Bahan Kuliah 03
Bab 3 Metode Interpolasi Pendahuluan Interpolasi sering diartikan sebagai mencari nilai variabel tergantung tertentu, misalnya y, pada nilai variabel bebas, misalnya x, diantara dua atau lebih nilai x yang diketahui nilai variabel tergantungnya yaitu y seperti telihat pada Gambar 1 di bawah ini. y3 y1 y= ? y2 x1 x x2 x3 Gambar 1. Ilustrasi persoalan interpolasi.
Dalam kasus nyata masalah interpolasi seperti: 1. memperkirakan kedalaman muka air tanah pada lokasi diantara sumur-‐ sumur yang ada, 2. memperkirakan debit banjir pada jam atau waktu tertentu yang tidak ada data pengukurannya di tempat tersebut kecuali pada waktu sebelumnya dan sesudahnya, 3. membuat garis kontur yang tidak melewati data elevasi yang ada, dll. Data yang ada dapat disebut data diskret. Variabel tergantung, misalnya y, yang bervariasi pada x yang berbeda-‐beda, disebut pula sebagai suatu fungsi y pada sumbu x. Pada kasus yang dihadapi adalah bentuk fungsi y pada x tidak diketahui kecuali di x1, x2, dan x3. Perlu diperhatikan fungsi nyata y pada x ada baik dapat diungkapkan dengan persamaan hubungan matematika maupun tidak. Pada contoh kasus nyata nomor 1, dapat difahami bahwa di dalam tanah, di manapun temptnya, di sekitar tempat tersebut, ada muka air tanah yang mempunyau kedalaman atau elevasi tertentu. Dapat diartikan ada fungsi elevasi muka air tanah pada variabel bebas misalnya arah timur E dan variabel bebas arah utara N (pada koordinat lintang bujur). Memperhatikan hal tersebut di atas, masalah interpolasi dapat diselesaikan (didekati angka fungsi yang sebenarnya) dengan, pertama, memilih dugaan fungsi yang paling mendekati fungsi yang sebenarnya ada atau memilih fungsi yang mudah dihitung untuk mendekati nilai fungsi sebenarnya di tempat yang diinginkan. Dapat difahami bahwa masalah interpolasi adalah bagian dari
masalah pendekatan atau penghampiran (approximation problems). Pada saat seseorang menggunakan garis lurus yang menghubungkan dua titik yang sudah diketahui nilainya untuk memperkirakan nilai interpolasi sebenarnya yang dilakukan adalah mengasumsikan atau mendekati fungsi yang sebenarnya dengan fungsi linier. Pada interpolasi diinginkan fungsi interpolasi yang mendekati fungsi sebenarnya tersebut yang digunakan untuk mencari nilai fungsi (variabel tergantung) pada titik (variabel bebas) yang diinginkan, melewati titik-‐titik yang sudah diketahui nilainya. Pada aproksimasi hal itu tidak harus dipenuhi.
y3 y1
? y=
x1
y2
x
x2
x3
Gambar 2. Memilih atau mendekati fungsi sebenarnya dengan fungsi interpolasi.
Metode Interpolasi Diantara banyak fungsi yang memungkinkan untuk digunakan sebagai fungsi interpolasi, yang populer adalah fungsi polinomial aljabar (algebraic polynomial). Hal ini disebabkan karena fungsi polinomial mempunyai karakter sbb: 1. dapat mendekati fungsi menerus dengan keseragaman jarak pendekatan yang lebih baik di daerah yang diperhitungkan, 2. persamaan turunan maupun integralnya mudah dirumuskan dan hasilnya juga berupa persamaan polinomial. Bentuk rumusan polinomial aljabar adalah sbb: n
Pn ( x ) = a0 x 0 + a1 x1 + a2 x 2 ++ an x n = ∑ ai x i i=0
Variabel n adalah derajat polinomial sedangkan ai adalah koefisien dan xi adalah fungsi basis interpolasi dalam bentuk polinomial aljabar. Dapat dilihat bahwa fungsi interpolasi Pnmerupakan hasil penjumlahan dari fungsi basis interpolasi sebanyak derajat polinomial ditambah satu. Secara umum fungsi interpolasi dapat ditulis sbb: n
Pn ( x ) = ∑ ai N i ( x ) i=0
dengan Ni(x) adalah fungsi basis interpolasi yang jika dipilih fungsi polinomial aljabar Ni(x) = xi. Fungsi basis interpolasi dapat dipilin dari fungsi yang lain seperti yang akan dijelaskan pada bagian selanjutnya. Interpolasi Polinomial Aljabar Seperti yang telah dijelaskan di atas, interpolasi mensyaratkan fungsi pendekat yaitu fungsi interpolasi melalui titik-‐titik yang diketahui. Oleh karena itu berapa banyak titik tersebut diperhitungkan terkait dengan pemilihan derajat fungsi interpolasinya. Interpolasi Linier Untuk polinomial aljabar, jika kita memiliki dua titik yang diketahui, maka derajat polinomial yang dapat digunakan adalah dua dikurangi satu. Jadi dengan hanya dua titik polinomial interpolasi akan berupa persamaan garis sbb:
