben, mikor f folytonosan differenciálható (a, b)-ben. Ekkor a D2 f parci´ alis deriv´ altf¨ uggvény is folytonos (a, b)-ben, és D2 f (a, b) 6= 0. Legyen például D2 f (a, b) > 0 (a D2 f (a, b) < 0 eset hasonl´ oan meggondolható). Ekkor D2 f folytonossága miatt létezik az (a, b) ∈ D(f ) pontnak olyan r > 0 sugar´ u Kr (a, b) ⊂ D(f ) k¨ ornyezete, hogy ∀(x, y) ∈ Kr (a, b) esetén D2 f (x, y) > 0. 29

(4.1)

´ ´ IMPLICITFUGGV ´ ´ ¨ 4.1. EGYVALTOZ OS ENY-T ETEL

NEGYEDIK FEJEZET

4.1. ´ abra. Implicitf¨ uggvény-tétel Tekints¨ uk az fa : y 7→ f (a, y) f¨ uggvényt! Mivel fa (b) = f (a, b) = 0, és (fa )0 (b) = D2 f (a, b) > 0, ezért fa lok´ alisan n¨ ov˝ o b-ben, ´ıgy léteznek olyan b1 < b < b2 számok, hogy f (a, b1 ) = fa (b1 ) < 0 < fa (b2 ) = f (a, b2 ), és feltehet˝ o, hogy (a, b1 ), (a, b2 ) ∈ Kr (a, b). Az f f¨ uggvény folytonossága miatt van olyan p > 0 és q > 0, hogy ∀(x0 , y 0 ) ∈ Kp (a, b1 ) és ∀(x00 , y 00 ) ∈ Kq (a, b2 ) esetén f (x0 , y 0 ) < 0 < f (x00 , y 00 ).

(4.2)

A p és q elegend˝ oen kicsire v´ alaszt´ as´ aval feltehet˝ o, hogy Kp (a, b1 ) ⊂ Kr (a, b), Kq (a, b2 ) ⊂ Kr (a, b). Legyen µ := min{p, q}, és K(a) := (a − µ, a + µ), vagyis K(a) tartalmazza Kp és Kq k¨ oz¨ ul a kisebb sugar´ u (az ábrán Kp ) vet¨ uletét az x-tengelyen. Legyen ρ := max{b − (b1 − p), b2 + q − b}, és K(b) := (b − ρ, b + ρ), vagyis K(b) tartalmazza Kp és Kq k¨ oz¨ ul a nagyobb sugar´ u (az ábrán Kq ) vet¨ uletét az y-tengelyen. Rögz´ıts¨ unk most egy tetsz˝ oleges x ∈ K(a) pontot, definiálni fogjuk hozzá a megfelel˝o ϕ(x) ∈ K(b) értéket. Jel¨ olje fx : y 7→ f (x, y), mely f folytonoss´ aga k¨ ovetkeztében egy val´ os v´ altozós folytonos f¨ uggvény. A (4.2) alapj´ an f (x, b1 ) = fx (b1 ) < 0 < fx (b2 ) = f (x, b2 ), mivel x ∈ K(a) miatt (x, b1 ) ∈ Kp (a, b1 ) és (x, b2 ) ∈ Kq (a, b2 ). Alkalmazva fx -re a Bolzano-tételt [b1 , b2 ]-n, létezik olyan y ∈ (b1 , b2 ), amelyre fx (y) = f (x, y) = 0. Csak egyetlen ilyen y létezik, ugyanis, ha y ∗ 6= y is olyan lenne, hogy fx (y ∗ ) = f (x, y ∗ ) = 0, 30


NEGYEDIK FEJEZET

akkor fx -re alkalmazva a Rolle-tételt [y, y ∗ ]-on (vagy [y ∗ , y]-on), létezne olyan c az y és y ∗ között, hogy (fx )0 (c) = D2 f (x, c) = 0 lenne. Ez pedig lehetetlen, hiszen (x, c) ∈ Kr (a, b), és (4.1) miatt D2 f (x, c) > 0 kellene legyen. Teh´ at b´ armely x ∈ K(a) sz´ amhoz egyértelm˝ uen rendelhet˝o olyan y ∈ K(b) szám, hogy f (x, y) = 0, azaz létezik olyan ϕ : K(a) → K(b), ϕ(x) := y f¨ uggvény, hogy f (x, ϕ(x)) = 0 ∀x ∈ K(a). Az egyértelm˝ uség miatt ϕ(a) = b is teljes¨ ul. 4.3. P´ elda. A fenti tétel feltételeinek sz¨ ukségessége könnyen látható az alábbi egyszer˝ u példán. Legyen f (x, y) := x2 + y 2 − 1. Vil´ agos, hogy az f (x, y) = 0 egyenletet kielég´ıt˝o pontok az (origó középpont´ u) egységkörvonal pontjai. Vegy¨ unk egy (a, b) (egységk¨ orvonalon lév˝ o) pontot, melyre f (a, b) = 0 ! Ha a ∈ (−1,1), b > 0 (vagyis (a, b) a fels˝o féls´ıkban fekv˝ o k¨ or´ıven van), akkor D2 f (a, b) = 2b > 0, és az implicitf¨ uggvény-tétel alapján egyértelm˝ uen létez˝o ϕ : K(a) → K(b) f¨ uggvényre p ϕ(x) = 1 − x2 . Ha a ∈ (−1,1), b < 0 (vagyis (a, b) a alsó féls´ıkban fekv˝o kör´ıven van), akkor D2 f (a, b) = 2b < 0, és az implicitf¨ uggvény-tétel alapj´ an egyértelm˝ uen létez˝o ϕ : K(a) → K(b) f¨ uggvényre p ϕ(x) = − 1 − x2 . Mi a helyzet, ha a = ±1 és b = 0 ? Vil´ agos, hogy nem tudunk olyan K(a) és K(b) környezeteket megadni, melyekre x ∈ K(a) és y ∈ K(b) esetén az f (x, y) = 0 egyenletet kielég´ıt˝o pontok egy f¨ uggvény grafikonját alkotn´ ak. Teh´ at nem létezik a k´ıv´ ant ϕ f¨ uggvény. Egy ilyen pontban D2 f (a, b) = 2b = 0, tehát az implicitf¨ uggvény-tétel feltétele nem teljes¨ ul. A k¨ ovetkez˝ okben u ń. feltételi halmazokon keres¨ unk széls˝oértéket. 4.4. Defin´ıci´ o. Legyenek g1 , g2 , . . . , gq : Rp → R (q < p) f¨ uggvények, továbbá H := {x ∈ Rp | g1 (x) = 0, . . . , gq (x) = 0}. Azt mondjuk, hogy az f f¨ uggvénynek a g1 = 0, . . . , gq = 0 feltétel mellett feltételes széls˝ oértéke van az a ∈ H uggvénynek lokális széls˝oértéke van. pontban, ha az a pontban az f|H f¨ 4.5. T´ etel (Lagrange-féle multiplik´ ator m´ odszer, 20.43). Legyenek f, g1 , g2 , . . . , gq : Rp → R folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggvények, q < p. Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggvénynek a g1 = 0, g2 = 0,. . . , gq = 0 feltétel mellett feltételes széls˝ oértéke van az a ∈ D(f ) pontban. Tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy   D1 g1 (a) D2 g1 (a) . . . Dp g1 (a)   .. .. rang   = q. . . D1 gq (a)

D2 gq (a)

...

Dp gq (a)

Ekkor léteznek olyan λ1 , λ2 , . . . , λq ∈ R sz´ amok, hogy az F := f + λ1 g1 + λ2 g2 + . . . + λq gq : Rp → R f¨ uggvényre F 0 (a) = 0Rp – vagyis, az f 0 (a), g10 (a), . . . , gq0 (a) vektorok line´ arisan ¨ osszef¨ ugg˝ ok. Teh´ at D1 f (a) + λ1 D1 g1 (a) + · · · + λq D1 gq (a) = 0 D2 f (a) + λ1 D2 g1 (a) + · · · + λq D2 gq (a) = 0 .. . Dp f (a) + λ1 Dp g1 (a) + · · · + λq Dp gq (a) = 0. 31


NEGYEDIK FEJEZET

Bizony´ıt´ as. A bizony´ıt´ ast p = 2, q = 1 és feltételes minimum esetén végezz¨ uk el (a feltételes maximum esete hasonl´ oan gondolhat´ o meg), az a helyett pedig (a, b)-t ´ırunk. A feltételek alapj´ an a g := g1 : R2 → R f¨ uggvény folytonosan differenciálható, és az (a, b) pontban g(a, b) = 0. Ebben a pontban a rangfeltétel rang D1 g(a, b), D2 g(a, b) = 1 azt jelenti, hogy péld´ aul D2 g(a, b) 6= 0. Ekkor a 4.2. Egyváltozós implicitf¨ uggvény-tétel szerint létezik a-nak K(a) és b-nek K(b) k¨ ornyezete, és létezik olyan ϕ : K(a) → K(b) differenciálható f¨ uggvény, amelyre ∀x ∈ K(a) esetén g(x, ϕ(x)) = 0, és ϕ(a) = b. Ez azt jelenti, hogy a H = {(x, y) ∈ R2 | g(x, y) = 0} ⊃ {(x, ϕ(x)) ∈ R2 | x ∈ K(a)} =: H ∗ . Tov´ abb´ a ϕ0 (a) = −

(4.3)

D1 g(a, b) , D2 g(a, b)

azaz D1 g(a, b) + ϕ0 (a)D2 g(a, b) = 0.

