Poˇc´atky matematick´e anal´yzy ve stˇredoˇskolsk´ych uˇcebnic´ıch Zdeˇ nka Hencov´a Masarykova univerzita, Pˇr´ırodovˇedeck´ a fakulta, Katedra matematiky e-mail:
[email protected]
1
Snahy o reformu stˇ redoˇ skolsk´ e matematiky
Vznik matematick´e anal´ yzy jako partie matematiky bychom mohli datovat do 17. stolet´ı, kdy (jak je vˇseobecnˇe zn´amo) byly Newtonem a Leibnizem poloˇzeny z´aklady diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu. Poznamenejme, ˇze poslednˇe jmenovan´ y se kromˇe jiˇz zm´ınˇen´eho mocn´eho matematick´eho apar´atu vˇenoval i dalˇs´ımu pojmu, kter´ y tvoˇr´ı z´aklad t´eto matematick´e discipl´ıny - funkce. T´ematu se vˇenoval tak´e J. Bernoulli, kter´ y je prvn´ım autorem definice tohoto pojmu. Matematikov´e pracovali samozˇrejmˇe s funkcemi jiˇz mnohem dˇr´ıve, teprve v t´eto dobˇe vˇsak doˇsli k prvn´ımu pokusu o pˇresn´e vymezen´ı tohoto pojmu. Na toto d´ılo nav´azal Leonhard Euler, kter´ y vyslovil pˇresnˇejˇs´ı definici pojmu funkce a pˇredevˇs´ım zav´ad´ı symbol f (x) pro z´apis funkˇcn´ı z´avislosti. T´ım byl d´an ˇzivot nov´e ˇc´asti matematick´e vˇedy. Pˇrestoˇze matematick´a anal´ yza vznikla v pr˚ ubˇehu 17. a 18. stolet´ı, je pochopiteln´e, ˇze zpoˇc´atku nebyla pˇr´ıstupn´a ˇsirok´emu okruhu matematik˚ u. Nejprve byla pˇestov´ana jen mal´ ym okruhem nadan´ ych zasvˇecenc˚ u a teprve postupnˇe pronikla do ˇsirˇs´ıch matematicky vzdˇelan´ ych vrstev. Velmi z´ahy se vˇsak uk´azala mocnost vznikl´eho apar´atu, kter´ y umoˇznil ˇreˇsit dosud nemysliteln´e. D´ıky sv´ ym fyzik´aln´ım aplikac´ım mˇel tak´e velk´e praktick´e pouˇzit´ı. A tak nen´ı divu, ˇze jiˇz v 19. stolet´ı se objevily pokusy o zaˇclenˇen´ı t´eto discipl´ıny do v´ yuky ˇ sice o snahy jednotlivc˚ matematiky na stˇredn´ıch ˇskol´ach. Slo u, pˇresto jim postupnˇe zaˇcalo b´ yt naklonˇeno i vˇseobecn´e m´ınˇen´ı. Pˇrestoˇze musela matematick´a anal´ yza bojovat o sv´e ”m´ısto na slunci matematick´e vˇedy” s po stalet´ı uzn´avanou a upˇrednostˇ novanou geometri´ı a nav´ıc ˇslo o l´atku pomˇernˇe n´aroˇcnou, daˇrilo se j´ı to pomˇernˇe z´ahy. Obecnˇe m˚ uˇzeme konstatovat, ˇze sledujeme-li v´ yvoj od Exner-Bonitzova programu z roku 1849, pak aˇz do Marchetovy reformy v roce 1908 bychom z t´emat spadaj´ıc´ıch do matematick´e anal´ yzy ve ˇskoln´ıch osnov´ach nalezli pouze t´ema aritmetick´ ych posloupnost´ı a ˇrad. Pˇritom tyto pojmy nebyly pˇresnˇe vymezeny, term´ın ˇrada byl uˇz´ıv´an pro oznaˇcen´ı posloupnosti i ˇrady. Pˇrestoˇze k obsahov´e zmˇenˇe ve v´ yuce stˇredoˇskolsk´e matematiky doˇslo aˇz d´ıky jiˇz zm´ınˇen´e Marchetovˇe reformˇe, prvn´ı podnˇety se objevily jiˇz o p˚ ul stolet´ı dˇr´ıve. Jejich nejv´ yznamnˇejˇs´ım inici´atorem byl nˇemeck´ y matematik Felix Klein (1849–1925), kter´ y po’ cit oval potˇrebu v´ıce prov´azat uˇcivo matematiky mezi jednotliv´ ymi roˇcn´ıky i typy ˇskol. Usiloval tak´e o to, aby se u ´roveˇ n stˇredoˇskolsk´eho vzdˇel´an´ı pozdvihla na vyˇsˇs´ı stupeˇ n, reflektovala novˇe z´ıskan´e matematick´e poznatky a umoˇznila tak snazˇs´ı pˇrechod absolvent˚ u
na vysok´e ˇskoly technick´eho smˇeru. Klein byl v prosazov´an´ı sv´ ych myˇslenek u ´spˇeˇsn´ y. Z jeho popudu (kter´ ym byla pˇredn´aˇska Zur Frage des h¨ oheren matematischen Unterrichts na prvn´ım mezin´arodn´ım kongresu matematik˚ u v Curychu roku 1897) doˇslo v roce 1900 v Paˇr´ıˇzi na druh´em mezin´arodn´ım kongresu k ustanoven´ı mezin´arodn´ı sekce pro vyuˇcov´an´ı matematice. Ot´azka didaktiky a obsahu stˇredoˇskolsk´e matematiky byla jedn´ım z u ´stˇredn´ıch t´emat tak´e tˇret´ıho mezin´arodn´ıho kongresu matematik˚ u v Heidelbergu roku 1904. Reflektovala tak dˇen´ı v evropsk´ ych zem´ıch, kde od roku 1900 rostla snaha o zmˇeny stˇredoˇskolsk´e matematiky. Ve Francii a Anglii byly do stˇredoˇskolsk´eho uˇciva zaˇrazov´any nˇekter´e poznatky o funkc´ıch a tak´e z´aklady diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu. Z mimoevropsk´ ych zem´ı zmiˇ nme podobn´e snahy tak´e v USA. Na mezin´arodn´ı u ´rovni pak bylo nejaktivnˇejˇs´ı Nˇemecko. Zde byla v roce 1904 na shrom´aˇzdˇen´ı nˇemeck´ ych pˇr´ırodovˇedc˚ u ve Vratislavi ustanovena komise pro vyuˇcov´an´ı matematice a pˇr´ırodovˇedn´ ym pˇredmˇet˚ um. Ta na z´akladˇe Kleinova podnˇetu vytvoˇrila n´avrh na u ´pravu pˇr´ırodovˇedn´eho, zejm´ena vˇsak matematick´eho vzdˇel´an´ı. Tento n´avrh byl diskutov´an a posl´eze tak´e pˇrijat na shrom´aˇzdˇen´ı nˇemeck´ ych matematik˚ u v roce 1905 v Meranu a je zn´am jako meransk´ y program. Jeho d˚ uleˇzitost pro v´ yuku matematick´e anal´ yzy spoˇc´ıvala nejen v pos´ılen´ı postaven´ı matematiky v r´amci pˇr´ırodn´ıch vˇed, ale zejm´ena v snaze o zaˇclenˇen´ı problematiky funkc´ı do stˇredoˇskolsk´eho uˇciva. D˚ usledkem uveden´eho programu byl n´avrh zmˇen obsahu stˇredoˇskolsk´eho uˇciva matematiky. Jednalo se pr´avˇe zejm´ena o partie spadaj´ıc´ı do matematick´e anal´ yzy - pojem funkce, problematika element´arn´ıch funkc´ı a z´aklady diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu. Uveden´e zmˇeny byly doplnˇeny na shrom´aˇzdˇen´ı nˇemeck´ ych pˇr´ırodovˇedc˚ u v Dr´aˇzd’anech (1907) didaktickou sloˇzkou, v n´ıˇz byl d˚ uraz kladen na vytvoˇren´ı ucelen´eho, logicky navz´ajem propojen´eho syst´emu vˇedomost´ı. Dan´ y program byl uveden o rok pozdˇeji zkuˇsebnˇe do praxe. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, snahy o zmˇenu didaktiky matematiky a zaˇclenˇen´ı nov´ ych parti´ı (vˇcetnˇe anal´ yzy) do stˇredoˇskolsk´e matematiky se objevily v jednotliv´ ych zem´ıch jiˇz na pˇrelomu 19. a 20. stolet´ı. V´ yjimkou nebyly ani ˇcesk´e zemˇe, kter´e tehdy byly souˇc´ast´ı RakouskaUherska. Pˇresto se jiˇz v 60. letech 19. stolet´ı objevila potˇreba ˇcesk´ ych stˇredoˇskolsk´ ych uˇcebnic a snaha o jejich tvorbu. ˇ Prvn´ımi autory takov´ ychto uˇcebnic byli V´aclav Jandeˇcka a pˇredevˇs´ım V´aclav Simerka ˇ p˚ usob´ıc´ı ˇc´ast ˇzivota na gymn´aziu v Cesk´ ych Budˇejovic´ıch. Ten pˇredloˇzil ke schv´alen´ı ˇskolsk´ ym u ´ˇrad˚ um uˇcebnici algebry [1], v jej´ımˇz dodatku byl tak´e jak´ ysi u ´vod k diferenci´aln´ımu a integr´aln´ımu poˇctu. K zaˇrazen´ı diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu do uˇcebnice se autor vyj´adˇril jiˇz v pˇredmluvˇe. Uv´ad´ı, ˇze se pro tento krok rozhodl ” . . . dle rady nˇekter´ych z m´ych vˇedeck´ych pˇr´ atel a maje za to, ˇze ˇcas nynˇejˇs´ı toho poˇzaduje,. . . ” Autor tak´e uvedl, ˇze se v recenz´ıch na rukopis sv´e knihy setkal s podporou, ale i s kritikou sv´eho ”pr˚ ukopnick´eho pokusu” o zpˇr´ıstupnˇen´ı problematiky diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho ˇ poˇctu. Simerka byl o zaj´ımavosti a potˇrebnosti zm´ınˇen´eho poˇctu natolik pˇresvˇedˇcen, ˇze p˚ uvodnˇe zam´ yˇslel zaˇradit jej jako souˇc´ast samotn´e uˇcebnice. V reakci na zm´ınˇen´e kritiky, kter´e upozorˇ novaly zejm´ena na pˇretˇeˇzov´an´ı student˚ u, a na odm´ıtav´ y postoj miˇ nisterstva se Simerka nakonec rozhodl ˇcl´anek vydat pouze jako pˇr´ıdavek k jiˇz zm´ınˇen´e algebˇre. Tento dodatek byl urˇcen zv´ıdavˇejˇs´ım ˇz´ak˚ um, kteˇr´ı by se chtˇeli s problematikou sezn´amit. Pˇrestoˇze v dobˇe vyd´an´ı t´eto knihy jeˇstˇe vysok´e ministerstvo, kter´e rozhodovalo o n´aplni ˇskoln´ıho pl´anu, nebylo myˇslence uveden´ı dan´e problematiky na stˇredn´ı ˇskolu
naklonˇeno, je tento poˇcin jasn´ ym d˚ ukazem, ˇze se toto t´ema zd´alo nˇekter´ ym kantor˚ um zaj´ımav´e a ve vhodn´em pojet´ı pˇr´ıstupn´e i ˇz´ak˚ um stˇredn´ıch ˇskol. Uˇcebnice byla publikov´ana v roce 1863 (pˇr´ıdavek samostatnˇe o rok pozdˇeji), tedy mnohem dˇr´ıve, neˇz se matematikov´e zaˇcali koncepˇcnˇe zab´ yvat myˇslenkou zaˇrazen´ı diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu do stˇredoˇskolsk´ ych osnov. Dokladem pˇresvˇedˇcen´ı ˇcesk´ ych matematik˚ u o d˚ uleˇzitosti zaˇclenˇen´ı diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu do stˇredoˇskolsk´eho uˇciva jsou tzv. Praˇzsk´e n´avrhy (Prager Vorschl¨age) pronesen´e na 9. nˇemecko-rakousk´em stˇredoˇskolsk´em dnu 9. dubna 1906 ve V´ıdni ˇskoln´ım radou Karlem Zahradn´ıˇckem. Ty byly souˇc´ast´ı pˇredn´aˇsky ”K ot´azce infinitesim´aln´ıho poˇctu na rakousk´e stˇredn´ı ˇskole”, v n´ıˇz Zahradn´ıˇcek obhajoval d˚ uleˇzitost