DITKAT KULIAH
DISUSUN OLEH HENDRO GUNTORO, S.PD
STIPER DHARMA WACANA METRO 2013 i
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ................................................................................................ Daftar isi .........................................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
1. Makna Matematika ............................................................................. 2. Matematika dan Ilmu Pengetahuan..................................................... 3. Operasi Bilangan Kompleks ............................................................... 4. Himpunan Semesta ............................................................................. 5. Hubungan antar Himpunan ................................................................. 6. Operasi Himpunan .............................................................................. 7. Hukum Matematika dalam Operasi Himpunan .................................. 8. Himpunan Ganda ................................................................................ 9. Garis bilangan dan Silang ................................................................... BAB II BASIS BILANGAN 1. Pendahuluan ........................................................................................ 2. Operasi Bilangan Basis ....................................................................... 3. Mengubah Basis .................................................................................. 4. Basis Duo Desimal..............................................................................
BAB III RELASI DAN FUNGSI 1. Pengertian ........................................................................................... 2. Macam-Macam fungsi ........................................................................ 3. Fungsi Linear ...................................................................................... 4. Fungsi Non Linier ...............................................................................
BAB IV KALKULUS 1. Diferensial Fungsi Turunan ................................................................ 2. Integral Fungsi Anti Turunan .............................................................
ii
BAB V
PENGGUNAAN INTEGRAL
1. Luas sebagai Limit suatu Jumlah ........................................................ 2. Menghitung Luas Daerah di Bawah Kurva ........................................ 3. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu x ............................................ 4. Luas Daerah antara Dua Kurva ........................................................... 5. Isi Benda Putar .................................................................................... 6. Panjang Busur ..................................................................................... BAB VI VEKTOR 1. Pendahuluan ........................................................................................ 2. Vektor Lajur dan Vektor Baris ........................................................... 3. Penjumlahan Dua Vektor .................................................................... 4. Penggandaan Vektor terhadap Vektor Lajur ...................................... 5. Pandangan Geometrik mengenai Vektor ...........................................
BAB VII MATRIK 1. Matrik Sebagai Bentuk Umum Suatu Vektor .................................... 2. Beberapa Macam Bentuk Matrik yang Khas ...................................... 3. Kesamaan Dua Buah Matrik ............................................................... 4. Penjumlahan Dua Buah Matrik........................................................... 5. Penggandaan Matrik ........................................................................... 6. Putaran Matrik .................................................................................... 7. Teras Suatu Matrik Segi ..................................................................... 8. Penggandaan Dua Buah Matrik Sekatan ............................................
BAB VIII DETERMINAN SUATU MATRIK 1. Pasangan Unsur Negatif dan Positif Suatu Matrik ............................. 2. Determinan Suatu Matrik.................................................................... 3. Mmor dan Kofaktor ............................................................................ 4. Sifat-sifat Diterminan ......................................................................... 5. Ordo dan Pangkat Suaut Matrik.......................................................... 6. Mencari Kebalikan Matrik dengan Matrik Ajoink .............................
iii
BAB IX
MATRIK KEBALIKAN
1. Transformasi Dasar terhadap Matrik, Baris, dan Lajur ...................... 2. Pangkat dan Bentuk Kanonik Suatu Matrik ....................................... 3. Matrik Kebalikan dan Sifat-sifatnya ................................................... 4. Mencari Matrik Kebalikan dengan Cara Penyapuan ..........................
BAB X
VEKTOR DAN GUGUS DAN PERSAMAAN LINEAR
1. Gugus Persamaan Linier ..................................................................... 2. Metode Doolilitle ................................................................................ 3. Vektor Di ruang Dimensi Tiga ........................................................... 4. Permasalahan dalam Vektor Tiga Dimensi ........................................ LAMPIRAN-LAMPIRAN DAFTAR KEPUSTAKAAN
iv
BAB I PENDAHULUAN
1. Makna Matematika Istilah matematika berasal dari bahasa Yunani Mathcin yang artinya mempelajari. Ada kaitannya dengan kata medha atau widya dalam bahasa sansekerta ya ng artinya kepandaian, integelensia, ketahuan,. Kata pasti timbul sebagai terjemahan dari bahasa Belanda Wiskunde. Penggunaan kata ilmu pasti untuk matematika, seakan-akan dalam matematika semua hal sudah pasti dan tidak pernah berubah. Pada hal tidak demikian, misalnya dalam aproskimasi, satatistika, peluang. Jadi istilah matematika lebih tepat digunakan daripada Ilmu Pasti, karena memang benar bahwa dengan menguasai matematika orang akan belajar mengatur jalan pemikirannya dan sekaligus belajar menambah kepandaiannya.
2. Matematika dan Ilmu Pengetahuan Ilmu pengetahuan (Science) berbeda dengan pengetahuan (Knowledge). Syarat ilmu pengetahuan : a. Memiliki penelitian : formal dan material b. Memiliki metoda tertentu c. Memiliki sistematika d. Bersifat universal Pembagian ilmu pengetahuan a. Ilmu pengetahuan Murni (Pure Science) b. Ilmu Pengetahuan Terapan (Applied Science) Matematika merupakan dasar atau landasan setiap ilmu pengetahuan (Mathematic is basic of science). Alasannya : Ilmu pengetahuan memerlukan bahasa untuk menyingkat logika dari pemikiran yang abstrak, matematika adalah bahasa yang sempurna bagi Ilmu pengetahuan. Jadi tidaklah mengherankan jika kemajuan dalam bidang ilmu pengetahuandan teknologi selalu di barengi oleh kemajuan yang cepat dalam matematika, merupakan alasan yang pertama. 1
Alasan kedua ialah : para ilmuwan sering membentuk model matematika Murni (Pure Mtematic) untuk menjelaskan fenomena yang sedang diteliti. Para ilmuwan bebas menggunakan matematika dengan tetap menghormati sistematis yang ada dalam matematika. Alasan ketiga ialah karena matematika tidak tergantung pada nilai-nilai ramalan bagi kebenarannya berdasarkan hukum, matematika memiliki tingkat ke bebasan yang tinggi daripada sebagian besar ilmu pengetahuan.
Unit aljabar
Unit Geometri Matematika Unit Arithmatika
-
Geometri bidang dua dimensi Geometri tiga dimensi Goneometri Geometri analis
-
Statistika Probability kalkulus
Sistem Bilangan dan Teori Gugus a. Sistem Bilangan dalam Matematika Dalam matematika bilangan yang kita kenal dan kita gunakan sehari-hari dapat digolongkan sebagai berikut :
Bilangan
Bilangan Khayal
Bilangan Nyata
Bilangan Irrasional
Bilangan Rasional
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat
1) Bilangan Nyata dapat positif maupun negatif 2) Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif . −4 3) Bilangan irasional adalah hasi1l bagi dari dua bilang yang berupa pecahan dengan 1
desimal tak terbatas. 3, 3, π
2
4) Bilangan rasional adalah hasil bagi antara dua bilangan yang berupa pecahan 1 3
desimal terbatas 4, 3, 4, 5) Bilangan bulat adalah hasil bagi dari dua bilangan yang hasilnya bulat termasuk nol 6) Bilangan pecahan adalah hasil bagi dari dua bilangan yang hasilnya pecahan dengan desimal terbatas atau tak terbatas. 7) Bilangan asli adalah semua bilangan bulat positif tidak termasuk nol 8) Bilangan cacah adalah semua bilangan bulat positif termasuk nol 9) Bilangan prima adalah yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi dengan dirinya sendiri dari bilangan asli. Bilangan Khayal (Bilangan Kompleks ) a. Pengertian Bilangan kompleks adalah bilangan ya ng berbentuk a + bi, a dan b, bilangan ral dan i2 = -1 Jika a + bi adalah sebuah bilangan komplek, maka a dinamakan bagian real dan b bagian imaginer. b. Diagram bilangan komplek Sebuah bilangan komplek x + yi dapat dianggap sebagai bilangan real terurut (x,y) bilangan tersebut geometrik dapat dinyatakan sebuah titik pada bidang x, y yang disebut bidang komplek atau bidang argand. Dalam hal ini kita menggunakan nama sumbu real untuk sumbu x dan sumbu imaginer untuk sumbu y. I
Gambar titik : 5,4i; 2-3i; -5+0i; -1 (5,4)
(-5,0)
Dinyatakan : (5,4); (2,-3); (-5,0); (0,-1); (5,4)
(0,-1) (2,-3)
3. Operasi Bilangan Kompleks a. Nilai mutlak Sebuah bilangan komplek 2 = x + yi dapat juga disajikan sebagai sebuah vektor yang berpangkat di titik 0 (0,0) pada bilangan argand dan berujung pada titik (x,y). Nilai mutlak bilangan komplek adalah panjang vektor yang menyajikan bilangan komplek tersebut. Nilai mutlak bilangan komplek sering disebut modulus atau panjang. Jika z = x +yi sebuah bilangan komplek maka modulus atau panjang z dinyatakan dengan IzI dan didefinisikan sebagai IzI = 3
𝑥2 + 𝑦2
Gambar Z1 = -3 + 4i dan Z2 = 5 -2i I Z1I
= (−32 ) + 42 (-3,4)
= 25 =5 I Z1I
= 52 + (−2)2 (5,-2)
= 25
b.
Kesamaan bilangan komplek Dua bilangan komplek Z1 = x1 + y1 i dan Z2 = x2 + y2 i dikatakan sama, hanya jika bagian real dan bagian imagernya sama Jadi, Z1 =Z2 jika dan hanya jika X1 = X2 dan Y1 = Y2 X + Yi = 4 + 3i ↔ X = 4 dan Y = 3
c. Penjumlahan dan pengurangan bilangan komplek Penjumlahan bilangan komplek Z1 = x1 + y1 i dan Z2 = x2 + y2 i didefinisikan sebagai : Z1 + Z2 = (x1 + x2 ) (y1 + y2) i Jika Z suatu bilangan komplek maka ada satu bilangan komplek yang dinyatakan dengan –Z disebut invers aditif atau negatif dari Z Penggunaan dua bilangan komplek Z1 = x1 + y1 i dan Z2 = x2 + y2 i didefinisikan
sebagai : Z1 - Z2 = (x1 - x2 ) + (y1 - y2) i d. Perkalian bilangan komplek Perkalian dua buah bilangan komplek Z1 = x1 + y1 i dan Z2 = x2 + y2 i didefinisikan
sebagai : Z1 Z2 = (x1 x2 + ½ ½ ) + (x1 y2 + x2 y1) i e. Bilangan komplek yang sekalian Dua bilangan komplek disebut sekalian apabila mereka berbeda tanda hanya pada bagian imaginernya. Jika Z = x + yi kawan dari Z adalah 𝑍 dan didefinisikan sebagai : 𝑍 = x – yi Kaidah : 1. Z. 𝑍 adalah bilangan real 2. Z. 𝑍 = (Z)2 3. 𝑍1 + 𝑍2 = Z1 + Z2 4. 𝑍1 𝑍2 = 𝑍 1 + Z2 = 5. 𝑍 = 𝑍 4
f. Pembagian bilangan komplek Jika Z bilangan komplek nol maka 𝑍 −1 atau ½ disebut invers perkalian. Jika Z = x + yi → 𝑍 −1 =
=
1
.
𝑥+𝑦𝑖
Jadi : 𝑍 −1 =
𝑥−𝑦𝑖 𝑥−𝑦𝑖
𝑥 𝑥 2 +𝑦 2
-
=
1 𝑥+𝑦𝑖
𝑥−𝑦𝑖 𝑥 2 +𝑦 2
𝑦 𝑥 2 +𝑦 2
. i
g. Penyelesaian persamaan kwadrat Jika x2 + 3x + 5 = o
=
X12
= =
−𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 −3± −11 2 −3±𝑖 11 2
X1
=
−3+𝑖 11 2
, X2 =
−3−𝑖 11 2
Susun PK yang akar-akarnya 1 + Zi dan 1 – Zi X1 = 1 + Z I dan X2 = 1 – Zi x1 + x2 = Z, x1 x2 = 5 PK yang dimaksud X2 – (x1 + x2 )X + x1 x2 = 0 X2 – 2 x + 5 = 0
Latihan 1. Jika Z = 1-I, buktikan Z2 – 2Z + 2 = 0 Cari akar yang lain 2. Susun PK yang akar-akarnya sebagai berikut: a. z + 31 b. 5 + 2𝑖 3 c. -4 + ½ i 2 1
1
d. 2 + 2 i 2 3. Hitunghlah 3−𝑖
a. 2−𝑖 b.
1+𝑖 2 1−𝑖
5
4. Carilah bolangna komplek (dua buah) yang jumlahnya = 4 dan hasil kalinya = 8! 5. Carilah bilangan real x dan y sedemikian, sehingga (x + y)2 = 40 + 42 i. 6. Buktikan (cos ℒ + 𝑖 sin ℒ)-1 = cos. ℒ - I sin ℒ) 7. Jika (a + bi)2 = i, tentukan a dan b 8. Carilah akar-akar persamaan a. Z2 + 2 Z + 1-i = 0 b. Z2 – (i- 2) Z + (3-i) = 0 2+3𝑖
9. Jika Z = 3+4𝑖 , tentukan bagreal dan imaginernya b. Pengertian gugus atau himpunan Dalam matematika, teori gugus atau himpunan bersifat sangat matematika. Berkenaan dengan sifat mendasarnya itu, maka pada bagian awal terlebih dulu diperkenalkan pengertian, gagasan, dan konsepsi teori himpunan. Dalam kehidupan sehari-hari manusia tanpa terasa sudah sering menerapkan konsepsi himpunan, perkumpulan HKTI, HMI, PEPI, secara tidak disadari sebetulnya sudah merupakan penerapan konsepsi himpunan dan gugus. Bahkan anak-anak mengelompokkan mainan yang sejenis dan membedakan kawan putra atau putri. Dapat disimpulkan bahwa gugus atau himpunan adalah suatu kump;ulan atau gugusan dari sejumlah objek, berupa lambang-lambang, mahluk yang mempunyai arti, yang dapat didefinisikan dengan jelas nama yang merupakan anggota gugus dan yang bukan, a € A, a € A Himpunan dinotasikan dengan huruf A,B,C,……………. Anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil a,b,c,…………….. a € A dibaca a anggota himpunan A a € A dibaca a bukan anggota himpunan A anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. A = {a.i,u,e,o}; B = {1,2,3,4}; C = {1.2.3.4} c. Penyajian himpunan dan banyaknya anggota himpunan 1) Penyajian himpunan ada dua cara a) Dengan cara mendaftar (roster Method), yaitu dengan cara menuliskan semua unsur 6
A = {a,i,u,e,o), B ={ senin, selasa, …., sabtu} b) Dengan cara perincian/sifat keanggotaan (ruler method), yaitu :dengan menulis sifat keanggotaannya. A = {x/x huruf abjad Yunani} B = {x/x nama hari dalam seminggu} Catatan :
Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital.
