1. KLASICKÁ MECHANIKA: - mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů

INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)

1. KLASICKÁ MECHANIKA: -

mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů

Mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů: 1 3 t 2t 2 8t 7,5 , a) jakou dráhu urazí hmotný bod za první tři sekundy svého pohybu, b) jakou má 6 počáteční rychlost a zrychlení, c) ve kterém okamžiku je jeho pohyb rovnoměrný?

D1)

Pohyb hmotného bodu je dán rovnicí s

D2)

Pro rychlost hmotného bodu platí rovnice v 9t 2 8t 3 , a) jakou dráhu urazí hmotný bod mezi druhou a pátou sekundou, b) kdy je zrychlení nulové a jakou rychlost má hmotný bod v tom okamžiku, c) kdy je hmotný bod v klidu?

D3)

Vypočítejte zrychlení člověka na 40°severní šířky způsobené rotací Země.

D4)

Vlak se rozjíždí z klidu se zrychlením, které rovnoměrně narůstá a to tak, že za 100 s má hodnotu 0,5 m∙s . Určete rychlost vlaku po 100 sekundách pohybu a dráhu, kterou vlak za tu dobu urazí.

D5)

Hmotný bod se pohybuje se zrychlením, které závisí na čase dle vztahu a = k∙t, kde k = 3m.s-3. Určete dráhu, kterou hmotný bod urazí od konce druhé do konce šesté sekundy, je-li na počátku pohybu v čase t =0s jeho rychlost 2m.s-2, počáteční dráha je nulová. 112 m

0,0218 m/s2 -2

1. Pohyb hmotného bodu v rovině Oxy je zadán rovnicemi: x trajektorii bodu a studujte jeho pohyb. [část paraboly, průsečíky s osou x v časech perioda 2π, rychlost vx

a cos t , v y

4

a sin t, y

25 m/s; 833 m

2a cos 2t, a > 0 . Určete

, 5 , průsečíky s osou y v časech 0, π, rozsah x=a, maximum y=2a, 4

4a sin 2t ]

2. Pohyb hmotného bodu pohybujícího se v rovině Oxy je popsán rovnicemi x A sin t , y B cos t , kde A=0,4m, B=0,2 m, =0,5 rad.s-1. Určete a) rovnici trajektorie, b) rychlost a zrychlení hmotného bodu v okamžiku, kdy x = 0, c) rychlost a zrychlení hmotného bodu v okamžiku, kdy y = 0, d) poloměr křivosti trajektorie v okamžiku, kdy x = 0 a v okamžiku, kdy y = 0. [elipsa, střed v počátku SS, poloosy 0,4m a 0,2m, b)0,2 m/s, -0,05 m/s2, c) -0,1m/s, -0,1 m/s2, d) 0,8m, 0,1 m]

3. Z okraje pobřežního útesu ve výšce 10 m nad hladinou moře vyhodíme míček rychlostí 5 m/s pod úhlem 30° vzhledem k horizontální rovině. V jaké vodorovné vzdálenosti od paty útesu dopadne míček na hladinu moře? Odpor vzduchu zanedbejte. [7,3 m pro g=10m/s2] 4. Na vrcholu dokonale hladké koule je hmotný bod v nestabilní poloze. Pokud ho vychýlíme z této polohy, bude se pohybovat nejprve po povrchu koule. V jaké vzdálenosti od vrcholu koule opustí hmotný bod její povrch a v jaké vzdálenosti od svislého průměru koule dopadne na vodorovnou podložku, je-li poloměr koule 1,5m? [0,5 m(rozdíl výšek), 2,18 m] 5. Malá kulička se pohybuje po vodorovné rovině rychlostí v0. Rovina je zakončena válcovou plochou o poloměru r. Určete rychlost tělesa v závislosti na úhlu, který svírá průvodič bodu (s počátkem ve středu válcové plochy) se svislým průměrem. Jaká je minimální rychlost kuličky pro bezpečný průjezd smyčkou? Vlastní rotaci kuličky zanedbejte. [v

v02 2 gr 1 cos

P1)

Pohybové rovnice částice jsou dány x R cos t , y R sin t , z

P2)

Určete délku dráhy uraženou částicí za dobu t, poloměr křivosti trajektorie a zrychlení částice. Těleso je vrženo rychlostí v0 pod elevačním úhlem . Určete a) dobu pohybu, b) délku doletu, c) výšku výstupu, d) úhel, pod kterým je nutno těleso hodit, aby délka doletu byla maximální, f) rychlost v libovolném bodě dráhy. (odvození)

, v0

5gr ] k 2

t.

