VYSOKÁ ŠKOLA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ V PRAZE FAKULTA CHEMICKO-INŽENÝRSKÁ
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z FYZIKY II
Doc. Ing. Jaroslav Hofmann, CSc. RNDr. Dr. Petr Alexa
z
Lz = +2 Lz = +
z
L = 6
m =+2 m =+1 L
Lz = 0
Lz = −
m =0
Lz y
m = −1 x
L z = −2
m = −2
Ly
Lx
Úvod Sbírka příkladů z Fyziky II je určena posluchačům Vysoké školy chemicko-technologické v Praze jako studijní pomůcka k seminářům uvedeného předmětu. Předmět Fyzika II je zařazen do studijních plánů bakalářských programů jako povinně volitelný, příp. volitelný. Navazuje na povinný předmět Fyzika I, který rozšiřuje zejména v oblastech moderní fyziky – speciální teorie relativity, teorie elektromagnetického pole, úvod do kvantové mechaniky a úvod do jaderné a částicové fyziky. Sbírka obsahuje řešené i neřešené příklady. U všech neřešených příkladů jsou uvedeny výsledky. Zadání vybraných příkladů bylo upraveno nebo převzato z dostupné české i zahraniční literatury, která je citována na konci sbírky. Autoři děkují paní Pozníčkové za pomoc při formální úpravě textu a nakreslení obrázků a všem čtenářům za případné připomínky a náměty. Jaroslav Hofmann Petr Alexa Adresy autorů: Doc. Ing. Jaroslav Hofmann, CSc.
[email protected] RNDr. Dr. Petr Alexa
[email protected] Ústav fyziky a měřicí techniky VŠCHT Praha
2
Obsah 1. RELATIVNOST POHYBU, POHYB V NEINERCIÁLNÍCH SYSTÉMECH 1.1 Relativnost pohybu 1.2 Pohyb v neinerciálních vztažných systémech
4 4 4
2 SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
7
2.1 Kontrakce délek, dilatace času 2.2 Relativistická dynamika
7 7
3 ELEKTROMAGNETICKÉ POLE
9
3.1 Elektrostatické pole v dielektriku, energie elektrostatického pole 3.2 Energie magnetického pole, indukované elektrické a magnetické pole 3.3 Elektromagnetické vlnění
4 ÚVOD DO KVANTOVÉ FYZIKY
9 11 13
15
4.1 Elektrony a fotony 4.2 Vlnové vlastnosti částic, de Broglieova hypotéza 4.3 Úvod do kvantové teorie, vlnová funkce, operátory 4.4 Řešení Schrödingerovy rovnice v jednoduchých případech
15 16 18 20
5 KVANTOVÉ ŘEŠENÍ VODÍKOVÉHO ATOMU
25
5.1 Bohrův model vodíkového atomu 5.2 Kvantově mechanické řešení atomů vodíkového typu
6 JADERNÁ A ČÁSTICOVÁ FYZIKA
25 28
31
6.1 Základní vlastnosti atomových jader 6.2 Radioaktivita 6.3 Vazebná energie jader
31 32 33
3
1. Relativnost pohybu, pohyb v neinerciálních systémech 1.1 Relativnost pohybu 1.1 Po řece pluje motorový člun rychlostí v1 = 36 km h-1. Rychlost proudu řeky je v2 = 5 m s-1. Určete: a) Pod jakým úhlem α musí plout člun proti proudu, aby přistál na protější straně břehu. b) Za jak dlouho přepluje člun řeku širokou d = 2 km. [α = 60°; t = 230,9 s] 1.2
Plavec plave v řece vzhledem k vodě stálou rychlostí v1 = 1,5 m s-1. Rychlost proudu v řece je v2 = 3,5 m s-1. Určete: a) Jakou rychlostí v3 se plavec pohybuje vzhledem ke břehům řeky, jestliže plave po proudu. b) Jakou rychlostí v4 se plavec pohybuje vzhledem ke břehům řeky, jestliže plave proti proudu. [v3 = 5 m s-1 ; v4 = 2 m s-1]
1.3
Po vodorovné trati jede vlak konstantní rychlostí v1 = 15 m s-1. Kapky deště padají ve svislém směru rychlostí v2 = 8 m s-1. a) Jaká je rychlost v3 kapek vzhledem k oknům vlaku? b) Jaký úhel α svírají stopy dešťových kapek na okně vlaku se svislým směrem? [v3 = 17 m s-1 ; α = 62°]
1.2 Pohyb v neinerciálních vztažných systémech 1.4 Výtah o hmotnosti m = 2 t se pohybuje směrem vzhůru se zrychlením a = 2 m s-2. a) Určete velikost síly F1 (zdánlivou tíhu), kterou působí na podlahu člověk o hmotnosti m2 = 80 kg. b) Určete velikost síly F2 (zdánlivou tíhu), kterou působí na podlahu člověk o hmotnosti m2 = 80 kg, pohybuje-li se výtah se stejným zrychlením směrem dolů. [F1 = 944,8 N; F2 = 624,8 N] 1.5
Ke stropu vagonu je na niti zavěšena kulička o hmotnosti m. Vagon se pohybuje rovnoměrně zrychleně tak, že jeho rychlost se za dobu t = 3 s zvýší z hodnoty v1 = 6 km h-1 na hodnotu v2 = 18 km h-1. Kulička se odkloní od svislého směru o úhel α (viz obr. 1.1). a) Zapište pohybový zákon pro kuličku v inerciálním souřadnicovém systému S, který je spojen se zemí. b) Zapište pohybový zákon pro kuličku v neinerciálním souřadnicovém systému S ′ , který je spojen s podlahou vagonu. c) Určete úhel α. Řešení: a) Kulička se vzhledem k inerciálnímu systému S pohybuje se zrychlením a 0 . Na kuličku působí výslednice sil F R složená z tíhové síly FG a tahu lana T (viz obr. 1.1)
4
S´:
S:
y y´
T
T α
α m
α
a0
ma0
-m a0
x´
0´ 0
x
mg
a)
mg b)
c)
Obr.1.1 Pohyb v inerciálním a neinerciálním systému
Platí: FG + T = m a 0
Po rozepsání do x-ových a y-ových složek dostaneme T sin α = m a 0 − m g + T cos α = 0
b) Vzhledem k neinerciálnímu systému spojenému s vagonem je kulička v klidu. Pohybový zákon (podmínku rovnováhy) musí pozorovatel v neinerciálním systému zapsat s uvážením výslednice sil F R a zdánlivé setrvačné síly Fs = − m a0 . Platí: FG + T + Fs = 0
Po rozepsání do x-ových a y-ových složek dostaneme T sin α − m a0 = 0 − m g + T cos α = 0 c) Úhel α určíme podělením předchozích vztahů: a v −v tg α = 0 = 2 1 g gt odtud v −v 18 − 6 α = arctg 2 1 = arctg = 6,46° gt 9,81 ⋅ 3 ⋅ 3,6 1.6
Letadlo se pohybuje rychlostí v = 360 km h-1 a opisuje přitom kružnici o poloměru r = 200 m ve svislé rovině. Určete a) Jakou silou F1 působí pilot o hmotnosti m = 75 kg na sedadlo v nejvyšším bodě trajektorie? b) Jakou silou F2 působí pilot o hmotnosti m = 75 kg na sedadlo v nejnižším bodě trajektorie? Řešení: Úlohu vyřešíme v neinerciální vztažné soustavě spojené se sedadlem letadla. Pilot je vzhledem k sedadlu v klidu, podmínku rovnováhy sil působících na pilota zapíšeme s uvážením tíhové síly FG , kolmé reakce sedadla FN a zdánlivé setrvačné síly Fs , kte-
5
rá je silou odstředivou. V každém bodě trajektorie z pohledu neinerciální vztažné soustavy platí, že výslednice sil působících na pilota F R je dána: F R = FG + Fs + FN = 0 Silou FN = −( FG + FS ) působí sedadlo na pilota, podle zákona akce a reakce pilot působí na sedadlo silou F = FG + FS . Velikost F1 této síly v nejvyšším bodě trajektorie je rovna: v2 360 2 = 75 ⋅ (−9,81 + ) = 3 014 N F1 = −m g + m r 3,6 2 ⋅ 200 Velikost síly F2, kterou působí pilot na sedadlo v nejnižším bodě trajektorie, se vypočte: v2 360 2 F2 = m g + m = 75 ⋅ (9,81 + ) = 4 486 N r 3,6 2 ⋅ 200 1.7
Těleso o hmotnosti m = 100 kg leží na zemském rovníku. Rovníkový poloměr Země je přibližně RZ = 6 400 km, úhlová rychlost zemské rotace ω = 7,3 .10-5 rad s-1. Určete zdánlivou setrvačnou sílu Fs (odstředivou sílu), která působí na těleso. [Fs = 3,4 N]
1.8 Při výcviku kosmonautů se otáčela centrifuga s periodou T = 2 s. Tělo kosmonauta opisovalo přitom kružnici o poloměru r = 6 m. Vypočtěte přetížení a (určeného násobkem tíhového zrychlení g), kterému bylo vystaveno tělo kosmonauta. [a = 6 g] ω
1.9 Na 45° zeměpisné šířky dopadá kolmo na zemský povrch rychlostí v = 100 m s-1 těleso o hmotnosti m = 100 kg. Určete velikost zdánlivé odstředivé síly Fs a velikost Coriolisovy síly FC. Poloměr Země je přibližně RZ = 6 400 km, úhlová rychlost zemské rotace ω = 7,3 .10-5 rad s-1.
