1. ČÍSELNÉ OBORY

ČÍSELNÉ OBORY

1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený. Uzavřenost číselného oboru vzhledem k početní operaci znamená, že výsledkem početní operace mezi dvěma libovolnými prvky z příslušné číselné množiny je číslo, které také patří do této číselné množiny. Přirozeným číslem tj. číslem z oboru přirozených čísel se v matematice rozumí kladné celé číslo (tj. 1, 2, 3, …). Přirozená čísla se označují počet předmětů, osob, zvířat nebo vyjadřují pořadí. Výuka matematiky obvykle začíná u přirozených čísel. Obor všech přirozených čísel je tvořen množinou čísel 1, 2, 3 …, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení. Množinu všech přirozených čísel značíme . Číselnou množinu přirozených čísel rozšířených o nulu značíme .

1 3

2 4

Množinu přirozených čísel je pro praktické účely a další počítání nutné rozšířit o nulu a celá záporná čísla. Dostáváme tak obor všech celých čísel. Obor všech celých čísel je tvořen množinou obsahující všechna přirozená čísla, všechna čísla opačná k přirozeným číslům (celá čísla záporná) a nulu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání a násobení. Obor celých čísel značíme . Množinu celých kladných čísel značíme , množinu celých záporných čísel tedy označíme . Číselnou množinu kladných celých čísel, ke které je přidruženo číslo nula označíme .

0

-1 -15

-4 1 3

2 4

Pozn. Opačným číslem k číslu rozumíme takové číslo, pro něhož je . Opačné číslo ke kladnému číslu je číslo záporné (např. , ), opačné číslo k zápornému číslu je číslo kladné (např. , ). Opačné číslo k číslu nula je číslo nula.

1

ČÍSELNÉ OBORY

Příklad Rozhodni, jsou-li následující tvrzení pravdivá: a) Číslo 0 náleží do oboru přirozených čísel. Řešení Ne, číslo 0 náleží do oboru celých čísel. b) Opačným číslem k číslu -7 je číslo 7. Řešení Ano, toto tvrzení je pravdivé. c) Číslo -3 náleží do oboru přirozených čísel. Řešení Ne, číslo -3 nenáleží do přirozených čísel, náleží do oboru celých čísel. Obor všech racionálních čísel je tvořen množinou obsahující taková čísla, která lze zapsat ve tvaru , kde

, na které jsou definovány bez omezení početní operace

sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem. Množinu racionálních čísel značíme . Množinu racionálních čísel můžeme popsat tak, že obsahuje čísla s konečným desetinným rozvojem (např. číslo 3,25) a nekonečným periodickým desetinným rozvojem (např. číslo ). 0,5

-10,525

1,111 0

-1 -15

-4 1 3

2 4

Obor všech reálných čísel, který budeme značit , je tvořen množinou obsahující všechna racionální čísla a čísla s nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem.

0,5

-10,525

1,111 0

-1 -15

-4 1 3

2 4 2

ČÍSELNÉ OBORY

Reálné číslo, které zároveň nepatří do množiny racionálních čísel, nazýváme iracionální číslo. Příkladem iracionálního čísla je číslo , (tj. Ludolfovo číslo, které představuje podíl obvodu libovolné kružnice a jejího průměru), které má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj. Vztah mezi číselnými množinami lze schematicky vyjádřit graficky, diagramem:

Příklad Rozhodni, zda platí: a) Řešení Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem. b) Řešení Ne, Ludolfovo číslo má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj, proto do oboru racionálních čísel nepatří. c) Řešení Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem.

Vlastnosti číselných oborů Na závěr kapitoly se podíváme, jaké vlastnosti má každý číselný obor: Pro každá tři čísla z číselného oboru platí: 1. asociativnost sčítání a násobení

2 komuta vnost sčítání a násobení

3 e istence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání a násobení (s výjimkou oboru přirozených čísel) 3

ČÍSELNÉ OBORY

4. distributivnost násobení vzhledem ke sčítání

Neutrální prvek vzhledem k početní operaci je takový prvek, který neovlivní výsledek početní operace. V oboru přirozených čísel platí e istence neutrálního prvku jen vzhledem k násobení. E istence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání v něm neplatí, protože do oboru přirozených čísel nezahrnujeme číslo 0.

4

ZLOMKY

2. ZLOMKY Kapitola Zlomky má následující části: Zlomky úvod, Zlomek jako podíl čísel, Rozšiřování a krácení zlomků, Desetinné zlomky, Sčítání zlomků se stejným jmenovatelem, Porovnávání zlomků, S čítání zlomků s různými jmenovateli, Odčítání zlomků, Násobení zlomků, Dělení zlomků, Složený zlomek. V kapitole je vždy nejdříve uveden učební te t, ve kterém jsou ukázky vzorově vyřešených příkladů. Na učební text pak navazují cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test. Členění kapitoly Zlomky:  Zlomky úvod  Zlomek jako podíl čísel  Rozšiřování a krácení zlomků  Desetinné zlomky  Sčítání zlomků se stejným jmenovatelem  Porovnávání zlomků  S čítání zlomků s různými jmenovateli  Záporné zlomky  Odčítání zlomků  Násobení zlomků  Dělení zlomků  Složený zlomek  Cvičení  Test

ZLOMKY - ÚVOD Zlomkem můžeme zapsat jakékoliv racionální číslo. Zlomek se skládá ze dvou částí. Horní část nad zlomkovou čarou se nazývá čitatel a spodní část pod zlomkovou čarou jmenovatel. Existuje také složený zlomek, což je zlomek, který má v čitateli či jmenovateli další zlomek. Slovo zlomek používáme v běžné řeči často, nyní si vysvětlíme, co zlomek znamená v matematice. Zlomek označuje v matematice podíl dvou výrazů. Zlomek, ve kterém jsou oba výrazy celá čísla, se nazývá racionální číslo. Např.:

5

ZLOMKY

Zápis zlomku je založen na vztahu části k celku. Například: jedna polovina

tři poloviny

jedna osmina

ČÁSTI ZLOMKU

Zlomková čára rozděluje zlomek na dvě části, na čitatel a jmenovatel.

Jmenovatel pojmenovává celý zlomek. Vyjadřuje, na kolik stejných dílů jsme celek rozdělili. Aby měl zlomek smysl, nesmí být jmenovatel nula (v oboru reálných čísel nelze nulou dělit). Čitatel určuje, kolik dílů z celku uvažujeme. Pizzu rozdělíme celkem na 8 stejných dílů. Jeden takový díl je tedy jedna osmina. Zlomkem lze zapsat i dělení

Příklad: Babička upekla dort. V náčrtku

a v matematice

.

6

ZLOMKY

Zakresli a zapiš zlomkem jednu polovinu dortu.

Zakresli a zapiš zlomkem jednu třetinu dortu.

Zakresli a zapiš zlomkem jednu čtvrtinu dortu.

Zakresli a zapiš zlomkem jednu pětinu dortu.

ZLOMKY - ÚVOD CVIČENÍ 1. Znázorni v obrázcích zlomky:

7

ZLOMKY

Řešení

2. Znázorni zlomky:

Řešení

3. Zapiš zlomkem, jaká část z celku je vybarvená:

8

ZLOMKY

Řešení:

ZLOMEK JAKO PODÍL ČÍSEL Zlomek si můžeme představit jako úlohu: Rozděl spravedlivě tři jablka mezi dvě osoby.

Vezmeme jablka a všechna rozpůlíme.

Následně každý dostane spravedlivě „tři půlky“.

Z předchozího obrázku je vidět, že zlomek

je roven číslu, které odpovídá 3 : 2 = 1,5

Obecně: Jsou-li a, b přirozená čísla, pak je zlomek roven číslu, které je výsledkem dělení a : b . 9

ZLOMKY

Je zlomek

větší než 1 nebo menší než 1?

Z náčrtku zlomku

je vidět, že jsme vybarvili „jeden celý celek a půl“, což odpovídá vztahu: Zlomek je tedy větší než 1. Jak by to vypadalo se zlomkem Jsou

větší než 1 nebo menší než 1?

Z náčrtku zlomku Zlomek

?

je vidět, že jsme nevybarvili ani „jeden celý celek“ :

je tedy menší než 1.

Kdy je zlomek menší než jedna a kdy je větší než jedna? Menší než jedna jsou zlomky, jejichž čitatel je menší než jmenovatel.

Větší než jedna jsou zlomky, jejichž čitatel je větší než jmenovatel.

Příklad Které ze zlomků jsou větší než 1?

Řešení

Smíšené číslo V příkladu, kde jsme měli rozdělit spravedlivě dvě jablka mezi dvě osoby, byl výsledek jeden a půl jablka.

10

ZLOMKY

takovému zápisu říkáme smíšené číslo. 3:2=1 a

je zbytek

Podobně můžeme smíšeným číslem zapsat zlomky: čteme: dvě a dvě třetiny čteme: tři a tři čtvrtiny Kdy lze zlomek zapsat smíšeným číslem? Smíšeným číslem lze zapsat zlomek, který je větší než 1 a není roven celému číslu. nelze, je menší než 1 lze, je větší než 1 a není rovna celému číslu, nelze, zlomek je sice větší než 1, ale 8 : 2 je 4, tedy celé číslo = 4

Příklad Vyber zlomky větší než 1 a zapiš je smíšeným číslem:

Řešení

ZLOMEK JAKO PODÍL ČÍSEL CVIČENÍ 1. Vyber zlomky větší než jedna:

Řešení

11

ZLOMKY

2. Vyber zlomky menší než jedna:

Řešení

3. Zapiš zlomky desetinným číslem:

Řešení 2,4

4. Zapiš zlomky jako smíšená čísla:

Řešení

5. Zapiš smíšená čísla jako zlomky: 8

Řešení 8

12

ZLOMKY

6. Vyber zlomky větší než jedna a zapiš je smíšeným číslem:

Řešení

7. Smíšená čísla znázorni na číselné ose:

0

1

2

3

4

1

2

3

4

Řešení

0

ROZŠIŘOVÁNÍ A KRÁCENÍ ZLOMKŮ Na následujícím obrázku je vidět, že všechny tři zlomky vyjadřují stejnou část celku:

13

ZLOMKY

Příklad Najdi další zlomky rovné Řešení

Všechny takové zlomky vznikly tak, že jsme vynásobili čitatele a jmenovatele stejným číslem. Tato úprava se nazývá rozšiřování zlomků. Např.:

Hodnota zlomku se nezmění, vynásobíme-li čitatele i jmenovatele stejným číslem.

Rozšiřte zlomky

číslem čtyři:

Řešení

Co je to krácení zlomků? Při rozšiřování zlomků jsme čitatel i jmenovatel vynásobili stejným číslem. Nyní provedeme opačnou operaci. Čitatele i jmenovatele vydělíme stejným číslem, tedy jejich společným dělitelem.

Hodnota zlomku se krácením nezmění.

Zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou čísla nesoudělná, tj. zlomek, který nelze krátit, se nazývá zlomek v základním tvaru. např.: Příklad Upravte zlomek

na základní tvar:

Řešení Můžeme postupně krátit napřed třemi a pak pěti 14

ZLOMKY

nebo čitatel i jmenovatel vydělit jejich největším společným dělitelem, tj. číslem patnáct.

Příklad Uprav zlomky

na základní tvar:

Řešení

ROZŠIŘOVÁNÍ A KRÁCENÍ ZLOMKŮ CVIČENÍ 1. Rozšiřte zlomky:

a) číslem tři

b) číslem pět

c) číslem šest

Řešení

a) b) c)

2. Uprav zlomky na základní tvar:

Řešení

15

ZLOMKY

3. Uprav zlomky na základní tvar. Pokud je hodnota zlomku větší než 1, převeď na smíšené číslo:

Řešení

DESETINNÉ ZLOMKY Které zlomky jsou desetinné? Desetinné zlomky jsou zlomky, které mají ve jmenovateli některé z čísel 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 . . . např.: U desetinných zlomků bude jednoduchý převod na desetinná čísla. Uplatníme znalosti o dělení čísly 10, 100, 1000 . . .

Příklad Zapiš zlomek desetinným číslem a toto číslo přečti:

Řešení

Jak zapsat desetinné číslo zlomkem? Každé desetinné číslo lze zapsat desetinným zlomkem. Někdy jej lze poté krácením upravit na zlomek v základním tvaru, tj. na zlomek s jiným jmenovatelem. 16

ZLOMKY

Jak převést zlomek na desetinný zlomek? Využijeme, co jsme se naučili o rozšiřování zlomků. Daný zlomek rozšíříme vhodným číslem tak, abychom v novém jmenovateli dostali požadované číslo 10, 100, 1000 . . . např.:

Je možné převést každý zlomek na zlomek desetinný? Co například ?