Nama anggota ditulis dengan huruf kecil
Anggota himpunan diletakkan diantara kurung kurawal
Setiap anggota dipisahkan dengan tanda koma
Tanda “I” sedemikian rupa sehingga
2) Banyaknya anggota himpunan Banyaknya anggota himpunan dinamakan juga bilangan kardinal, diberi lambang atau notasi “n”. jadi banyaknya anggota himpunan A ditulis n (A). Dari segi jumlah anggota ada dua jenis, yaitu himpunan terbatas dan tak terbatas a) Himpunan terhingga : A = {a,b,c,d,e,f,g} => n (A) = 7 B = {x/x bilangan ganjil dan 1 < x < 12} = {3,5,7,9,11} => n (B) = 5 b) Himpunan tak terhingga P = {x/x bilangan asli }=> P = {1,2,3,…} => n (P) = ∞ Q = {x/x bilangan ganjil} => Q + {1,3,5….} => n (Q) = ∞ 4. Himpunan Semesta, himpunan kosong dan diagram venn a. Himpunan Semesta – Universal Himpunan semesta atau Universal diberi lambang “S” atau “U”. himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Misalnya: A = {x/x mahasiswa STIPER – DW} S = {x/x mahasiswa PTS – DW} b. Himpunan kosong diberi lamabng “∅” atau “{}”. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. P = {x/x bilangan negatif dan , > 1} => n (P) =0
7
c. Diagram venn Untuk menyatakan himpunan secara visual, maka dapat dibuat diagram venn. Istilah diagram venn berasal dari seorang ahli bangsa Inggris yang menjadi tokoh logika matematika ialah JOHN VENN (1834-1923). Jika A = {a,b,c,d,d,f}, S = {a,b,c,d,e,f,g,h,i} maka diagram venn nya adalah sebagai berikut : S .i
A .a
.b
.d
.e
.c .f .g .h
5. Hubungan antar Himpunan a. Himpunan bagian atau sub set Himpunan bagian diberi notasi atau lambang “∁” A ∁ B, B ∁ A berarti B memuat atau mencakup A Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B ∁ A ∁ B, jika setiap unsur A adalah unsur B 1) Hukum tentang himpunan bagian a) Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri b) Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan c) Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dimana n adalah bilangan kardinal, dan sesuai dengan pola segitiga Pascal.
Dalam diagram venn S
B .b
D .a
.c
A = {a}. B = {a,b,c} => a ∁ B Banyaknya himpunan bagian = 2 n 2) Himpunan Kuasa adalah himpunan baru yang anggotanya terdiri dari semua himpunan yang menjadi himpunan bagian dari suatu himpunan. Notasi = 2 A.. A=> kuasanya = 2A. pola ∆ Paskal 8
A= {a,b,c} => sA = {},{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}. b. Himpunan berpotongan Himpunan berpotongan A dan B disebut berpotongn adengan lambang A )( B, jika : 1) Ada anggota A saja 2) Ada anggota B saja 3) Ada anggota sekutu A dan B A= {1,2,3,4,5,6}, B= {2,4,6,8,10} A )( B S
.1 .3 .5
.2 .4 .6
.8 .10
A
B
c. Himpunan lepas Himpunan A dan B saling lepas jika tidak ada anggota sekutu. Antara A dan B => diberi lambang A//B A = {1,3,6,7}, B + {2,4,5} A//B S
.1 .3 .6 . 7
.2 .4 .5
A
B
d. Himpunan yang sama Himpunan A disebut sama dengan B jika setiap unsur A juga unsur B. diberi lambang A = B A = {x/x bilangan asli < 10} B = {a,b,c,d}, B = {p,Q,r,s}
A=B
A =B
e. Himpunan setara Himpunan A setara dengan himpuannB, jika n (A) = n (B) A = {a,b,c,d}, B = {p,q,r,s} A=∞B a. b. c. d.
p. q. r. s.
9
6. Operasi Himpunan a. Gabungan dua himpunan Gabungan dua himpunan A dan B dengan lambang A ∪ B adalah himpunan baru yang anggotanya merupakan anggota A dan B A = {a,b,c}, B = {c,d,e} A ∪ B = {a, b, c, d, e} . .c .
.a .b
.d .e
A
B
b. Irisan dua himpunan Irisan dua himpunan A dan B dengan notasi A n B adalah himpunan baru yang anggotanya merupakan anggota sekutu A dan B A = {1,2,3}, B = {3,4,5,6} => A n B = {3} A = {a,b,c}, B = {d,e f} => a n B = {} B = {1,2,3,4}, B = {1,2,3,4,5,6}} => A n B = A c. Selisih dua himpunan Selisih antara dua himpunan A dan B dilambang kan A – B, adalah himpunan baru yang terdiri dari anggota A yang bukan anggota B. S . .13
2 3 5 7
.1 .2 .6 .8 9
A
.
B.e
. .13
1. 2 4. 3 65 8. 7 .9
.1 .2 .6 .8 9
.
.e B
S
A
A= {2,3,5,7,13] B = {1,2,3,….,9} A –b = {13} B – a {1,4,6,8,9}
10
d. Komplemen Komplemen dari himpunan A dilambangkan dengan A atau A1 dibaca bukan A, adalah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota S yang bukan A S .
A1
A
Ternyata A n A1 = n{} A U A1 = S 7. Hukum Matematika dalam Operasi Himpunan Dalam operasi himpunan berlaku hukum matematika sebagai berikut : 1. 2.
Hukum idempotent Hukum Asosiatif
3. 4.
Hukum komulatif Hukum distributif
5.
Hukum identitas
6. 7.
Hukum kelengkapan Hukum de Morgan
a. A U A = A b. A n a = a a. (A U B) U C = A U b. (A n B) n C = A n (B n C) (B U C) a. A U B = B U A b. A n B = B n A a. A U (B n C) = (A U b. A n (B U C) = (A n B) U B) n (A U C) (A n C) a. A U ∅ = A b. A n ∅ = ∅ AUS=S AnS=A a. A U A = S A = A b. A n A = ∅ U=S = ∅ =S a. (A u B = (A n B b. (A n B = (A u B
Latihan Jika : S = {0,1,2,….9}, P = {2,4,6,8}, Q = {0,5,9}, R = {3,7,9} Tentukan : 1. P, Q , R 2. P n Q, P u R, P u R, P n R 3. P-Q, Q-P, P-(Q-R), (P-Q)-R, P n Q 4. P u (Q n R), (P u Q) n ( P u R), P n (Q u R), (P n Q) u (P n R) 5. ( PnQ),(P n Q),( PnQ, (P u Q) 6. Buatlah dengan diagram venn 8. Himpunan Ganda Misalkan nilai ujian matematika mahasiswa STIPER berkisar antara 5 hingga 8, sedangkan pekerjaan rumah mahasiswa berkisar antara 6 hingga 8, maka mahasiswa yang mengikuti kuliah matematika mungkin mendapat nilai 5 untuk ujiannya dan 6 untuk pekerjaan rumah. Masalah tersebut dapat dituliskan dengan singkat dengan menggunakan himpunan ganda cartesius.
11
Kenyataan bahwa mahasiswa menerima atau mendapat nilai 5 untuk ujian dan 6 untuk PR dapat ditulis sebagai (1,i) yang dinamakan susunan ganda dua. Susunan tersebut mengandung unsur lambangkan yang khusus. Jadi (j,1) lain artinya dengan (1,i) dan menunjukkan hasil ujian j dan i sehingga pada umumnya berlaku (i,j) ≠ (j,i) Untuk masalah di atas susunan nilai (i,j) yang mungkin dapat diperoleh dapat dususun oleh himpunan yang unsurnya terdiri dari I ={5,6,7,8}dan j = {6,78} sehingga himpunan ganda yang diperoleh adalah {(5,6), (5,7), (5,8), (6,6), (6,7), (6,8), (7,6), (7,7), (7,8), (8,6), (8,7), (8,8)}. Nilai ujian membentuk himpunan i = {5,6,7,8} dan nilai PR membentuk himpunan j = {6,7,8}. Dengan menggunakan kedua himpunan i dan j kita telah membentuk himpunan berunsur 12. Himpunan itu dapat pula di catat dalam bentuk : I x j = {(i,j) / i € j} I x j dibaca i silang j, i product j} Jika P = {4,5,6,7,8} dan Q = {5,6,7,8} PxQ= 9. Garis bilangan dan Silang Suatu sifat penting dalam sistem bilangan real ialah bahwa setiap bilangan real dapat dilukiskan dengan tepat satu titik pada suatu garis lurus atau yang disebut “garis bilangan” melukiskan atau mewakili suatu bilangan real tertentu sehingga titik pada suatu garis lurus atau ya ng disebut garis bilangan. Sebaliknya setiap titik pada garis bilangan melukiskan atau mewakili suatu bilangan real tertentu, sehingga suatu bilangan a dapat dan sering disebut dengan titik a. pada garis bilangan dipilih satu titik o yang disebut titik awal. Untuk menunjukkan titik nol. Kemkudian ditetapkan satuan skala. Selanjutnya setiap bilangan positif x ditunjukkan oleh suatu titik sejauh x di sebelah kanan 0 dan bilangan real negatif x ditunjukkan oleh suatu titik sejauh x di sebelah kiiri 0. Jika a < b, maka a di sebelah kiri b. -
3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Silang pada garis bilangan a. Silang terbuka dari a ke b yang ditulis (a,b) diartikan sebagai A(b) = {s/a <x < b} a
b
12
b. Silang tertutup dari a ke b yang ditulis (a,b) diartikan sebagai [a,b] = {x/a < x
b
disamping silang terbuka dan tertutup terdapat silang tidak terbuka dan tidak tertutup, silang setengah terbuka dan setengah tertutup yaitu : [a,b), dan (a,b] c. Silang setengah terbuka [a,b) = {x/a < x < b} a
b
d. Silang setengah tertutup (a,b] = {x/a < x < b} a
b
Carilah HP dari pertidaksamaan : 2𝑥 −𝑥+1
<8
Jawab Kasus I ; jika –x +1 > 0, => x <1 Kalikan ke 2 ruas dengan –x +1 Didapat : 2x < -8x + 8 10x < 8 => x < 0,8 Maka HP kasus I adalah 4
{x/x < 1} n {x /< 5} 4
={x/x < 5 Kasus II: jika –x + 1 < 0 => x > 1 Kalikan ke 2 ruas dengan –x + 1 Didapat : 2 x > - 8x + 8 10x > 8 => x > 0,8 HP dari kasus II adalah: {x/x > 1} n {x/x > 0,8} = {x/x >1 2𝑥
Jadi HP dari −𝑥+1 adalah {x/x >1} n {x/x >0,8} u {x/x >1} = {x/x < 0,8 atau x > 1} Soal : Carilah HP dari (x-i) (x +5) > 0
13
Latihan 1. Dari 25 gadis terdapat 18 yang suka menjahit, 13 yang suka memasak dan 12 suka keduanya. a. Sajikanlah fakta tersebut dengan diagram venn b. Berapakah gadis yang tidak suka menjahit dan memasak 2. Dari sekelompok murid yang terdiri dari 16 orang, 10 murid gemar melukis, 12 murid gemar mengarang dan 8 murid gemar kedua-duanya. Gambarlah diagram venn himpunan –himpunan itu dan hitunglah banyaknya murid yang tidak gemar melukis maupun mengarang. 3. Pada seorang agen koran dan majalah terdapat 35 orang yang berlangganan kedua-duanya; 10 oragn yang hanya berlangganan koran dan 15 orang yang berlangganan majalah. a. Berapakah banyaknya langganan seluruhnya b. Gambarlah diagram venn himpunan-himpunan tersebut c. Berapakah banyaknya yang berlangganan koran dan berapa yang berlangganan majalah. 4. Suatu kelas terdiri dari 40 mahasiswa. 14 orang menyukai matematika. 15 orang menyukai fisika dan 13 orang menyukai biologi. Yang menyukai matematika dan fisika 8 orang. Yang menyukai fisika dan biologi 7 orang. Yang menyukai biologi dan matematika 6 orang . a. Buatlah diagram venn b. Berapa orang ya ng menyukai ketiganya c. Berapa orang yang tidak menyukai ketiganya.
14
BAB II BASIS BILANGAN
1. Pendahuluan Angka-angka yang digunakan dalam bilangan basis adalah bilangan terdiri dari 0,1,2, ……., (n-1)/ jadi sama dengan angka yang digunakan pada ilmu hitung modulus n. dalam bahasa sehari-hari kita menggunakan basis 10 atau sistem desimal. Misal : 234 = 2.102 + 3.101 + 4.100 7568 = 7.103 + 5.102 + 6 .101 + 8.100 Dalam basis 5 43 = 4.101 + 3.100 = 20 + 3 basis 10 jadi 43S = 2310 234 = 2.52 + 3.51 + 4.50 = 2.25 + 15 + 4 = 69 jadi 2345 = 6910 Catatan : 43 basis 5 jangan dibaca empat puluh tiga, tetapi empat tiga basis 5 = 435 Maka dalam basis 5 4 x 3 = 225 ( baca dua dua basis lima) 2 x 4 = 135 4 x 4 = 315 3 x 3 = 145 2 x 3 = 115 2. Operasi Bilangan Basis a. 2345 + 4325 = ……
b. 2435 + 345 = ……
234 432 (1221 )5
243 34
+
𝑥
2132 1334 + 21022 5
532 45
c. 5236 + 455 = …… 4303
+
3340 42103 6
15
3. Mengubah Basis 2314 dalam basis 5 akan di ubah menjadi basis 6 Ubah dahulu manjadi basis 10 23145 = 2.53 + 3.52 + 1 .51 + 4.50 = 1.50 + 75 + 4 = 334 Kemudian ubah menjadi basis 6
334 4
6
55 1
6
9
3
1 Maka 33410 = 1314 6 Contoh soal Carilah basis bilangan, sehingga 123 + 32 = 221 Penyelesaian : Misal basisnya = x 123x + 32x = 221x 1x2 + 2x + 3x0 + 3x + 2x0
= 2x2 + 2x + x0
x2 + 2x + 3+ 3x + 2
= 2x2 + 2x + 1
x2 + 5x + 5
= 2x2 + 2x + 1
x2 - 3x – 4
=0
(x-4) (x +1)
= 0 x1 = 4, x2 = -1
`
Jadi basis bilangan
=4
4. Basis 12 Duo Desimal Dalam basis 12 kita memiliki lambang bilangan : 0,1,2,3,4,5,7,8,9,p.b. Misalnya 4spb12 = 2.122 + 10.121 + 11 .120= 288 + 120 + 11 = 41910 259 62 4𝑏6
a. 25912 x 6212 = ..