r ϕ
Rz
Řešení: Zeměpisná šířka je udána úhlem φ, který svírá normála k zemskému povrchu s rovinou rovníku (viz obr. 1.2). Velikost zdánlivé odstředivé síly Fs pro danou zeměpisnou šířku (φ = 45°) a odpovídající poloměr Obr.1.2 Určení zeměpisné šířky kružnice r je rovna: Fs = m ω 2 r = m ω 2 RZ cos ϕ = 100 ⋅ (7,3 ⋅ 10 −5 ) 2 ⋅ 6,4 ⋅ 10 6 ⋅ cos 45° = 2,4 N Coriolisova síla je dána vztahem FC = 2 m v × ω Velikost Coriolisovy síly FC = 2 m v ω sin (90° + ϕ ) = 2 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 7,3 ⋅ 10 −5
6
2 = 1,03 N 2
2 Speciální teorie relativity 2.1 Kontrakce délek, dilatace času 2.1
Určete rychlostní parametry β = v/c, pro které je Lorentzův faktor γ = 1,01 (10,0), (1000). [β = 0,14; 0,995; 0,9999998]
2.2
Střední doba života nehybných mionů byla naměřena jako ∆t0 = 2,2 µs. Střední doba života velmi rychlých mionů ve výtrysku kosmických paprsků pozorovaná ze Země byla naměřena jako ∆t =16 µs. Určete rychlost v těchto kosmických mionů vzhledem k Zemi. [v = 2,97 . 108 m s-1]
2.3
Nestabilní vysokoenergetická částice vstupuje do detektoru a proběhne úsek L = 1,05 mm, než se rozpadne. Její rychlost vzhledem k detektoru je v = 0,992c. Jaká je její doba života t, tj. jak dlouho by částice setrvala v detektoru do rozpadu, kdyby v něm byla v klidu? [t = 4,45 . 10-13 s]
2.4
Elektron s rychlostním parametrem β = 0,999987 se pohybuje podél osy vakuové trubice, která má délku L0 =3,00 m, jak ji měří v laboratoři pozorovatel S, který je vzhledem k trubici v klidu. Pozorovatel S ′ , který je v klidu vzhledem k elektronu, však zjišťuje, že trubice se pohybuje rychlostí v = βc. Jakou délku L trubice pozorovatel S ′ naměří? [L = 0,015 m]
2.2 Relativistická dynamika 2.5 Určete rychlostní parametr β = v/c a Lorentzův faktor γ pro elektron, jehož kinetická energie je a) Ek = 1,00 keV b) Ek = 1,00 GeV [a) β = 0,0625 γ = 1,002 b) β = 0,9999998 γ = 1958] 2.6
Určete rychlost v elektronu, jehož kinetická energie je Ek = 100 MeV. [v = 2,99996 . 108 m s-1]
2.7 Částice má rychlost v = 0,990c v laboratorní vztažné soustavě. Určete její kinetickou energii Ek, celkovou energii E a hybnost p. Uvažujte, že částicí je a) proton b) elektron
Řešení pro proton: Kinetická energie protonu je podle relativistického vztahu je dána rozdílem celkové energie E a klidové energie E0 E k = E − E0 = m0 c 2 (γ − 1)
γ =
1 1−
7
v2 c2
E k = 1,67 ⋅ 10 −27 ⋅ (3 ⋅ 10 8 ) 2 ⋅ (
1
− 1) = 5,72 GeV 1 − 0,990 2 Celková energie protonu je potom 1,67 ⋅ 10 −27 ⋅ (3 ⋅ 10 8 ) 2 2 E = m0 c + E k = ( + 5,72 ⋅ 10 9 ) eV = (0,94 + 5,72) GeV = 6,66 GeV −19 1,6 ⋅ 10
Hybnost protonu určíme ze vztahu E 2 = ( p c ) 2 + ( m0 c 2 ) 2
p=
E 2 − ( m0 c 2 ) 2 c
=
6,66 2 − 0,94 2 GeV/c = 6,59 GeV / c c
[b) pro elektron Ek = 3,11 MeV;
E = 3,62 MeV;
p = 3,59 MeV/c]
2.8 Jaká práce W se musí vykonat, aby se rychlost elektronu zvýšila o 0,01c a) z 0,18c na 0,19c b) z 0,98c na 0,99c [a) W = 1,0 keV = 1,6 . 10-16 J b) W = 1,05 MeV = 1,7 . 10-13 J] 2.9 Průměrná doba života mionů v klidu je t0 = 2,2 µs. Laboratorní měření mionů pohybujících se ve svazku vystupujícím z urychlovače poskytují průměrnou dobu života mionů t= 6,9 µs. Hmotnost mionu je 207 krát větší než hmotnost elektronu. Určete a) rychlost v mionu vzhledem k laboratoři b) kinetickou energii Ek c) hybnost p [v = 2,84 . 108 m s-1; Ek = 226 MeV = 3,62 . 10-11 J; p = 315 MeV/c = 1,68 . 10-19 kg m s-1] 2.10 Určete kinetickou energii Ek protonu vyjádřenou v MeV, kterou získá proton v cyklotronu, jestliže odpovídající poměrné zvýšení hmotnosti protonu je 5 %. [Ek = 47 MeV] 2.11 Určete energii W v MeV, která je ekvivalentní klidové hmotnosti elektronu. [W = 0,51 MeV] 2.12 Jakou rychlostí v se musí pohybovat částice, aby její kinetická energie Ek byla ekvivalentní klidové hmotnosti m0 částice? 3 [v = c] 4
8
3 Elektromagnetické pole 3.1 Elektrostatické pole v dielektriku, energie elektrostatického pole 3.1 Vodivá koule o poloměru R = 10 cm nese neznámý náboj Q. Intenzita elektrostatického pole v dielektriku o relativní permitivitě εr = 2,0 ve vzdálenosti r = 15 cm od středu koule má velikost E = 3,0.103 N C-1 a směřuje do středu koule. Pomocí Gaussovy věty elektrostatiky určete náboj Q na povrchu koule. [Q = - 1,5 . 10-8 C] 3.2 Koaxiální elektrický kabel se skládá z vnitřního vodiče o poloměru r1 = 1,3 cm a souosé válcové vodivé plochy o poloměru r2 = 3,0 cm. Prostor mezi vodiči je vyplněn dielektrikem o relativní permitivitě εr = 3,2. Souosé válcové vodiče jsou nabity nábojem Q opačné polarity a napětí mezi nimi je U = 500 V (Obr. 3.1). Q a) Určete hodnotu náboje vztaženou na jed-
r
r2
r1
notku délky kabelu. b) Vypočtěte kapacitu
C
Obr. 3.1 Koaxiální kabel
vztaženou na jednot-
ku délky kabelu.
