2. Rugalmas állandók mérése Klasszikus fizika laboratórium Mérési jegyzőkönyv
Mérést végezte: Vitkóczi Fanni Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2012. 12. 15.
I. A mérés célja: Két anyag Young-modulusának meghatározása a testek lehajlásának mérésével, valamint torziómoduluszés tehetetlenségi nyomaték mérése torziós inga segítségével.
II. A mérés elméleti hátterének áttekintése: A két végén feltámasztott és középen terhelt rúd az ábrán látható módon deformálódik:
Jól látható, hogy az alsó rész rétegei meghosszabbodnak, a felsők rövidülnek, mivel felül nyomó-, alul pedig húzó feszültségek lépnek fel. A két jól elkülöníthető rész közötti változatlan hosszúságú részt neutrális rétegnek nevezzük. Ezen rétegnek a vízszinteshez képest történő középső (legnagyobb) lehajlását az 1 l3 s= F (1) 48 ( EI ) összefüggés írja le, amelyben s jelöli a lehajlás mértékét, l a feltámasztási pontok távolságát, F azt az erő, amely elődiézi a lehajlást, E a minta Young-modulusza, I pedig a minta keresztmetszetének másodrendű nyomatéka. Ha a koordináta rendszer x-y síkjának a vízszintes neutrális síkot választjuk, az x - tengely a rúd hosszának irányába mutat, a z -tengely pedig felfelé, akkor a másodrendű nyomaték az alábbi képlet alapján számolható: 2 I =∫ z df . (2) f
R sugarú kör keresztmetszetű rúd esetén I o= π R 4 , 4 a alapú, b magasságú téglalap keresztmetszet esetén 3 ab I ❑= . 12 A mérést a 2. ábrán látható, kétkarú emelőt tartalmazó eszköz segítségével végeztem.
A rendelkezésre álló súlyok és az erőkar segítségével számos terhelés megvalósítható, a feltámasztás változtatásával pedig az l értéke módosítható egészen 40 cm-ig.
(3) (4)
A rúd közepének lehajlása az eszközön található, 0,01 mm léptékű mérőóra segítségével mérhető. Ügyelni kell azonban arra, hogy a terhelés változtatásakor a rúd ne mozduljon el és a terhelés valóban középen legyen. Vékony huzal torziómoduluszát a huzalból készült torziós inga segítségével határoztam meg. A G torziós modulusz és az inga T lengéideje között az alábbi kapcsolat áll fenn: G=K Θ2 . (5) T Az összefüggésben szereplő Θ a lengő rendszer tehetetlenségi nyomatéka és K a torziós szálra jellemző állandó: l K =8π 4 , (6) r ahol r a szál sugara, l pedig a hossza. Ily módon Θ ismeretében a T lengésidő mérésével a G érték már meghatározható lenne. A tehetetlenségi nyomaték azonban általában nem ismert, ezért úgy végezzük a mérést, hogy a torziós inga tehetetlenségi nyomatékát ismert mértékben változtatjuk, így lehetségessé válik a torziómodulusz meghatározása. Az üres ingára a középponthoz képest szimmetrikusan két m1 és m2 tömegű, súlypontjukra nézve Θ1 és Θ2 tehetetlenségi nyomatékú tárcsát helyeztem. Törekedni kell arra, hogy a két tömeg és tehetetlenségi nyomaték minél inkább azonos legyen. Ha a tárcsák távolsága a forgástengelytől a, a rendszer eredő tehetetlenségi nyomatéka: 2 Θ=Θü+Θs1+Θs2+(m1+m2 ) a . (7) A képletben szereplő Θü az üres inga tehetetlenségi nyomatéka, az (m1+m2)a2 tag pedig a Steiner - tétellel magyarázható. Így az (5) kifejezést felhasználva az alábbi összefüggéshez jutunk: (m +m 2 ) 2 K T 2 = (Θü +Θ si+Θs2 )+K 1 a . (8) G G Tehát, ha a mért T lengésidők négyzetét az a2 értékek függvényében ábrázoljuk, egy egyenest kapunk, amely m meredekségéből a G torziómodulusz kiszámítható: K m= (m 1+m 2 ) , (9) G amelyből ( m +m2) G= K 1 . (10) m III. A lengésidőt egy fényérzékelőből álló egység detektálja, az időmérés egy elektronikus számlálóval történik, a műszerrel 10 vagy 50 lengés ideje mérhető. A mérés során a 10 lengés idejébőll származtatott periódusidőt használtam. Ha az inga az egyensúlyi helyen takarja el a fényérzékelő fényforrását, tehát ekkor kezdjük meg a mérést, a csillapítás miatt bekövetkezhető, az amplitúdócsökkenésből származó hiba csökkenthető, így a beállításkor erre ügyelnünk kell. Az inga keretén a tárcsák állása 1 cm-es osztással változtatható ±0,05 mm pontosságal.
IV. Mért adatok és kiértékelésük: 1) A Young-modulus meghatározása: A1
A méréseket az A1 és S1 jelzésű mintákkal végeztem.