12 𝑝 6 13356 12
b. Ppb12 x 2312 = …
𝑝𝑝𝑏 23 2889
199 𝑝 20669 12
Latihan : 1. Hitunglah : a. 2356 x 436 b. 3224 x 234 c. 4235 - 345 d. 23p12 + b45 e. Pb12 xbp12 f. 432g – 287g
16
2. Selesaikanlah a. 2345 = ….4 b. 2375 = …5 c. 1000102 = ……4=………3 d. 12314 = …2 (bilangan dengan basis 2 disebut biner) 3. Ditentukan persamaan 45x = 35y a. Carilah x jika y = 83 b. Carilah x min dan y min 4. Dengan basi 5 hitunglah a. 1331 : 14 = ……3 b. 5041 : 32 = ….. 5. Dengan basis berapa hubungan 123 + 41 = 214 6. Ubahlah dari basis 10 menjadi basis 12 a. 594 b. 1988 7. Suatu bilangan dengan basis 12 yang berakhir dengan 00, setelah diubah menjadi basis 10 habis dibagi dengan 122. Buktikan 8. Selesaikanlah. a. (9o3b)12 = (…..)7 = (….)2 b. (11011101011)2 = (….)5 = (….)8 = (….)12 9. (4567)8 (pb5p3)12 + (2343)5 (1011011)8 = (….)12 10.
8𝑝4𝑏 𝑝8𝑏4
12
+
1234 4321
5+
110101 1110111
2
= (……..)
11. (1101011)2 + (4321)5 – (8pb9)12 = (…..)7 12.
𝑝8𝑏0 2 2345 6
= (…..)2
13. Tentukan x dalam persamaan (234)x = 69 14. Tentukan basis bilangannya sehingga 434 + 43 = 1032 15. Diketahui persamaan 32x = 42 y a. Tentukan y jika x = 8 b. Tentukan x dan y min
17
BAB III RELASI DAN FUNGSI
1. Pengertian Relasi dan Fungsi a. Pengertian relasi Pengertian relasi atau hubungan sebenarnya sangat luas, apakah itu hubungan keluarga, sahabat atau saudara, lebih tinggi dan lain sebagainya atau hubungan di dalam matematika, misalnya >, < yang dinamakan pertidaksamaan, sama dan sebangun. Dalam pembicaraan ini, yang dimaksud relasi ialah himpunan bagian dari produk cartesius atau himpunan ganda. Jika x € A dan V € B maka hubungan antara x dan y ditulis sebagai xRy atau xHy dan kalau tidak ada hubungan x R y atau x R h. Misalkan : X himpunan mahasiswa STIPER-DW, y jurusan yang ada pada STIPER-DW. Pernyataan bahwa seorang x € x menjadi mahasiswa STIPER-DW dengan jurusan y€y dapat ditulis dengan notasi xRy atau xHy dibaca x mahasiswa jurusan y Catatan : yRx pada umkumnya tidak sama dengan xRy Misalkan: dalam hubungan saudara maka : xRy = yRx dibaca x saudara y atau y saudara x 1) Hubungan penataan, jika dipenuhi syarat sebagai berikut a) Untuk setiap pasang unsur x dan y ya ng berbeda hanya mungkin berlaku xRy saja atau yRx saja b) Unsur-unsur x,y,z yang berbeda, berlaku sifat menghantar transitip xRy dan yRz maka xRz Misalkan hubungan keturunan dan >, < adalah penataan. 2) Hubungan penataan tak lengkap, jika dipenuhi syarat sebagai berikut : a) Untuk setiap unsur x € y dan y € y, hubunga xRy dan yRx berlaku jika dan hanya jika x = y Sifat anti simetri = sifat setangkup Sifat anti simetri = sifat tolak setangkup dituliskan xRy dan yRx x = y b) Unsur-unsur x,y,z € x berlaku hubungan : xRy dan yRz berakibat xRz sifat transitip 18
misalkan : untuk relasi himpunan bagian memenuhi sifat penataan tak lengkap ACU, BCU, CCU. Maka ACB dan BCA A = B ACB dan BCC ACC U C
B
A
3) Hubungan kesetaraan atau equivalensi, jika memenuhi syarat sebagai berikut : a) Sifat memantul atau refleksi xRx b) Sifat setangkup atau simetris xRy juga berlaku yRx x =y c) Sifat menghantar atau transitip xRy dan yRz maka xRz
b. Pengertian fungsi Fungsi ialah suatu hubunga matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel atau perubah, koefisien dan konstanta. 1) Variabel Variabel
adalah
unsur
pembentuk
fungsi
yang
mencerminkan
atau
melambangkan faktor tertentu. Berdasarkan sifatnya di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas (indevndent) ialah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel terikat (devendent) yang nilainya tergantung pda variabel lain. 2) Koefisien Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada suatu variabel dalam sebuah fungsi 3) Konstanta Konstanta adalah bilangan atau angka yang turut membentuk sebuah fungsi dan tidak terkait pada suatu variabel. Contoh : y = f (x). y = 5 + 0,8x y= f (x) y = 5 + 0,8 x adalah sebuah fungsi. Bentuk di atas menyatakan nilai y merupakan fungsi x artinya besar kecilnya nilai y tergantung pada nilai x. masing-masing x dan y adalah variabel. Dimana 19
x adalah variabel bebas, karena nilainya tidak tergantung pada variabel lain (y). sedangkan y adalah variabel terikat karena nilainya tergantung pada nilai x. bilangan 0,8 adalah koefisien variabel x karena terkait pada x. adapun bilangan 5 adalah konstanta. Baik koefisien maupun konstanta dapat berupa angka. Bedanya ialah bahwa koefisien terkait pada suatu variabel. Sedangkan konstanta berupa bilangan yang sama sekali terlepas atau tidak terkait pada suatu variabel. 2. Macam-Macam fungsi Fungsi dapat digolongkan menjadi beberapa jenis sebagaimana dapat terlihat pada bagan sebagai berikut : Fungsi
Fungsi non aljabar (transenden) Fungsi eksponen Fungsi logaritma Fungsi trigonometri Fungsi siklometri
Fungsi aljabar
Fungsi rasional
Fungsi palinon Fungsi linier Fungsi kuadrat Fungsi kubik Fungsi bekwadrat
Fungsi irasional
Fungi pangkat
a. Fungsi eksponen Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstantan. Y = nx n = konstanta b. Fungsi logaritma Adalah fungsi baik (invers) dari fungsi eksponen, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma, y = nlog x c. Fungsi trigonometri Adalah fungsi dimana variabel bebasnya merupakan bilangan goneometri. Y = sm2x d. Fungsi siklometri Adalah fungsi yang variabel bebasnya juga meerupakan bilangan goneometri. Y = arc. Cos3x
20
e. Fungsi polinom Adalah fungsi yang mengandung banyak suku dalam variabel bebasnya. „ Y = a0 + a1 + a2 x2+ a3 x3+ ……..+ an xn f. Fungsi linier Adalah fungsi polinom yang variabel b ebasnya berderajat satu . Y = ax +b g. Fungsi kwadrat Adalah fungsi polinom ya ng variable bebasnya berderajat 2. Y = ax2 + bx + c h. Fungsi kubik Adalah fungsi yang bervariabel bebasnya berderajat tiga. Y = ax3 + bx2 + cx + d i. Fungsi bekwadrat Keduanya berderajat dua Y2= ax2 dan Y2= bx2, x2 + y2 = r2, x2 + y2 = 1 j. Fungsi pangkat adalah fungsi dimana variabel bebasnya berpangkat suatu bilangan real di dalam persamaan fungsi tersebut. Y = xn n = bilangan real k. Fungsi irasional Adalah fungsi dimana variabel bebasnya di bawah tanda akar Y=
𝑚
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0
3. Fungsi Linear Bentuk umum persamaan fungsi linear adalah y = ax + b Dimana a = koefisien arah = gradient = lereng garis y b = penggal garis b pada sumbu vertikal y a. Pembentukan persamaan linear 1) Metoda dwi koordinat. Dari dua titik A (x1,y1) dan B (x2,y2) dapat dibentuk garis lurus. Rumusnya adalah :
21
𝑦 −𝑦1 𝑦2 −𝑦1
𝑥−𝑥 1
=𝑥
2 −𝑥 1
2) Metode koordinat lereng Dari suatu titik A (x1,y1) dan lereng garisnya adalah 0, maka dapat dibuat garis lurus. Rumus : y-y1 = a (x-x1) b. Pencarian akar dengan determinan Baik cara substitusi maupun eliminasi dapat digunakan untuk menyelesaikan n persamaan dengan n variabel. Jika variabel lebih dari dua, penyelesaiannya agak rumit. Maka perlu digunakan determinan. Prinsip pengerjaan determinan adalah dengan mengalikan unsur-unsur secara diagonal dari kiri atas menurun ke kana bawah dan dari kiri bawah ke kanan atas; kemudian mengurangkan hasil perkalian naik dan turun. a d
b c
= ac-db
p -s
Untuk berderajat tiga a b c a b d e f d e g h i g h = aei + bfg + cdh – ccg – afh – dbi Contoh : 2 −4 5 7 = (2) (7) – (s) (-4) = 14 + 20 = 34 3 1 3
6 4 3 6 −2 5 1 −2 2 7 3 2
= 3. (-2).7 + 6.5.3 + 4.1.2 – 4(-2).3 – 3.5.2 – 6.1.7 = -42 + 90 + 8 + 24 – 30 – 42 =+8 Untuk mencari akar 2 variabel 1. Ax + by = c 2. Dx+ey = f
22
-q t
= pt + sq
X=
Y=
𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑦 𝑑
𝑐 𝑓 𝑎 𝑑
𝑏 𝑒 𝑏 𝑒
𝑐 𝑑 𝑎 𝑑
𝑒 𝑓 𝑏 𝑒
=x
Untuk mencari akar tiga variabel 1. Ax + by + cz = k 2. Dx + ey + fz = 1 3. Gx + hy + lz = m
X=
y=
z=
=
𝑘 𝑏 𝑐 𝑖 𝑒 𝑓 𝑚 𝑙 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖
𝑘 𝑖 𝑙 𝑎 𝑑 𝑔
𝑏 𝑙 𝑏 𝑒
=
=
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑚 𝑖 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖
𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑔 𝑚 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 𝑔
=
=
𝑎 𝑏 𝑘 𝑑 𝑒 𝑙 𝑔 𝑚 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖
𝑎 𝑑 𝑔 𝑎 𝑑 𝑔
𝑑𝑥 𝑑
𝑑𝑦 𝑑
𝑑𝑧 𝑑
𝑏 𝑐 𝑏 𝑒
=
𝑘𝑒𝑖 +𝑏𝑓𝑚 +𝑐𝑙−𝑐𝑐𝑚 −𝑏𝑙𝑖 −𝑘𝑓 𝑎𝑒𝑖 −𝑏𝑓𝑔 −𝑐𝑐𝑔 −𝑎𝑓 −𝑏𝑑𝑖
𝑘𝑙𝑖 +𝑘𝑓𝑔 +𝑐𝑑𝑚 −𝑐𝑙𝑔 −𝑎𝑓𝑚 −𝑘𝑑𝑖 𝑎𝑐𝑖 +𝑏𝑓𝑔 +𝑐𝑑 −𝑐𝑐𝑔 −𝑎𝑓 −𝑑𝑏𝑖
𝑎𝑒𝑚 +𝑏𝑙𝑔 +𝑘𝑑 −𝑘𝑒𝑔 −𝑎𝑙−𝑏𝑑𝑚 𝑑
c. Notasi dx, dy dan dz masing-masing lambang dari determinan variabel x, y dan z Contoh : 1. 2x + 3y = 21 X + 4 = 23
=> x = 3, y = 5 HP = { 3,5)
2. X + 2y – z = 0 2x + 5y + 2z = 14
=> = -1, y = 2, z = 3 HP = {(-1,2,3)}
Y – 3z = -7 4. Fungsi Non Linier a. Lingkaran Tingkat kedudukan semua titik P yang berjarak sama terhjadap suatu titik. Titik tersebut dinamakan pusat. Jarak tersebut dinamakan jari-jari/radius Persamaan : x2 + y2 = r2, pusat 0 (0,0) dan jari-jari r (x-a)2 + (y-b)2 = r2, pusat 0 (a,b) dan jari-jari r 23
x2 + y2 + ax + by + c = 0, pusat (-1/2 A, -1/2 B) 𝟏
r=
𝟒
𝟏
𝑨𝟐 + 𝟒 𝑩𝟐 − 𝑪
Tentukan jari-jari : 3x2 + 3y2 – 24x- 18y - 33 = 0 Lingkaran : {(x,y)I x2 + y2 = r2} => 0 (0,0), jari-jari r {(x,y)I(x-a)2 + (y-b)2, = r2} => 01 (a,b), jari-jari r 1
1
{(x,y)I x2 + y2 + Ax + By + C = 0 }=> (-2 A, -2 B), r =
𝟏 𝟒
𝟏
𝑨𝟐 + 𝟒 𝑩𝟐 − 𝑪
Soal 1. 2x + 3y = 21 8x – 4y – 4 = 0 2. a + b = c = 3 5a – 9b – 2c = 8 3a + 5b – 3c = 45 3. p + q + r + s = 10 p –q + r – s = +2 p + q – r – s = +4 -p + q + r + s = 2 4. a – b – 3c – 2d + 2e = -4 2a +2c + d – 2c = 2 3a + 3b + 3c – d – c = 9 4a – 2b + 4c – 3d = 0 5a – 2b + 4c – d + e = 14 5. p + q + r + s + t = 15 p–q+r–s+t=3 p + q + r – s – t = -9 -p + q +r + s – t = +3 2p – 3q + 4r – 5s + 6t = 20 b. Parabola y
0
i
X = -p 24
(p,0)
x
Tk titik-titk ya ng berjarak sama terhadap suatu garis dan suatu titik. Titik disebut fokus. Garis disebut direktrik. Persamaan : y2 = 4px Direktriknya x = -p dan f = (p,0) Jika F (2,0) X = -2 y2 = 8k 𝑎 Jika y2 ditranlasikan ( ) => (y-b)2 = 4p (x-0) 𝑏 f (a +p1b) dan direktriknya = a – p 1. tentukan fokus dan direktrik dari : x = y2 + 4y + 6 x2 = 4 py => F (0, p) dan y = -p (x-a)2 = 4p (y-b) => F (a,b+p) dan y = b - f 1
2. Tentukan fokus dan direktrik dari y = 8 x2 + 2x -3 Parabola : -
Aljabar {(x,y)/y = ax2 + bx + c = 0} −𝑏
𝐷
X = 2𝑎 , y = −4𝑎 -
Geometri {(x,y)/y2 = 4px} => fokus F (p,0), direktrik x = -p {(x,y)/y2 = -4px} => fokus F (-p,0), direktrik x = p {(x,y)/x2 = 4py} => fokus F (0,p), direktrik y = -p {(x,y)/x2 = -4py} => fokus F (0,-p), direktrik y = p
𝑎 Digeser : ( ) => {(x,y)/ (y-b)2 = 4p (x-a) }, F (a+p,b) direktrik y = a-p 𝑏 {(x,y)/ (y-b)2 = -4p (x-a) }, F (a-p,b) direktrik y = a+p c. Ellips Tk titik-titik P sedemikian sehingga jumlah jarak ke kedua titik tertentu tetap -
Kedua titik disebut fokus
-
Garis hubung fokus = sumbu panjang
-
Garis melalui tengah kedua fokus dan 1 disebut sumbu pendek
-
Titik potong dengan sumbu disebut puncak
-
Pusat Ellips 0 (0,0)
25
𝒙𝟐
𝒚𝟐
+ 𝒃𝟐 = 1 𝒂𝟐
=>
F1 (-f,0) dan F2 (p,0) AB = 2a, CD = 2b
C
A (-a,0), B (a,0), C(0,b), D(0,-b) 𝒙𝟐
𝒚𝟐
+ 𝟏𝟔= => 𝟐𝟓 A
b2 = 16 => b = + 4
B F1(-p,0)
a2 = 25 => a = + 5
p2 = a2 – b2 = 9
F2 (p,0)
p=+3 F1 (-3,0), F2 (3,0) => A,B,C,D. d A (15,0), B (5,0), C (0,4), D (0,-4) ℒ Jika pusat titik 0 (0,0) ditranslasikan ( ) 𝐵 (𝑥−𝑙)2 𝑎2
+
(𝑦 −𝑝)2 𝑏2
= 1 pusat 0 (ℒ,ℬ F1 (-p + ℒk, ℬ ), F2 (p + ℒ, ℬ) 𝒙𝟐
Ellips :
𝒚𝟐
F1 (-p,0), F2 (p,0), 2 = a2, b2, 0 (0,0)
{(x,y) / 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 1} => {(x,y) /
(𝑥−𝑙)2 𝑎2
+
(𝑦 −𝐵)2 𝑏2
= 1} => F1 (-p + ℒk, ℬ ), F2 (p + ℒ, ℬ), 0 ℒ, ℬ)
Tentukan : fokus, puncak, sumbu panjang dan sumbu pendek
1.