Tento zlomek se nám nepodaří rozšířit na desetinný. Proč tomu tak je? Jmenovatel, tedy číslo tři, není dělitelem čísel 10, 100, 1000 . . . Některé zlomky tedy není možné zapsat desetinnými zlomky. Všimněme si, že zlomky, které šlo převést na desetinné zlomky, šlo následně zapsat desetinným číslem.

Co se stane tedy se zlomkem

, který se nedá na desetinný zlomek převést?

Takový zlomek zapíšeme “pouze“ periodickým číslem. Závěr: Zlomky, které nelze převést na desetinné zlomky, lze převést na periodické číslo. Pokus se uvést další případy zlomků, které nepůjde převést na desetinné zlomky. Příklad Převeď zlomky

na desetinné zlomky:

Řešení

17

ZLOMKY

DESETINNÉ ZLOMKY CVIČENÍ 1. Zapište zlomky desetinnými čísly

Řešení

2. Zapište desetinná čísla desetinnými zlomky: 0,2 =

1,32 =

1,17 =

0,45 =

47,8 =

7,7 =

3,9 =

0,126 =

12,87 =

1,05 =

Řešení 0,2 =

1,32 =

1,17 =

0,45 =

47,8 =

3,9 =

0,126 =

12,87 =

1,05 =

7,7 =

3. Zapiš desetinná čísla desetinným zlomkem. Zlomek uprav na základní tvar. 0,5 =

0,2 =

0,125 =

0,75 =

1,5 =

2,5 =

32,8 =

1,04 =

5,24 =

0,0802 =

Řešení 0,5 =

0,2 =

0,125 =

0,75 =

1,5 =

2,5 =

32,8 =

1,04 =

5,24 =

0,0802 =

4. Zapiš periodickým číslem zlomky:

18

ZLOMKY

Řešení

SČÍTÁNÍ ZLOMKŮ Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli

Zlomky se stejnými jmenovateli sečteme tak, že sečteme jejich čitatele a tento součet pak lomíme původním jmenovatelem. Příklad

Řešení

Příklad Sečti zlomky, pokud je výsledný zlomek větší než 1, vyjádři výsledek smíšeným číslem:

Řešení

19

ZLOMKY

Sčítání zlomků s různými jmenovateli Jak sečteme zlomky s různými jmenovateli? Pokusme se úlohu opět převést na sčítání zlomků se stejnými jmenovateli. Převedeme zlomky na stejného jmenovatele, tzn. vhodně jmenovatele všech sčítanců rozšíříme na jejich nejmenší násobek. Převedení zlomků na stejného jmenovatele.

Nejmenším společným násobkem jmenovatelů 2 a 3 je číslo 6. První zlomek rozšíříme třemi a druhý dvěma. Zlomky pak mají stejné jmenovatele a ty již umíme sečíst. Příklad teď zapíšeme úsporněji. Místo:

Případně píšeme se společnou zlomkovou čárou.

Příklad

Řešení

ZÁPORNÉ ZLOMKY Záporný zlomek

budeme považovat za záporné číslo (víme, že hodnota zlomku

), které je opačné ke kladnému číslu

je

.

20

ZLOMKY

V některých příkladech bude výhodné pracovat se zápornými čitateli nebo zápornými jmenovateli:

Při těchto úvahách vycházíme z toho, co již víme o dělení celých čísel a že zlomek je vlastně naznačené dělení:

Při rozšiřování i krácení záporných zlomků platí stejná pravidla jako u zlomků kladných:

ODČÍTÁNÍ ZLOMKŮ Odčítání zlomků se stejným jmenovatelem Odečtěte zlomky se stejnými jmenovateli:

Zlomky se stejnými jmenovateli odečteme tak, že odečteme jejich čitatele. Ve jmenovateli zůstává původní jmenovatel. Příklad

Řešení

Odčítání zlomků s různým jmenovatelem Jak odečteme zlomky s různými jmenovateli?

21

ZLOMKY

Pokusme se úlohu opět převést na odčítání zlomků se stejnými jmenovateli. Převedeme zlomky na stejného jmenovatele, tj. vhodně je rozšíříme na nejmenší násobek jmenovatelů.

Příklad zapíšeme úsporněji společnou zlomkovou čárou:

Příklad

Řešení

SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ZLOMKŮ CVIČENÍ 1. Sečtěte zlomky, upravte na základní tvar a je-li zlomek větší než 1, převeďte na smíšené číslo:

22

ZLOMKY

Řešení

2. Sečtěte zlomky s různými jmenovateli:

Řešení

3. Sečtěte zlomky:

Řešení

23

ZLOMKY

4. Odečtěte zlomky se stejným jmenovatelem:

Řešení

5. 0dečtěte zlomky s různými jmenovateli:

Řešení

6. Odečtěte zlomky:

Řešení

24

ZLOMKY

NÁSOBENÍ ZLOMKŮ Násobení zlomku přirozeným číslem Víme už, jaký význam má a čemu se rovná součin přirozeného čísla a zlomku. Jde vlastně o opakované sčítání.

Zlomek vynásobíme přirozeným číslem tak, že tímto číslem vynásobíme čitatele zlomku a jmenovatele ponecháme beze změny. Příklad Vynásob, uprav zlomek na základní tvar a na smíšené číslo: 7 Řešení

Násobení zlomku zlomkem Víme už, jaký význam má součin

. Znamená jednu polovinu ze 3 celků.

Podobně můžeme odvodit výpočet součinu

Součin

.

představuje polovinu z jedné šestiny.

25

ZLOMKY

celek

Vidíme, že jedna polovina z jedné šestiny se rovná jedné dvanáctině:

Příklad Vynásob zlomky Řešení Chceme tedy určit tři osminy ze dvou pětin

Zlomek vynásobíme zlomkem tak, že násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem.

Příklad Vynásob zlomky:

26

ZLOMKY

Řešení

NÁSOBENÍ ZLOMKU PŘIROZENÝM ČÍSLEM A NÁSOBENÍ ZLOMKU ZLOMKEM CVIČENÍ 1. Vynásob zlomky přirozeným číslem:

Řešení

2. Vynásob zlomky mezi sebou:

Řešení

27

ZLOMKY

3. Vynásob zlomky:

Řešení

DĚLENÍ ZLOMKŮ Dělení zlomku přirozeným číslem Jak dělíme zlomek přirozeným číslem?

Zlomek dělíme přirozeným číslem tak, že tímto číslem vynásobíme jmenovatele zlomku a čitatele ponecháme beze změny. Příklad Vypočítej:

Řešení

Dělení přirozeného čísla zlomkem Při dělení přirozeným číslem provádíme vlastně „spravedlivé rozdělování“ nějakého množství na několik stejně velkých částí. Pro dělení přirozeného čísla zlomkem si pomůžeme následující úvahou:

28

ZLOMKY

Rozdělíme-li spravedlivě 10 třešní mezi dvě dívky, dostane každá z nich stejně třešní, jako kdybychom dělili trojnásobný počet třešní mezi trojnásobný počet dívek.

Toto zjištění odpovídá tomu, že oba podíly zapsané zlomky číslo. Druhý zlomek je jen původní zlomek rozšířený číslem 3.

vyjadřují totéž

Podobně určíme podíl . Místo toho, abychom číslo 7 dělili na „tři poloviny“ dílů, budeme dělit dvojnásobný počet celků na dvojnásobný počet dílů, tedy na celé tři díly:

Pro dělení přirozeného čísla c zlomkem

tedy platí pravidlo:

Tedy

Říkáme, že zlomek

je převrácený zlomek ke zlomku

.

Dělit číslo zlomkem znamená vynásobit toto číslo zlomkem převráceným.

Dělení zlomku zlomkem Vypočtěte Řešení Budeme postupovat jako při dělení přirozeného čísla zlomkem. Místo abychom rozdělovali celku na

dílů, rozdělíme trojnásobek tohoto množství na trojnásobek dílů

Dělit jeden zlomek druhým zlomkem znamená, vynásobit první zlomek zlomkem převráceným ke druhému zlomku.

29

ZLOMKY

Pro dělení dvou zlomků tedy platí pravidlo:

Příklad Vyděl zlomek zlomkem:

Řešení

DĚLENÍ ZLOMKU PŘIROZENÝM ČÍSLEM A DĚLENÍ ZLOMKU ZLOMKEM CVIČENÍ 1. Vyděl zlomky přirozeným číslem:

Řešení

2. Vyděl zlomky mezi sebou:

30

ZLOMKY

Řešení

3. Vydělte zlomky:

Řešení

31

MOCNINY

MOCNINY A MNOHOČLENY Kapitola má tři části: 3.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem 3.2 Mnohočleny 3.3 Mocniny s celočíselným mocnitelem V první kapitole o mocninách se dozvíme, co je mocnina s přirozeným mocnitelem a jaká početní pravidla pro ni platí. Druhá kapitola Mnohočleny má tři části: Výrazy, Početní operace s mnohočleny a Rozklad mnohočlenů. V první části kapitoly se seznámíme s výrazy, tj. kde se s nimi můžeme setkat a jak je upravíme. Druhá část je zaměřena na mnohočleny a počítání s nimi. Ukážeme si, jak lze mnohočleny sčítat, odčítat, dělit a násobit. V poslední části kapitoly bude vysvětleno, jakými způsoby lze mnohočleny rozkládat na součin. Ve třetí kapitole pojem mocnina zobecníme a budeme se věnovat mocninám s celočíselným mocnitelem. V každé části je vždy uveden učební te t, ve kterém jsou začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test s příklady výpočtů mocnin.

3.1 MOCNINY S PŘIROZENÝM MOCNITELEM Členění této kapitoly:  Mocniny s přirozeným mocnitelem  Cvičení  Test V matematice se setkáváme se složitými výpočty, proto se matematikové snaží zapisovat své výsledky a výpočty efektivně tak, aby byly stručné a přehledné. Místo zdlouhavého zápisu 3 + 3 + 3 + 3 + 3 můžeme použít jednodušší zápis . Součin lze nahradit zápisem 35, tedy zápisem pomocí mocniny. Definice mocniny s přirozeným mocnitelem: Pro každé reálné číslo a a každé přirozené číslo n platí: an = n-krát Výraz an nazýváme mocnina, a je základ mocniny (mocněnec), n je mocnitel (exponent). Z uvedené definice dále vyplývá, že: 1. Pro každé reálné číslo a platí a1 = a, a : a1 = a, n n 2. pro každé přirozené číslo n platí 1 = 1 a 0 = 0, n

: 1n = 1

0n = 0

32

MOCNINY

Příklad Vypočítej: a) 23 Řešení 23 =

=8

b) 34 Řešení 34 =

= 81

c) 71 Řešení 71 = 7 d) 05 Řešení 05 =

=0

e) 16 Řešení 16 =

=1

Kdy je mocnina reálného čísla s přirozeným mocnitelem kladné a kdy záporné číslo: 

Je-li základ mocniny kladné reálné číslo (a ), tak je mocnina vždy kladná, což vidíme přímo z definice, neboť součin kladných čísel je kladné číslo.  Je-li základ mocniny záporné reálné číslo (a 0), tak mohou nastat dva případy. Je-li mocnitel sudé číslo, pak je mocnina číslo kladné, neboť součin sudého počtu záporných čísel je číslo kladné. Je-li však mocnitel liché číslo, pak mocnina je číslo záporné, neboť součin lichého počtu záporných čísel je číslo záporné.  Je-li základ mocniny číslo nula, pak mocnina je rovna nule. a

a

0

a=0

an

0

25 = 32

an

0 pro n sudé

(-2)2 = 4

an

0 pro n liché

(-2)3 = -8

an = 0

05 = 0

Poznámka: Pro každé reálné nenulové číslo a platí a0 = 1. Příklad Rozhodni, je-li mocnina čísla a číslo kladné: a) 2012

Ano, protože a 33

MOCNINY

b) (-6)3

Ne, protože a

c)

Ano, protože a

d)

4

Ano, protože a

e)

9

Ne, protože a

0 a n je liché

0 a n je sudé 0 a n je liché

Poznámka: Pozor na rozdíl mezi zápisem (-2)4 a -24 . V prvním případě je mocněnec a = -2, tj. a 0 a zároveň n je sudé, proto je podle tabulky tato mocnina číslo kladné. Zápis (-2)4 představuje součin: (-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 nebo (-2)4 = (-1·2)4= (-1)4 ·24 = 1 · 16 = 16 Ve druhém případě se jedná o výraz: -24 = (-1)·24 = -1 · 16 = -16, výsledek je číslo záporné. Pro řešení složitějších příkladů, si uvedeme věty pro počítání s mocninami, které lze odvodit z definice mocniny. Pro každá dvě reálná čísla a, b a pro každá přirozená čísla r, s platí:

1.

2.

3.

4.

5.

