1
Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994–1995 : Eerste Ronde.
De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO. Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten. Per goed antwoord krijgt hij of zij 4 punten bij, een blanco antwoord bezorgt hem of haar 0 punten en een foutief antwoord wordt als −1 aangerekend. De voorziene antwoordduur bedraagt 3 uur.
1.1
De problemen.2
1. Welke veelterm is geen deler van (x − 1)2 (x3 + x)? (A) x3 − x2 + x − 1 (D) x3 − x
(B) x2 − 2x + 1 (C) x2 − x (E) x4 − 2x2 (x − 1) − 2x + 1
2. Als z ∈ Z0 , dan is z 2 − z (A) soms even, soms oneven (B) steeds strikt positief (C) nooit een priemgetal (D) steeds even (E) steeds oneven 3. Welke uitspraak is waar? (A) 88 is de tweede macht van 44 (B) 88 is de derde macht van 44 (C) 88 is de vierde macht van 44 (D) 88 is de achtste macht van 44 8 (E) 8 is de zestiende macht van 44 4. Hoeveel van de volgende zes getallen (met 10 cijfers) zijn deelbaar door 6? 1515151515 (A) 1
1994001994 (B) 2
2222222224
2333333334
(C) 3
3888888888
(D) 4
9999999999
(E) 5
5. Het middelpunt van het bovenvlak van een kubus met ribbe 2, ligt op gelijke afstand van de vier hoekpunten van het grondvlak van de kubus. Die afstand is gelijk aan √ √ √ √ (E) 3 (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 2 2
6. Een toets, bestaande uit drie vragen, staat op 10 punten. Elke vraag is minstens 2 punten waard. Op hoeveel manieren kunnen dan de 10 punten verdeeld worden over de drie vragen? (Elke vraag is een geheel aantal punten waard.) (A) 4 2
(B) 13
(C) 15
(D) 20
(E) 30
c
Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w., overname enkel toegelaten mits bronvermelding.
1
7. In een scherphoekige driehoek abc verdeelt (A) een hoogtelijn (D) een middelloodlijn
(B) een binnenbissectrice (E) een middenparallel
(C) een zwaartelijn
de driehoek in twee delen met gelijke oppervlakte.
8. In de verzameling R0 is
a b c
(A) a = b = c (D) c = 1 of c = −1
=
a b c
enkel en alleen geldig voor
(B) a = b = c = 1 (E) alle a, b, c ∈ R0
(C) c = 1
9. Een computer zendt een boodschap bestaande uit drie cijfers (0 of 1 elk) naar een andere computer. Hoeveel van de volgende uitspraken zijn juist? a. Als het eerste cijfer 0 is, dan is de som van de cijfers kleiner dan of gelijk aan 3. b. Als de som van de cijfers oneven is, dan is het eerste of het derde cijfer 1. c. De som van de cijfers is oneven als en slechts als er minstens ´e´en 1 is. d. Er is minstens ´e´en 1 als de som van de cijfers oneven is. (A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
10. Gegeven a < b en c < d in R0 . Hoeveel van de volgende 4 uitspraken zijn juist? 1 1 a−c
(B) 1
(C) 2
2
(D) 3
(E) 4
11. In welke van de onderstaande figuren stelt het gearceerde deel met rand de verzameling {(x, y) ∈ R2 k (x2 + y 2 ≤ 1 en x ≥ y) of (y ≥ 0)} voor? . ..... y ....... ..... ..... .. ..... . . . . . . 1 .. ..... ....................... ............. ............................................................................ ......... .... . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. ................ ..... ................ ...... . . (A) .................................................................................................................................................................................................................x ...... ... ................. 1 ...... . . . . . . ... ........ ................ .. ... ......... . ... ..... . ..... ..... ................. .................... ..... . . ...................... . .. . . .. . ..... ...... .... ...... .... .... ............ ..... ................. ... ... ... .. ... .... .... .... ..... ..... .. ..... . . .... . . ... ..................................... ......... ....... ...... .... ... ..... ..... ... ..... ..... ...... . . ... . . . . ... .. ... .... ......... ... ... ... ... ....... . .. ... ... ................................................................................................................................ . ... ... . .. . . . ... .. .... ... . . . . . ... .. . .... ... ......... ... .... ..... ... ... .... ..... ... ..... ................ . . . . . . . . . . . . ............................. ..... .... ..... ..... ..... ..... .. .... . . . ... . .. ..... .. .... ..... ..... ..... . . . . .... ....