(𝑥−3)2 45
(𝑦 −2)2
+
16
=1
C
2. 16𝑥2 + 9𝑦2 − 32𝑥 + 18 𝑦 − 119 = 0 𝑥2 𝑏2
+
𝑦2
(𝑥−𝑙)2 𝑎2
F2(0,0)
=1
𝑎2
+
(𝑦 −𝐵)2 𝑏2
=1
A
B F1(0,-p)
{
(𝑥−𝑙)2 𝑎2
+
(𝑦−𝐵)2 𝑏2
= 1}
C D F1
A
B F2
{(x,y) /
(𝑥−𝑙)2 𝑎2
+
(𝑦 −𝐵)2 𝑏2
= 1}
F1 (-p + ℒk, ℬ ), F2 (p + ℒ, ℬ , 0 ℒ, ℬ) D 26
d. Hiperbola Tk titik-titik P sedemikian sehingga selisih jarak p ke dua titik tertentu tetap. Kedua titik disebut fokus . Persamaan 𝑥2 𝑏2
-
𝑦2 𝑎2
= 1. F1 (-p,0) F2 (p,0) A (-a,0) B (a,0) 𝑏
Persamaan asymtut : y = + 𝑎 x 𝑝
Persamaan eksentrik . e = 𝑎 -
A, B disebut puncak
-
aB = sumbu transver = 24
-
CD, C(0,b) dan D (0,-b) = sumbu sekawan = konjungsi = sb
-
Pusatnya ditengah transer
F1
A
0
B
𝑏
f2
𝑏
Y= x
Y = −𝑎 x
𝑎
P2 = a2 + b2 P2 - a2 = b2 1. Tentukan persamaan persamaan hiperbola yang asymtutnya : 3
y = + 5x dan melalui (-5,2) 2. Tentukan persamaan hiperbola yang sumbu transfer : 26 dan ekstentriknya = 1,5 Hiperbola
𝑥2
𝑦2
{(x,y) / 𝑎 2 - 𝑏 2 }=> F1 (-p,0), F2 (p + a), A (-a,0), B (a,0) {(x,y) /
(𝑥−𝑙)2 𝑎2
-
(𝑦 −𝐵)2 𝑏2
= 1}
= F1 (-p + ℒk, ℬ ), F2 (p + ℒ, ℬ)
e. Fungsi kubik Bentuk umum : y =ax2 + bx2 + ex + d Memfaktorkan dan mencari akar Y = x3 + x2 – 14x – 24
titik maksimum
-2 1
titik minimum dan titik beloknya dipelajari
1 - 14 -24
27
-2 2 24 -3 1 -1 -12 -3 1
-4
0
12 0
Y = (x + 2) (x +3) (x-4) X1 = -2 X2 = -3 X3 = +4 HP = {-3,-2,4} Fungsi kubik dan seterusnya 1. Y = x3 - 9x2 + 20x – 12 2. Y = 6x3 - 15x2 – x + 6 3. Y = 2x3 + 7x2 +2x – 3 4. Y = 2cos3x + 3cos2x – 8cosx + 3 Derajat empat 1. X4 + 3x3 - 5x2 – 3x + 4 = 0 2. X4 - 15x2 - 10x + 24 = 0 3. X4 + 3x2 - 4 = 0 Derajat lima 1. X5 - 7x4 + 6x2 – 5x + 7 = 0 2. X8 - 7x3 + 5 = 0 3. 52x + 51+x - 6= 6 4. 5x + 51-x = 6 5. 32x+1 - 8.3x - 3= 6 f. Fungsi pangkat dan fungsi eksponen Bentuk umum fungsi pangkat : y = xn Bentuk umum fungsi eksponen : y = nx Y
0
y=x2
y=22
x
0
28
x
Fungsi eksponen : 1. af.a2 = af+2 2. af.a2 = af-2 3. (af.)a = af2 4. (ab)f = a2b2 5. A0 = 1 1
6. A-f = 𝑎 𝑓 7.
𝑚
𝑛
𝑎𝑛 = a 𝑚
Contoh : 1
1
1. (27 )-2/3 = (33 )-2/3 = (3-3)-2/3 = 32= 9 2. 22x+1+ 2x – 3 = 0 21. 22x +2x – 3 = 0 2. (2x)2 + 2x – 3=0 Misal : 2x =a => (2x)2 = a2 2a2 = 2x - 3 = 0 (2a + 3) (a-1) = 0 =>
3
a1 = -2 A2 = 1
`
2x = 1 2x = 20 X=0
Jika : F (x)f(x) = F (x)9(x) Maka : a. Eksponen sama : f (x) = 9 (x) b. Bilangan pokok sama f (x) = 1 c. Bilangan pokok sama f (x) = -1 d. Bilangan pokok sama f (x) = 0 Contoh : (x2 – 7x+11)2x+5 = (x2 – 7x) 2x+5 {1,2,3,5,
7+𝑣𝑠 7−𝑣𝑠 2
,
2
}
g. Fungsi logaritma Fungsi logaritma adalah merupakan invers dari fungsi eksponen 23 = 8 => 2log8 = 3 53 = 125 => 5log125 = 3
29
Sifat-sifrat log 1.
a
log b = c => a2 = b
2. Log ab = log a + log b 3. Log a/b = log a –log b 4. Lok xn = log x log 𝑏
5.
a
log b = log 𝑎
6.
a
log b . blog a. clog d = alog d
7.
a
log b = 𝑎2 log b2 = 1/alog 1/b
Contoh : 1.
2
log 8 + 2log 1/8 - 2log 1 = 3 + -3 – 0 = 0
2.
9
log 8 = a => 4log 3
4
log 3 = 4𝑎
3
Pokok log 2 Log (log x) = log (3 + ½ log x) + 2 1. (x2 – 9x + 19)3x +4 = (x2 – 9x + 19)4x+3 2. (x2 – 11x + 29)2x +3 = (x2 – 11x + 29)4x +3 3.
0,4
4.
7
log x + 2,5log(x +1) = 2
log (x-1) + 2(x-1log 7) = 3 mis. 7log (x-1) = y
5. 5x2 log x – 47x logx – 30 = 0 mis. x log x = y 6.
1 𝑥 +6 𝐿𝑜𝑔
2
𝑥
+ x log (x-1) = 2 +
1 2 𝐿𝑜𝑔
𝑥
log (x+1) = 2 log 16
X+1
= 16
X
= 15
Soal : 1. Tentukan x dan y jika 5log x + 8log y = 5 2. Jika 4log 3 = a, hitung 2log v3, 8log 9, 4log 1/9 3.
8 log 3 log
512
2+ 7 log
4− 5 log 8
h. Fungsi invers Jika fungsi f : A B, maka invers dari f dinyatkan f-1: B A. maka f-1 disebut invers.
A
B f f-1 30
Contoh : Jika
f (x) = 2x + 7 => f-1 (x) =
Jawab : f (x) = 2x + 7 => 2x = f (x) – 7 7
X = ½ f(x) - 2 7
f-1(x) = ½ x - 2 𝑥+3
Jika f (x) = 𝑥+1 => f-1 (x) = Contoh : f (x) = x2 => f-1 (x) = f (x) = x2 => x = + 𝑓 (𝑥) f-1 (x) = + 𝑥 Soal: −𝑥+5
1. f (x) = 3𝑥+2 => f-1 (x) = 2
2. f (x) = - 3 x – 7 => f-1 (-3) = 1
5
3. f (x) = -1 + 𝑥−1 f-1 (a) = 3 => a =. i. Fungsi komposisi 1) Komposisi A
B f
C g
f2 Jika :
f:AB G:BC H:AC
Maka : h (x) = gof (x) = g (f (x)) Contoh : F(x) x2 + 1, 9 (x) = x + 3 Tentukan : a. Fog (x) b. Gof (x) c. Fof (x) d. Gog (x) 31
Jawab : a. (fog)(x) = f (g(x)) = f (x+3) = (x+3)2 + 1 = x2 + 6x+10 b. (gof) (x) = g (f(x)) = g (x2 + 1) = (x2 + 1)+ 3 = x2 + 4 c. (fof) (x) = f (f(x)) = f (x2 + 1) = (x2 + 1)2 +1 = x4+ 2x2+2 d. (gog) (x) = g (x+3) = (x+3) = x + 6 Soal : 1. F (x) = x2 – 3x +2 G (x) = 2x + 5 a. (fog) (x) = b. (gof) (x) = c. (fof) (x) = d. (gog) (x) = 2) Invers fungsi komposisi A
B
C
f2
g
f-1
g-1 (gof)-1
Jika f = A B dan g : B C, maka fungsi komposisi gof, Pada gambar dapat dilihat (gof)-1 (x) = (f-1 og-1 (x) Ada dua cara menentukan fungsi komposisi : a) Mula-mula menentukan fungsi komposisi, kemudian diinverskan b) Mula-mula
menentuka
invers
masing-masing
fungsi
dikomposisikan Jika f(x) = 7x + 2 dan g (x) = 3x => fog-1 (x) = Cara 1 :
(fog) (x)
= f(g(x)) = f (3x) = 3 (3x) + 2 = 21x + 2
(fog) (x)
= 21 x + 2
21x
= (fog) (x) – 2
X
=
(fog)-1(x)
=
fog
x –2 21
x 21
−
2 21
2
– 21
=
1 21
𝑥−
2 21 1
2
Cara 2 : (fog) (x) = 7x + 2 => 7x = f (x)-2 => f-1 (x)= 7 x – 7 32
kemudian
1
1
G(x) = 3x => g-1 (x) = 3 𝑥 => g-1(x) = 3 𝑥 (fog)-1(x) = (g-1 of-1 (x) = g-1(f-1(k)) 1
2
= g-1 ( 7 x – 7) = =
1 21
1 3
1
2
( 7 x – 7)
2
𝑥 − 21
Soal : 1. F (x) = 2 x + 11,9 (x) = 1 – x => a. (fog)-1 (x) b. (gof)-1 (x) 3
2. F (x) = x + 3,9 (x) = 𝑥
3. F (x) = x + 6,9 (x) = x3 + 1 j. fungsi hiperbolik atau fungsi siklometri dalam lingkaran besarnya sudut pusar = busur yang bersangkutan. Kesamaan x = sin y sekarang dapat dibaca : y adalah busur yang sinusnya x, dan ditulis : y : arc.sin.x. arcus artinya busur Jika sin y = x => y = arc.sin x Busur yang bersangkutan diukur dalam radial. Misalnya : arc.sin 1
sin 6 𝜋 =
1 2
=
1 6
𝜋 =>
1 2
Pembatasan yang serupa berlaku pula untuk arc.cn x, are.tg x, dan are cotg.x. Bentuk-bentuk tersebut disebut fungsi siklometri atau fungsi hiperbolik. Fungsi are.sin.x dan arc.cos.x hanya ada untuk x < . untuk are.tg.x dan are.cotg.x ada untuk setiap harga x Busur-busur yang sinusnya = x tak berhingga bayaknya. Untuk menjadikan siklometri tersebut berharga satu, maka diadakan kesepakatan sebagai berikut : 1
1
arcus sinus x adalah sudut yang letaknya diantara - 2 𝜋 dan 2 𝜋 radial. Arc.cos.x, arc.tg.x dan arc.cotg.x adalah sudut-sudut yang letaknya diantara 0 dan 𝜋 radial. Diantara interval tersebut. fungsi siklometri itu adalah inverse (kebalikan) dari fungsi-fungsi goneometri. Contoh : 1. Hitunglah x jika are.sin. o,6 = are. Tg.x Jawab :
mis.are.sin. 0,6 = p sin.p = 0,6 Cos2p + sin2p = 1 => cos p = 1 − 0,36 = 0,8 6
Tg.p = sin p : cos p = 10 𝑥 33
10 8
=
6 8
=
3 4
3
3
Tg p = 4 => are tg 4 Jadi sin 0,6 = are tg 0,75 2. Ubahlah bentuk are tg 2 menjadi bentuk arc.sin Jawab : Mis.are tg 2 => tg p = 2 2 𝑡𝑔 𝑝
Tg 2 p =
𝑡𝑔 2 𝑝
2 (2)
4
= 1−22 =
−3
R
4
= −3 2p
R = (+4)2 + (−3)2 = 25 = 25 4
+4
4
\ -3
Sin 2p = 5 => 𝐴𝑟𝑐 sin 5 = 2𝑝 4
4
Dalam tg2p = -3 (𝑘𝑤𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 𝐼𝐼, 2𝑝 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑡𝑢𝑚𝑝𝑢𝑙 => 2𝑝 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑒 sin 5 Jadi 2 are.tg 2 = 𝜋 are.sin 0,8 Hitunglah : 1
1. Are.cos 2 = 2. Are.tg 1 = 1
3. Are sin(- 2) 4. Are cotg 3 1
5. Are cps ( - 2
2)
Hitunglah x jika : 1
1. Are cos 3 = 𝑎𝑟𝑒. 𝑡𝑔𝑥 2. Are tg 3 = are cotg x 3. Are sin x = 2 are sin 0,3 4. Are cos x = 2 are tg 1,5 5. Are cos x = 2 are sin 0,6 Latihan :Selesaikan 1. 2 sin2 x – 5 sin x + 3 = 0 2. Cos 3 x + cos x – 2 = 0 Buktikan
1. 2.