34

MOCNINY

Příklad Vypočítej: a) 33 32 Řešení 33 32 = 33 + 2 = 35 = 243 b) Řešení = 2 3·2 = 26 = 64 c) Řešení = 87 – 5 = 82 = 64 d) (2 3 Řešení 3 (2 = 23 33 = 8 27 = 216

nebo

(2

3

= 63 = 216

e) Řešení =

=

Kdy a jak sčítáme nebo odčítáme mocniny? Sčítat a odčítat můžeme jen mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele. k · an j · an = (k j) · an Příklad Vypočítej: a) 22 + 4 22 Řešení 22 + 4 22 = 1·22 + 4·22 = 5 22 = 5 4 = 20 b) 3 53 - 6 53 + 4 53 Řešení 3 53 - 6 53 + 4 53 = 1 53 = 125 c) 23 + 22 + 3 23 Řešení 23 + 22 + 3 23 = 4 23 + 22 = 4 8 + 4 = 32 + 4 = 36

35

MOCNINY

MOCNINY S PŘIROZENÝM MOCNITELEM CVIČENÍ 1. Vypočítej: 112, (-5)3, 25, Řešení 1, -125, 32, -

,-

,-

,

,

, (-10)5, (-1)9, - 63, 04

, - 100 000, - 1, - 216, 0

2. Rozhodni, zda je mocnina číslo kladné nebo záporné: a) 73

b) (-2)3

c)

e) (- 5)4

d) -

g) (-2 5)3

f)

Řešení a) kladné b) záporné c) kladné d) záporné e) kladné f) kladné g) záporné

3. Přiřaď: b) 34 32

a) 1) 31

3) 34

2)

d) (15)4

c)

4) 0,09

e)

f)

5) 36

6) 38

g) (0,3)2 7)

h)

8) 34 54

Řešení 1c, 2e, 3f, 4g, 5b, 6a, 7h, 8d

4. Vypočítej: a) Řešení = 22 = 4

= b) Řešení =

=32=6

c)

36

MOCNINY

Řešení =

=

3

2

= - 12

d) Řešení =

=

= =1

e) Řešení =

=

=

5. Vypočítej: a) 8·23 + 4·24 - 2·23 - 5·24 = Řešení 8·23 + 4·24 - 2·23 - 5·24 = 6·23 - 24 = 48 - 16 = 32 b) 9·22 + 24 - 6·22 – 23 + 5·24 = Řešení 9·22 + 24 - 6·22 – 23 + 5·24 = 3·22 - 23 + 6·24 = 12 – 8 + 96 = 100 c) 32 + 22.32 - 5·22 – 22 + 3·22 = Řešení 32 + 22.32 - 5·22 – 22 + 3·22 = -3·22 + 5·32 = -12 + 45 = 33 d)

=

Řešení =

=

6. Dané výrazy vyjádři pomocí mocnin o základu 2, 3 nebo 5: a)

·

=

37

MOCNINY

Řešení ·

·

=

·

=

=

·3

:

b) Řešení

:

·

c)

·

22·37

· 27 =

·

Řešení · 27 =

·

· 27 =

·

·

· 27 = 2·32·52

:

d) Řešení

:

·

·

= 2·30·50 = 2

7. Vypočítej:

·

a)

=

Řešení

·

·

=

:

b)

=

=

Řešení

:

=

·

=

38

MOCNINY

·

c)

=

Řešení

·

=

·

8. Vypočítej za předpokladu, že x, y, z

=

a a, b, c

a) Řešení

b) Řešení

c) Řešení

d)

·

Řešení

39

MNOHOČLENY

3.2 MNOHOČLENY Členění této kapitoly:  Výrazy  Mnohočleny  Rozklad mnohočlenů  Cvičení  Test Dříve než se budeme podrobně věnovat počítání s mnohočleny, zopakujeme si, co již víme o výrazech s proměnnými.

VÝRAZY S výrazy jste se v matematice již setkali, jsou to např. zápisy typu: ,

,

,

Algebraický výraz je matematický zápis, který je tvořen z konstant a proměnných, mezi nimi jsou pomocí algebraických operátorů (např. pro sčítání, násobení …) a závorek vytvořeny smysluplné vztahy. Pojmem proměnná označujeme libovolné písmeno (např. a, b, , y ... ), které zastupuje čísla z určitého číselného oboru. Číselná hodnota proměnné se mění podle toho, jaké číslo za ni dosadíme. Pojmem konstanta označujeme konkrétní číslo (např. 2,

, π ... ). Hodnota konstanty

se nemění, zůstává stejná – konstantní. U výrazů určujeme:  Definiční obor proměnné – to jsou všechna taková čísla, pro které má daný výraz smysl. Většinou zapisujeme podmínky, kdy má daný výraz smysl. Například: pro výraz

musí platit podmínka

pro musí platit podmínka  Hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných získáme dosazením hodnot z definičního oboru za všechny proměnné a provedení veškerých operací. Např. Hodnota výrazu

pro a = 1, b = 2 je

=

Pro lepší pochopení uvedených pojmů se podíváme na výraz , pomocí něhož vypočítáme povrch koule. Jedná se o výraz, kde konstantami jsou čísla 4 a (jejich hodnota je stále stejná, konstantní). Proměnnou je v tomto případě písmeno , vyjadřující poloměr dané koule (hodnota poloměru se pro různé koule mění, proměňuje se s ní i povrch koule). 40

MNOHOČLENY

Jaký je definiční obor proměnné pro výraz ? Díváme-li se na tento výraz jako na návod pro výpočet povrchu koule, tak obor proměnné je tvořen všemi kladnými čísly. Povrch koule, tedy proměnná , nemůže nabývat záporných hodnot ani nuly. Jestliže však výraz chápeme obecněji, jako určitý výraz se dvěma konstantami a jednou proměnou, pak do oboru proměnné zahrnujeme všechna reálná čísla. Pozn. Řecké písmeno jsme označili za konstantu. Jak již víme z kapitoly o číselných oborech, písmeno je iracionální Ludolfovo číslo, jako číslo jej pro jeho nekonečný desetinný neperiodický rozvoj nelze zapsat (jeho přibližná hodnota je 3,14).

Příklad Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: a) Řešení Výraz má smysl pro všechna

Pro Tedy

taková, že

by nastala nepřípustná operace dělení nulou. .

b) Řešení Aby měl výraz smysl, musí zároveň platit: . První podmínku lze přepsat jako , druhou jako , tj. . První podmínka zaručuje, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhá podmínka vylučuje dělení nulou. Tedy . c) Řešení Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. , tj. . Tato podmínka platí pro všechna , protože druhá mocnina libovolného čísla je vždy větší nebo rovna nule. 2. , tj. , tedy . První podmínka nám zaručí, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhou podmínkou vyloučíme, že nebudeme dělit nulou. Tedy .

41

MNOHOČLENY

Příklad Urči hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných: a)

, pro

Řešení =

=

= -2

b)

, pro

Řešení =

=

=

= 3·10 =

= 30 c)

, pro

Řešení

d)

, pro

Řešení výraz není definován Pro zvolenou hodnotu proměnné výraz nemá smysl. Po dosazení nastává nepřípustná operace dělení nulou.

ve jmenovateli

Výraz často nahrazuje zdlouhavý slovní popis. Např. Podíl pětinásobku rozdílu dvou reálných čísel a druhé odmocniny z jejich rozdílu jednoduše zapíšeme jako

.

Příklad Zapiš jako výraz s proměnnými: a) součet pětinásobku druhé mocniny prvního čísla a čtvrtiny absolutní hodnoty druhého čísla Řešení

42

MNOHOČLENY

b) rozdíl druhé odmocniny trojnásobku prvního čísla a druhé mocniny šestinásobku druhého čísla Řešení

pětinásobku prvního čísla a třetiny druhé odmocniny druhého čísla Řešení

d) podíl třetí mocniny prvního čísla a absolutní hodnoty čtyřnásobku druhého čísla Řešení

VÝRAZY CVIČENÍ 1. Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: a) Řešení +

b) Řešení

c) Řešení ; tj. ; tj. .

43

MNOHOČLENY

d) Řešení

2. Urči, zda má výraz pro dané hodnoty proměnných smysl: a)

,

Řešení ne b)

,

Řešení ano c)

,

Řešení ne d)

,

Řešení ano

3. Napiš jako výraz se zvolenými proměnnými a) rozdíl dvojnásobku absolutní hodnoty prvního čísla a dvojnásobku druhé odmocniny druhého čísla Řešení

b) součet čtvrté mocniny prvního čísla a čtvrtiny třetí mocniny dvojnásobku druhého čísla

44

MNOHOČLENY

Řešení

c) součin čtvrtiny absolutní hodnoty prvního čísla a druhé odmocniny druhého čísla Řešení

d) podíl druhé odmocniny sedminásobku prvního čísla a trojnásobku absolutní hodnoty druhého čísla Řešení

e) třetí mocnina podílu šestinásobku druhé mocniny prvního čísla a druhé odmocniny z druhého čísla Řešení

f) třetí odmocnina z podílu druhé mocniny prvního čísla a druhé odmocniny z trojnásobku druhého čísla Řešení

g) třetí mocnina podílu druhé odmocniny ze součtu dvou čísel a součtu druhých odmocnin těchto dvou čísel Řešení

POČETNÍ OPERACE S MNOHOČLENY Nechť je n přirozené číslo nebo nula, jsou reálná čísla a je reálná proměnná. Pak mnohočlen (polynom) -tého stupně s jednou proměnnou je výraz, který můžeme zapsat jako 45

MNOHOČLENY

, kde

.

Čísla se nazývají koeficienty mnohočlenu, sčítanci pro se nazývají členy mnohočlenu. Pro některé členy mnohočlenu máme speciální pojmenování. Člen se nazývá absolutní člen mnohočlenu. Člen se nazývá lineární člen a člen se nazývá kvadratický člen mnohočlenu. lineární člen

- koeficienty - proměnná

kvadratický člen

absolutní člen

Stupeň mnohočlenu odpovídá nejvyššímu e ponentu proměnné v mnohočlenu.  Mnohočlen 1. stupně (tj. výraz , také lze zapsat jako ) se nazývá lineární.  Mnohočlen 2. stupně (tj. výraz , také lze zapsat jako ) se nazývá kvadratický.  Mnohočlen nultého stupně je každé reálné číslo různé od nuly.  Číslo nula nazýváme nulový mnohočlen, jeho stupeň nedefinujeme. Mnohočlen s jedním členem označujeme jako jednočlen, se dvěma členy jako dvojčlen, se třemi členy jako trojčlen, atd. Např.: – Například – je kvadratický mnohočlen, tj. mnohočlen 2. stupně, s proměnnou . Jedná se o trojčlen. Koeficient u kvadratického členu je 1, koeficient u lineárního členu je -3 a absolutní člen je roven 8. Mnohočleny mohou mít i více proměnných. Jako příklad mnohočlenu se dvěma proměnnými lze uvést výrazy nebo apod. Příkladem mnohočlenu se třemi proměnnými je výraz .

Sčítání mnohočlenů Součet dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že sečteme jednotlivé koeficienty u odpovídajících si členů těchto mnohočlenů (přičemž některé koeficienty mohou být rovny nule). Poznámka. Odpovídající si členy mnohočlenů jsou takové členy, které mají tytéž proměnné se stejnými mocniteli. Příklad Vypočítej: a)

46

MNOHOČLENY

Řešení =

=

b) Řešení = Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale opačnými znaménky. Např. opačným mnohočlenem k mnohočlenu je mnohočlen

s .

Rozdíl dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že určíme součet prvního mnohočlenu a opačného mnohočlenu k druhému mnohočlenu. Příklad Vypočítej: a) Řešení =

=

b) Řešení

Praktický výpočet provádíme tak, že „odstraníme závorky“:

Součin dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že každý člen prvního mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu a všechny tyto součiny sečteme.

Příklad Vypočítej: a) Řešení =

=

=

=

47

MNOHOČLENY

b) Řešení =

=

=

=

Počítáme-li součet, rozdíl nebo součin tří a více mnohočlenů, postupujeme obdobně. Součtem, rozdílem a součinem libovolných mnohočlenů je vždy mnohočlen. Pokud umíme mnohočleny násobit, můžeme vypočítat i jejich -tou mocninu pro všechna . Druhou a třetí mocninu dvojčlenu můžeme také určit podle následujících vzorců: Pro všechna

platí:

Poznámka. Je výhodné si tyto vzorce zapamatovat, neboť jejich použití usnadní mnohé výpočty, což dokládá následující příklad. Příklad Vypočítej: a) Řešení =

=

Jiný způsob řešení =

=

=

Dělení mnohočlenů Podíl mnohočlenu a jednočlenu vypočítáme tak, že jednočlenem vydělíme každý člen mnohočlenu a jednotlivé podíly pak sečteme. Příklad Vypočítej za předpokladu, že

:

Řešení =

=

Výsledek dělení mnohočlenu mnohočlenem nemusí být vždy mnohočlen. 48

MNOHOČLENY

Je-li podílem mnohočlenů mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů beze zbytku (viz předchozí příklad). Jestliže podílem mnohočlenů není mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů se zbytkem (viz následující příklad). Vzniklý výraz si můžeme rozdělit na dvě části. První část tvoří výraz, který je mnohočlenem, tzv. neúplný podíl. Druhou částí je výraz, který není mnohočlenem, označujeme jej jako zbytek. Připomeňme si dělení beze zbytku a se zbytkem na dělení čísel: - výpočet

je ukázkou dělení čísel beze zbytku

- výpočet

dělení čísel se zbytkem

Příklad Vypočítej za předpokladu, že a)

:

Řešení = = Mnohočlen

=

= je neúplný podíl. Výraz

je zbytek.

b) Řešení =

=

= Mnohočlen

je neúplný podíl. Výraz

je zbytek.