(4.4)

Mivel az f|H f¨ uggvénynek lok´ alis minimuma van az (a, b) ∈ H pontban, ezért létezik r > 0, hogy az (a, b) pont Kr (a, b) k¨ ornyezetében ∀(x, y) ∈ Kr (a, b) ∩ H esetén f (x, y) ≥ f (a, b). (4.5) A (4.3) alapj´ an x ∈ K(a) esetén (x, ϕ(x)) ∈ H ∗ ⊂ H. Felhasználva, hogy ϕ folytonos K(a)-n, meggondolható, hogy létezik olyan K ∗ (a) ⊂ K(a) k¨ ornyezet, hogy ∀x ∈ K ∗ (a) esetén (x, ϕ(x)) ∈ Kr (a, b) ∩ H. Így (4.5)-b˝ ol ∀x ∈ K ∗ (a) esetén f (x, ϕ(x)) ≥ f (a, ϕ(a)) = f (a, b). Ez azt jelenti, hogy a h : K ∗ (a) → R, h(x) := f (x, ϕ(x)) val´ os f¨ uggvénynek lok´ alis minimuma van az a pontban. A h f¨ uggvény differenciálható (differenciálható f¨ uggvények kompoz´ıci´ oja), ezért h0 (a) = 0. A kompoz´ıci´ of¨ uggvény deriválási szabálya alapján h0 (x)

= f 0 (x, ϕ(x)) · (x0 , ϕ0 (x)) = h D1 f (x, ϕ(x)), D2 f (x, ϕ(x)) ,

1,

ϕ0 (x) i

= D1 f (x, ϕ(x)) + ϕ0 (x)D2 f (x, ϕ(x)). Ezért h0 (a) = D1 f (a, b) + ϕ0 (a)D2 f (a, b) = 0.

(4.6)

Legyen λ ∈ R egyel˝ ore tetsz˝ oleges sz´ am, és szorozzuk meg λ-val az (4.4) egyenl˝oséget, majd adjuk össze a (4.6) egyenl˝ oséggel. Ekkor D1 f (a, b) + λD1 g(a, b) + ϕ0 (a)[D2 f (a, b) + λD2 g(a, b)] = 0. (4.7) A λ megv´ alaszthat´ ou ´gy, hogy D2 f (a, b) + λ∗ D2 g(a, b) = 0

(4.8)

2 f (a,b) (l´ athat´ o, hogy a λ∗ := − D o.) Ha a λ∗ esetén (4.7)-ben a szögletes zárójelben lév˝o tényez˝o 0, akkor D2 g(a,b) megfelel˝

D1 f (a, b) + λ∗ D1 g(a, b) = 0 32

(4.9)

´ INVERZFUGGV ´ ´ ¨ 4.2. IMPLICIT- ES ENY-T ETELEK

NEGYEDIK FEJEZET

¨ is teljes¨ ul. Osszes´ ıtve az eredményeket, azt kaptuk, hogy ha az f f¨ uggvénynek feltételes minimuma van a g = 0 feltétel mellett az a = (a, b) pontban, akkor az F := f + λ∗ g f¨ uggvénynek az els˝o változó szerinti parciális deriv´ altja 0 (ezt mutatja (4.9)), és a m´ asodik v´ altoz´ o szerinti parciális deriváltja is 0 (ezt mutatja (4.8)). Teh´ at F 0 (a) = F 0 (a, b) = D1 F (a, b), D2 F (a, b) = 0R2 .

4.2. Implicit- ´ es inverzfu eny-t´ etelek ¨ ggv´ 4.6. T´ etel (Folytonos lok´ alis inverz létezése). Legyen g : R → R differenci´ alhat´ o a b pont egy k¨ ornyezetében, itt g 0 (y) 6= 0. Ekkor g-nek létezik a g(b) = a egy Kδ (a) k¨ ornyezetében értelmezett folytonos (jobb)inverze, ϕ, melyre g(ϕ(x)) = x minden x ∈ Kδ (a). Bizony´ıt´ as. Defini´ alja az f : R2 → R f¨ uggvényt f (x, y) := x − g(y). A feltételek alapján f -re teljes¨ ulnek a 4.2. Egyv´ altoz´ os implicitf¨ uggvény-tétel feltételei az (a, b) pontban, ´ıgy létezik olyan folytonos ϕ : K(a) → K(b) f¨ uggvény, melyre f (x, ϕ(x)) = 0 ⇒ g(ϕ(x)) = x, x ∈ K(a).

Az al´ abbi tétel annak az egyv´ altoz´ os differenciálszám´ıtásból ismert áll´ıtásnak a megfelel˝oje, hogy ha f 0 (a) 6= 0, akkor f -nek a-ban nem lehet lok´ alis széls˝ oértéke. 4.7. T´ etel (Lok´ alis injektivit´ as, 20.32). Legyen f : Rp → Rq (p ≤ q) folytonosan differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban, és tegy¨ uk fel, hogy az f 0 (a) : Rp → Rq line´ aris leképezés injekt´ıv (vagyis, az f 0 (a) q × p m´ atrix rangja p). Ekkor f is injekt´ıv az a pont egy k¨ ornyezetében. Bizony´ıt´ as. Nem bizony´ıtjuk. 4.8. T´ etel (Lok´ alis sz¨ urjektivit´ as, 20.35). Legyen f : Rp → Rq (p ≥ q) folytonosan differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban, és tegy¨ uk fel, hogy az f 0 (a) : Rp → Rq line´ aris leképezés sz¨ urjekt´ıv (vagyis, az f 0 (a) q × p m´ atrix rangja q). Ekkor az R(f ) értékkészlet tartalmazza az f (a) pont egy k¨ ornyezetét. Bizony´ıt´ as. A bizony´ıt´ asnak csak egy alapötletét ismertetj¨ uk. Legyen b elég közel” f (a)-hoz, és defini´ alja h(x) := ” = b − f (x) + x. Bel´ athat´ o, hogy h kontrakció a B(a, δ) zárt gömbön (megfelel˝o δ-ra). A Banach-féle fixponttétel alapj´ an ´ıgy h-nak létezik egyetlen x∗ ∈ B(a, δ) fixpontja, melyre h(x∗ ) = b − f (x∗ ) + x∗ = x∗ , amib˝ ol f (x∗ ) = b, teh´ at b ∈ R(f ). 4.9. K¨ ovetkezm´ eny (Ny´ılt leképezés tétele, 20.37). Legyen f : Rp → Rq (p ≥ q) folytonosan differenci´ alhat´ o a H ⊆ D(f ) ny´ılt halmazon, és tegy¨ uk fel, hogy minden x ∈ H esetén az f 0 (x) : Rp → Rq line´ aris leképezés sz¨ urjekt´ıv (vagyis, az f 0 (x) q × p m´ atrix rangja q). Ekkor az f (H) := {f (h) : h ∈ H} képhalmaz ny´ılt halmaz. 4.10. T´ etel (Inverzf¨ uggvény-tétel, 20.38). Legyen f : Rp → Rp folytonosan differenci´ alhat´ o az a ∈ int D(f ) pontban, és tegy¨ uk fel, hogy az f 0 (a) : Rp → Rp line´ aris leképezés injekt´ıv (vagyis, det f 0 (a) 6= 0). Ekkor létezik olyan δ > 0 és η > 0, hogy 1. ∀ x ∈ B(f (a), δ) esetén ∃! ϕ(x) ∈ B(a, η) : f (ϕ(x)) = x ; 2. a ϕ : B(f (a), δ) → B(a, η) f¨ uggvény differenci´ alhat´ o B(f (a), δ)-n ; 3. f 0 (x) injekt´ıv (vagyis, det f 0 (x) 6= 0) minden x ∈ B(a, η) esetén és −1

ϕ0 (f (x)) = [f 0 (x)]

,

x ∈ B(a, η).

Bizony´ıt´ as. Nem bizony´ıtjuk. A tétel 3. pontjában szerepl˝o képlet a 3.13. Tételben szerepl˝o képlettel azonos. 33

´ INVERZFUGGV ´ ´ ¨ 4.2. IMPLICIT- ES ENY-T ETELEK

NEGYEDIK FEJEZET

4.11. T´ etel (T¨ obbv´ altoz´ os implicitf¨ uggvény-tétel, 20.40). Legyen f : Rp+q → Rq folytonosan differenci´ alhat´ o a c = (a, b) ∈ int D(f ) pont egy k¨ ornyezetében, ahol a ∈ Rp , b ∈ Rq , és f (c) = f (a, b) = 0Rq . Tegy¨ uk fel, hogy az fa : Rq → Rq , fa (y) = f (a, y) f¨ uggvényre (fa )0 (b) injekt´ıv (vagyis, det fa0 (b) 6= 0.) Ekkor létezik olyan δ > 0 és η > 0, hogy 1. ∀ x ∈ B(a, δ) esetén ∃! ϕ(x) ∈ B(b, η) : f (x, ϕ(x)) = 0Rq ; 2. a ϕ : B(a, δ) → B(b, η) f¨ uggvény folytonosan differenci´ alhat´ o B(a, δ)-n ; 3. az f b : Rp → Rq , f b (x) = f (x, b) jel¨ oléssel −1

ϕ0 (x) = − [fa0 (x)]

· (f b )0 (ϕ(x)),

Bizony´ıt´ as. Nem bizony´ıtjuk.