infinitezim´aln´ıho poˇctu jako matematick´eho n´astroje, kter´ y m´a bohat´e uplatnˇen´ı tak´e ve fyzice. Velkou roli v tvorbˇe a vyd´av´an´ı uˇcebnic u n´as hr´ala zejm´ena Jednota ˇcesk´ ych matematik˚ u a fyzik˚ u, p˚ usob´ıc´ı od roku 1862. Protoˇze velkou ˇc´ast jej´ı ˇclensk´e z´akladny tvoˇrili pr´avˇe stˇredoˇskolˇst´ı profesoˇri matematiky, je pˇrirozen´e, ˇze se Jednota od sv´eho vzniku orientovala pr´avˇe na v´ yuku matematiky a ˇcinnost stˇredoˇskolsk´ ych profesor˚ u. C´ılem Jednoty bylo pozvednout u ´roveˇ n matematiky v ˇcesk´ ych zem´ıch a dostihnout tak pˇredn´ı evropsk´e zemˇe, coˇz se j´ı daˇrilo (ve 20. letech 20. stolet´ı byla u n´as situace lepˇs´ı neˇz v Nˇemecku). Jedn´ım z prostˇredk˚ u zvyˇsov´an´ı u ´rovnˇe matematick´e vzdˇelanosti byla u ´ˇcast Jednoty na tvorbˇe uˇcebnic. V tomto ohledu byl pro naˇse zemˇe podstatn´ y rok 1850, kdy byla zruˇsen´ım privileje studijn´ıho fondu d´ana moˇznost vyd´avat stˇredoˇskolsk´e uˇcebnice libovoln´e instituci, pˇr´ıpadnˇe autorovi. Jedinou podm´ınkou bylo schv´alen´ı zm´ınˇen´e uˇcebnice ministerstvem kultu a vyuˇcov´an´ı. Odborn´ıci na didaktiku matematiky z ˇrad Jednoty vˇenovali t´eto ˇcinnosti velkou pozornost, uv´ad´ı se, ˇze v roce 1911 tvoˇrily stˇredoˇskolsk´e uˇcebnice asi 1/3 veˇsker´e publicistick´e tvorby. Kromˇe uˇcebnic byly vyd´av´any tak´e sb´ırky u ´loh, matematick´e tabulky a jin´e pomocn´e knihy. U vˇsech publikac´ı byl d˚ uraz kladen pˇredevˇs´ım na odbornost dan´eho uˇcebn´ıho textu, ale tak´e na metodiku v´ ykladu. K zaˇclenˇen´ı matematick´e anal´ yzy do stˇredoˇskolsk´ ych uˇcebnic pˇrispˇela tak´e situace ´ v naˇsem ˇskolstv´ı. Uˇrady reagovaly velmi rychle na jiˇz zm´ınˇen´ y meransk´ y program, v roce 1909 bylo Marchetovou reformou zaˇrazeno do stˇredoˇskolsk´ ych osnov uˇcivo o element´arn´ıch funkc´ıch a z´aklady diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu. Z prvn´ıch uˇcebnic, kter´e sv´ ym obsahem odpov´ıdaly upraven´ ym osnov´am, jmenujme pˇredevˇs´ım knihy Bohumila Bydˇzovsk´eho, kter´e mˇely nahradit uˇcebn´ı materi´aly Emanuela Taftla a Frantiˇska Honzy, pouˇz´ıvan´e od 80. let 19. stolet´ı. Pr´avˇe Bydˇzovsk´ y byl vybr´an Jednotou, aby zaˇclenil do uˇcebnic novou problematiku zahrnuj´ıc´ı i prvky matematick´e anal´ yzy. V autorovˇe pedagogick´em d´ıle tak najdeme jak t´ema funkc´ı, tak diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu, konkr´etnˇe v uˇcebnic´ıch: Aritmetika pro VI. aˇz VII. tˇr´ıdu gymnasi´ı a re´ aln´ych gymnasi´ı (1911), Aritmetika pro nejvyˇsˇs´ı tˇr´ıdu gymnasi´ı a re´ aln´ych gymnasi´ı (1912).
Jiˇz z n´azvu tˇechto uˇcebnic je patrn´e, ˇze matematick´a anal´ yza se do stˇredoˇskolsk´ ych uˇcebnic nedost´avala jako samostatn´ y t´ematick´ y celek, ale jako souˇc´ast algebry nebo geometrie. Jej´ı prvky (zejm´ena diferenci´aln´ı a integr´aln´ı poˇcet) byly zaˇcleˇ nov´any k obˇema sf´er´am matematiky - algebˇre i geometrii. Autorem, kter´ y se vˇenoval druh´e z obou discipl´ın, pˇriˇcemˇz do sv´e uˇcebnice zaˇrazoval diferenci´aln´ı a integr´aln´ı poˇcet, byl napˇr´ıklad Jan Vojtˇech s uˇcebn´ım textem Geometrie pro VII. tˇr´ıdu re´ alek (1912). V jej´ım z´avˇeru
nalezneme samostatnˇe zpracovan´e t´ema s n´azvem ”Zaˇc´atky poˇctu infinitesim´aln´ıho”. Kromˇe uveden´ ych uˇcebnic vyd´avaj´ı oba autoˇri (Bydˇzovsk´ y a Vojtˇech) spoleˇcnˇe jeˇstˇe sb´ırku Sb´ırka u ´loh z matematiky (1924), kter´a mˇela b´ yt doplˇ nuj´ıc´ım textem k procviˇcen´ı uˇciva. T´emat, kter´a bychom mohli zaˇclenit do matematick´e anal´ yzy, zde mnoho nenajdeme. Kromˇe u ´loh na posloupnosti nalezneme ve sb´ırce pˇr´ıklady na jednotliv´e typy funkc´ı. V z´avˇeru sb´ırky je pak jedna dvoustrana vˇenovan´a tak´e u ´loh´am z diferenci´aln´ıho ’ a integr´aln´ıho poˇctu. Na z´avˇer uved me alespoˇ n jednoho autora vˇenuj´ıc´ıho se naˇs´ı problematice, kter´ y nep˚ usobil pod z´aˇstitou Jednoty. Byl j´ım Josef Vinˇs, v jehoˇz uˇcebnici Geometrie pro sedmou tˇr´ıdu re´alek a pro sedmou a osmou tˇr´ıdu ref. re´ aln´ych gymnasi´ı (1942) najdeme tak´e partie vˇenovan´e diferenci´aln´ımu a integr´aln´ımu poˇctu.