Mocnina u proměnné v každém členu mnohočlenu může nabývat pouze libovolných nezáporných hodnot. V tomto členu je však rovna -1, jelikož , proto tento výraz není mnohočlenem. Jak vypočítáme podíl mnohočlenů? Omezíme se jen na případy mnohočlenů s jednou proměnnou. Budeme dělit jen takovým mnohočlenem (dělitelem), jehož stupeň nebude větší než stupeň děleného mnohočlenu (dělence). 1. Členy obou mnohočlenů (dělence i dělitele) si uspořádáme sestupně (tj. na prvním místě bude člen s proměnnou s nejvyšším e ponentem). 2. První člen dělence vydělíme prvním členem dělitele, výsledek je prvním členem podílu mnohočlenů. 3. Pak tímto dílčím výsledkem vynásobíme všechny členy dělitele a tento výraz odečteme od dělence. 4. Tím dostaneme nový mnohočlen. Pokud je tento nový mnohočlen vyššího nebo stejného stupně jako dělitel, zopakujeme celý postup. 49

MNOHOČLENY

5. Takto pokračujeme dál, dokud nedostaneme mnohočlen nižšího stupně než je dělitel nebo nulu.

Příklad Vypočítej a stanov podmínky: a) Řešení: 1. 2. 3.

4.

Celý příklad zapíšeme následovně:

0 V tomto případě se tedy jedná o dělení beze zbytku. Zkouškou pak můžeme ověřit správnost výsledku.

Podmínka řešitelnosti bude

, tj.

:

b) Řešení:

50

MNOHOČLENY

V tomto případě je mnohočlen Pro všechna , pro které je

neúplný podíl, výraz , tj. pro jakékoliv , platí:

je zbytek.

neboli

c) Řešení:

) 0 V tomto případě se jedná o dělení beze zbytku. Výsledkem je mnohočlen. Pro všechna , pro které je ,tj. , , platí:

POČETNÍ OPERACE S MNOHOČLENY CVIČENÍ 1. Rozhodni, jsou-li následující tvrzení o mnohočlenu a) Jedná se o mnohočlen třetího stupně. Řešení ANO

pravdivá:

b) Jedná se o trojčlen. Řešení NE c) Absolutní člen je roven 0. Řešení NE d) Koeficient u kvadratického členu je roven 3. Řešení ANO e) Koeficient u lineárního členu je roven 1. 51

MNOHOČLENY

Řešení NE

2. Rozhodni, jsou-li následující tvrzení o mnohočlenu

pravdivá:

a) Jedná se o mnohočlen čtvrtého stupně. Řešení NE b) Jedná se o pětičlen. Řešení ANO c) Absolutní člen je roven 7. Řešení NE d) Koeficient u kvadratického členu je roven -1. Řešení ANO e) Koeficient u lineárního členu je roven -3. Řešení NE

3. Vypočítej: a) Řešení

b) Řešení

c) Řešení

52

MNOHOČLENY

d) Řešení

4. Vypočítej: a) Řešení

b) Řešení

c) Řešení

d) Řešení

e) Řešení

Řešení

53

MNOHOČLENY

5. Vypočítej a stanov podmínky, za kterých má dělení mnohočlenů smysl: a) Řešení . b) Řešení

. c) Řešení:

0

d) Řešení:

)

e)

54

MNOHOČLENY

Řešení:

) 2

6. Vypočítej: a) Řešení

b) Řešení

c) Řešení

d)

55

MNOHOČLENY

Řešení

7. Vypočítej: a) Řešení

b) Řešení

c) Řešení

56

MNOHOČLENY

ROZKLAD MNOHOČLENŮ Rozkladem mnohočlenu na součin dostaneme místo původního mnohočlenu jeho vyjádření jako součin několika, zpravidla již dále nerozložitelných, mnohočlenů. Takto přepsaný mnohočlen do součinu nám usnadní krácení ve zlomcích, řešení rovnic a nerovnic, určování podmínek řešitelnosti atd. E istuje několik způsobů rozkladu mnohočlenu. Lze použít vytýkání, vzorce pro n-tou mocninu mnohočlenu nebo rozklad kvadratického trojčlenu. 1. Vytknutím Určíme největšího společného dělitele všech členů a vytkneme ho. Příklad Rozlož mnohočlen vhodným vytknutím před závorku: a) Řešení = ) (společným dělitelem všech členů je číslo 2) b) 3 Řešení =

(společným dělitelem všech členů je výraz

)

c) Řešení = (společným dělitelem všech členů je výraz

)

d) Řešení = = (Společným dělitelem prvního a druhého členu je výraz , společným dělitelem třetího a čtvrtého členu je číslo 3. V druhém kroku je společným dělitelem prvního a druhého členu výraz .)

2. Rozklad pomocí vzorce Většinou používáme následující vzorce (s některými už jsme se setkali u součinu mnohočlenů): Pro všechna

platí:

57

MNOHOČLENY

Poznámka: Vzorec můžeme přepsat jako abychom dodrželi přesné znění definice rozkladu mnohočlenu na součin. Pro větší přehlednost ale budeme i v dalším te tu používat zkrácený zápis, tedy

Příklad S využitím vzorců rozlož mnohočlen: a) Řešení = b) Řešení = c) Řešení = d) Řešení =

3. Rozklad kvadratického trojčlenu Chceme-li rozložit kvadratický trojčlen , kde proměnná , na součin dvou lineárních dvojčlenů a , kde čísla e istují. Pokud však e istují, tak pro ně musí platit:

, a koeficienty . Ne vždy taková

To znamená, že a také Z těchto dvou podmínek určíme čísla (pokud ovšem existují). Pozn. Uvedené vztahy platí i v případě, že p, q, r, s jsou reálná čísla. Nejde však o univerzální metodu. Nedostatek metody zjistíme i při „malých“ hodnotách koeficientů p, q. Např.

58

MNOHOČLENY

Z těchto dvou podmínek neurčíme celočíselná čísla celočíselných činitelů rozložit jediným způsobem: , avšak

, neboť číslo -1 lze na součin

.

Příklad Rozlož kvadratický trojčlen na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty: a) Řešení Pokud existují

taková, že , tak pro ně musí platit, že . Pro splnění druhé podmínky, přichází v úvahu tyto možnosti: .

První podmínce vyhovuje možnost Výsledek je tedy:

, tj.

.

.

b) Řešení Hledáme čísla taková, že vyhovuje dvojice čísel

. Druhé podmínce i první podmínce .

Výsledek je tedy:

.

c) Řešení Hledáme čísla taková, že podmínce vyhovuje dvojice čísel

. Druhé podmínce i první .

Výsledek je tedy:

.

d) Řešení Hledáme čísla taková, že vyhovuje dvojice čísel

. Druhé podmínce i první podmínce .

Výsledek je tedy:

.

ROZKLAD MNOHOČLENŮ NA SOUČIN CVIČENÍ V následujících cvičeních vždy předpokládáme, že proměnné jsou z oboru reálných čísel.

59

MNOHOČLENY

1. Přiřaď odpovídající si výrazy: a) b) c) d) e)

Řešení a) b) c) d) e)

2. Rozlož mnohočlen vytknutím: a) Řešení = b) Řešení = c) Řešení =

=

d) Řešení =

=

3. Rozlož mnohočlen s využitím vzorců na součin: a) Řešení = b)

60

MNOHOČLENY

Řešení = c) Řešení = d) Řešení = e) Řešení =

4. Rozlož kvadratický trojčlen na součin: a) Řešení = b) Řešení = c) Řešení = d) Řešení =

5. Rozlož kvadratický trojčlen na součin: a) Řešení = = b) Řešení =

=

=

c)

61

MNOHOČLENY

Řešení =

=

d) Řešení =

=

62

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

3.3 MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM  Mocniny s celým mocnitelem  Cvičení  Test

V předcházející části jsme se zabývali mocninami s přirozeným mocnitelem, a pravidly pro počítání s mocninami. V této kapitole si vysvětlíme, co je mocnina s celým záporným mocnitelem a jak se s takovými mocninami s celými e ponenty počítá. Stejně jako pro přirozené mocnitele budou i nyní platit pravidla pro počítání s mocninami. Ve třetí větě je pro mocnitele připojena další podmínka. Při zavedení této mocniny budeme chtít, aby platila “pravidla“ pro počítání s mocninami s exponentem z , zejména věta o dělení mocnin se stejným základem.

Jaký význam má např. zápis

?

Příklad Uprav zlomek Řešení dle pravidla

Platí však také

odtud Proto definujeme: Pro každé nenulové reálné číslo a a pro každé celé číslo k platí

.

Podle uvedené definice můžeme napsat následující rovnost: , přičemž r – s je záporné celé číslo. Vidíme, že věta

platí i v případě, že r

s.

63

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

Příklad Uprav Řešení tedy

Příklad Vypočítej: a) 40 Řešení 40 = 1 b) 10-2 Řešení 10-2 =

=

= 0,01

c) 3-3 Řešení 3-3 = =

64

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

d) Řešení =

=

= 1 000 000

Připomeňme si všechny pravidla pro počítání a mocninami. Pro každá dvě reálná čísla a, b a pro každá celá čísla r, s platí: 1. 2-2 2-3 = 2-5 2.

3.

4.

5.

Příklad Vypočítej za předpokladu, že x, y, z jsou nenulová reálná čísla a výsledek zapiš jen pomocí mocnin s kladnými mocniteli: a) 65

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

Řešení =

=

b) Řešení =

c) Řešení

=

Při zápisu velkých, nebo naopak příliš malých čísel, se v matematice a dalších přírodních vědách používá zkrácený zápis pomocí n-té mocniny deseti: a · 10n, kde

,n

.

Exponent n odpovídá řádu první platné číslici zapisovaného čísla. Takový zápis se nazývá semilogaritmický. Semilogaritmický tvar je používán, protože je přehlednější a kratší pro zápis. Např.: číslo 38 000 000 zapíšeme jako 3,8 107 číslo 0,004 zapíšeme jako 4 10-3

Příklad Zapiš čísla v semilogaritmickém tvaru a·10n, kde 1 a) 24 000 Řešení 24 000 = 2,4·104

10,

:

b) 534 Řešení 534 = 5,34·102 c) 0,000 005 Řešení 0,000 005 = 5·10-6 d) 0,024 6 Řešení 0,024 6 = 2,46·10-2

66

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

Příklad Vypočítej a výsledek zapiš v semilogaritmickém tvaru a·10n, kde 1

10,

:

Řešení

Řešení

Řešení

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM CVIČENÍ 1. Přiřaď v tabulce odpovídající si hodnoty: 1 a) b) c) d) e) f) g)

67

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

Řešení 1 a) b) c) d) e) f) g)

2. Zapiš jako mocninu jediného čísla xn (xn -3 6 a) 2 ·2 Řešení 2-3·26 = 23

)

b) Řešení -6

=3 c) Řešení

= d) Řešení

e) Řešení

f) Řešení =

68

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

g) Řešení

=

3. Vypočítej: a) Řešení – b)

+ 2-1 – 30

Řešení + 2-1 – 30 c) Řešení

d) Řešení

4. Zjednoduš následující výrazy za předpokladu, že a, b, c, d

:

a) Řešení

69

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

b) Řešení

c) Řešení

d) Řešení

e) Řešení

f) Řešení

5. Zapiš čísla v semilogaritmickém tvaru a · 10n, kde 1

10, n

čísla:

a) 1 540 000 Řešení: 1 540 000 = 1,54·106 b) 35,2 Řešení: 35,2 = 3,52·10 70

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

c) 4 000 Řešení: 4 000 = 4·103 d) 0,000 7 Řešení: 0,000 7 = 7·10-4 e) 0,000 023 Řešení: 0,000 023 = 2,3·10-5 f) 0,068 Řešení: 0,068 = 6,8·10-2 6. Daná čísla nejdříve zapiš v semilogaritmickém tvaru a · 10n, kde 1 výsledek vyjádři jako desetinné číslo:

10, n

,

a) Řešení:

b) Řešení:

c) Řešení:

71

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM

7. Vypočítej za předpokladu, že x, y, z

a a, b, c

:

a) Řešení:

b) Řešení:

c) Řešení: 8. Vypočítej:

a) Řešení:

b)

Řešení:

72

ROVNICE

4. ROVNICE Kapitola Rovnice má následující části: Základní pojmy, Ekvivalentní úpravy, Lineární rovnice a Kvadratické rovnice. V každé části kapitoly je vždy nejdříve uveden učební te t, ve kterém jsou ukázky vzorově vyřešených příkladů. Na učební te t pak navazují interaktivní cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test.