34

x ∈ B(a, δ).

¨ ¨ Ot odik fejezet

Ívhossz, vonalintegr´ al, primit´ıv fu eny ¨ ggv´ Ebben a fejezetben ismét integr´ alsz´ am´ıt´ asról lesz szó, mégpedig a fizikában gyakran használatos u ń. vektormez˝ ok g¨ orbe menti integr´ alj´ ar´ ol. Ez a fogalom fizikailag u ´gy interpretálható mint az a munkavégzés, mely egy pont er˝ ohat´ as altal val´ ´ o mozgat´ asa sor´ an t¨ orténik.

5.1. G¨ orbe 5.1. Defin´ıci´ o. Egy g : [a, b] → Rp leképezést g¨ orbé nek nevez¨ unk. p = 2 esetben s´ıkg¨ orbé r˝ol, d = 3 esetben térg¨ orbé r˝ ol beszél¨ unk. Speci´ alis s´ıkg¨ orbe: g : [a, b] → R2 , g(t) = (t, f (t)), ahol f : [a, b] → R f¨ uggvény. Ekkor R(g) = graph (f ). Nagyon fontos, hogy a g¨ orbét, melyet leképezésként definiáltunk, ne keverj¨ uk össze az értékkészlethalmaz´ aval – b´ ar ink´ abb ez ut´ obbi felelne meg a mindennapos szóhasználat görbe” elnevezésének. ”

5.1. ´ abra. A g : [0,2π] → R2 , g(t) = (cos t, sin t) s´ıkgörbe értékkészlete Vil´ agos, hogy ha az 5.1. ´ abr´ an a g leképezést [0,4π]-n - vagy akár [0,3π]-n - definiáljuk, akkor is ugyanehhez az értékkészlethalmazhoz jutunk. 5.2. Defin´ıci´ o. Egy [x, y] ⊂ Rp halmazt Rp -beli szakasz nak h´ıvunk, ha [x, y] = {t · x + (1 − t) · y : t ∈ [0,1]} . Egy Rp -beli poligon (vagy t¨ or¨ ottvonal ) egymáshoz csatlakozó szakaszok uniója. A g¨ orbe ´ıvhossz´ at u ´gy fogjuk defini´ alni mint (az értékkészlethalmazának) be´ırt” poligonjai hosszainak szupremu” m´ at. 35

¨ 5.1. GORBE

¨ ODIK ¨ OT FEJEZET

5.2. ´ abra. G¨ orbe ´ıvhosszának közel´ıtése poligonnal 5.3. Defin´ıci´ o (14.15). Egy g : [a, b] → Rp g¨ orbe ´ıvhossza az ( n ) X s(g) := sup |g(ti ) − g(ti−1 )| : a = t0 < t1 < · · · < tn = b ∈ R.

(5.1)

i=1

Itt |g(ti ) − g(ti−1 )| = |[g(ti−1 ), g(ti )]| szakasz hossza. A g : [a, b] → Rp g¨ orbe rektifik´ alhat´ o, ha s(g) < ∞. 5.4. Defin´ıci´ o. A g g¨ orbe egyszer˝ u ´ıv, ha R(g)-nek létezik bijekt´ıv folytonos paraméterezése.

5.3. ´ abra. Cikloisgörbe értékkészlete ´ ıt´ 5.5. All´ as (14.19). Ha g1 és g2 ugyanannak az egyszer˝ u ´ıvnek a bijekt´ıv folytonos paraméterezései, akkor s(g1 ) = = s(g2 ). Bizony´ıt´ as. Vil´ agos, hogy ha a g¨ orbék g1 : [a, b] → Rp és g2 : [c, d] → Rp , akkor h = g2−1 ◦ g1 : [a, b] → [c, d] bijekt´ıv, folytonos, teh´ at szigor´ uan monoton. Ebb˝ ol egyszer˝ uen meggondolható, hogy a g1 és g2 görbéknek ugyanazok a be´ırt poligonjai, ´ıgy s(g1 ) = s(g2 ). 5.6. Defin´ıci´ o (14.16). A g : [a, b] → Rp g¨ orbe folytonos/(folytonosan) differenci´ alhat´ o/Lipschitz-tulajdons´ ag´ u, ha minden j = 1, . . . , p esetén a gj : [a, b] → R koordinátaf¨ uggvény folytonos/(folytonosan) differenciálhat´ o ill. Lipschitz-tulajdons´ ag´ u. Megjegyezz¨ uk, hogy ha egy f : [a, b] → R f¨ uggvény folytonosan differenciálható, akkor minden x, y ∈ [a, b], x < y esetén a Lagrange-k¨ ozépértéktétel alapj´ an létezik olyan c = c(x, y) ∈ [x, y], melyre f (y) − f (x) = f 0 (c) · (y − x). 36


¨ 5.1. GORBE

Ebb˝ ol kapjuk, hogy |f (y) − f (x)| ≤ sup |f 0 | · |y − x|,

x, y ∈ [a, b],

[a,b]

vagyis f Lipschitz-tulajdons´ ag´ u L := sup[a,b] |f 0 | ∈ R konstanssal. Ebb˝ol következik, hogy ha egy g : [a, b] → Rp g¨ orbe folytonosan differenci´ alhat´ o, akkor Lipschitz-tulajdonság´ u is. 5.7. T´ etel (14.20). Ha a g : [a, b] → Rp g¨ orbe Lipschitz-tulajdons´ ag´ u (pl. folytonosan differenci´ alhat´ o), akkor g rektifik´ alhat´ o. Bizony´ıt´ as. A Lipschitz-tulajdons´ ag miatt léteznek olyan Kj > 0, j = 1, . . . , p konstansok, hogy |gj (y) − gj (x)| ≤ Kj · |y − x|,

x, y ∈ [a, b].

Legyen K := max1≤j≤p Kj . Ekkor az (5.1)-ben szerepl˝o tetsz˝oleges t0 = a < t1 < · · · < tn−1 < tn = b feloszt´ asra n X

|g(ti ) − g(ti−1 )| =

i=1

n q X (g1 (ti ) − g1 (ti−1 ))2 + · · · + (gp (ti ) − gp (ti−1 )2 i=1

n p n X √ X √ ≤ K 2 · p · (ti − ti−1 )2 = K · p · (ti − ti−1 ) = K · p · (b − a), i=1

Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy s(g) ≤ K ·

x, y ∈ [a, b].

i=1

√

p · (b − a), ´ıgy g rektifikálható.

5.8. T´ etel (14.21). Ha a g : [a, b] → Rp g¨ orbe differenci´ alhat´ o és minden j = 1, . . . , p esetén gj0 ∈ R[a, b] (pl., ha g folytonosan differenci´ alhat´ o), akkor Z b Z bq s(g) = (g10 (t))2 + · · · + (gp0 (t))2 dt. (5.2) |g 0 (t)| dt = a

a

Bizony´ıt´ as. A tételt csak k¨ ozel´ıt˝ oleg” bizony´ıtjuk, mégpedig u ´gy,Phogy az s(g) számot az (5.1)-ben szerepl˝ o, va” n lamely t0 = a < t1 < · · · < tn−1 < tn = b felosztáshoz tartozó i=1 |g(ti ) − g(ti−1 )| alak´ u összeggel k¨ ozel´ıtj¨ uk. Haszn´ aljuk fel, hogy minden j = 1, . . . , p esetén gj differenciálható. Így az adott felosztás [ti−1 , ti ] részintervallumain alkalmazva a(z egyv´ altoz´ os) Lagrange-középértéktételt kapjuk, hogy léteznek c1,i , . . . , cp,i ∈ [ti−1 , ti ] sz´ amok, melyekre g1 (ti ) − g1 (ti−1 ) = g10 (c1,i ) · (ti − ti−1 ), . . . , gp (ti ) − gp (ti−1 ) = gp0 (cp,i ) · (ti − ti−1 ). Ekkor n X

|g(ti ) − g(ti−1 )| =

i=1

=

n q X i=1 n q X

(g1 (ti ) − g1 (ti−1 ))2 + · · · + (gp (ti ) − gp (ti−1 )2 g10 (c1,i )2 · (ti − ti−1 )2 + · · · + gp0 (cp,i )2 · (ti − ti−1 )2

i=1

=

n q X

g10 (c1,i )2 + · · · + gp0 (cp,i )2 · (ti − ti−1 ),

i=1

ami éppen a

Rb a

|g 0 (t)| egy integr´ al-k¨ ozel´ıt˝ oösszege.