2
ˇ V´ aclav Simerka - Algebra ˇ cili poˇ ct´ aˇ rstv´ı obecn´ e pro vyˇ sˇ s´ı gymnasia
ˇ Pod´ıvejme se ted’ podrobnˇeji na uˇcebnici V´aclava Simerky Algebra ˇcili poˇct´ aˇrstv´ı obecn´e pro vyˇsˇs´ı gymnasia, konkr´etnˇe na partie, kter´e bychom mohli zaˇradit do matematick´e ˇ anal´ yzy. Jde o t´ema posloupnost´ı, ˇrad a pojmu funkce, zpracovan´e v kapitole XVII. Rady. ˇ Uveden´ y n´azev je pro souˇcasn´eho ˇcten´aˇre matouc´ı. Pod pojmem ˇrada rozum´ı Simerka nˇekdy ˇradu, nˇekdy posloupnost (v dneˇsn´ım pojet´ı). Protoˇze tehdy nebyly funkce zav´adˇeny jako zobrazen´ı, nemohly tak b´ yt definov´any ani posloupnosti. V ”definici” tohoto pojmu uv´ad´ı: ˇ Rada (series) v˚ ubec jest v´ıce ˇc´ısel po sobˇe jdouc´ıch, jeˇz jist´ym pravidlem souvis´ı. Pouˇz´ıv´a ale i slovo posloupnost, mluv´ı-li o aritmetick´e ˇci geometrick´e posloupnosti. Terminologie spojen´a s ˇradami a posloupnostmi odpov´ıd´a pˇribliˇznˇe dneˇsn´ı. Najdeme zde pojmy ˇclen ˇrady, obecn´ y (n-t´ y) ˇclen; m´ısto oznaˇcen´ı ”index” byl uˇz´ıv´an term´ın ”ukazovatel”. Podle poˇctu ˇclen˚ u posloupnosti jsou rozezn´av´any posloupnosti ”koneˇcn´e a nekoneˇcn´e”; podobnˇe jako dnes jsou posloupnosti rozliˇsov´any podle r˚ ustu (respektive poklesu) hodnot ˇclen˚ u (”posloupnosti vstupuj´ıc´ı a padaj´ıc´ı”). V dalˇs´ıch kapitol´ach, kter´e se vˇenuj´ı aritmetick´e (poˇct´aˇrsk´e) a geometrick´e (mˇeˇrick´e) ˇ posloupnosti, vol´ı Simerka v´ yklad obdobn´ y dneˇsn´ımu. Posloupnosti zav´ad´ı a popisuje vztahem pro n-t´ y ˇclen. Narozd´ıl od souˇcasn´ ych osnov vˇsak pojem posloupnosti d´ale rozˇsiˇruje, v dneˇsn´ı terminologii ze zobrazen´ı N → A na zobrazen´ı Z → A, kde A je libovoln´a ˇc´ıseln´a mnoˇzina. Setk´ame se zde proto napˇr´ıklad s ”minus tˇret´ım” ˇclenem. ˇ Posl´eze prov´ad´ı Simerka rozˇs´ıˇren´ı na Q → A, ˇcehoˇz doc´ıl´ı vsouv´an´ım nov´ ych ˇclen˚ u mezi dan´e, a tedy volbou racion´aln´ıho indexu n = mp . Autor uv´ad´ı, ˇze je nutno si m´ısto jednoho ˇclenu pˇredstavit ˇclen˚ u p, a tedy mezi p˚ uvodn´ı dva po sobˇe n´asleduj´ıc´ı ˇcleny vˇzdy p − 1 nov´ ych ˇclen˚ u vloˇzit. Jako pˇr´ıklad uv´ad´ı ”ˇradu” 7, 19, 31, 43. Mezi jej´ı ˇcleny se maj´ı vloˇzit vˇzdy dva ˇcleny, index potom nab´ yv´a hodnot 1, 1 13 , 1 32 , 2, 2 13 , . . . . ˇ D´ale nalezneme u Simerky tak´e partii vˇenovanou aritmetick´ ym ˇrad´am vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u. Autor nejprve seznamuje studenty s pojmy st´al´e a promˇenn´e veliˇciny, tato oznaˇcen´ı se posl´eze objevuj´ı i v ”definici” pojmu funkce. Bezprostˇrednˇe n´asleduje dodefinov´an´ı pojmu funkce aritmetick´a, jenˇz odpov´ıd´a dneˇsn´ımu pojmu polynomick´a funkce. Opˇet je tˇreba podotknout, ˇze se nejedn´a (z dneˇsn´ıho pohledu) o pˇresnou matematickou formulaci pojmu. P´ıˇse:
V´yraz, v nˇemˇz st´al´e a promˇenn´e veliˇciny pˇrich´ azej´ı, naz´yv´ a se u ´kon ˇcili funkce veliˇcin tˇechto, kter´aˇz aritmetickou slove, pakli promˇenn´e veliˇciny pouze co koˇren mocnosti kter´es tu pˇrich´ azej´ı, jako M = an2 + bn + c neb N = gt3 +htu2 , kdeˇz prvn´ı jednu promˇennou n, druh´ a pak dvˇe totiˇz t, u m´ a. Aritmetick´e funkce rozezn´av´ame jako rovnice dle nejvyˇsˇs´ı mocnosti, v n´ıˇz se veliˇcina promˇenn´a nach´az´ı, ve stupnˇe; z uveden´ych funkc´ı jest tedy M druh´eho, N pak tˇret´ıho stupnˇe. ˇ V dalˇs´ım v´ ykladu uvaˇzuje Simerka jiˇz pouze aritmetick´e funkce s jednou promˇennou libovoln´eho stupnˇe. Formuluje tvrzen´ı, ˇze kaˇzd´a tato aritmetick´a funkce m–t´eho ˇr´adu d´av´a postupnˇe vzniknout dalˇs´ım m ”rozd´ılov´ ym ˇrad´am”, neˇz se dostane k posloupnosti nulov´e. Pˇritom ”rozd´ılovou ˇradu” z dan´e ˇrady z´ısk´ame, odeˇcteme-li v posloupnosti kaˇzd´ y ˇclen od ˇclenu n´asleduj´ıc´ıho. Dalˇs´ı aplikac´ı zm´ınˇen´eho tvrzen´ı je u ´loha ze znalosti prvn´ıch ˇclen˚ u ”ˇrady” a poˇctu jej´ıch ”rozd´ılov´ ych ˇrad” urˇcit vzorec pro obecn´ y ˇclen. V z´avˇeru jsou studenti sezn´ameni se zp˚ usobem, jak´ ym lze seˇc´ıst pˇr´ısluˇsn´ y poˇcet ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti vyˇsˇs´ıho stupnˇe. K procviˇcen´ı pak vyb´ır´a autor u ´lohy, na nichˇz je vidˇet orientace na geometrii. Jde o urˇcen´ı: • poˇctu dˇelov´ ych koul´ı, kter´e tvoˇr´ı pravideln´ y ˇctyˇrstˇen, je-li hrana tvoˇrena n koulemi • poˇctu dˇelov´ ych koul´ı, kter´e tvoˇr´ı pravideln´ y ˇctyˇrbok´ y jehlan, je-li hrana podstavy tvoˇrena n koulemi • poˇctu dˇelov´ ych koul´ı vytv´aˇrej´ıc´ıch hromadu tvaru ˇctyˇrbok´eho jehlanu s podstavou obd´eln´ıka o m × n koul´ıch • ˇc´ısel pˇeti- (resp. ˇsesti-)´ uheln´ıkov´ ych . Z t´ematu geometrick´e posloupnosti zmiˇ nme snad jen nˇekolik zaj´ımav´ ych slovn´ıch u ´loh: Achilles a ˇzelva, odmˇena pro vyn´alezce hry ˇsachy, urˇcen´ı souˇctu vˇsech dˇelitel˚ u dan´eho ˇc´ısla a jin´e.
