DIPLOMAMUNKA
Diszkrét csoportok és térformák homogén geometriákban
Farkas József Zoltán matematikus hallgató
Témavezető: Dr. Molnár Emil egyetemi tanár
BME Matematika Intézet Geometria Tanszék
BME 2002
Tartalomjegyzék 1. Síkcsoportok prezentálása
3
2. Homogén geometriák, izometriák 2.1. Homogén geometriák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Az S2 × R és H2 × R terek izometriái . . . . . . . . . . . . . . . g 2.3. Az SL 2 R tér és izometriacsoportja . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Fogalmak, definíciók, összefüggések
5 5 8 10 17
4. A tércsoportok osztályozása a szorzatterekben 21 4.1. Az S2 × R tércsoportjainak az osztályozása . . . . . . . . . . . . 21 4.2. A H2 × R tércsoportjainak osztályozásáról . . . . . . . . . . . . 27 5. Ekvivariancia, algebrai és geometriai izomorfizmus 30 5.1. A „hasonlósági” ekvivariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2. Ekvivariancia homeomorfizmussal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6. Összegzés
34
1
Diszkrét csoportok és térformák homogén geometriákban Farkas József Zoltán Kivonat A két, illetve három dimenziós euklideszi tér kristálycsoportjainak osztályozása, részben a gyakorlati alkalmazásoktól motiválva, lényegében a XIX. század végére megoldódott. A klasszikus - állandó görbületű - két dimenziós geometriákban a probléma teljes megoldására 1967-ig kellett várni [10]. Az utóbbi évtizedek egyik centrális matematikai eredménye a három dimenziós egyszeresen összefüggő tér homogén maximális Riemann geometriáinak Thurston-től származó osztályozása, e nyolcféle tér modellezése, leírása [11],[13],[14],[15]. A három állandó görbületű téren, vagyis az E3 euklideszi, S3 szférikus és H3 hiperbolikus téren kivül további öt nem ekvivariáns metrikus geometria létezik, amelyekben a tércsoportok osztályozása, az így felvetődő fogalmak tisztázása fontos és általánosan máig meg nem oldott kérdés. Ebben a dolgozatban elsősorban a H2 × R , az S2 × R [7], és a nem maximális, de a kristálygeometriában jelentőséggel bíró E2 × R szorzat^ terekkel, illetve az SL 2 R térrel foglalkozunk. A három szorzattérben egységesen értelmezhetők bizonyos fogalmak, úgy mint a pontcsoport, az R-irányú rács, ekvivariancia, azonban jelentős különbségek is fellépnek, melyeket részben az algebra és a geometria klasszikus kölcsönhatása motivál [3],[10]. Megadjuk az S2 × R tércsoportjainak teljes osztályozását. Vizsgáljuk az [5], ill. [7]-ban az S2 × R-beli tércsoportok osztályozására kifejleszett és használt módszer a H2 × R (E2 × R) térre való kiterjesztésének lehetőségeit és nehézségeit. ^ További újdonság az SL 2 R térben bevezetett új irányításváltó izome^ tria. Az így nyert bővített „teljes” izometriacsoport jelentősége az SL 2R tércsoportjainak, térformáinak egy lehetséges osztályozásában játszhat kulcsszerepet. A diplomamunka a [5],[6] diákköri dolgozataim és a [7] publikációm anyagának részeit is tartalmazza.
2
1.
Síkcsoportok prezentálása
A klasszikus euklideszi, hiperbolikus és szférikus síkgeometriák - E2 , H2 , S2 kristálycsoportjainak egységes osztályozását A.M. Macbeath 1967-69-es cikkeivel fejezte be [10]. Lényegében a már Poincaré által is ismert Fuchs csoportok ún. F-szignatúrájából és prezentálásából kiindulva, a hiperbolikus síkcsoportok teljes algebrai osztályozását adta meg. Az irányításváltó transzformációkat tartalmazó csoportokat is jellemző egységes szignatúrát és prezentálást vezetett be. A szignatúra: (±, g; [m1 , m2 , . . . , mr ]{(n11 , . . . , n1s1 ), . . . , (nk1 , . . . , nksk )})
(1.1)
a Π/Γ faktor-struktúrát, azaz a Π sík Γ-pályáinak halmazát, mint kompakt felületet jellemzi, ahol Π egy egyszeresen összefüggő állandó görbületű sík (a továbbiakban is Π : E2 , H2 , S2 ), Γ pedig a sík izometriáinak egy kompakt alaptartományú csoportja. A ± a felület irányíthatóságára, g a nemszámra utal, [ ]-ból a felület ún. szinguláris pontjainál fellépő forgáscsoportok, e pontok stabilizátor részcsoportjainak rendjei, { }-ból a peremkoponensek és az ezekben fellépő diédercentrumok rendjei olvashatók le. Ehhez kapcsolódva Macbeath bevezette a Γ csoportok egy standard alaptartományát és ehhez a Γ (általában redundáns) prezentálását a következő „geometriai generátorokkal” és relációkkal: (r1 , . . . , rr ; c10 , . . . , c1s1 ; . . . ; ck0 , . . . , cksk ; e1 , . . . , ek ; a1 , b1 , . . . , ag , bg ; − 2 2 nij ,...; − (1 =)r1m1 , . . . , rrmr ; . . . , cisi e−1 i ci0 ei , . . . ; . . . , ci,j−1 , ci,j , (ci,j−1 cij )
(i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , si ); −1 −1 r1 . . . rr e1 . . . ek a1 b1 a1−1 b−1 1 . . . ag b g a g b g )
(1.2)
irányítható esetben; illetve az ai , bi eltolás generátorok helyett az a1 , . . . , ag eltolástükrözésekkel generálva az utolsó reláció helyett az: (1 =)r1 . . . rr e1 . . . ek a21 . . . a2g relációval, ha a Π/Γ felület nem irányítható [10].
3
ag
a1
e1
k
+
m1
r1
ek rr
+
mr 1 1.ábra A Π/Γ nem-irányítható faktorfelület szimbolikus prezentálása. A középen ábrázolt kezdőpontból kiinduló élek mentén ollóval felvágva kapjuk az F Γ alaptartományt. Az élek hozzák létre az oldalpárokat, a peremkomponensek pedig a tüköroldalakat. Ez a prezentálás egy kompakt alaptartományhoz tartozik, melyet F¯Γ -val jelölünk. Ezen alappoligon bizonyos élpárjai homeomorfizmusokkal képződnek egymásra, így áll elő a Π/Γ =: F¯Γ felület (1.ábra). Az F¯Γ jelölésben a felülvonás az oldalpárosítással történő „lezárásra” utal. Az „esetleg görbe” oldalakat később a Π sík egybevágóságaival (izometriáival) rendeljük egymáshoz. Ezek az egybevágóságok generálják a Γ (diszkrét) izometriacsoportot, mely nem folytonosan (diszkréten) hat a Π síkon. Egy tetszőleges „egység-alaptartományt” kiválasztva és 1-gyel jelölve, a képek geometriailag szemléltetik a Γ csoport elemeit. A lehetséges alaptartományok kombinatorikus ekvivalencia erejéig történő osztályozásában [9], illetve a síkcsoportok Macbeath-féle szignatúrája alapján történő relizálásában fontos szerepet játszik az alaptartomány kombinatorikus (terület)mértékének képlete: T κ = π{
si k r X X X 1 2 (−1 + (−2 + − 2) + )) + 2χ} ( ml nij j=s i=1 l=1
(1.3)
1
mely az F¯Γ szögösszegének és a megfelelő euklideszi szögösszegnek a különbsége; ahol κ a realizáló sík Gauss-féle szorzatgörbülete, χ = 2 − αg a felület Euler karakterisztikája, ahol α = 1 nem irányítható esetben, α = 2 irányítható esetben. Az euklideszi esetben κ = 0, és a hasonlóság miatt a T terület bármekkora 4
lehet. 1.Táblázat Az S2 és E2 síkcsoportok Macbeath szignatúra (+, 0; [q, q]; {}) q ≥ 1 (+, 0; [ ]; {(q, q)}) q ≥ 2 (+, 0; [2, 2, q]; {}) q ≥ 2 (+, 0; [ ]; {(2, 2, q)}) q ≥ 2 (+, 0; [q]; {(1)}) q ≥ 1 (+, 0; [2]; {(q)}) q ≥ 2 (−, 1; [q]; {}) q ≥ 1 (+, 0; [2, 3, 3]; {}) (+, 0; [2, 3, 4]; {}) (+, 0; [2, 3, 5]; {}) (+, 0; [ ]; {(2, 3, 3)}) (+, 0; [ ]; {(2, 3, 4)}) (+, 0; [ ]; {(2, 3, 5)}) (+, 0; [3]; {(2)}) (+, 1, [ ], {}) (+, 0, [2, 2, 2, 2], {}) (+, 0, [ ], {(1)(1)}) (−, 2, [ ], {}) (−, 1, [ ], {(1)}) (+, 0, [ ], {(2, 2, 2, 2)}) (+, 0, [2, 2], {(1)}) (−, 1, [2, 2], {}) (+, 0, [2], {(2, 2)}) (+, 0, [2, 4, 4], {}) (+, 0, [ ], {(2, 4, 4)}) (+, 0, [4], {(2)}) (+, 0, [3, 3, 3], {}) (+, 0, [ ], {(3, 3, 3)}) (+, 0, [3], {(3)}) (+, 0, [2, 3, 6], {}) (+, 0, [ ], {(2, 3, 6)})
2. 2.1.
