1
OHYB NOSNÍKŮ - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ
1
Ohyb nosníků - mindlinovské řešení
Předpoklady o přemístění průřezů • Zatížení působí v rovině xz, která je i rovinou symetrie Ω ⇒ v(x) = 0 m • Průhyb se po výšce mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) ⇒ w(x) = w(x) • Průřez zůstává i po deformaci rovinný, ne však nezbytně kolmý k deformované střednici ⇒ u(x) = u(x, z) = ϕy (x)z • Navrženy nezávisle Timošenkem [6], Reissnerem [5] a Mindlinem [4].
1
2
GEOMETRICKÉ ROVNICE
2
2
Geometrické rovnice
Kinematika přemístění průřezu ⇒ nenulové složky vektoru deformace εx (x)
=
γzx (x)
=
∂ dϕy (x) ∂u(x) = (ϕy (x)z)) = z = κy (x)z ∂x ∂x dx dw(x) ∂ dw(x) ∂w(x) ∂u(x) + = + (ϕy (x)z) = + ϕy (x), ∂x ∂z dx ∂z dx
kde κy označuje pseudokřivost ohybové čáry.
Obor platnosti Průřez γzx Neznámé
Bernoulli-Navier [7, kap. II.2]
Mindlin
h/L < 1/10
h/L < 1/3
Rovinný, kolmý
Rovinný
0
6= 0 (vliv smyku)
w(x)
w(x), ϕy (x)
ϕy (x) = −
dw(x) dx
nezávislé
3
FYZIKÁLNÍ ROVNICE
3
3
Fyzikální rovnice
• Pro jednoduchost zanedbáme vliv ε0 σx (x, z) τzx (x)
= E(x)εx (x, z) = E(x)κy (x)z dw(x) = G(x)γzx (x) = G(x) + ϕy (x) dx
• Nenulové vnitřní síly Z Z My (x) = σx (x, z)z dy dz = E(x)κy (x) A(x)
z 2 dy dz
A(x)
dϕy (x) = E(x)Iy (x)κy (x) = E(x)Iy (x) (1) dx Z Z dw(x) Qcz (x) = + ϕy (x) dy dz τzx (x) dy dz = G(x) dx A(x) A(x) dw(x) = G(x)A(x) + ϕy (x) dx
3
FYZIKÁLNÍ ROVNICE
4
• Rozložení smykových napětí τzx po obdélníkovém průřezu
Konstitutivní rce: τ = Gγ Podmínky rovnováhy
Bernoulli-Navier
Mindlin
0
konstantní
kvadratické
?
[7, kap. II.2.5] • Modifikujeme vztah pro posouvající sílu tak, aby podmínka rovnováhy byla splněna alespoň ve smyslu průměrné energie smykových členů dw(x) c Qz (x) = k(x)Qz (x) = k(x)G(x)A(x) + ϕy (x) (2) dx • Součinitel k(x) závisí na tvaru průřezu, pro obdélník uvažujeme k = 5/6. Domací úkol 1. Odvoďte obecný vztah pro korekční součinitel R Sy2 (z) 2 k = Iy /(A A b2 (z) dA)
4
PODMÍNKY ROVNOVÁHY
4
5
Podmínky rovnováhy
(a)
(b)
• Podmínka rovnováhy svislých sil (a) dQz (x) + f z (x) = 0 dx
(3)
• Momentová podmínka rovnováhy (b) dMy (x) − Qz (x) = 0 dx • Podrobné odvození viz domácí úkol č. 1, přednáška 1
(4)
5
ŘÍDICÍ ROVNICE
5
6
Řídicí rovnice
d dw(x) k(x)G(x)A(x) + ϕy (x) + f z (x) = 0 (5) dx dx dϕy (x) dw(x) d E(x)Iy (x) − k(x)G(x)A(x) + ϕy (x) = 0 (6) dx dx dx
5.1
5.2
Kinematické okrajové podmínky: x ∈ Iu Kloub
w=0
Vetknutí
w = 0, ϕy = 0
Statické okrajové podmínky x ∈ Ip Qz (x)
= Qz (x)
My (x)
= My (x)
6
SLABÉ ŘEŠENÍ
6
7
Slabé řešení
• Pro zkrácení zápisu budeme používat rovnice (3)–(4) namísto (5)–(6) • Rovnici (3) „zvážímeÿ δw(x), rovnici (4) δϕy (x) a zintegrujeme přes I. Dostáváme Z dQz (x) 0 = δw(x) + f z (x) dx dx I Z dMy (x) 0 = δϕy (x) − Qz (x) dx dx I pro všechna δw(x) a δϕy (x) splňující kinematické okrajové podmínky. • Integrace per partes Z
Z
d(δw(x)) Qz (x) dx + δw(x)f z (x) dx dx I I Z Z d(δϕ (x)) y b [δϕy (x)My (x)]a − My (x) dx − δϕy (x)Qz (x) dx dx I I b
0
= [δw(x)Qz (x)]a −
0
=
6
SLABÉ ŘEŠENÍ
8