3
Pˇ r´ıdavek k Algebˇ re pro vyˇ sˇ s´ı gymnasia
ˇ Tato partie Simerkovy uˇcebnice (l´epe ˇreˇceno jej´ı doplnˇek) - vˇenovan´a diferenci´aln´ımu a integr´aln´ımu poˇctu - je rozdˇelena do ˇsesti ˇc´ast´ı, jejichˇz n´azvy uved’me v p˚ uvodn´ım znˇen´ı: I. II. III. IV. V. VI.
Differencialy dan´ ych u ´kon˚ u. Promˇen ˇov´an´ı u ´kon˚ u v ˇrady. ´ Ukony trigonometrick´e. Taylorova pouˇcka a jej´ı n´asledky. Z´aklady poˇctu integr´aln´eho. Upotˇreben´ı poˇctu nekoneˇcn´eho v geometrii.
ˇ Simerkovo pojet´ı diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu se znaˇcnˇe liˇs´ı od dneˇsn´ıho, a to jak sv´ ym rozsahem, tak i obsahem. V ˇc´asti vˇenuj´ıc´ı se diferenci´aln´ımu poˇctu nenajdeme pojmy spojitosti ani limity, kter´e n´am diferenci´aln´ı poˇcet neodmyslitelnˇe evokuje. Cel´a
problematika je prob´ır´ana pouze n´aznakovˇe, se zamˇeˇren´ım na praktick´e pouˇzit´ı. Jednotliv´e pojmy nejsou pˇresnˇe definov´any, v´ yklad je veden pouze v intuitivn´ı rovinˇe. Za u ´ˇcelem jednoduchosti pracuje autor pouze se spojit´ ymi funkcemi (nespojitost uvaˇzuje na jedin´em m´ıstˇe textu v souvislosti s neurˇcit´ ymi v´ yrazy). Za pˇredpokladu spojitosti (kter´ y ˇ ovˇsem neuv´ad´ı) jsou Simerkou zformulovan´a tvrzen´ı platn´a. Autor se zamˇeˇruje na vyloˇzen´ı z´akladn´ıch poznatk˚ u a postup˚ u, kter´e lze uplatnit pˇri ˇreˇsen´ı matematick´ ych u ´loh. Jeho c´ılem je ˇz´aky nauˇcit aplikovat matematiku v praktick´ ych u ´loh´ach. Teoretick´e z´azem´ı uv´ad´ı jen v m´ıˇre potˇrebn´e pro vytvoˇren´ı pˇredstavy o pojmech, kter´e jsou nutn´e pro praktick´e ˇ u ´lohy. Demonstrujme si tyto rysy Simerkovy uˇcebnice na konkr´etn´ıch pas´aˇz´ıch a ukaˇzme si nˇekter´e jej´ı zaj´ımavosti. Autor hned v u ´vodu zav´ad´ı pojem diferenci´alu funkce. T´ım vˇsak nem˚ uˇzeme ch´apat jeho pˇresnou definici, jde sp´ıˇse o vytvoˇren´ı jak´esi intuitivn´ı pˇredstavy. Nutno podotknout, ˇze zp˚ usob v´ ykladu tohoto pojmu a jeho aplikac´ı pˇripomene znalc˚ um historie matematiky pr´aci s nekoneˇcnˇe malou veliˇcinou z doby vzniku diferenci´aln´ıho poˇctu. ˇ Diferenci´alem je tedy u Simerky rozumˇena nesm´ırnˇe ˇcili nekoneˇcnˇe mal´a ˇc´ ast, o niˇz spojitou promˇennou veliˇcinu (x, y, z, atd.) r˚ usti nech´ame, jmenuje se differencial (liˇsn´e, rozˇcinek) veliˇciny t´eto, a znamen´a p´ısmenem δ pˇred veliˇcinu onu postavenou (δx, δy, δzatd.). ˇ D´ale Simerka uv´ad´ı: Differencialy jsou tedy veliˇciny nal´ezaj´ıc´ı se mezi nullou a nejmenˇs´ımi zlomky, jak´e kdy v praktick´em poˇctu pˇrich´ azej´ı. ˇ Jako motivaˇcn´ı a ilustraˇcn´ı pˇr´ıklad zvolil Simerka pr´aci s logaritmick´ ymi deskami, konkr´etnˇe p´ıˇse: Obyˇcejnˇe poˇc´ıt´ame nejv´yˇs v 7mi neb 8mi cifr´ ach, pro kter´e i logaritmick´e desky upraveny jsou: pˇredstavuj´ı-li tedy x, y tˇreba i cel´ a 10ticifrov´ a ˇc´ısla, zvˇetˇs´ı se sice x, pakli k nˇemu y 10m (kdeˇz m as sto neb jeˇstˇe v´ıce jest) pˇriˇcteme, a zmenˇs´ı, pakli zlomek ten odejmeme, ale zmˇena ta jest tak mal´ a, ˇze se logaritmick´ych desk ani net´yk´ a, a proto se t´eˇz vˇzdy m´ısto y x± m 10 ˇcili x ± δy pouze x br´ati m˚ uˇze. Kdyby se δy =
y 10m
pˇri m = 100 velik´ym zd´alo, vezme se m vˇetˇs´ı, tedy δy jeˇstˇe menˇs´ı. Na takto intuitivnˇe ch´apan´em pojmu autor d´ale buduje teorii diferenci´al˚ u. Nejprve pˇredkl´ad´a jak´asi ”pravidla pro uˇzit´ı diferenci´al˚ u”. Dozv´ıme se tak, ˇze jsou-li diferenci´aly pˇriˇcteny ke koneˇcn´ ym veliˇcin´am (respektive od nich odeˇcteny), miz´ı. D´ale miz´ı tak´e diferenci´aly vyˇsˇs´ıch mocnost´ı, jsou-li pˇriˇcteny k diferenci´al˚ um niˇzˇs´ıch mocnost´ı (respektive od nich odeˇcteny). Napˇr´ıklad g(δx)2 + h(δx)3 = (δx)2 (g + hδx) = g(δx)2 .
