11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů. 2. Porozumět zavedení kartézské soustavy souřadnic na přímce, v rovině, v prostoru. Ovládat vzájemné přiřazování bodů a jejich souřadnic v rovině a v prostoru.Umět určit souřadnice vektoru ze souřadnic bodů jeho umístění. Umět sčítat, odčítat a násobit reálným číslem vektory určené souřadnicemi. Umět určit velikost vektoru a vzdálenost dvou bodů, souřadnice středu úsečky a těžiště trojúhelníku, rozhodnout o kolineárnosti bodů, rovnoběžnosti vektorů a lineární závislosti vektorů, jsou-li dány příslušné souřadnice. 3. Umět určit skalární součin dvou nenulových vektorů geometricky [u.v = u . v .cosα ] i algebraicky [u.v = u1v1 + u 2 v2 ] . Umět ho aplikovat při určování velikosti úhlu dvou vektorů, odchylky dvou přímek a při rozhodování o jejich případné kolmosti. 4. Znát geometrický význam definice vektorového součinu; umět určit jeho souřadnice. Umět určit obsah trojúhelníku.
5. Umět rozhodnout o vzájemné poloze přímek v rovině a umět to dokázat výpočtem. 6. Umět vypočítat vzdálenost bodu od přímky a vzdálenost dvou rovnoběžek.
Úlohy:
Vektorová algebra 1. Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[-6;-5 ] vzdálenost d = 10. A1[0;3] , A2[0;-13] 2. V rovině jsou dány body K[2`3], L[1`-4], M[-1`-3]. Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý . Vypočtěte jeho obsah . [ ano, je pravoúhlý, S = 7,5]
1
3. Určete vektor u tak, aby měl velikost 10 a přitom byl kolmý k danému vektoru v =(-1;2). [u = ( 4 5 ;2 5 ) nebo u = − 4 5 ;−2 5 ]
(
4. Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[1;0], B[1;-6], C[5;-3]. Vypočtěte délku těžnice ta. Vypočtěte velikost úhlu β .
5.
[|ta| = 4,924;
Zjistěte, zda body A[3;7], B[10;-2], C[5;1] leží na jedné přímce.
)
β = 53°8´] [ne]
6. Jsou dány vektory a = (3;5), b = (6;2). Najděte vektor c kolmý k vektoru b, pro který platí 1 a.c = 4. [c = − ;1 ] 3
Analytická geometrie 1. a) Zapište parametrické vyjádření přímky a , která prochází body A [0;-5] B [3;-3 ] [ a: x = 3 t y = -5 + 2 t ; t ∈ R ] b) Zapište parametrické vyjádření přímky b , která je dána bodem B [3; -7 ] a směrovým vektorem B b ( -2 ; 5 ) [ b: x = 3 – 2t y = -7 + 5t ; t ∈ R ] 2. Zjistěte, zda body M [-4; 7 ] A [11 ;8 ] leží na přímce AB ;A [2;5] B [ -1; 6 ] [ M ∈ ↔ AB , N ∉ ↔ AB ] 3. Určete 2.souřadnici bodu C tak, aby ležel na přímce AB, A[ 3; -1], B[ 1; 3], jestliže a) C [ 1; y ] [y=3] b) C [ 2,5; y ] [y=0]
4. Jsou dány body A[ 2; -3] B [-1; -2 ] .Napište: a) parametrické vyjádření úsečky AB
[ ↔ AB: x = 2-3t y = -3+ t; t ∈ 〈 0;1 〉 ] [ α AB; x = 2-3 t y = -3+ t; t ∈ 〈 0; ∞ )]
b) parametrické vyjádření polopřímky AB c) param. vyjádření polopřímky opačné k α AB
2
[opačná k AB: x = 2-3 t y = -3+ t; t ∈ (- ∞ ; 0 〉 ]