Řešení: Pro výpočet intenzity elektrostatického pole v prostoru mezi elektrodami použijeme Gaussovu větu. Zvolíme Gaussovu plochu ve tvaru souosé válcové plochy o poloměru r. Siločáry uvažovaného elektrostatického pole vystupují kolmo z povrchu vnitřního vodiče a protínají pouze plášť Gaussovy plochy, tok vektoru intenzity pole oběma podstavami válce je proto nulový ( E ⊥ d S , E ⋅ d S = 0) . Výsledný tok vektoru E uzavřenou válcovou plochou je dán tokem vektoru E pláštěm válce o plošném obsahu 2 π r , platí tedy
∫ E ⋅ d S = ∫ E ⋅ d S = ∫ E d S cos 0° = E 2π r S
=
plášť
Q
ε 0ε r
Odtud velikost intenzity ve vzdálenosti r je rovna
E=
Q 2π ε 0ε r r
Napětí U mezi válcovými elektrodami vypočteme integrací r2
U = ∫ E ⋅ dr = r1
Q 2π ε 0 ε r
r2
dr Q = r 2π ε 0 ε r r1
∫
Odtud
9
ln
r2 r1
Q
=U
2π ε 0 ε r ln
r2 r1
2 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 3,2 = 500 = 106 nC/m 3,0 ln 1,3
Kapacita válcového kondenzátoru vztažená na jednotku délky kabelu Q C
3.3
=
U
=
2π ε 0 ε r = 213 pF/m r2 ln r1
Dvě velké rovnoběžné kovové desky o plošném obsahu S = 1,0 m2 jsou v dielektriku o relativní permitivitě εr = 3,0 od sebe vzdáleny d = 5,0 cm a jsou nabity stejně velkým nábojem opačného znaménka. a) Určete absolutní hodnotu náboje Q na deskách, je-li mezi deskami homogenní pole o intenzitě E = 55 N C-1. b) Určete napětí U mezi deskami. [a) Q = 1,5 . 10-9 C b) U = 2,8 V]
3.4 Prostor mezi deskami rovinného kondenzátoru je vyplněn dielektrikem o relativní permitivitě εr = 3. Velikost intenzity elektrického pole v dielektriku je E = 1 kV mm-1. Určete: a) Velikost elektrické indukce D v dielektriku. b) Plošnou hustotu σ volného náboje na deskách kondenzátoru. c) Velikost vektoru polarizace P dielektrika. d) Plošnou hustotu σp vázaného náboje na povrchu dielektrika. e) Velikost intenzity elektrického pole E0 příslušnou volnému náboji na deskách. [D = σ = 26,6 µC m-2; P = σp = 17,7 µC m-2; E0 = 3 MV m-1] 3.5
Deskový kondenzátor je tvořen opačně nabitými kovovými deskami o plošném obsahu S = 100 cm2, které +Q jsou ve vzdálenosti d = 2 mm. Mezi kovovými deskami je rovnoběžně zasunuta deska dielektrika tloušťky d2 = 1 mm o relativní permitivitě εr2 = 3 (obr. εr1 εr 2 3.2), okolním prostředím je vakuum o relativní permitivitě εr1 = 1. Napětí mezi kovovými deskami U = 1 kV. Určete: a) Velikost intenzity elektrického pole E1 ve vakuu a E2 v desce dielektrika. b) Velikost indukce D v prostoru mezi kovovými Obr.3.2 Složené dielektrikum deskami. c) Kapacitu C deskového kondenzátoru. Řešení: Napětí mezi deskami je dáno vztahem U = E1 d1 + E 2 d 2 Velikost vektoru elektrické indukce D se mezi deskami nemění, a proto platí
ε 0 ε r1 E 1 = ε 0 ε r 2 E 2
10
-Q
Z těchto dvou vztahů určíme příslušné intenzity 1000 U = = 750 V mm −1 E1 = 1 ε r1 d1 + d 2 1 + ⋅1 3 ε r2 1000 U = = 250 V mm −1 E2 = ε r2 3 d2 + d1 1 + ⋅ 1 1 ε r1 Velikost vektoru elektrické indukce D D = ε 0 ε r1 E1 = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 750 ⋅ 10 3 = 6,64 µC m-2 Kapacitu kondenzátoru C určíme ze vztahu Q D S 6,64 ⋅ 10 −6 ⋅ 100 ⋅ 10 −4 C= = = = 66,4 pF U U 1000 3.6 Určete obecně potenciální energii Ep soustavy bodových nábojů tvořených nábojem elektronu -e a kladným nábojem jádra atomu Ze, které jsou ve vzdálenosti r od sebe. Potenciální energii Ep této soustavy pro r→∞ uvažujte Ep = 0, Z je protonové číslo. [Ep = -k Ze2/r] 3.7 Podle kvarkového modelu je proton složen ze tří kvarků: ze dvou kvarků „up“, z nichž každý má elektrický náboj Qu = +2e/3, a z jednoho kvarku „down“ s nábojem Qd = -e/3. Předpokládejte, že všechny kvarky jsou stejně daleko od sebe ve vzdálenosti r = 1,32.10-15 m. Určete potenciální energii Ep soustavy tří kvarků za předpokladu, že pro r→∞ je nulová. [Ep = 0 J] 3.8 Určete objemovou hustotu we energie elektrického pole ve vakuu, je-li intenzita elektrického pole E = 150 V/m. [we = 1,0 . 10-7 J m-3]
3.2 Energie magnetického pole, indukované elektrické a magneticI ké pole 3.9 Solenoidem o délce l = 85,0 cm, průřezu S = 17,0 cm2 a počtu závitů Z = 950 protéká proud I = 6,60 A (obr. 3.3). Určete objemovou hustotu energie wm magnetického pole uvnitř solenoidu, je-li uvnitř solenoidu vakuum. [wm = 34,2 J m-3]
B
Obr.3.3 Solenoid
3.10 Kruhovou vodivou smyčkou o poloměru R = 50 mm protéká proud I = 100 A. Je-li okolním prostředím vakuum, určete: a) Magnetickou indukci B ve středu smyčky. b) Magnetický moment m vodivé smyčky. c) Objemovou hustotu energie wm magnetického pole ve středu smyčky. [a) B = 1,3 mT b) m = 0,79 A m2 c) wm = 0,63 J m-3]
11
dU na dt elektrodách při nabíjení vakuového deskového kondenzátoru o kapacitě C = 2,0 µF, aby vyvolala Maxwellův proud Ip = 1,5 A (obr. 3.4).
3.11 Určete, jaká musí být rychlost časové změny napětí
E
+
-
i
i i
p Řešení: Maxwellův (posuvný) proud Ip vzniká při nabíjení kondenzátoru jako důsledek časové změny toku vektoru elektrické in+ dukce D plochou S mezi elektrodami kondenzátoru. Velikost vektoru elektrické indukce D souvisí podle Gaussovy věty elektrostatiky s volným nábojem Q na deskách konden- Obr. 3.4 Maxwellův proud zátoru. Při nabíjení kondenzátoru se náboj Q s časem mění. Platí: d d dU I p = ∫∫ D ⋅ dS = Q = C dt S dt dt
1,5 dU I p = = = 7,5 ⋅ 10 5 V s −1 −6 dt C 2 ⋅ 10 di = 5,0 A s-1, který prochází cívkou, se při samoindukci indt dukuje do cívky napětí εi = 3,0 mV. Určete vlastní indukčnost L cívky. [L = 6,0 . 10-3 H]
3.12 Při časové změně proudu
3.13 Určete velikost intenzity E indukovaného elektrického pole ve vzdálenosti r = 5,2 cm od středu měděného prstence o poloměru R = 8,5 cm. Prstenec je umístěn v homogenním magnetickém poli kolmo na směr indukčních čar (obr. 3.5). MagdB = 0,13 T s −1 . netická indukce se mění s časem tak, že dt
x
Bx
x
E
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
E
Rx r
E x
x
x
x
x
x
E
Řešení: x x x Indukované elektrické pole vzniká v důsledku jevu elektromagnetické indukce. Použijeme proto Faradayův indukční d Obr. 3.5 Indukované elektriczákon ve tvaru ∫ E ⋅ d = − ∫∫ B ⋅ dS , ze kterého pro vzdáké pole dt S l lenost r od středu prstence plyne: dB E 2π r = π r 2 dt Odtud hledaná velikost intenzity elektrického pole E, pokud r < R r dB 0,052 E= = 0,13 = 3,4 mV m −1 2 dt 2 3.14 Podobným postupem, jako v předchozím příkladě 3.13, určete velikost intenzity E indukovaného elektrického pole ve vzdálenosti r = 12,5 cm od středu měděného prstence o poloměru R = 8,5 cm , je-li magnetické pole pouze uvnitř prstence, a platí údaje z předchozího příkladu 3.13. [E = 38 µV/m ]
12
3.3 Elektromagnetické vlnění dW = w v , kde w je objemová dS dt hustota energie a v rychlost šíření elektromagnetického vlnění.
3.15 Ověřte, že intenzita elektromagnetického vlnění I =
3.16 Určete intenzitu I postupné rovinné elektromagnetické vlny ve vakuu, jestliže amplituda magnetické indukce je Bm = 1,0.10-4 T. směr šíření
y
i
E
x B z Obr. 3.6 Rovinná elektromagnetická vlna
Řešení: V teorii elektromagnetického pole bývá zvykem charakterizovat energii přenesenou za jednotku času a vztaženou na jednotkovou plochu kolmou na směr šíření ve vakuu tzv. Poyntingovým vektorem S S=
1
µ0
E ×B
Směr Poyntingova vektoru je shodný se směrem šíření elektromagnetického vlnění (obr. E 3.6). Protože vektory E a B jsou na sebe kolmé, B = , je velikost Poyntingova vekc toru dána S=
1
µ0
EB=
1
µ0 c
E2
Předpokládáme-li, že velikost intenzity E elektrického pole a magnetické indukce B se mění harmonicky, Em a Bm jsou jejich amplitudy, E = Em cos (ω t − k x) a B = B m cos (ω t − k x) , je praktické pro lineárně polarizované záření určovat střední hodnotu Poyntingova vektoru za periodu T a intenzitu vlnění I definovat vztahem I=
1 T
T
∫ S dt = 0
T
T
1 1 1 1 E 2 dt = E m2 cos 2 (ω t − k x) d t = ∫ ∫ T 0 µ0 c T 0 µ0 c
3 ⋅ 10 8 = E = B = (1,0 ⋅ 10 − 4 ) 2 = 1,2 MW m − 2 −7 2 µ0 c 2 µ0 2 ⋅ 4π ⋅ 10 1
2 m
c
2 m
13
T
kde
1 1 cos 2 (ω t − k x) d t = ∫ T 0 2 Em =c Bm
3.17 Amplituda intenzity elektrického pole rovinné rádiové vlny ve vakuu je Em = 5,0 V/m. Určete odpovídající amplitudu magnetické indukce Bm a intenzitu vlnění I. [Bm = 1,7 . 10-8 T I= 33 mW m-2] 3.18 Dopadá-li světelný paprsek na rovinné rozhraní dvou prostředí, částečně se v prostředí o indexu lomu n1 odráží a částečně se láme do prostředí o indexu lomu n2. Jaký musí být úhel dopadu αB (tzv. Brewsterův úhel), aby odražený paprsek svíral s lomeným paprskem pravý úhel? Nakreslete obrázek s příslušnými paprsky. n [Obr. 3.7; α B = arctg 2 ] n1 3.19 Spočtěte, pod jakým úhlem αB má dopadnout světelný paprsek ve vodě na skleněnou desku, aby byl odražený paprsek úplně polarizován. Index lomu vody je nV = 1,33, index lomu skla nS = 1,5. [αB = 48°26´]
dopadající nepolarizovaný paprsek
odražený paprsek
αB αB
π/2
vzduch sklo
βB
n1 n2
lomený paprsek
Obr. 3.7 Polarizace světla odrazem
3.20 Pod jakým úhlem αB musí být Slunce nad obzorem, aby světlo odražené od klidné vodní hladiny bylo úplně polarizované? Index lomu vody je nV = 1,33. [αB = 36°56´] 3.21 Určete měrnou stáčivost [α] vodného roztoku glukozy o koncentraci k = 160 g l-1, jestliže se v kyvetě polarimetru o délce d = 0,2 m naplněné tímto roztokem naměří úhel stočení roviny polarizace α = 7,36°.