Analogick´e pravidlo plat´ı i pro souˇciny v´ıce diferenci´al˚ u. ˇ Na pˇr´ıkladu funkce f (x) = a + bx Simerka vyvozuje, ˇze ”veliˇciny st´al´e” nemaj´ı diferenci´al a ˇze pˇri diferencov´an´ı je moˇzn´e konstanty vytknout pˇred diferenci´al. N´asleduje odvozen´ı pravidel pro diferencov´an´ı souˇctu, souˇcinu dvou, respektive v´ıce funkc´ı a pod´ılu (oznaˇcen´eho zde term´ınem zlomek) funkc´ı. Postup je vˇzdy stejn´ y: . . . tedy δy = f (x + δx) − y ˇcili δf x = f (x + δx) − f x; differencial funkce kaˇzd´e nalezneme tedy, kdyˇz od zmˇenˇen´e funkce p˚ uvodn´ı u ´kon odejmeme. ´ Po line´arn´ı funkci se autor zamˇeˇril na diferenci´al funkce xn . Ulohu pˇrev´ad´ı na v´ ypoˇcet diferenci´alu souˇctu n stejn´ ych ˇcinitel˚ u. Tak odvozuje formuli pro n pˇrirozen´e. Posl´eze ukazuje, ˇze vzorec lze uplatnit i pro n z´aporn´e, respektive racion´aln´ı. Zaj´ımav´ y je zp˚ usob urˇcen´ı diferenci´alu funkce logaritmus a exponenci´aln´ı funkce s obecˇ n´ ym z´akladem. Protoˇze Simerka nedefinuje pojem limity funkce ani derivace, nem˚ uˇze je pro vyvozen´ı diferenci´alu logaritmu pouˇz´ıt. Pokl´ad´a proto δ log x = f x.δx, kde f x je nezn´am´a funkce. Do rovnice dosad´ı za promˇennou x v´ yraz xn , tedy δ log xn = f (xn )δ(xn ). Po u ´pravˇe nδ log x = nxn−1 f (xn )δx. Dosazen´ım dostaneme xf x = xn f (xn ). Poloˇz´ıme-li a = xn , A = af a, dostaneme: fx =
A Aδx , δ log x = . x x
ˇ Pro A = 1 naz´ yv´a Simerka logaritmus pˇrirozen´ ym. Na z´akladˇe diferenci´alu pˇrirozen´eho logaritmu odvozuje autor diferenci´al δax . Poloˇz´ıme ax = y a po zlogaritmov´an´ı dost´av´ame x ln a = ln y, ln aδx =
δy . y
Po u ´pravˇe δax = ln aax δx. Po dosazen´ı a = e dostaneme δex . ˇ V z´avˇeru kapitoly se Simerka zab´ yv´a diferenci´aly vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u. Kapitola 2 s n´azvem Promˇen ˇov´an´ı u ´kon˚ u v ˇrady se vˇenuje rozv´ıjen´ı funkc´ı do ˇrad. Autor opˇet zaˇc´ın´a velmi form´alnˇe nepˇresn´ ym a nekonkr´etn´ım konstatov´an´ım: Mnoh´e u ´kony promˇenn´e x daj´ı se naznaˇciti ˇradou dle mocnosti z x vystupuj´ıc´ı, totiˇz f x = A0 + A 1 x + A2 x 2 + A3 x 3 + . . . A r x r , kdeˇz A0 , A1 , A2 , A3 . . . Ar st´al´e, posud vˇsak nezn´ am´e veliˇciny jsou.