Schönfliess/Hermann Cq Cqv Dq Dqh Cqh Dqd S2q T O I Td Oh Ih Th p1 p2 pm pg cm pmm pmg pgg cmm p4 p4m p4g p3 p3m1 p31m p6 p6m
Coxeter [q]+ [q] [2,q]+ [2,q] [2,q + ] [2+ ,2q] [2+ ,2q+ ] [3,3]+ [3,4]+ [3,5]+ [3,3] [3,4] [3,5] [3+ ,4] [4, 4]+ [4, 4] [4+ , 4] △+ △ [3+ , 6] [3, 6]+ [3, 6]
Homogén geometriák, izometriák Homogén geometriák
A klasszikus állandó görbületü tereket két fontos tulajdonsággal jellemezhetjük: a tér bármely pontja leképezhető izometria segítségével a tér bármely másik 5
Conway q, q ∗q, q 2, 2, q ∗2, 2, q q∗ 2∗q q⊗ 2, 3, 3 2, 3, 4 2, 3, 5 ∗2, 3, 3 ∗2, 3, 4 ∗2, 3, 5 3∗2
2, 2, 2, 2 ∗∗ ⊗⊗ ∗⊗ ∗2, 2, 2, 2 2, 2∗ 2, 2⊗ 2 ∗ 2, 2 2, 4, 4 ∗2, 4, 4 4∗2 3, 3, 3 ∗3, 3, 3 3∗3 2, 3, 6 ∗2, 3, 6
pontjára,-ez a homogenitás, illetve a tér bármely pontjának érintőterében felvett ortonormált bázis „átvihető” a tér bármely másik pontjának érintőterében felvett ortonormált bázisába ez az izotrópia, szemléletesen: a tér bármely pontjából „bármerre nézve ugyanazt látjuk”, tehát nincsenek kitüntetett irányok. Illetve ha egy tér a fenti két tulajdonsággal bír akkor bizonyítható, hogy a tér minden pontjában a Gauss-féle görbület állandó, tehát a tér „ekvivariáns” az euklideszi, szférikus vagy hiperbolikus terek valamelyikével. A speciálistól az általánosabb felé irányuló kutatás bevált eszköze a matematikának, így kerülhettek a homogén geometriák is a kutatások középpontjába, ahol tehát olyan terek geometriáját vizsgáljuk ahol nem teljesül az izotrópia tulajdonság csak a homogenitás. Azonban meg kell említenünk hogy elsősorban a kompakt 3-dimenziós sokaságok osztályozásának kérdésé motiválta ezen újabb „modell geometriák” vizsgálatait. Tehát melyek, illetve milyenek lesznek azok a geometriák, amelyekből kompakt sokaságokat származtathatunk, tehát a sokaságok ezen geometriákban modellezhetők. Az általános módszer kompakt metrikus (Riemann) sokaságok származtatására, hogy egy metrikus egyszeresen összefüggő (Riemann) tér izometriacsoportjának egy fixpontmentesen ható részcsoportjával „faktorizáljuk” a teret. Tehát a tér bármely két pontját pontosan akkor soroljuk ugyanabba az osztályba, más szóval azonosítjuk („ragasztjuk”), amelyekhez létezik egy izometria a fenti csoportból, amely az első pontot a másikba viszi. A tér egyszeresen összefüggő, ha bármely zárt görbe folytonos deformációval egy pontra húzható össze. A Riemann metrika a felületelméletből ismert módon, az „infinitezimálisan közeli” pontok távolság-differenciál-négyzetét a koordinátadifferenciálok pozitív definit kvadratikus alakjából származtatja. Bizonyítható hogy a fenti módszerrel kompakt sokaságok származtathatók (ld. pl. [12]), amelyek tehát az adott geometrián modellezhetők. Definíció 2.1 (Thurston [15]) Az X sokaságot a G diffeomorfizmusainak egy Lie-csoportjával együtt: (X, G) modell-geometriának nevezzük, ha 1. X összefüggő és egyszeresen összefüggő 2. G tranzitívan hat X-en, kompakt pont-stabilizátorral 3. nem létezik olyan H csoport az X diffeomorfizmusainak egy G-nél bővebb csoportja, amely szintén kompakt pont-stabilizátorral hat X-en 4. létezik (X, G)-n legalább egy kompakt sokaság. Az 1-es feltétel egy osztályba sorol lokálisan ekvivalens geometriákat amelyeknek különböző lehet a fundamentális csoportjuk. A 2-es feltétel következménye hogy a tér ellátható G-invariáns homogén Riemann metrikával. A 3-as feltétel egyenértékü azzal, hogy nem létezik olyan G-invariáns Riemann metrika, amely egy nagyobb H csoportnál is invariáns. Az utolsó feltétel magától értetődően kizárja azon geometriákat (kontinuum sokat!) amelyeken nem modellezhetők kompakt 3-sokaságok. 6
Tehát olyan egyszeresen összefüggő Riemann tereket vizsgálunk ahol a tér bármely pontpárjához létezik a térnek legalább egy izometriája, amely az egyiket a másikra képezi. Ezen 3-dimenziós geometriák osztályozása elsősorban William P. Thurston amerikai Fields-díjas matematikus nevéhez füződik. Az osztályozás (ld. [15]) a pont-stabilizátorok dimenzióján alapul és főként a Lie-csoportok, valamint az orbifoldok elméletére épül. Idézzük most fel a későbbiek miatt Thurston osztályozási tételét: Tétel 2.1 (Thurston [15]) Pontosan nyolc 3-dimenziós X modell-geometria létezik, a következők szerint: 1. Ha a pont-stabilizátorok 3-dimenziósak (3 paraméterrel jellemezhetők), akkor X = S3 , E3 , H3 . 2. Ha a pont-stabilizátorok egy dimenziósak, akkor X valamely 2-dimenziós állandó görbületü geometria feletti fibrált tér. Létezik G-invariáns Riemann metrika X-en, hogy a fibrumoknak az alapsíkhoz való csatlakozásának a görbülete 0 vagy 1. (a) Ha a görbület 0, akkor X = S2 × R, H2 × R . (b) Ha a görbület 1, akkor kapjuk a Nil geometriát (E2 feletti fibrálás), 2 ^ illetve az SL 2 R geometriát (H feletti fibrált tér). 3. A Sol geometria az egyetlen ahol a pont-stabilizátorok 0-dimenziósak. Tehát a 8 homogén maximális Thurston-féle geometria: ^ E3 , S3 , H3 , S2 × R, H2 × R, SL 2 R, Nil, Sol. Az első három ezek közül a már jól ismert euklideszi, szférikus illetve hiperbolikus geometria. A következő kettő direkt szorzat alakú fibrált tér, tehát a tér pontjai az (X, x) alakú párok halmaza, ahol X ∈ Π alapsík, x ∈ R fibrum (vagy szál). Ugyanilyen struktúrájú az E2 × R tér, amely ugyan nem maximális geometria(ugyanis E3 gazdagabb izometriacsoporttal rendelkezik), de az analógiák és a kristálytani alkalmazások szempontjából jelentőséggel bír (2.ábra). ^ Az SL 2 R tér, amely az SL2 R speciális lineáris 2*2-es valós mátrixok Liecsoportjának univerzális fedéséből származtatható, szintén fibrált geometria, ahol most a hiperbolikus alapsík minden pontjából csavart módon „növő„ fibrumoknak a pontjai alkotják a teret. A Nil geometria hasonló, de az alapsík az Euklideszi sík. Az S3 szférikus térnek is van csavart (S2 , S) fibrálása, S körrel, ez a Hopf-féle fibrálás, de S3 gazdagabb izometria csoporttal rendelkezik. A Sol geometria esetében egy „alapegyenes” feletti fibrálásról beszélhetünk, ahol a fibrumok síkok lesznek. Ezen nyolc homogén geometriának az első egységes interpretációja [11]-ben található. A projektív gömbön való modellezés geometrikus képet ad, mert a hagyományos projektív és affin modellezés is speciális eset lesz. Itt Thurston eredeti programjának megfelelően G a projektív kollineációcsoport egy speciális részcsoportja lesz, de láttuk [4]-ben, hogy S2 × R és H2 × R esetében gömb7
illetve (kétköpenyü) hiperboloid-inverzió felel meg az alapsík-tükrözésnek. Látni ^ fogjuk, hogy Thurston programjától eltérően SL 2 R-ben is lesz síktükrözés, ami nem lesz projektív kollineáció. A projektív modellezéssel számos a gyakorlatban is használható "számolható" formulát nyerünk.
2.2.
Az S2 × R és H2 × R terek izometriái
Itt nem indokoljuk azt az alaptételt miszerint a direkt szorzat alakú terek izometriacsoportjai valóban direkt szorzat alakúak. Annyit megjegyzünk, hogy a bizonyítás az ívelemnégyzet „hasadásán” múlik. [11]-ból az S2 × R-beli ívelemnégyzet (ds)2 = (dt)2 + (dϕ)2 sin2 ϑ + (dϑ)2
(2.1)
ahol t-jelöli a fibrumparamétert. Látható, hogy az ívelemnégyzet szépen a Pitagórasz-tétel szerint oszlik el az egymásra merőleges R illetve S2 komponensekre (S2 -ben polárkoordinátákkal). Tehát Isom(S2 × R) = Isom(S2 ) × Isom(R). (2.2) És általában: Isom(Π × R) = Isom(Π) × Isom(R),
(2.3)
így nyilván minden izometria fibrumtartó lesz, most speciálisan az R-komponensek R-komponensekre képződnek. Ezen izometriák Π-n ható részét B-vel, a transzformáció R-en ható részét (b, τ )-val jelöljük, ahol tehát B ∈ Isom(Π), b = 1 az R identikus leképezésére utal : 1 =: 1R : (X, x) 7→ (X, x) b= -1 pedig R ponttükrözése a 0 (nulla) kezdőpontra : −1 =: 1R : (X, x) 7→ (X, −x), illetve τ : (X, x) 7→ (X, x + τ ) eltolás az R-fibrumok mentén. A transzformációk jelölése és szorzási szabálya a következő: (B1 × b1 , τ1 ) ◦ (B2 × b2 , τ2 ) = (B1 B2 × b1 b2 , τ1 b2 + τ2 )
(2.4)
B × (b, τ ) ∼ (B × b, τ ) : (X, x) 7→ (XB, xb + τ )
(2.5)
melyet a hatásból származtathatunk. Itt és a továbbiakban is a leképezések a tér pontjain jobbról hatnak. A három klasszikus geometria egybevágóságaihoz hasonlóan ezen terek minden izometriája is természetesen áll elő tükrözések szorzataként. A Π alapsíkban (vagy bázisban) bármely egybevágóság három egyenestükrözés szorzataként előáll, az R-fibrumban legfeljebb két ponttükrözés szükséges, így Π × R-ben legfeljebb 5 síktükrözés elegendő, és nyilván ennél kevesebb nem elég [4]. Ezen izometriák halmazait jelölje Πi Rj , i = 0, 1, 2, 3 j = 0, 1, 2. Πi Rj bármely eleme i számú Π-tükrözés és j számú R-tükrözés szorzata. 8
S2x R
2
S =( . ,0)
R=(X, . )
E2 x R
R=(X, . )
2
E =( . ,0)
2
HxR R R p, 2
H =( . ,0)
2
H =( . ,0)
3.ábra A Π × R szorzatterek szimbolikus interpretációi [4],[8],[11] alapján 9
p
2.3.
^ Az SL 2 R tér és izometriacsoportja
2 ^ Az SL 2 R tér a H hiperbolikus sík pontjaihoz a direkt szorzattól eltérő csavart módon ragasztott R-fibrumokból álló tér. Az R-fibrumoknak az alapsíkkal való csatlakozását adja meg az ún. kontakt struktúra, amely meghatározza a geometria irányítását. Ennek szellemében ha a kontakt struktúra nem változtatható meg, akkor csak irányítástartó izometria értelmezhető a téren, áll Thurston-nél: [15] 184. oldal. (Megjegyezzük, hogy mind a 8 homogén geometriában a leképezések irányítástartását általánosan a transzformáció infinitezimális Jacobi determinánsának pozitív előjelével értelmezhetjük.) ^ Ekkor azonban véleményünk szerint (SL 2 R, G) nem maximális, tehát nem lesz modell geometria, ugyanis nem teljesül a 2.1-es definició 3. feltétele. Meg tudunk adni egy irányításváltó leképezést a téren, amely izometria lesz, mint látni fogjuk. Ezzel a transzformációval bővítve G-t egy 2 indexü H szupercsoportot kapunk amely invariánsan hagyja a [11]-ben megadott Riemann metrikát. A kontakt struktúra egy sokkal speciálisabb, az infinitezimális izometriák vektormezőit felhasználó jellemzése a térnek, és jóval később bevezetett fogalom. Szerintünk tehát a csak irányítástartó transzformációkat tartalmazó G csoporttal ellátott (X, G) nem lesz maximális. A fő indok, hogy szinte biztos, hogy léteznek olyan kompakt sokaságok amelyek irányításváltó transzformá^ ciókat is tartalmazó csoportokból származtathatók és az SL 2 R téren modellezhetők. Ilyen sokaság-sorozatot kapunk a 4.2 fejezet 7.ábrájához kapcsolódó (4.11) formula 1-es esetében, ha u ≥ 3 páratlan szám. Ennek fényében Thurston 2.1 tételének 2-es pontja megdőlni látszik. A kontakt struktúra - úgy tünik - nem alkalmas jellemzése a problémakörnek. ^ Elevenítsük most fel [11]-ből az SL 2 R tér projektív modelljét. Tekintsük homogén koordinátákban az