Řešení: Měrná stáčivost roztoku opticky aktivní látky je definována vztahem [α ] = α = 7,36 = 0,23 m 2 kg −1 d k 0,2 ⋅ 160 3.22 Určete úhel stočení α polarizační roviny světla způsobený roztokem glukozy o koncentraci k = 120 g l-1 v kyvetě o délce d = 0,4 m, je-li měrná stáčivost roztoku glukozy [α] = 0,23° m2 kg-1. [α = 11° 2´]
14
4 Úvod do kvantové fyziky 4.1 Elektrony a fotony 4.1 Zjistěte ve vakuu vlnovou délku λ a frekvenci υ, které odpovídají vlastnostem fotonu o energii E = 100 MeV. [λ = 1,24. 10-24 m υ = 2,42 . 1022 Hz] 4.2
Určete, kolik fotonů světla žluté barvy o vlnové délce λ = 600 nm má ve vakuu celkovou energii E = 1 J. [3.108]
4.3 Svazek paprsků rentgenového záření se při Comptonově jevu rozptyluje na volných elektronech pod úhlem ϑ = 45° vzhledem k původnímu směru šíření (obr. 4.1). Vlnová délka rozptýleného záření ve vakuu je λ´ = 2,2 . 10-12 m. Určete: a) Energii E fotonu rozptýleného rentgenového záření. b) Vlnovou délku λ dopadajícího rentgenového záření. c) Hybnost p fotonu dopadajícího rentgenového záření.
Řešení: Při Comptonově jevu dochází při interakci dopadajícího fotonu s volným elektronem ke změně vlnové délky rozptýleného fotonu (obr. 4.1). y
y
p'
e-
p
ϑ x
λ
λ´
x
ϕ
a)
e-
b) pe
v
Obr. 4.1 Interakce fotonu s volným elektronem při Comptonově jevu
Ze zákonů zachování energie a hybnosti pro dokonale pružnou srážku fotonu a volného elektronu o hmotnosti me lze pro úhel rozptylu fotonu ϑ odvodit vztah pro změnu vlnové délky ∆λ h (1 − cos ϑ ) ∆ λ = λ′ − λ = me c a) Energie fotonu rozptýleného záření je dána ve vakuu vztahem
15
h c 6,63 ⋅ 10 −34 ⋅ 3 ⋅ 10 8 = 9,04 ⋅ 10 −14 J E= = − 12 λ′ 2,2 ⋅ 10
b) Vlnová délka dopadajícího záření λ h 6,63 ⋅ 10 −34 −12 (1 − cosϑ ) = 2,2 ⋅ 10 − λ = λ′ − (1 − cos 45 ) = 1,49 ⋅ 10 −12 m −31 8 me c 9,1 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10 c) Hybnost p dopadajícího fotonu h 6,63 ⋅ 10 −34 = 4,45 ⋅ 10 −22 J s m-1 p= = − 12 λ 1,49 ⋅ 10 4.4 Foton o frekvenci υ = 3.1019 Hz se při Comptonově jevu srazí s volným elektronem a rozptýlí se ve směru, odchýleném od původního směru o úhel ϑ = 90°. Určete frekvenci υ´ rozptýleného fotonu. [ν´ = 2,4.1019 Hz] 4.5 Maximální změna vlnové délky pozorovaná při rozptylu záření na protonech při Comptonově jevu je ∆λ = 2,6 . 10-6 nm. Určete hmotnost mp protonu. [mp = 1,7. 10-27 kg]
4.2 Vlnové vlastnosti částic, de Broglieova hypotéza 4.6 Určete de Broglieovu vlnovou délku tělesa o hmotnosti m = 1 kg, které má rychlost v = 1 m s-1. [ λ = 6,63.10-34 m] 4.7 Odvoďte vztahy pro de Broglieovu vlnovou délku λ v závislosti na hodnotě kinetické energie Ek částice. Diskutujte, zda je nutné použít relativistické vztahy.
Řešení: De Broglieova vlnová délka λ je pro částici o hybnosti p dána vztahem h λ= p Celková energie E částice je dána relativistickým vztahem jako součet klidové energie a kinetické energie E = m0 c 2 + E k
Mezi celkovou energií E a relativistickou hybností částice p platí E 2 = ( p c ) 2 + ( m0 c 2 ) 2 Odtud je relativistická hybnost p částice dána vztahem p=
E 2 − m02 c 4
c De Broglieova délka λ je potom
λ=
h = p
hc E 2 − m02 c 4
16
Dosazením za celkovou energii E dostaneme vztah hc hc = λ= 2 m0 c 2 E k2 + 2 m0 c 2 E k Ek 1 + Ek Pro relativně pomalé částice platí, že kinetická energie Ek je podstatně menší než klidová energie m0 c2, proto můžeme tento vztah zjednodušit na nerelativistický h λ= 2 m0 E k Pro relativně rychlé částice, u kterých je kinetická energie Ek podstatně větší než klidová energie m0 c2 (celková energie E je přibližně rovna Ek), můžeme naopak vztah pro de Broglieovu vlnovou délku λ zjednodušit na ultrarelativistický hc hc λ= = Ek E 4.8
Elektron je urychlen napětím U= 25 kV. Určete příslušnou de Broglieovu vlnovou délku λ pomocí nerelativistických vztahů. Řešení: Kinetická energie Ek elektronu o hmotnosti m pro malé rychlosti v je dána vztahem 1 p2 Ek = m v 2 = 2 2m De Broglieova vlnová délka λ je potom 6,63 ⋅ 10 −34 h h h = = λ= = = 7,75 pm p 2 m Ek 2 m eU 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 25 ⋅ 10 3
kde Ek = eU 4.9
Určete de Broglieovu vlnovou délku λ protonu s kinetickou energií Ek = 15 eV. Rozhodněte, zda je nutno použít relativistické vztahy, je-li hmotnost protonu mp = 1,67.10-27 kg. [není nutno použít relativistické vztahy; λ = 7,4.10-12 m]
4.10 Energie E fotonu je stejná jako kinetická energie Ek elektronu. Určete vlnovou délku fotonu λf a vlnovou délku elektronu λe pro případy a) E = 1,00 eV b) E = 1,00 GeV Ověřte, že případ a) lze řešit nerelativisticky, případ b) pomocí relativistických vztahů. [a) λf = 1240 nm, λe = 1,23 nm b) λf = 1,24.10-6 nm, λe = 1,24.10-6 nm] 4.11 Dosažitelná rozlišovací schopnost elektronového mikroskopu je dána vlnovou délkou urychlených elektronů. Určete potřebné urychlovací napětí U, aby elektronový mikroskop měl stejnou rozlišovací schopnost, jakou můžeme získat pomocí γ-záření o energii E = 100 keV. Řešení: Rozlišovací schopnost elektronového mikroskopu při urychlovacím napětí U je dána de Broglieovou vlnovou délkou λ urychleného elektronu o hmotnosti m
17
λ=
h = p
h
=
h
2 m Ek 2 m eU Vlnová délka γ-záření o energii E se určí ze vztahu hc λ= E Porovnáním obou vztahů dostaneme pro urychlovací napětí U (100.10 3 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ) 2 E2 = = 9,76 kV U= 2 m e c 2 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ (3.10 8 ) 2 4.12 Neurčitost polohy elektronu je ∆x = 50 pm. Pomocí Heisenbergova principu neurčitosti stanovte nejmenší neurčitost x-ové složky hybnosti elektronu ∆px dosažitelnou při současném měření polohy a hybnosti elektronu.