[ α BA: x = -1+3 t y = -2- t; t ∈ 〈 0; ∞ ) ]
d) param.vyjádření polopřímky BA
5. Jsou dány body A [-5; -6 ], B [11;2], C [3; 4 ]. a) Napište param. vyjádření přímky AC, b) napište param. vyjádření těžnice t a ∆ABC, c) napište param. vyjádření výšky v c ∆ABC (přímky, na které leží výška v c ). [ ↔ AC: x = -5+8 t y = -6+10 t; t ∈ R ] [ ta : x = -5+12 s y = -6+9 s; s ∈ 〈 0; 1 〉 ] [ v c : x = 3-8 r y = 4+16 r; r ∈ R ] 6. Napište parametrické vyjádření osy úsečky KL, K[+3; -3]; L[-1; -2] [ o: x = 1+ t y = -2,5 + 4 t; t ∈ R ] 7. a) Napište parametrické vyjádření přímky m , která prochází bodem M[2; -1,3] a je rovnoběžná s přímkou q , danou bodem Q [-3; 0 ] a bodem R [ 3; -4 ] . [m: x = 2+6 t y = -1,3-4 t ]
b) Napište param. vyjádření přímky k , která je kolmá na přímku m z předchozí úlohy a prochází bodem K [-2; 0 ] [ k: x = -2+4 t y = 6 t; t ∈ R ] 8. Napište obecnou rovnici přímky, která je určena ρ a) bodem A [-3; 2] a normálovým vektorem n ( 2; 1 )
ρ b) bodem A [ 3;-1 ] a směrovým vektorem s (3; -2 )
[ 2x + y + 4 = 0 ] [ 2x + 3y – 7 = 0]
c) body A [2; 1 ], B [-2; 4 ] [x+y–2=0] d) parametrickým vyjádřením:x = 2 - t y = -3 +2 t; t ∈ R [ 2x + y – 1 = 0 ] e) směrnicovým tvarem rovnice: y = -5x + 3 [ 5x + y – 3 = 0 ]
3
9. Je dán ∆ ABC: A [6; 2 ] B [-2; 4] C [-2; 0]. Určete obecné rovnice přímek,které obsahují: a) stranu AB [c: x + 4y – 14 = 0 ] b) těžnici t a [t a : y – 2 = 0 ] c) těžnici t b
[t b : 3x + 4y – 10 = 0 ]
10. K dané přímce napište obecnou rovnici přímky r , která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem A a) p: 3x – y + 1 = 0; A [3;-1 ] [ r : 3x – y – 10 = 0 ] b) p: x = 1 + 2t y = 2 – t t ∈ R; A [3; 4 ] [ r : x + 2y – 11 = 0 ] 11. Napište obecnou rovnici tečny kružnice v době dotyku T [6; 2 ], jestliže střed je S[3;-4] [ t: x + 2y – 10 = 0 ]
12. Určete vzájemnou polohu přímek A jsou-li různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku : a) a: 2x – y + 3 = 0 b: x + y – 6 = 0 různoběžné , P [1; 5 ] b) a: x – 3y – 1 = 0 b: -2x + 6y + 5 = 0 rovnoběžné, a ≠ b c) a: 3x – 2y + 1 = 0 b: x = -1 - t y = 4 + t, t ∈ R různoběžné, P [1; 2 ] d) a: x + 2y – 5 = 0 b: x = 1 – 2t a=b y = 2 + t, t ∈ R e) a: x = -1 – t b: x = 3 – 2s y = 3 , t∈ R y = 2 + s, s ∈ R různoběžné, P [1; 3 ] 13. Sestavte rovnici přímky m (obecnou rovnici), která prochází bodem A [2;-3 ] a průsečíkem přímek a: 2x + 7y – 8 = 0 b: x + 2y – 1 = 0 [m: x + y +1 = 0 ]
14. Průsečíkem přímek k, l veďte přímku p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou r : k: x – 3y – 9 = 0 l: 4x – y + 8 = 0 r: 2x + 3y – 18 = 0 Zapište obecnou rovnici přímky p. [p:
15. Určete odchylku přímek p, q : a) p: 2x – y + 1 = 0 b) p: x – y + 1 = 0 c) p: x – 2y + 13 = 0 d) p: x = 1 – 3t y = 2 + t, t ∈ R
q: 3x + y 1 = 0 q: y = ⅔x + 2 q = ↔ AB: A [0; -1], B [4; 1] q: x = 3 – s y = 1 – 3s, s ∈ R