Členění kapitoly:  Základní pojmy  Ekvivalentní úpravy  Počet řešení  Lineární rovnice  Kvadratické rovnice  Souhrnné cvičení  Test

ZÁKLADNÍ POJMY Připomeňme si, jaký je rozdíl mezi rovností a rovnicí. Zápisy s čísly, jako např. výrazy nazýváme rovnostmi.

nebo s číselnými

Znak „rovná se“ odděluje levou a pravou stranu rovnosti. Pokud čísla nebo číselné výrazy na levé i pravé straně mají skutečně stejnou hodnotu, tzn. levá strana se rovná pravé straně, říkáme takové rovnosti platná rovnost. Pokud mají čísla nebo číselné výrazy na levé a pravé straně různou hodnotu a rovnost mezi nimi nenastane, mluvíme o tzv. neplatné rovnosti. Např. zapíšeme

Co je to rovnice? Zápis nemůžeme nazvat rovností. Levá strana nemá určitou hodnotu, vyskytuje se v ní proměnná . Za tuto proměnnou, kterou v rovnici nazveme neznámou, můžeme dosazovat libovolná čísla. Nás však zajímá, pro která čísla po dosazení za tuto neznámou nastane platná rovnost. V našem příkladu to bude jedině číslo 2. Řešit rovnici znamená určit všechna čísla, která je možné dosadit za neznámou tak, aby se rovnice změnila v platnou rovnost. Každé takové číslo nazýváme kořenem nebo řešením rovnice. Řešení rovnice lze zapsat ve tvaru: nebo nebo kde symbolem jsme označili množinu všech kořenů této rovnice.

,

73

ROVNICE

EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY Při řešení rovnic používáme tzv. ekvivalentní úpravy rovnice, které se vyznačují tím, že po jejich provedení se nezmění množina kořenů rovnice. Smyslem ekvivalentních úprav je získat jednodušší tvar rovnice, ze kterého už můžeme množinu kořenů určit. Ekvivalentní úpravou se změní matematický zápis rovnice, nikoli však rovnost stran a množina jejich řešení.

1. Jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo, výraz ( jednočlen, mnohočlen…), množina kořenů rovnice se nezmění. Příklad

Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 7. Jestliže jsme kořen (řešení) rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku.

2. Jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo, výraz (jednočlen, mnohočlen…), množina kořenů rovnice se nezmění. Příklad

Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 1.

3. Množina kořenů rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. Příklad

Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 1. 4. Množina kořenů rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice (každý člen) vynásobíme nenulovým číslem. 74

ROVNICE

Příklad

Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 2. 5. Množina kořenů rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice (každý člen) vydělíme nenulovým číslem. Příklad

Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 4. O správnosti řešení rovnice se přesvědčíme zkouškou tak, že vypočtenou hodnotu neznámé dosadíme do levé strany a potom do pravé strany výchozí rovnice. Příklad Řešte v

rovnici

a o správnosti řešení se přesvědčte zkouškou.

Řešení

Po dosazení vypočtené hodnoty za případech získali stejnou hodnotu, tzn.

do levé i pravé strany rovnice jsme v obou a tedy je řešením rovnice.

Příklad Vyřeš rovnice pomocí ekvivalentních úprav: a)

b)

c)

d)

Řešení a) Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 8. b)

75

ROVNICE

Rovnice má jediné řešení a tím je číslo desetinným číslem 0,25.

. Výsledek můžeme zapsat i

c) Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 15. d)

Protože číslo 6 je nejmenším násobkem čísel 2 a 3, které jsou ve jmenovatelích zlomků

Rovnice má jediné řešení a tím je číslo desetinným číslem 4,8.

. Výsledek můžeme zapsat i

POČET ŘEŠENÍ ROVNICE Příklad Rovnici

řešte: a) v

b) v

c) v

Řešení

Získali jsme tedy kořen zadané rovnice a) V číselné množině b) V číselné množině c) V číselné množině

Příklad Řešte v

.

má rovnice jedno řešení, protože číslo má rovnice jedno řešení, protože číslo nemá rovnice žádné řešení, protože číslo

. . .

rovnici

Řešení

sečteme členy, které sečíst můžeme, tj. členy se stejným e ponentem

převedeme proměnné na levou stranu rovnice a čísla na pravou stranu rovnice

76

ROVNICE

Je zřejmé, že nedostaneme klasické jedno řešení lineární rovnice. Ukončíme úpravu daného typu rovnice a začneme zkoumat, jaké kořeny má tato poslední rovnice. Můžeme zkoušet za x dosazovat libovolná reálná čísla. Pokaždé zjistíme, že jejich vynásobení nulou způsobí, že se hodnota výrazu na levé straně bude rovnat nule.

Pro každé reálné číslo x tedy dostaneme platnou rovnost , a proto je kořenem této rovnice každé . Rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, . Příklad Řešte v

rovnici

Řešení

V tomto kroku ukončíme úpravu daného typu rovnice a začneme zkoumat, jaké kořeny má získaná rovnice. Dosazujeme-li za x libovolná reálná čísla, pokaždé zjistíme, že jejich vynásobení nulou způsobí, že se hodnota výrazu na levé straně bude rovnat nule. Tedy Jakékoliv reálné číslo vynásobené nulou je nula, a tedy této rovnici nebude vyhovovat žádné číslo z .

Proto rovnice typu

, kde k je nenulová konstanta, nemají žádný kořen, tedy

.

Příklad Řešte v

rovnici

Řešení

V zadání je ve jmenovateli výraz s proměnnou . Musíme určit, pro které hodnoty by výraz ve jmenovateli byl nulový a zlomek by pak neměl smysl. Pro levou stranu rovnice určíme podmínku řešení:

Podmínku upravíme na . Řešení rovnice budeme hledat mezi všemi reálnými čísly kromě čísla 2:

. 77

ROVNICE

Nyní můžeme začít řešit rovnici. Roznásobíme členy levé i pravé strany jmenovatelem

Vypočítali jsme „kořen“ nemá řešení.

.

. Pro tuto hodnotu však rovnice nemá smysl. Rovnice tedy

LINEÁRNÍ ROVNICE Lineární rovnice je taková rovnice, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav upravit na tvar , Výrazu říkáme lineární člen, výrazu říkáme absolutní člen. Tomuto tvaru říkáme základní tvar lineární rovnice. Kde je neznámá a symboly jsou libovolná reálná čísla. Za podmínky, že , pak pomocí dvou ekvivalentních úprav zjistíme, že kořenem takovéto rovnice je právě jedno reálné číslo . Příklad Řešte rovnice: a)

b)

Řešení a) Dosadíme do rovnice

b) Dosadíme do rovnice

Při řešení lineární rovnice použijeme ekvivalentní úpravy, tj. takové úpravy, které nezmění množinu kořenů rovnice, v tomto pořadí:  odstraníme závorky a zlomky  zjednodušíme obě strany rovnice  „osamostatníme“ neznámou na jedné straně Příklad Řešte rovnice v : a)

b)

c) 78

ROVNICE

Řešení a)

b)

c)

rovnice nemá řešení Příklad Řešte rovnice v : a)

b)

c)

Řešení Abychom v rovnici odstranili zlomky, vynásobíme ji nejmenším společným násobkem čísel ve jmenovatelích všechny členy levé i pravé strany. a)

b)

c)

79

ROVNICE

Příklad Řešte rovnice v : a)

b)

c)

Řešení V zadání je ve jmenovateli výraz nebo výrazy s proměnnou . Musíme určit, pro které hodnoty by výraz ve jmenovateli byl nulový a zlomek by pak neměl smysl. Poté můžeme začít řešit rovnici. Roznásobíme členy levé i pravé strany jmenovatelem nebo nejmenším společným násobkem jmenovatelů. a)

b)

c)

80

ROVNICE

KVADRATICKÉ ROVNICE Kvadratickým trojčlenem nazveme každý výraz ve tvaru , kde je proměnná, jsou koeficienty z oboru reálných čísel a . Člen nazveme kvadratický člen, lineární člen, c absolutní člen kvadratického trojčlenu. Číslo pak nazveme koeficientem kvadratického členu a číslo koeficientem lineárního členu. Kvadratickou rovnicí nazveme každou rovnici, která se dá ekvivalentními úpravami převést na tvar , kde je neznámá a jsou koeficienty z oboru reálných čísel a . Tento tvar kvadratické rovnice budeme dále v této práci nazývat základním tvarem kvadratické rovnice. Podmínka o nenulovosti koeficientu je nezbytná, neboť bychom jinak pracovali s lineárními rovnicemi. Kvadratická rovnice může mít dvě, jedno nebo žádné řešení. Zkusíme nejdříve jednodušší případy, kdy v kvadratické rovnici chybí lineární nebo absolutní člen, tj. kvadratická rovnice je neúplná.

Neúplná kvadratické rovnice a) Neúplná kvadratická rovnice bez absolutního členu

Příklad Najdi všechna řešení rovnice Z obou členů můžeme vytknout : Dostáváme rovnici v součinovém tvaru, musíme zjistit, kdy se činitelé levé strany rovnice rovnají nule: Tedy

jsou dva kořeny kvadratické rovnice. Řešení zapíšeme např. takto .

Příklad Najdi všechna řešení kvadratické rovnice: a) b)

c)

Řešení a)

81

ROVNICE

jsou dva kořeny kvadratické rovnice, řešení zapíšeme např. takto . b)

jsou dva kořeny kvadratické rovnice, řešení zapíšeme např. takto . c)

jsou dva kořeny kvadratické rovnice, řešení zapíšeme např. takto .

b) Neúplná kvadratická rovnice bez lineárního členu ryze kvadratická rovnice Příklad Najdi všechna řešení kvadratické rovnice Levou stranu rovnice můžeme rozložit na součin pomocí vzorce Tedy , rovnice je upravena na rovnici v součinovém tvaru a zbývá zjistit pro jaké hodnoty jsou výrazy v závorkách nulové.

Odtud dostáváme dva kořeny

;

Rovnici je také možno řešit odmocněním: hledáme taková čísla, která umocněním (na druhou) dají 9 Hledaná čísla jsou

, protože platí

Příklad Najdi všechna řešení kvadratické rovnice . Rovnici nyní nemůžeme rozložit na součin, protože dvojčlen nelze rozložit. Rovnici také můžeme upravit na tvar a hledáme čísla, která po umocnění na druhou dají – 4. Protože pro každé reálné je číslo nezáporné, žádné takové číslo neexistuje, rovnice nemá řešení, . 82

ROVNICE

Příklad Najdi všechna řešení kvadratické rovnice

.

Řešení

jsou dva kořeny kvadratické rovnice, řešení zapíšeme např.

.

ÚPLNÁ KVADRATICKÁ ROVNICE Úplnou kvadratickou rovnicí nazveme každou rovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tzv. základní tvar , kde . Pro výpočet x1 a x2 je potřeba nejprve zjistit diskriminant D.

Podle hodnoty diskriminantu D rozlišujeme 3 možnosti: 1. D > 0 Kvadratická rovnice má dva rozdílné reálné kořeny. 2. D = 0 Kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen. 3. D < 0 Kvadratická rovnice nemá žádný reálný kořen (taková rovnice má řešení v oboru komple ních čísel ). Kořeny

kvadratické rovnice vypočítáme užitím vztahu ,

který pro

přechází do tvaru

Příklad Najdi všechna řešení kvadratické rovnice

.

Řešení

Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce:

Diskriminant je kladné číslo, proto bude mít rovnice dva různé reálné kořeny.

83

ROVNICE

Příklad Najdi všechna řešení kvadratické rovnice

.

Řešení

Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce:

Diskriminant je záporné číslo, proto nebude mít rovnice žádné reálné kořeny. Příklad Najdi všechna řešení kvadratické rovnice

.

Řešení

Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce:

Diskriminant je nula, proto bude mít rovnice jeden dvojnásobný reálný kořen.

84

ROVNICE

Součinový tvar, Viètovy vzorce Rovnici zřejmé, že má kořeny

, nazýváme kvadratickou rovnicí v součinovém tvaru. Je .