(C)
y 1 .... ............................................... .................................................. .........................................
x
1
y .......
. ..... ..... ..... .. ..... . . . . ... ..... .... ..................................... ........ .......... ....... . ..... .... ........... ..... . . . . . . . . . .. ... ... ... .... ......... ... ... ... ....... .. .. .... ... ................................................................................................................................... . . ... . . . . . .. ... ... ... . . . . . . ... .... ... .. ... ......... .. . . .... .... ..... ... .. ......... ..... ..... ............. .... ............. ....................... ..... . ..... . . . . . . ... .... ..... ..... ... ..... ... .... ... ... .... ..... ... ..... ... ..... . . . . . . .. ..... .................................... ...... ........ ....... ... ....... ...... ... ..... ..... ...... . . ... . . . . ... .. ... .... ......... ... ... ... ... ....... . .. ... ... ................................................................................................................................ . ... ... . .. . . . ... .. .... ... . . . . . ... .. . .... ... ......... ... .... ..... ... ... .... .... ... ..... ................ . . . . . . . . . . . . ............................. ..... .... ..... ..... ..... ..... .. .... . . . ... . ..... . . .. ... . . . .... . ... . . . ... . ... . . . ... . . . ..... .... .................. ......... .... ............... ......... ...... ......... .. ..... . . . . . . . . . . . . . .... ... .... ... ..... .... ... ......... ... ... ... ... ....... ... ...... .. . . . ........................................................................................................................... ... ... ... . . . ... . ... ... ... . . . . . . . ... . . ... ......... .... ... .... ..... ... ... ..... ....... ... ...... .... ............ . . . . . . . . . . . . ............................ .... .. ..... ... ..... ..... ... ..... . . . . ... . ..... .
1
. ........ .. ..................
(B)
x
1
....................................y.................................................. ....................................1.................................................. ...................................................................................... ...................................................................................... ..................... (D) .............................................................................x.. ................ 1 ........................... .......................................... ....
....................................y.................................................. ....................................1.................................................. ...................................................................................... ...................................................................................... ..................... (E) ....................................................................................x... .............................1........ ..................................................................... . . ................................................. ..................................................... .. ............................................................................