A1 S1
A minták geometriai adatai: a (*10-3 m) 8,15 8,13 -3
b (*10 m)
11,98
11,97
8,06
8,05
8,03
8,08
11,99
12,03
12,02
12,0
d (*10-3 m) 9,90 9,94 9,99 9,91 9,97 9,94 A mért adatok átlagértékét a táblázat utolsó oszlopában tüntettem fel. A henger alakú minta esetén a sugár a szükséges adat: r = d/2 = 4,97 *10-3 m. Az (1) összefüggés ellenőrzésére kétféle mérést végeztem. a) Először állandó l hosszúság mellett feljegyeztem az s lehajlásokat különböző F terhelések esetén: ➢ l = 40 ± 0,25 cm mindhárom esetben. A1 (i. eset)
A1 (ii. eset)
S1
F (N)
s (0,01 mm)
F (N)
s (0,01 mm)
F (N)
s (0,01 mm)
5
57,5
5
47
7,5
82
7,5
66,5
7,5
51
10
92,5
10
76
10
55,5
12,5
101,5
12,5
85,5
12,5
59,5
15
110
15
95
15
64
20
127,5
20
114
20
73
25
145
25
132
25
81
30
163
30
151
30
90
40
199
35
170
40
107
-
-
40
188,5
50
123
-
-
-
-
60
140
-
-
-
-
80
172
-
-
-
-
100
206
-
-
A mért értékpárokat ábrázoltam, a várakozásnak megfelelően mindhárom esetben egyenest kaptam. Az egyenes meredekségéből a másodrendű nyomaték ismeretében a 1 l3 1 l3 1 l3 F → m= Young-modulusz meghatározható: s= → E= 48 ( EI ) 48 ( mI ) 48 ( EI ) A1 (i.)
A1 (ii.)
S1
Egyenes meredeksége: m
3,7486*10-5
1,6728*10-5
3,5638*10-5
A meredekség hibája: Δm
± 6,3*10-8
± 5,8*10-8
± 2,0*10-8
m1= 3,7486*10-5 ± 6,3*10-8
m2 = 1,6728*10-5 ± 5,8*10-8
m3 = 3,5638 *10-5 ± 2,0*10-8
(Δ l ) (Δ m) (Δ I ) + + l m I Az alábbi táblázat tartalmazza a Young-modulusz értékét és hibáját, valamint a számításhoz szükséges másodrendű nyomaték értékét és hibáját egyaránt:
A Young-modulusz hibája a hibaszámítás szabályai alapján: Δ E=3
A1 (i.) -10
A1 (ii.)
S1
1,1635*10 m
4,792*10-10 m4
1,5*10-11 m4
1,9*10-11 m4
1,5*10-11 m4
Young-modulusz: E
6,743 *1010 N/m2
6,851 * 1010 N/m2
7,8 * 1010 N/m2
Young-modulusz hibája: ΔE
± 0,33 *1010 N/m2
± 0,26 * 1010 N/m2
± 0,43 *1010 N/m2
Másodrendű nyomaték: I
5,275*10 m
Másodrendű nyomaték hibája: ΔI
4
-9
4
b) Ezt követően állandó 1000 g-os majd 3000 g-os terhelés mellett megmértem a lehajlásokat különböző l éktávolságok mellett az S1 minta esetén. A mért értékek az alábbi táblázatban találhatók: l (cm)
40
36
32
28
24
20
16
12
s0 (*0,01 mm)
92,5
87
71
67
61
56
51
45
st (*0,01 mm)
163
139
112
93
76
65
56
48
s = st-s0 (*0,01 mm)
70,5
52
41
26
15
9
5
3
1 F 1 l3 F=m l 3 → m= alapján a Young-modulus meghatározható. 48 ( EI ) 48 ( EI ) Ha az s lehajlást az l3 függvényében ábrázoljuk, megkapjuk a szükséges egyenes merdekségét. Az egyenest a Gnuplot program segítségével illesztettem, a merededség: m = 0,01116 ± 0,00035.