(¯ x0 , x ¯1 , x ¯2 , x ¯3 ) : −¯ x0 x ¯0 − x¯1 x ¯1 + x¯2 x ¯2 + x ¯3 x ¯3 = 0
(2.6)
egyköpenyü hiperboloidot és a ¯ :< x, x >:= −x0 x0 − x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 ≤ 0 H
(2.7)
hiperboloid testet az E euklideszi tér projektív szférikus lezártjában, ahol tehát a V4 -beli x(x0 , x1 , x2 , x3 ) és y(y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ) vektorok egy sugár-osztályba tartoznak és PS 3 (V4 ) azonos pontját definiálják, ha 3
y = cx 0 < c ∈ R
(2.8)
mellett teljesül. Így tehát E3 -ban a közönséges és ideális pontok is megduplázódnak −x1 x2 −x2 x3 −x3 x1 = , X2 = 0 = , X3 = 0 = . 0 0 0 x −x x −x x −x0 A V4 tér egyparaméteres S(ϕ) lineáris transzformációcsoportjával: X1 =
10
(2.9)
E0 cos ϕ E1 − sin ϕ S(ϕ) : E2 7→ 0 E3 0
E0 sin ϕ 0 0 E1 cos ϕ 0 0 0 cos ϕ − sin ϕ E2 E3 0 sin ϕ cos ϕ
(2.10)
a projektív koordinátarendszer: (E0 , E1 , E2 , E3 , E) szokásos rögzítése után π (4.ábra). Ez a P 3 térben és így E3 -ban ciklikusan hat ha −π 2 < ϕ ≤ 2 (mod π). π ϕ = 2 esetén 0 1 0 0 −1 0 0 0 π S( ) = (2.11) 0 0 0 −1 2 0 0 1 0 , 0 −1 0 0 1 0 −π 0 0 (2.12) )= S( 0 0 0 1 2 0 0 −1 0 −π 2
<ϕ<
π 2
esetén cos ϕ > 0 kifejezéssel végigosztva 1 tgϕ 0 0 −tgϕ 1 0 0 S(ϕ) : 0 0 1 −tgϕ 0 0 tgϕ 1
(2.13)
„projektív csavarmozgás”. Ha −π < ϕ ≤ π (mod 2π) akkor S(ϕ) a PS 3 téren. illetve a dupla E3 téren hat ciklikusan: −1 0 0 0 0 −1 0 0 = S(−π). (2.14) S(π) : 0 0 −1 0 0 0 0 −1 ¯ hiperboloid test önmagára képződik és bármely (x0 , x1 , x2 , x3 ) Eközben a H pont a
(x0 cos ϕ − x1 sin ϕ, x0 sin ϕ + x1 cos ϕ, x2 cos ϕ + x3 sin ϕ, −x2 sin ϕ + x3 cos ϕ) (2.15) egyenesen mozog. ¯ hiperboloid univerzális fedőterét, a H e teret az S(ϕ) fixpontmentes A H hatásnak bármely ϕ ∈ R esetére történő kiterjesztésével kapjuk a x ¯1 = 0, −¯ x0 x ¯0 + x ¯2 x ¯2 + x ¯3 x ¯3 ≤ 0
11
(2.16)
szokásos Cayley-Klein modellhez tartozó H2 síkmetszetből, és minden más olyan hiperboloid-síkmetszetből, melyen a −¯ x0 x ¯0 − x ¯1 x ¯1 + x ¯2 x¯2 + x ¯3 x¯3 = 0
(2.17)
kvadratikus alak (−, +, +) szignatúrájú kvadratikus alakot indukál. Az így kapott (X, ϕ) pontok, X ∈ H2 , ϕ ∈ R alkotják a ^2 e = SL ^ H 2 R (= T1 H )
(2.18)
teret. e = SL ^ A H 2 R tér izometriáinak G csoportját Thurston szellemében olyan kollineációk jellemzik, melyek megtartják a fibrumokat és a hiperboloidhoz tartozó polaritást is. Ezeket olyan (aji ) mátrixok írják le, melyekre a01 = ∓a10 , a11 = ±a00 , a21 = ±a30 , a31 = ∓a20 , a02 = ∓a13 , a12 = ±a03 , a22 = ±a23 , a32 = ∓a23 (2.19) azaz 0 a0 a10 a20 a30 ∓a10 ±a00 ±a30 ∓a20 (2.20) (aji ) = ∓a13 ±a03 ±a33 ∓a23 , a03 a13 a23 a33 továbbá feltehető
−(a00 )2 − (a10 )2 + (a20 )2 + (a30 )2 = −1 −(a03 )2 − (a13 )2 + (a23 )2 + (a33 )2 = 1 −a00 a03 − a10 a13 + a20 a23 + a30 a03 = 0 a00 a13 − a10 a03 + a20 a33 − a30 a23 = 0. (2.21) −1
+
Valóban g S(ϕ)g = S(ϕ), ha g ∈ G a S(−ϕ), ha γ = G \ G+ az alsó előjelekkel. T < G+ részcsoport, melyet 0 x x1 1 −x x0 T : (tji ) := x2 x3 x3 −x2 és inverze
(tji )−1
x0 x1 = (Tjk ) = −x2 −x3 12
−x1 x0 −x3 x2
felső előjelekkel és γ
x2 x3 x0 x1
x3 −x2 x1 x0
−x2 −x3 x0 x1
−x3 x2 −x1 x0
−1
S(ϕ)γ =
(2.22)
(2.23)
e = SL ^ mátrixok jellemeznek, tranzitív módon hatnak a H 2 R téren az előbbi ^ univerzális fedés szellemében. T értelmezi SL2 R eltoláscsoportját, mely nem kommutatív. Meglepő módon az a := x0 + x3 , b := x1 + x2 , c := −x1 + x2 , d := x0 − x3 , d b (x , x , x , x ) 7→ , bc − ad < 0 c a az + b z1 d b (z 0 , z 1 ) 7→ (z 0 , z 1 ) ⇐⇒ 0 =: z 7→ c a z cz + d 0
1
2
(2.24)
3
(2.25)
megfeleltetések izomorfizmust létesítenek T és a valós lineáris törtfüggvények eredeti SL2 R-el jelölt csoportja között. ad − bc = 1 ⇐⇒ −x0 x0 − x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 = −1 volt ezen interpretáció fő motivációja. Az S(ϕ) fibrumeltolást most d b cos ϕ sin ϕ d b 7→ c a − sin ϕ cos ϕ c a ϕ ∈ R mutatja. Az E0 pont G+ -beli G0 stabilizátora 1 0 0 0 1 0 0 G = 0 0 cos ω 0 0 − sin ω
0 0 sin ω cos ω
(2.26)
(2.27)
(2.28)
−π < ω ≤ π (mod 2π) alakú forgatásokból áll. Ezért E0 -ban a G0 -invariáns pozitív definit kvadratikus alak értelmezi az ívelem-négyzetet (d¯ s)2 = (d¯ x1 )2 + (d¯ x2 )2 + (d¯ x3 )2 , d¯ x0 = 0
(2.29)
A (Tjk ) mátrixszal ez globálisan minden (x0 , x1 , x2 , x3 ) pontba „visszahúzható” (ds)2 = {[(dx0 )x1 +(dx1 )x0 −(dx2 )x3 +(dx3 )x2 ]2 +[−(dx2 )x2 −(dx1 )x3 +(dx2 )x0 +(dx3 )x1 ]2 +
[−(dx0 )x3 + (dx1 )x2 − (dx2 )x1 + (dx3 )x0 ]2 }
13
1 . [−(x0 )2 − (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 ]2 (2.30)
Az alábbi polárkoordinátás paraméterezés X(x0 = cosh r cos ψ, x1 = cosh r sin ψ, x2 = sinh r cos α, x3 = sinh r sin α), (2.31) hx, xi = − cosh2 r + sinh2 r = −1
(2.32)
ψ ∈ R, −π < α ≤ π (mod 2π), 0 ≤ r ∈ R és a G mátrix szolgáltatja a G csoportnak egy kanonikus alakját 0
G : (aji ) =
cosh r cos ψ cosh r sin ψ sinh r cos α sinh r sin α ∓ cosh r sin ψ ± cosh r cos ψ ± sinh r sin α ∓ sinh r cos α . sinh r cos(α − ω) sinh r sin(α − ω) cosh r cos(ψ + ω) cosh r sin(ψ + ω) ± sinh r sin(α − ω) ∓ sinh r cos(α − ω) ∓ cosh r sin(ψ + ω) ± cosh r cos(ψ + ω) (2.33) Most térjünk rá az új leképezésnek a megadására. Létezik olyan irányítástartó transzformáció γ amelynek vetülete p(γ) irányításváltó H2 -beli tükrözés, amely izometria egyben tehát megváltoztatja a fibrumok irányítását is, így az egész téren irányítástartó leképezésként hat. Ebből az izometriából származtatjuk az irányításváltó leképezést, amely tehát minden fibrumot önmagára képez megváltoztatva a fibrumok irányítását, H2 -beli vetülete pedig az identikus leképezés lesz. Most 2 ^ p : Isom(SL (2.34) 2 R) 7→ Isom(H ) a fibrumok szerinti vetítéssel értelmezett természetes projekció. Definíció szerint tehát a p projekció megtartja a megfelelő csoportok kompozició műveletét, vagyis homomorfizmus. Itt az R-fibrumok menti szimultán eltolások, melyekhez a H2 identikus leképezése tartozik, alkotják a homomorfizmus R-rel izomorf magját. Ezt fejezi ki az alábbi ún. egzakt sorozat. 2 ^ 0 → R → Isom(SL 2 R) → Isom(H ) → 1,
(2.35)
tehát minden Isom(H2 )-beli elem előáll képként. Lásd részletesen [13]-ben. Kiemeljük, hogy most H2 × R-el ellentétben nem lesz homomorfizmus az ^ Isom(R)-re való vetítés. Az SL 2 R izometriái most (2.2)-től eltérően csavartan hatnak a fibrumokon. Ha β1 = (B1 , b1 , τ1 ) és β2 = (B2 , b2 , τ2 ) és β1 β2 = β3 = 2 ^ (B3 , b3 , τ3 ) az Isom(SL 2 R) elemei, akkor B3 = B1 B2 Isom(H )-ben, b3 = b1 b2 az R homogén lineáris leképezésére, de általában τ3 6= τ1 b2 + τ2 . Legyenek X = (x0 , 0, x2 , x3 ), Y = (y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ), Z = (z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ),
(2.36)
tehát X a 0-szintü hiperbolikus síkban felvett tetszőleges pont, amelyre tükrözünk, Y az X feletti ϕ fibrumparaméterü pont, Z pedig a −ϕ fibrumparaméterü pont amelyeket X-ből a korábbi S(ϕ) fibrumtranszformációkat leíró mátrixszal való szorzással kapunk. 14
Kapjuk tehát: y 0 = x0 cos ϕ, y 1 = x0 sin ϕ, y 2 = x2 cos ϕ + x3 sin ϕ, y 3 = −x2 sin ϕ + x3 cos ϕ, (2.37) illetve: z 0 = x0 cos ϕ, z 1 = −x0 sin ϕ, z 2 = x2 cos ϕ − x3 sin ϕ, z 3 = x sin ϕ + x3 cos ϕ. (2.38) S(ϕ)-ben cos ϕ(6= 0)-vel végigosztva kapjuk: y 0 ∼ x0 6= 0 y 1 ∼ x0 tgϕ y 2 ∼ x2 + x3 tgϕ y 3 ∼ −x2 tgϕ + x3
z 0 ∼ x0 6= 0 z 1 ∼ −x0 tgϕ z 2 ∼ x2 − x3 tgϕ z 3 ∼ x2 tgϕ + x3 y1 y0
(2.39)
= tgϕ helyettesítéssel x2 =
y 2 − y 3 tgϕ 3 y 2 tgϕ + y 3 , x = tg 2 ϕ + 1 tg 2 ϕ + 1
(2.40)
Így: z 0 ∼ y 0 , z 1 ∼ −y 1
z2 ∼
(y 0 )2 y 2 − 2y 0 y 1 y 3 − (y 1 )2 y 2 3 (y 0 )2 y 3 + 2y 0 y 1 y 2 − (y 1 )2 y 3 ,z ∼ (y 0 )2 + (y 1 )2 (y 0 )2 + (y 1 )2
(2.41)
f (y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ) ∼ (z 0 , z 1 , z 2 , z 3 )
(2.42)
Inhomogén koordinátákkal:
f : (Y 1 , Y 2 , Y 3 ) → (−Y 1 ,
Y 2 − 2Y 1 Y 3 − (Y 1 )2 Y 2 Y 3 + 2Y 1 Y 2 − (Y 1 )2 Y 3 , ) 1 + (Y 1 )2 1 + (Y 1 )2 (2.43) det J(f ) < 0, f 2 = 1
(2.44)
f fibrumtartó, izometria. Az általános 4 paraméteres irányítástartó izometriákat leíró (2.33) mátrixból [11] az alsó előjelekkel, ω = 0, E0 = (1, 0, 0, 0) → E0 választással (2.3)-ból cosh r cos ψ = 1 sinh r cos α = 0 cosh r sin ψ = 0 sinh r sin α = 0 adódik:
15
1 0 0 0 −1 0 j G = (ai ) = 0 0 1 0 0 0
0 0 0 −1
(2.45)
mátrix által leírt transzformáció megváltoztatja a fibrumok irányítását. Vetülete H2 -beli tükrözés (c0 , 0, c2 , 0) fixponthalmazzal, mely a H2 síkban az E0 E2 egyenes. Ezen áthaladó fibrumok halmaza: cos ϕ sin ϕ 0 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 = (c0 , 0, c2 , 0) 0 0 cos ϕ − sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ = (c0 cos ϕ, c0 sin ϕ, c2 cos ϕ, −c2 sin ϕ) =: P
(2.46)
f ugyanúgy hat a P halmazon mint G, tehát f izometria. ^ IsomSL 2 R = hf, Gi
(2.47)
a (2.43) formula f tükrözésével és a (2.33) képlet G csoportjával van generálva. Visszatérve, létezik tehát olyan izometria amelynek „fixsíkja” egy a hiperbolikus síkban átmenő egyenesen áthaladó fibrumok halmaza =:P, amely fibrumok tehát egyenként képződnek önmagukra mint egy egyenestükrözés hatásaként. Az általunk bevezetett leképezés minden fibrumot önmagára képez, megfordítva a fibrumok irányítását, a H2 síkon identikusan hat. Ez a leképezés az előbb említett P vertikális „síkon” ugyanúgy hat mint a korábbi irányítástartó izometria. Könnyen láthatjuk hogy ez a leképezés megtartja bármely pontpár távolságát. Ugyanis: tetszőleges pontpárt kiválasztva, az meghatároz két fibrumot (ha a két pont egy fibrumon van az állítás triviális), melyek metszik a 0-hiperbolikus síkot, meghatározva egy egyenest. Erre az egyenesre alkalmazzuk a korábbi transzformációt, amely izometria volt tehát megőrzi a távolságot, a mi új transzformációnk is távolságtartó leképezés lesz. Mint már utaltunk rá, az így nyert bővebb csoport szép struktúrával rendelkezik a következők szerint. Létezik 2 ^ p : IsomSL 2 R → IsomH projekció, ami homomorfizmus. Következésképpen ennek a homomorfizmusnak a magja, ami most az R valós számegyenes izometriacsoportjával izomorf, normálosztó a teljes izometriacsoportban: ^ ker(p) = Isom(R) ⊳ Isom(SL 2 R), továbbá létezik ún. komplementuma, mégpedig IsomH2 . Tehát 2 ^ IsomSL 2 R ≡ IsomR ⋊ IsomH 16
egy szemidirekt szorzat. Fontos megemlítenünk hogy az újonnan bevezetett f izometria nem lesz projektív kollineáció. Az f láthatóan egy harmadfokú biracionális transzformáció. Amely ráadásul a (y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ) ∼ (0, 0, u, v) egyenes pontjai kivételével mindenhol reguláris. De az y 0 = 0 ideális sík y 1 6= 0 pontjaira (y 1 , y 2 , y 3 ) 7→ (−y 1 , −y 2 , −y 3 ) végül a teljes térre kiterjeszthető homogén koordinátákkal. Szép kérdés, hogy az hf, Gi hogyan jellemezhető (pl. a F.Bachmann-féle tükrözésgeometria szellemében)?
