1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK

Gyak 01

Mechanika II. Szilárdságtan 2016 01 Segédlet

MECHANIKA I. TANANYAG ISMÉTLÉSE Tartalom 1.

MÁSODRENDŰ NYOMATÉK.......................................................................................................... 1

2.

RÁCSOS TARTÓ ................................................................................................................................ 3

3.

IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁK............................................................................................................... 5

4.

TÉRBELI TARTÓK IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁI ........................................................................... 8

Ez a Segédlet a 2015, 2016 évek Tanszéki gyakorlatain egységesen tárgyalandó példákat tartalmazza.

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK 1.1 Példa _________________________________________________________________________ [2] A további tanulmányok során a keresztmetszet súlypontja koordinátáinak meghatározása és a másodrendű nyomaték meghatározása többnyire együtt jelenik meg. Határozza meg az ábrán látható síkidom súlypontjára vonatkoztatott fő másodrendű nyomatékokat és főirányokat. A megadott hosszméretek cm-ben értendők. Megoldás: 1. Első lépésben kiszámítjuk az S p súlypont  S ,  S koordinátáit. 2. A másodrendű nyomatéki tenzor számítása 3. Fő másodrendű nyomatékok számítása 4. Főirányok számítása A feladatban az eredeti koordinátarendszer tengelyeit  ,  -val jelöljük, ebben adjuk meg a súlypont koordinátáit. A súlyponti (súlyponton átmenő) koordinátarendszer tengelyeit itt x , y -nal jelöljük. 1. Súlypont koordinátái A súlypont koordinátáinak számításához az „L” alakú síkidomot felbontjuk egy álló és egy fekvő téglalapra. Ai i i Ai  i Ai i bi ai i

[cm] [cm] [cm 2 ] [cm] 1 1 5 5 0,5 2 8 1 8 5 13  A  42,5 S  i i   3,27cm Ai 13 2. A másodrendű nyomatéki tenzor számítása

[cm] 2,5 0,5 -

[cm 3 ] [cm 3 ] 2,5 12,5 40 4 42,5 16,5 A 16,5 S  i i   1,27cm Ai 13

2

b a3 a b a3 a   I y  1 1  A1  ( S  1 ) 2  2 2  A2    S  (a1  2 )   12 2 12 2   

5 13 1 83  (5 1)  2,77 2   (1 8) 1,732  38,78  66,61  105,39cm 4 12 12

2

Ix 

a1b13 b a b3 a    A1  ( S  1 ) 2  2 2  A2   S  2   12 2 12 2 

1 53 8 13  (5 1)  (1,23) 2   (1  8)  0,77 2  17,98  5,41  23,39cm 4 12 12 Az xy tengelypárra vonatkoztatott másodrendű nyomaték: I xy  0  A1  (1,23)  (2,77)  0  A2  (0,77)  (1,73)  17,0355  10,6568  27,6923cm 4 

A kiszámított I x , I y , I xy értékek alapján a másodrendű nyomatéki tenzor mátrixa:

 Ix I xy    I xy

 I xy   23,39 27,69  4  cm I xy  27,69 105,39

3. Fő másodrendű nyomatékok számítása I xy karakterisztikus egyenlete





  I x    I xy   23,39   27,69  det I xy  E  det    (23,39   )  (105,39   )  27,692  0    I xy I xy    27 , 69 105 , 39     Karakterisztikus polinom: 2  (23,39  105,39)    23,39  105,39  27,692  0

2  128,78    1761,57  0 A karaktrisztikus polinom gyökei:

128,78  128,782  4 1761,57 128,78  9538,0084 128,78  97,66 1  113,22    2 2 2  2  15,56 Tehát az (1) és (2) irányokhoz tartozó másodrendű nyomatéki mátrix (diagonális) 0  4  I 0  1 0  113,22 I1, 2   1   cm   15,56  0 I 2   0 2   0 A mátrixok első skalár invariánsára vonatkozó tétel szerint az elforgatás (unitér transzformáció) nem változtatja meg a főátlóbeli elemek összegének értékét. Vagyis I x  I y  I1  I 2 .