5.9. Megjegyzés (14.13). A fenti tétel speciális esete, ha f : [a, b] → R folytonosan differenciálható, g : [a, b] → R2 , g(t) = (t, f (t)), és ´ıgy f grafikonj´ anak ´ıvhossza Z bp s(g) = 1 + (f 0 (t))2 dt. a

5.10. P´ elda. A g : [0,2π] → R2 , g(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t)) cikloisgörbe ´ıvhossza : 2π Z 2π q Z 2π √ Z 2π √ t t 2 2 2 2 s(g) = a (1 − cos t) + a sin t dt = 2a 1 − cos t dt = 2a sin dt = 4a cos = 8a 2 2 0 0 0 0 37

´ 5.2. VONALINTEGRAL


5.2. Vonalintegr´ al Most r´ atér¨ unk a vektormez˝ o g¨ orbe menti integr´ aljára. Az integrál defin´ıcióját a Riemann-összeghez hasonló k¨ ozel´ıtés seg´ıtségével mondjuk ki. p p 5.11. Defin´ıci´ alja a g Ro (22.28). Legyen g : [a, b] → R görbe, f : R(g) → R . Azt mondjuk, hogy az f vonalintegr´ g¨ orbe mentén g f ∈ R, ha minden ε > 0 sz´ amhoz létezik az [a, b] intervallumnak olyan a = t0 < t1 < · · · < tn = b feloszt´ asa és ehhez ti−1 < ci < ti , i = 1, . . . , n sz´ amok, melyekre Z n X (5.3) hf (g(ci )), g(ti ) − g(ti−1 )i < ε. f− g i=1

5.4. ´ abra. Görbe menti vektormez˝o 5.12. T´ etel (22.35). Legyen g : [a, b] → Rp g¨ orbe differenci´ alhat´ o és minden j = 1, . . . , p esetén gj0 ∈ R[a, b] (pl., g folytonosan differenci´ alhat´ o), tov´ abb´ a f : R(g) → Rp folytonos. Ekkor   Z Z b Z b X p  f= hf (g(t)), g 0 (t)i dt = fj (g(t)) · gj0 (t) dt. (5.4) g

a

a

j=1

R Bizony´ıt´ as. Ezt a tétel ismét csak k¨ ozel´ıt˝ oleg” bizony´ıtjuk u ´gy, hogy az g f számot az (5.3)-ban szerepl˝ o, va” lamely t = a < t < · · · < t < t = b feloszt´ a shoz ´ e s t < c < t , i = 1, . . . , n sz´ a mokhoz tartoz´ o 0 1 n−1 n i−1 i i Pn hf (g(c )), g(t ) − g(t )i o sszeggel k¨ o zel´ ıtj¨ u k . Haszn´ a ljuk fel, hogy minden j = 1, . . . , p eset´ e n g differen¨ i i i−1 j i=1 ci´ alhat´ o. Így az adott feloszt´ as [ti−1 , ti ] részintervallumain alkalmazva a(z egyváltozós) Lagrange-középértéktételt kapjuk, hogy léteznek d1,i , . . . , dp,i ∈ [ti−1 , ti ] sz´ amok, melyekre g1 (ti ) − g1 (ti−1 ) = g10 (d1,i ) · (ti − ti−1 ), . . . , gp (ti ) − gp (ti−1 ) = gp0 (dp,i ) · (ti − ti−1 ). Ekkor n n X X hf (g(ci )), g(ti ) − g(ti−1 )i = [f1 (g(ci )) · (g1 (ti ) − g1 (ti−1 )) + · · · + fp (g(ci )) · (gp (ti ) − gp (ti−1 ))] i=1

i=1 n X = f1 (g(ci )) · g10 (d1,i ) · (ti − ti−1 ) + · · · + fp (g(ci )) · gp0 (dp,i ) · (ti − ti−1 ) i=1 n X = f1 (g(ci )) · g10 (d1,i ) + · · · + fp (g(ci )) · gp0 (dp,i ) · (ti − ti−1 ), i=1

ami éppen az

Rb a

hf (g(t)), g 0 (t)i dt =

R b Pp a

j=1

fj (g(t)) · gj0 (t) dt egy integrál-közel´ıt˝oo¨sszege. 38

´ ¨ 5.3. PRIMITÍV FUGGV ENY


5.3. Primit´ıv fu eny ¨ ggv´ Ebben az alfejezetben a t¨ obbv´ altoz´ os primit´ıv f¨ uggvény fogalmáról lesz szó, valamint arról, hogy a Riemannintegr´ aln´ al megismert Newton-Leibniz-formulát hogyan általános´ıthatjuk vonalintegrálra. 5.13. Defin´ıci´ o (22.36). Legyen f : Rp → Rp , Ω ⊂ D(f ) ny´ılt. Azt mondjuk, hogy a F : Ω → R primit´ıv f¨ uggvénye f -nek Ω-n, ha F differenci´ alhat´ o Ω-n és minden x ∈ Ω esetén F 0 (x) = f (x) ⇐⇒ Dj F (x) = fj (x), j = 1, . . . , p. 5.14. T´ etel (Newton-Leibniz formula vonalintegrálra, 22.38). Tegy¨ uk fel, hogy az f : Rp → Rp folytonos f¨ uggvénynek van F : Ω → R primit´ıv f¨ uggvénye Ω-n. Ekkor tetsz˝ oleges g : [a, b] → Ω ⊂ Rp folytonos és rektifik´ alhat´ o g¨ orbére Z f = F (g(b)) − F (g(a)). g

R Bizony´ıt´ as. A tételt csak k¨ ozel´ıt˝ oleg” bizony´ıtjuk u ´gy, hogy az g f számot megint az (5.3)-ban szerepl˝ o, vala” mely t = a < t < · · · < t < t = b feloszt´ a shoz ´ e s t < c < t , i = 1, . . . , n sz´ a mokhoz tartoz´ o 1 n−1 n i−1 i i Pn 0 hf (g(c )), g(t ) − g(t )i o sszeggel k¨ o zel´ ıtj¨ u k. Mivel F differenci´ a lhat´ o Ω-n ´ e s g : [a, b] → Ω, ez´ e rt az adott ¨ i i i−1 i=1 feloszt´ ashoz tartoz´ o [g(ti−1 ), g(ti )] szakaszokon alkalmazva a 2.30. Többváltozós Lagrange-középértéktételt F -re kapjuk, hogy léteznek di ∈ [g(ti−1 ), g(ti )] pontok, melyekre F (g(ti )) − F (g(ti−1 )) = hF 0 (di ), g(ti ) − g(ti−1 )i, Ebb˝ ol F (g(b)) − F (g(a)) =

n X

[F (g(ti )) − F (g(ti−1 ))] =

n X

i = 1, . . . , n.

hF 0 (di ), g(ti ) − g(ti−1 )i.

i=1

i=1

A primit´ıv f¨ uggvény defin´ıci´ oja alapj´ an n n X X hf (g(ci )), g(ti ) − g(ti−1 )i = hF 0 (g(ci )), g(ti ) − g(ti−1 )i i=1

i=1 n X ≈ hF 0 (di ), g(ti ) − g(ti−1 )i = F (g(b)) − F (g(a)). i=1

A ≈ k¨ ozel´ıt˝ o egyenl˝ oség igaz, ha a t0 = a < t1 < · · · < tn−1 < tn = b felosztás elég s˝ ur˝ u. Ugyanis ekkor mivel g rektifik´ alhat´ o és folytonos, g(ci ), ti−1 < ci < ti elég közel van” a di ∈ [g(ti−1 ), g(ti )] ponthoz. Másrészt, mivel ” F 0 = f folytonos, ezért F 0 (g(ci )) is elég k¨ ozel van” F 0 (di )-hez. ” 5.15. Megjegyzés (22.39). Ha a g : [a, b] → Rp görbe differenciálható és minden j = 1, . . . , p esetén gj0 ∈ R[a, b] (pl., uggvénye F , akkor az 5.12. és g folytonosan differenci´ alhat´ o), tov´ abb´ a f : R(g) → Rp pedig folytonos, és primit´ıv f¨ a 3.9. Tételek alapj´ an Z

Z f=

g

b

hf (g(t)), g 0 (t)i dt =

a

Z

b

(F ◦ g)0 (t) dt = F (g(b)) − F (g(a))

a

az egyv´ altoz´ os Newton-Leibniz-tételb˝ ol ad´ odik. 5.16. Defin´ıci´ o. A g : [a, b] → Rp g¨ orbe z´ art g¨ orbe, ha g(a) = g(b). 5.17. Ko eny. Ha az f : Ω → Rp (Ω ⊂ Rp ) folytonos f¨ uggvénynek van primit´ıv f¨ uggvénye, akkor tetsz˝ oleges ¨vetkezm´ g : [a, b] → Ω folytonos és rektifik´ alhat´ o z´ art g¨ orbe mentén vett vonalintegr´ alja 0. Tov´ abb´ a, tetsz˝ oleges folytonos és rektifik´ alhat´ o g¨ orbe mentén vett vonalintegr´ alja f¨ uggetlen az u ´tt´ ol”. ” 5.18. T´ etel (22.44). Legyen f : Ω → Rp (Ω ⊂ Rp ) differenci´ alhat´ o Ω-n. Ha f -nek van primit´ıv f¨ uggvénye Ω-n, akkor minden x ∈ Ω esetén Di fj (x) = Dj fi (x), i, j = 1, . . . , p. 39

´ ´ ¨ ¨ 5.4. FOLYTONOS FUGGV ENY PRIMITÍV FUGGV ENYE


Bizony´ıt´ as. Mivel f differenci´ alhat´ o, ezért tetsz˝ oleges F primit´ıv f¨ uggvénye kétszer differenciálható, tehát alkalmazhat´ o r´ a a 2.42. Young-tétel (illetve, ennek egy megfelel˝oen általános´ıtott változata Rp -re). Ebb˝ol minden x ∈ Ω esetén Di (Dj F )(x) = Dij F (x) = Dji F (x) = Dj (Di F )(x) ⇒ Di fj (x) = Dj fi (x), i, j = 1, . . . , p.