3.
Fogalmak, definíciók, összefüggések
A három dimenziós euklideszi térben a kristálycsoportok osztályozása, mint már emlitettük, lényegében a XIX. század végére megoldódott. Az analóg probléma napjainkra 4 illetve 5 és 6 dimenzióra is megoldottnak tekinthető, és a módszerek - részben az általános eredmények miatt - elvileg magasabb dimenziókra is kivitelezhetők. Itt a tércsoport vagy kristálycsoport ma már klasszikusnak tekinthető definíciója a következő: Definíció 3.1 Az En tér Γ tércsoportja a tér izometriáinak egy csoportja, mely csoport elemeivel egy megfelelő kompakt alaptartományra hatva a tér hézagmentes, átfedés nélküli kövezését nyerjük. Már most utalunk rá, hogy itt lényegében az alaphalmazra vonatkozó megkötések jelentik az egyedüli korlátozásokat (vesd össze Def. 3.9-el). Természetesen értelmezhető ezután a Γ csoport Γ0 pontcsoportja, nevezetesen Definíció 3.2 Az En tér Γ tércsoportjának Γ0 pontcsoportja a Γ-ban szereplő transzformációk lineáris részeinek csoportja. Megjegyezzük, hogy ez a Γ0 csoport nem (feltétlenül) része a Γ tércsoportnak. Mint kiderült, az alaptartomány (egy tartomány mindig tartalmaz belső pontot) korlátossága En -ben biztositja a Γ0 végességét, és egy n-dimenziós LΓ rács létezését. Ezen klasszikus definíciók és eredmények motiválják elsősorban a későbbi fogalomalkotásainkat. Ehhez a 2 fejezetben szereplő {B}-t a Π alapsíkon ható transzformációk halmazának elemeit π = E2 esetén tovább bontjuk, és a B := (Bl , Bt ) alakba írjuk, ahol Bl a B transzformáció lineáris része, Bt -vel pedig a B ún. eltolási részét jelöljük. Megjegyezzük, hogy az S2 , H2 síkok esetében {B} = {Bl } mindig fennáll [4],[11], ellentétben E2 -vel. Ekkor tehát az E2 × R transzformációi a következő alakba irhatók B × (b, τ ) ∼ (Bl , Bt ) × (b, τ ) ∼ ({Bl × b}, {Bt , τ })
(3.1)
Ezután a következő definíciót adjuk: Definíció 3.3 A (3.1) szerinti {Bl × b} halmazt a Π × R tér Γ csoportjához 17
tartozó lineáris részek csoportjának nevezzük és Γ0 -al jelöljük. Ha most az En -ben adott 3.1 és 3.2 definíciókat tekintenénk a Π × R térbeli megfelelő csoportok definíciójának, akkor láthatjuk, hogy ezen defíniciók szerint E2 × R-ben a Γ tércsoportok Γ0 pontcsoportjainak a végessége természetesen adódik, nevezetesen a Schönflies-Bieberbach tétel szerint. H2 ×R-ben ez nyilván nem teljesülhet, mivel ∀ I ∈ Isom(H2 ) ∩ Γ-ra I ∈ Γ0 teljesül a 3.2 definició értelmében. De mint látni fogjuk 3.10-ben, S2 × R-ben sem következik az alaptartomány kompaktságából a Γ0 végessége. Emiatt további feltétellel bővitjük az En -beli tércsoportok 3.1-es definícióját, így jutva el a Π × R-beli tércsoportok definíciójához. Nevezetesen megköveteljük egy LR Γ -el jelölt R-irányú (egy dimenziós) rács létezését. Definíció 3.4 LR Γ (τ ) := {kτ : (X, x) 7→ (X, x + kτ ) ∀ X ∈ Π; ∀ x ∈ R | k ∈ Z},
(3.2)
ahol τ a legkisebb ilyen pozitív eltolás, melyet rögzitünk, lesz a Π × R tér Γ csoportjához tartozó R irányú rács értelmezése, ha létezik ilyen τ . Ha nem létezik, akkor LR Γ az identikus leképezésből áll. Most tehát definiáljuk általánosan a Π × R tér Γ tércsoportját a következő módon: Definíció 3.5 A Γ csoport a Π×R tércsoportja, ha ∀ g ∈ Γ-ra g ∈ Isom(Π×R) teljesül, valamint létezik olyan FΓ -val jelölt kompakt alaptartomány, amelyre Γ-val hatva a tér hézagmentes, átfedés nélküli kövezését nyerjük, úgy, hogy létezik a fenti 3.4-es definicióban szereplő LR Γ ⊳ Γ, mely egy R irányú rács. Továbbá megadjuk a fenti Γ tércsoport pontcsoportjának a definícióját: Definíció 3.6 A Γ tércsoport 3.3-as definició szerinti, lineáris részek által meghatározott Γ0 csoportját nevezzük a Γ pontcsoportjának. Fontos továbbá a Γ tércsoportban az LΓ „maximáli rács” fogalmának a bevezetése, amely az S2 × R, H2 × R terekben egyenértékű lesz a 3.4-es definícióban 2 megadott R irányú LR Γ ráccsal, E ×R-ben viszont LΓ egy 3 dimenziós rács lesz. Fontos viszont kiemelni, hogy ez az E2 × R-beli ”maximális rács” nem irható fel általában direkt szorzat alakban. Ugyanis az E2 -beli rácsot generáló eltolásokhoz tartozhatnak R-beli eltolási részek, mivel a lehetséges (most LR Γ -beli) eltolási komponenseket a Π-beli síkcsoport generátor elemeihez fogjuk hozzá rendelni (Tétel 4.1, ahogy majd látni fogjuk), tehát (E2 × R-ben) nem a Γ0 pontcsoport generátoraihoz. Állítás 3.7 A Γ0 pontcsoport a Γ tércsoport homomorf képe, mely homomorfizmus magja a Γ0 egységelemére képeződő Γ-beli LΓ rács elemei, és így Γ0 ∼ = Γ/LΓ =: Γ
(3.3)
a homomorfizmus tétel szerinti izomorfizmus áll fenn. Megadhatjuk tehát a Γ0 pontcsoport egy másik a 3.6-ban megadottal ekvivalens definicióját. Definíció 3.8 A Γ/LΓ = Γ faktorcsoportot a Γ csoport pontcsoportjának nevezzük, melynek elemei tehát Γ-nak az LΓ invariáns kommutatív részcsoportja
18
szerinti mellékosztályai. Igy a Γ(∼ = Γ0 ) reprezentáns elemei már Γ-hoz tartoznak, ezek halmazát Γ0 (⊂ Γ) jelöli. Feltehetjük, hogy Γ0 -ban az R-beli τi eltoláskomponenseket minimálisan választjuk: 0 ≤ τi < τ , ahol hτ i =: LR Γ. Most a minél általánosabb megközelítés - illetve, mint látni fogjuk a későbbi 3.10-3.11 állítások miatt - bevezetjük teljes általánosságban egy T Thurston-féle téren F fundamentális halmazzal tranzitívan ható Γ csoportot. Definíció 3.9 A Γ csoport a T (Thurston-féle) téren FΓ fundamentális halmazzal tranzitívan ható csoportja ⇔ ∀g ∈ Γ-ra g ∈ Isom(T ) és létezik olyan FΓ =: F halmaz, hogy F Γ := {F g | g ∈ Γ} a T tér egyrétű, átfedés nélküli kövezéséhez vezet. Ez a definíció mind a 8 Thurston-féle geometria esetén egy minimális követelményt támaszt, és látjuk, hogy itt a 3.1-es definícióval ellentétben nincs kikötve pl. az F -re vonatkozó semmilyen feltétel sem, igy például a teljes izometriacsoport is - a tér egyetlen pontjával, mint alaphalmazzal - eleget tesz a fenti követelményeknek. A fent megadott definiciók és fogalmak bevezetése után természetesen vetődik fel a feltételek közötti összefüggések tisztázásának a kérdése, melyeket S2 × R-ben az alábbi állítás formájában fogalmazunk meg. Állítás 3.10 Ha Γ az S2 × R tér fenti 3.9-es definicióban megadott csoportja, akkor az alábbi három állítás közül bármely kettőből következik a harmadik: 1. |Γ0 | < ∞, azaz a pontcsoport véges. 2. ∃ LR Γ ⊳ Γ, tehát létezik R-irányú rács Γ-ban. 3. ∃ F korlátos, nem üres belsejű Γ-alaphalmaz S2 × R-ben. Bizonyítás: 1.+2.⇒3. 2 Tekintsük az S2 × R/LR Γ (τ ) := H := S × [0, τ ], 0 < τ ∈ R gömbhéjat. Ez 2 korlátos tartomány S × R-ben, és feltehetjük, hogy F e ⊆ H teljesül, ahol e a Γ0 pontcsoport identitása. Szükségképpen F Γ0 := {F g | g ∈ Γ0 } ⊆ H ′ := ′ S2 × [−2τ, 2τ ] teljesül, ahol H szintén korlátos, következésképpen F is korlátos kell legyen. Mivel Int(H) nem üres, és |Γ0 | < ∞ ezért Int(F ) is kell tartalmazzon pontot. 2.+3.⇒1. Képezzük ismét az S2 × R/LR Γ = H gömbhéjat, mely tartalmazza F -et. Mivel F tartalmaz belső pontot, és F Γ0 ⊆ H ′ := S2 × [−2τ, 2τ ], ezért |Γ0 | = |Γ0 | < ∞ teljesül. 3.+1.⇒2. Mivel most a feltétel szerint F korlátos és Γ0 elemszáma véges, következésképp a csoportban szereplő elemekben az R-komponensekben fellépnek R-irányú eltolási részek. A Γ csoport elemeit irhatjuk a (gi , τi ) alakba, ahol τi jelöli a gi transzformációhoz tartozó R-beli eltolási részt. Igy (2.2) alapján (gi , τi )(gj , τj ) = (gi gj , τi + τj ), illetve (gi , τi )(gj , τj ) = (gi gj , τj − τi ) teljesül, ha gj -ben fellép az R-beli ponttükrözés. Mivel most Γ0 véges, így minden elemének rendje véges,
19
a fenti szorzási szabály alapján a Γ0 definiáló relációit kielégítve meghatározhatók a Γ0 identitásához tartozó R-beli eltolási részek. Ezek után τ legyen a Γ0 identitásához tartozó legrövidebb nem zérus eltolási rész. Ezt a τ által generált LR Γ rácsot minden gi ∈ Γ elem invariánsan hagyja. Állítás 3.11 A fenti 1,2,3, feltételek egyikéből sem következik a másik kettő valamelyike. Bizonyítás Példákat adunk, amelyekben a fenti 1,2,3, feltételek közül rendre egy teljesül a másik kettő viszont nem. 1. Legyen |Γ0 | < ∞ méghozzá Γ0 := Cq
és csak akkor ha a H2 /p(Γ) is ilyen tulajdonságú. (Megjegyezzük, hogy a 8 ^ geometria közül a három hiperbolikus geometriában : H3 , H2 × R, SL 2 R léteznek csak kovéges de nem kokompakt csoportok.) Vegyük észre továbbá, hogy a Γ diszkrétsége és kokompaktsága ekvivalens az FΓ kompakt alaptartomány létezésével. Valamint, hogy a |Ker(p)| = ∞ feltétel egyenértékű az LR Γ rács létezésével. Összegzésként tehát elmondhatjuk, hogy a 3.5-ös definícióban megkívánt LR Γ rács létezése csak az S2 × R térben jelent valódi többletfeltételt.
4.