cos 3𝑥−sin 6 𝑥−cos 9𝑥 sin 9𝑥−cos 6𝑥−sin 3𝑥 sin 6𝑥+sin 2𝑥−sin 4𝑥 cos 6𝑥−cos 2𝑥−cos 4𝑥
= 𝑡𝑔 6𝑥 = 𝑡𝑔 4𝑥
3. Tunjukkan bahwa 3 adalah akar dari 2x2 – 11x2 + 12x + 9 = 0 4. Tentukan titik potong lingkaran dan garis sebagai berikut : a. X2 y2 + 2x + 2y + 1 = 0 dan x-y = 1 b. X2 y2 + 4x + 2y = 0 dan 2x – y + 8 = 0 34
BAB IV KALKULUS
1. Diferensial Fungsi Turunan a. Fungsi limid Teori tentang limid merupakan konsep dasar yang sangat penting dalam cabang matematika yang dinamakan kalkulus. Dengan teori limit dapat diketahui seberapa jauh suatu fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi tersebut terus menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Sebagai gambaran , dari y = f(x) akan dapat diketahui batas perkembangan f (x) apabila variabel x terus berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Pernyataan limf= L xa
Dibaca : limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L, dimana a dan L, masingmasing adalah bilangan. Artinya : jika x bertambah terus menerus mendekati a, maka f (x) mendekati nilai L b. Kaidah limit : fungsi aljabar 1) Jika y =f(x) xn dan n > 0 maka lim xn = an x a
3
Contoh : lim 𝑥3 = 2 = 8 x2
2) Lihat dari suatu konstanta = konstanta itu sendiri. lim 𝑘 = 𝑘 dimana k = konstanta .
x 2
Contoh : limx 2 5 = 5 3) Limit dari suatu penjumlahan = jumlah dari limit masing – masing : lim 𝑥3+ 9 (x)]
x 2
= lim 𝑥3
+ lim 9 (x)
x2
x2
Contoh : lim [(1-2x2) x3] = lim 1 – lim .2x2 + lim x3
x 2
x 2
2
x2
x2
3
= 1-2.2 + 2 = 1-8 + 8 = 1 4) Limit suatu perkalian fungsi = perkalian dari limit masing-masing fungsi. Contoh : lim [(1-2x2) (x3)] = lim (1-2x2) . lim x 2
x 2
x 2
x 2
= (1-8) (8) = -7 (8) -56 lim [f(x) . (x)] = lim f (x) . lim f (x)
x a
x a
xa
35
5) Limit pembagian fungsi = pembagian dari masing –masing fungsi dengan syarat pembagiannya tidak = 0 lim (𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 = x a => lim 𝑔 𝑥 ≠ 0 x a 𝑔 𝑥 x a lim 𝑔 𝑘 lim
x a
Contoh : 𝑥 + 5 (𝑥 − 5) 𝑥 2 − 25 = lim = lim 𝑥 + 5 = 10 x a 𝑥 − 5 x a x 5 𝑥−5 lim
c. Kaidah fungsi limit trigonometri
1) lim
sin 𝑥 𝑥
x 0
2) lim
x 0 sin
tg 𝑥
cos 𝑥 = 1
4) lim
sin 𝑥 = 0
x 0
5) lim
sina 𝑥 𝑎𝑥
x 0
6) lim
=1
x 0 𝑡𝑔 𝑥
3) lim
tg 𝑥
x 0 𝑎𝑥
=1
𝑥
𝑥
= lim
x 0 𝑥 x 0
𝑥
= lim
=1
=1
Contoh
1) lim
sin 3𝑥 𝑥
x 0
2) lim
𝑥2
= lim
3𝑥
x 0
cos 2 𝑥
x 0
sin 3 𝑥
= lim
= lim
1−(2si in 2 𝑥) 𝑥2
x 0
2si in 2 𝑥) 𝑥2
x 0
.3 = 1 .3 = 3
= 2. 12 = 2
Soal : x 2 + x+6
1) lim
𝑥2
x2
2) lim
x 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥−8
x2
3) lim
x 3
4) lim
=⋯
𝑥 2 − 4𝑥+4
x 3 −27 𝑥−3
=⋯
x 3 − 𝑥 2 + 𝑥+6
x 0 5𝑥 3 −4𝑥 2 − 3𝑥−4
5) lim
x 3 −1
x 1 𝑥2− 1
6) lim
x 0
7) lim
=⋯
=⋯
5− 25−𝑥 𝑥
=⋯
=⋯
3 x 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥+20
x 2 5𝑥 2 − 21𝑥 2 + 24𝑥−4
=⋯
36
x3− 𝑥
8) lim
=⋯
x 0 𝑥2+ 𝑥 2 2−5x
9) lim
=⋯
x 0 3 9+𝑥
Soal sin 𝑥−sin 𝑥
1) lim
𝑥−𝑎
x 0
sin 3𝑥
2) lim
=⋯
x 0 𝑡𝑔 2𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
3) lim
𝑥2
x 0
=⋯
=⋯
sin 𝑥+𝑥−1
4) lim1
x π 𝑠𝑖𝑛𝑖 𝑥−cos − 1
=⋯
2
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
5) lim
x 0 𝑥 sin 𝑥
=⋯
cos 𝑚𝑥 −cos 𝑛 𝑥
6) lim
𝑥2
x 0
𝑥 sin 𝑥
7) lim
=⋯
x 0 1−cos 𝑥 𝑥 𝑡𝑔 𝑥
8) lim
x 0 1−𝑐𝑜𝑠𝑥
=⋯
=⋯
d. Koefisien Differensi Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel x sebesar ∆ x (dibaca delata x) maka bentuk persamaannya dapat dituliskan sebagai berikut : Y
= f (x)
Y + ∆y = f (x+ ∆x) ∆y
= f (x ∆x) – y
∆
= f (x + ∆x) – f (x) : ∆x
∆y ∆x
=
∆y
Bentuk
∆x
𝑓 𝑥 + ∆x − f(x) ∆x
disebut koefisien defferensi dan mencerminkan tingkat perubahan rata-
rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x Contoh : Jika y = f (x) = 3x2 – x. berapa koefisien differensinya ? Y
= 3x2 – x
Y + ∆y = 3 (x + ∆x)2 – (x + ∆x) = 3 (x2 + 2x. ∆x + ∆x2) (x +∆x) ∆y
= 3k2 + 6x . ∆x + 3. ∆x2 - ∆x – (3x2 –x) = - 6x . ∆x + 3 (∆x)2 - ∆x
∆y ∆x
= +6𝑥. ∆x + 3 ∆k
2
− ∆x ∆x = +6x + 3∆k − 1 37
Soal : ∆y
1. Jika f (x) = y = 4x2 – 3x2 + 2x +1 => ∆x = …….. ∆y
2. Jika y = f (x) = 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + 6 => ∆x = …….. e. Deferensial dan deferatif Proses penurunan sebuah fungsi disebut proses pendiffefensialan atau diferensiasi, pada dasarnya merupakan proses penarikan limit atas suatu kuosien differensi dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati nol. Hasil yagn diperoleh dari proses differensi tersebut dinamakan turunan atau drevatif. Dengan demikian jika y = f (x), maka ∆y
Kuoeien differensinya : ∆x = Turunan fungsinya lim
∆y
x 0 ∆x
𝑓 𝑥 + ∆x − 𝑓 𝑥 , ∆x
= lim
, dan
𝑓 𝑥+∆x f (x)
x 0
∆x
=⋯
f. Kaidah defferensiasi = xn => y1 = n.xn-1
1) Jika y
Y = y1 = 3xn-1 = 3x2 2) Jika y = k, dimana k = konstanta => y1 = 0 Y = 3 => y1 = 0 3) Jika y = u – v => y1 = u1 + v1 Y = 5x2 + 10x => y1 = 5.2.x + 10.1.x0 = 10x + 10 4) Kola y = u – v => y1 = u1 – v1 Y = 5x2 - 10x => y1 =10x - 10 5) Jika y = u.v => y1 = u1 – v1 Y = (2x2 – 1) (3x2 + 1) Y1 = 4x (3x2 + 1) + (2x2 – 1) (6x) 𝑢
6) Jika y = 𝑣 => y1 =
𝑢 1 𝑣− 𝑢𝑣 1 𝑣2
3𝑥 1
Y = 𝑥−1 y1 =
6𝑥 𝑥 +1 − 1(3𝑥 1 ) (𝑥+1) 2
7) Jika y = kv dimana k konstanta dan v = f (x) Y1 = kv1 Y = sx3 Y1 =(5x2) = 15 x2 𝑘
8) Jika y = , k = konstanta v ( f (x) 𝑣
38
Y1
= 𝑘𝑣
1
𝑣2
3
=> 𝑦 =
5𝑥 2
9) Jika y = a log x => y1 =
3 .10𝑥 25𝑥 4
=
−30 25𝑥 3
=
6 5𝑥 3
1 𝑥𝑙𝑛𝑎
1
y = 5 log 2 => y1 =
2𝑙𝑛 5
10) Jika y = 1 n x => y1 = Y = 1 n 2 => y1 =
=> 𝑦1 =
1 𝑥
1 2
11) Jika y = ax => y1 = ax 1na Y = 2z => y1 = 2x 1n2 12) Jika y = ex => y1 = xx Y = 2,82x => y1 = 2,82x
Soal : 1. Y = (3y – 4)2 => y1 = … 1
1
2. Y = (2 𝑥 − 3)3 => y1 = … 3. Y = ( vx -
1 2 𝑣𝑥
) => y1 =…
1
4. Y = (x - 𝑥 )3 => y1 = … 5. Y = 2 sin x. cosx => y1 = … 6. Y = tgx (cps x. sinx) => y1 = … 7. Y = (v3x2 –v3x)2 => y1 = … 1
8. Y = (vx - 𝑣𝑥 )5 => y1 = … Fungsi goneometri 1. Jika y = sin x => y1 = cos x Y = sin 60 => y1 = cos 60 = ½ 2. Jika y = cos x => y1 = -sin x Y = cos 30 => y1 = - sin 30 = - ½ 1
3. Jika = tg x => y1 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 Y = tg 45 => y1 =
1 𝑐𝑜𝑠 2 45
=
1 1 2 𝑣 45 2
=
1 1 2
=2
g. Derovatif dari derivatif Tergantung dari derajatnya, setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain turunannya masih dpat diturunkan lagi.