M´a-li tento rozvoj platit obecnˇe, mus´ı platit i pro x = 0. Z tohoto zjiˇst’uje autor hodnotu koeficientu A0 . Hodnoty dalˇs´ıch konstant z´ısk´av´a pak postupn´ ym diferencov´an´ım a dosazov´an´ım zm´ınˇen´e hodnoty 0 za x. Na z´avˇer konstatuje, ˇze postup je moˇzno prov´est pouze za pˇredpokladu, ˇze pˇr´ısluˇsn´e pod´ıly diferenci´al˚ u nenab´ yvaj´ı nekoneˇcn´ ych hodnot. Toto tvrzen´ı je opˇet nepˇresn´e. Je zde sice formulov´an vztah, nen´ı vˇsak jasn´e, pro kter´e funkce jej lze pouˇz´ıt. Koneˇcn´eho rozvoje funkce f (x) = (a + x)n pro n ∈ N do ˇrady uˇz´ıv´a autor tak´e k nalezen´ı souvislosti s binomickou vˇetou. ˇ ´ Zaj´ımav´a je u Simerky kapitola Ukony trigonometrick´e, v n´ıˇz se vˇenuje goniometrick´ ym funkc´ım. Protoˇze se dosud studenti setkali se sinem a kosinem pouze v trigonometrii (jako s pomˇerem d´elek stran pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka), nebyli sezn´ameni s faktem, ˇze jsou to funkce. Dalˇs´ım probl´emem, pˇred kter´ ym autor stoj´ı, je z´ısk´an´ı derivac´ı tˇechto funkc´ı. Protoˇze (jak jiˇz bylo ˇreˇceno) nezav´ad´ı pojem limity, nem˚ uˇze derivace z´ıskat n´am zn´am´ ym zp˚ usobem. Z tohoto d˚ uvodu tak´e nez´ısk´av´a rozvoj tˇechto funkc´ı pouhou aplikac´ı Mac-Laurinovy vˇety. Vych´az´ı z rozvoje funkce ex z´ıskan´eho v pˇredchoz´ı partii. Za exponent x zde dosazuje ryze imagin´arn´ı v´ yraz ix. V rozvoji t´eto funkce oddˇeluje ˇc´ast re´alnou a imagin´arn´ı, ˇc´ast re´alnou oznaˇcuje Cos x, imagin´arn´ı Sin x. V pr˚ ubˇehu prvn´ıch tˇr´ı paragraf˚ u t´eto kapitoly se potom autor snaˇz´ı dok´azat, ˇze se jedn´a o goniometrick´e funkce sin x a cos x. Zjiˇst’uje sudost, respektive lichost tˇechto funkc´ı, odvozuje vzorec pro goniometrickou jedniˇcku. S pojmy sudosti, respektive lichosti funkce se zde vˇsak samozˇrejmˇe nesetk´ame. Autor hovoˇr´ı o zmˇenˇe znam´enka, vezmeme-li x z´aporn´e. Urˇcuje tak´e obor hodnot funkc´ı. Z uveden´eho vzorce pro funkci ex (respektive ey ) z´ısk´av´a v´ yrazy pro Sin (pˇr´ıpadnˇe Cos) souˇctu a rozd´ılu dvou hodnot. Na z´avˇer pro nˇekolik zvolen´ ych pˇr´ıpad˚ u ukazuje, ˇze tyto funkce nab´ yvaj´ı stejn´ ych hodnot jako funkce trigonometrick´e. Na z´akladˇe tˇechto zjiˇstˇen´ı doch´az´ı k z´avˇeru, ˇze lze tyto funkce ztotoˇznit se sinem a kosinem zn´am´ ym z goniometrie. Vztahy pro derivace funkc´ı δ sin x = cos xδx, δ cos x = − sin xδx pak z´ısk´av´a porovn´an´ım rozvojov´ ych ˇrad obou funkc´ı. Cel´ y postup na n´as m˚ uˇze p˚ usobit znaˇcnˇe tˇeˇzkop´adnˇe. Jde sice o postup logicky pochopiteln´ y, ovˇsem z´avˇereˇcn´e porovn´an´ı nˇekolika hodnot sinu (respektive kosinu) s hodnotami funkce Sin (Cos) je snadno napadnuteln´e. Dan´ y postup m˚ uˇze nav´ıc vytv´aˇret ve stˇredoˇskolsk´ ych studentech pˇredstavu funkc´ı sinus a kosinus jako pˇr´ısluˇsn´ ych ˇrad, coˇz nen´ı pˇr´ıliˇs n´azorn´e. V pˇr´ıpadˇe absence limity je to ale na stˇredoˇskolsk´e u ´rovni postup elegantn´ı. V r´amci t´eto kapitoly se studenti setk´avaj´ı i s dalˇs´ımi goniometrick´ ymi funkcemi tg x, cotg x, ale i sec x a cosec x. ˇ ˇ Podrobnˇe se Simerka zab´ yv´a nejprve funkc´ı tg x. Radu funkce tg x z´ısk´av´a jako v´ ysledek ˇ dˇelen´ı ˇrad funkc´ı sin x a cos x. Velmi zvl´aˇstn´ı je u Simerky tak´e jiˇz zm´ınˇen´ y pojem funkce. Napˇr. funkce tangens je zde definov´ana opˇet jako funkce spojit´a (jde o vyj´adˇren´ı pouze jedn´e vˇetve t´eto funkce). Autor zde (pravdˇepodobnˇe z´amˇernˇe) zcela zamlˇcuje student˚ um periodicitu funkc´ı. ˇ D´ale se Simerka zmiˇ nuje i o funkc´ıch, kter´e dnes naz´ yv´ame cyklometrick´e. Odvozuje π i nˇekter´e vztahy napˇr´ıklad arcsin x + arccos x = 2 , a dokonce i vzorce pro diferenci´aly tˇechto funkc´ı.
Dalˇs´ım dokladem formulace tvrzen´ı bez vymezen´ı podm´ınek platnosti je vˇeta v kapitole 4 vedouc´ı k Taylorovˇe pouˇcce: Kaˇzdou funkci promˇenn´e x m˚ uˇzeme naznaˇcit rovnic´ı f x = Axa + Bxb + Cxc + .. . . . Tvrzen´ı neplat´ı ani pro vˇsechny spojit´e funkce. Autor do zm´ınˇen´eho vyj´adˇren´ı funkce dosad´ı za x v´ yraz x + h. Jednotliv´e dvojˇcleny pak rozvine dle binomick´e vˇety. Po pˇreskupen´ı ˇclen˚ u lze funkci f (x) zapsat ve tvaru h2 2 h3 3 f (x + h) = f (x) + hf (x) + f (x) + f (x) + . . . , 2 3! 1
coˇz je Taylorova pouˇcka, k n´ıˇz chce autor doj´ıt. V r´amci t´eto kapitoly je vysvˇetlov´an princip l´Hospitalova pravidla (n´azev se vˇsak ˇ v uˇcebnici nevyskytuje). Zaj´ımav´a je Simerkova formulace tohoto tvrzen´ı. Autor nem´a potˇrebn´ y apar´at pro z´apis tohoto tvrzen´ı ani jeho d˚ ukaz, p´ıˇse: Je-li