A tércsoportok osztályozása a szorzatterekben
Az S2 × R térben használt módszer analógiájára először bebizonyitjuk a következő általánosabb tételt. Tétel 4.1(S2 × R, H2 × R, E2 × R tércsoportjainak jellemzése) Ha Γ a fenti 3.5-ös definíció értelmében vett tércsoport az előbbi Π × R Thurston terekben, akkor Γ/LR Γ az alábbi három tipus (osztály) valamelyikébe sorolható: I. Tipus G × 1R II. Tipus G × 1R III. Tipus G′ G := (G × 1R ) ∪ ([(G′ \ G) × 1R ], ahol G 2-indexű részcsoport G′ -ben. Most is G := (±, g; [m1 , m2 , . . . , mr ]{(n11 , . . . , n1s1 ), . . . , (nk1 , . . . , nksk )}) Π-beli kompakt alaptartományú csoport (1.2) szerint. R Bizonyítás: Képezzük először a Γ/LR Γ R-komponensét a Γ0 véges csoportot. R ∼ R ∼ Ekkor Γ0 = h1R i vagy Γ0 = h1R i teljesül. Ezek után három eset lehetséges: R R ∼ ∼ ha ΓR 0 = h1R i teljesül, akkor nyilván Γ/LΓ ∈ I tipus. Ha Γ0 = h1R i 2 elemű csoport, azaz 1R is fellép, akkor mivel 1R kommutál bármely Π-beli transzformációval, igy a Γ/LR Γ 1R -komponensű elemei 2 indexű normális részcsoportot alkotnak, ezért Γ/LR Γ ∈ II Tipus vagy III Tipus; és több lehetőség nincsen. A fenti tétel megadja tehát számunkra az osztályozás stratégiáját, ahogy azt majd S2 × R-ben látni fogjuk: a Π-beli csoportok szignatúrája szerint haladva vizsgáljuk meg sorban az I-III tipusoknál adódó szóbajövő megoldásokat. Az I-II tipusnál majd a Γ prezentálása természetesen adódik (1.2) alapján. A III tipusú csoportok meghatározása az S2 ×R térben - a csoportosztályok végessége illetve a csoportok végessége miatt - viszonylag könnyen adódik. Ehhez (általában Π × R-ben) szükséges feltétel, hogy a kissebbik csoport alaptartományának a kombinatorikus mértéke kétszerese legyen a nagyobbik csoporténak.
4.1.
Az S2 × R tércsoportjainak az osztályozása
Ebben a fejezetben megadjuk a tércsoportok ekvivariancia osztályainak teljes listáját a 2.Táblázatban.A táblázat soraiban elsőként az alapsíkbeli vetület síkcsoportjának Macbeath szignatúráját (ld. 1.Táblázat) tüntettük fel , majd a 21
tércsoport pontcsoportja generátorokkal és definiáló relációkkal, és végül a tércsoportosztályok szimbólumai következnek a pontcsoport generátoraihoz tartozó eltolási részekkel feltüntetve, itt lexikografikus rendezést követtünk. 2.Táblázat 1q.I (+, 0; [q, q]; {}), q ≥ 1 • Γ0 = (g1 −g1q ), g1 ∈ S22 • 1q.I.1(0); 1q.I.2( kq ) k := 1...⌊ 2q ⌋ ( q2 alsó egészrész) Γ fixpont mentes ha (k, q) = 1 (legnagyobb közös osztó) , ekkor (S2 × R)/Γ irányítható kompakt sokaság (térforma), q = 1, k = 0 esetén. 1q.II (+, 0; [ q, q]; {}), q ≥ 1 • Γ0 = (g1 , g − g1q , g2 , (g1−1 gg1 g)), g1 ∈ S22 , g ∈ R1 • 1q.II.1(0, 0); ◦ if q páros 1qe.II.2( 12 , 0) q
1qe.III (+, 0; [q, q]; {})′(+, 0; [ q2 , 2q ]{}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 −g12 , g2 g 2 g1−1 ), g1 ∈ 2 S2 , g2 ∈ S22 R1 • 1qe.III.1(0, 0) 2q.I (+, 0; [ ]{(q, q)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 − g12 , g22 , (g1 g2 )q ), g1 , g2 ∈ • 2q.I.1(0, 0); 2q.I.2( 21 , 12 ); ◦ 2qe.I.3(0, 21 ) 2q.II (+, 0; [ ]{(q, q)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g−g12 , g22 , g2 , (g1 g2 )q , (g1 g)2 , (g2 g)2 ), g1 , g2 ∈ S21 , g ∈ R1 • 2q.II.1(0, 0, 0); 2q.II.2( 21 , 21 , 0); ◦ 2qe.II.3(0, 21 , 0) 2q.III.a (+, 0; [ ]; {(q, q)})′ (+, 0; [q, q]; {}), q ≥ 2 • Γ0 = (g 1 , g2 −g21 , g2q , (g2 g1 )2 ), g1 ∈ S21 R1 , g2 ∈ S22 • 2q.III.a.1(0, 0); 2q.III.a.2(0, kq ), k := 1...⌊ 2q ⌋ 2qe.III.b (+, 0; [ ]{(q, q)})′ (+, 0; []; {( 2q , 2q )}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 − q 2 2 g1 , g2 , (g2 g 1 g2 g 1 ) 2 ), g 1 ∈ S21 R1 , g2 ∈ S21 • 2qe.III.b.1(0, 0); 2qe.III.b.2(0, 21 ) S21
3q.I (+, 0; [2, 2, q]; {}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 − g12 , g22 , (g1 g2 )q ), g1 , g2 ∈ • 3q.I.1(0, 0); 3q.I.2( 12 , 12 ); ◦ 3qe.I.3(0, 21 ) 3q.II (+, 0; [2, 2, q]; {}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g−g12 , g22 , g 2 , (g1 g2 )q , (g1 g)2 , (g2 g)2 ), g1 , g2 ∈ S22 , g ∈ R1 • 3q.II.1(0, 0, 0); 3q.II.2( 21 , 21 , 0); ◦ 3qe.II.3(0, 21 , 0) 3q.III.a (+, 0; [2, 2, q]; {})′(+, 0; [q, q]; {}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g 2 −g1q , g22 , (g1 g2 )2 ), g1 ∈ S22 , g2 ∈ S22 R1 • 3q.III.a.1(0, 0); 3q.III.a.2( kq , 0), k := 1...⌊ 2q ⌋ 3qe.III.b (+, 0; [2, 2, q]; {})′(+, 0; [2, 2, q2 ]; {}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g 2 − q g12 , g22 , (g1 g 2 g1 g 2 ) 2 ), g1 ∈ S22 , g 2 ∈ S22 R1 • 3qe.III.b.1(0, 0); 3qe.III.b.2( 21 , 0) S22
4q.I (+, 0; []; {(2, 2, q)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g3 −g12 , g22 , g32 −(g1 g3 )2 , (g2 g3 )2 , (g1 g2 )q ), g1 , g2 , g3 ∈ S21 • 4q.I.1(0, 0, 0); 4q.I.2(0, 0, 12 ); 4q.I.3( 12 , 21 , 0); 4q.I.4( 21 , 12 , 21 ); ◦ 4qe.I.5(0, 12 , 0); 4qe.I.6(0, 12 , 12 ) 4q.II (+, 0; []; {(2, 2, q)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g3 , g −g12 , g22 , g32 , g2 , (g1 g3 )2 , (g2 g3 )2 , (g1 g2 )q , (g1 g)2 , (g2 , g)2 , (g3 g)2 ), g1 , g2 , g3 ∈ S21 , g ∈ R1 • 4q.II.1(0, 0, 0, 0); 4q.II.2(0, 0, 21 , 0); 4q.II.3( 21 , 12 , 0, 0); 4q.II.4( 12 , 12 , 12 , 0); ◦ 4qe.II.5(0, 21 , 0, 0); 4qe.II.6(0, 12 , 12 , 0) 4q.III.a (+, 0; []; {(2, 2, q)})′(+, 0; []; {(q, q)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g3 − 2 2 2 g1 , g2 , g 3 , (g1 g2 )q , (g1 g3 )2 , (g2 g 3 )2 ), g1 , g2 ∈ S21 , g3 ∈ S21 R1 • 4q.III.a.1(0, 0, 0); 4q.III.a.2( 21 , 21 , 0); ◦ 4qe.III.a.3(0, 21 , 0)
22
4q.III.b (+, 0; []; {(2, 2, q)})′(+, 0; [2, 2, q]; {}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g3 − S22 , g3 ∈ S21 R1 • 4q.III.b.1(0, 0, 0);
g12 , g22 , g 23 , (g1 g2 )q , (g1 g3 )2 , (g2 g 3 )2 ), g1 , g2 ∈ 4q.III.b.2( 21 , 12 , 0); ◦ 4qe.III.b.3(0, 21 , 0) ′
4q.III.c (+, 0; []; {(2, 2, q)}) (+, 0; [q]; {(1)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g 3 − g12 , g2q , g23 , g1 g2 g1 g2−1 , (g1 g3 )2 , (g2 g 3 )2 ), g1 ∈ S21 , g2 ∈ S22 , g3 ∈ S21 R1 • 4q.III.c.1(0, 0, 0); 4q.III.c.2(0, kq , 0) k := 1...⌊ 2q ⌋; 4q.III.c.3( 12 , 0, 0); 4q.III.c.4( 12 , kq , 0), k := 1...⌊ 2q ⌋ 4qe.III.d (+, 0; []; {(2, 2, q)})′ (+, 0; []; {(2, 2, 2q )}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g 3 − q g12 , g22 , g 23 , (g1 g2 )2 , (g1 g 3 )2 , (g2 g3 g2 g 3 ) 2 ), g1 , g2 ∈ S21 , g3 ∈ S21 R1 • 4qe.III.d.1(0, 0, 0), 4qe.III.d.2(0, 12 , 0); 4qe.III.d.3( 12 , 0, 0); 4qe.III.d.4( 12 , 12 , 0) 4qe.III.e (+, 0; []; {(2, 2, q)})′(+, 0; [2]; {( 2q )}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g3 − q 2 2 2 g1 , g2 , g 3 , (g1 g2 ) 2 , (g1 g 3 )2 , (g2 g 3 )2 ), g1 ∈ S21 , g2 ∈ S22 , g 3 ∈ S21 R1 • 4qe.III.e.1(0, 0, 0); 4qe.III.e.2( 21 , 12 , 0); ◦ ha q osztható néggyel 4qf .III.e.3(0, 21 , 0); 4qf .III.e.4( 12 , 0, 0). 5q.I (+, 0; [q]; {(1)}), q ≥ 1 • Γ0 = (g1 , g2 − g12 , g2q , (g1 g2 g1 g2−1 ), g1 ∈ ∈ S22 • 5q.I.1(0, 0); 5q.I.2(0, kq ), k := 1...⌊ 2q ⌋; 5q.I.3( 12 , 0); 5q.I.4( 21 , kq ), k := 1, ..., ⌊ 2q ⌋ Ez a Γ fixpontmentesen hat a téren akkor és csak akkor ha (k, q) = 1, ekkor S2 × R/Γ nem-irányítható kompakt sokaság (térforma). 5q.II (+, 0; [q]; {(1)}), q ≥ 1 • Γ0 = (g1 , g2 , g−g12 , g2q , g 2 , (g1 g2 g1 g2−1 ), (g1 g)2 , (g2 gg2−1 g)), g1 ∈ S21 , g2 ∈ S22 , g ∈ R1 • 5q.II.1(0, 0, 0); 5q.II.2( 12 , 0, 0); 5qe.II.3(0, 21 , 0); 5qe.II.4( 12 , 12 , 0) 5q.III.a (+, 0; [q]; {(1)})′ (+, 0; [q]; {}), q ≥ 1 • Γ0 = (g1 , g2 −g1q , g 22 , (g1 g2 g1−1 g 2 )), g1 ∈ S22 , g2 ∈ S21 R1 • 5q.III.a.1(0, 0); ◦ 5qe.III.a.2( 21 , 0) 5qe.III.b (+, 0; [q]; {(1)})′ (+, 0; [ 2q ]; {(1)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 − q 2 g1 , (g2 g2 ) 2 , 1 2 2 (g −1 2 g1 g 2 g1 )), g1 ∈ S1 , g 2 ∈ S2 R1 • 5qe.III.b.1(0, 0); ◦ 5qe.III.b.2( 2 , 0) q q ′ 5qe.III.c (+, 0; [q]; {(1)}) (−, 1; [ 2 ]; {}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g 2 − (g1 g1 ) 2 , g 22 , (g 2 g1−1 g2 g1 )), g1 ∈ S23 , g2 ∈ S21 R1 • 5qe.III.c.1(0, 0); 5qe.III.c.2( 21 , 0)