• Vyjádření hraničních členů z okrajových podmínek Z Z d(δw(x)) 0 = δw(x)Qz (x) Ip − Qz (x) dx + δw(x)f z (x) dx dx I I Z Z d(δϕy (x)) My (x) dx − δϕy (x)Qz (x) dx 0 = δϕy (x)My (x) Ip − dx I I • Slabé formulace podmínek rovnováhy (dosazení za Vz z (2) a za ohybový moment My z (1)) Z I
dw(x) d(δw(x)) k(x)G(x)A(x) + ϕy (x) dx = dx dx Z δw(x)Qz (x) Ip + δw(x)f z (x) dx I
(7)
6
SLABÉ ŘEŠENÍ
9
Z
d(δϕy (x)) dϕy (x) E(x)Iy (x) dx + (8) dx dx I Z dw(x) δϕy (x)k(x)G(x)A(x) + ϕy (x) dx = δϕy (x)My (x) Ip dx I
7
DISKRETIZACE MKP
7
10
Diskretizace MKP
• Konstrukci nahradíme n uzlovými body a (n − 1) prvky • V každém uzlu zavádíme průhyb wi a pootočení ϕy i • Neznámé jsou vektory uzlových průhybů rw a pootočení rϕ • Diskretizace deformačních neznámých w(x) ≈ Nw (x)rw ϕy (x) ≈ Nϕ (x)rϕ
dw(x) ≈ Bw (x)rw dx dϕy (x) ≈ Bϕ (x)rϕ dx
• Diskretizace váhových funkcí δw(x) ≈ Nw (x)δrw δϕy (x) ≈ Nϕ (x)δrϕ
d(δw(x)) ≈ Bw (x)δrw dx d(δϕy (x)) ≈ Bϕ (x)δrϕ dx
7
DISKRETIZACE MKP
11
• Soustava podmínek rovnováhy
• Kompaktní zápis
Kww rw + Kwϕ rϕ
= Rw
Kϕw rw + Kϕϕ rϕ
= Rϕ
Kww
Kwϕ
Kϕw
Kϕϕ
r R w w = rϕ Rϕ
K (2n×2n) r(2n×1) = R(2n×1) • Kϕw = Kwϕ T ⇒ matice K je opět symetrická díky členům R R 0 (δw(x)) kGA(x)ϕy (x) dx v (7) a δϕy (x)kGA(x)w0 (x) dx v (8) I
7
DISKRETIZACE MKP
Domací úkol 2. tory Rw , Rϕ .
12
Odvoďte vztahy pro matice Kww , Kwϕ , Kϕw , Kϕϕ a vek-
8
SMYKOVÉ ZAMKNUTÍ
8
13
Smykové zamknutí
• Pro h/L → 0 by se výsledky mindlinovského prvku měly blížit klasickému bernoulli-navierovskému řešení (zanedbatelný vliv smyku). • Pokud ale volíme funkce Nw a Nϕ lineární, výsledek je pro štíhlé nosníky příliš „tuhýÿ → přílišný vliv smyku, tzv. smykové zamknutí (shear locking).
8.1
Statické zdůvodnění
• Posouvající síla: Qz (x) = k(x)G(x)A(x) • Ohybový moment: My (x) = E(x)Iy (x)
dw(x) + ϕy (x) – lineární dx
dϕy (x) – konstantní dx
• Hrubý rozpor se Schwedlerovou větou dMy (x) − Qz (x) = 0 dx
8
SMYKOVÉ ZAMKNUTÍ
8.2
14
Kinematické zdůvodnění
• Aby přibližné řešení poskytovalo správnou odpověď, musí být správně schopno popsat případ čistého ohybu (viz např. [3, Kapitola 3.1]): dϕy (x) κy (x) = = κ = konst dx • Pro zvolenou diskretizaci x x w(x) ≈ w1 1 − + w2 L L x x ϕy (x) ≈ ϕ1 1 − + ϕ2 L L
dw(x) γzx (x) = + ϕy (x) = 0 dx
dw(x) 1 ≈ (w2 − w1 ) dx L dϕy (x) 1 ≈ (ϕ2 − ϕ1 ) dx L
9
SELEKTIVNÍ INTEGRACE
• Požadavek nulového smykového zkosení x 1 γzx (x) ≈ (w2 − w1 ) + ϕ1 + (ϕ2 − ϕ1 ) = 0 L L • Předchozí výraz nesmí záviset na souřadnici x ⇒ 1 ϕ2 − ϕ1 = 0 ⇒ κy ≈ (ϕ2 − ϕ1 ) = 0 6= κ L
9
Selektivní integrace
• Smykové zkosení je uvažováno konstantní po celém prvku, jeho hodnota odpovídá hodnotě uprostřed intervalu γzx (x) ≈
1 1 1 1 (w2 − w1 ) + ϕ1 + (ϕ2 − ϕ1 ) = (w2 − w1 ) + (ϕ1 + ϕ2 ) L 2 L 2
• Kinematika: prvek je v „pořádkuÿ, umožňuje popsat čistý ohyb • Statické hledisko: Qz (x) = k(x)G(x)A(x)γxz (x) – konstantní, My – zůstává konstantní ← Schwedlerova věta není „hrubě porušenaÿ
15
10
BUBLINOVÁ (HIERARCHICKÁ) FUNKCE
10
Bublinová (hierarchická) funkce
• Z kinematické analýzy vyplývá, že zamknutí je způsobeno nedostatečným stupněm aproximace průhybu w(x)
• Přidáme kvadratický člen k aproximaci w(x): x x + w2 + αx(x − L) w(x) ≈ w1 1 − L L • Požadavek čistého ohybu γzx (x) = ≈ =
dw(x) + ϕy (x) dx 1 x (w2 − w1 ) + α(2x − L) + ϕ1 + (ϕ2 − ϕ1 ) L L 1 x (w2 − w1 ) − αL + ϕ1 + (ϕ2 − ϕ1 + 2αL) = 0 L L