D6) Určete vzdálenost (vodorovnou odlehlost místa), kam je třeba umístit nákladový vozík, aby materiál dopravovaný rychlostí 2,2 m/s po dopravníkovém pásu dopadal do středu vozíku, je-li sklon dopravníku 20° od vodorovné roviny a výškový rozdíl konce pásu a ložné plochy vozíku činí 4m. [2,034m]

Komentář [VO1]: Výsledek platí pro g=9,81m/s2, materiál na dopravníku stoupá.


mechanika tuhých těles – výpočet těžiště a momentu setrvačnosti tělesa, rotační pohyby, Coriolisova síla

-

Dynamika tuhých těles – rotační pohyby, moment hybnosti: 6. Válec o hmotnosti m a poloměru R se pohybuje po nakloněné rovině o úhlu . Určete jeho zrychlení a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice. 2 [ g sin ] 3 7. Na válci o hmotnosti M a poloměru R je namotáno lanko se závažím o hmotnosti m. Po uvolnění klesne závaží o dráhu h za čas t. Určete moment setrvačnosti válce a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice. gt 2 [ m1 R 2 1 ] 2h 8. Na každém konci provazu vedeném přes kladku je v téže výšce opice. V určitém okamžiku začne jedna z opic šplhat vzhůru rychlostí v vzhledem k provazu. Jakou rychlostí se tato opice blíží ke v kladce? Co se děje s druhou opicí? Hmotnosti opic jsou stejné. [u u ] 2 9. Přes pevnou kladku prochází provaz, na jehož koncích jsou opice o stejných hmotnostech. Obě opice začnou současně šplhat vzhůru, jedna rychlostí v a druhá rychlostí dvojnásobnou 3v vzhledem k provazu. Jakou rychlostí se opice blíží ke kladce? [u u ] 2 D7) Koule o hmotnosti m a poloměru R se pohybuje po nakloněné rovině o úhlu . Určete její zrychlení a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice. 5 [ g sin ] 7 D8) Na homogenní válec o poloměru 0,4 m a hmotnosti 2000 kg začne působit moment 10 Nm. Za jakou dobu udělí tento moment válci rychlost, které odpovídá frekvence otáčení 2 Hz? [201s] P1) Žebřík o hmotnosti m stojí na drsné podlaze opřen o hladkou zeď. Určete velikost působící třecí síly, znáte-li úhel, který svírá pata žebříku s vodorovnou podlahou. Těžiště žebříku je v jeho polovině. P2) Dvě koule se mohou pohybovat po vodorovné tyči, jejíž hmotnost je zanedbatelné malá. Koule jsou udržovány vláknem v symetrické poloze vzhledem k ose otáčení tak, že jsou ve vzdálenosti 0,1m od osy. Tyč se otáčí kolem svislé osy jdoucí jejím středem s frekvencí 8 Hz. V určitém okamžiku vlákno přepálíme a koule se posunou na konce tyče do vzdálenosti 0,4 m od osy otáčení. Jaká bude potom frekvence rotačního pohybu?

Dynamika tuhých těles – výpočet těžiště: 10. Určete těžiště tělesa (viz obrázek) složeného z krychle o straně a a hranolu o základně a a a výšce 4a , je-li hustota obou těles shodná.

a a a

[ 4a

17a 7 a , ] 10 10

11. Určete těžiště homogenní polokoule o poloměru R a hustotě

.

D9) Určete těžiště plného přímého kužele o výšce v a poloměru základny R .

3R ] 8 3v [ 0, ] 4 [ 0,

P1) Určete polohu těžiště homogenní desky zanedbatelné tloušťky tvaru půlkruhu o poloměru R.


Dynamika tuhých těles – výpočet momentu setrvačnosti: 12. Vypočtěte moment setrvačnosti čtverce z tenkého homogenního drátu vzhledem k ose jdoucí 5 jednou stranou čtverce. Strana čtverce má délku a a hmotnost celého čtverce je m . [ ma 2 ] 12 13. Vypočtěte moment setrvačnosti tenké homogenní tyče vzhledem k ose o, která prochází jedním 1 z jejich konců a svírá s tyčí úhel . [ ml02 sin 2 ] 3 D10) Určete moment setrvačnosti válce vzhledem k ose jdoucí těžištěm kolmo na osu symetrie. P1)

Vypočtěte moment setrvačnosti tenké homogenní tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose kolmé na tyč procházející a) středem, b) koncovým bodem tyče.

Dynamika tuhých těles – pohybové rovnice, Coriolisova síla: 14. Vypočtěte velikost Coriolisovy síly, která působí na železniční vůz o hmotnosti 10 4 kg, jede-li vůz v místě na severní zeměpisné šířce 60° rychlostí 20 m/s směrem a) od jihu k severu, b) od západu k východu. [25 N doprava (na východ), 29 N (od osy Země)] 15. Na zemském rovníku je z děla vystřelen náboj o hmotnosti 5 kg počáteční rychlostí 600 m/s. Určete velikost Coriolisovy síly, která působí na náboj v okamžiku výstřelu, je-li vystřeleno a) vodorovně směrem k severu, b) vodorovně směrem k západu, c) svisle vzhůru, d) pod úhlem 30° směrem k severu, e) pod úhlem 30°směrem k západu. Úhlová rychlost rotace země je 7,29.10-5 rad.s-1. [a)0 N, b) 0,44 N – do středu Země, c) 0,44N – na západ, d) 0,22N – na západ, e) 0,44N] D11) V místě na 45° severní zeměpisné šířky padá svisle dolů těleso o hmotnosti 10 kg rychlostí 100 m/s. Určete velikost Coriolisovy síly, která na těleso působí, a porovnejte ji s velikostí síly tíhové. D12) Na těleso o hmotnosti m pohybující se rychlosti v0 rovnoměrně přímočaře začne v okamžiku t = 0s působit odporující síla, která je úměrná rychlosti tělesa. Určete časové závislosti zrychlení, rychlosti a dráhy pohybujícího se tělesa. P1)

