Analisa Terapan: Metode Numerik Pertemuan ke-4: 27 September 2012 Persamaan Non-Linier: Metode Interpolasi Linier (False-Position Method )
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
1 1
Pengantar f ( x) = 0
f (x )
(1)
Dalam metode ½ interval:
f ( x L ) * f ( xU ) < 0 (2)
f (xU )
x L + xU xr = 2
(3)
xL
O
xr
f (xL ) 2
xU
x
Gambar 1 Metode interpolasi linier Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
1
2
Metode Interpolasi Linier
Berdasarkan dua segitiga sebangun pada Gambar 1, dieproleh : f ( xU ) f ( xL ) = xr − x L xr − xU
(4)
Tanda di kedua ruas Persamaan (4) adalah konsisten, maka: f ( x L ) < 0; xr − x L > 0 f ( xU ) > 0; xr − xU < 0 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
3
Dari Persamaan (4) diperoleh:
(xr − xL ) f (xU ) = (xr − xU ) f (xL ) xU f ( x L ) − x L f ( xU ) = xr { f ( x L ) − f ( xU )} Persamaan di atas dapat diselesaikan untuk mendapatkan akar persamaan xr seperti dalam Pers. 5
xr =
xU f ( x L ) − x L f ( xU ) f ( x L ) − f ( xU ) Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
(5) 4
Persamaan (5) dapat dituliskan
f ( xU ){x L − xU } xr = xU − f ( x L ) − f ( xU )
(6)
atau
xr = x L −
f (xL ) f ( xU ) − f (x L ) − x x U L
(7)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
5
Algoritma Metode Interpolasi Linier 1 Pilih nilai perkiraan awal xl dan xu sehingga diperoleh f(xl)f(xu)< 0 2 Perkirakan akar persamaan dengan xr =
atau xr = xu −
xU f ( xL ) − xL f ( xU ) f ( xL ) − f ( xU ) f ( xU )
f ( xL ) − f ( xU )
( xu − xl ) Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
6
Algoritma Metode Interpolasi Linier 3 Cek kondisi berikut: a Jika f(xl)f(xr)< 0, akar persamaan berada diantara xl dan xr, sehingga xl = xl dan xu = xr. b Jika f(xl)f(xr)> 0, akar persamaan berada diantara xr dan xu, sehingga xl = xr dan xu = xu. c Jika f(xl)f(xr)= 0, akar persamaan adalah xr.
Hentikan penghitungan jika kondisi c benar Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
7
Algoritma Metode Interpolasi Linier 4 Hitung nilai perkiraan baru dari akar persamaan xr =
atau xr = xu −
xU f ( xL ) − xL f ( xU ) f ( xL ) − f ( xU )
f ( xU ) f ( xL ) − f ( xU )
( xu − xl ) Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
8
Algoritma Metode Interpolasi Linier
Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif xmnew − xmold ∈a = × 100 new xm
xmnew = estimated root from present iteration x mold = estimated root from previous iteration 5 Jika |εa| > εs (misal: εs = 10-3), maka ulangi Langkah 2, jika tidak hentikan hitungan Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
9
Catatan Metode Interpolasi Linier dan ½ Interval memiliki algoritma yang serupa. Hanya saja terdapat perbedaan pada persamaan yang digunakan untuk menentukan nilai perkiraan baru dari akar persamaan xm seperti dalam Langkah 2 dan 4.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
10
Contoh1 Suatu bola terapung seperti Gambar 6 memiliki berat jenis 0.6 dan jari-jari 5.5 cm. Tentukan kedalaman bola yang terendam dalam air!