16
10
BUBLINOVÁ (HIERARCHICKÁ) FUNKCE
• Nezávislost na x ⇒
17
1 (ϕ1 − ϕ2 ) α= 2L
• Výsledné aproximace x x 1 w(x) ≈ w1 1 − + w2 + (ϕ1 − ϕ2 ) x(x − L) L L 2L x x + ϕ2 ϕy (x) ≈ ϕ1 1 − L L
• Ze „statickéhoÿ hlediska se prvek chová podobně jako předchozí formulace – Qz je konstantní, My je též konstantní • Průhyby aproximovány jak pomocí uzlových posunů, tak i pootočení [2] – tzv. spojená interpolace (linked interpolation)
J. Bernoulli
J.-L. Lagrange
C.-L. Navier
R.-D. Mindlin
B. F. de Veubeke
11
METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČINITELŮ
11
18
Metoda Langrangeových součinitelů
• Připomeňme slabou momentovou podmínku rovnováhy (8) pro konstrukci s My = 0, konstantním E, G a obdélníkovým průřezem: Z 0 = EIy I
d(δϕy (x)) dϕy (x) dx + kGA dx dx
Z δϕy (x) I
dw(x) + ϕy (x) dx dx
bh3 d(δϕy (x)) dϕy (x) = E dx 12 I dx dx Z 5 E dw(x) 12 + bh δϕy (x) + ϕy (x) dx 6 2(1 + ν) dx Ebh3 I Z Z 5 1 d(δϕy (x)) dϕy (x) dw(x) dx + δϕy (x) + ϕy (x) dx = 0 2 dx dx 1 + ν h dx I I Z
• Podmínka nulového smykového zkosení pro h → 0 – tzv. penalizační metoda
11
METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČINITELŮ
19
• Pro štíhlé nosníky a lineárně-lineární aproximaci způsobuje smykové zamknutí, jelikož musí→0 pro všechna x∈I }| { z}|{ Z libovolné z z }| { 1 dw(x) + ϕy (x) dx = 0 δϕy (x) 2 h dx I →∞
• Pokud zavedeme novou nezávislou proměnnou pro zajištění podmínky γxz = 0 pro h → 0, odstraníme vliv aproximace w(x) a ϕy (x) • Ke slabým podmínkám rovnováhy (7)–(8) přidáme podmínku Z dw(x) δλ(x) γzx (x) − − ϕy (x) dx = 0, dx I
(9)
kde γzx (x) je nyní nezávislá proměnná a δλ(x) je další váhová funkce. • Konstitutivní rovnice pro posouvající sílu se zjednoduší na Qz (x) = k(x)G(x)A(x)γxz (x)
11
METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČINITELŮ
• Slabé podmínky rovnováhy mají nyní tvar Z d(δw(x)) 0 = k(x)G(x)A(x)γzx (x) dx − δw(x)Qz (x) I p dx I Z − δw(x)f z (x) dx I Z d(δϕy (x)) dϕy (x) 0 = E(x)Iy (x) dx dx dx ZI + δϕy (x)k(x)G(x)A(x)γzx (x) dx − δϕy (x)My (x) I p I Z dw(x) − ϕy (x) dx 0 = δλ(x) γzx (x) − dx I • Abychom nakonec získali symetrickou matici tuhosti, volíme váhovu funkci δλ(x) ve tvaru δλ(x) = k(x)G(x)A(x)δγxz (x)
20
11
METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČINITELŮ
• Poslední rovnice se po těchto úpravách změní na Z dw(x) − ϕy (x) dx 0 = δγxz (x)k(x)G(x)A(x) γzx (x) − dx I • Nyní stačí zvolit aproximace γxz (x) ≈ Nγ (x)rγ a dosadit do jednotlivých rovnic. Po standardních úpravách získáváme Kww Kwϕ Kwγ rw Rw = Kϕw Kϕϕ Kϕγ rϕ Rϕ r 0 Kγw Kγϕ Kγγ γ • Soustava rovnic vyplývající z této metody je větší pouze zdánlivě. Proměnné rγ jsou vnitřní a lze je eliminovat (vyjádřit v závislosti na proměnných rw a rϕ ), viz [1, str. 234–235]
21
11
METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČINITELŮ
22