5.4. Folytonos fu eny primit´ıv fu enye l´ etez´ es´ enek el´ egs´ eges felt´ e¨ ggv´ ¨ ggv´ tele Ebben a fejezetben azzal foglalkozunk, hogy milyen elégséges feltételt tudunk adni arra, hogy egy f : Rp → Rp folytonos f¨ uggvénynek létezzen primit´ıv f¨ uggvénye. Ehhez sz¨ ukség¨ unk lesz még néhány görbékre vonatkoz´ o fogalomra, valamint a vonalintegr´ al néh´ any egyszer˝ u tulajdonságára. ´ ıt´ 5.19. All´ as (22.40). Ha g1 : [a, b] → Ω ⊂ Rp , g2 : [b, d] → Ω és g1 (b) = g2 (b) u ń. csatolt görbék, akkor legyen g1 ∪ g2 : [a, d] → Ω az u ń. egyes´ıtett g¨ orbe, melyre (g1 ∪ g2 )|[a,b] = g1 és (g1 ∪ g2 )|[b,d] = g2 . Ekkor b´ armely f : Ω → Rp f¨ uggvényre

Z

Z

Z

f,

f+

f= g1 ∪g2

g2

g1

ha az integr´ alok léteznek. Bizony´ıt´ as. K¨ onnyen ad´ odik a vonalintegr´ al defin´ıciójából. ´ ıt´ 5.20. All´ as. Ha g : [a, b] → Ω ⊂ Rp g¨ orbe, akkor az ← − g : [a, b] → Ω,

← − g (t) := g(a + b − t)

legyen az ellentétesen ir´ any´ıtott g¨ orbe. Ha egy f : Ω → Rp f¨ uggvény esetén létezik Z ← − g

Bizony´ıt´ as. Mivel az

R

f ← − g

R g

f , akkor létezik

R

f ← − g

is, és

Z f =−

f. g

(5.3) defin´ıci´ oj´ aban n X

− − − hf (← g (ci )), ← g (ti ) − ← g (ti−1 )i,

(5.5)

i=1

a = t0 < t1 < · · · < ti−1 < ti < · · · < tn = b, ci ∈ [ti−1 , ti ] R alak´ u k¨ ozel´ıt˝ o¨ osszegek szerepelnek, ezért elég meggondolni, hogy minden ilyen közel´ıt˝oösszeg egyenl˝o egy, az g f − integr´ alt k¨ ozel´ıt˝ o ¨ osszeg m´ınusz egyszeresével, és ford´ıtva. Mivel ← g (t) = g(a + b − t) teljes¨ ul, azért a fenti (5.5) k¨ ozel´ıt˝ o¨ osszeg az al´ abbival egyenl˝ o: n X hf (g(c˜i )), g(t˜i ) − g(t˜i−1 )i, i=1

a = tñ < tñ−1 < · · · t˜i < t˜i−1 < · · · t˜0 = b, c˜i ∈ [t˜i , t˜i−1 ], ahol s˜ = a + b − s. Így n X

− − − hf (← g (ci )), ← g (ti ) − ← g (ti−1 )i = −

i=1

n X hf (g(c˜i )), g(t˜i−1 ) − g(t˜i )i, i=1

40


¨ ODIK ¨ OT FEJEZET ahol

a = tñ < tñ−1 < · · · t˜i < t˜i−1 < · · · t˜0 = b, c˜i ∈ [t˜i , t˜i−1 ]. R Teh´ at az oszt´ opontok ´ atsorsz´ amoz´ asa ut´ an az g f egy közel´ıt˝o összegének m´ınusz egyszeresét kapjuk. A megford´ıt´ as ugyan´ıgy meggondolhat´ o. Kor´ abban bel´ attuk a vonalintegr´ alra vonakozó 5.14. Newton-Leibniz formulát, mely szerint ha g : [a, b] → Ω ⊂ Rp folytonos és rektifik´ alhat´ o g¨ orbe, tov´ abb´ a f : Ω → Rp olyan folytonos f¨ uggvény, melynek az F : Ω → R primit´ıv f¨ uggvénye Ω-n (vagyis F differenci´ alhat´ o és F 0 = f Ω-n), akkor Z f = F (g(b)) − F (g(a)). (5.6) g

Az ´ all´ıt´ asnak megfogalmaztuk két k¨ ozvetlen következményét is. Az egyik, hogy primit´ıv f¨ uggvénnyel rendelkez˝ o folytonos f¨ uggvény z´ art g¨ orbén vett vonalintegrálja 0. A másik pedig, hogy ilyen f¨ uggvény vonalintegrálja f¨ uggetlen ” az u ´tt´ ol”, vagyis ugyanolyan végpontokkal rendelkez˝o görbéken vett vonalintegráljai megegyeznek. Az al´ abbiakban megmutatjuk, hogy ezen ´ all´ıtások mindegyike megford´ıtható, vagyis bármelyikb˝ol következik, hogy f -nek van primit´ıv f¨ uggvénye. A tov´ abbiakban görbe alatt mindig folytonos és rektifikálható görbét ért¨ unk. 5.21. T´ etel (22.41). Legyen Ω ⊂ Rp , f : Ω → Rp folytonos. Ekkor ekvivalensek : (i) Minden g : [a, b] → Ω folytonos, rektifik´ alhat´ o z´ art g¨ orbe (vagyis g(a) = g(b)) esetén Z f = 0. g

(ii) Minden olyan g1 : [a1 , b1 ] → Ω és g2 : [a2 , b2 ] → Ω folytonos, rektifik´ alhat´ o g¨ orbék esetén, melyekre g1 (a1 ) = = g2 (a2 ) és g1 (b1 ) = g2 (b2 ) is igaz (vagyis a két g¨ orbe értékkészletének végpontjai” megegyeznek), teljes¨ ul, ” hogy Z Z f= g1

f. g2

(M´ asképp : a vonalintegr´ al f¨ uggetlen az u ´tt´ ol.) (iii) f -nek létezik primit´ıv f¨ uggvénye Ω-n, vagyis létezik olyan F : Ω → R differenci´ alhat´ o f¨ uggvény, melyre ∀j = 1, . . . , p, ∀x ∈ Ω.

Dj F (x) = fj (x),

Bizony´ıt´ as. (i) ⇒ (ii). Legyenek g1 : [a1 , b1 ] → Ω és g2 : [a2 , b2 ] → Ω olyan görbék, melyekre g1 (a1 ) = g2 (a2 ) és g1 (b1 ) = g2 (b2 ). Feltehet˝ o, ´ hogy a2 = b1 (pl. g2 ´ atparaméterezésével). Ekkor az 5.20. All´ıtás szerint a ← g−2 : [a2 , b2 ] → Ω, ellentétesen ir´ any´ıtott g¨ orbével a z´ art g¨ orbe lesz, ugyanis

← g−2 (t) := g2 (a2 + b2 − t)

g1 ∪ ← g−2 : [a1 , b2 ] → Ω

(g1 ∪ ← g−2 )(a1 ) = g1 (a1 ) és (g1 ∪ ← g−2 )(b2 ) = ← g−2 (b2 ) = g2 (a2 ),

´ ıtás alapján és a feltétel szerint g1 (a1 ) = g2 (a2 ). Így (i), az 5.19 és az 5.20. All´ Z Z Z Z Z 0= f= f+ f= f− f, g1 ∪← g− 2

teh´ at

← g− 2

g1

Z

g1

Z f=

g1

f. g2

41

g2



5.5. ábra. (ii) ⇒ (iii). R¨ ogz´ıts¨ unk egy c ∈ Ω pontot. Legyen Z F : Ω → R, F (x) :=

f, gc,x

ahol gc,x jel¨ olj¨ on egy c-t x-szel ¨ osszek¨ ot˝ o sima g¨ orbét. Legyen ej ∈ Rp (j = 1,2, . . . , p) az j-edik egységvektor. Ekkor ! Z Z 1 F (x + sej ) − F (x) = lim f− f = Dj F (x) = lim s→0 s s→0 s gc,x+sej gc,x Z 1 f. = lim s→0 s g x,x+sej 0 Felhaszn´ alva, hogy a gx,x+sej (t) = x+t·ej , t ∈ [0, s] görbe folytonosan differenciálható, gx,x+se (t) = ej , az 5.12. Téj tel alapj´ an kapjuk, hogy Z Z 1 s 1 s Dj F (x) = lim hf (x + tej ), ej idt = lim fj (x + tej )dt. s→0 s 0 s→0 s 0

Az egyv´ altoz´ os Riemann-integr´ al k¨ ozépértéktétele alapján egy h : [a, b] → R folytonos f¨ uggvényhez létezik olyan θ ∈ [a, b], melyre Z b h = h(θ) · (b − a), a

(vagyis a f¨ uggvény alatti ter¨ ulet egy b − a és h(θ) oldalhossz´ uság´ u téglalap ter¨ uletével egyezik meg). Felhaszn´ alva, hogy a [0, s] 3 t 7→ fj (x + tej ) f¨ uggvény folytonos (mivel f az), létezik olyan ϑ = ϑ(s) ∈ [0, s], melyre Z 1 s 1 Dj F (x) = lim fj (x + tej )dt = lim fj (x + ϑej ) · s = lim fj (x + ϑej ) = fj (x), s→0 s 0 s→0 s s→0 mivel s → 0 esetén ϑ(s) → 0 és fj folytonos. Teh´ at Dj F (x) = fj (x),

∀x ∈ Ω.