12. Op de verzameling {x ∈ R k x2 − 7x + 12 ≤ 0} is de kleinste waarde van x2 + 7x + 12 gelijk aan (A) −4
(B) −
1 4
(C) 3
(D) 42
(E)
195 4
13. Welke van de volgende 5 betrekkingen geldt niet in elke driehoek abc? (A) sin a = sin(b + c) a b+c (C) tg = tg 2 2
(B) cos 2a = cos 2(b + c) (D) cos(a − b + c) = cos(b − a − c) b+c a (E) cos = sin 2 2
14. Hoeveel verschillende uitkomsten kunnen we verkrijgen door twee willekeurige (verschillende) getallen van de verzameling {4, 8, 9, 16, 27, 32, 64, 81, 243} te vermenigvuldigen? (A) 72
(B) 36
(C) 32
3
(D) 20
(E) 12
15. Een kegel heeft hoogte 4 en een grondvlak met straal 3. De openingshoek (in radialen) van de ontwikkeling van deze kegel is gelijk aan (A)
3π 2
(B)
4π 3
4π 5
(C)
(D)
5π 6
(E)
6π 5
16. De vergelijking |4 − 5x| = −x heeft in R (A) (B) (C) (D) (E)
twee oplossingen, waarvan ´e´en positief is en de andere negatief ´e´en oplossing en deze is negatief twee oplossingen en deze zijn negatief twee oplossingen en deze zijn positief geen oplossingen
17. Schrijf een getal van zes cijfers gekozen in {0, 1}. Bv. 010111, 000000, 110010, . . . . Hoe groot is de kans dat daarin een opeenvolging van minstens drie nullen voorkomt? (A)
1 2
(B)
5 16
1 8
(C)
(D)
9 32
(E)
1 3
18. Het aantal oplossingen (x, y) met x, y ∈ Z van de vergelijking x2 + y 2 + x + y = 3 is (A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E)
groter dan 3
a ........................................................................................................... .................. ..... .. ..... . . ....... .... ..... .... ..... . ... ... ..... ..... ... . ......... ....... .. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . ... . . .... . . .... ... ... ... ........................................................................................................................ ... ... . ... .... . ... . ... ... . ..... .. .. .. . .. ... ... . . .. . . . ... ... . ..... ... . .. . .. ... . ... . .. . . . .. . ... ... . .... .. ... . . ... ... . . .. . . . . .... ... ... . . .... ... ... ... . .. . .. ..... . ... ... ... . .. . . ... ... . ... . . ..... . .. . . ... ... .. .... . ... . ... .. . . . .... .... .. .. . ... . . . . . . . . . . . . ... . ..... . . . .......... ... .... . ... .. ..... ... . .. ..... . . . ..... . . . ... .. ..... .. ... ...... ...... . . .. .......................................................................................................
s
19. Als je uit het hoekpunt a van een kubus vier diagonalen trekt zoals op de figuur hiernaast is aangegeven, en je berekent d par, d pd de hoeken paq, as, qd ar, qd as, rd as, hoeveel verschillende waarden verkrijg je dan? (A) 1
(B) 2
(C) 3
p
q
(D) 4
(E) 5
r
20. Zij f : R −→ R een periodieke functie met periode 3, zodanig dat f (x) = x2 voor −1 < x ≤ 2, dan is f (−4) gelijk aan (A) −1
(B) 0
(C) 1
(D) 4
(E) 16
21. Gegeven is een orthonormaal assenstelsel. De enige toegelaten bewegingen zijn verschuivingen over de vectoren (0, 1) en (1, 0). Op hoeveel manieren kun je van (0, 0) in (3, 3) geraken met vermijding van de punten (2, 0), (3, 0) en (3, 1)? (A) 10
(B) 11
(C) 12 4
(D) 13
(E) 14
22. De negatie (ontkenning) van “ ∀x even : x2 + x is even ” is (A) (B) (C) (D) (E)
∀x even: x2 + x is oneven ∀x oneven: x2 + x is even ∀x oneven: x2 + x is oneven ∃x even: x2 + x is oneven ∃x oneven: x2 + x is even
23. De verhouding van de grote basis tot de kleine basis van een trapezium is p. De verhouding van de grootste opstaande zijde tot de kleinste opstaande zijde is q. Als men de twee diagonalen trekt, dan is de verhouding A/B van de oppervlakte van de twee driehoeken die de basissen niet bevatten (zie figuur hiernaast) gelijk aan
............................................................................................ ........... .. .. ... .......... ..... ..... ..... ..... ... ... ...... .... ... . . .... . . ...... ... .... ..... .. ... .... . ...... . . . ... .... ..... .... . ... . ...... ... . ... ..... ....... ... ......... ... ... . . ... ... ......... . . ... ... . ...... ... ... . . ... . . ..... ... ... . . . . ... . . ..... ... ... . . . . ... . . ... ...... ... . ... . . ... . . ...... ... ... . . . . . ... ...... ... ... . . . . . ... ..... ... ... . . . . ... . ... . ..... ... . . ... . . . ... . ..... ... ... . . . . ... . . ...... ... ... . . . ... . . .. ...... ... . . . ... . . ..... ..... . ...... .. ... ........ ...... ... ... ...... ..... ... ...... .. ... ...... ........ ...... ..........................................................................................................................................................................................