39
Turunan pertama sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi aslinya. Turunan kedua sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga sebuah fungsi adalah turunan dari turunan kedua dan seterusnya. Fungsi awal : y = f (x) 𝑑𝑦
Turunan pertama = y1 = 𝑑𝑥 = 𝑓 1 (𝑥) 𝑑2𝑦
Turunan kedua = y11 = 𝑑𝑥 2 = 𝑓 11 𝑥 𝑑3𝑦
Turunan ketiga = y111 = 𝑑𝑥 3 = 𝑓 111 𝑥 Contoh : Y = f(x) = x3 – 4x2 + 5 𝑑𝑦
Y1 = f1 (x) = 𝑑𝑥 = 3x2 – 8x 𝑑2𝑦
Y11 = f11 (x) = 𝑑𝑥 2 = 6x – 8 𝑑3𝑦
Y111 = f111 (x) = 𝑑𝑥 3 = 6 𝑑4𝑦
Y1V = f1V (x) = 𝑑𝑥 4 = 0 Soal : 1. f(x) = 5x6 – 3x3 + 2x -1 2. f(x) = 2x8 – 3x4 + 4x2 -5 3. f(x) = 8x10 – 6x8 +4x6 – 2x4 + x2 – ½ 4. h. Hubungan antara derevatif dan fungsinya Pendekatan diferensiasi/defferensiasi amat berguna untuk menyelidiki grafik suatu fungsi. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama dan kedua sebuah fungsi akan dapat dikenali bentuk grafik dari fungsi tersebut. Dalam hubungannya dengan fungsi non linier ya ng mempunyai suatu nilai ekstrim dan kedua fungsi tersebut dapat digunakan untuk mengetahui letak nilai estrimnya, minimum atau maksimum Berdasarkan kaidah diferensiasi kita dapat menyimpulkan bahwa turunan suatu fungsi berderajad n adalah fungsi berderajat n-1. Dengan kata lain turunan fungsi berderajat 2 adalah fungsi berderajat 2, turunan fungsi berderajat 1 adalah konstanta, tutunan konstanta adlah 0. Secara grafis, turunan gunsi sebuah garis lurus // sb x (variabel bebas) Y = x2 - 8x + 10
fungsi parabola 40
𝑑𝑦
Y1 = = 𝑑𝑥 = 2x – 8 fungsi linier 𝑑2𝑦
Y11 = f11 (x) = 𝑑𝑥 2 = 2 garis lurus => y = 2 Y = x2 - 8x + 10 Y1 = 2x -8
Y+
Y11 = 2 0
6
7
x+
-6 -8
(+4,-6)
Soal : Gambarkan grafik y, y1, y11 1. Y = x2 - 5x +- 6 2. Y = x2 - 4x - 5 i. Nilai ekstrim 1) Nilai ekstrim fungsi kuadrat Pada f(x) = x2 – 8x + 10 => a = 1, b = -8, c = 10 −𝑏
Nilai ekstrim : x = 2𝑎 , y = −𝑏
x = 2𝑎 =
8
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −4𝑎
= 4, y = 2.1
−82 − 4.1.10 −4
=
64 .40 −4
24
= −4 = −6
Titik ekstrim (4,-6) adalah titik minimum, sebab a > 0
Akan dicari titik ekstrim dengan fungsi turunan : Dapat pula dicari nilai ekstrim tersebut dengan metode diferensial. Absis dari nilai ekstrim fungsi y = f (x) adalah x pada y1 = 0 , sedangkan ordinatnya y untuk x pada y1 =0. Untuk mengetahui nilai ekstrim maksimum atau minimum, atau parabola terbuka ke atas atau ke bawah dapat diselidiki dengan turunan ke dua yaitu y11. Bila y11 < 0 terbuka ke bawah berarti nilai maksimum. Jika y11 > 0 ke atas nilai ekstrim minimum. Jadi : parabola f (x) = y mencapai ekstrim pada y1 =0 Jika y11 > 0 terbuka ke atas ekstrim minimum 41
Jika y11 < 0 terbuka ke bawah ekstrim maksimum. Contoh : Y = f(x) =x2 - 4x + 8 => Y1 = 2 x - 4 = 0 => x = 2 y11 = 2 >0 => min Y = 22 - 4(2) + 8 = 4. Titik min = (2,4) Y = f(x) = x2 - x2 + 6x – 2 => Y1 = 2 x + 6 => x = 3 y11 = -2 < 0 => max Y = -9 + 18 - 2 = 7. Titik max = (3,7) Soal : tentukan titik ekstrim dan sketsalah parabola sebagai berikut 1. f(x) = x2 – 5x + 6 2. f(x) = x2 – 7x + 12 3. f(x) = x2 – 5x – 4 4. f(x) = 2x2 – 3x + 4 5. f(x) = 3x2 – 8x 6. f(x) = -4x2 + 32x – 17 7. f(x) = ½ x2 – 4x + 15
2) Nilai ekstrim fungsi kubik Titik maksimum, minimum dan titik belok dari sebuah fungsi kubik dapat dicari melalui penelusuran pertama dan turunan kedua fungsi tersebut tersebut. -
Fungsi kubik Y = f(x) , mencapai titik ekstrim pada y1 =0. Jika y1 =0 pada x = x1 dan x = x2. Sedamglam y11 < 0 untuk x = x1 dan y11 > 0 untuk x = x2 x1 dan x2 absis titik maksimum dan minimum.
-
Titik belok fungsi kubik Y = f(x) adalah pada y11 = 0 1
Contoh : y = 3 𝑥 3 – 3x2 + 8x – 5 Maka : y1 x2 – 6x +8 dan y11 = 2x – 6 -
Mencari titik ekstrim Syarat y mencapai ekstrim y1 =0 x2 – 6x + 8 => (x-2) (x-4) = 0, => x1 = 2, x2 = 4 Untuk x = 2 => y11 = 2.2 – 6 = -2 < 0 => maksimum Untuk x = 4 => y11 = 2.4 – 6 = 2 > 0 => minimum 42
1
2
2
Untuk x = 2 => y = 3 (3)3 – 3(2)2 + 8 (2) – 5 = 13 => titik maksimum(2, 13) 1
1
1
Untuk x = 4 => y = 3 (4)3 – 3(4)2 + 8 (4) – 5 = 3 => titik maksimum(4, 3) -
Mencari titik belok Syarat y11 = 0=> 2x – 6 = 0 => x = 3 1
X = 3 => y = 3 (3)3 – 3(3)2 + 8 (3) – 5 = 1 => titik belok (3,1) -
Kaidah koordinat titik ekstrim dan titik b elok fungsi kubik sebagai berikut 1. y = - 2x3 + 8x2 2. y = x3 - 9x2 + 15x + 40 3. y = 2x3 - 4x2 + 7x - 5 4. y = (x2- 4) (2x – 6)
j. Derivatif variabel ganda 1) Derivatif partial Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan. Apabila y f(x) maka turunannya hanyalah turunan y terhadap 𝑎𝑦
x, dengan kta lain y1 = 𝑎𝑥
Sedangkan jika sebuah fungsi mengandugn lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan jumlah macam variabel bebasnya. Jadi jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan. Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam 𝑠𝑦
𝑠𝑦
turunan, yaitu turunan y terhadap x atau 𝑠𝑥 dan turunan y terhadap z atau 𝑑𝑧 . Dengan demikian : 1. Y = f(x,z) => y1 = 𝑠𝑦
a. Fx (x,z) = 𝑠𝑥 𝑠𝑦
b. Fz (x,z) = 𝑠𝑧 𝑠𝑦
𝑠𝑦
Dy = 𝑠𝑥 . 𝑑𝑥 =
𝑠𝑧
. dz
2. Y = f (q, r, s) => b1 = 𝑠𝑝
a. Fq (q,r,s) 𝑠𝑞
𝑠𝑟
b. Fr (q,r,s) = 𝑠𝑝 c. Fs (q,r,s) = 𝑠𝑝
Dp = 𝑠𝑞 . 𝑑𝑞 + 𝑠𝑦 𝑠𝑥
𝑑𝑎𝑛
𝑠𝑦 𝑠𝑧
𝑠𝑝 𝑠𝑟
𝑠𝑝 𝑠𝑠
. 𝑑𝑟 +
𝑠𝑝 𝑠𝑠
𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 1 𝑑𝑎𝑛
. 𝑑𝑠 𝑠𝑝 𝑠𝑝
, 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑞 𝑠𝑟
𝑠𝑝 𝑠𝑠
43
𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 2 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑎𝑘𝑎𝑛 derefatif partial.
Sedangkan
𝑠𝑥 𝑥𝑞
𝑠𝑦
𝑠𝑝
𝑠𝑝
. 𝑑𝑥. 𝑠𝑧 . 𝑑𝑧. 𝑠𝑞 . 𝑑𝑞, 𝑠𝑟 . 𝑑𝑟. 𝑑𝑎𝑛
𝑠𝑝 𝑠𝑠
dinamakan defferensial partial.
Adapun dy dan dp dinamakan diferensial total Contoh : y = x3 + 5z2 - 4x2z – 6xz2 + 8z -7 1. 2. -
𝑠𝑦 𝑠𝑥 𝑠𝑦 𝑠𝑧
= 3x2 – 8yz – 6z2 = 10z – 4x2 – 12xz+8
Dalam menurunkan y terhadap x yang dilambangkan mengandung variabel
x
𝑠𝑦 𝑠𝑥
hanya suku-suku yang
yang diperhitungkan, sedangkan
yang tidak
mengandung x dianggap sebagai konstanta dan turunannya = 0 -
Dilain pihak dalam menurunkan y terhadap z ya ng dilambangkan dengan
𝑠𝑦 𝑠𝑧
hanya susku-suku yang mengandung variabel z ya ng diperhitungkan. Sedangkan suku yang tidak mengandung variabel z dianggap konstanta dan turunannya = 0
2) Derivatif dari derivatif partial Seperti halnya fungsi deangan satu variabel beba, fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain, masingmasing turunan partialnya masih mungkin diturunkan lagi. Turunan berikut dari turunan partial tersebut tentu bisa sangat bervariasi, tergantung dari bentuk turunan partial tadi. Apabila suatu turunan partial berbentuk suatu fungsi yang tunggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. Tetapi bila suatu turunan pertial berbentuk suatu fungsi ya ng masih mengandung beberapa macam variabel bebas, maka tutunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan partial pula. Contoh : y = x3 + 52x2 - 4x2z – 6xz2 + 8z - 7 1. 2.
𝑠𝑦 𝑠𝑥 𝑠𝑦 𝑠𝑧
= 3 x2 - 8xz – 6z2 = 10z - 4x2 – 12xz + 8
Dalam contoh di atas baik
𝑠𝑦 𝑠𝑥
maupaun
partial terhadap x maupun z 𝑠𝑦
𝑠2𝑦
1.a. 𝑠𝑥 terhadap x : 𝑠𝑥 2 = 6x – 8z
44
𝑠𝑦 𝑠𝑧
masih dapat diturunkan lagi secara
𝑠𝑦
𝑠2𝑦
1.b. 𝑠𝑥 terhadap z : 𝑠𝑥 . 𝑠𝑦
𝑠𝑧
= -8x – 12z
𝑠2𝑦
2.a. 𝑠𝑧 terhadap x : 𝑠2 .𝑠𝑥 = -8x + 12z 𝑠𝑦
𝑠2𝑦
2.b. 𝑠𝑧 terhadap z : 𝑠𝑧 2 = 10 -12k Ternyata turunan partian kedua 1a), 1b), 2a), dan 2b) masih dapat diturunkan lagi baik terhadap x maupun z. 𝑠2𝑦
𝑠3𝑦
1a.1) 𝑠𝑥2 terhadap x : 𝑠𝑥 3 = 6 𝑠2𝑦
𝑠3𝑦
1a.2) 𝑠𝑥2 terhadap z : 𝑠𝑥 2 .𝑠𝑧 = 8 𝑠2𝑦
𝑠3𝑦
𝑠2𝑦
𝑠3𝑦
1b.1) 𝑠𝑥 𝑠𝑧 terhadap z : 𝑠 2 𝑥 .𝑠𝑧 = - 12 2a.1) 𝑠𝑧 𝑠𝑥 terhadap x : 𝑠𝑧.𝑠𝑥 2 = - 8 𝑠2𝑦
2a.2) 𝑠𝑧 𝑠𝑥 terhadap z : 𝑠2𝑦
𝑠3𝑦 𝑠𝑧 2 𝑠𝑥 𝑠3𝑦
2b.1) 𝑠𝑧 2 terhadap x :
𝑠𝑧 2 𝑠𝑥
𝑠2𝑦
𝑠3𝑦
2b.1) 𝑠𝑧 2 terhadap z :
𝑠𝑧 2 𝑧
= - 12
= - 12
=0
Selanjutnya turunan partial ketiga ini tidak dapat lagi diturunkan secara partial karena masing-masing tinggal konstanta saja 3) Nilai ekstrim variabel ganda Nilai ekstrim dari fungsi yang mengandung variabel bebas lebih dari dua dapat diari dengan pengujian sampai derivatif kedua. Untuk f (x) = f (x,2) Maka y akan mencapai titik ekstrimnya 𝑠𝑦
Jika 𝑠𝑥 = 0 dan
𝑠𝑦 𝑠𝑧
=0
Syarat tersebut adalah syarat yang diperlukan agar fungsi mencapai titik ekstrim. Untuk mengetahui titik ekstrim itu maksimkum atau minimum diperlukan syarat yang mencukupkan, yakni ; 𝑠2𝑦
𝑠2𝑦
Maksimum : jika 𝑠𝑥 2 < 0 dan 𝑠𝑧 2 <0 𝑠2𝑦
𝑠𝑦
Minimum : jika 𝑠𝑥 2 >0 dan 𝑠𝑧 2 >0 𝑠2𝑦
𝑠𝑦
Dalam hal ini 𝑠𝑥 2 dan 𝑠𝑧 2 = 0 tak dapat ditegaskan nilai ekstrimnya. Contoh : a. Selidiki apakah titik ekstrim berfungsi berikut maksimum atau minimum y = -x2 + 12x2 - z2 + 10z – 45 45
𝑠𝑦 𝑠𝑥
𝑠𝑦
= -2s + 12
𝑠𝑧
-2x + 12 = 0, x = 6
= 2z + 10
-2z + 10 = 0,2 = 5
Y = - (6)2 + 12 (6) – (5)2 + 10 (5) – 45 = 16 𝑠2𝑦
Karena 𝑠𝑥 2 = -2 < 0
𝑠2𝑦 𝑠𝑧 2
= -2 <0
Maka titik ekstrimnya adlah titik maksimum dengan y max =16 b. Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi dibawah ini maksimum atau minimum Y0 = 3q2 – 18q + r 2 + 50 𝑠𝑝 𝑠𝑞
= 6q – 18
𝑠𝑝 𝑠𝑟
6q – 18 = 0 , q = 3, r – 8 = 0, r = 4 P = 3(3)2 – 18 (3) + 42 8 (4) + 50 = 7 𝑠2𝑝 𝑠𝑞 2
dan
𝑠2𝑝 𝑠𝑟 2
> 0 titik ekstrim adalah minimum yaitu y min =7
Soal : 1. Untuk fungsi y = 4x2 - 6x2z + 3xz2 + 3z2 + 5. Tentukan a. Derivatif partialnya b. Differensi parsialnya c. Diferensial totalnya 2. Tentukan sampai dengan derivatif keduanya fungsi-fungsi sebagai berikut : a. y = 3x2 – 5z2 + 2x2z – 4xz2 – 9z b. y = 6x2 -
𝑥2 𝑧
– 32 + 23
3. hitunglah y ekstrim dari fungsi y = 2x2 - 20x + z2 - 8z2 + 78 4. hitunglah p ekstrim dari fungsi p = q2 – 3r2 + 6q + 24r – 50. Selidiki apakah ekstrim maksimum atau minimum.
4) Ekstrimasi bersyarat : pengganda largange Dalam kenyataan sering kali kita harus mengekstrimkan atau mengoptimalkan suatu fungsi, yakni mencari nilai maksimal atau minimalnya. Tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain ya ng harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi ya ng hendak dioptimumkan tadi menghadapi suatu kendala. Kasus oprimisi bersyarat ini banyak jijumpai dalam bidang sosek. Misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas atau tingkat kepuasan tetapi terikat pada fungsi pendapatan. Perusahaan ingin memaksimalkan laba namun terkait pada fungsi produksi.
46
Perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa funsi lain dapat diselesaikan dengan metoda larrange. Caranya ialah dengan membentuk sebuah fungsi baru disebut fungsi lagrange yang merupakan penjumlahan dari fungsi ya ng hendak dioptimalkan ditambah hasil kali pengganda
lagrange
λ
dengan
fungsi
kendalanya.
