Domácí úlohy ke kolokviu z předmětu Panorama fyziky II Tomáš Krajča, 255676, Jaro 2008
Úloha 1: Jaká je vzdálenost sousedních atomů v hexagonální struktuře grafenové roviny? Kolik atomů je v jedné rovině na ploše 1 cm^2?
S 0 =1 cm
2
3⋅ 3 2 ⋅a 2 S0 N =2⋅ S C6 N ≈3.82⋅1015 atomů S C6 =
S C6 ... obsah šestiúhelníku se stranou ' a ' poměr se násobí dvěmi , protože jeden šestiúhelník má 6 atomů , ale každý atom je sdílen třemi šestiúhelníky Vzdálenost sousedních atomů v hexagonální grafenové rovině je 0.142 nm (dle http://www.learned.cz/files/prednasky/josef.humlicek_0407.pdf 6. strana nebo http://www.aldebaran.cz/bulletin/2004_25_uhl.html ). V jedné rovině na uvedené ploše je atomů.
3.82⋅10
15
Úloha 2: Odhadnout, kolik je v lidském těle o hmotnosti 80 kg atomů H, C, O, N, Ca. Vyjádřit relativně vůči počtu atomů H.
m=80kg M r H 2 =2⋅Ar H M r C =A r C M r O 2 =2⋅Ar O M r N 2 =2⋅Ar N M r Ca= A r Ca M m=M r⋅10−3 kg⋅mol −1 m M m= n N n= NA N A⋅m N= −3 −1 M r⋅10 ⋅kg⋅mol N H ≈2.39⋅1028 atomů 27 N C ≈4.01⋅10 atomů 27 N O≈1.51⋅10 atomů 27 N N ≈1.72⋅10 atomů N Ca≈1.20⋅1027 atomů N H ≈1 N H N C ≈0.17 N H N O ≈0.06 N H N N ≈0.07 N H N Ca ≈0.05 N H V lidském těle o hmotnosti 80kg je 2.39⋅10 28 atomů vodíku. Atomů uhlíku je 4.01⋅10 27 . Atomů kyslíku je 1.51⋅1027 . Atomů dusíku je 1.72⋅1027 . Atomů vápníku je 1.20⋅1027 .
Úloha 3: Z hmotnosti atomu C a mřížkových konstant spočítat hustotu grafitu (v g/cm3)
m= Ar⋅m u −10 h=3.35⋅10 m −10 a=1.42⋅10 m m = V Ar C ⋅mu 3 ⋅a 2⋅h 2 −3 −3 ≈2272.2 kg⋅m ≈2.27 g⋅cm =2⋅
3 ⋅a 2⋅h ... objem šestibokého hranolu
2 každý takový hranol obsahuje 12 atomů C , každý atom je ale sdílen 3 šestiúhelníky , dvěma hranoly , proto se celá rovnice násobí 2 Hustota grafitu nám vyšla
−3
2.27 g⋅cm
. Tabulková hodnota je
−3
2.26 g⋅cm
.
Uloha 4: Datovani pomoci izotopu C14. Nepresnost (zejmena kolem roku 1906) http://www.c14dating.com/int.html Nepřesnost datování kolem roku je 1906 je přibližně ±250 let. Dle různých zdrojů z internetu tohle velmi záleží na kvalitě vzorku, na zeměpisné poloze místa vzorku (výbuch atomové bomby), na metodách použitých v laboratořích a spoustě dalších faktorů. Tato metoda je používána pro určování stáří objektů v řádu 1000 let, pro určování stáří v řádu 100 let je tato metoda velmi nevhodná, proto by nepřesnost mohla být ještě větší. Nevhodná je proto, že poločas rozpadu izotopu C14 je přibližně 5700 let, při zkoumání vzorku 100 let starého bude málo zřetelné, které atomy už se rozpadly a které ještě ne. Navíc zkoumat vzorek 100 let starý s přesností ±250 let nemá smysl.
Úloha 5: Objem na jednu molekulu plynu s tlakem 1 bar, 10^-12 baru, 10^-19 baru při teplotách 0 a 100°C ?