Mivel j tetsz˝ oleges volt, és fj folytonos, ebb˝ ol az is következik, hogy Dj F folytonos Ω-n minden j-re. Így következik, 0 hogy F differenci´ alhat´ o Ω-n és F = f . (iii) ⇒ (i) Ld. az 5.17. K¨ ovetkezményt. 5.22. Megjegyzés. A fenti bizony´ıt´ as (ii) ⇒ (iii) részében felhasználtuk, hogy bármely c, x ∈ Ω esetén létezik c-t x-szel ¨ osszek¨ ot˝ o, Ω-ban fut´ o sima g¨ orbe. Ez csak akkor igaz, ha Ω-ról feltessz¨ uk, hogy u ń. ¨ osszef¨ ugg˝ o halmaz. Ha Ω nem ¨ osszef¨ ugg˝ o, akkor az egyes ¨ osszef¨ ugg˝ oségi komponenseire alkalmazva a bizony´ıtást, az F primit´ıv f¨ uggvény az ´ıgy kapott f¨ uggvényekb˝ ol el˝ o´ all´ıthat´ o. Ennek meggondolását itt tovább nem részletezz¨ uk. 42


´ ´ FUGGV ´ ´ ¨ ¨ 5.5. FOLYTONOSAN DIFFERENCIALHAT O ENY PRIMITÍV FUGGV ENYE

5.5. Folytonosan differenci´ alhat´ o fu eny primit´ıv fu enye l´ etez´ es´ e¨ ggv´ ¨ ggv´ nek el´ egs´ eges felt´ etele Az el˝ oz˝ o fejezetben l´ attuk, hogy a z´ art g¨ orbéken 0 vonalintegrállal rendelkez˝o folytonos f¨ uggvényeknek van primit´ıv f¨ uggvénye. Ezt a feltételt azonban a gyakorlatban igen nehéz ellen˝orizni, hiszen minden lehetséges zárt g¨ orbén vett integr´ alt ki kellene sz´ amolni. Ebben a fejezetben azzal foglalkozunk, hogy egy elég sima (folytonosan differenci´ alhat´ o) f : Rp → Rp f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvénye létezésére milyen könnyebben ellen˝orizhet˝o feltételt tudunk adni. Kider¨ ul, hogy a kor´ abban bel´ atott 5.18. Tétel megford´ıtása megfelel˝o tulajdonság´ u tartományon alkalmazhat´ o. Az ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ as´ ahoz sz¨ ukség¨ unk lesz a paraméteres integrál fogalmára.

5.5.1. Param´ eteres integr´ al Legyen h : [a, b] × [c, d] → R folytonos f¨ uggvény (ahol most [a, b] és [c, d] valós intervallumok). A Z b H : [c, d] → R, H(y) := h(x, y) dx a

f¨ uggvényt paraméteres integr´ al nak nevezz¨ uk (y a paraméter”). ” 5.23. T´ etel. Legyen h : [a, b]×[c, d] → R folytonos f¨ uggvény. Tegy¨ uk fel, hogy D2 h létezik és folytonos [a, b]×[c, d]-n. Ekkor a H : [c, d] → R, Z b H(y) := h(x, y) dx a

f¨ uggvény differenci´ alhat´ o (c, d)-n és minden y ∈ (c, d) esetén Z b 0 H (y) = D2 h(x, y) dx. a

Bizony´ıt´ as. Legyen y ∈ (c, d) tetsz˝ oleges. Ekkor ∀s ∈ (c, d), s 6= y esetén Z b H(s) − H(y) − D2 h(x, y) dx = s−y a ! Z Z b Z b b 1 = h(x, s) dx − h(x, y) dx − D2 h(x, y) dx = s−y a a a Z b Z b 1 (h(x, s) − h(x, y)) dx − D2 h(x, y) dx = = s−y a a Z b Z b 1 = D2 h(x, η)(s − y) dx − D2 h(x, y) dx = s−y a a Z b = (D2 h(x, η) − D2 h(x, y)) dx, a

ahol az utols´ o el˝ otti sorban alkalmaztuk a Lagrange-középértéktételt h-ra a 2. változóban, η ∈ (s, y) vagy η ∈ (y, s) (és η tulajdonképpen f¨ ugg x-t˝ ol, de ennek a továbbiakban nem lesz szerepe). Mivel D2 h folytonos [a, b] × [c, d]-n, ezért ∀ε > 0 ∃δ > 0, hogy ∀(x, s), (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], amelyre |(x, s) − (x, y)| = |s − y| < δ, teljes¨ ul, hogy |D2 h(x, s) − D2 h(x, y)| < ε. Legyen s ∈ (c, d), s 6= y olyan, hogy |s − y| < δ. Mivel η az y és s között van, ´ıgy |η − y| < δ is fennáll, amib˝ ol |D2 h(x, η) − D2 h(x, y)| < ε is k¨ ovetkezik. Ekkor a fenti egyenl˝ oség alapján Z Z b H(s) − H(y) Z b b − D2 h(x, y) dx ≤ |D2 h(x, η) − D2 h(x, y)| dx < ε dx = ε(b − a). s−y a a a 43

´ ´ FUGGV ´ ´ ¨ ¨ 5.5. FOLYTONOSAN DIFFERENCIALHAT O ENY PRIMITÍV FUGGV ENYE Ez éppen azt jelenti, hogy ∃ lims→y

H(s)−H(y) s−y


és

H(s) − H(y) H (y) = lim = s→y s−y 0

Z

b

D2 h(x, y) dx. a

Ezt a tételt a paraméteres integr´ al deriv´ al´ asa” néven szokták emlegetni, és formálisan azt mondja, hogy ” Z b Z b ∂h d h(x, y) dx = (x, y) dx, dy a a ∂y azaz kell˝ oen sima f¨ uggvény esetén az integr´ al paraméter szerinti deriválását az integrál alatt is el lehet végezni.

5.5.2. Folytonosan differenci´ alhat´ o fu eny csillagtartom´ anyon ¨ ggv´ Most a kor´ abban bel´ atott az 5.18. Tétel tétel megford´ıtását fogjuk igazolni. Meggondoltuk, hogy ha Ω ⊂ Rp , p f : Ω → R differenci´ alhat´ o, és f -nek létezik F : Ω → R primit´ıv f¨ uggvénye, akkor ∀i, j = 1, . . . , p, ∀x ∈ Ω.

Di fj (x) = Dj fi (x),

(5.7)

Az al´ abbiakban megmutatjuk, hogy ha Ω u ń. csillagtartom´ any és f folytonosan differenci´ alhat´ o Ω-n, akkor a fenti (5.7) feltételb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy f -nek van primit´ıv f¨ uggvénye. 5.24. Defin´ıci´ o. Legyen Ω ⊂ Rp . Az Ω tartomány csillagtartom´ any, ha létezik olyan c ∈ Ω pont, hogy minden x ∈ Ω esetén [c, x] := {c + t(x − c) ∈ Rp : t ∈ [0,1]} ⊂ Ω (a c pontb´ ol az Ω minden pontj´ ahoz el lehet l´ atni” Ω-ban. . . ). ” 5.25. T´ etel. Legyen Ω ⊂ Rp csillagtartom´ any. Legyen f : Ω → Rp folytonosan differenci´ alhat´ o, vagyis f differenci´ alhat´ o és minden i, j = 1,2, . . . , p esetén Di fj folytonos Ω-n. Ekkor ekvivalensek : (i) Minden x ∈ Ω esetén Di fj (x) = Dj fi (x), 0

azaz f (x) ∈ R

p×p

∀i, j = 1, . . . , p,

szimmetrikus m´ atrix.

(ii) f -nek létezik primit´ıv f¨ uggvénye Ω-n, vagyis létezik olyan F : Ω → R differenci´ alhat´ o f¨ uggvény, melyre ∀j = 1, . . . , p, ∀x ∈ Ω.