• Tato formulace funguje i pro lineární aproximaci w(x) a ϕy (x), pokud volíme aproximaci γ jako konstantní po prvku. • Kinematika: Smykové zamknutí ošetřeno podmínkou (9) • Statika: Posouvající síla je konstantní díky zvolené aproximaci, ohybový moment je opět konstantní Domací úkol 3. Odvoďte matici tuhosti ohýbaného prvku založenou na Lagrangeových součinitelích. Uvažujte lineární průběh průhybů w(x), lineární průběh pootočení ϕy (x) a konstantní hodnotu γxz na daném prvku. Ukažte, že po eliminaci γxz získáte stejnou matici tuhosti jako u předchozích formulací. 2 Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na
[email protected].
11
METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČINITELŮ
Opravy verze -001: str. 1, škrtnuto jedno mění, str. 2. v posledním řádku tabulky připsáno − a škrtnuto ϕy (x), str. 5, 6, 13, 18, 20: jazykové úpravy, str. 15: přehozeni vědátoři podle věku, (na chyby upozornil J. Šejnoha), str. 9: připsána δ u váhy ϕy , str. 12–14 : prohození indexů u w1 − w2 a ϕ1 − ϕ2 , (na chyby upozornila A. Kučerová), str. 5: prohození obrázků, str. 6, opraven člen Mz (opravy po přednášce) Opravy verze 000: str. 5, opraven vzorec v domácím úkolu (na chybu upozornila A. Somolová) str. 2: opraveno „předmístěníÿ na „přemístěníÿ, opraven člen ∂ na ∂ , str. 10: opravena „matriceÿ na „maticeÿ (na chyby ∂x ∂z upozornil M. Wierer) Opravy verze 001: str. 2: opraven termín „křivostÿ na „pseudokřivostÿ (na chybu upozornil M. Kozel) Opravy verze 002: str. 3: nahrazeno „v průměruÿ výrazem „ve smyslu průměrné energie smykových členůÿ (vylepšení navrhl R. Valenta), str. 13: opraveno „seÿ na „ jeÿ (na chybu upozornil J. Skoček), str. 9: připsány členy δ u derivací váhových funkcí, str. 14: oprava obrázku (opravy po přednášce), str. 18: zpřesněn výraz pro váhovou funkci δλ Opravy verze 003: Nová formátovací makra, označeny důležité vztahy, opraveno označení pro řádkové matice z A na A. Doplněny opravy po předkladu do angličtiny, str. 2: smazáno jedno „měníÿ (na chybu upozornil M. Jandera), v celé přednášce zaměněno „ztuhnutíÿ na „zamknutíÿ (na chyby upozornil R. Pekař). Opravy verze 004: str. 14: opraven překlep v “bernoulli-navierovském řešení” (na chybu upozornil P. Hlaváček). Verze 005
23
REFERENCE
Reference [1] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, vol. I, ES ČVUT, Praha, 1992. [2] B. F. de Veubeke, Displacement and equilibrium models in the finite element method, International Journal for Numerical Methods in Engineering 52 (2001), 287–342, ediční řada „Classic Reprints Seriesÿ, p˚ uvodně publikováno v Stress Analysis (O. C. Zienkiewicz and G. S. Holister, editořı), John Wiley & Sons, 1965. [3] A. Ibrahimbegovi´c and F. Frey, Finite element analysis of linear and non-linear planar deformations of elastic initially curved beams, International Journal for Numerical Methods in Engineering 36 (1993), 3239–3258. [4] R. D. Mindlin, Influence of rotatory inertia and shear in flexural motions of isotropic elastic plates, Journal of Applied Mechanics 18 (1951), 31–38.
24
REFERENCE
[5] E. Reissner, The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates, Journal of Applied Mechanics 12 (1945), 69–76. [6] S. Timoshenko, On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars, Philosophical Magazine 41 (1921), 744–746. [7] J. Šejnoha and J. Bittnarová, Pružnost a pevnost 10, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1997.
25