N =1 p1=100 kPa −7 p2 =10 Pa p3=10−14 Pa T 1 =273.15 K T 2=373.15 K p⋅V =n⋅k⋅T n⋅k⋅T V= p N ⋅k⋅T NA V= p V 1≈6.26⋅10−50 m3 3
−50
m
−38
m
−38
m
V 2≈8.55⋅10 V 3≈6.26⋅10 V 4≈8.55⋅10
3 3
V 5≈6.26⋅10−31 m3 −31
V 6≈8.55⋅10
3
m
Objem na jednu molekulu plynu při teplotě 0°C a tlaku 1 při tlaku 10−12 bar je 6.26⋅10 −38 m 3 , při tlaku 10−19 Objem na jednu molekulu plynu při teplotě 100°C a tlaku při tlaku 10−12 bar je 8.55⋅10−38 m3 , při tlaku 10−19
bar je 6.26⋅10 −50 m 3 , bar je 6.26⋅10 −31 m3 . 1 bar je 8.55⋅10−50 m3 , bar je 8.55⋅10−31 m3 .
Úloha 6: Objem plynu za normalnich podminek ve kterém budeme pozorovat 1% fluktuace hustoty.
Úloha 7: Spočíst vnitřní energii jednoatomového ideálního plynu s tlakem 1000 atm. v objemu 1 l při teplotě 300 K.
p=1000 atm V =1 l T =300 K 3 3 U =n⋅ ⋅R⋅T = ⋅p⋅V 2 2 U =150 kJ Vnitřní energie uvedeného plynu je 150 kJ.
Úloha 8: Jakou práci je třeba vznaložit k přesunu 100 elektronů přes potenciální rozdíl 0.5V? Jaký výkon (watt) je potřebný pro provádění 10^7 takových přesunů s frekvencí 10GHz?
N 1=100 U =0.5V 7 N 2 =10 f =10GHz W =U⋅q W =U⋅N 1⋅e −18 W ≈8.01⋅10 J W' t P =N 2⋅W⋅f P≈0.8W P=
Je třeba vynaložit práci
−18
8.01⋅10
J . Potřebný výkon je 0.8 W.
Úloha 9: Jaká je frekvence, kruhová frekvence, doba kmitu, vlnová délka a energie fotonu maxima vyzařování absolutně cerného tělesa s teplotou 2,73K, 310K, 6 000K?
T 1 =2.73 K T 2=310 K T 3=6 000 K b max = T c f= E =h⋅f 1 T= f =2⋅⋅f 11 −1
−22
max1 =1.06 mm , f 1 =2.83⋅10 s , E 1 =1.88⋅10 −6
13 −1
−12
J , T 1=3.53⋅10
max2 =9.35⋅10 m , f 2=3.21⋅10 s , E 2 =2.13⋅10
−20
12
−1
s , 1=1.78⋅10 rad⋅s −14
J , T 2=3.12⋅10
14
s , 2=2.02⋅10 rad⋅s
−1
max3 =4.83⋅10−7 m , f 3=6.21⋅1014 s−1 , E 3 =4.11⋅10−19 J , T 3 =1.61⋅10−15 s , 3 =3.90⋅1015 rad⋅s−1 Frekvence, kruhová frekvence (úhlová rychlost), doba kmitu (perioda), vlnová délka, energie fotonu maxima vyzařovanání absolutně černého tělesa pro uvedené teploty jsou uvedeny výše.
Úloha 10: Jakou energii (v J a eV) má dopadající a rozptýlený foton v comptonově experimentu s λi = 0.71 Å (*10^-10 m) při pozorování rozptylu pod úhly 60.9° a 120°? Jaká je rychlost a kinetická energie rozptýleného elektronu?
i =7.1 nm 1=60.9° 2 =120° f −i =
h ⋅1−cos me⋅c
h ⋅1−cos i me⋅c c E =h⋅f =h⋅
f =
−17
J ≈174.8 eV
−17
J ≈174.7 eV
−17
J ≈174.8 eV
−17
J ≈174.7 eV
E i1≈2.7997⋅10
E f1≈2.7992⋅10 E i2 ≈2.7997⋅10
E f2 =2.7983⋅10 E k =E i − E f −21
E k1≈5⋅10
J ≈0.031 eV
−21
E k2≈14⋅10
J ≈0.087 eV
2
E =m⋅c E =E 0E k m0 m= v2 1− 2 c
2
m ⋅c v= c ⋅ 1− 0 E 0 E k 2
2
−1
v 1=104 828.5 ms
−1
v 2 =175 411.6 ms
Dopadající elektron má energii přibližně 174.8 eV, rozptýlený foton má energii přibližně 174.7 eV. Rychlost rozptýleného elektronu je v prvním případě 104 828.5 m/s, ve druhém případě 175 411.6 m/s. Kinetická energie rozptýleného elektronu je v prvním případě 0.031 eV, ve druhém případě 0.087 eV.