Dj F (x) = fj (x),

Bizony´ıt´ as. (i) ⇒ (ii) Legyen x ∈ Ω, x 6= c tetsz˝ oleges. Legyen a c pontot x-szel összeköt˝o görbe az a gc,x (t) := c + t(x − c) ∈ Ω, t ∈ [0,1]. Az gc,x g¨ orbén vett vonalintegr´ al legyen a F f¨ uggvény x-beli értéke, azaz definiálja az F : Ω → R f¨ uggvényt Z F (x) := f, x ∈ Ω. gc,x

Ekkor az 5.12. Tétel alapj´ an Z

1

hf (c + t(x − c)), x − ci dt,

F (x) = 0

0 mivel gc,x (t) = x − c. Megmutatjuk, hogy F primit´ıv f¨ uggvénye az f -nek. Legyen j ∈ {1,2, . . . , p} tetsz˝oleges index. Ekkor minden x ∈ Ω esetén ! Z 1 Z 1 X p Dj F (x) = Dj hf (c + t(x − c)), x − ci dt = Dj fi (c + t(x − c))(xi − ci ) dt. 0

0

44

i=1

´ ´ ´ ´ ÍTASAI ´ 5.6. A NEWTON-LEIBNIZ TETEL TOVABBI ALTAL ANOS


Most alkalmazzuk a paraméteres integr´ al deriválásáról szóló 5.23. Tételt. A paraméter” ez´ uttal xj , az j. v´ altoz´ o ” lesz. Így folytatva a sz´ amol´ ast: ! Z 1 X p {Dj fi (c + t(x − c)) · t} · (xi − ci ) + fj (c + t(x − c)) · 1 dt, Dj F (x) = 0

i=1

hiszen ha i 6= j, akkor Dj (xi − ci ) = 0. Most használjuk ki, hogy Dj fi = Di fj . Így kapjuk, hogy ! Z 1 X p Dj F (x) = {Di fj (c + t(x − c)) · t} · (xi − ci ) + fj (c + t(x − c)) dt. 0

(5.8)

i=1

Tekints¨ uk a Φ : R → R, Φ(t) := fj (c + t(x − c)) · t f¨ uggvényt! A feltevések miatt Φ differenciálható (mivel fj az), és a 3.9. Kompoz´ıcióf¨ uggvény derivál´ asi szab´ alya, valamint az egyv´ altoz´ os szorzatf¨ uggvény deriválási szabálya alapján Φ0 (t) = hfj0 (c + t(x − c)), (x − c)i · t + fj (c + t(x − c)) =

p X

Di fj (c + t(x − c)) · t · (xi − ci ) + fj (c + t(x − c)).

i=1

Vegy¨ uk észre, hogy az (5.8) integr´ al alatt éppen Φ0 (t) áll. Ezért : Z Dj F (x) =

1

Φ0 (t) dt = [Φ(t)]10 = Φ(1) − Φ(0) = fj (c + x − c) − 0 = fj (x).

0

Teh´ at Dj F (x) = fj (x). Mivel fj folytonos Ω-n, ezért Dj F folytonos minden j-re, amib˝ol már következik, hogy F differenci´ alhat´ o. Így val´ oban F az f primit´ıv f¨ uggvénye. (ii) ⇒ (i) Az ´ all´ıt´ as a m´ ar bizony´ıtott 5.18. Tétel.

5.6. A Newton-Leibniz t´ etel tov´ abbi ´ altal´ anos´ıt´ asai L´ attuk, hogy az 5.14. Tétel a Riemann-integrál elméletéb˝ol ismeretes Newton-Leibniz tétel általános´ıt´ asa vonalintegr´ alra. Ebben a fejezetben olyan, a differenciálgeometriában és a fizikában fontos szerepet játsz´ o o ug¨sszef¨ géseket ismertet¨ unk (bizony´ıt´ as nélk¨ ul), melyek szintén felfoghatók mint a Newton-Leibniz tétel által´ anos´ıt´ asai. Az 5.28. Green-tétel tulajdonképpen a Newton-Leibniz tétel kétváltozós, az 5.34. Tétel pedig a h´ aromv´ altoz´ os vari´ ansa. Ez ut´ obbinak fontos k¨ ovetkezménye az 5.35. Gauss-Osztrogradszkij és az 5.36. Stokes-tétel.

5.6.1. Green t´ etele A tétel kimond´ as´ ahoz sz¨ ukség¨ unk lesz egy görbén értelmezett valós érték˝ u f¨ uggvény u ´gynevezett ´ıvhossz szerinti vonalintegr´ alj´ anak fogalm´ ara. 5.26. Defin´ıci´ o (22.52). Legyen gR : [a, b] → Rp görbe, f : R(g) → R(!). Azt mondjuk, hogy az f ´ıvhossz szerinti vonalintegr´ alja a g g¨ orbe mentén g f ds ∈ R, ha minden ε > 0 számhoz létezik az [a, b] intervallumnak olyan a = t0 < t1 < · · · < tn = b feloszt´ asa és ehhez ti−1 < ci < ti , i = 1, . . . , n számok, melyekre Z n X f (g(ci )) · |g(ti ) − g(ti−1 )| < ε. f ds − g i=1

A k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ as az 5.8. Tétel megfelel˝ oje ´ıvhossz szerinti vonalintegrálra. 45



´ ıt´ 5.27. All´ as (22.53). Legyen g : [a, b] → Rp g¨ orbe differenci´ alhat´ o és minden j = 1, . . . , p esetén gj0 ∈ R[a, b] (pl., g folytonosan differenci´ alhat´ o), tov´ abb´ a f : R(g) → R folytonos. Ekkor Z Z b f ds = f (g(t)) · |g 0 (t)| dt. (5.9) g

a

A Green-tétel arr´ ol sz´ ol, hogy ha f : R2 → R val´ os érték˝ u, folytonosan differenciálható f¨ uggvény, akkor f 0 -nek egy 2 g : [a, b] → R sima g¨ orbe ´ altal hat´ arolt tartományon vett ter¨ uleti integrálja el˝oáll mint az f · n leképezésnek a tartom´ any hat´ ar´ an vett (´ıvhossz szerinti) vonalintegrálja. Itt n a tartomány határának kifelé mutató norm´ alisa, vagyis ha g sima g¨ orbe, akkor n : [a, b] → R2 ,

1 (g 0 (t), −g10 (t)) . |g 0 (t)| 2

n(t) =

5.28. T´ etel (Green, 22.47, 22.54). Legyen g : [a, b] → R2 pozit´ıv ir´ any´ıt´ as´ u egyszer˝ u (azaz, [a, b)-n injekt´ıv) z´ art s´ıkg¨ orbe, mely véges sok folytonosan differenci´ alhat´ o ´ıvb˝ ol ´ all. Jel¨ olje a g ´ altal hat´ arolt (korl´ atos) tartom´ anyt A ⊂ R2 , alhat´ o, akkor és legyen A ⊂ G ny´ılt. Ha f : G → R folytonosan differenci´ Z Z f n ds = f 0, g

ahol n(t) =

1 |g 0 (t)|

A

´ ıt´ (g20 (t), −g10 (t)) a g¨ orbe t pontbeli u ń. k¨ uls˝o normálisa. ´ Igy a fenti formula az 5.27. All´ as alapj´ an Z

b

f (g(t)) · g20 (t) dt =

a

Z

Z D1 f,

A

b

f (g(t)) · g10 (t) dt = −

a

Z D2 f. A

A Green-tétel joggal tekinthet˝ o az egyv´ altoz´ os Newton-Leibniz-tétel kétváltozós általános´ıtásának. Ugyanis, az ut´ obbi arr´ ol sz´ ol, hogy egy f 0 f¨ uggvény [a, b] intervallumon vett Riemann-integrálja egyenl˝o f (b) − f (a)-val. Nyilv´ an nevezhetj¨ uk az 1 vektort (sz´ amot) az [a, b] intervallum b pontjában vett k¨ uls˝o normálisának, a −1 vektort pedig az a pontban vett k¨ uls˝ o norm´ alis´ anak, és ´ıgy f (b) − f (a) = f (b) · n(b) + f (a) · n(a).

5.6.2. Felu ¨ let, felsz´ın A fel¨ uletet tekinthetj¨ uk a g¨ orbe kétv´ altoz´ os ´ altal´ anos´ıtásának. 5.29. Defin´ıci´ o. Legyen A ⊂ R2 mérhet˝ o. A g : A → Rp leképezés Rp -beli (paraméterezett) fel¨ ulet. A fel¨ ulet folytonos/(folytonosan) differenci´ alhat´ o, ha g az. Speci´ alis fel¨ ulet: g : A → R3 , g(x, y) = (x, y, f (x, y)), ahol f : A → R f¨ uggvény. Ekkor R(g) = graph (f ). 5.30. P´ elda. G¨ ombfel¨ ulet paraméterezése: g : [0,2π] × [0, π] → R3 , g(α, β) = (R · sin β cos α, R · sin β sin α, R · cos β).