S21 , g2
6q.I (+, 0; [2]; {(q)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 − g12 , g22 , (g1 g2 g1 g2 )q ), g1 ∈ S21 , g2 ∈ S22 • 6q.I.1(0, 0); 6q.I.2(0, 21 ); 6q.I.3( 21 , 0); 6q.I.4( 12 , 12 ) 6q.II (+, 0; [2]; {(q)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g2 , g−g12 , g22 , g2 , (g1 g2 g1 g2 )q , (g1 g)2 , (g2 g)2 ), g1 ∈ S21 , g2 ∈ S22 , g ∈ R1 • 6q.II.1(0, 0, 0); 6q.II.2(0, 21 , 0); 6q.II.3( 21 , 0, 0); 6q.II.4( 21 , 21 , 0) 6q.III.a (+, 0; [2]; {(q)})′(+, 0; []; {(q, q)}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g 2 − g12 , g 22 , (g1 g2 g1 g2 )q ), g1 ∈ S21 , g2 ∈ S22 R1 • 6q.III.a.1(0, 0); 6q.III.a.2( 21 , 0) 6q.III.b (+, 0; [2]; {(q)})′ (+, 0; [2, 2, q]; {}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g 2 − g12 , g 22 , (g1 g2 g1 g2 )q ), g1 ∈ S22 , g2 ∈ S21 R1 • 6q.III.b.1(0, 0); 6q.III.b.2( 21 , 0) 6q.III.c (+, 0; [2]; {(q)})′(−, 1; [q]; {}), q ≥ 2 • Γ0 = (g1 , g 2 − (g1 g1 )q , g 22 , k , 0), k := 1...⌊ 2q ⌋ (g1 g2 )2 ), g1 ∈ S23 , g2 ∈ S21 R1 • 6q.III.c.1(0, 0); 6q.III.c.2( 2q 7q.I (−, 0; [q]; {}), q ≥ 1 • Γ0 = (g1 −(g1 g1 )q ), g1 ∈ S23 • 7q.I.1(0); 7q.I.2( 12 ); k 7q.I.3( 2q ), q ≥ 2, k := 1...q − 1. Γ fixpontmentesen hat akkor és csak akkor ha
23
(k, q) = 1, tehát q = 1, k = 0 and k = 1 esetén, ekkor S2 ×R/Γ nem-irányítható kompakt sokaság. 7q.II (−, 0; [q]; {}), q ≥ 1 • Γ0 = (g1 , g − (g1 g1 )q , g2 , (g1 gg1−1 g2 )), g1 ∈ 2 S3 , g ∈ R1 • 7q.II.1(0, 0); 7q.II.2( 21 , 0) 7q.III (−, 0; [q]; {})′ (+, 0; [q]; {}), q ≥ 1 • Γ0 = (g1 , g2 −g1q , (g 2 g 2 g1−1 ), g1 ∈ S22 , g2 ∈ S23 R1 • 7q.III.1(0, 0) Γ fixpontmentes akkor és csak akkor ha q = 1. Ekkor S2 × R/Γ irányítható kompakt sokaság. 8.I (+, 0; [2, 3, 3]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 − g12 , g23 , (g1 g2 )3 ), g1 , g2 ∈ S22 • 8.I.1(0, 0); 8.I.2(0, 13 ) 8.II (+, 0; [2, 3, 3]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 , g−g12 , g23 , (g1 g2 )3 , g 2 , (g1 gg1 g), (g2 gg2−1 g)), g1 , g2 ∈ S22 , g ∈ R1 • 8.II.1(0, 0, 0) 9.I (+, 0; [2, 3, 4]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 − g12 , g23 , (g1 g2 )4 ), g1 , g2 ∈ S22 • 9.I.1(0, 0); 9.I.2( 12 , 0) 9.II (+, 0; [2, 3, 4]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 , g−g12 , g23 , (g1 g2 )4 , g 2 , (g1 gg1−1 g), (g2 gg2−1 g)), g1 , g2 ∈ S22 , g ∈ R1 • 9.II.1(0, 0, 0); 9.II.2( 21 , 0, 0) 9.III (+, 0; [2, 3, 4]; {})′(+, 0; [2, 3, 3]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 , g 3 , −g12 , g23 , (g1 g2 )3 , g43 , (g1 g23 ), (g2 g 3 )2 ), g1 , g2 ∈ S22 , g 3 ∈ S22 R1 • 9.III.1(0, 0, 0); 9.III.2(0, 31 , 0) 10.I (+, 0; [2, 3, 5]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 − g12 , g23 , (g1 g2 )5 ), g1 , g2 ∈ S22 • 10.I.1(0, 0) 10.II (+, 0; [2, 3, 5]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 , g−g12 , g23 , (g1 g2 )5 , g 2 , (g1 gg1 g), (g2 gg2−1 g)), g1 , g2 ∈ S22 , g ∈ R1 • 10.II.1(0, 0, 0) 11.I (+, 0; []; {(2, 3, 3)}) • Γ0 = (g1 , g2 , g3 −g12 , g22 , g32 , (g1 g2 )2 , (g1 g3 )3 , (g2 g3 )3 ), g1 , g2 , g3 ∈ S21 • 11.I.1(0, 0, 0); 11.I.2( 12 , 12 , 12 ) 11.II (+, 0; []; {(2, 3, 3)}) • Γ0 = (g1 , g2 , g3 , g−g12 , g22 , g32 , (g1 g2 )2 , (g1 g3 )3 , (g2 g3 )3 , g2 , (g1 g)2 , (g2 g)2 , (g3 g)2 ), g1 , g2 , g3 ∈ S21 , g ∈ R1 • 11.II.1(0, 0, 0, 0); 11.II.2( 21 , 12 , 21 , 0) 11.III (+, 0; []; {(2, 3, 3)})′(+, 0; [2, 3, 3]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 , g3 −g12 , g23 , (g1 g2 )3 , g23 , (g1 g3 )2 , (g2 g 3 )2 ), g1 , g2 ∈ S22 , g3 ∈ S21 R1 • 11.III.1(0, 0, 0), 11.III.2(0, 13 , 0) 12.I (+, 0; []; {(2, 3, 4)}) • Γ0 = (g1 , g2 , g3 −g12 , g22 , g32 , (g1 g2 )2 , (g1 g3 )3 , (g2 g3 )4 ), g1 , g2 , g3 ∈ S21 • 12.I.1(0, 0, 0); 12.I.2(0, 12 , 0); 12.I.3( 12 , 0, 21 ); 12.I.4( 21 , 12 , 21 ) 12.II (+, 0; []; {(2, 3, 4)}) • Γ0 = (g1 , g2 , g3 , g−g12 , g22 , g32 , (g1 g2 )2 , (g1 g3 )3 , (g2 g3 )4 , 2 g , (g1 g)2 , (g2 g)2 , (g3 g)2 ), g1 , g2 , g3 ∈ S21 , g ∈ R1 • 12.II.1(0, 0, 0, 0); 12.II.2(0, 21 , 0, 0); 12.II.3( 12 , 0, 21 , 0); 12.II.4( 12 , 12 , 12 , 0) 12.III.a (+, 0; []; {(2, 3, 4)})′(+, 0 : [2, 3, 4]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 , g3 − 2 3 g1 , g2 , (g1 g2 )4 , g23 , (g1 g3 g1 g 3 ), (g2 g 3 g2 g 3 )), g1 , g2 ∈ S22 , g 3 ∈ S21 R1 • 12.III.a.1(0, 0, 0); 12.III.a.2( 12 , 0, 0, 0) 12.III.b (+, 0; []; {(2, 3, 4)})′(+, 0; []; {(2, 3, 3)}) • Γ0 = (g1 , g2 , g3 − 2 2 g1 , g2 , (g1 g2 )3 , g23 , (g1 g3 )2 , (g2 g 3 )4 ), g1 , g2 ∈ S21 , g 3 ∈ S21 R1 • 12.III.b.1(0, 0, 0); 12.III.b.2( 21 , 12 , 0)
24
g1 t t -1
g -11
5. Ábra Egy lehetséges fundamentális tartomány (Schlegel diagramja) a következő prezentációval: Γ1q.I.1 = (g1 , t − g1q , g1 tg1−1 t−1 ) Itt a τ = t : ft−1 7→ ft eltolás, és a g1 = g1 : fg−1 7→ fg1 forgatás lesznek a generátorok. Később az f 1 szimbólunot elhagyjuk, ahogy az ábrákon is látható lesz. 12.III.c (+, 0; []; {(2, 3, 4)})′(+, 0 : [3]; {(2)}) • Γ0 = (g1 , g2 , g 3 −g12 , g23 , (g1 g2−1 g1 g2 )2 , g23 , (g1 g3 )2 , (g2 g 3 )2 ), g1 ∈ S21 , g2 ∈ S22 , g3 ∈ S21 R1 • 12.III.c.1(0, 0, 0); 12.III.c.2(0, 31 , 0); 12.III.c.3( 12 , 0, 0); 12.III.c.4( 12 , 13 , 0) 13.I (+, 0; []; {(2, 3, 5)}) • Γ0 = (g1 , g2 , g3 −g12 , g22 , g32 , (g1 g2 )2 , (g1 g3 )3 , (g2 g3 )5 ), g1 , g2 , g3 ∈ S21 • 13.I.1(0, 0, 0); 13.I.2( 12 , 12 , 12 ) 13.II (+, 0; []; {(2, 3, 5)}) • Γ0 = (g1 , g2 , g3 , g−g12 , g22 , g32 , (g1 g2 )2 , (g1 g3 )3 , (g2 g3 )5 , 2 g , (g1 g)2 , (g2 g)2 , (g3 g)2 ), g1 , g2 , g3 ∈ S21 , g ∈ R1 • 13.II.1(0, 0, 0, 0); 13.II.2( 12 , 12 , 12 , 0) 13.III (+, 0; []; {2, 3, 5})′(+, 0; [2, 3, 5]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 , g 3 −g12 , g23 , (g1 g2 )5 , g 23 , (g1 g3 )2 , (g2 g 3 )2 ), g1 , g2 ∈ S22 , g3 ∈ S21 R1 • 13.III.1(0, 0, 0) 14.I (+, 0; [3]; {(2)}) • Γ0 = (g1 , g2 − g12 , g23 , (g2 g1 g2−1 g1 )2 ), g1 ∈ S21 , g2 ∈ S22 • 14.I.1(0, 0); 14.I.2(0, 13 ); 14.I.3( 21 , 0); 14.I.4( 12 , 31 ) 14.II (+, 0; [3]; {(2)}) • Γ0 = (g1 , g2 , g−g12 , g23 , (g2 g1 g2−1 g1 )2 , g2 , (g1 g)2 , (g2 gg2−1 g)), g1 ∈ S21 , g2 ∈ S22 , g ∈ R1 • 14.II.1(0, 0, 0); 14.II.2( 12 , 0, 0) 14.III (+, 0; [3]; {(2)})′ (+, 0; [2, 3, 3]; {}) • Γ0 = (g1 , g2 , g 3 −g13 , g23 , (g1 g2 )2 , g23 , (g1 g3 g2 g3 ), (g1 g2 g3 )2 ), g1 , g2 ∈ S22 , g3 ∈ S21 R1 • 14.III.1(0, 0, 0) Most illusztrációként bemutatjuk mindhárom pontcsoportosztályba tartozó egy-egy tércsoportosztály lehetséges alaptartományát a hozzá tartozó prezentációval. Elsőként a gömbi q-ad rendü forgáscsoportból származtatott I-es tipusbeli tércsoportosztályt mutatjuk be. Itt a triviális esetet illusztráltuk tehát amikor a gömbi forgatáshoz tartozó R-beli törteltolási rész zérus. A következő ábrán a (+, 0, [], {(2, 2, q)}) Macbeath szignatúrához tartozó IIes osztálybeli csoportszériát ábrázoltuk amikor a gömbi tükrözés generátorokhoz tartozó R eltolási rész 12 . Végül a 7.ábrán a (+, 0, [q]{(1)}) szignatúrához tartozó III tipusbeli megoldást kivánunk szemléltetni. (Itt a q szám páros.)