1, 2 

Ez alapján ellenőrizhetjük a számított I1 és I 2 értékét:

I x  I y  23,39  105,39  128,78cm 4 Valóban a két összeg megegyezik.

I1  I 2  113,22  15,56  128,78cm4

4. Főirányok számítása: Az I xy mátrix

I xy x   x sajátérték sajátvektor feladata alapján keressük azokat az egységnyi abszolút értékű x1 és x 2 vektorokat, melyek kielégítik a fenti egyenletet. Első főirány meghatározásához a fenti egyenletben  helyébe helyettesítsük be az első főértéket   I1 és az x1 vektort keressük x1  cos 

sin   alakban. Ekkor a fenti egyenlet a következő alakú lesz: T

 I x  I1  I xy  cos   0  I     xy I xy  I1   sin   0 Ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek az első sorát felírva: (23,39  113,22)  cos   27,69  sin   0 behelyettesítve ( I x  I1 ) cos   I xy sin   0

sin  hányadost: cos  sin  89,83 tg    3,2441 cos  27,69 A (2) irányhoz tartozó szög     900  72,870  900  162,870 Ebből kifejezve a



  arctg (3,2441)  72,870

2. RÁCSOS TARTÓ 2.1 Példa ______________________________________________________________________ [Dora] Határozza meg a síkbeli rácsos szerkezetre ható reakcióerőket és a rúderőket. Megoldás: Egyszerűen belátható, hogy a feladat statikailag határozott. Megoldás menete: 1. Reakcióerők számítása, egyensúlyi egyenletek felhasználásával 2. Rúderők számítása csomóponti módszerrel. 1. Reakcióerők számítása, egyensúlyi egyenletek felhasználásával FBy  F () Fy  0 

M B  0 Fx  0

FA  a  F  2a  0 FA  FBx  F  0

FA  2F () FBx  FA  F  2F  F  3F ()

 

2. Rúderők számítása csomóponti módszerrel. A rúderők meghatározási sorrendje: 5, 4, 3, 1, 2

N1  2F (h) N2   2F

(ny)

N3   2 F (h)

N4  2F (ny) N5  0  Az „A” pontban lévő kényszer görgős támasz, mely függőleges irányú terhelést nem tud felvenni. ezért az 5 sz rúd vakrúd, N5  0 .  Fenti ok miatt az „A” pontban csatlakozó vízszintes rúd veszi fel az „A” kényszer reakcióerejét: Fx  0 az „A” pontban  N 4  2F (ny)  A „B” csomópontban Fy  0 egyenletet felírva  N3, y  FB, y  0  N3, y  F 

N3  2 N3, y  2 F . N 3 a „B” csomópontból kifele mutat, ezért a 3-as rúd húzott.

 A „B” csomópontra az Fx  0 egyenletet felírva:  FB, x  N3, x  N1  0 . Ebből

 3F  F  N1  0  N1  2F . N1 a „B” csomópontból kifele mutat, ezért az 1-es rúd húzott.  A „-es rúdban ébredő erő számítható a külső terhelés átadási pontjára felírt egyensúlyi egyenlettel is, de a 2,3,4 rudak csatlakozási pontjára felírt egyensúlyi egyenlettel is. Válasszuk a külső terhelés átadási pontját, és erre írjuk fel a Fy  0  N 2, y  F egyensúlyi egyenletet. Ebből

N 2, y  F  N 2  2 N 2, y  2F . N 2 a csomópontba befele mutat, ezért a 2-es rúd nyomott. 2.2 Példa ______________________________________________________________________ [Dóra] Határozza meg a síkbeli rácsos szerkezetre ható reakcióerőket és a rúderőket! Adatok: a  1m ; F1  4kN ; F2  6kN

Fx  0 M A  0

FAx  F1  4kN () F  2 F2 4  2  6 FB  1   4kN () 4 4 FAy  F2  FB  6  4  2kN ()



 F1  a  F2  2  a  FB  4  a  0

Fy  0 FAy  F2  FB  0 Csomóponti módszerrel számítjuk a rúderőket. A rúderők meghatározási sorrendje: 7,6,5,4,3,1,2

 

N1  2 2kN (ny) N2  6kN (h)

N3  2 2kN (h)

N4  4kN (ny) N5  4 2kN (h) N6  4kN (h) N7  4 2kN (ny)  A „B” pontban lévő kényszer görgős támasz, mely vízszintes irányú terhelést nem tud felvenni. A N7 y   FB  4kN() „B” csomópontra Fy  0  N7, y  FB  

N7  2 N7, y  4  2kN() . A 7-es rúd nyomott.

3. IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁK 3.1 Példa _________________________________________________________________________ [2]

M A  0 400 1  600 1,5  6  B  100  0 400  900  100  6  B  0  400  6  B  0 400 200 B   66,6 N 6 3

Fy  0 200 0 3 200 2800 A  1000    933,3 3 3  400  A  600 

3.2 Példa ______________________________________________________________________ [Dóra] Határozza meg az ábrán látható kéttámaszú tartó reakcióit és igénybevételi ábráit! Megoldás: Egyensúlyi egyenletek.

y

M  5F

A

x







FB

FA V

F

B

2F F

  3F

 F

M



Fx  0

2 F



M B  0

 FAy  2  5  F    F    0



Fy  0

FAy  FB  F  0



FAx  0 1 4  F  2 F () 2 FB  FAy  F  2F  F  F () FAy 

______________________________________________________________________________ [Dóra]

Határozza meg az ábrán látható tört tengelyű kéttámaszú tartó reakcióit és igénybevételi ábráit!

M  F

FAx A

2

Megoldás: Egyensúlyi egyenletek. Fx  0



FAy

FAx  F ()

y

M A  0 F    F    FB    0  FB  2F () Fy  0 FAy  FB  0  FAy  FB  2F ()



2F

F B

x



FB

N

F

2F

2F



F

V

A

F





2

2F

2

F

2F







A





O

F

F

2F

2F

2F

2F M

F

2

A

 3F

  4F

 

2 F 2 F

F

2F

______________________________________________________________________________ [Dóra] Határozza meg az alábbi tört tengelyű tartó nyomatéki ábráit. M 1  F

M 1  F

2F

2F B



y



B





y x

x A

A 1 FAy  F 2

FB

3 FB  F 2

Fx  0 FAx  0  M A  0  M1  2F    FB  2  0 

M 1  F

3 F () 2





x

B

3  F 2

O

y

FAy  2F  FB  0 

FAy

2F

 F

 F  2F    FB  2  0 FB  Fy  0



A

3 F 2

1 F 2

3 1  2 F  F  F () 2 2

______________________________________________________________________________ [Dóra] Határozza meg az alábbi tört tengelyű tartó nyomatéki ábráit. M A  2F

M 1  F

A 



M 1  F 

F





y x



y

F

F

x

 2F

M

 F  F 

F







y x



F

______________________________________________________________________________ [Dóra] Határozza meg az alábbi tört tengelyű tartó nyomatéki ábráit.

4. TÉRBELI TARTÓK IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁI 4.1 Példa _________________________________________________________________________ [2]

______________________________________________________________________________ [Dóra] Rajzolja meg az igénybevételi ábrákat! ( M h , M cs , V )

______________________________________________________________________________ [Dóra] Rajzolja meg a hajlító és csavaró nyomatéki ábrát! ( M h , M cs )

______________________________________________________________________________ [Dóra] Rajzolja meg a hajlító és csavaró nyomatéki ábrát! ( M h , M cs ) z

z

y

2

x

F

y x

M cs  F  

M h  F  

F

F

  Szerkezeti vázlat

z

y

Reakciók

 F 

z  F 

x

F  F 

x

 F 



F 

Mcs Mh

0

 F 

 Mh



y

 M cs





Hajlító igénybevétel

Csavaró igénybevétel

Irodalomjegyzék [1] Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek. Szilárdságtan. Nemzeti tankönyvkiadó. Budapest, 1999. [2] Galambosi Frigyes: Mechanika II. Szilárdságtan gyakorlatokon egységesen tárgyalandó példák. 2015. BME KJK. Járműelemek és Járműszerkezetanalízis Tanszék. -.-