4
[ α = 45°] [ α = 11° 19‘] [ α = 0°] [ α = 90°]
16. Mezi všemi přímkami 5x + 12y + c = 0 najděte tu, jejíž vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je 3. [ 2 řešení: p 1 : 5x + 12y + 39 = 0 p 2 : 5x + 12y - 39 = 0 ]
17. Určete vzdálenost bodu M od přímky p, je-li : a) M [2; -1] p: 3x + 4y – 12 = 0 b) M [-4; -3] p = ↔ AB, A [1; 1]
[d=2]
B [2; 3]
c) M [2; 4 ]
[d=
p: x = 6 + 3t y = -8 – 4t; t ∈ R
6 5 5
]
[ d = 4]
18. Určete směrnici přímky p: 2x + 3y – 5 = 0
[k=-
2 ] 3
[k=
2 ] 3
19. Určete směrnici přímky AB: A [1; 3 ] B [-2; 1 ]
20. a) Napište směrnicový tvar rovnice přímky a, která prochází bodem A [4; 3 ] a je kolmá k přímce p: y = 2x + 1 1 [ a: y = - x + 5 ] 2 b) Napište směrnicový tvar rovnice přímky b, která prochází bodem B [-1; 6 ] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5 [ b: y = 3x + 9 ]
21. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li různoběžné , vypočtěte odchylku : a) p: 3x – y + 6 = 0 q: x = 2 + t y = 1 – t t∈ R [ α = 63°26‘ ] [ α = 71°34‘ ]
b) p: 2x – y + 3 = 0
q: x + y – 6 = 0
c) p: x + y – 2 = 0
q : 2x + 2y – 4 = 0
[ p = q]
d) p: x = -1 –t y = 4 + t t∈ R
q : 3x – 2y + 1 = 0
[ α = 78°41‘ ]
e) p: x = 1 – 2 t y = 3 + t t∈ R f) p: x = -1 – t
q: x = 3 – 2 s y=s
s∈ R
[ rovnoběžné ]
q: x = 3 – 2s
s∈ R
[ α = 26°34‘]
5
22. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li rovnoběžné. Vypočtěte jejich vzdálenost : a) a: x = 2 – 3 t b: 2x – 6y + 5 = 0 y = 1 – t t∈ R [ v = 0,474 j ] b) a: x = 1 – t y=2+t
t∈ R
c) a: x + 2y – 7 = 0
b: x = -1 - s y=4+s
s∈ R
[a=b]
b: x = 3 – 2 s y=s s∈ R
[ v = 1,79 j ]
d) a: y = -2 x + 5
b : y = -2 x – 1
[ v = 2,68 j ]
e) a: x + y + 6 = 0
b: x+y–4=0
[v=5 2j]
f) a: x = 2 + 3 t
b: y =
4 x–2 3
[ v = 0,8 j ]
23. Určete na ose y bod Y, který má od přímky p : y = -2x + 4 vzdálenost 2 5 .
[ Y 1 [0; -6] ; Y 2 [0; 14 ]
24. Na přímce p : x + 3y – 2 = 0 určete bod M tak, aby jeho vzdálenost od přímky q : 5x + 12y – 4 = 0 byla 3 . [ M 1 [ 35;-11 ] ; M 2 [ -43; 15 ] ] 25. Určete hodnotu parametru c ∈ R tak, aby vzdálenost počátku soustavy souřadnic od přímky p : 2x – y + c = 0 byla 4 . [ c1 = ±4 5 ] 2
26. Vypočtěte délky výšek v ∆ ABC : a) A [ 5; 2 ] [ v a = v c = 5 j; v b =
B [ 1; 5 ]
27. Vypočtěte odchylku přímky p : 8 x – 15y + 10 = 0 od osy x .
5 2 j] 2
[ α = 28°04‘ ]
28. Je dán ∆ ABC, A [ -1; 4 ], B [ 2; -2 ], C [ 5; -1 ]. Vypočítejte odchylku osy úsečky AB od souřadnicové osy x . [ α = 26°34‘ ] 29. Průsečíkem přímek p: 3x + y – 2 = 0, q: x – y – 6 = 0 veďte rovnoběžku s přímkou [ 2x – y – 8 =0 ] r: 2x – y + 4 = 0. Určete její obecnou rovnici.
6
30. Určete hodnotu parametru m ∈ R tak, aby přímka mx + y + m – 11 = 0 procházela průsečíkem přímek p: 2x + y + 6 = 0, q: x – 2y + 8 = 0. [ m = -3 ]
7