Vztažná soustava se vzhledem k inerciální vztažné soustavě otáčí rovnoměrně zrychleně s úhlovým zrychlením 2 rad.s-2. V otáčející se soustavě se pohybuje hmotný bod o hmotnosti 1 kg. V okamžiku, kdy je úhlová rychlost soustavy 2 rad/s je hmotný bod ve vzdálenosti 3 m od osy rotace, jeho rychlost má vzhledem k otáčející se soustavě velikost 2,5 m/s a směřuje od osy otáčení. Určete velikost výsledné setrvačné síly působící na hmotný bod.

-

mechanické kmitání – řešení pohybových rovnic harmonického, tlumeného a vynuceného kmitání, stav rezonance, kyvadla

Mechanické kmitání – netlumené: 16. Jaká je frekvence netlumeného harmonického pohybu hmotného bodu hmotnosti 2 g, je-li amplituda pohybu 10 cm a celková energie hmotného bodu je 1 J? [50,35 Hz] D13) Kruhová deska uložená v horizontální rovině koná ve svislém směru kmitavý pohyb s amplitudou 0,75 m. Jaká může být maximální frekvence kmitání desky, aby se předmět uložený na desku od ní neoddělil? [0,576Hz] D14) Hmotný bod kmitá harmonicky s periodou 2s a počáteční fází 60°. Napište rovnici výchylky tohoto kmitání a určete, za jak dlouho od počátečního okamžiku dosáhne poprvé hmotný bod výchylky odpovídající jedné pětině amplitudy výchylky. [0,603s] D15) Maximální zrychlení harmonického kmitavého pohybu hmotné částice je 49,3 cm.s-2, jeho perioda 2 s. Zapište rovnici pro okamžitou výchylku tohoto pohybu, je-li v čase t 0 s vzdálenost kmitající částice od rovnovážné polohy 2,5 cm. 0,05sin t 0,524 D16) Pružina, jejíž hmotnost lze zanedbat, se závažím 20 g prodlouží o 4 cm. Jaké závaží je nutno na pružinu zavěsit, aby při harmonickém pohybu s amplitudou 15 cm procházelo rovnovážnou polohou rychlostí 1 m.s-1. [0,11kg]


Mechanické kmitání – tlumené: 17. Pozorováním tlumeného kmitání bylo zjištěno, že po dvou po sobě jdoucích výchylkách na tu stejnou stranu se amplituda kmitů zmenšila o 6/10 a doba kmitu je 0,5 s. Určete koeficient útlumu a frekvenci netlumených kmitů, které by probíhaly za jinak stejných podmínek. [1,83 s-1, 2,02 Hz] 18. Jaký je logaritmický dekrement útlumu tlumeného harmonického kmitání hmotného bodu, jestliže za 10s trvání pohybu hmotný bod ztratí 50% své mechanické energie, je-li perioda 2s? [0,0693] D17) Součinitel útlumu je pro mechanické tlumené kmitání roven 3 s-1. Určete dobu, za kterou klesne energie kmitů na 20%. D18) Amplituda tlumeného kmitání je za 10 s od začátku kmitání 1,1 cm, za 21 s od začátku kmitání 0,3 cm. Vypočítejte součinitel tlumení a počáteční amplitudu daného pohybu. P1) Perioda tlumených kmitů je 0,2 s, přičemž poměr amplitud první a šesté je roven 13. Vypočtěte rezonanční frekvenci kmitající soustavy.

Mechanické kmitání – vynucené: 19. Jaká je rezonanční amplituda hmotného bodu konajícího nucené harmonické kmity, je-li jeho hmotnost 100 g, vlastní úhlová frekvence 20 s -1, útlumu 3 s-1, amplituda budící síly 10 N? Určete rezonanční úhlovou frekvenci. [84,3 cm, 19,54 s-1] D19) Na pružinový oscilátor, jehož parametry jsou: hmotnost 0,5kg a tuhost pružiny 9,0 N.m-1, působí periodicky proměnná síla Fn 2 sin 4t . Součinitel tlumení je 2s-1. Určete a) amplitudu nuceného kmitání tohoto oscilátoru, b) rezonanční úhlovou frekvenci a amplitudu kmitů při rezonanci. Mechanické kmitání – kyvadla: 20. Vypočtěte redukovanou délku kyvadla tvořeného tenkou obručí o poloměru R, kývající kolem vodorovné osy jdoucí bodem na obvodu obruče kolmo k její rovině. [ L 2R ] 21. Tíhové zrychlení bylo měřeno pomocí matematického kyvadla s velmi dlouhým závěsem, jeho délku nebylo možno určit. Při původní délce kyvadla byla doba kyvu 2s, při zkrácení kyvadla o délku 0,75 m se doba kyvu změnila na 1,8 s. Jaká hodnota tíhového zrychlení byla z těchto naměřených hodnot stanovena? [9,74 m/s2] D20) Určete dobu kmitu a redukovanou délku homogenního disku o poloměru R, který kývá kolem vodorovné osy procházející ve vzdálenosti R/2 od středu disku kolmo k jeho rovině. [2

2 g 3R ; ] 3R 2

D21) Vypočtěte redukovanou délku kyvadla tvořeného velmi tenkou homogenní tyčí délky l, která kývá kolem vodorovné osy jdoucí koncovým bodem tyče.