Řešení: Z Heisenbergovy relace neurčitosti ∆x ∆p x ≥
2 určíme minimální neurčitost x-ové složky hybnosti elektronu ∆px 6,63 ⋅ 10 −34 ∆p x = = = 1,06 ⋅ 10 − 24 kg m s −1 2 ∆x 4 π ⋅ 50 ⋅ 10 −12 4.13 Při současném stanovení polohy a hybnosti elektronu s kinetickou energií Ek = 1 keV byla neurčitost polohy elektronu ∆x = 0,1 nm. Určete odpovídající minimální relativní ∆p x nejistotu x-ové složky hybnosti elektronu. Počítejte pomocí nerelativistických p vztahů. ∆p [ x = 0,031] p
4.3 Úvod do kvantové teorie, vlnová funkce, operátory 4.14 Zdůvodněte, které z následujících funkcí ψ (x) mohou být vlnovými funkcemi stacionárních stavů částice na intervalu x ∈ (−∞, ∞). Poznámka: Zaměřte se na splnění podmínky pro konečnost funkce a spojitost její derivace na uvedeném intervalu. Spojitost derivace se vyžaduje při konečné změně potenciálu. ψ ( x) = x pro x ≥ 0 2 a) b)ψ ( x) = sin x c) ψ ( x) = e − x ψ ( x) = 0 pro x〈 0 [a) není konečná pro x → ∞ a nemá spojitou derivaci v x = 0 b) nemá spojitou derivaci v x = 0 c) ano, popisuje základní stav harmonického oscilátoru]
18
4.15 Vypočítejte kvadrát operátoru
d +x dx
Poznámka: Aplikujte dvakrát operátor d dψ dx + x ( dx + xψ ) [(
d + x na vlnovou funkci ψ (x) a vyjádřete dx
d d d2 + x) 2 = 2 + 2 x + x 2 + 1 ] dx dx dx
4.16 Operátor přiřazený x-ové složce hybnosti je v souřadnicové reprezentaci definován vý∂ razem p x = −i . Určete operátor p x2 . ∂x 2 ∂ [ p x2 = − 2 2 ] ∂x 4.17 Vektor momentu hybnosti částice vzhledem k počátku kartézského souřadnicového systému je definován vztahem L = r × p . Určete operátor Lz přiřazený z-ové složce vektoru momentu hybnosti. Poznámka: Vyjádřete z-ovou složku momentu hybnosti a použijte výraz pro operátor přiřazený x-ové a analogicky y-ové složce hybnosti. ∂ ∂ [ L z = xp y − yp x = −i ( x − y ) ] ∂y ∂x 4.18 Nalezněte vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru A = −
d2 , které splňují operátodx 2
rovou rovnici Aψ = aψ .
Poznámka: Řešte rovnici −
d 2ψ = aψ a diskutujte splnění podmínek pro vlnovou dx 2
funkci. [ψ = e ± i
ax
pro a ≥ 0 ]
∂ a x-ové souřadnice xˆ = x apli∂x xˆ ( pˆ x ψ ) − pˆ x ( xˆ ψ ) = i ψ kované na vlnovou funkci ψ splňují vztah Poznámka: Obecně platí, že pokud uvedený komutační vztah s operátory není nulový, nejsou příslušné veličiny, jimž jsou operátory přiřazeny, současně měřitelné s libovolnou přesností (Heisenbergův princip).
4.19 Ověřte, že operátory x-ové složky hybnosti pˆ x = −i
Řešení: xˆ ( pˆ x ψ ) − pˆ x ( xˆ ψ ) = −i x
∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ +i ψ +i x +i ( xψ ) = −i x =i ψ ∂x ∂x ∂x ∂x
19
4.4 Řešení Schrödingerovy rovnice v jednoduchých případech 4.20 Zjistěte nejmenší energii E1 elektronu v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce L = 10-14 m.
Řešení: Spektrum energií En částice o hmotnosti m v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L je dáno vztahem: En =
π2
2 2
n2
2m L Nejnižší energie pro kvantové číslo n = 1 π2 2 π 2 ⋅ (6,63 ⋅ 10 −34 ) 2 = = 6 ⋅ 10 −10 J = 3,75 GeV E1 = 2 2 −31 − 28 2mL 8 π ⋅ 9,1 ⋅ 10 ⋅ 10
4.21 Určete šířku L nekonečně hluboké potenciálové jámy, má-li elektron zachycený v jámě energii E3 = 4,7 eV ve stavu pro kvantové číslo n = 3. [ L= 850 pm] 4.22 Elektron v nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce L = 250 pm je v základním stavu. Jak velkou energii W musí absorbovat, aby se dostal do stavu s kvantovým číslem n = 4? [W = 1,45 . 10-17 J = 90,5 eV] 4.23 Elektron je v nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce L = 100 pm. Jeho celková energie v počátečním stavu odpovídá kvantovému číslu n1 = 3. Určete vlnovou délku λ ve vakuu, kterou musí mít foton, aby jeho pohlcením přešel elektron ze stavu n1 = 3 do stavu n2 = 6. [λ = 1,22 nm] 4.24 Částice je vázána v nekonečně hluboké jámě o šířce L a je v základním stavu (n =1). Určete obecným výrazem pravděpodobnost, že se částice nalézá mezi body o souřadnicích a) x1 = 0 a x2 = L/3 b) x1 = L/3 a x2 = 2L/3
Řešení: Stav částice v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce L je pro kvantové číslo n popsán vlnovou funkcí nπ 2 n = 1, 2.... ψ n ( x) = sin ( x) L L Pravděpodobnost nalezení částice v základním stavu (n = 1) mezi body o souřadnicích x1 a x2 vypočteme ze vztahu x2
x2
2
x 2 π 2 2 2 π ∫ ψ 1 ( x) d x = ∫ L sin ( L x) dx = L ∫ sin ( L x) dx x1 x1 x1 2
20
a) 2π L/3 1 − cos ( x) x 2π 2 2 1 2 L P = ∫ sin ( x) dx = sin x = 0,196 dx = − L 0 L L ∫0 2 L 2 L π 0 2π 2L / 3 x) 2L / 3 2 L / 3 1 − cos ( x π 2π 2 2 1 2 L sin ( x) dx = sin x = 0,609 b) P = dx = − L L∫/ 3 L L L∫/ 3 π 2 L 2 L L/3 L/3
L/3
π
4.25 Ověřte pomocí normovací podmínky, že amplituda A vlnové funkce ψ1 (x) = A sin
π
x L popisující základní stav částice v jednorozměrné nekonečně hluboké jámě o šířce L je 2 rovna A = . L 4.26 Elektron je zachycen v dvojrozměrné pravoúhlé nekoψ4,1, ψ1,4 17 E0 nečně hluboké potenciálové jámě o hraně délky L = 800 pm. ψ3,2, ψ2,3 a) Určete energii E1,1 elektronu v základním stavu 13 E0 v elektronvoltech. b) Určete energii prvního excitovaného stavu a určete ψ3,1, ψ1,3 10 E0 násobek degenerace této energetické hladiny. ψ 2,2 c) Nakreslete schéma energetických hladin do 5. exci8 E0 tovaného stavu. ψ2,1, ψ1,2 d) Určete rozdíl ∆E energií druhého a třetího excitova5 E0 ného stavu. Řešení: Spektrum energií částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké dvojrozměrné potenciálové jámě o hraně L je dáno vztahem E nx , n y =
π2
2
(
ψ1,1
)
2 E0 energie
n x2 + n y2 nx, ny = 1, 2, …. Obr. 4.2 Energetické hladiny 2 m L2 Stav částice v této jámě je popsán vlnovou funkcí ny π 2 n π y ψ nx , n y ( x, y ) = sin x x sin nx, ny = 1, 2, …. L L L a) Energie elektronu v základním stavu (nx, ny = 1) π2 2 π 2 ⋅ (6,63 ⋅ 10 −34 ) 2 ( ) 1 1 2 2 E1,1 = + = E = = 1,89 ⋅ 10 −19 J = 1,18 eV 0 2 2 −31 −12 2 2m L 8 ⋅ π ⋅ 9,1 ⋅ 10 ⋅ (800 ⋅ 10 )
b) Energetická hladina prvního excitovaného stavu je 2x degenerovaná E 2,1 = E1,2 =
π2
2 2
(2 + 1) = 5 E 2
0
= 4,72 ⋅ 10 −19 J = 2,95 eV
2m L c) Schéma energetických hladin do 5. excitovaného stavu (17 E0) je na obr. 4.2 d) Rozdíl energií druhého a třetího excitovaného stavu ∆E = E3,1 − E 2, 2 = E 0 (10 − 8) = 2 E0 = 1,89 ⋅10 −19 J = 1,18 eV
21
4.27 Elektron je zachycen v třírozměrné pravoúhlé nekonečně hluboké potenciálové jámě o hraně délky L = 800 pm. a) Určete energii E1,1,1 elektronu v základním stavu v elektronvoltech. b) Určete energii druhého excitovaného stavu E2,2,1 a určete násobek degenerace této energetické hladiny. c) Nakreslete schéma energetických hladin do 3. excitovaného stavu. d) Určete rozdíl energií ∆E prvního excitovaného stavu a základního stavu. [a) E1,1,1 = 1,76 eV b) E2,2,1 = 5,29 eV; 3x degenerovaná c) Obr. 4.3 d) ∆E = 1,76 eV]
ψ3,1,1, ψ1,3,1, ψ1,3,3 ψ2,2,1, ψ1,2,2, ψ2,1,2 ψ2,1,1, ψ1,2,1, ψ1,1,2
ψ1,1,1
11 E0 9 E0 6 E0
3 E0
Obr. 4.3 Energetické hladiny
4.28 Kvark o klidové energii E0 = 1500 MeV je uzavřen v třírozměrné pravoúhlé nekonečně hluboké potenciálové jámě o hraně L = 10-15 m. a) Určete jeho klidovou hmotnost m0. b) Určete excitační energii Ee ze základního do prvního excitovaného stavu v MeV. [a) m0 = 1500 MeV/c2 = 2,67 . 10-27 kg b) Ee = 383 MeV] 4.29 Kvantové řešení lineárního har- energie 7 monického oscilátoru: E3 = 2 h υ n=3 a) Zapište Schrödingerovu rovnici (SCHR) pro lineární har5 E2 = 2 h υ n=2 monický oscilátor s uvážením potenciální energie oscilátoru 3 n=1 E1 = 2 h υ 1 2 ∆E = h υ E p = k x , kde k je silová hυ 2 E0 = 2 n=0 konstanta. b) Pro základní stav oscilátoru předpokládejte řešení SCHR 2 Obr. 4.4 Energetické hladiny oscilátoru ve tvaru ψ ( x) = Ae − β x , dosazením do SCHR určete β a energii E0 oscilátoru v základním stavu. c) Zakreslete hladiny energií En oscilátoru pro kvantová čísla n = 0,1,2,3, platí-li 1 E n = (n + ) hν , kde ν je frekvence oscilátoru. 2 d) Určete rozdíl energií ∆E oscilátoru mezi dvěma sousedními hladinami.