Az
s=
Lehajlás s (*10-5 m)
m = 0,01116 ± 0,00035
l3 (*10-3 m3 )
1 F N =7,79∗10 10 2 . 48 ( mI ) m A Young-modulus hibája, ha az erő becsült relatív hibája ± 1%-nak tekinthető: ( Δ F ) (Δ m) (Δ I ) N Δ E=[ + + ] E=0,566∗1010 2 . F m I m → Az S1 mita Young-modulusa a második módszer alapján: E = (7,79 ± 0,566 )*1010 N/m2. A mérési eredmények alapján a minta Young-modulusa: E=
c) Az 1/a) mérést a téglalap keresztmetszetű mintán mindkét élell párhuzamos terhelés mellett elvégeztem, a mérési eredmények és a Young-modulus számítása az a) részben megtalálható. m1 (3,7486∗10−5 ) = =2,24 . A két merdekség arányára az alábbi mennyiséget kaptam: m 2 (1,6728∗10−5 ) I 2 (1,1635∗10−9 ) = =2,20 arányt, a két mennyiség a második tizedes Ha tekintjük az I 1 (5,275∗10−10 ) m1 I 2 = jegyig azonos, így azt mondhatjuk, hogy a feltételezett teljesül, a kis eltérés a m2 I 1 mérési hibából származik. 2) Torziómodulusz mérése, és az inga tehetetlenségi nyomatékának meghatározása: A torziós ingában található vékony szál geometriai adatait csavarmikrométer, valamint miliméter beosztású mérőszalag segítségével mértem, a csvarmikrométer hibája ± 0,005 mm, a hosszmérés hibája ± 0,05 cm. A mért adatok átlagát a táblázat utolsó oszlopában tüntettem fel: d (mm)
0,71
0,70
0,72
l (cm)
0,70
0,71
0,72
0,71
59,1 A súlyok geometriai adatait tolómérő és csavarmikrométer segítségével állapítottam meg, a tömeget analítikai mérleg segítségével mértem. A tolómérő hibája ± 0,025 mm, a tömegmérés estén a hiba ±0,0001 g. A méréshez az 5. és 8. sorszámú súlyokat használtam. A táblázat utolsó oszlopában az egyes mennyiségek átlaga szerepel.
d ±0,025 (mm)
45,1
45,0
45,05
45,0
45,04
5. h ± 0,005 (mm)
13,78
13,74
13,75
13,74
13,75
m1 (g) 8.
194,6370
d ±0,025 (mm)
45,1
45,0
45,1
45,0
45,05
h ± 0,005 (mm)
13,86
13,90
13,86
13,9
13,88
m2 (g)
196,2680
Az alábbi táblázat az óvatosan kitérített inga lengésidejét, és a hozzájuk tartozó súlyok pozícióját tartalmazza. A súlyok az ingán található kereten szimmetrikusan helyezkedtek el, a táblázatban található a érték a súlyok rögzítési pontjának (jó közelítéssel a középpontok) távolságát jelzik ±0,05 mm pontossággal.
Az időmérést minden esetben kétszer elvégeztem, a mérési eredméyekből látszik, hogy a műszer három tizedesjegy pontosággal méri a lengsidőt, a mérés sajátosságaiból adódóan azonban a mérési erdmények a második tizedesjegytől kezdve eltérnek, ezért célszerű a továbbiakban a számolást az első tizedesjegyre kerekített értékekkel végezni. T10 (s) T (s) a (cm)
28,672
35,790
40,335
45,574
51,166
57,097
63,339
69,522
76,007
28,746
35,800
40,322
45,595
51,163
57,100
63,311
69,499
76,001
2,87
3,58
4,03
4,56
5,12
5,71
6,33
6,94
7,60
0
3
4
5
6
7
8
9
10
A T2 értékeket az a2 függvényében ábrázolta és a (8) összefüggésnek megfelelően egyenest kaptam.
Az egyenes egyenlete: y = 4937,5 x + 8,36. A meredekség hibája: Δm = ± 11,18. A tengelymetszet: b = 8,36 ± 0,06. A G torziómodulusz meghatározásához szükséges a K állandó kiszámítása: l 1 K =8π 4 =(9,350,26)∗1014 3 r m ( m1 +m2) 9,35∗1014∗(0,1946370+0,1962680) N G= K = =7,40∗1010 2 m 4937,5 m A G torziómodulusz hibája az alábbi képlet alapján számítható ki: (Δ K ) (Δ m1 +Δ m2 ) ( Δ m) (Δ l ) (Δ r) ( Δ m1 +Δ m 2 ) (Δ m) Δ G=[ + + ]G=[ +4 + + ]G K ( m1 +m2 ) m l r ( m1 +m 2 ) m Tehát az inga torziómodulusza: G = (7,40 ± 0,02) *1010 N/m2 .
Tehetetlenségi nyomaték: Az inga tehetetlenségi nyomatékának maghatározásához szükség van a két test 1 2 tehetetlenségi nyomatékára: Θsi = mi Ri . 2 Így az 5. tárcsa tehetetlenségi nyomatéka Θs1 = 0,0000494 kg m2, a 8. súly tehetetlenségi nyomatéka pedig Θs2 = 0,0000498 kg m2. b −4 2 Az inga tehetetlenségi nyomatéka: Θü =G −Θ s1−Θ s2=5,62∗10 kg m . K A tehetetlenségi nyomaték hibájának meghatározásához szükség van a tárcsák tehetetlenségi ( Δ mi) (Δ R i ) +2 ]Θsi . nyomatékának hibájára: Δ Θ si=[ mi Ri ➢ ΔΘs1 = ± 1,09 *10-7 ; ➢ ΔΘs2 = ± 1,10 *10-7 ; Az üres inga tehetetlenségi nyomatékának hibája a fenti összefüggésben szereplő mennyiségek abszolút hibáinak összegeként adódik. Az üres inga tehetetlenségi nyomatéka Θü = (5,62 ± 0,46) *10 -4 kg m2. Az egyenes korrelációs együtthatójára az R = 0,9999 mennyiség adódott, ezzel igazolást nyert a Steiner-tétel.