x
y
A
B
qy
px
(A)
p q
(B)
p2 q2
(C) 1
(D)
q p
(E)
q2 p2
24. Hoeveel driehoeken zijn er waarvan de lengten van de zijden opeenvolgende oneven natuurlijke getallen zijn en met een omtrek strikt kleiner dan 1000? (A) 165
(B) 166
(C) 167
25. Gegeven een cirkel met straal 1 en zes gelijke cirkelbogen eveneens met straal 1 die elkaar snijden op de gegeven cirkel (zie figuur hiernaast). De oppervlakte van de gearceerde figuur is
√ (A) 2π − 3 3 √ π 3 (D) 2
(D) 331
............................. ................ ......... ......... ....... ....... ................ ................. ..... .... ....................................................... .... .......... . . . . ..... ... . ... . . . . ..... . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. ... . . ... . ... .. . ... . . ... ... ... .... . ... . ... . . . ... . . ..... . ..... .... ... ......... ..... ... ... ........ ...... .. ....... ............ ... ....... ...... .. ... ....... ..... .. ..... ..... .... ... .... ..... . ... . . . . ... ... . ... ... ... ... ... ... .. .. ... ... .. ... . . ... . . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..... .. .... . ..... .. ......... ..... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... .. .... ...... ... ............. ............... .............. ........ ..... ....... .......... .............................................
.... . .. ......... . . . . . ............ ............................................................................ ................................................ ........................................................................................ . . ..................... ..................................................................... ................................................................................................................................. ..................................................................... ............................................................ ................................................... ................................................ ............................................... ............................................ . ....... ........ . .
√ 3 3 (B) 2 (E) geen van de vorige
5
(E) 332
√ (C) 3 3 − π
26. Als de re¨ele getallen x en y voldoen aan
x 2y y = , hoeveel waarden kan dan y x+y x
aannemen? (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E)
oneindig veel
27. Zij bxc het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan x. Bv. bπc = 3, b−πc = −4. Beschouw de volgende 4 uitspraken: b7xc = 7 ; b7xc = 7bxc ; bx + 7c = x + 7 ; bx + 7c = bxc + 7 . 11 Hoeveel van deze uitspraken zijn waar voor alle x ∈]1, [? 10 (A) 0
(B) 1
(C) 2
28. Twee cirkels met straal 1 raken elkaar in g. De gemeenschappelijke middellijn snijdt de ene cirkel nog in a. De punten b en c liggen elk op een verschillende cirkel zodanig dat bc door g gaat en een hoek van 45◦ vormt met de gemeenschappelijke middellijn. De oppervlakte van de driehoek abc is gelijk aan
(A) 1,5
(B)
π 2
(C) 2
6
(D) 3
(E) 4
•b
............................................ .................................................. ........ .................. ..... ....... ....... ....... .................... ......... ...... ...... ...... ..... ..... ........... .. ..... .................. ..... ..... . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .............. .... .. .. . . . . .... . . . . . . ... . . . . . . ... ....... .... . . . . . . . . ... . . . . . . . . . ... ... ... ....... . ... . . . . . ... . . . . . . . . . ... .. ... ... ...... . . . . .. . . . . . . . . . . . . ... .. ..... ... ....... . . . . . . . . . . .... . . ..... ..... ... ...... . . . . . . . . . . ... . ... . . .... ..... . ................... . . . . .............................................................................................................................................................................................................................................................. .. ... ... ...... . . . .. . . . . ... ...... .. ..... . . . . . . . . . . . ... ...... .... ... .... ..... ... ... ..... ..... ... ..... ... ... ... ..... ... .. ..... .. ..... ..... ... ..... ... ... . . . . . . . . . . . . . . ..... . .... .... .. .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ...... . ....... ..... ...... ....... ...... . . ......... ......... ......... ............... . . . . . . . . . ............. ....................................... .............................