Řešení:
a) −
d 2ψ 1 2 + k x ψ = Eψ 2m d x2 2 2
2 1 mk 1 E = β= 0 2 m 2 2 c) ekvidistantní hladiny (obr. 4.4) d) ∆E = hν
b) β = ±
k 1 1 = ω 0 = hν m 2 2
4.30 Atomy binárních molekul vykonávají harmonické kmity, jež jsou ekvivalentní kmitům lineárního harmonického oscilátoru o hmotnosti rovné tzv. redukované hmotnosti molekuly. Ve vibračním spektru molekuly HCl přisuzujeme spektrální čáru o frekvenci ν =
22
8,65 kHz přechodu mezi dvěma sousedními energetickými stavy harmonického oscilátoru. Spektrum energetických hladin oscilátoru o redukované hmotnosti µ je dáno vztahem 1 1 k n = 0,1,2,3…. E n = (n + ) hν = (n + ) µ 2 2 Určete silovou konstantu k. Poznámka: m H mC m H + mC
Redukovanou hmotnost molekuly µ =
určete z údajů mH =1,01u a
mC = 35 u , kde u = 1,66.10-27 kg. [ k = 4,8.10-18 N m-1] 4.31 Obecné řešení průchodu částice potenciálovou bariérou U0 < E (obr. 4.5): a) Zapište Schrödingerovu rovnici pro částici, která se pohybuje ve směru osy x a jejíž potenciální energie se mění skokem: Ep = 0 pro x < 0 a Ep = U0 pro x ≥ 0. b) Zapište stacionární řešení ψ(x) v obou oblastech osy x, přičemž uvažujte, že celková energie částice E > U0. c) S uvážením podmínky pro spojitost vlnové funkce a její první derivace určete amplitudy vlnových funkcí v obou oblastech osy x a diskutujte pravděpodobnost „odrazu“ částice od bariéry porovnáním s očekávaným výsledkem klasického řešení. λ1 = 2 π/k1 E λ2 = 2 π/k2
E-U0 = Ek
2
E= Ek
1
U0 x=0 oblast I
oblast II
Obr. 4.5 Průchod částice potenciálovou bariérou U0 <E
Řešení: d 2ψ 2m a) + 2 Eψ = 0 d x2 d 2ψ dx
b)
2
+
2m 2
pro x < 0
(E − U 0 ) ψ = 0
ψ I = A e i k1 x + B e −i k1 x ψ II = C e i k2 x + D e −i k2 x
pro x ≥ 0
k1 =
2m 2
2m
k2 =
2
23
pro x < 0
E
(E − U 0 )
pro x ≥ 0
A=
c)
k1 + k 2 C 2 k1
B=
k1 − k 2 C 2 k1
D = 0 (částice dopadá na
bariéru zleva) Pravděpodobnost, s jakou se částice „odrazí“ od bariéry, je dána poměrem čtverců amplitud 2
( k1 − k 2 ) 2 R= 2 = ( k1 + k 2 ) 2 A B
(klasické řešení: R = 0)
4.32 Obecné řešení průchodu částice potenciálovou bariérou U0 > E (obr. 4.6) : a) Zapište Schrödingerovu rovnici pro částici, která se pohybuje ve směru osy x a jejíž potenciální energie se mění skokem: Ep = 0 pro x < 0 a Ep =U0 pro x ≥ 0. b) Zapište stacionární řešení ψ(x) v obou oblastech osy x, přičemž uvažujte, že celková energie částice E < U0. c) S uvážením podmínky pro spojitost vlnové funkce, její první derivace a konečnosti vlnové funkce určete amplitudy vlnových funkcí v obou oblastech osy x a diskutujte průběh hustoty pravděpodobnosti výskytu částice v oblasti x ≥ 0.
e
-Kx
E
E - U0 = Ek < 0
U0 E = Ek x=0
Obr. 4.6 Průchod částice potenciálovou bariérou U0 > E
Řešení: a)
d 2ψ dx
2
d 2ψ d x2
b)
+ +
2m 2
2m 2
Eψ = 0
pro x < 0
(E − U 0 ) ψ = 0
pro x ≥ 0
ψ I = A ei k x + B e
−i k x
ψ II = C e K x + D e − K x c)
k = K=
2m 2
2m 2
E
pro x < 0
(U 0 − E )
pro x ≥ 0
C = 0 (funkce není konečná) Hustota pravděpodobnosti v oblasti x > 0 exponenciálně klesá s x 2
2
ψ II ( x) = D e − 2 K x
24
5. Kvantové řešení vodíkového atomu 5.1 Bohrův model vodíkového atomu 5.1 Pomocí postulátů Bohrova modelu atomu vodíku odvoďte vztah pro celkovou energii En elektronu na n-tém orbitu.
Řešení: Celkovou energii E elektronu o hmotnosti me a náboji -e, který se rychlostí v pohybuje po kružnicové trajektorii o poloměru r, vyjádříme jako součet kinetické a potenciální energie E = Ek + E p =
1 e2 me v 2 − 2 4π ε 0 r
Elektrostatická síla, kterou působí jádro atomu na elektron, je silou dostředivou a platí pohybový zákon pro rovnoměrný pohyb po kružnici e2
=
4π ε 0 r 2
me v 2 r
Tento vztah můžeme upravit e2
2
me v =
4π ε 0 r
a dosadit do vztahu pro celkovou energii E E=
e2 8π ε 0 r
−
e2 4π ε 0 r
=−
e2 8π ε 0 r
Dosadíme-li dále do předposledního vztahu za rychlost v výraz z Bohrova postulátu v =
n me r
n = 1, 2, ….
získáme vztah pro poloměry rn orbitů, po kterých se elektrony podle Bohrova modelu atomu vodíku pohybují E
rn =
4π 2 ε 0 2 n e 2 me
n = 1, 2, ….
Dosadíme-li nyní tento výsledek za poloměr r do vztahu pro celkovou energii n = 3 elektronu E, dostaneme tuto energii jako funkci hlavního kvantového čísla n. n = 2 En = − 5.2
e 4 me 32 π
2
2
ε
2 0
1 n = 1, 2, …. n2
13,6 E3 = - 9 eV 13,6 E2 = - 4 eV
n=1
Na základě vztahů odvozených v příkladu 5.1 vyjádřete celkovou
E1 = - 13,6 eV
Obr. 5.1 Hladiny energií
25
energii elektronu na n- té hladině v atomu vodíku v elektronvoltech a vypočtěte poloměr orbitu r1 = a0, který odpovídá kvantovému číslu n = 1. Zakreslete hladiny energií pro n = 1,2 a 3. 13,6 [En = − 2 eV ; r1 = a0 = 5,3.10-11 m; Obr. 5.1] n 5.3 Určete hodnotu Rydbergovy konstanty RH v Rydber1 1 1 gově vztahu = RH 2 − 2 . Pro výpočet vlnové λ m n délky λ diskutujte případ, kdy je při přechodu elektronů mezi dvěma orbity vyzářena energie odpovídající červené barvě spektrální čáry v Balmerově sérii.