Gambar 2 Diagram bola terapung Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
11
Contoh1 (Cont.) Kedalaman bola yang terendam air x dinyatakan dengan persamaan berikut x 3 − 0.165 x 2 + 3.993 ×10 −4 = 0
a) Gunakan metode interpolasi linier untuk menentukan akarakar persamaan kedalaman bola yang terendam air x. Lakukan tiga kali iterasi untuk memperkirakan akar-akar persamaan terebut. b) Tentukan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif pada masing-masing iterasi, dan jumlah digit pentingnya.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
12
Contoh 1 (Cont.) Secara fisik, bagian bola yang terendam air memiliki kedalaman antara x = 0 dan x = 2R, dengan R = jari-jari bola, yaitu 0 ≤ x ≤ 2R 0 ≤ x ≤ 2(0.055) 0 ≤ x ≤ 0.11
Gambar 2 Diagram bola terapung Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
13
Contoh 1 (Cont.) - Solusi
Diambil, xl = 0 dan xu = 0.11 sebagai nilai perkiraan awal: 3
2
f ( x L ) = f (0 ) = (0 ) − 0.165(0 ) + 3.993 × 10 −4 = 3.993 × 10 −4 3
2
f ( xU ) = f (0.11) = (0.11) − 0.165(0.11) + 3.993 × 10 −4 = −2.662 × 10 −4
Sehingga
(
)(
)
f ( x L ) f ( xU ) = f (0 ) f (0.11) = 3.993 × 10 −4 − 2.662 × 10 −4 < 0
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
14
Contoh 1 (Cont.) - Solusi
Iterasi 1: xm =
xU f ( x L ) − x L f ( xU ) f ( x L ) − f ( xU )
(
)
0.11× 3.993 ×10 −4 − 0 × − 2.662 ×10 −4 = 3.993 ×10 −4 − − 2.662 ×10 −4 = 0.0660 3 2 f ( xm ) = f (0.0660) = (0.0660) − 0.165(0.0660) + 3.993 ×10−4
(
)
(
)
= −3.1944 ×10−5
f ( x L ) f ( xm ) = f (0) f (0.0660) = (+ )(− ) < 0
x L = 0, xU = 0.0660
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
15
Contoh 1 (Cont.) - Solusi
Iterasi 2:
xm =
xU f ( x L ) − x L f ( xU ) f ( x L ) − f ( xU )
(
0.0660 × 3.993 × 10 −4 − 0 × − 3.1944 × 10 −5 = 3.993 × 10 −4 − − 3.1944 × 10 −5 = 0.0611
(
3
)
)
2
(
f (xm ) = f (0.0611) = (0.0611) − 0.165(0.0611) + 3.993 ×10−4
)
= 1.1320 ×10−5 f ( x L ) f ( xm ) = f (0 ) f (0.0611) = (+ )(+ ) > 0 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Maka: x L = 0.0611, xU = 0.0660 Department of Civil Engineering
16
Contoh 1 (Cont.) - Solusi
Nilai absolut dari kesalahan perkiraan pada Iterasi 2: ∈a =
0.0611 − 0.0660 × 100 ≅ 8% 0.0611
Iterasi 3:
xm =
xU f ( x L ) − x L f ( xU ) f ( x L ) − f ( xU )
(
0.0660 × 1.132 × 10 −5 − 0.0611× − 3.1944 × 10 −5 = 1.132 × 10 −5 − − 3.1944 × 10 −5 = 0.0624 Dr.Eng. Agus S. Muntohar
(
)
)
Department of Civil Engineering
17
Contoh 1 (Cont.) - Solusi f ( xm ) = −1.1313 × 10 −7
f ( x L ) f ( xm ) = f (0.0611) f (0.0624) = (+ )(− ) < 0
Maka: x L = 0.0611, xU = 0.0624 ∈a =
0.0624 − 0.0611 × 100 ≅ 2.05% 0.0624
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
18
Contoh 1 (Cont.) - Solusi f (x ) = x 3 − 0.165 x 2 + 3.993 × 10 −4 = 0 Tabel 1: Hasil penghitungan akar persamaan Contoh 1 xm Iteration xL f (xm ) ∈a % xU 1
0.0000
0.1100
0.0660
N/A
-3.1944x10-5
2
0.0000
0.0660
0.0611
8.00
1.1320x10-5
3
0.0611
0.0660
0.0624
2.05
-1.1313x10-7
4
0.0611
0.0624
0.0632377619
0.02
-3.3471x10-10
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
19
Jumlah Digit Penting ∈a ≤ 0.5 ×10 2−m 0.02 ≤ 0.5 ×10 2−m 0.04 ≤ 10 2−m
log(0.04) ≤ 2 − m m ≤ 2 − log(0.04) m ≤ 2 − (−1.3979) m ≤ 3.3979 So, m = 3
Pada Iterasi ke-4, jumlah digit penting dari nilai akar 0.062377619 adalah 3. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
20
References 1. S.C. Chapra, R.P. Canale, Numerical Methods for Engineers, Fourth Edition, Mc-Graw Hill.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
21