5.6. ´ abra. Felsz´ın közel´ıtése A fel¨ ulet felsz´ınét – a technikai nehézségek elker¨ ulése végett – egy fel¨ uleti integrállal definiáljuk. A képlet hasonl´ıt a folytonosan differenci´ alhat´ o g¨ orbe ´ıvhossz´ ara vonatkozó (5.2) formulára. 46



5.31. Defin´ıci´ o (22.56). Legyen A ⊂ R2 mérhet˝o és g : A → Rp folytonosan differenciálható fel¨ ulet. Azt mondjuk, hogy a g felsz´ıne létezik és értéke Z |D1 g × D2 g| , A

ha a |D1 g × D2 g| integr´ alhat´ o A-n, ahol |a × b| = |a| · |b| · sin γ =

p

|a|2 · |b|2 − ha, bi2 ,

a, b ∈ Rp

az a és b vektorok ´ altal kifesz´ıtett paralelogramma ter¨ ulete (γ a közbezárt szög¨ uk.) ´ ıt´ 5.32. All´ as (22.59). Legyen A ⊂ R2 mérhet˝ o, zárt halmaz és f : A → R folytonosan differenci´ alhat´ o. Ekkor f grafikonj´ anak felsz´ıne Z p F (graph (f )) = 1 + (D1 f )2 + (D2 f )2 . A 3

Bizony´ıt´ as. Legyen g : A → R , g(x, y) = (x, y, f (x, y)) a graph (f )-et paraméterez˝o fel¨ ulet. Ekkor D1 g = (1,0, D1 f ), D2 g = (0,1, D2 f ). Így p p |D1 g × D2 g| = (1 + (D1 f )2 )(1 + (D2 f )2 ) − (D1 f )2 (D2 f )2 = 1 + (D1 f )2 + (D2 f )2 , amib˝ ol az ´ all´ıt´ as a fenti defin´ıci´ o alapj´ an adódik.

5.6.3. Integr´ alt´ etelek h´ arom dimenzi´ oban Egy fel¨ uleten (egész pontosan, annak értékkészletén) értelmezett valós f¨ uggvény felsz´ıni integrálját a fel¨ ulet felsz´ınéhez hasonl´ oan nem k¨ ozel´ıt˝ o¨ osszegekkel, hanem egy ter¨ uleti integrállal definiáljuk. A formula az ´ıvhossz szerinti integr´ alra vonatkoz´ o (5.9) formula anal´ ogja. 5.33. Defin´ıci´ o (22.60). Legyen A ⊂ R2 mérhet˝o, g : A → Rp folytonosan differenciálható fel¨ ulet és f : R(g) → R. Az f felsz´ıni integr´ alja Z Z (f ◦ g) · |D1 g × D2 g| ,

f dF = A

A

ha a jobb oldali integr´ al létezik. A k¨ ovetkez˝ o tétel – hasonl´ o meggondol´ assal, mint ahogy az 5.28. Green-tételnél láttuk – a Newton-Leibniz formula h´ aromdimenzi´ os vari´ ans´ anak tekinthet˝ o. 5.34. T´ etel (22.61). Tegy¨ uk fel, hogy a korl´ atos K ⊂ R3 halmaz ∂K hat´ ara véges sok, folytonosan differenci´ alhat´ o alhat´ o, akkor fel¨ uletb˝ ol ´ all. Ha az f : K → R folytonosan differenci´ Z Z f n dF = f 0, ∂K

K

ahol n(x) ∈ R3 az x ∈ ∂K pontban a ∂K érint˝ os´ıkj´ ara mer˝ oleges, K-b´ ol kifelé mutat´ o egységvektor : a K u ń. k¨ uls˝ o ´ norm´ alisa. Igy a fenti formula n = (n1 , n2 , n3 ) jel¨ oléssel Z Z Z Z Z Z f n1 dF = D1 f, f n2 dF = D2 f, f n3 dF = D3 f. ∂K

K

∂K

K

∂K

K

Az al´ abbi két tétel alapvet˝ o fontoss´ ag´ u a fizikában, ezen bel¨ ul is az elektrodinamikában és a folyadék´ araml´ asok elméletében. Mindkett˝ o a fenti tétel egyszer˝ u következményeként bizony´ıtható. 5.35. T´ etel (Gauss-Osztrogradszkij, 22.65). Tegy¨ uk fel, hogy a korl´ atos K ⊂ R3 halmaz ∂K hat´ ara véges sok, folytonosan differenci´ alhat´ o fel¨ uletb˝ ol ´ all. Ha az f = (f1 , f2 , f3 ) : K → R3 folytonosan differenci´ alhat´ o, akkor Z Z hf, ni dF = divf, ∂K

K

ahol divf = D1 f1 + D2 f2 + D3 f3 . 47



5.36. T´ etel (Stokes, 22.65). Tegy¨ uk fel, hogy a korl´ atos K ⊂ R3 halmaz ∂K hat´ ara véges sok, folytonosan diffealhat´ o, akkor renci´ alhat´ o fel¨ uletb˝ ol ´ all. Ha az f = (f1 , f2 , f3 ) : K → R3 folytonosan differenci´ Z Z (f × n) dF = − rotf, ∂K

K

ahol rotf = (D2 f3 − D3 f2 , D3 f1 − D1 f3 , D1 f2 − D2 f1 ) és a × b = (a2 b3 − a3 b2 , b1 a3 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ),

48

a, b ∈ R3 .

T´ argymutat´ o érint˝ os´ık, 11 érint˝ o hipers´ık, 14

kvadratikus alak, 18 definitsége, 18

csillagtartom´ any, 44

lineáris leképezés, 8, 13, 23 Lokális injektivitás tétele, 33 Lokális sz¨ urjektivitás tétele, 33 lokális széls˝oérték, 6 és parciális derivált, 7

deriv´ altvektor, 9, 13 differenci´ alhat´ os´ ag, 9, 13, 23 és folytonoss´ ag, 9, 13, 24 és parci´ alis deriv´ altak, 9, 13 és parci´ alis deriv´ altak folytonoss´ aga, 10, 14, 24 differenci´ al´ asi szab´ alyok, 24–25 Jacobi-m´ atrix, 23 k-szoros, 21 l´ ancszab´ aly, 25 Lagrange-k¨ ozépértéktétel, 13, 14 differenci´ alegyenletek line´ aris, 2 szétv´ alaszthat´ o, 3 egyszer˝ u ´ıv, 36 fel¨ ulet, 46 felsz´ıne, 47 felsz´ıni integr´ al, 47 feltételes széls˝ oérték, 31 Lagrange-multiplik´ atorok, 31 folytonos differenci´ alhat´ os´ ag, 26 g¨ orbe, 35 (folytonosan) differenci´ alhat´ o, Lipschitz, 36 ´ıvhossza, 36 differenci´ alhat´ o g¨ orbe ´ıvhossza, 37 egyes´ıtett, 40 ellentétesen ir´ any´ıtott, 40 rektifik´ alhat´ o, 36 Implicitf¨ uggvény-tétel, 29, 34 Inverzf¨ uggvény-tétel, 33 ir´ anymenti deriv´ alt, 11, 14 és differenci´ alhat´ os´ ag, 11, 14 kétszeres differenci´ alhat´ os´ ag, 16 és konvexit´ as, 20 és lok´ alis széls˝ oérték, 19 konvexit´ as, 20 koordin´ ataf¨ uggvények, 23

Ny´ılt leképezés tétele, 33 paraméteres integrál, 43 parciális derivált, 5 k-adrend˝ u, 21 parciális deriváltf¨ uggvény, 6 polinomf¨ uggvény, 10 primit´ıv f¨ uggvény, 39 folytonos f¨ uggvényé, 41 folytonosan differenciálható f¨ uggvényé, 44 Tételek Differenciálható görbén vett vonalintegr´ al, 38 Differenciálható görbe ´ıvhossza, 37 Differenciálhatóság és iránymenti derivált, 11, 14 és parciális deriváltak, 10, 14, 24 Folytonos f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvénye, 41 Folytonos lokális inverz, 33 Folytonosan differenciálható f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvénye, 44 Gauss-Osztrogradszkij-tétel, 47 Green tétele, 46 Implicitf¨ uggvény-tétel egyváltozós, 29 többváltozós, 34 Integráltranszformáció, 27 Inverzf¨ uggvény deriválása, 25 Inverzf¨ uggvény-tétel, 33 Jacobi-mátrix egyértelm˝ usége, 23 Kompoz´ıcióf¨ uggvény deriválása, 24 Konvexitás sz¨ ukséges és elégséges feltétele, 20 Lagrange-féle multiplikátor módszer, 31 Lagrange-középértéktétel, 13, 14 Lokális injektivitás tétele, 33 Lokális sz¨ urjektivitás tétele, 33 Lokális széls˝oérték elégséges feltétele, 19 49

´ ´ TARGYMUTAT O

´ ´ TARGYMUTAT O

Newton-Leibniz formula felsz´ıni integr´ alra, 47 Newton-Leibniz formula vonalintegr´ alra, 39 Ny´ılt leképezés tétele, 33 Paraméteres integr´ al deriv´ al´ asa, 43 Stokes-tétel, 48 Taylor-formula, 17, 22 Taylor-formula Lagrange-maradéktaggal, 21 Young-tétel, 14 Taylor-polinom 2., 16 Lagrange-féle maradéktag, 21 n., 21 Taylor-formula, 17, 22 vonalintegr´ al, 38 ´ıvhossz szerinti, 45 additivit´ asa, 40 differenci´ alhat´ o g¨ orbén, 38 ellentétesen ir´ any´ıtott g¨ orbén, 40 Newton-Leibniz formula, 39 Young-tétel, 14

50

2011. tavaszi félév

Recommend Documents