[

2L ] 3

D22) Mějme reverzní kyvadlo. Poloměr setrvačnosti kyvadla, které kývá kolem osy O1, je 0,5m, vzdálenost osy od těžiště je a=0,3m. V jaké vzdálenosti x musí procházet druhá osa O 2, aby doba kmitu kolem obou os byla stejná? [0,833m] P1) Fyzické kyvadlo tvoří tenká homogenní tyč délky 35 cm. Určete, v jaké vzdálenosti od těžiště tyče musíme umístit osu otáčení kyvadla, aby frekvence kmitů byla maximální?


-

mechanické vlnění – vlnová rovnice, Dopplerův jev

Mechanické vlnění – vlnová rovnice, Dopplerův jev: 22. Ze zdroje vlnění, který kmitá s periodou 1 ms, se šíří vlnění ve směru přímky. Dva body této přímky vzdálené od zdroje 12 a 14,7 m kmitají s fázovým rozdílem (3/ 2) rad. Vypočítejte velikost fázové rychlosti vlnění. [3600 m/s] 23. Ze zdroje vlnění se šíří vlna ve směru přímky. Bod ve vzdálenosti 0,04 m od zdroje vlnění má v okamžiku T/6 výchylku rovnu polovině amplitudy. Vypočítejte vlnovou délku vlnění. [0,48 m] 24. Stojíte ve vzdálenosti D od zdroje vysílajícího zvukové vlny do všech směrů stejně. Když se přemístíte o 50 m blíže, zjistíte, že se intenzita vln zdvojnásobila. Vypočtěte původní vzdálenost D. [170,7 m] D23) Dvě ponorky se pohybují proti sobě v přibližně stejné hloubce. První se pohybuje rychlostí 10 m/s a vysílá ultrazvukové vlny s frekvencí 50 kHz, které se ve vodě šíří rychlostí 1408 m/s. Po odrazu od druhé ponorky detekuje první ponorka odražený signál s frekvencí 52 kHz. Určete rychlost druhé ponorky. H1) Jakou rychlostí se pohyboval závodní motocykl, jestliže poměr blížícího se a vzdalujícího se vozidla byl pro stojícího pozorovatele 5/4(velká tercie)? Rychlost zvuku je 340 m/s.

2. RELATIVISTICKÁ MECHANIKA -

Einsteinovy postuláty a Lorentzova transformace základy relativistické kinematiky a dynamiky

D24) Soustava S/ se pohybuje vzhledem k inerciální vztažné soustavě S rovnoměrně přímočaře rychlostí 0,6c. V soustavě S/ je umístěna tyč o délce 10 m tak, že je rovnoběžná s vektorem relativní rychlosti obou soustav. Jakou délku této tyče změří pozorovatel v soustavě S? [8m] D25) Mezon se pohybuje rychlostí 0,8c vzhledem k pozorovateli. Jakou dobu života T mezonu zjistí pozorovatel, je-li za klidu doba života mezonu 2,4.10-8 s? [4.10-8 s] D26) Kosmická loď prolétá kolem sluneční soustavy rychlostí 0,98 c. Na Zemi probíhá určitý děj po dobu půl hodiny. Jakou dobu trvání tohoto děje zjistí pozorovatel v kosmické lodi? [2,5 h] D27) Soustava S/ se pohybuje vzhledem k soustavě S stálou rychlostí 0,5c. V soustavě S/ se pohybuje částice rychlostí 2c/3. Vektory obou rychlostí jsou stejného směru i orientace. Určete rychlost částice vzhledem k soustavě S. [8m] D28) Vypočítejte klidovou energii elektronu, je-li jeho hmotnost 9,1.10-31 kg. [8,2.10-14 J = 0,51 MeV] D29) Jaká je hmotnost částice o klidové hmotnosti m, je-li její rychlost 0,99999992c? [2500m] 25. Jakou rychlost má částice, je-li její kinetická energie rovna energii klidové? [ c 3 ] 4