Úloha 11: Jaká musí být vzdálenost štěrbin v dvojštěrbinovém experimentu s elektrony o energii 10eV, aby odstup sousednich extrémů intenzity na stínítku vzdáleném 10cm byl 1mm?
E =10eV l=10 cm d m =1 mm E =h⋅f c = f l=k⋅ / pozorujeme maximum l 1=0⋅=0 m c⋅h l 2=1⋅== E po nakreslení obrázku a špetky trigonometrie odvodíme vztahy : l2 cos = x l2 = −arccos 2 x x d m 2 tg = l x d m l2 2 tg −arccos = 2 x l
−5
x=11.4 m=1.14⋅10 m Vzdálenost štěrbin musí být 11.4 μm.
Úloha 12: Jaké jsou De Broglieho vlnové délky elektronu, neutronu a částice α, pohybujících se rychlostí 10^3 ms^(-1)?
v=103 ms−1 =
h m⋅v
m=
m0
v2 c2 me=9.1⋅10−31 kg mn=1.67⋅10−27 kg m=2⋅me 2⋅mn =3.34⋅10−27 kg 1−
e≈7.3⋅10−7 m −10
m
−10
m
n ≈4.0⋅10 ≈2.0⋅10
DeBroglieho vlnová délka uvedeného elektronu je alpha částice je 2.0⋅10−10 m .
7.3⋅10−7 m , neutronu je
4.0⋅10−10 m ,
13. Jaká je kinetická energie, hybnost, deBroglieho vlnová délka molekuly C60 s rychlostí 200 m/s? Jaká je energie a hybnost fotonu s lambda = 2cm, 500nm, 0.1 nm?
v=200ms −1 1 =2 cm 2 =500nm 3 =0.1 nm m0=60⋅12⋅mu m ⋅v p= 0 2 v 1− 2 c p≈2.4⋅10−22 kg⋅ms−1
2
E k =m0⋅c ⋅ 1 −20
Ek ≈2.4⋅10
p2 2 2 −1 m0⋅c
J
h p ≈2.77⋅10−14 m =
h⋅c E1 ≈9.94⋅10−24 J
E=
E2 ≈3.98⋅10−19 J −15
E 3 ≈2.00⋅10
J
h p 1≈3.31⋅10−32 kg⋅ms−1 p=
p 2≈1.33⋅10−27 kg⋅ms −1 p 3≈6.63⋅10−24 kg⋅ms−1 Kinetická energie uvedené molekuly C60 je 2.4⋅10−20 J , hybnost je 2.4⋅10−22 kg⋅ms−1 , deBroglieho vlnová délka je 2.77⋅10−14 m . Energie fotonu s vlnovou délkou 2cm je 9.94⋅10−24 J , hybnost je 3.31⋅10−32 kg⋅ms−1 . Energie fotonu s vlnovou délkou 500nm je 3.98⋅10−19 J , hybnost je 1.33⋅10−27 kg⋅ms−1 . Energie fotonu s vlnovou délkou 0.1nm je 2.00⋅10−15 J , hybnost je 6.63⋅10−24 kg⋅ms −1 .
14. Jaká je pravděpodobnost průchodu bariérou výšky 1eV a tloušťky 2nm pro částici s efektivní hmotností (m*) = 0,1me a energií 0,5eV? 15. Kubická mřížková konstanta Si je 0.543 nm. Jaká je vzdálenost nejbližších sousedů? Jaký je počet atomů Si v objemu 50x50x20 nm^3? Jaká je střední vzdálenost mezi atomy dopantu při úrovni legování 10^21 atomů/cm^3? Jaký je jejich počet v objemu 50x50x20 nm^3?
b=0.543 nm 21 −3 k =10 atomů⋅cm 3 V =50⋅50⋅20 nm 8 V N= ⋅ 3 8 b N ≈312 299.0 atomů d=
N
⋅b N dopant d =3.392 nm N dopant =k⋅V N dopant =50 000 atomů dopantu Vzdálenost nejbližších sousedů je 0.543 nm. V uvedeném objemu je 312 299 atomů Si. Střední vzdálenost mezi atomy dopantu je 3.392 nm. V uvedeném objemu je 50 000 atomů dopantu.
Reference: elektronické encyklopedie – www.wikipedia.com, www.wikipedia.cz učebnice – Odmaturuj z fyziky – Didaktis 2004 tabulky – Matematické, fyzikální a chemické tabulky - Prometheus 1988