Řešení: Balmerova série spektrálních čar je ve viditelné části spektra a vlnové délky této série odpovídají přechodům elektronů z vyšších hladin energií na hladinu energie odpovídající kvantovému číslu n = 2 (obr. 5.2). Červená barva spektrální čáry potom odpovídá nejmenšímu rozdílu těchto energií, tedy přechodu elektronu z hladiny pro m = 3 na hladinu pro n = 2. Příslušný rozdíl těchto hladin energií je 13,6 13,6 E3 − E 2 = − 2 − − 2 eV = 1,89 eV = 3,02 ⋅ 10 -19 J 3 2 E3 − E 2 = 1
λ
=
n=6 n=5 n=4 n=3
n=2 Balmerova
n=1 Obr. 5.2 Balmerova série spektra atomu vodíku
hc
λ
E3 − E 2 1 1 = R 2 − 2 hc 3 2
( E3 − E 2 ) 36 3,02 ⋅ 10 −19 36 ⋅ = ⋅ = 1,09 ⋅ 10 7 m −1 34 8 − 5 6,63 ⋅ 10 5 hc ⋅ 3 ⋅ 10 Určete celkovou energii E3 elektronu v atomu vodíku pro kvantové číslo n = 3 a ionizační práci W, tj. práci potřebnou k uvolnění elektronu z této hladiny. [E3 = -1,5 eV W = 1,5 eV] RH =
5.4
5.5 Elektron v atomu vodíku je na hladině s nejnižší energií (v základním stavu). Určete: a) Energii nejnižší hladiny E1. b) Práci W12 potřebnou k přesunu elektronu ze základního stavu na hladinu energie pro n = 2. c) Práci W13 potřebnou k přesunu elektronu ze základního stavu na hladinu energie pro n = 3. [a) E1 = -2,16.10-18 J b) W12 = 1,62.10-18 J c) W13 = 1,92.10-18 J] 5.6
Určete ve vakuu vlnovou délku λ v nm prvých tří spektrálních čar série: a) Lymanovy (n = 1) b) Balmerovy (n =2) c) Paschenovy (n = 3)
26
d) hrany těchto sérií (m→∞) [a) 121,5 102,5 b) 656,1 486,0 c) 1874,6 1281,4 d) 91,1 364,5 5.7
97,2 433,9 1093,5 820,1]
Vypočítejte vlnovou délku λ spektrální čáry ve vakuu, která odpovídá přechodu elektronu v atomu vodíku ze stavu s kvantovým číslem m = 4 do stavu s kvantovým číslem n = 2. [λ = 480 nm]
Odvoďte pomocí Bohrových postulátů vztah pro energii En n – té hladiny energetického spektra atomů vodíkového typu (mají jeden elektron a jádro s nábojem +Ze). Z 2 e 4 me 1 [ En = − n = 1,2, … ] 32 π 2 2 ε 02 n 2 5.9 Vypočítejte vlnovou délku λ spektrální čáry ve vakuu, která odpovídá přechodu elektronu v iontu Li2+ ze stavu s kvantovým číslem m = 4 do stavu s kvantovým číslem n = 2. [λ = 53,3 nm]
5.8
5.10 Určete tzv. orbitální gyromagnetický poměr, tj. koeficient úměrnosti mezi velikostmi orbitálního magnetického momentu m a orbitálního momentu hybnosti L elektronu, který se pohybuje po orbitu o poloměru r. Zapište vztah mezi oběma vektory.
Řešení: Elektrony obíhající po kružnicových trajektoriích kolem jádra představují malou proudovou smyčku. Elektron nese záporný náboj o velikosti e a vytváří tak elektrický proud I, který určíme jako náboj prošlý průřezem (na obr. 5.3 např. ploškou S) za jednotku času
L S r I
e e I= = T 2π r / v Vektor m orbitálního magnetického momentu elektronu, který je spojen s uvedenou proudovou smyčkou, je kolmý k rovině trajektorie (orbitu) a jeho orientace je daná znaménkovou konvencí pro směr proudu a pravidlem pravé ruky. Jeho velikost je
v
m Obr. 5.3 Elektron obíhající kolem jádra po orbitu
1 evr 2 Elektron o hmotnosti me pohybující se po kružnici je charakterizován vektorem momentu hybnosti L . Jeho hodnota vzhledem ke středu kružnice je určena vztahem L = r × me v m = I S = I π r2 =
Směr vektoru
L
, který určíme pravidlem pravé ruky, je opačný než směr vektoru m .
Velikost momentu hybnosti L L = me v r
27
Platí tedy m=−
e
2 me
L
Orbitální gyromagnetický poměr je dán vztahem
e 2 me
5.2 Kvantově mechanické řešení atomů vodíkového typu 5.11 Orbitální kvantové číslo elektronu v atomu vodíku je = 2 . Určete: a) Hlavní kvantová čísla n, pro která může být = 2. b) Velikost orbitálního momentu hybnosti L elektronu vzhledem k jádru. c) Průměty vektoru orbitálního momentu hybnosti Lz do směru magnetické indukce, která je orientovaná ve směru osy z. Nakreslete obrázek prostorového kvantování orbitálního momentu hybnosti. [a) n ≥ 3 b) L = 6 c) L z = m
m = 0, ± 1, ± 2
z
Lz = +2
L = 6
m =+2
Lz = +
m =+1 m =0
Lz = 0
Lz = −
m = −1
L z = −2
m = −2
Obr. 5.4]
5.12 Určete, jaký je maximální počet elektronů, které mají hlavní kvantové číslo n = 5.
Obr. 5.4 Prostorové kvantování orbitálního momentu hybnosti
Řešení: Stav elektronů v atomu vodíku je popsán čtveřicí kvantových čísel n, , m , m s : n = 1, 2, …; ms = ±
= 0, 1, …, n – 1;
m = – ,
–
+ 1, …, 0, …,
- 1,
;
1 2
Pro každé kvantové číslo existuje (2 + 1) různých čísel m . Celkový počet různých stavů pro dané n je tedy s uvažováním spinu n −1
Dn = 2 ∑ (2 + 1) = 2 [1 + 3 + ... + 2 (n − 1) + 1] =0
Tento výraz je aritmetická posloupnost o n členech. Její součet je dán vztahem a + an Sn = 1 n, 2 kde a1 a a n jsou první a n-tý člen. Dn = 2
1 + 2 (n − 1) + 1 ⋅ n = 2 n 2 = 50 2
28
5.13 Vypočtěte dva možné úhly α1 a α2 mezi spinovým momentem hybnosti S a kladnou poloosou z (obr. 5.5). z
Řešení: Velikost spinového momentu hybnosti elektronu (spi- S z = + 2 nu) je pro s =1/2 3 α1 S= s ( s + 1) = 4 α2 z-ová složka spinového momentu hybnosti elektronu (spinu) 1 Sz = ± 2 Sz = − 2 S z1 1 α1 = arccos = arccos = 54,7 S 3
S = 3/ 4 h
Obr. 5.5 Prostorové kvantování spinového momentu hybnosti
S 1 α 2 = arccos z 2 = arccos(− ) = 125,3 S 3
5.14 Nalezněte hodnoty kvantových čísel m , pro které vlnová funkce φ (ϕ ) je řešením rov-
d 2φ + m 2φ = 0 a splňuje standardní podmínky. 2 dϕ Poznámka: Uvedená rovnice je jednou ze tří diferenciálních rovnic, které se získají při řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku metodou separace proměnných. [ m = 0,±1,±2,… ] nice
5.15 S využitím následující tabulky vlnových funkcí atomu vodíku určete souřadnici r elek2
tronu, pro kterou dosahuje radiální hustota pravděpodobnosti R (r ) r 2 maximální hodnoty. Řešte pro stav a) 1s b) 2p Poznámka: 2
Pro uvedené stavy má radiální hustota pravděpodobnosti R (r ) r 2 v závislosti na r jedno maximum.
29
Tabulka: Vlnové funkce atomu vodíku v jednoelektronovém přiblížení v centrálním poli n
m
1
0
2
0
0
2
−
2 a 03
24 a 03
r a0
1
1
2 r
− 2 a0 e
r − 2 a0 e a0 r
1 24 a 03
[a) r = a0 = 5,3.10-11m
Φ (ϕ)
r
1
±1
Θ (ϑ)
r 1 − 2a 0
1
0
1
e
a 03
0
1
2
2
R (r)
1
2π
3 cos ϑ 2
1
b) r = 4 a0]
5.16 Pro základní stav elektronu v atomu vodíku ověřte, že platí: ∞
∫r
2
2
R(r ) dr = 1
0
Řešení: 2
Pro základní stav 1s je funkce R(r) = ∞
∫r
2
0
∞
2
R(r ) dr = ∫ r
2
0
∞
Integrál
∫r
2
e
−
2r a0
4 a03
−
e
2r a0
dr =
4 a03
a 03 ∞
∫r
2
e
−
−
e
r a0
2r a0
dr
0
dr vyřešíme metodou per partes
0
∞
∫r
2
−
e
2r a0
0
2r a 0 2 − a0 dr = − r e 2 ∞
−2r a 02 a0 = 0− re + 2 2 0 a 02
∞
∫r
2
∞
∫ 0
∞
2r ∞ − + a r e a0 dr = 0∫ 0 0 −
e
2r a0
a 03 dr = 4
2
R(r ) dr = 1
0
30
1
2
3 sin ϑ 4
r − 2 a0 e a0
2π
2π 1 2π
e ±i ϕ
5.17 S využitím tabulky vlnových funkcí zapište vztah pro hustotu pravděpodobnosti ψψ ∗ výskytu elektronu v atomu vodíku a) pro stav 1s b) pro stav 2s
1 [a) ψψ = 3 e − 2 r / a0 πa 0 ∗
r 1 − r / a0 1 − e b) ψψ = 3 8πa 0 2a 0 ∗
2
]
5.18 Zapište pravděpodobnost výskytu dP elektronu v atomu vodíku v objemovém elementu dV, který je vymezen intervaly sférických souřadnic (r+dr, r), (φ+dφ, φ) a (ϑ + dϑ , ϑ ) Diskutujte závislost pravděpodobnosti výskytu elektronu na sférických souřadnicích a řešte pro: a) základní stav 1s b) stav 2p1 1 − 2 r / a0 2 1 [a) dP = e r dr sin ϑ dϑ dφ b) dP = e − r / a0 r 4 dr sin 3 ϑ dϑ dφ ] 3 πa 0 64πa05
6. Jaderná a částicová fyzika 6.1 Základní vlastnosti atomových jader 6.1
Lord Rutherford bombardoval tenkou zlatou fólii α-částicemi s kinetickou energií Ek = 5,5 MeV. Na jakou nejmenší vzdálenost rmin se α-částice přiblížily k jádru zlata? Protonové číslo zlata Z = 79. Rozměr α-částice zanedbejte. Řešení: α-částice s nábojem Qα = 2e a jádro Au s nábojem QAu = 79e na sebe působí odpudivou elektrostatickou silou. Ze zákona zachování energie dostaneme 1 Qα Q Au 2 ⋅ 79 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 1 Qα Q Au rmin = ⋅ = = 41 fm Ek = E p = ⋅ 4πε 0 rmin Ek 4πε 0 4π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 5,5 ⋅ 10 6
6.2
Spočtěte, jakou minimální kinetickou energii Ek musí mít podle klasické fyziky (neuvažujte tunelový jev) α-částice, aby se přiblížila jádru 197Au na vzdálenost rovnou jeho poloměru. Přepokládejte, že pro poloměr R jader platí vztah: R = 1,2 A1/3 fm. [a) Ek = 33 MeV]
6.3
Typická neutronová hvězda má hmotnost m = 1,4 mSlunce a hustotu ρ stejnou jako je hustota atomových jader (ρ = 2,3 . 1017 kg m-3). Spočtěte poloměr R neutronové hvězdy. Hmotnost Slunce mSlunce = 1,99 . 1030 kg. [a) R = 14 km]
31
6.2 Radioaktivita 6.4 Radioaktivní izotop rtuti 197Hg se rozpadá β-rozpadem na izotop zlata 197Au s rozpadovou konstantou λ = 0,0108 h-1. Na počátku je celková hmotnost izotopů rtuti 197Hg ve vzorku m = 1,0 mg. Spočtěte: a) poločas rozpadu T1/2 izotopu rtuti 197Hg, b) počet N izotopů rtuti, které zůstanou ve vzorku po době t = 3 T1/2 , c) aktivitu A izotopů rtuti, které zůstanou ve vzorku po době t = 10,0 dní.