26. Energie relativistických mionů je 3 GeV. Určete dráhu L, kterou urazí za dobu své existence, jestliže klidová energie mionu je 110 MeV a doba existence mionu je 2,2.10-6 s. [17,975 km] 27. Homogenní těleso tvaru krychle o hraně 0,1 m má klidovou hmotnost 6 kg. Vypočtěte hustotu tělesa a) v soustavě, vzhledem k níž je těleso v klidu, b) v soustavě, vzhledem k níž se těleso pohybuje rychlostí 0,5 c. [a) 6000 kg.m-3, b) 8000 kg.m-3] 28. Ve výši 30 km nad povrchem Země vznikl mezon. Jakou musí mít minimální kinetickou energii, aby dopadl na povrch Země? Doba života mezonu ve vztažné soustavě s ním spojené je 2,15.10-6 s. Jeho klidová hmotnost je 210 m0e, kde m0e = 9,1.10-31 kg je klidová hmotnost elektronu. (mezon nepadá volným pádem, ale pohybuje se RPP) [4,9.109 eV]


D30) V urychlovači mají protony kinetickou energii 76 GeV. Určete hmotnost a rychlost urychlovaných částic, je-li klidová hmotnost protonu 1,6726.10-27 kg. [299770165km/h] 5 D31) Částice o klidové hmotnosti m 0 má celkovou energii m0 c 2 . Určete hybnost částice. [(4/3)m0c] 3 D32) Podle klasické mechaniky určete potenciální rozdíl potřebný k urychlení elektronu na rychlost světla. Jakou rychlostí se bude elektron pohybovat ve skutečnosti a jakou bude mít hmotnost? [0,745c] P1) Soustava S/ se pohybuje vzhledem k soustavě S stálou rychlostí 0,5c. V soustavě S/ se pohybuje částice rychlostí c/4 tak, že vektory obou rychlostí jsou stejného směru. Určete rychlost částice vzhledem k soustavě S, mají-li vektory rychlosti a) stejnou orientaci, b) opačnou orientaci. P2) Stanovte rychlost částice v případě, že její kinetická energie je rovna polovině klidové energie částice. P3) Určete celkovou energii a hmotnost částice, která se pohybuje rychlostí v, pomocí její klidové hmotnosti a hybnosti.

3. TERMODYNAMIKA

- zákony termodynamiky, vnitřní energie, entropie a entalpie termodynamické soustavy Zákony termodynamiky, vnitřní energie: D33) Ve skleněné kapiláře na jednom konci zatavené je uzavřen vzduch sloupcem rtuti délky 10 cm. Je-li kapilára postavena zataveným koncem dolů, má sloupec vzduchu délku 16 cm, je-li kapilára zataveným koncem nahoru, je délka vzduchového sloupce 21 cm. Určete barometrický tlak. [98283Pa]

D34) Z bomby se stlačeným vodíkem, o objemu 10 l, uniká vadným ventilem plyn. Při teplotě 7 °C je tlak vodíku 5.106 Pa, za určitou dobu má plyn při teplotě 17 °C tentýž tlak. Kolik vodíku uniklo? [1,48g]

29. V uzavřené nádobě stálého objemu 25 m3 je vzduch při počátečním tlaku 9,5.104 Pa a počáteční teploty 10°C. Dodáním tepla se vzduch ohřál a jeho tlak vzrostl na 23,5.10 4 Pa. Vypočítejte, kolik tepla jsme plynu dodali a o jakou hodnotu narostla vnitřní energie plynu. [8,745.106 J, 8,745.106 J] 30. Na kompresi 3 kg dusíku při stálé teplotě 100 °C bylo zapotřebí práce 6,8.105 J. Počáteční tlak dusíku byl 1.105 Pa. Vypočítejte počáteční objem plynu, výsledný objem plynu, výsledný tlak a teplo, které je třeba při kompresi plynu odebrat. [3,32 m3, 0,43 m3, 7,73.105 Pa, -6,8.105 J] 31. Vypočtěte účinnost tepelného oběhu ideálního plynu o látkovém množství n, který je složen z izobarického, adiabatického a izotermického děje. Tepelný stroj vykonává svůj oběh mezi teplotami 300 K a 600 K. [30,7%] D35) Kyslík o objemu 5l a tlaku 1 MPa se rozpíná na trojnásobný objem. Vypočtěte výsledný tlak a práci, kterou plyn vykoná. Uvažujte, že se plyn chová ideálně a změna stavu probíhá a) izobaricky, b) izotermicky nebo c) adiabaticky. Molární hmotnost kyslíku je 32.10 -3 kg/mol. [10kJ; 5,5kJ; 4,5kJ] D36) Dusík o teplotě 400 K zvětšil svůj objem na pětinásobek při adiabatickém ději, přičemž vnitřní energie plynu se zmenšila o 4 kJ. Určete hmotnost plynu, je-li molární hmotnost dusíku 28.10-3 kg/mol. Entropie a entalpie termodynamické soustavy: 32. Určete změnu entropie pro 2 g dusíku, který izobaricky změní svoji teplotu z 0 °C na 30 °C. [0,216 J/K] 33. Vypočtěte změnu entropie 1 kg vzduchu, který se při stálém tlaku 2.105 Pa ohřeje z teploty 100 °C na teplotu 650 °C. [909,14 J/K] 34. Stanovte změnu entropie 200 g dusíku, který se ochladí ze 40 °C na 0 °C a) při izochorickém ději, b) při izobarickém ději. [a) – 20,2 J/K, b) –28,4 J/K] 35. Vypočítejte, jak se změní entropie vodíku o hmotnosti 5 g, který se při teplotě 20 °C izotermicky rozepnul z objemu 10 l na 20 l. [14,4 J/K]