Misalnya
hendak
dioptimalkan z = f(x,y) dengan syarat harus dipenbuhi u = g (x,y). maka fungsi largange : f (x,y) = f (x,y) λ.g (x,y) Nilai ekstrim f (x,y) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing derevatif partial pertama sama dengan nol. Fx (x,y) = fx λ gx = 0 Fy (x,y) = fy λ gy = 0 Pengganda lagrange adalah suatu variabel tak tentu yang hanya bersifat sebagai pembantu dan tak perlu dihitung nilainya. Syarat tersebut di atas sebagai syarat yang diperlukan untuk menghitung nilai ekstrim dari fungsi baru yang dibentuk dan karena itu disebut se3bagai syarat yang diperlukan. Tetapi untuk mengetahui nilai ekstrimnya maksimum atau minimum masih harus diselidiki melalhui
derevatif
parsial
keduanya
yang
merupakan
syarat
yang
mencapkupkan ekstrim tersebut adalah : Maks : bila fxx < 0 dan fyy < 0 Min. : bila fxx > 0 dan fyy > 0
Contoh : Tentukan nilai ekstrim z = zx + 2y daengna syarat x 2 + y2 = 8. Jelaskan jenis ekstrimnya Fungsi lagrange : f = 2x + 2y + λ(x2 + y2 – 8) f = 2x + 2y + λx2 +λ y2 – 8λ Agar f ekstrim, f1 = 0 Fx = 2 + 2λx = 0 => λ = - 1/x ……(1) Fy = 2 + 2λy = 0 => - 1/y ….. (2) Berdasarkan (1) dan (2) => - /x = - 1/y atau x = y Dalam membentuk fungsi baru lagrang, fungsi kendala harus diempiriskan . x2 + y2 = 8 = x2 + y2 – 8 = 0 Menurut fungsi kendala : x2 + y2 = 8 y2+ y2 = 8
47
2y2 = 8 y2 = 4 y=+2 Karena y = + 2, x = + 2 Z = 2x 2y = + 8 Jadi nilai eskstrim z = + 8 Penyelidikan nilai ekstrim -
Untuk x = 2 dan y = 2 = λ = - ½ Fxx = 2λ = (- ½ ) = -1< 0 Fyy = 2λ = 2 (- ½ ) = -1 < 0 Karena fxx dan fyy <0, nilai ekstrim adalah maks dengan zmax = 8
-
Untuk x = -2 dan y = -2 => λ = ½ Fxx = 2λ = 1 > 0 Fyy = 2λ = 1 > 0 Karena fxx dan fyy > 0 maka zmin = -8
optimumkan z = xy dengan syarat x + 2y = 10 f = xy + λ (x + sy – 10) = xy + λx + 2λy - 10λ Syarat agar fmax., f = 0 Fx = y + λ = 0 => λ = -y Fy = x + 2λ = 0 => λ = - ½ x -y = - ½ x => 2y = x X + 2y = 10 => 2y + 2y = 10 Y = 2,5 x = 5 Jadi zmax = xy = 5 (2,5) = 12,5 Soal : 1. Optimumkan z 4x – 2y dengan syarat x2 + y2 = 20 2. Jelaskan apakah z optimum maks atau min
3. Integral Fungsi Anti Turunan Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Integral tertentu merupakan suatu konsep ya ng berhubungan dengan konsep pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu, sedangkan integral tak tentu adalah kebaikan dari deferensial, yakni
48
suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari frungsinya diketahui a. Integral tak tentu Mengintegralkan suatu fungsi turunan f (x) berarti mencari integral atau anti turunannya, yaitu f (x) yang bila didefferensiasikan menghasilkan f (x). Bentuk umum integral f (x) sebagai berikut: 𝑑 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑘 Dimana k adalah konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan di atas tanda " " adalah tanda integral, f (x) dx adalah diferensial dari f (x), f (x) saja disebut integran, dx saja disebut diferensial. F (x) adalah integral partikular, k adalah konstanta pengintegralan dan f (x) + k merupakan fungsi asal. Proses pengintegralan disebut integrasi. Dalam diferensial kita menemukan bahwa, jika fungsi asli dilambangkan f (x) dan fungsi turunannnya dilambangkan dengan f (x), maka : Untuk fungsi asal : f (x) = x2 + 5 Fungsi turunannnya : f (x) =
𝑑.𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
= 2𝑥
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f (x) diintegralkan, maka : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑘 = x2 k Karena deveratif dari setiap konstanta = 0 maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k, nilai k tak tentu, maka dikatakan integral tak tentu. b. Kaidah-kaidah dari integral tak tentu Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferensiasi maka kaidah-kaidah integrasi tak tentu akan dapat difahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferensiasi. 1) Kaidah formula pangkat 𝑛 𝑥
𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 = + 𝑘 𝑛+1
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 ∶ 4
𝑑𝑥 = 𝑥
𝑥 4+1 1𝑥 5 + 𝑘= + 𝑐 4+1 5
49
a. 2.2.1.2 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑘 𝑎𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑘 b. 2.2.1.3.
𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑘
c. 2.2.1.4.
𝑥 + 1 2 𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 2𝑥 + 1)𝑑𝑥 1
= (3 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥) + 𝑘 𝑣𝑥 𝑑𝑥 =
d. 2.2.1.5
1
𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 2
1
1 2 1 1 2
1
+𝑘 2
= 3 𝑥 1 2 + 𝑐 = 3 𝑥 𝑉𝑥 + 𝑘 2) Kaidah formula logaritma : 1 𝑑𝑥 = 1𝑛𝑥 + 𝑘 𝑥 Contoh a. b.
3 𝑘
𝑑𝑥 = 3𝑙𝑛𝑥 + 𝑘 3
𝑥+1
𝑑𝑥 = 3 ln 𝑥 + 1 𝑘
3) Kaidah formula eksponen 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑘 𝑒𝑣𝑑𝑢 + 𝑒𝑢 + 𝑘 => 𝑢 = 𝑓 𝑥 Contoh : a.
𝑒 𝑥+2 𝑑𝑥 =
b.
𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 2
c.
𝑒 −3𝑘+2 𝑑𝑥 = − 3
1
𝑒 𝑥+2 𝑑 𝑥 + 2 = 𝑒 𝑥+2 + 𝑘 1
𝑒 2𝑥 𝑑 2𝑥 = 2 𝑒 2𝑥 + 𝑘 1
𝑒 −3𝑥+2 𝑑 −3 𝑥 + 2) 1
=−
3
𝑒 −3𝑥+2 + 𝑘
4) Kaidah formula penjumlahan 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Contoh : a.
(𝑥 4 + 3𝑥 2 ) 𝑑𝑥 =
b.
(𝑒 𝑥 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 =
c.
(3𝑥 2 − 10𝑥) 𝑑𝑥 =
1
1
𝑥 4 𝑑𝑥 +
𝑒 𝑥 𝑑𝑥 +
3𝑥 2 𝑑𝑥 = 5 𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑘 1 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑖𝑛 + 𝑘
3𝑥 𝑥 𝑑𝑥 −
50
10𝑥𝑑𝑥
5) Kaidah formula perkalian 𝑛𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 => ≠ 0
Contoh : 1
a.
3𝑥 2 𝑑𝑥 = 3
𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 . 3 𝑥 3 + 𝑘 = 𝑥 3 + 𝑘
b.
−2𝑥 𝑑𝑥 = −2
1
𝑥𝑑𝑥 = −2 (2 𝑥 2 ) + 𝑘 = −𝑥 2 + 𝑘
6) Kaidah formula substitusi 𝑓 𝑢
𝑑𝑢 𝑑𝑥
. 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑓 𝑢 + 𝑘, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑢 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑎𝑛
merupakan substitusi
𝑑𝑢 ,
𝑑𝑥
Contoh : 6𝑥 3𝑥 2 − 10 𝑑𝑥 =
a. Selesaikan -
Dengan cara biasa atau langsung 6𝑥 3𝑥 2 − 10 𝑑𝑥 =
183 − 60𝑥 𝑑𝑥 =
18 4 60 2 𝑥 − 𝑥 + 𝑘 4 2
5
= 2 𝑥 2 − 30 𝑥 2 + 𝑘 -
Dengan cara substitusi 𝑑𝑢
𝑑𝑢
Misal : 𝑢 = 3𝑥 2 − 10 => 𝑑𝑥 = 6𝑥 => 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢
6𝑥 3𝑥 2 − 10 𝑑𝑥 = 6𝑥. 𝑢. 𝑑𝑥 = 1
𝑢𝑑𝑢 =.
𝑢2 2
+ 𝐾 = 3𝑥 2 − 10
9
= 2 (9x2 – 60x2 + 100) + k1 = 2 x4 – 30x2 + 50) + k1 = 50 + 𝑘1 =
8 2
x4 – 30x2 + k
b. Selesaikan : 𝑥+3 . 𝑑𝑥 + 6𝑥
𝑥2
Misal : u = x2 – 6x maka
𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑥+3 . 𝑑𝑥 = + 6𝑥 1 𝑑𝑢 2
𝑢 1
1 𝑑𝑢
1 3 𝑑𝑢 𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 𝑢
𝑥2
=
1
. 2 = 2 . 𝑑𝑥
1
.= 2 2
𝑑𝑢 𝑢
1
=2
= 2 𝑙𝑛 (x + 6x) + k Soal : 1.
𝑥 3 𝑑𝑥 = ⋯
2.
𝑥 −4 𝑑𝑥 = ⋯ 51
1 4
1
𝑑𝑢 = 2 𝑙𝑚 𝑢 + 𝑘
2+k
(1−2𝑥 2
3.
2𝑥
𝑑𝑥 = ⋯
4.
(𝑥 𝑣 𝑥 − 5)2 𝑑𝑥 = ⋯
5.
𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ⋯
6.
(𝑣𝑥 = − 𝑣𝑥 )3 𝑑𝑥 = ⋯
1
1
7.
𝑥
𝑑𝑥 = ⋯
8.
(𝑣 3 𝑥 + 𝑣 3 𝑥 2 )2 dx
9.
(𝑥 3 + 3𝑥 + 4)3 (2𝑥 + 3) 𝑑𝑥
10.
𝑥 3 + 3𝑥−2 𝑥
𝑑𝑥= …
𝑑𝑥 = …
c. Integral tertentu Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya memiliki batas tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak diantara kurva y (fx) dan sumbu x dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi x = a dan x = b Dalam tingkat integral tak tentu kita temukan bahwa : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑘 Jika kita akan mengetahui hasil integrasi tersebut untuk suatu rentangan tertentu, umpama antara x = a dan x = b
sehingga ruas kanan persamaan tersebut x
disubstitusi dengan a dan b sehingga menjadi : {f (b) + k} – {f(a+ k} = f (b) – f ( a) F (b) – f (a) adalah hasil inte3gral tertentu dari f (x) antara a dan b secara lengkap dapat dituliskan : 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥)
𝑏 𝑎
= 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑎
Notasi
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 dibaca integral f(x) untuk rentang area x dari a ke b. a = batas
bawah dan b = b atas atas/ Jika ada dua kurva y2 = f(x),dan y2 = f(x), maka luas area antara kurva u ntuk rentang area dari a ke b adalah :
52
Y+
L= y2 = g(x),
=
𝑏 {𝑔 𝑎 𝑏 𝑎
𝑥 − 𝑓 𝑥 }𝑑𝑥
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
y2 = f(x), 0
x+ a
b
d. Kaidah integral tertentu untuk z < c < b, berlaku ; 1)
𝑏 𝑎 5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥) 5
𝑥5 𝑥 𝑑𝑥 = 5
2)
𝑎 𝑎 2
2
3) 5
2
2
𝑥5 𝑥 𝑑𝑥 = 5
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑏 𝑎
= 2
𝑏 𝑎
2
1 3125 − 32 = 618,6 3
1 32 − 32 = 0 5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 5
5
𝑥5 4 𝑥 𝑑𝑥 = 5 4)
=
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 4
2
5
1 𝑥5 = 5
4
2
= 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
= 618,6. − 2
5
2
𝑘. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘
5
𝑥5
4
5𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 4 𝑑𝑥 =
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − 2 𝑏 𝑎
1 32 − 3125 = 618,6) 3
𝑘. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 = 𝑘 [𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 ]
5
= 3125 − 32 = 3093 2
2 5
𝑥 4 𝑑𝑥 = 5 618,6 3093
5 2
5)
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
=
5
2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
3
5 4
𝑏 𝑐
𝑥 4 𝑑𝑥 +
3
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥5 𝑥 𝑑𝑥 = 5
5𝑥618,6 + 3093 = 3711,6 4 2
3
4
𝑥 𝑑𝑥 +
𝑏 𝑎
5
2
𝑐 𝑎
2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
5
(𝑥 4 + 5𝑥 4 𝑑𝑥 =
6)
𝑏 𝑎
2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥5 + 5
3
= 2
1 234 − 32 + 3125 − 243 = 618,6 5 53
1 1 243 − 32 + 3125 − 234 = 5 5
Soal : 1.
6 3 𝑥 𝑑𝑥 4
2.
4 −1
3.
−4 (𝑥 −6
4.
3 1
5.
4 ( 1
6.
8 1
7.
2𝑎 𝑎
8.
1 𝑥 −1
=⋯
2𝑥 + 5 𝑑𝑥 = ⋯ + 9𝑥 3 𝑑𝑥 = ⋯
2𝑥 + 1 3 − 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯ 𝑥 − 𝑥 )2 𝑑𝑥 = ⋯ 3
1
𝑥
3
𝑥
𝑑𝑥 = ⋯
𝑎 + 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯ 𝑥 + 1 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = ⋯
e. Integral fungsi siklometri Pada bagian akhir dari defferensial dipelajari turunan fungsi siklometri sebagai berikut : Jika f (x) = are.sin x => f1 (x) = Jika f (x) = arc.cos x => f1 (x) =
1 1−𝑥 2 −1 1−𝑥 2 −1
Jika f (x) = arc.tg x => f1 (x) = 1+𝑥 2 Kaidah integral fungsi siklometri 1)
1 1−𝑥 2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑒. sin 𝑥 + 𝑐 = - are.cosx +c
2)
1 1−𝑥 2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑒. tg 𝑥 + 𝑐
Contoh : 1. 2.