Viètovy vzorce Vypočítat kořeny kvadratické rovnice můžeme také někdy podle Viètových vzorců. Tato metoda ovšem není tak univerzální jako metoda výpočtu pomocí diskriminantu. Nejprve je potřeba upravit rovnici na normovaný tvar: s kořeny . Pak platí: Proto hledáme taková čísla

, které by vyhovovaly rovnostem:

Z praktického hlediska je vhodné najít několik dvojic a zjistit, která z těch dvojic odpovídá i „součtovému“ vzorci.

pro „součinový“ vzorec a potom

Nejde však o univerzální metodu. Nedostatek metody zjistíme i při „malých“ hodnotách koeficientů p, q. Příklad

Z těchto dvou podmínek neurčíme celočíselná čísla kvadratické rovnice.

, která by byla kořeny dané

Příklad Vypočítejte kořeny kvadratické rovnice pomocí Viètových vzorců a rozlož ji na součinový tvar: Řešení Pokusíme se najít několik dvojic

a

vyhovující „součinovému“ vzorci

Takové dvojice mohou být: Pak vybereme dvojici, která vyhovuje i „součtovému“ vzorci Oběma vzorcům vyhovuje dvojice Roznásobením kořeny rovnice. Příklad

se přesvědčíme, že čísla 2 a 3 jsou opravdu

85

ROVNICE

Vypočítejte kvadratické rovnice pomocí Viètových vzorců a rozlož ji na součinový tvar:

Řešení nejdříve rovnici upravíme na normovaný tvar vydělením číslem 2 a dostaneme rovnici Pokusíme se najít dvojice celých čísel a vyhovující „součinovému“ vzorci Protože , mohou být takové dvojice dvě: -1 a 3, resp. 1 a -3. Pak vybereme dvojici, která vyhovuje i „součtovému“ vzorci Oběma vzorcům vyhovuje dvojice Roznásobením

, a to jsou kořeny zadané rovnice. se o tom přesvědčíme.

ROVNICE CVIČENÍ 1. Řešte rovnice: a) d)

b)

c) e)

Řešení

b)

c)

d)

rovnice nemá řešení 86

ROVNICE

e)

2. Řešte rovnice: a)

b)

c)

Řešení a)

jsou dva kořeny kvadratické rovnice a řešení zapíšeme

.

jsou dva kořeny kvadratické rovnice a řešení zapíšeme

.

b)

c)

je kořen kvadratické rovnice a řešení zapíšeme

3. Řešte rovnice: a)

b)

.

c)

Řešení a) jsou kořeny kvadratické rovnice a řešení zapíšeme

.

b) jsou kořeny kvadratické rovnice a řešení zapíšeme

.

87

ROVNICE

c)

jsou kořeny kvadratické rovnice a řešení zapíšeme

4. Řešte rovnice: a)

b)

.

c)

Řešení a)

Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce:

Diskriminant je kladné číslo, proto bude mít rovnice dva různé reálné kořeny.

b)

Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce:

Diskriminant je kladné číslo, proto bude mít rovnice dva různé reálné kořeny.

88

ROVNICE

c)

Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce:

Diskriminant je kladné číslo, proto bude mít rovnice dva různé reálné kořeny.

5. Vypočítejte kvadratické rovnice pomocí Viètových vzorců a rozlož ji na součinový tvar: a) b) c) Řešení a)

Oběma vzorcům vyhovuje dvojice a jsou kořeny dané rovnice, potom ji můžeme rozložit do součinového tvaru .

b)

Oběma vzorcům vyhovuje dvojice a jsou kořeny dané rovnice, potom ji můžeme rozložit do součinového tvaru . c)

89

ROVNICE

Oběma vzorcům vyhovuje dvojice a jsou kořeny dané rovnice, potom ji můžeme rozložit do součinového tvaru .

6. Řešte rovnice a)

b)

c)

d)

e)

f)

Řešení a)

b)

c)

90

ROVNICE

Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce:

Diskriminant je kladné číslo, proto bude mít rovnice dva různé reálné kořeny.

d)

e)

rovnice má nekonečně mnoho řešení,

f)

91

ROVNICE

Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce:

Diskriminant je kladné číslo, proto bude mít rovnice dva různé reálné kořeny.

92

PROCENTA

5. PROCENTA Kapitola Procenta má následující části: Základní pojmy, Procento /základ, Počet procent, Procentová část. V kapitole je vždy nejdříve uveden učební te t, ve kterém jsou ukázky vzorově vyřešených příkladů. Na učební text pak navazují cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test.

Členění kapitoly:  Základní pojmy  Procento /základ  Počet procent  Procentová část  Cvičení  Test

ZÁKLADNÍ POJMY V reklamách se setkáváme s pojmy jako sleva, procento, spoření, úrok. Např. 50% slevu si umíme představit všichni, ale jak velkou část z ceny nám ušetří např. 15%? Název Procento Základ Procentová část Počet procent

Označení % z č p

PROCENTO / ZÁKLAD Slovem procento (%) označujeme jednu setinu z libovolného celku. Tomuto celku říkáme základ a značíme jej z. Např. V bedně je 200 jablek. Což je 100% , tedy základ. 1% z tohoto počtu jablek tvoří 2 jablka. Příklad Kapesné na měsíc je 400 Kč. Urči 1% z této částky. Řešení 1% je jednou setinou základu, stačí 400 Kč (základ) vydělit 100: 1% z 400 Kč jsou 4 Kč. 93

PROCENTA

Základ lze tedy vyjádřit jako 100%. 1. Jednu setinu základu (z) nazýváme procento (%). 2. Základ je tvořen sty procenty. Příklad Určete 1% z 0,45 l vody. Řešení z = 0,45 l 100% ........... 0,45 1% ........... 0,45 : 100 = 0,0045 l 1% z 0,45 l vody je 0,0045 l.

Příklad V obchodě stojí po slevě 25% halenka 300 Kč. Jaká byla její původní cena? Řešení z=? p = 75% ……. halenka byla o 25% z původní ceny zlevněna, tedy 300 Kč je 75% č = 300 Kč 1% … 300 : 75 = 4 100%... 4 · 100 = 400 Kč Původní cena panenky byla 400 Kč. Celý postup lze zapsat i vzorcem:

č

POČET PROCENT Příklad Do třídy chodí 32 žáků. Ve třídě 8 žáků onemocnělo. Kolik to bylo procent z celkového množství žáků ve třídě? Řešení 32 žáků bude základ, 8 žáků procentová část. Budeme počítat počet procent, který této části odpovídá. z = 32 žáků č = 8 žáků p=? Nejprve určíme 1 %. 1% ........ 32 : 100 = 0,32 94

PROCENTA

Vydělíme-li počet nemocných žáků hodnotou odpovídající 1%, vypočítáme počet procent. 8 : 0,32 = 0,25 = 25% Ve třídě bylo nemocných 25% žáků. Celý postup můžeme zapsat také takto:

č

č

Příklad Ve firmě pracuje 840 zaměstnanců, z toho 462 mužů. a) Kolik procent všech zaměstnanců tvoří muži? b) Kolik procent tvoří ženy? Řešení a) z = 840 zaměstnanců č = 462 mužů p=? 100% .......................... 840 zaměstnanců 1% .............................. 840 : 100 = 8,4 p ................................. 462 : 8,4 = 55% Muži tvoří 55% ze všech zaměstnanců. b) Jestliže základ je tvořen 100% a mužů je 55%, pak ženy tvoří 100% - 55% = 45 % ze všech zaměstnanců.

PROCENTOVÁ ČÁST Příklad V ČR žije přibližně 10 505 445 obyvatel. Z toho přibližně 34% se hlásí k nějaké víře. Určete, kolik věřících lidí žije v ČR? Řešení Je zřejmé, že 10 505 445 obyvatelstva můžeme prohlásit za základ. Věřících je pouze část z obyvatelstva (říkáme jí procentová část a značíme č), které odpovídá 34% obyvatel (počet procent p). Můžeme tedy zapsat: z = 10 505 445........ základ p = 34% ........ počet procent č = ? ........ procentová část Všimněme si, že z a č vyjadřujeme ve stejných jednotkách. Jak budeme postupovat? Vycházejme z toho, co už umíme: 95

PROCENTA

z = 10 505 445 obyvatel 1% ........ 10 505 445: 100 = 10 505 4,45 obyvatel 34% určíme, násobíme-li hodnotu odpovídající 1% číslem 34 34% ......... 10 505 4,45 · 34 = 3 571 851,3 obyvatel V ČR je přibližně 3 571 851,3 lidí hlásících se k nějaké víře. Celý postup lze zapsat i vzorcem: č

Příklad 200 litrový sud je z 70% naplněn vodou. Kolik je v něm litrů vody? Řešení z = 200 litrů vody p = 70% č=? 100% .......................... 200 litrů 1% .............................. 200 litrů : 100 = 2 litry 70% .............................70 litrů · 2 = 140 litrů vody V sudu je 140 l vody.

PROCENTA CVIČENÍ 1. Vypočti velikost 1 % ze základu: a) 3 500 b) 240 c) 120 d) 75 Řešení a) 35 b) 2,4

c) 1,2

d) 0,75

e) 18

e) 0,18

2. Vyjádři v procentech část celku určenou zlomkem: a)

b)

Řešení a) 25%

c)

b) 50%

d)

e)

c) 10%

f)

d) 20% e) 40%

f) 90%

3. Z částky 300 Kč vypočítejte: a) 2% b) 5% c) 7%

d) 40%

e) 25%

f) 110%

Řešení a) 6 Kč

d) 120 Kč

e) 75 Kč

f) 330 Kč

b) 15 Kč

c) 21 Kč

96

PROCENTA

4. Vypočítej základ, když: a) 25% je 30 Kč

b) 150% je 999 m

c) 10% je 7,5 Kč

d) 20% je 300 Kč

e) 75% je 120l

f) 250% je 500 Kč

Řešení a) 25% je 30 Kč 1% je 30:25 = 1,2 Kč nebo 1/4 z celku je 30 Kč

100% je 1,2 · 100=120 Kč

b) 666 m

c) 75 Kč

e) 160 l

f) 2 000 Kč

4 · 30 = 120 Kč

5. Vypočítej, kolik procent je: a) 3 Kč z 300 Kč b) 15 kg z 250 kg Řešení a) 3 Kč z 300 Kč 3 : 300 = 0,01 nebo 3 je setina z 300, čili 1%

d) 1 500 Kč

c) 14 l z 50 l

d) 22 Kč ze 100 Kč

0,01 · 100 = 1 %

b) 15 kg je 6% z 250 kg c) 14 l je 28% z 50 l d) 22 Kč je 22% ze 100 Kč

6. V obchodě stojí po slevě 10% panenka 81 Kč. Jaká byla její původní cena? Řešení z=? p = 90% ……. panenka byla o 10% z původní ceny zlevněna, tedy 81 Kč je 90% č = 81 Kč 1% … 81 : 90 = 0,9 100%... 0,9 · 100 = 90 Kč Původní cena panenky byla 90 Kč.

7. Farmář má na statku celkem 340 zvířat. Z toho 80% slepic, 15% ovcí a zbytek tvoří králíci. Vypočítej, kolik má farmář slepic, ovcí a králíků?

97

PROCENTA

Řešení z = 340 zvířat p = 80% slepic, 15% ovcí, 5% králíků 1% … 340 : 100 = 3,4 80% slepic … 80 · 3,4 = 272 15% ovcí … 15 · 3,4 = 51 5% králíků … 5 · 3,4 = 17 Farmář chová 272 slepic, 51 ovcí a 17 králíků.

8. Cena jednoho kilogramu rýže je 34 Kč. Tato cena byla v hypermarketu akčně snížena o 15 %. Poté byla cena rýže opět zvýšena o 10 %. O kolik procent se po těchto úpravách změnila původní cena rýže? Je konečná cena vyšší nebo nižší než cena původní? Je konečná cena vyšší nebo nižší než cena u konkurence, kde cena rýže stejného druhu je stále stejná a to 28 Kč? Řešení zlevnění 100 % ..... 34 Kč 1 % ..... 0,34 Kč 15 % ..... 5,1 Kč nová cena: 25 Kč - 5,1 Kč = 19,9 Kč zdražení 100 % ..... 19,9 Kč 1 % ..... 0,199 Kč 10 % ..... 1,99 Kč výsledná cena: 19,9 Kč + 1,99 Kč = 21,89 Kč původní cena 100 % ... 34 Kč výsledná cena x % ... 21,89 Kč x = (21,89 · 100) : 34 = 64,38 (%) Původní cena rýže se změnila o 35,62 %. Konečná cena rýže je nižší o 12,11Kč než cena původní. Cena je stále výhodnější než v druhém hypermarketu.

9. a) Do banky uložíme na počátku roku částku 8 000 Kč. Jaký úrok nám vyplatí banka na konci druhého úrokovacího období při 2% úrokové míře, která zůstává po celou dobu neměnná? Během celé doby žádné peníze nevybíráme ani další nevkládáme. Úrok je zdaněn 15 % a banka úročí jednou ročně. Úrok je za první rok se po zdanění přičítá ke vložené částce a spolu s ní se dále úročí (jedná se tedy o složené úročení).