a
•
•g
• c
(D)
√
5
(E) 2,5
29. Een doos bevat 900 kaartjes met alle positieve gehele getallen van 100 tot en met 999. Hilde trekt willekeurig kaartjes uit de doos en berekent de som van de cijfers voor elk kaartje. Hoeveel kaartjes moet Hilde trekken om er zeker van te zijn dat drie van de getrokken kaartjes dezelfde som van de cijfers geven? (A) 53
(B) 54
30. Zes blikjes cola worden tegen elkaar geschoven op de zes manieren zoals op de tekening hiernaast in bovenaanzicht wordt getoond. Vervolgens worden ze met gespannen en onuitrekbare band (vette lijn) bij elkaar gehouden. In sommige gevallen is de lengte van deze band dezelfde. In hoeveel van deze gevallen verkrijg je de kleinst mogelijke lengte?
(A) 1
(B) 2
(C) 55
(D) 56
....................................................................................................................................................................... ........ ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ................ ....... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ...... . . .. .. .. ......... .. .. . . . .. ....... ...... ...... ...... ...... ...... ..... . . . . . . ...... . . . . . . ...... ... ........ .. ........ .. ........ .. ........ ... ........ ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................................................................................................................
(E) 57 ........................................................................ ........ .... ... ........ ...... ..... ....... ....... ... . ...... . ... ... .... . ........ . .. ... .... . . . .. ........ . . . . . ................................ .............................. .................................... . ................ ...... ............... ..... ..... ..... ...... .... ...... .... ...... .......... . . .. ..... ..... ... ...... . . . ... . ... ..... ...... . . . . . . . . . . . . ........ . ......... ....... ....... .................... ..................................... .............. ...... ... ....... ... ....... ... ...... ... ......... .. ....... .... ....... ........ ..... ......... . ..... . ....... . . . ....................
....................... ....................... .... ............................ ............................ ................................. ...... ... .. ...... ...... ..... ...... .... ...... . ........ ... ..... ........ .... .... . . . .... ....... .......... . . . ............... . . . . . . ...... .......................... ............................. ............................. ........ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ................................................................................................................ ... .... ... ... .... ... .......... ..... .... .... .... ...... ....... ...... ....... ...... ... .. ..... ...... ... ..... ...... .... ... ..... ...... ..... ........ .... .... . . . . . . . . . . . . . . ...... .... .. ... .... ........... ..... ..... . . . . . . . ..... . . . .... ....... .... ... ...... .... .. ....... .. ....... . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................... ......................................................................................................... .... .................. ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ ................... ................ .... ... .. ... .... ... ... ....... ...... ... ...... ..... ..... .. ........ . ........................... ........ ......... ...... ..... ..... ... . ....... . . . ........ . . ..... ..... . .... . .... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ........... ........ ........ ........ ........ ....... ................................................................................ ....... ...... . . . .. . . ... ...... ........................................................................ ... ... ............. ..... .... .... ....... ... ............. ......... ......... ............................ .............. .......... ...... .......... ...... ....... .... ... . ...... . .. ......... ... . . . . . . ............... .. .... ....... . .... . . . . .... . . . . . . . ............. ............... . . . . . . . . ..... .... ..... ..... . .... .... ........... ........ . . . . . . . ...... ... . ....... ...... .... .. ... . ... . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ................... .................... . .................... ..... ................ ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. ................. ...... ..... .... ...... .... ..... .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . .. .. ...................... ..... .. ..................... .. . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ... ... .. ...... .... .... ........... ...... ......... ...... .. .. .. .. ....... .......... ... .... ........ .... ..... ...... .......... .......... ......... ............................................................................... .........................................................................................................
(C) 3
7
(D) 4
(E) 5