D37) Určete změnu entropie po smíchání 10 g body o teplotě 100 °C a 20g vody o teplotě 15 °C. [0,956 J/K]

D38) Dokažte, že pro elementární změnu stavu ideálního plynu platí pro 1 kmol vztah: dS

CP

dT T

R

dp p

D39) Vypočítejte, jak se změní entropie 200 g kyslíku, který se ohřeje z 0 °C na 30 °C a) izochoricky, b) izobaricky. [13,54 J/K; 18,95 J/K] D40) Při zahřívání dvouatomového plynu o látkovém množství 1 mol se termodynamická teplota zvýšila dvakrát. Určete změnu entropie plynu, jestliže změna probíhá izochoricky resp. izobaricky. [14,41 J/K; 20,17 J/K] P1) Odvoďte výraz pro konečnou změnu entropie 1 kmol ideálního plynu pro děj, jehož počáteční a konečné hodnoty jsou známy pro a) T1 , T2 ,V1 ,V2 b) T1 , T2 , p1 , p 2 c) V1 , V2 , p1 , p 2 .

- fázové změny Termodynamika – fázové změny: 36. Vypočtěte teplo potřebné k tomu, aby se led o hmotnosti 1 kg a teplotě –10 °C ohřál na teplotu tání za normálního tlaku, při této teplotě roztál, vzniklá voda se ohřála na teplotu varu a při této teplotě se přeměnila v páru. Měrná tepelná kapacita ledu je 2,1 kJ.kg-1.K-1, vody 4,18 kJ.kg-1.K-1, měrné skupenské teplo tání ledu je 332 kJ.kg-1, měrné skupenské teplo varu vody je 2260 kJ.kg-1. [3,03 MJ] 37. Do kalorimetru o tepelné kapacitě 0,12 kJ.K-1, obsahujícího 1,2 kg vody teploty 25 °C, vhodíme 0,2 kg ledu teploty 0°C. Když všechen led roztaje, ustálí se výsledná teplota 10,4 °C. Vypočtěte měrné skupenské teplo tání ledu. [331 kJ/kg] 38. Jakou rychlost musí mít olověná střela, aby se při nárazu na ocelovou desku právě roztavila? Teplota střely před překážkou je 27 °C, teplota tání olova 327 °C, měrné skupenské teplo tání olova 22,6 kJ.kg-1 a měrná tepelná kapacita olova je 0,129 kJ.kg-1.K-1. Předpokládejte, že deska nepřebírá žádné teplo. [350 m/s] P1) V tepelně izolované nádobě uvedeme do bezprostředního kontaktu vodní páru o hmotnosti m1 o teplotě 100 °C, vodu o hmotnosti m0 o teplotě t0 a led o hmotnosti m 2 o teplotě 0°C. Po určitém čase se v nádobě vytvoří jediná kapalná fáze. Jaká bude její teplota? Předpokládejme, že tepelnou kapacitu nádoby lze zanedbat.

- šíření tepla Termodynamika – šíření tepla: 39. Dvě destičky, měděná o tloušťce 9 mm a železná o tloušťce 3 mm jsou položeny na sebe. Vnější plocha měděné destičky je udržována na teplotě 50 °C, vnější plocha železné na teplotě 0 °C. Určete teplotu na rozhraní destiček. Součinitel tepelné vodivosti mědi je 380 W.m -1.K-1, železa 60 W.m-1.K-1. [33,9 °C] 40. Tři destičky týchž rozměrů jsou položeny na sebe. Prostřední je olověná, obě krajní jsou stříbrné. Vnější stěnu jedné stříbrné destičky udržujeme na teplotě 100 °C, vnější stěnu druhé stříbrné destičky na teplotě 0 °C. Vypočtěte teploty na rozhraní olověné destičky s oběma stříbrnými. Součinitel tepelné vodivosti stříbra je 420 W.m-1.K-1, olova 35 W.m-1.K-1. [93°C, 7,1 °C] D41) Při velmi nízkých teplotách v blízkosti absolutní nuly závisí měrná tepelná kapacita pevných látek na termodynamické teplotě vztahem c kT 3 , kde konstanta k závisí na druhu látky. Určete vztah pro teplo, kterým se těleso o hmotnosti m zahřeje z teploty T1 na T 2 . D42) Určete teplo, které projde za dobu 1 h cihlovou stěnou o tloušťce 30 cm plochou 16,5 m2, je-li teplota vzduchu v místnosti 22 °C, teplota vnějšího vzduchu -12 °C. Součinitel přestupu tepla mezi zdí a vzduchem je uvnitř místnosti 8 W.m-2.K-1, venku 23 W.m-2.K-1. H2)

H3)