98

PROCENTA

Řešení 1. rok 100 % ..... 8 000 Kč 1% ..... 80 Kč Úrok: 2 % ........ 160 Kč Daň: 15 % ze 160 Kč ... 24 Kč Zvýšení vkladu: (8 000 + 160 - 24) Kč = 8 136 Kč 2. rok 100 % ..... 8 136 Kč 1% ..... 81,36 Kč Úrok: 2 % ........ 162,72 Kč Daň: 15 % ze 162,72 Kč ... 24,408 Kč Zvýšení vkladu: (8 136 + 162,72 – 24,408) Kč = 8 274,312 Kč Rozdíl stavu na konci druhého roku a vkladu: (8 274,312 - 8 000) Kč = 274, 312 Kč 274 Kč Banka nám vyplatí za 2 roky úrok v částce (po zaokrouhlení na celé koruny) 274 Kč.

9. b) Jak rozdílná bude částka na konci druhého úrokovacího období, vložíme-li peníze do KB, která nabízí 2,5 % úrok? 1. rok 100 % ..... 8 000 Kč 1% ..... 80 Kč Úrok: 2, 5 % ........ 200 Kč Daň: 15 % ze 200 Kč ... 30 Kč Zvýšení vkladu: (8 000 + 200 - 30) Kč = 8 170 Kč 2. rok 100 % ..... 8 170 Kč 1% ..... 81,70 Kč Úrok: 2, 5 % ........ 204,25 Kč Daň: 15 % ze 204,25 Kč ... 30,6375 Kč Zvýšení vkladu: (8 170 + 204,25 – 30,6375) Kč = 8 343,6125 Kč Rozdíl stavu na konci druhého roku a vkladu: 343,6125 Kč Banka nám vyplatí za 2 roky úrok v částce (po zaokrouhlení na celé koruny) 344 Kč. Spoření u KB bude tedy po dvou letech o 70 Kč výhodnější.

99

SLOVNÍ ÚLOHY

6. SLOVNÍ ÚLOHY Kapitola Slovní úlohy má následující části: Slovní úlohy - úvod, Slovní úlohy o procentech, Slovní úlohy o pohybu, Slovní úlohy o společné práci, Slovní úlohy o směsích. V kapitole je vždy nejdříve uveden učební te t, ve kterém jsou ukázky vzorově vyřešených příkladů. Na učební te t pak navazují interaktivní cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test. Členění kapitoly:  Slovní úlohy – úvod  Slovní úlohy o procentech  Slovní úlohy o pohybu  Slovní úlohy o společné práci  Slovní úlohy o směsích  Cvičení  Test

SLOVNÍ ÚLOHY – ÚVOD Při řešení slovních úloh je nejdůležitější najít v zadání úlohy potřebné informace pro zápis. Následuje vytvoření rovnice, která vystihuje vztahy mezi zadanými a hledanými údaji, a její vyřešení. V závěru úlohy by měla být uvedena odpověď. Postup řešení slovní úlohy:  Pozorně si přečtěte text úlohy.  Mezi neznámými údaji zvolte jeden, o kterém zpravidla máte nejméně informací, jako neznámou.  Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádřete všechny ostatní údaje z te tu.  Vyjádřete logickou rovnost plynoucí z te tu úlohy a na jejím základě sestavte rovnici a vyřešte ji.  Proveďte zkoušku, dosazením vypočítaných hodnot do zadání slovní úlohy. Tak ověříme, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy.  Napište odpovědi na otázky zadané úlohy.

Příklad Jana měla naspořeno čtyřikrát méně než Jitka a Markéta měla naspořeno pětkrát více než Jitka. Kolik měla naspořeno Jitka, měla-li děvčata dohromady naspořeno 1 250 Kč? Řešení (počítáme bez jednotek) Jana . . . . . . . . . . . . Jitka . . . . . . . . . . . . Markéta . . . . . . . . . Dohromady . . . . . .

100

SLOVNÍ ÚLOHY

Vypočítali jsme, že Jana měla naspořeno 50 Kč . Jitka měla naspořeno čtyřikrát více, tedy 200 Kč a Markéta dokonce ještě pětkrát více než Jitka, tedy 1000 Kč. Dohromady měly Jana, Jitka a Markéta naspořeno (50 + 200 + 1000) Kč, tj. 1250 Kč. Tím byla provedena zkouška správnosti. Jitka měla naspořeno 200 Kč.

Příklad Rodiče koupili na dovolené svým třem dětem skládačku puzzle. Pavel složil jednu desetinu, Hana dvakrát více, Michal o 40 dílků méně než Hana, maminka složila o polovinu více než Pavel a na tatínka zbylo 565 dílků. Kolik dílků měl celý obrázek? Řešení Celkový počet dílků skládačky neznáme, označíme si jej . Celkem . . . . . . . . . . . . Pavel . . . . . . . . . . . . . . Hana . . . . . . . . . . . . . . Michal . . . . . . . . . . . . . Maminka . . . . . . . . . . Tatínek . . . . . . . . . . . . 565

Skládačka měla celkem 1500 dílků.

Příklad Děti na zahradní slavnosti pijí ke svačině džus. Chlapci vypijí o třetinu džusu méně než dívky. Kolik džusu vypijí dívky, je-li ke svačině vypito 8 litrů džusu? Řešení (počítáme bez jednotek) Dívky . . . . . . . . . . Chlapci . . . . . . . . . Celkem . . . . . . . . . 101

SLOVNÍ ÚLOHY

Dívky vypijí 4,8 litrů džusu.

SLOVNÍ ÚLOHY - ÚVOD CVIČENÍ 1. Tři dělníci vyrobili za týden 1 800 součástek. První z nich pracoval v normě, druhý vyrobili o 100 součástek více a třetí udělal o polovinu méně než druhý dělník. Jaká byla norma? Řešení Norma byla 660 součástek. 2. Děti se na školním výletě vydaly na třídenní výlet. První den ušli o dvě třetiny více než druhý den, třetí den ušli 18km. Celkem ušli 50km. Kolik km ušly druhý den? Řešení Druhý den děti ušly 12km. 3. V zahradnictví vypěstovali ve sklenících 11000 růží. V prvním skleníku vypěstovali dvakrát více růží než v druhém, ve třetím pak o čtvrtinu více než v prvním skleníku. Kolik růží vypěstovali ve třetím skleníku? Řešení Ve třetím skleníku vypěstovali 5000 růží. 4. Radek a jeho bratr Ondřej pomáhali tatínkovi čistit koberec o celkovém obsahu 26m 2. Radek vyčistil o třetinu více než Ondřej. Na tatínka pak zbylo 12 m 2 koberce. Jakou část koberce vyčistil Radek a jakou Ondřej? Řešení Radek vyčistil 8 m2 a Ondřej 6 m2. 5. Hanka, Jana a Monika utratili v čajovně 600 Kč. Hanka zaplatila dvakrát víc než Jana a Jana o polovinu méně než Monika. Kolik každá z nich zaplatila? Řešení Monika zaplatila 240 Kč, Hanka také 240 Kč a Jana 120 Kč. 6. Studenti si na letní brigádě vydělali dohromady 7 700 Kč. Peníze si rozdělili podle výkonu. Druhý student dostal o polovinu více než první a třetí dvakrát více než druhý. Kolik dostal každý? 102

SLOVNÍ ÚLOHY

Řešení První student dostal 1400 Kč, druhý 2100 Kč a třetí student 4200 Kč. 7. Na stavbu přivezli písek. Hned první den spotřebovali polovinu z dovezeného množství, druhý den čtvrtinu ze zbytku a na třetí den zbylo 120 tun. Kolik písku na staveniště přivezli?

Řešení Na stavbu celkem přivezli 960 tun písku. 8. Pavel dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu, druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75g čokolády. Kolik g vážila celá čokoláda? Řešení Celá čokoláda původně vážila 200 gramů.

9. Do pekárny přivezli mouku. První den upekli rohlíky z jedné třetiny mouky, druhý den použili tři čtvrtiny ze zbytku. Na třetí den ještě zbylo 120 kg. Kolik mouky měli na začátku? Řešení Do pekárny přivezli 720 kg mouky. 10. Vypočítej, jaká byla roční tržba v obchodě, víš-li, že v prvním čtvrtletí utržili jednu pětinu celkové tržby, ve druhém čtvrtletí jednu čtvrtinu, ve třetím čtvrtletí jednu třetinu a ve čtvrtém čtvrtletí 650 000 Kč. Řešení Tržba v obchodě byla 3 000 000 Kč.

11. Na konci školního roku mělo dvě pětiny ze všech žáků školy na vysvědčení vyznamenání. Devět desetin ze zbytku prospělo a 12 žáků neprospělo. Kolik má škola žáků? Řešení Škola má celkem 200 žáků.

SLOVNÍ ÚLOHY O PROCENTECH S procenty jsme se již setkali v páté kapitole. Nyní si zopakujeme slovní úlohy, ve kterých se vyskytují procenta. Připomeňme si, že celek je 100%.

103

SLOVNÍ ÚLOHY

Příklad Ve firmě pracuje celkem 144 zaměstnanců. Žen je o 20 % méně než mužů. Kolik pracuje v závodě žen a kolik mužů? Řešení Mužů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Žen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Celkem zaměstnanců . . . . . . 144

Ve firmě je 80 mužů. Žen má být o 20 % méně, tedy 80 % z 80, což je 64. Ve firmě pracuje 80 mužů a 64 žen, dohromady 144 zaměstnanců. Tím byla provedena zkouška správnosti. Ve firmě pracuje 80 mužů a 64 žen.

Příklad V obchodě utržili za čtyři týdny 113 400 Kč. První a čtvrtý týden byla tržba stejná, druhý týden o 10 % vyšší než první týden a třetí týden o 5 % nižší než první týden. Kolik utržili v jednotlivých týdnech? Řešení 1. týden . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. týden . . . . . . . . . . . . . 3. týden . . . . . . . . . . . . 4. týden . . . . . . . . . . . . . . . . . Celkem utržili . . . . . .

Tedy: 1. týden . . . . . . . . . . . . . 2. týden . . . . . . . . . . . . . 3. týden . . . . . . . . . . . . . 4. týden . . . . . . . . . . . . . dohromady. . . . . . . . . . .

Kč Kč Kč Kč Kč

č

První a čtvrtý týden utržili 28 000 Kč, druhý týden 30 800 Kč a třetí týden 26 600 Kč.

104

SLOVNÍ ÚLOHY

SLOVNÍ ÚLOHY O PROCENTECH CVIČENÍ 1. Ve třídě je o 50 % dívek více než chlapců. Kolik je ve třídě chlapců a kolik dívek, chodí-li do třídy 30 žáků? Řešení Ve třídě je 12 chlapců a 18 dívek. 2. V sadu roste celkem 118 ovocných stromů. Jabloní je o 15% více než hrušní, třešní je o 20 % méně než hrušní. Kolik je v sadu jabloní, kolik hrušní a kolik třešní? Řešení V sadu roste 46 jabloní, 40 hrušní a 32 třešní. 3. Turisti se vydali na kolech na třídenní výlet, jehož trasa celkem měřila 167 km. První den turisti ujeli o 20% km více než druhý den a třetí den o 5% méně než první den. Kolik km ujeli první, kolik druhý a kolik třetí den? Řešení Turisti ujeli první den 60 km, druhý den 50 km a třetí den 57 km. 4. V lese roste celkem 234 stromů. Rostou zde smrky, modříny a borovice. Kolik je v lese jednotlivých druhů, jestliže modřínů je o 100 méně než smrků a borovic o 35% více než modřínů? Řešení V lese roste 140 smrků, 40 modřínů a 54 borovic. 5. V továrně vyrobili za 4 týdny 6120 součástek. Výroba v prvním až třetím týdnu byla stejná, ve čtvrtém týdnu zvýšili výrobu o 8%. Kolik součástek vyrobili v prvním týdnu? Řešení V prvním týdnu v továrně vyrobili 1 500 součástek. 6. Petr četl knihu. První den přečetl jednu desetinu knihy, druhý den polovinu zbytku, třetí den 20 % nového zbytku a čtvrtý den dočetl 72 zbývajících stran. Kolik stránek měla kniha? Řešení Kniha měla celkem 200 stran. 7. Zahradník dostal za úkol upravit zahradu. Třetinu peněz utratil za trvalky, 25 % za keře, polovinu zbytku za skalničky a jeho mzda byla 2 000 Kč. Jaké byly celkové náklady na úpravu zahrady? Řešení Celkové náklady za úpravu zahrady byly 9 600 Kč. 105

SLOVNÍ ÚLOHY

SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU Při řešení slovních úloh o pohybu budeme vycházet ze vzorce pro průměrnou rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu. , kde v je rychlost, t je čas, v odpovídajících si jednotkách. s je dráha, Příklad Vzdálenost místa A a místa B je 240 km. Z místa A vyjelo v 8.00 hodin nákladní auto průměrnou rychlostí 60 km/h. V 8.30 hodin mu vyjelo naproti z místa B osobní auto pohybující se průměrnou rychlostí 80 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od místa A se obě vozidla potkají? Řešení Za neznámou zvolíme dobu t (v hodinách) jízdy nákladního auta. Osobní auto pak jelo (t – 0,5) hodin. nákladní auto v1 = 60 km/h t1 = t h s1 = 60·t km A v 8.00

osobní auto v2 = 80 km/h t2 = (t - 0,5) h s2 = 80·(t - 0,5) km B v 8.30

240 km

s1

s2

Z náčrtu vidíme, že součet drah obou automobilů je roven vzdálenosti mezi městy A a B. Skutečnost zapíšeme rovnicí:

Tedy: t1 = 2 h s1 = 60 · 2 = 120 km

t2 = 1,5 h s2 = 80 · 1,5 = 120 km

Obě vozidla se potkají za 2 hodiny, tj. v 10.00 hod., a to 120 km jak od místa A, tak od místa B, tedy v polovině cesty.