Jumlah titik 2, maka n =1, polinomial derajat 1 atau garis lurus
Gambar 3. Interpolasi linier. Langkah hitungan, jika diketahui nilai fungsi y pada x sbb: No Titik 1 2
x 1 5
y 1.2 4.2
Dicari nilai y pada x = 3.0 Langkah pertama adalah menentukan persamaan polinomial aljabar dengan n =1 yaitu: y = a0x0 + a1x1 atau y = a0 + a1x. Langkah kedua adalah menghitung koefisien polinomial dengan menggunakan syarat bahwa polinomial melalui titik-‐titik yang diketahui. Dengan syarat ini dapat ditulis dua persamaan. y = a0 + a1xmelalui titik 1, maka diperoleh persamaan 1.2 = a0 + a1 1 y = a0 + a1xmelalui titik 2, maka diperoleh persamaan 4.2 = a0 + a1 5 dengan substitusi a0 pada persamaan melalui titik 2 dengan a0 pada persamaan melalui titik 1, diperoleh 4.2 = (1.2 – a1) + a1 5 atau a1 = 0.75
selanjutnya dengan salah satu persamaan garis melalui titik tersebut di atas dapat dihitung a0 sbb: 1.2 = a0 + 0.75, maka a0 = 0.45 Langkah ketiga adalah menghitung y pada x = 3.0 dengan persaman interpolasi yang telah diperoleh yaitu y = 0.45 + 0.75 x atau y = 2.7 Interpolasi Kuadratik Untuk interpolasi dengan polinomial aljabar derajad 2 atau n = 2 diperlukan 3 titik diketahui. Langkah-‐langkah hitungan sama dengan pada interpolasi linier sbb: Diketahui titik ketiga x = 8, y = 3.4 1. Bentuk persamaan interpolasi y = a0x0 + a1x1 + a2x2 atau y = a0+ a1x + a2x2 2. Persamaan garis melalui titik-‐titik 1, 2 dan 3 ! $ 1.2 = a0+ a11+ a212 1 1 1 # a0 & ! 1.2 $ # & 1 5 25 # a1 & = # 4.2 & 4.2 = a0+ a15+ a252 1 8 64 ## a2 && #" 3.4 &% 3.4 = a0+ a18+ a282 " % untuk mendapatkan nilai koefisien tersebut dapat dilakukan dengan metode penyelesaian himpunan atau set persamaan linier atau persamaan matriks dan vektor yang akan dijelaskan kemudian.
a0 = -‐0.276, a1 = 1.621, a2 = -‐0.145 3. x = 3.0, y = -‐0.276 + 1.621 x -‐0.145 x2, atau y = 3.281
Jumlah titik 3, maka n =2, polinomial derajat 2 atau kurva parabolik Interpolasi Polinomial Lagrange Interpolasi Polinomial Lagrange mempunyai kelebihan khusus dibanding polinomial lainnya. Salah satunya yaitu koefisien persamaan interpolasi yang dicari merupakan nilai fungsi pada titik-‐titik yang telah diketahui. Sehingga nilai koefisien tersebut telah tersedia. Oleh karena itu tidak diperlukan lagi hitungan penyelesaian persamaan matriks seperti pada penggunaan polinomial aljabar. Bentuk persamaan interpolasi Polinomial Lagrange adalah sbb:
n
n
Pn ( x ) = ∑ ai N i ( x ); N i ( x ) = Ln,i ( x ) = ∏ i=0
j=0 j≠i
x − xj xi − x j
Fungsi basis interpolasi dengan Polinomial Lagrange dapat dijelaskan sbb: ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ( x − xi−1 ) ⋅ ( x − xi+1 ) ( x − xn−1 ) ⋅ ( x − xn ) Ln,i ( x ) = ( xi − x0 ) ( xi − x1 ) ( xi − xi−1 ) ( xi − xi+1 ) ( xi − xn−1 ) ( xi − xn ) Sebagai contoh untuk n = 1 atau polinomial derajat 1, seperti pada polinomial aljabar jumlah titik adalah n + 1 atau 2, sehingga persamaan pada titik-‐titik 0 dan 1 adalah sbb: Titik 0 atau i= 0
L1,0 (x ) =
x − x1 x0 − x1
Titik 1 atau i = 1
L1,1 ( x ) =
x − x0 x1 − x0
Sedangkan untuk n = 2, persamaan Polinomial Lagrange pada titik-‐titik 0, 1 dan 2 adalah sbb: Titik 0 atau i= 0
L2,0 ( x ) =
( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x0 − x1 ) ( x0 − x2 )
Titik 1 atau i= 1
L2,1 ( x ) =
( x − x0 ) ( x − x2 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 )
Titik 2 atau i= 2
L2,2 ( x ) =
( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 )
Contoh hitungan: Untuk n = 1 x0 = 2 , y0 = 0.5, x1 = 3, y1 = 0.333, cari nilai interpolasi y di x = 2.3 Fungsi interpolasi Polinomial Lagrange titik-‐titik 0 dan 1 adalah sbb: Titik 0 atau i= 0
x −3 2−3
Untuk x = 2.3, maka L1,0(x) = 0.7
Titik 1 atau i = 1
L1, 0 (x ) =
L1,1 (x ) =
x−2 3−2
Untuk x = 2.3, maka L1,1(x) = 0.3
Nilai interpolasi y pada x = 2.3 dihitung dengan mengalikan koefisien yaitu nilai y yang diketahui di titik 0 dan 1 sbb:
y = (0.5) (0.7) + (0.333) (0.3) atau y = 0.435