25
r2 r
m m’
3
r1
6. Ábra Γ4q.II.4 = (m, m′ , r1 , r2 , r3 − r21 , r22 , r23 , (r2 r3 )2 , (r1 r3 )2 , (r1 r2 )q , m2 , (m′ )2 , mr1 m′ r1 , mr2 m′ r2 , mr3 m′ r3 ) Itt m = (g, 1), m′ = (g, 0), ri = (g, 0)(gi , 12 ) i = 1, 2, 3.
s r s
r’
-1
q
7.Ábra Γ5qe.III.a.2 = (r, r′ , s − r2 , (r′ )2 , (ss) 2 , rsr′ s−1 , rs−1 r′ s) Most s = (g 2 , 0)(g1 , 21 ), s−1 = (g1−1 , − 21 )(g 2 , 0), r = (g 2 , , 0), r′ = (g 2 , 1). Eredményeinket az alábbi tételben és a 3.Táblázatban foglaljuk össze: 4.1.2 Tétel Az S2 × R térben végtelen sok tércsoport ekvivariancia osztály létezik , amelyek mindegyike fel van sorolva a fenti táblázatban pontosan egyszer. Statisztikánkat a 3. Táblázatban foglaltuk össze, a 4.Táblázat az S2 × R sokaságokat tartalmazza. 3.Táblázat S2 × R pontcsoportjainak osztályai ⋆ hozzájuk tartozó tércsoportok száma
26
Tipus I II III tipusonként összegezve összes
a végtelen szériák 1-7-ig 1|1|1|1|1|1|1 ⋆ 2|3|3|6|4|4|3 1|1|1|1|1|1|1 ⋆ 2|3|3|6|4|4|2 1|2|2|5|3|3|1 1|2,2|2,2|3,3,4,4,4|2,2,2|2,2,2|1 7+7+17 ⋆ 25+24+40 31 ⋆ 89
⋆
véges szériák 8-14 1|1|1|1|1|1|1 ⋆ 2|2|1|2|4|2| 4 1|1|1|1|1|1|1 ⋆ 1|2|1|2|4|2|2 0|1|0|1|3|1|1 ⋆ 0|2|0|2|2,2,4|1|1 7+7+7 ⋆ 17+14+14 21 ⋆ 45
4.Táblázat S2 × R térformák osztályai hasonlósági ekvivariancia erejéig Szimbólum 1q.I.( kq ) 5q.I.( 21 , kq ) 7q.I.1(0) 7q.I.2( 21 ) k ) 7q.I.3( 2q 7q.III
Feltételek (k, q) = 1, k ≤ ⌊ 2q ⌋ (k, q) = 1, k ≤ ⌊ 2q ⌋ q=1 q=1 q ≥ 2, (k, q) = 1 q=1
Irányíthatóság irányítható nem irányítható nem irányítható nem irányítható nem irányítható irányítható
A [8] dolgozatban meghatároztuk az S2 × R sokaságok 4 diffeomeorfizmus ekvivariancia osztályát is. Ezt itt nem részletezzük.
4.2.
A H2 × R tércsoportjainak osztályozásáról
A H2 × R térben a III. tipusú tércsoportok meghatározása viszont igen nehéz problémát vet fel, nevezetesen a lehetséges G′ G párok megadásának kérdését. A probléma tehát adott szignatúrához a csoport 2-indexű részcsoportjainak a meghatározása. Az egzisztencia kérdése eldönthető a szignatúra alapján. Például irányításváltó G′ -ben az irányítástartó G részcsoport 2 indexü. Ha G′ irányítástartó és valamelyik forgásrendje páros, akkor létezik 2 indexü G részcsoportja. Általában az alaptartomány „alkalmas”megkettőzésével jutunk egy 2 indexü részcsoport alaptartományához. Általában viszont nem egy, hanem több 2-indexű csoport is létezik, és a kiválasztás valamint a reprezentáció nagyban függhet az alaptartomány megadásától is. A feladat tehát adott alaptartományra egy véges algoritmus megadása, amely felsorolja az alaptartományhoz tartozó G′ 2-indexű részcsoportjait. Ezen feladat megoldását most nem vesszük célba, csupán reprezentatív példákat adunk. Megemlítjuk, a probléma nehézségét illusztrálandó, hogy a feladat algebrai módszerekkel való megoldására még a lényegesen egyszerűbb Fuchs csoportok (irányítástartó transzformációk) esetén sem kerülhetett sor, lásd [2]-t. 27
Most a G′ = (+, 1; [2, p, 2q]; {(1)}); 2 ≤ p, q ∈ N
(4.1)
csoporthoz válasszuk a 8.ábra szerinti 2 indexű G1 = (+, 2; [p, p, q]; {(1), (1)})
(4.2)
részcsoportot. Szemléletesen tehát a nagyobb csoportban szereplő r másodrendű forgatást elhagyva, az alaptartományt r-képével megduplázva képezünk egy 2-indexű részcsoportot, ahol a 2-rendű forgáscentrummal szomszédos csúcs G1 -ekvivalenseinél a szögösszeg megduplázódik, ezért itt q-rendű forgáscentrumot kapunk (8.ábra). Az (1.3)-as képletbe behelyettesítve G′ esetén: 2 2 2 1 2 T κ = π{( − 2) + ( − 2) + ( − 2) + (−2) + 2(2 − 2)} = π(−7 + + ) (4.3) 2 p 2q p q G1 esetén pedig 2 2 4 2 T κ = π{2( − 2) + ( − 2) + 2(−2) + 2(2 − 4)} = π(−14 + + ). p q p q
(4.4)
Ez valóban kétszer akkora, mint az előbbi (κ = −1, valóban a H2 síkban kell és lehet realizálni a csoportokat). Ugyancsak a 8.ábra szellemében [9], de mr =: g(∈ H23 ) eltolástükrözéssel párosítva az m és m sokszögoldalakat, kapjuk a H2 -beli G2 csoportot. G2 = (−, 6; [p, p, q]; {})
(4.5)
Az (1.3) formulába helyettesitve nyerjük - a χ = l + c − e = 1 + 4 − 9 = −4 és χ = 2 − αg (most α = 1) formulák alapján, −6 = −g, azaz nemirányítható 6 nemszámú felületre - a kombinatorikus mértéket: 2 4 2 2 T κ = π[2( − 2) + ( − 2) + (0) + 2(−4)] = π(−14 + + ). p q p q
(4.6)
Ez összhangban van az eddigiekkel: G1 és G2 különböző, de mindegyik 2 indexű részcsoport G′ -ben. (8.ábra) A csoportok I-III tipusainak meghatározása után, a következő lépés a csoport elemeihez tartozó R-irányú eltolási részek meghatározása. Ehhez az ún. Frobenius-féle kongruenciarelációkat kell megoldanunk, tekintettel (2.2)-re, illetve a csoportok lényegében (1.2) alapján adódó definiáló relációira. Majd a megoldások ekvivariancia osztályokba sorolása következhet. Ezt az ekvivarianciát a következő fejezetben részletesebben tárgyaljuk. Most kicsit kirészletezve bemutatunk egy mintapéldát, amelyből többféle ^ Π × R-beli tércsoportot, sőt SL 2 R sokaságokat is származtathatunk (9.ábra). Tekintsük a G(u)-val jelölt G(u) = (−1, ; [2, u]; {}), 28
p 2q
2q
2q
a1
r1
r1
-1
e1
-1
-1
-1
b1
(g )
m
2q a1 2q
b1
2q
e 1 -1
r
2q
2
2q b2 a2
m
2q
(g) 2q e2 r2
2q
2q
p 8. Ábra Prezentáló alaptartományok a −1 −1 2q G′ = [m, r, r1 , e1 , a1 , b1 − m2 , r2 , r1p , me1 me−1 1 , (re1 r1 a1 b1 a1 b1 ) ], G1 = [m, r1 , e1 , a1 , b1 ; m(= rmr), r2 (= rr1 r), e2 (= re1 r), a2 (= ra1 r), b2 (= −1 −1 −1 −1 −1 q rb1 r) − m2 , m2 , r1p , r2p , me1 me−1 1 , me2 me2 , (e1 r1 a1 b1 a1 b1 e2 r2 a2 b2 a2 b2 ) ], G2 = [r1 , e1 , a1 , b1 ; g(= mr), r2 (= rr1 r), e2 (= re1 r), a2 (= ra1 r), b2 (= rb1 r) − −1 −1 −1 −1 q r1p , r2p , g −1 e1 ge−1 2 , (e1 r1 a1 b1 a1 b1 e2 r2 a2 b2 a2 b2 ) ] hiperbolikus síkcsoportokra a Poincaré algoritmus alapján.
29
azaz G(u) = (g1 , g2 − g12 , (g1 g2 g2 )u ) g1 ∈ Π2 , g2 ∈ Π3
(4.7)
Π-beli háromszögcsoport szériát [1],[9], amely az u pararaméter változtatásával különböző Π síkokban realizálódik, nevezetesen u = 1 esetén szférikus, u = 2 esetén euklideszi, u ≥ 3 esetén pedig hiperbolikus síkcsoportot határoz meg, minthogy 2 2 2 T κ = π[( − 2) + ( − 2) + 2(2 − 1)] = π[−1 + ] (4.8) 2 u u Most főleg az u ≥ 3 hiperbolikus esettel foglalkozunk, a fenti síkcsoportot I-es tipusú H2 × R-beli tércsoporttá bővítve. A fenti prezentálás alapján a (g1 , τ1 ), (g2 , τ2 ) generátorokra a Frobenius-féle kongruenciarelációkat felírva 2τ1 ≡ 0 (τ1 + 2τ2 )u ≡ 0
(mod 1).
(4.9)
Ezek megoldásai az u ≥ 3 esetben 1 1 k (τ1 , τ2 ) ≡ (0, 0), (τ1 , τ2 ), ≡ ( , ) (τ1 , τ2 ) ≡ (0, ), k = 1, 2, . . . , u 2 4 2u
(4.10)
tetszőleges u-ra, illetve 1 k 1 (τ1 , τ2 ) ≡ ( , 0); (τ1 , τ2 ) ≡ ( , ) k = 1, . . . , u 2 2 2u
(4.11)
megoldások is fellépnek még, ha u páros.
5.
Ekvivariancia, algebrai és geometriai izomorfizmus
A számításba jövő összes csoportosztály meghatározása után a fő kérdés a csoportok ekvivalenciájának meghatározása. Az ekvivariancia fogalma adja az osztályozás alapját, amely geometriai izomorfizmust jelent, megkülönböztetve a csoportok algebrai izomorfizmusától. Az ekvivariancia fogalmát lényegében Macbeath vezette be 2 dimenziós geometriákra. Most röviden tárgyaljuk a Π alapsíkbeli síkcsoportok ekvivarianciáját, fölelevenítve a szükséges fogalmakat. A Π sík Γ1 és Γ2 csoportjait ekvivariánsnak nevezzük (geometriailag izomorfak vagy egyformán változók), a Π sík Hom(Π) homeomorfizmus csoportja szerint, ha ∃ h(∈ Hom(Π)) : X 7→ X ′ , (X, X ′ ∈ Π)és ϕ : Γ1 → Γ2 (5.1) csoportizomorfizmus, hogy bármely X ∈ Π és g ∈ Γ1 esetén Y = Xg ⇔ Y h = Xh(gϕ)
(5.2)
Xgh = Xh(gϕ) ⇒ gϕ = h−1 gh.
(5.3)
Ebből
30
t
-1
t g -1
g r
9. Ábra G(3) = (g1 , g2 − g12 , (g1 g2 g2 )3 ) r := (g1 , 0); g := (g2 , 0); t := (e, τ ) Γ = (r, g, t−r2 , (rgg)3 , rtrt−1 , gtg −1 t−1 ) Az u = 1, S2 ×R térben fellépő esetek a 2.Táblázatban 7, 2.I alatt megtalálhatók. Az u = 2, E2 × R = E3 esetén fellépő euklideszi tércsoportok (0, 0) ∼ Pba2(N o.32); (0, 14 ) ∼ Fdd2(43); (0, 12 ) ∼ Pnn2(34); ( 12 , 0) ∼ Pca21 (29); ( 12 , 14 ) ∼ Fdd2(43); ( 12 , 21 ) ∼ Pna21 (33) a nemzetközi táblázatok szerint. Az Fdd2 tércsoporthoz vezető fenti esetek ekvi^ variánsak Aff(E2 × R) szerint. Páratlan u ≥ 3 esetén (τ1 , τ2 ) ≡ ( 12 , 0) SL 2 Rsokasághoz vezet, amikor a Frobenius-féle (4.9)-es második kongruencia nem teljesül (lásd 2.3 fejezet). Tehát, a Γ1 , Γ2 csoportok ekvivariánsak, ha konjugáltak Hom(Π)-szerint. Felidézzük továbbá a szignatúrák ekvivarianciájának kritériumáról szóló tételeket [10], ahol most az i-edik peremkomponens diéderrendjeinek halmazát (Ci ) jelöli Tétel 5.1(Macbeath) Ha a Γ = (+; g; [m1 , . . . , mr ]; {(C1 ), . . . , (Ck )}) és a Γ′ = (+; g ′ ; [m′1 , . . . , m′r ]; {(C1′ ), . . . , (Ck′ )})
(5.4)
csoportok ekvivariánsak, akkor r = r′ , k = k ′ , a Γ-ban szereplő {mi } halmaz az {m′i } halmaz egy permutációja, és létezik a peremkomponensek olyan Φ{1,2,...,k} permutációja, hogy minden i-re Ci′ direkt ekvivalens CΦ(i) -vel (tehát az i-edik peremkomponensben szereplő {ni1 , . . . , nisi } számsor minden elemére nij = nΦ(i)j+l teljesül minden 1 ≤ j ≤ si esetén valamely l-re (mod si )), vagy minden i-re Ci′ inverz ekvivalens CΦ(i) -vel (tehát a peremkomponens minden elemére nij = nΦ(i)j−h teljesül (mod si )). Tétel 5.2(Macbeath) Ha a Γ = (−; g; [m1 , . . . , mr ]; {(C1 ), . . . , (Ck )}) és a Γ′ = (−; g ′ ; [m′1 , . . . , m′r ]; {(C1′ ), . . . , (Ck′ )}) 31
(5.5)
csoportok ekvivariánsak, akkor r = r′ , k = k ′ , a Γ-ban szereplő {mi } halmaz az {m′i } halmaz egy permutációja, és létezik a peremkomponensek olyan Φ{1,2,...,k} permutációja, hogy minden i-re Ci′ direkt vagy inverz ekvivalens CΦ(i) -vel. Mint már említettük, Macbeath bebizonyitotta az alábbi, a H2 -beli síkcsoportokra vonatkozó fontos tételt: Tétel 5.3(Macbeath) Ha a Γ és Γ′ csoportok izomorfak, akkor ekvivariánsak, azaz létezik a síknak olyan h homeomorfizmusa, hogy ϕ(Γ) = h−1 Γh teljesül. A Π × R térben az ekvivariancia két lehetséges fogalmát tárgyaljuk kiemelve a különbségeket, és a fő nehézségeket.