Jeden konec ocelové tyče délky 20 cm a průřezu 3 cm2 udržujeme na konstantní teplotě 300 0C, druhý konec je uložen do tajícího ledu. Kolik ledu rozpustí tyč za 10 minut, je-li možno zanedbat tepelné ztráty do okolí? [40,7g] Měděná tyč délky 15 cm je připojena k ocelové tyči stejného průřezu a délky 8 cm. Volný konec měděné tyče udržujeme na konstantní teplotě 150 0C, volný konec ocelové tyče na teplotě 20 0C. Určete hustotu tepelného toku v tyčích, je-li možno zanedbat ztráty do okolí. [65,6 kW]


Termodynamika - záření černého tělesa: 41. Určete teplotu, na které se ustálí tenká černá destička umístěná ve vakuu kolmo ke směru šíření slunečních paprsků, je-li hustota zářivého toku, který na ni dopadá, 1330 Wm-2. [56 °C] 42. Určete, jaké množství energie vyzařuje 1 cm2 povrchu černého tělesa za 1s, je-li známo, že maximální intenzita vyzařování připadá na vlnovou délku 484 nm. [7,29.103 J/s] 43. Povrch Slunce považujme za absolutně černé těleso. Vlnová délka maxima vyzařování je 0,5.10-6 m. Určete a) teplotu slunce, b) energii vyzářenou za 1 s, je-li poloměr Slunce 6,95.108m, c) úbytek hmotnosti Slunce za 1s, d) průměrnou dobu, za kterou se hmotnost Slunce zmenší zářením o 1% (za předpokladu konstantní teploty). [a) 5796 K, b) 3,9.1026 J, c) 4,3.109 kg, d) 1011 a] D43) Obvykle se udává, že střední hodnota energie, kterou vyzáří plocha o obsahu 1 cm2 zemského povrchu za dobu 1 min je 0,53 J. Jakou teplotu má černé těleso, které vyzařuje stejně? D44) Žárovka svítilny potřebuje příkon 1 W. Za předpokladu, že žárovka vyzařuje všemi směry rovnoměrně záření o vlnové délce 10-6 m, určete počet fotonů, které dopadají za 1s na 1m2 plochy postavené kolmo k paprskům ve vzdálenosti 10 km od žárovky. D45) Jsou dvě černá tělesa, teplota jednoho z nich je 2500 K, vlnová délka odpovídající maximu vyzařování je pro první těleso o 0,5.10-6 m menší, než u druhého tělesa. Určete teplotu druhého tělesa. D46) Jaký proud prochází kovovým vláknem o průměru 0,1 mm, které je ve vyčerpané baňce, má-li teplotu 2500 K a měrný odpor 2,5.10-4 m. Vlákno září jako černé těleso. [0,148A] P1) V žárovce která svítí, má rozžhavené vlákno teplotu 2900 °C. Náhle přestane žárovkou procházet elektrický proud. Za jakou dobu žárovka zhasne, pokud zhasnutí odpovídá teplota vlákna nižší než 400 °C. Vlákno září jako černé těleso a další ztráty tepla zanedbáváme. Měrná tepelná kapacita materiálu vlákna je 3,14.10-8 m-2 a hustota je 19300 kg.m-3.

4. KVANTOVÁ MECHANIKA

- zákony tepelného záření látek - částicová povaha elmg záření, fotoelektrický jev, brzdné RTG záření, Comptonův jev - vlnové vlastnosti mikročástic, Schrödingerova rovnice Dualismus vlna-částice: 44. Výstupní práce elektronů z katody fotonky je 3,2.10-19 J. Určete maximální vlnovou délku světla, které může způsobit fotoefekt. Určete rychlost fotoelektronů emitovaných při dopadu UV záření o vlnové délce 3,2.10-7 m. (řešte klasicky i z hlediska relativity) [klas.: 812613 m/s, relat.: 812611 m/s] 45. Určete vlnovou délku elektronu, který má kinetickou energii a) 100 eV, b) 3 MeV. [a) 0,122 nm; 0,357 pm] 46. Po zvětšení kinetické energie elektronu o 200 eV se jeho vlnová délka zmenšila na polovinu. Určete původní kinetickou energii a původní vlnovou délku elektronu. [67 eV, 1,5.10-10 m] D47) Rychlost elektronů v rentgenové trubici je rovna polovině rychlosti světla ve vakuu. Jaká je minimální délka spojitého spektra elektromagnetického záření, které vzniká zabržděním těchto elektronů.

H4) Prahová vlnová délka pro fotoelektrickou emisi u wolframu je 230nm. Jaká musí být vlnová délka použitého světla, aby vyletovaly elektrony s maximální energií 1,5 eV? [1800Å] H5) Jakou rychlostí opouští elektron povrch lithia při ozáření světlem vlnové délky 200 nm? Výstupní práce lithia je 2,4 eV. [1,2 106 ms-1] Heisenbergovy relace neurčitosti: 47. Excitovaný atom emituje foton během intervalu 0,01 s, vlnová délka záření je 600 nm. Určete, s jakou přesností může být určena energie a poloha fotonu. [1,055 10-26 J; 3 m] D48) Při pohybu částice podél osy x je možno stanovit rychlost s neurčitostí 1 cm.s-1. Určete neurčitost stanovení polohy pro a) elektron, b) brownovskou částici o hmotnosti 10-13 g, c) kuličku hmotnosti 0,1 g.