Řešení: a) Pro poločas rozpadu T1/2 platí: T1 / 2 = ln 2 / λ = 64,2 h b) Pro počet N0 izotopů 197Hg na počátku rozpadu platí: m 10 −6 N0 = = = 3,06 ⋅ 1018 , kde u je atomová hmotnostní jednotka. − 27 197u 197 ⋅ 1,66 ⋅ 10 N Z rozpadového zákona N = N 0 e − λt pak dostáváme: N = N 0 e −3 ln 2 = 0 = 3,8 ⋅ 1017 8 c) Aktivitu A spočteme ze vztahu: A = λ N = λ N 0 e − λt = 6,9 ⋅ 1011 Bq 6.5
Poločas α-rozpadu izotopu plutonia 239Pu T1/2 = 24100 let. Spočtěte hmotnost m izotopu helia 4He, které vznikne ze vzorku plutonia 239Pu o hmotnosti m0 = 12,0 g za dobu t = 20000 let. [m = 87,9 mg]
6.6
Radionuklid 32P s poločasem rozpadu T1/2 = 14,28 d se používá jako značený izotop pro sledování průběhu biochemických reakcí, kterých se účastní fosfor. Na počátku měření byla aktivita 32P A0 = 3500 Bq. Za jakou dobu t poklesne aktivita na hodnotu A = 170 Bq? [t = 62,3 d]
6.7
Vzorek KCl o hmotnosti m = 2,71 g je radioaktivní a rozpadá se s konstantní aktivitou A = 4 490 Bq. Ukazuje se, že se rozpadá izotop draslíku 40K, který tvoří 1,17 % normálního složení draslíku. Vypočtěte poločas rozpadu T1/2 draslíku 40K. Molární hmotnost draslíku je MK = 39,102 g mol-1, molární hmotnost chlóru MCl = 35,453 g mol-1. Řešení: Počet NK izotopů 40K ve vzorku určíme ze vztahu m 1,17 1,17 2,71 NK = NA = = 2,56 ⋅ 10 20 6,022 ⋅ 10 23 M K + M Cl 100 100 39,102 + 35,453 Pro rozpadovou konstantu λ platí A = λ NK λ = ln 2 / T1 / 2 Tedy T1 / 2
6.8
N K ln 2 2,56 ⋅ 10 20 ln 2 = = = 3,95 ⋅ 1016 s = 1,25 ⋅ 10 9 let A 4490
Měření vzorku horniny z Měsíce na hmotnostním spektrometru ukázala, že poměr počtu stabilních izotopů argonu 40Ar k počtu radioaktivních izotopů draslíku 40K v hornině je R = 10,3. Určete stáří t horniny za předpokladu, že všechny izotopy argonu 40Ar vznikly
32
radioaktivním rozpadem izotopu draslíku 40K, který má poločas rozpadu T1/2 = 1,25 . 109 let. Poznámka: Ze vztahů N K = N 0 e − λt a N Ar = N 0 (1 − e − λt ) pro počet izotopů 40K a 40Ar v čase t vyloučíme neznámý počáteční počet N0 izotopů 40K. [t = 4,37 . 109 let] 6.9
Vzorek dřevěného uhlí o hmotnosti m = 5,00 g z dávného ohniště má aktivitu izotopu uhlíku 14C A = 63,0 rozpadů za minutu. Vzorek živého stromu o hmotnosti m0 = 1,00 g má aktivitu izotopu uhlíku 14C A0 = 15,3 rozpadů za minutu. Určete stáří t vzorku dřevěného uhlí za předpokladu, že poločas rozpadu izotopu uhlíku 14C T1/2 = 5730 let. [t = 1605 let]
6.3 Vazebná energie jader 6.10 Spočtěte, kolik energie B je třeba k oddělení všech nukleonů z jádra izotopu 120Sn, a určete vazebnou energii na jeden nukleon B/A pro tento izotop. Hmotnost protonu je mp = 938,27 MeV/c2, hmotnost neutronu mn = 939,57 MeV/c2, hmotnost izotopu 120Sn m(120Sn) = 111662,86 MeV.
Řešení: Pro vazebnou energii B izotopu 120Sn platí: B = Z mpc2 + N mnc2 - m(120Sn) c2 = 50 ⋅ 938,27 + 70 ⋅ 939,57 − 111662,86 = 1020,54 MeV Vazebná energie na jeden nukleon je pak B/A = 8,5045 MeV 6.11 Izotop uranu 238U se rozpadá α-rozpadem: 238U → 234Th + 4He. a) Spočtěte energii Q uvolněnou při α-rozpadu 238U. b) Ukažte, že 238U se nemůže rozpadnout tak, aby emitoval proton (tj. nemůže probíhat rozpad: 238U → 237Pa + 1H). Hmotnost protonu je mp = 938,27 MeV/c2, hmotnost neutronu mn = 939,57 MeV/c2, vazebné energie B(238U) = 1801,69 MeV, B(234Th) = 1777,67 MeV, B(237Pa) = 1794,07 MeV, B(4He) = 28,30 MeV. [a) Q = 4,28 MeV
b) energie uvolněná při rozpadu je záporná]
33
Některé fyzikální konstanty Konstanta
Značka
Název jednotky
Hodnota
elementární náboj
e
coulomb
e = 1,602 ⋅ 10 −19 C
permitivita vakua
ε0
farad na metr
ε 0 = 8,854 ⋅ 10 −12 F m-1
permeabilita vakua
µ0
henry na metr
µ 0 = 4 π ⋅ 10 −7 H m-1
rychlost šíření elektromagnetického vlnění ve vakuu
c
metr za sekundu
c = 2,999 ⋅ 108 m s-1
Stefanova-Boltzmannova konstanta
σ
watt na čtverečný metr a kelvin na čtvrtou
σ = 5,670 ⋅ 10 −8 W m-2 K-4
Boltzmannova konstanta
k
joule na kelvin
k = 1,381 ⋅ 10 −23 J K-1
Planckova konstanta
h
joulesekunda
h = 6,626 ⋅ 10 −34 J s
Planckova konstanta
joulesekunda
=
h = 1,055 ⋅ 10 −34 J s 2π
Rydbergova konstanta
RH
reciproký metr
RH = 1,097 ⋅ 10 7 m-1
klidová hmotnost elektronu
me
kilogram
me = 9,110 ⋅ 10 −31 kg
klidová hmotnost protonu
mp
kilogram
mp = 1,673 ⋅ 10 −27 kg
klidová hmotnost neutronu
mn
kilogram
mn = 1,675 ⋅ 10 −27 kg
Atomová hmotnostní jednotka
u
kilogram
u = 1,661 ⋅ 10 −27 kg
Bohrův poloměr
a0
metr
a0 = 5,292 ⋅ 10 −11 m
Bohrův magneton
µB
joule na tesla
µ B = 9,274 ⋅ 10 −24 J T-1
Avogadrova konstanta
NA
reciproký mol
NA = 6,022 . 1023 mol-1
34
Seznam použité literatury 1. 2. 3. 4.
Hofmann J., Urbanová M.: Fyzika I. VŠCHT Praha, 2003 Urbanová M., Hofmann J.: Fyzika II. VŠCHT Praha, 2000 Hofmann J., Šobra K.: Sbírka příkladů z fyziky. VŠCHT Praha, 1998 Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika. VUT v Brně-Nakladatelství VUTIUM a PROMETHEUS Praha, 2000. 5. Skála L.: Úvod do kvantové mechaniky. ACADEMIA Praha, 2005 6. Formánek J.: Úvod do kvantové terorie.ACADEMIA Praha , 2004
35