5.1.
A „hasonlósági” ekvivariancia
Az S2 × R térben használt definició analógiájára természetesen vezethetjük be általában Π × R-ben az ekvivariancia következő fogalmát: Definíció 5.1 A Π × R tér Γ1 és Γ2 tércsoportja ekvivariáns ⇔ ∃H := h × s : h ∈ Hom(Π ), s ∈ Sim(R), : Γ2 = H −1 Γ1 H,
(5.6)
ahol Hom(Π) jelöli a Π sík homeomorfizmus csoportjának azon legszűkebb részcsoportját amelyben a Π-beli ekvivariáns csoportok már konjugáltak. S2 esetében ez Isom(S2 ) lesz, E2 -ben mint jól tudjuk az affinitások csoportja lesz, H2 ben pedig bonyolultsága miatt itt most nem adunk meg ilyen szűkebb csoportot. A Π×R tércsoportokra vonatkozó fenti definíció természetesen adódik, ha figyelembe vesszük, hogy a Π-beli ekvivariáns csoportok Hom(Π)-ben konjugáltak, illetve az R-irányú rács hasonlóság erejéig adott. Látható továbbá az a fontos tény, hogy ha Γ1 és Γ2 hasonlósági ekvivariancia szerint ekvivariáns csoportok, akkor p(Γ1 ) és p(Γ2 ) ekvivarianciája természetesen adódik, ugyanis: Γ2 /LΓ2 = (H −1 Γ1 H)/LΓ2 = H −1 (Γ1 /LΓ1 )H.
5.2.
(5.7)
Ekvivariancia homeomorfizmussal
A másik általánosabb fogalom a faktorterek topológiai tulajdonságait jellemzi, mint látni fogjuk. Definíció 5.2 A Π × R tér Γ1 és Γ2 tércsoportja ekvivariáns ⇔ ∃H ∈ Hom(Π × R), : Γ2 = H −1 Γ1 H
(5.8)
Egy ilyen H homeomorfizmus tehát az x pont Γ1 -pályályát a H(x) pont Γ2 -pályályára képezi, igy homeomorfizmust indukál a T /Γ1 , T /Γ2 faktorterek között, T = Π × R. Az ekvivariancia tehát topológiai ekvivalenciát indukál, és természetesen algebrai izomorfizmust, de a megfordítás nem mindig igaz, mint látni fogjuk. En -ben ma már klasszikusnak számító tétel mondja ki, hogy két tércsoport akkor és csak akkor izomorf, ha affin konjugáltak. Tehát itt minden izomorfizmusnak létezik geometriai realizációja. Ugyanezt bizonyította Macbeath a 32
hiperbolikus síkban. Könnyen láthatjuk viszont, hogy ugyanez nem megy még az állandó görbületű S2 -ben sem, ugyanis pl. C2 ∼ = D1 (ahol C2 egy másodrendű forgatás által generált csoport, D1 egy gömbi főkörre való tükrözés által generált szintén két elemű csoport) de nyilván nem létezik geometriai realizáció, ugyanis: egy geometriai izomorfizmus megőrzi a transzformációk irányítástartását(tehát irányítástartó transzformáció képe szintén irányítástartó). Fontos kiemelnünk továbbá, hogy itt sajnos nem igaz, hogy ekvivariáns csoportok alapsíkbeli vetülete is ekvivariáns csoportot ad. Példaként említhetjük k az S2 × R-beli 7qo.I.3( 2q ) és 5qo.I.4( 12 , kq ) fixpont mentes csoportosztályokat, amelyek diffeomorf (igy homemeorf) ekvivariánsak [7],[8], de láthatóan különböző szignatúrához tartoznak. Láthatjuk azt is, hogy hasonlóság nem biztosíthatja az ekvivarianciát. Tehát az (5.1) szerinti osztályozás S2 ×R-ben valóban bővebb volt mint a valódi homeomorfizmus ekvivariancia osztályozás. Ezzel ellentétben E2 × R-ben az (5.1)-ből adódó releváns affinitás osztályozás ugyanazt kell adja mint az általánosabb homeomorfizmus ekvivariancia, ugyanis minden E2 × R-beli tércsoport egyben E3 -beli tércsoport is lesz. Visszatérve a Π × R tércsoport(osztályok) meghatározásának stratégiájához, a Frobenius kongruenciák megoldása után kapott csoportok halmazának ekvivariancia osztályokba sorolása a feladat. Ha az 5.1 szerinti definíciót tekintjük az osztályozás alápjául, akkor ezt az S2 × R-ben alkalmazottakhoz hasonlóan végezhetjük, nem nehéz belátni, hogy ugyanolyan tipusú transzformációk jönnek számitásba (amelyek tehát a csoportok ekvivarianciáját biztosítják). Ezek leírása megtalálható [5]-ben, ezt a továbbiakban nem kivánjuk részletezni. Fontos viszont megemlíteni, hogy az általános homeomorfizmus ekvivariancia S2 × R-hez hasonlóan (E2 × R-el ellentétben) kevesebb tércsoportosztályhoz vezethet, és mint említettük itt nem igaz, hogy ekvivariáns csoportok vetülete is ekvivariáns (tehát ugyanahhoz a szignatúrához tartozik izomorfia erejéig). Vagyis különböző szignatúrához tartozó E2 × R, H2 × R)-beli megoldások lehetnek ekvivariánsak, ami meglehetősen bonyolulttá teszi a problémát. Különösen fontos ez a térformákat adó fixpontmentes csoportoknál, ahol csak a transzformációk irányítástartásának az ekvivarianciával szembeni invarianciája lehet a támpont. Állítás 5.3 Ha a H2 × R-beli Γ1 , Γ2 első tipusbeli tércsoportok a 4.1 Tétel szerint, és homeomorf ekvivariánsak, akkor a H2 -beli vetületük is ekvivaráns. Bizonyítás Mivel most az 1R tükrözés nem eleme a tércsoportnak, és az Rirányú eltolások kommutálnak minden H2 -beli transzformációval, képezhetjük a következő direkt szorzat felbontást: R R R ∼ Γ1 ∼ = (Γ1 /LR Γ1 ) × LΓ1 , Γ2 = (Γ2 /LΓ2 ) × LΓ2 ,
(5.9)
R ∼ és ϕ(Γ1 ) = Γ2 miatt ϕ(Γ1 /LR Γ1 ) = Γ2 /LΓ2 következik, hiszen bármely két Rirányú rács hasonló. Ezek után a faktorcsoportok elemeinek R-beli eltolási részeitől eltekintve izomorf H2 -beli csoportokat kapunk, melyek Macbeath tétele (5.3 Tétel) szerint ekvivariánsak lesznek.
33
6.
Összegzés
Amint erre a 2.1-es fejezetben utaltunk a homogén 3-dimenziós geometriák vizsgálatait elsősorban a 3-dimenziós kompakt sokaságok osztályozásának kérdése motiválja. Ehhez kapcsolódva újabb önmagában is érdekes problémakörök kerültek az érdeklődés középpontjába, úgy mint a geometriák izometriacsoportjai illetve általában a diffeomorfizmuscsoportjuk, ezen csoportok diszkrét részcsoportjai : tércsoportok, térformákat létrehozó csoportok. Ezek a vizsgálatok pedig felvetnek további nem csak geometriai, hanem pl. algebrai problémákat is, említhetjük a 2 indexü részcsoport létezésének kérdését, ahogy azt a 4.2-es fejezetben jeleztük. Ebben a munkában az euklideszi tércsoportok osztályozásához hasonlóan megadtuk az S2 ×R tér kristálycsoportjainak osztályozását, illetve foglalkoztunk az eredményeknek a H2 × R (E2 × R) térre való kiterjesztésével. Tárgyaltuk a H2 ×R tér esetében fellépő különbségeket, nehézségeket. Ezek alapján a H2 ×R tér kompakt sokaságai osztályozásának a kérdése megoldhatónak tünik. Thurston [15]-ben használt, leírt módszereinek jogosságát részben megkérdőjelezi a 2.3-as fejezetben bevezetett új irányításváltó izometria, mellyel teljessé ^ tehető az SL 2 R tér izometriacsoportja, amely a tércsoportok sokaságok osz^ tályozásában játszik kulcsszerepet. Már sikerült SL 2 R-beli nem-irányítható kompakt sokaságot előállítani, ennek a térformának csoportja tartalmaz tehát irányításváltó eltolástükrözést. Ezeket az eredményeket a közeljövőben kívánjuk publikálni Molnár Emil tanár úrral közösen. Hasonlóan megvizsgálandó a Nil geometria esetében irányításváltó transzformáció bevezetésének a lehetősége, amely szintén érdemben befolyásolhatja a diszkrét csoportok osztályozását. Az S2 ×R, H2×R (illetve E3 , H3 , S3 ) terekben minden izometria előállítható ^ síktükrözések kompozíciójaként. Ezek után az SL 2 R és majd a Nil geometriában is generálható és vizsgálható lesz a teljes izometriacsoport, követve Felix Klein és Friedrich Bachmann gondolatait.
34
Hivatkozások [1] Bölcskei, A.; Molnár, E.: Graphische Realisierung der homogenen Dreieckpflasterungen in S2 , E2 und H2 . Geometrie-Tagung „107 Jahre Drehfluchtprinzip” Vorau, 1-6.Juni.1997 [2] Bundgaard, S.; Nielsen, J.: On the normal subgroup with finite index in F-groups, Mat. Tidsskr.,B (1951), 56-58. [3] Coxeter, H.S.M.; Moser, W.O.J.: Generators and relations for discrete groups, fourth ed. Springer-Verlag (1980) [4] Farkas, J.Z.: Az S2 × R és H2 × R terek izometriáról. TDK dolgozat BME (1998) [5] Farkas, J.Z.: Az S2 × R tércsoportjainak az osztályozása. TDK dolgozat BME (1999) [6] Farkas, J.Z.: Kristálycsoportok homogén geometriákban. TDK dolgozat BME (2000) [7] Farkas, J.Z.: The classification of S2 ×R space groups. Beitr¨ age zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry) Vol 42. No.1. (2001) 235-250. [8] Farkas, J.Z.; Molnár, E.: Similarity and diffeomorphism classification of S2 × R manifolds Proceedings of Colloquium on Differential Geometry, Debrecen, 25-30.07.2000 [9] Lucic, Z.; Molnár, E.: Combinatorial classification of fundamental domains of finite area for planar discontinuous isometry groups. Arch. Math. Vol.54, (1990), 511-520. [10] Macbeath A.M.: The classification of non-euclidean crystallographic plane groups. Canadian Journal Math. (1967), 1193-1205. [11] Molnár, E.: The projective interpretation of the eight 3-dimensional homogeneous geometries. Beitr¨ age zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), Vol.38 (1997), No.2. 261-288. [12] Ratcliffe, J.G.: Foundations of hyperbolic manifolds Springer-Verlag (1994) [13] Scott, P.: The geometries of 3-manifolds. Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 401-487. [14] Thurston, W. P.: Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 357-381. [15] Thurston, W.P.(ed. by Levy. S): Three dimensional geometry and topology, Vol.1 Princeton University Press (1997) (Ch.3.8,4.7)
35