fx ϕx
d´ ano, coˇz pˇri x = a ve fa 0 = ϕa 0 pˇrech´az´ı, jest
0 0
veliˇcina neurˇcit´ a; bychom ji nalezli, vyhledejme f 1 x, ϕ1 x a bude f 1a fa = 1 ; ϕa ϕa
pakliby ale i tu f 1 a = ϕ1 a = 0 se stalo, urˇceme d´ ale f 2 x, ϕ2 x, kdeˇz se potom fa f 2a f 3a = ϕ2 a neboli = ϕ3 a atd. objev´ı. ϕa ˇ Toto tvrzen´ı se Simerka snaˇz´ı dok´azat na z´akladˇe Taylorovy pouˇcky. Zde ovˇsem naraˇz´ı na v´ yˇse zm´ınˇen´ y probl´em absence definice limity. Autor uvaˇzuje takto: funkce f (x + h) a ϕ(x + h) rozvine do ˇrady dle Taylorovy pouˇcky. Pˇri x = a plat´ı podle pˇredpokladu f (a+h) f (a) = ϕ(a) = 0. Ve zlomku pak ϕ(a+h) lze rozvoje obou funkc´ı zkr´atit ˇc´ıslem h. Dostaneme tak v´ yraz f 1 (a) + 21 hf 2 (a) + 3!1 h2 f 3 (a) + . . . f (a + h) = 1 . ϕ(a + h) ϕ (a) + 12 hϕ2 (a) + 3!1 h2 ϕ3 (a) . . . D´ale pak autor pokl´ad´a h = 0 a na z´akladˇe tohoto kroku dosp´ıv´a k dokazovan´emu tvrzen´ı. Jsou-li funkce f 1 (a) a ϕ1 (a) nulov´e, celou u ´vahu opakuje. Analogicky postupuje aˇz po prvn´ı nenulov´ y jmenovatel. ˇ I kdyˇz my v tomto postupu vytuˇs´ıme Simerk˚ uv intuitivn´ı ”limitn´ı pˇrechod”, stˇredoˇskolˇst´ı studenti mohli b´ yt ze zm´ınˇen´eho postupu ponˇekud zmateni. Vˇzdyt’ v jednom kroku ˇ dˇel´ıme ˇc´ıslem h a vz´apˇet´ı ho pokl´ad´ame rovno nule! Rada ˇz´ak˚ u byla pravdˇepodobnˇe 0 schopna pˇrijmout skuteˇcnost, ˇze v´ yraz 0 m´a smysl a jakousi koneˇcnou hodnotu, jen m´alo
z nich vˇsak asi pochop´ı analogick´ y ”limitn´ı pˇrechod” u dan´eho ˇc´ısla h. Formulace h je zanedbatelnˇe mal´e by na tomto m´ıstˇe byla asi vhodnˇejˇs´ı. ˇ Simerka tak´e ukazuje, jak uplatnit dan´e pravidlo v pˇr´ıpadˇe, ˇze pod´ılem funkˇcn´ıch hodnot dan´ ych funkc´ı z´ısk´ame v´ yraz ∞ . Ten pˇrev´ad´ı na pˇredchoz´ı typ u ´lohy. ∞ Zmiˇ nme se jeˇstˇe kr´atce o integr´aln´ım poˇctu, tomu je v uˇcebnici vˇenov´ana pouze jedna kapitola. Autor ch´ape integrov´an´ı jen jako operaci inverzn´ı k hled´an´ı diferenci´alu dan´e funkce (pˇrestoˇze v dalˇs´ım textu vyuˇzije integr´al k v´ ypoˇctu obsahu rovinn´ ych obrazc˚ u). P´ıˇse: Uv´adˇen´ı veliˇcin nekoneˇcnˇe mal´ych ˇcili u ´kon˚ u differencialn´ych na koneˇcn´e naz´yv´a se integrov´an´ım (celen´ım), a protoˇz jsou differencov´ an´ı a integrov´ an´ı v´ykony protivn´e. Na z´akladˇe toho odvozuje nˇekter´e vlastnosti integr´al˚ u a integr´aly z´akladn´ıch funkc´ı, vych´az´ı pˇritom ze znalost´ı z´ıskan´ ych pˇri zav´adˇen´ı diferenci´alu. ˇ Jako zaj´ımavost uved’me, ˇze Simerka dokonce dosp´ıv´a i k pravidlu per partes, kter´e naz´ yv´a poˇc´astn´ym integrov´an´ım, a to pˇri integraci funkce Z Z √ √ x2 δx 2 2 2 2 . δx a − x = x a − x + √ a2 − x 2 Popisuje tak´e metodu rozkladu integrovan´e funkce na parci´aln´ı zlomky (podotknˇeme, ˇze jde o speci´aln´ı typ funkce, ne obecn´ y postup). Jde o integr´al: Z x2 δx . (x2 − 1)2 ˇ Simerka ve sv´em textu nerozliˇ ypoˇctu obsah˚ u R suje integr´aly neurˇcit´e a urˇcit´e, avˇsak pˇri v´ rovinn´ ych obrazc˚ u ke znaˇcce pˇripisuje meze integrace. Pouˇz´ıv´a tak samozˇrejmˇe NewtonLeibnizovu formuli, pˇritom v´ ybˇer jedn´e meze motivuje t´ım, aby se (soudobˇe ˇreˇceno) z mnoˇziny vˇsech primitivn´ıch funkc´ı vybrala jedna konkr´etn´ı, v´ ybˇer druh´e meze pak t´ım, aby se z t´eto funkce stala hodnota (ˇc´ıslo). Tato uˇcebnice v jist´em smyslu pˇredbˇehla dobu, jedn´a se o ojedinˇel´ y pokus zpracov´an´ı problematiky diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu na stˇredoˇskolsk´e u ´rovni.
Reference ˇ [1] Simerka, V.: Algebra ˇcili poˇct´aˇrstv´ı obecn´e pro vyˇsˇs´ı gymnasia. Dr. E. Gr´egr, Praha 1863. [2] Pot˚ uˇcek, J.: V´ yvoj vyuˇcov´an´ı matematice na ˇcesk´ ych stˇredn´ıch ˇskol´ach v obdob´ı 1900 - 1945. Pedagogick´e centrum Plzeˇ n, Plzeˇ n 1998. [3] Bydˇzovsk´ y, B.: Arithmetika pro VI. aˇz VII. tˇr´ıdu gymnasi´ı a re´aln´ ych gymnasi´ı. Jednota ˇcesk´ ych mathematik˚ u, Praha 1911. [4] Bydˇzovsk´ y, B., Vojtˇech, J.: Sb´ırka u ´loh z matematiky. Jednota ˇceskoslovensk´ ych matematik˚ u a fysik˚ u, Praha 1924. [5] Bydˇzovsk´ y, B., Vojtˇech, J.: Arithmetika pro nejvyˇsˇs´ı tˇr´ıdu gymnasi´ı a re´aln´ ych gymnasi´ı. Jednota ˇcesk´ ych mathematik˚ u, Praha 1912. [6] Vojtˇech, J.: Geometrie pro VII. tˇr´ıdu re´alek. Jednota ˇcesk´ ych mathematik˚ u, Praha 1912. [7] Vinˇs, J.: Geometrie pro sedmou tˇr´ıdu re´alek a pro sedmou a osmou tˇr´ıdu ref. re´aln´ ych ˇ gymnasi´ı. Cesk´a grafick´a unie a.s. Prag, Praha 1942.