- částice v potenciálové jámě, tunelový jev Částice v potenciálové jámě: D49) Elektron se nachází v 1-rozměrné potenciálové jámě o šířce l s dokonale tuhými stěnami. Určete nejmenší rozdíl energií dvou sousedních energetických hladin pro a) l 10 cm, b) l 10-9 m. [a) 1,129.10-16 eV, 1,129 eV] D50) Mějme elektron v základním stavu, který je uvězněn v potenciálové jámě konečné hloubky s energií E P 0 30 eV a l 100 pm. Elektron se může dostat do vyššího vázaného stavu při ozáření jámy světlem. a) Jakou vlnovou délku světlo musí mít, aby ho elektron absorboval? b) Může elektron v základním stavu absorbovat foton o vlnové délce 100 nm? c) Jakou vlnovou délku musí mít foton, aby se jeho pohlcením stal elektron volným? d) Může elektron v základním stavu absorbovat foton s vlnovou délkou 20,2 nm? V jakém stavu se bude poté nacházet? [a) 143 nm, 57,6 nm, b) ne, c) 45,9 nm, d) 34,4 eV] D51) Částice o hmotnosti m se nachází v 1-rozměrné potenciálové jámě o šířce l . Určete hustotu energetických linií (počet energetických úrovní na jednotkový interval energie) pro případ elektronu, je-li l 1cm, n 1010. - Bohrovy postuláty, Bohrův model atomu Bohrův model atomu vodíku: 48. Jakou silou se navzájem přitahují jádro a elektron na první dráze v Bohrově modelu atomu vodíku? Kolikrát je tato síla větší než síla gravitační, kterou na sebe elektron a jádro působí? [0,0821.10-6 N, 2,26.1043] 49. Určete celkovou energii elektronu na druhé kvantové dráze v Bohrově modelu atomu vodíku. [-3,4 eV] 50. Určete indukci magnetického pole, které vytváří elektron obíhající v Bohrově modelu atomu vodíku na první dovolené dráze, uprostřed této dráhy. [12,4 T] 51. Určete vlnovou délku fotonu, který se vyzáří při přeskoku elektronu ze čtvrté kvantové dráhy na druhou. (využijte stanovení E2 z př. 53) [0,485 m] D52) Vypočítejte poloměr první dráhy elektronu obíhajícího kolem jádra v Bohrově modelu atomu vodíku a určete rychlost elektronu na této dráze. D53) Jaký je magnetický moment elektronu vodíkového atomu v základním stavu? - kvantově-mechanické řešení atomu vodíku, kvantová čísla - atomy s více elektrony - pásový model pevných látek, polovodiče Pásová teorie pevných látek: D54) Určete maximální hodnotu rychlosti vodivostních elektronů v mědi při teplotě 0K, je-li Fermiho energie 4,7 eV a koeficient volnosti mědi 0,67. [10,5.105 m/s] D55) Jaká je Fermiho energie mědi, jestliže ke koncentraci vodivostních elektronů přispívá každý atom mědi jediným elektronem, je-li koeficient volnosti mědi 0,67. D56) Čistý polovodič má při teplotě 20 °C šířku zakázaného pásu 2eV. Určete, kolikrát se zvýší koncentrace vodivostních elektronů ve vodivostním pásu, jestliže teplota vzroste na 320 °C?


6. FYZIKA ATOMOVÉHO JÁDRA -

složení atomových jader, vazební energie jádra radioaktivní přeměny jader zákony zachování při jaderných reakcích

52. -částice s energií 5,3 MeV dopadá čelně na jádro atomu zlata s protonovým číslem 79. Jak blízko ke středu jádra je -částice v okamžiku, kdy se zastaví a změní směr pohybu? Zpětný ráz jádra zanedbejte. [42,9 fm] 53. Kolik energie je třeba k oddělení všech nukleonů, které tvoří typické středně hmotné jádro cínu (A=120, Z=50, N=70), jehož tab. Hmotnost je 119,902199u. Jaká je hodnota vazební energie na 1 nukleon v tomto nuklidu? Hmotnost vodíkového atomu je 1,007825u, hmotnost neutronu 1,008665u. Atomová hmotnostní jednotka u=1,661.10-27 kg. [1021 MeV, 8,51 MeV] 54. Měření vzorku horniny z Měsíce na hmotnostním spektrografu ukázala, že poměr počtu stabilních atomů argonu 40 Ar k počtu radioaktivních atomů draslíku 40 K je 10,3. Předpokládejme, že všechny argonové atomy vznikly rozpadem draslíku s poločasem rozpadu 1,25.109 y. Jaké je stáří analyzované horniny? [4,37.109 let] 55. Vypočtěte, kolikrát se zmenší hmota radioaktivního izotopu za 3 roky, jestliže za 1 rok klesne 4 krát. [64]

1. KLASICKÁ MECHANIKA: - mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů

Recommend Documents