ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
KATEDRA FYZIKY
LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméno
Datum měření
16. 5. 2005
Stanislav Matoušek Stud. rok
Ročník
2004/2005
1.
Stud. skupina
Lab. skupina
158/405
Číslo úlohy
6
Datum odevzdání
30. 5. 2005 Klasifikace
1
Název úlohy
Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole
Úkol merania 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem 2. Proveďte korekci výsledné hodnoty doby kyvu pro reverzní kyvadlo τ 0 pomocí vztahu τ τφm / (1+1/4 sin2 φm/2) a porovnejte korigovanou hodnotu s hodnotou naměřenou 3. Vypracujte graf závislosti τ 0d a τ 0h na poloze čočky.
0
~
Obecná časť Tíhové zrychlení Tíhová síla je síla, jaká působí na hmotný bod v zemském tíhovém poli. Je složena z gravitační síly Fg mířící do středu Země a odstředivé síly Fod, která je kolmá na rotaci Země. Podle Newtonova gravitačního zákona platí
Fg = κ
m⋅ Mz r2
, kde r je vzdálenost od středu Země, Mz
je hmotnost Země a κ je gravitační konstanta. Odstředivá síla působící na těleso vlivem zemské rotace závisí na vzdálenosti tělesa od osy rotace. Pro velikost odstředivého zrychlení na pocrhu platí: Fod = m . aod aod = Rz . ωz2 .cos α kde ωz je úhlová rychlost otáčení Země, α je zeměpisná šířka. Reverzní kyvadlo Reverzní kyvadlo je zvláštním typem fyzického kyvadla. Skládá se z kovové tyče se dvěma osami O, O’ vytvořenými dvěma břity s ostřími proti sobě. Po tyči se může pohybovat těžká čočka. Na kyvadlo působí moment tíhové síly M = -mgd sin ϕ, kde m je hmotnost kyvadla, d je vzdálenost těžiště od osy otáčení a ϕ je okamžitá výchylka. Pro těleso otáčející se kolem pevné osy platí Jε = J
d 2ϕ = M , kde ε je úhlové zrychlení kyvadla a J dt 2
je moment setrvačnosti. Dostaneme pohybovou rovnici
d 2ϕ mgd + sin ϕ = 0 . J dt 2
Pro malé rozkyvy můžeme položit
kruhová frekvence kyvadla. Doba kyvu je pak rovna
Pro matematické kyvadlo platí
d 2ϕ + ω 2ϕ = 0 , kde ω je 2 dt
sin ϕ ≈ ϕ , čímž získáme rovnici
τ0 =π
τ0 =π
J . mgd
ml 2 l =π . mgl g
Délce l matematického kyvadla odpovídá u fyzikálního kyvadla výraz L =
J , kde L je redukovaná md
délka fyzického kyvadla. Je-li J0 moment setrvačnosti fyzického kyvadla jdoucí těžištěm, pak pro moment setrvačnosti J vzhledem k ose O podle Steinerovy věty platí J = J0 + md2 ⇒ L =
J0 +d. md
Pro redukovanou délku kyvadla L’ vzhledem k ose O’ platí J = J0 + m(L - d)2
L′ =
J0 J J = + (L − d ) ⇒ L′ = 0 m( L − d ) m ( L − d ) md
Z toho vyplývá, že L’ = L , a τ‘0 = τ. Potom vzdálenost os OO’ = L určuje redukovanou délku kyvadla, příslušnou době kyvu τ0, pro niž platí
τ0 =π
π 2L L . Změříme-li τ0 a L, můžeme vypočítat g = . g τ 20
Použité prístroje a pomôcky 1. 2. 3. 4.
(
)[m]
Reverzní kyvadlo L = 0,596 ± 0,001 Čítač kyvu se stopkami Závěs s optickým snímačem Svinovací měřítko
Postup meraní 1. Zapněte čítač se stopkami síťovým spínačem a druhý přepínač přepněte do polohy "START". 2. Zavěste kyvadlo v poloze s čočkou dole a nastavenou na co nejkratší vzdálenost od břitu. Nezapomeňte vždy lehce dotáhnout pojišťovací matku. Kyvadlo vychylte z rovnovážné polohy k levému dorazu, aniž by se ho však dotýkalo a pusťte jej. 3. Následné v libovolném okamžiku stiskněte tlačítko "NULOVÁNÍ". Čítač kyvů se vynuluje a od prvního průchodu rovnovážnou polohou začne měřit čas a počítat kyvy. Po každém stém kyvu zůstane na displeji času zobrazen čas stého kyvu asi 5 sekund. 4. Odečtěte čas 100τ0d. Kyvadlo zavěste v poloze s čočkou nahoře, opět ho vychylte k levému dorazu a odečtěte čas 100τ0h. 5. Zvětšete vzdálenost čočky od břitu o dvě otáčky čočky (stoupání závitu je 1 mm) a měření opakujte dle bodů 2., 3. a 4. Naměřené doby kyvu vyneste do grafu jako funkci polohy čočky reversního kyvadla. 6. V měření pokračujte dokud se křivky vyjadřující závislost τ0d a τ0h na poloze čočky neprotnou. 7. Nachází-li se čočka v poloze, která odpovídá průsečíku obou křivek, proveďte ještě jednou měření doby kyvu τ0 z 500 kyvů podle obou os. 8. Určete střední hodnotu z 500τ0d a 500τ0h a pro ní vypočítejte hodnotu tíhového zrychlení. 9. Odhadněte přesnost měření času a přesnost určení vzdálenosti břitů reversního kyvadla a z těchto hodnot vypočtěte přesnost měřícího zařízení jako celku. 10. Získané hodnoty porovnejte s tabulkovou hodnotou pro Prahu.