106

SLOVNÍ ÚLOHY

Nákladní auto ujede za 2 hodiny (2·60) km, tj. 120 km, osobní auto za 1,5 hodiny ujede (1,5·80) km, tj. také 120 km. Protože 120 km + 120 km = 240 km, dává součet jimi ujetých drah délku celé dráhy mezi místy A a B. Tím byla provedena zkouška správnosti.

Příklad Za chodcem jdoucím průměrnou rychlostí 5 km/h vyjel z téhož místa o 3 hodiny později cyklista průměrnou rychlostí 20 km/h. Za jak dlouhou dobu dohoní cyklista chodce? Řešení Předpokládejme, že chodec šel t hodin, cyklista o 3 hodiny méně, tj. (t - 3) hodin. chodec v1 = 5 km/h t1 = t h s1 = 5 · t km

cyklista v2 = 20 km/h t2 = (t – 3) h s2 = 20 · (t - 3) km s1

místo, kde cyklista dohoní chodce

s2 Z náčrtu vidíme, že dráhy chodce a cyklisty jsou si rovny. Tuto skutečnost zapíšeme rovnicí:

Tedy: t1 = 4 h s1 = 5 · 4 = 20 km

t2 = 1 h s2 = 20 · 1 = 20 km

Cyklista dojede chodce za hodinu a urazí 20 km.

SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU CVIČENÍ 1. Za cyklistou jedoucím průměrnou rychlostí 20 km/h vyjelo z téhož místa o dvě hodiny později auto rychlostí 60 km/h. Za jak dlouho dohoní auto cyklistu? Řešení Auto dojede cyklistu za jednu hodinu, po 60 km. 2. Z přístavu A na řece vyjel parník rychlostí 12 km/h směrem k přístavu B. O dvě hodiny později vyjel za ním z A do B jiný parník rychlostí 20 km/h. Oba parníky přijely do místa B současně. Jaká je vzdálenost A od B?

107

SLOVNÍ ÚLOHY

Řešení Vzdálenost míst A a B je 60 km. 3. Za vozidlem s nadrozměrným nákladem pohybujícím se rychlostí 16 km/h vyrazilo za 2,5 hodiny doprovodné vozidlo, které jej musí dostihnout za 45 minut. Jakou musí jet rychlostí? Řešení Doprovodné vozidlo musí jet přibližně rychlostí 69,3 km/h. 4. Mezi dvěma letišti vzdálenými 690 km létají pravidelné spoje. Z prvního letiště vylétá letadlo v 6,30 hodin průměrnou rychlostí o 60 km/h větší než letadlo statující v 7.00 hodin z druhého letiště. Letadla se míjejí vždy v 9.00 hodin. Jak daleko od prvního letiště? Řešení Letadla se setkají 450 km od prvního letiště. 5. V 8:30 hod vyjela skupinka dětí z tábora na celodenní cyklistický výlet. Po deváté se prudce zhoršilo počasí a vedoucí tábora se rozhodl poslat za dětmi po stejné trase autobus, který vyjel v 10:30 hod. Za jak dlouho a v jaké vzdálenosti od tábora dojede autobus děti, jestliže děti ujedou za 1 hodinu průměrně 15 kilometrů a autobus jede rychlostí 75 km/h? Řešení Autobus děti dojede za 30 minut, 37 km od tábora. 6. Petr a Tomáš bydlí v městech vzdálených od sebe 20 km. Petr z bydliště vyšel průměrnou rychlostí 4 km/h. O 45 minut později vyjel proti němu ze svého bydliště Tomáš na kole průměrnou rychlostí 16 km/h. Jak daleko od Petrova domu se setkají? Řešení Setkají se 6 km 400 m od místa od Petrova domu.

SLOVNÍ ÚLOHY O SMĚSÍCH Příklad V květinářství prodávají tulipány dvou barev. Červené tulipány za 15 Kč za kus a žluté tulipány za 18 Kč za kus. Kolik tulipánů každé barvy je v kytici za 81 Kč, navázané z pěti tulipánů? Za neznámou zvolíme počet červených zapíšeme do tabulky: Druh Červené tulipány Žluté tulipány Kytice

tulipánů a údaje o počtech a cenách přehledně cena/ks 15 Kč/ks 18 Kč/ks

počet x 5–x

celkem 15x 18 · (5 – x) 81 Kč 108

SLOVNÍ ÚLOHY

Červené tulipány byly v kytici tři a žluté dva. Zkouška: Koupíme-li tři červené tulipány po 15 Kč, zaplatíme 45 Kč. Koupíme dva žluté tulipány po 18 Kč a zaplatíme za ně 36 Kč. Za všechny tulipány zaplatíme (45 + 36)Kč, tj. 81 Kč. Příklad Kolika procentní roztok dostaneme, smícháme-li 2 litry 8 % octa a 0,5 litru 4 % octa? Řešení Předpokládejme, že smícháním získáme v jednotlivých roztocích i výsledné směsi. roztok 2 litry 8% 0,5 litrů 4% (2 + 0,5) litrů x%

procentní roztok. Určeme množství čisté látky

čistá látka . . . . . . . . . . . 2 · 0,08 = 0,16 litrů . . . . . . . . . . . 0,5 · 0,04 = 0,02 litrů . . . . . . . . . . . 2,5 · 0,01x = 0,025x litrů

Protože množství čisté látky se smícháním nezměnilo, platí:

Výsledný roztok má koncentraci 7,2%.

Příklad Kolik litrů vody o teplotě 48oC teplé musíme přidat do 1,2 hl vody 8oC teplé, aby vznikla voda s teplotou 24oC ? Řešení Látka s vyšší teplotou t1 předá teplo látce s nižší teplotou t2, až se teplota namíchané nové látky vyrovná. Tento proces (tj. smíchání dvou množství téže kapaliny o různých teplotách) můžeme vyjádřit rovnicí:

V1 množství teplejší tekutiny V2 množství studenější tekutiny t výsledná teplota t1 teplota teplejší tekutiny t2 teplota studenější tekutiny 109

SLOVNÍ ÚLOHY

V našem příkladu je tedy: V1 = x hl t1 = 48oC t =24oC

V2 = 1,2 hl t2 = 8oC

hl Je potřeba přidat 80 litrů teplejší vody.

SLOVNÍ ÚLOHY O SMĚSÍCH CVIČENÍ 1. Jeden kilogram lacinější kávy stojí 150 Kč, jeden kilogram dražší kávy je za 200 Kč. Máme připravit směs 35 kg kávy po 180 Kč. Jak připravíme směs? Řešení Směs kávy namícháme tak, že použijeme 14 kg levnější kávy a 21 kg dražší kávy. 2. Jakou teplotu bude mít směs 76 litrů vody 90oC teplé a 15 litrů vody 6oC teplé? Řešení Vzniklá směs bude mít 76,2oC. 3. Smícháme 280 g horké vody se 720 g vody o teplotě 20oC. Jakou teplotu měla horká voda, když vzniklá směs je 41oC teplá? Řešení Látka s vyšší teplotou měla 35oC. 4. Jakou teplotu má směs 55O g vody o teplotě 82oC a 250 g vody o teplotě 18oC? Řešení Směs má teplotu 62oC.

5. Ze dvou druhů kávy v cenách 240 Kč a 320 Kč za kilogram se má připravit 100 kg směsi v ceně 300 Kč za kilogram. Kolik kilogramů každého druhu kávy bude třeba smíchat?

Řešení Musíme smíchat 25 kg lacinější a 75 kg dražší kávy.

110

SLOVNÍ ÚLOHY

6. Kolik litrů 60 % roztoku a kolik litrů 40 % roztoku je zapotřebí k vytvoření 2 litrů 55 % roztoku? Řešení Musíme smíchat 1,5 litrů 60 %, 0,5 litrů 40 % roztoku. 7. Máme 1,5 kg 20 % roztoku NaCl a potřebujeme roztok zředit vodou na roztok 10 %. Kolik vody bude potřeba a kolik zředěného roztoku získáme? Řešení Musíme použít 1,5 kg vody a 3 kg roztoku. 8. Kolik gramů 65 % a 50 % kyseliny je nutno smíchat, aby vzniklo 240 g kyseliny s koncentrací 60 %? Řešení Musíme použít 160 g 65 % a 80 g 50 % kyseliny.

SLOVNÍ ÚLOHY O SPOLEČNÉ PRÁCI Při řešení slovních úloh o společné práci budeme předpokládat že:  Každý účastník pracuje rovnoměrně, tj. s výkonností, která se v čase nemění.  Jednotliví účastníci se při práci neovlivňují.  Vykonaná práce se dá měřit čísly v určitých jednotkách (např. obsah natřené stěny, objem odčerpané vody) Příklad Jeden malíř vymaluje pokoj za 10 hodin, druhý za 15 hodin. Za jak dlouho vykonají tuto práci, když budou pracovat společně? Řešení První malíř by za 1 hodinu udělal

práce, druhý

.

Označme neznámý počet hodin jejich společné práce x. První malíř odpracuje druhý

celého díla,

díla. Proto platí:

Rovnice vyjadřuje, že 1 celek (daná práce - vymalování pokoje) je rozdělen na dvě části, které udělají jednotliví malíři.

Budou-li malíři pracovat společně, vymalují pokoj za 6 hodin. 111

SLOVNÍ ÚLOHY

Příklad Jeden dělník postaví montovaný zahradní domek za 12 hodin, druhý za 18 hodin. Oba dělníci se dohodli, že budou pracovat společně. První dělník začal s prací v 8.00 hod., druhý se připojil ve 12.00 hod. Kolik hodin jim stavba trvala? Řešení Předpokládejme, že první dělník pracoval x hodin. Druhý dělník začal pracovat o 4 hodiny později, to znamená, že pracoval hod. Proto platí:

První dělník na stavbě zahradního domku pracoval 8,8 hodin, druhý dělník 4,8 hodin.

SLOVNÍ ÚLOHY O SPOLEČNÉ PRÁCI CVIČENÍ 1. Na úseku nově budované silnice pokládají dva finišery různé výkonnosti živičný koberec. Položení koberce jedním finišerem by trvalo 78 hodin, druhým 91 hodin. Jak dlouho bude trvat práce při nasazení obou strojů současně? Řešení Při nasazení obou finišerů bude práce vykonaná za 42 hodin. 2. Mistr a učeň mají vykonat určitou práci. Mistr by ji sám dokončil za šest dní, učeň za deset dní. Za kolik dní ji skončí společně? Řešení Mistr s učněm udělají práci za 3 dny a 18 hodin. 3. Vyučený pracovník vykoná jistou práci za 4 hodiny. Učeň potřebuje na tutéž práci 6 hodin. Za kolik hodin by danou práci vykonali společně, kdyby učeň začal pracovat o 2 hodiny později než vyučený pracovník? Řešení Práci by vykonaly za 3 hodiny a 12 minut. 4. Nádrž se naplní větším čerpadlem za 12 hodin. Menším za 15 hodin. Za jak dlouho se nádrž naplní, zapneme-li obě čerpadla současně? Řešení Nádrž se naplní za 6 hodin a 40 minut. 112

SLOVNÍ ÚLOHY

5. Nádrž lze naplnit prvním přítokem za 3 h, druhým za 4 h, třetím za 6 h. Za jak dlouho se nádrž naplní, když: a) jsou otevřeny současně první a třetí přítok, b) jsou otevřeny současně druhý a třetí přítok, c) jsou otevřeny současně všechny tři přítoky? Řešení a) Nádrž se současně prvním a třetím přítokem naplní za 2 hodiny. b) Nádrž se současně druhým a třetím přítokem naplní za 2 hodiny a 24 minut. c) Nádrž se současně všemi třemi přítoky naplní za 1 hodinu a 20 minut.

113