Namerané hodnoty a spracované výsledky č. merania 1 2 3 4 5 6
č. merania 7
Poloha čočky 100τ0d 100τ0h (dole) (hore) 77,22 76,58 77,29 76,68 77,32 77,04 77,37 77,14 77,45 77,39 77,48 77,52
Vzdialenosť břitů ∆L [mm] 1 2 3 4 5 5,5
Poloha čočky 500τ0d 500τ0h (dole) (hore) 387,22 387,36
Vzdialenosť břitů ∆L [mm] 5,5
Graf závislosti dôb kyvu na polohe čočky 77,6
Doba kyvu [s]
77,4 77,2 dole
77
hore
76,8 76,6 76,4 0
1
2
3
4
5
6
Vzdialenosť čočky [mm]
Výpočet tíhového zrýchlenia: Určenie strednej doby 500τ0d a 500τ0h:
500τ 0 d + 500τ 0 h 387,22 + 387,36 = = 387,29[s ] 2 2 387,29 τ0 = = 774,58 ⋅ 10 −3 [s ] 500 500τ 0 =
Výpočet hodnoty tíhového zrýchlenia g pre τ0:
g=
π 2 ⋅ L π 2 ⋅ 0,596 = = 9,804[m ⋅ s − 2 ] 0,77458 2 τ 02
Odchýlky súboru nameraných hodnôt od aritmetického priemeru :
387,22 = 0,77444[s ] 500 387,36 = = 0,77472[s ] 500
τ 0d = τ 0d
∆τ od = τ od − τ o = −1,4 ⋅ 10 −4 [s ] ∆τ oh = τ oh − τ o = 1,4 ⋅ 10 −4 [s ]
Pravdepodobná chyba
ϑ (τ 0 ) =
ϑ (τ 0 ) merania:
(
)
n 2 1 (∆τ 0i )2 = 2 1 ⋅ 2 1,96 ⋅ 10 −8 = 9,33.10 −5 [s ] ∑ 3 n(n − 1) i =1 3 2
Pravdepodobná chyba g potom je: 2 2 ⎞ ⎛ π 2ϑ (L ) ⎞ ⎛ 2π 2 L ⎛ 11,765 ⎛ 0,0099 ⎞ −5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ϑ (g ) = ⎜ − = ⎜− ⋅ 9,33 ⋅ 10 ⎟ + ⎜ ⋅ ϑ (τ 0 )⎟ + ⎜ ⎟ = 0,017 m ⋅ s − 2 3 2 ⎟ ⎝ 0,465 ⎠ ⎝ 0,6 ⎠ ⎠ ⎝ τ0 ⎠ ⎝ τ0 −2 Výsledná hodnota g teda je: g = (9,804 ± 0,017 ) m ⋅ s 2
2
[
[
]
]
Zhodnotenie výsledkov meraní
[
Vypočítaná hodnota tíhového zrýchlenia g = (9,804 ± 0,017 ) m ⋅ s
[
]
−2
] sa od tabuľkovej hodnoty pre
Prahu g P = 9,8104 m ⋅ s −2 líši len o 0,07%. Meranie bolo taktiež prevedené s vhodne zvolenou polohou čočky. Nepresnosti merania sú najskôr spôsobené digitálnymi stopkami v čítači kyvov (keby merali presne na zobrazovaný počet miest, potom by bola odchýlka merania času ϑ(t) = ± 0,01).
Kontrolné otázky 1. Ako závisí tíhové zrýchlenie na zemepisnej šírke? Tíhové zrýchlenie je najväčšie na póloch, kde nepôsobí odstredivá sila a zmenšuje sa smerom k rovníku. 2. Závisí tíhové zrýchlenie takisto na zemepisnej dĺžke? Nie, nezávisí. 3. Jedná sa v prípade fyzického kyvadla o pohyb presne harmonický? Nie, ale pre malé rozkyvy z rovnovážnej polohy uvažujeme sin ϕ ≈ ϕ (pre ϕ = 5° sa dopustíme chyby 0,05 %). 4. Pre akú zemepisnú šírku je tíhové zrýchlenie minimálne? Tíhové zrýchlenie je minimálne na rovníku. 5. Ako znie Steinerova veta? Moment zotrvačnosti telesa J k ľubovoľnej osi je rovný momentu zotrvačnosti hmotného bodu v ťažisku, ktorého hmotnosť m je rovná hmotnosti telesa, zväčšenému o moment zotrvačnosti J0 telesa vzhľadom k rovnobežnej osi prechádzajúcej ťažiskom. 6. Ako definujeme redukovanú dĺžku fyzického kyvadla? Redukovaná dĺžka fyzického kyvadla sa rovná dĺžke matematického kyvadla, ktoré má rovnakú dobu kyvu ako dané fyzické kyvadlo. 7. Aké sily, okrem gravitačnej, pôsobia na teleso v sústave spojenej so Zemou? Zotrvačná, Eulerova, Coriolisova a odstredivá sila.
Použitá literatúra M. Bednařík, P. Koníček, O. Jiříček: Fyzika I a II - Fyzikální praktikum, Vydavatelství ČVUT, 2003