𝑥 1−4𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥2 1+ 25
𝑥 1− 2𝑥 2
=
𝑑𝑥
=
𝑥 1+( )2 5
=5
1
=2
𝑑 2 𝑥 1− 2𝑥 2
𝑥 5 𝑥 1+( )2 5
𝑑( )
𝑥
= 5 𝑎𝑟𝑒 𝑡𝑔 5 + 𝑐
Selesaikan : 1. 2. 3. 4.
𝑑𝑥 1−25𝑥 2 𝑑𝑥 4+𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 4+𝑥 2
= ..
=⋯
1+16𝑥 2
1
= 2 𝑎𝑟𝑒 sin 2𝑥 + 𝑐
=⋯
=⋯
54
𝑑𝑥
5. 6.
1−2𝑥 2 𝑑𝑥 1+9𝑥 2
= ..
=⋯
f. Integral partial Rumus turunan dari y = u.v. dimana u = g (x) dan v = h (x), adalah : Y1 = U1V + UV1
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑣
= 𝑑𝑥 . 𝑉 + 𝑈 . 𝑑𝑥
Dy = V. dv + U. dv
𝑑𝑦 = 𝑉𝑑𝑢 =
Y = 𝑉. 𝑑𝑣 =
𝑈𝑑𝑣 𝑈. 𝑑𝑣
Y = U.V Jadi 𝑈. 𝑑𝑣 = 𝑈. 𝑉 −
𝑉. 𝑑𝑣
Contoh : 1.
𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥 𝑑 cos 𝑥
= - (x cos x – cos 𝑥 𝑑𝑥 = ( x cos x – sin x) + c = sin x – x cos x + c 2.
𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 2 𝑑 cos 𝑥 = 𝑥 2 cos 𝑥 –
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 2
= -x2 cos x + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑2𝑥. 𝑑𝑥 = -x2 cos x +2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = -x2 cos x +2 (x sin x – sin 𝑥 𝑑𝑥) = -x2 cos x +2 (x sin x + cos x) + c = -x2 cos x +2 x sin x + 2 cos x + c Soal : 1. Tentukan fungsi f, jika diketahui sifat-sifat sebagai berikut : a. F1 (x) = 2x, f (4) = 10 b. F1 (x) = 1-2x, f (3) = 4 c. F1 (x) = 6x2, f (0) = 0 2
d. F1 (x) = x - 𝑥 2 , f (2) = 5 1
e. F1 (x) = 1 - 𝑥 , f (4) = 1 f. F1 (x) = 3x2 – 3), f (1) = 12
55
1
2.
2𝑥 3𝑥 − 2 𝑑𝑥
3.
𝑥 2 2𝑥 + 𝑘 2 𝑑𝑥
4.
(𝑥 − 2)2 𝑑𝑥
5.
𝑥 (1 − 𝑘)2 𝑑𝑥
6.
(𝑥 2 − 2𝑥 2 ) 𝑑𝑥
7.
𝑥 2 5𝑥 + 3 𝑑𝑥
8. 9. 10. 11.
1
1
1
1
(𝑥 3 +𝑥 .𝑥 𝑥4+ 1
𝑑𝑥
2
𝑥2 (𝑥 2 + 𝑥)
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
𝑥2 𝑥2+ 2 𝑥
𝑑𝑥
1
1
12. 𝑥 3 1𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑥 13.
1 𝑥
(1 +
𝑥)2 𝑑𝑥
1
14. (2 𝑥 − 𝑥 3 )2 𝑑𝑥 15.
𝑥 (𝑠𝑥 −3)2 𝑥
16. ( 3 +
1 3 ) 𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
56
BAB V PENGGUNAAN INTEGRAL
1. Luas sebagai Limit suatu Jumlah pada gambar (1) kurva tertutup c membatasi sebuah daerah pada bidang. Bagaimana luas daerah tersebut dihitung?
(i)
(ii)
Seperti telah diuraikan dalam unit aritmetika, kita dapat menemukan aproksimasi. Aproksimasi daerah ya gn hendak dicari luasnya dengan jalan mengisi daerah tersebut dengan bujur sangkar seperti terlihat pada gambar (ii) di atas. dengan cara menghitung ternyata bahwa ada 41 bujur sangkar yang ada dalam daerah sedangkan ada 66 menutupi daerah. Jika jumlah bujur sangkar itu masing- masing adalah daerah dinamakan 41 satuan luas dan 66 satuan luas, maka jika L daerah yang dicari luasnya, kita mendapatakan ketidaksamaan 41 < L < 66. Dengan menggunakan bujur sangkar yang lebih kecil kita akan mendapat suatu aproksimasi yang lebih teliti. Daerah tersebut juga dapat diaproksimasi dengan menggunakan persegi panjang. Dengan cara demikian luas daerah tersebut dapat dicari menggunakan proses limit. Gambar 2 (i) memperlihatkan bagian sebuah kurva dengan persamaan y = I (x) antara titik-titik dengan koordinat x = a dan x = b kita akan menentukan suatu rumsu untuk luas L dari daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut, sumbu x dan garis-garis x = a dan x=b Interval a,b dibagi menjadi n interval dengan panjang masing-masing ∆ x1, ∆x2, ∆x3 …. Xn; x1 ; x3….. xn adalah koordinat –x dari n. titik pada sumbu –x yang masing –masing terletak dalam tiap-tiap interval itu, sehingga pada umumnya titik x1
57
Y =f(x)
F(x1)
0
f(xn)
x1
x2
x3
xn
f(x)
x
(i)
(ii)
Gambar 2
Terletak dalam interval yang panjangnya ∆x1 : kemudian dibuatlah persegi seperti terlihat dalam gambar 2 (i). pada gambar 2 (ii) telah digambar persegi panjang yagn pertama dengan skala yang lebih besar. Tinggi persegi panjang ini adalah f (x 1), yaitu f di x = x1 Dengan demikian maka : Luas persegi panjang pertama = f (x1) . ∆x1 Luas persegi panjang kedua = . f (x2) . ∆x2 Luas persegi panjang ketiga = f (x3) . ∆x3 …………………………………………… Luas persegi panjang terakhir = f (xn). ∆xn Dengan menggunakan huruf Yunani ε (sigma) untuk menyingkat “jumlah dari: kita mendapat : L=
𝑛 𝑖−1 f
(x1 ) . ∆x1
Relasi di atas kerap kali ditulis sebagai L=
𝑥=𝑏 𝑥=𝑎
f (x ) . ∆x
Untuk fungsi yang dapat dideferesnialkan, dapat dibuktikan bahwa
𝑎 𝑥=𝑎
f (x ) . ∆x
dapat dibuat sedekat mungkin pada L dengan jalan membuat n cukup besar : ini ekuivalen dengan membuat tiap x cukup kecil. Kita definisikan : L = lim
𝑎 𝑥=𝑎
f x
. ∆x ; ∆x → 0
Sebagai penyederhanaan kita tulis u ntuk limit tersebut : L=
1 𝑓 −1
𝑥 𝑑𝑥
Ruas kanan rumus tersebut adalah notasi formil bagi proses limit suatu jumlah untuk daerah yang luasnya L. rumus tersebut dibaca secabai Luas S sama dengan integral f (x) dari a
58
Catatan : Lambang
adalah huruf S (sum = jumlah) yang diulur. Dengan
menggunakan lambang ini kita diingatkan kepada suatu proses limit suatu jumlah. Ini adalah ciptaan Leibniz dalam abad ke XVII. Lambang tersebut telah kita gunakan dalam hubungan dengan anti pendiferesialan, dalam pasal 5 kita jelaskan mengapa kita juga menggunakan lambang
untuk anti pendeferensialan.
Contoh : Perhatikan dengan pengarsiran daerah ybs. Luas yang dirumuskan oleh masing-masing:
(1)
3 𝑥𝑑𝑥 1
(ii)
1 𝑥3 −1
𝑑𝑥
(iii)
2 2
0
cos
𝑥𝑑𝑥
Jawab masing-masing dapat kita lihat pada gambar 3 di bawah ini : Y
0
y=x
1
3
y
0
i
1
y=x2
y
3
0
y=cosx
ii
1
3
iii
Gambar 3
Latihan : 1. Perlihatkan dengan mengarsir daerah yang luasnya dirumuskan oleh : 4 0
16 − 𝑥 2 𝑑𝑥. hitunglah luas ini.
𝑝𝑒𝑡𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘 𝑦 =
(16 − 𝑥 2 ) => y2 = 16x2 x2 + y2 = 16
2. Tulislah integral yang melukiskan daerah ya ng diarsir pada gambar dibawah ini Y
0
y= 4-x2
x+y=5
1
3
1
i
y y=cosx
3
1
iii
Y
0
3
ii
3. Gunakan gambar dibawah ini untuk menghitung :
1
22
3 3
4
x
59
x2 +y2 = 9
3 1
iv
𝑥 − 1 3 − 1 𝑑𝑥.
2. Menghitung Luas Daerah di Bawah Kurva Dalam pasal ini kita mengembangkan cara penting untuk menghitung laus, dengan menggunakan anti turunan. Gambar 6 menampakkan sebagian daripada kurva f. kita hendak menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan garis – garis x= a dan x = b. misalkan luas in adalah L (b), maka : Y =f(x)
T w V F(x1) Q 0
a
c
c+b (ii)
𝑏 𝑎
L (b) =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
L (a) =
𝑎 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
L (c) =
𝑐 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
L ( c + h) =
𝑐+𝑏 𝑎
(ii)
Gambar 6
(1) (2)
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Pada gambar 6 terlihat bahwa Luas
(PQVW) < luas (PQVW) < luas (PQVT), sehingga :
F ©. H < 5 (c + h) – L < F (c + H ) .h F ( c) <
L c+h – L (c) h
F © < limℎ→0
< f (c + h) . h ≠ 0
𝐿 𝑐+ℎ − 𝐿 𝑐 ℎ
< lim f (c + h) ℎ→0
1
F (c) < L (c) < f (c) => l (c) = f (c)1 Oleh karena kesamaan tersebut berlaku untuk tiap c dalam interval [a,b] maka untuk a < x < b berlakulah : L1 (x) = f (x) L1 (x) = 𝑓 (x) dx = f (x) + c, dimana F adalah suatu anti turunan f Berhubung (2), L (a) = F (a), + c = 0, jadi c –F (a) Sehingga L (x) = F (x) – F(a) jadi pula L (b) = F(b) – F (a) Akhirnya dengan menggunakan (i) kita mendapat
60
b f a
x dx = F b − F (a)
Hasil tersebut dikenal sebagai dalil dasar kalkulus : ya ng mengaitkan pendiferensilan dengan pengintegralan. Tiga aspek berlainan tentang pengintegralan yang telah kita kembangkan dalam pasal 2, 4 dan 5 sekaarang kita satukan, yaitu : 1. Notasi untuk luas daerah di bawah kurva f, yaitu : b
f x dx a
2. Rumus untuk luas daerah di bawah kurva f, yaitu : b
f x dx = F b − F (a) a
3. Kunci untuk menggunakan rumus tersebut adalah bahwa F ialah suatu anti turunan f, yang daerah asal interval [a,b] b Catatan : singkatan untuk F (b) – F (a) adalah [f (x)] yang dinamakan notasi kurugn a siku. Dengan demikian maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f, sumbu –x dan garis-garis x = a dan x = b, ditentukan
b f a
x dx = F b
b = F b − F (a) oleh a
integral tertentu. Dalam rumus tersebut a dan b masing-masing disebut sebagai batas b awah dan batasbatas pengintegralan. Interval [a,b] disebut interval pengitegralan. Contoh 1 : Tentukan integral tertentu : 3
3x + 1 2 dx −1 3 −1
3 1
3x + 1 2 dx =
(9x 2 − 6x + 1) dx = [3x 2 + 3x 2 + 1]3
= (81 + 27 + 3) – ( -3 + 3 – 1) 112 Contoh 2: Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3, sumbu –x dan garis x = 2 dan x=4 Luas tersebut adalah
b 2
x2
x 2 dx = [4 ]4 = 64 − 4 = 60
Contoh 3 : Buktikan bahwa b
a
f x dx = − a
f x dx b
b
a
f x dx = F b − F a = F a − F b a
= −
f x dx = b
61
Latihan : 1.
1 0
2.
a 1 x2 0
x−1
2x − 1 3x − 1 dx
dx = 18;
a x 0
1 − x dx =
3. Tekanan p dan volume v suatu gas dihubungkan oleh relasi PV1,5 = 128. Tentukan 4 pdf 1
4. Tentukan a.
2 4x 2 dx 1
b.
1 πx 2 dx 0
c.
4 2
2x + 3 dx =
d.
3 0
3x 2 = 1 dx =
e.
1 2 x dx −1
+
3 4x 3 dx −2 1 2 x dx 0
= π
=
= 3
4 2xdx 2 0 3
+
4 3dx 2
3x 2 + 1 dx
1 2 t dt −1
Catatan : dalam soal no . 4 telah digunakansifat-sifat umum sebagai berikut : (i)
b f a
(ii)
b kf a
(iii)
b [f a
x + g x ]dx =
(iv)
b f a
x dx = −
(v)
b f a
x dx tergantung daripada a dan b, tetapi tidak dari x, x disebut variabel
x dx +
c f b
x dx = k
x dx = b f a
a b
c f a
x d−
x dx b f a
x dx +
b fg a
x dx
f x dx = −
semu.\ 3. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu -x Gambar 7 adalah gambar grafik fungsi f : R yang diderfinisikan sebagai f (x) = x (x1) (x-2), A1 dan A2 merupakan bagian daerah yang masing-masing terletak di atas dan di bawah sumbu –x Gambar 7. Y Y = x(x-1) (x-2) ∆x
A1 0
1
2
A2
3
F(x)
Tampak pada gambar bahwa : A1 =
1 x 0 1
x − 1 x − 2 dx =
0 3 (x 0
1
− 3x 2 + 2x) dx = [4 x 4 − x 3 + x 2 ]
1
= (4 − 1 + 1) − 0 = 4 62
Sedangkan : A2 =
2 x 1
x − 1 (x − 2)dx = 1
2 3 (x 1
2 1
1
− 3x 2 + 2x) dx = [4 x 2 − x 3 + x 2 ]
1
= (4-8 +4) - (4 − 1 + 1) = 4 Untuk memahami8 mengapa A2 adalah negatif, haruslah kita ingat bahwa : b
b
f x dx = a
lim
f x . ∆x
4x→0 x=a
Dalam daerah A2, tiap f (x) adalah negatif sehingga setiap produk f (x) . x juga negatif. Oleh karena hal tersebut, maka
2 x −1
x + 1 x − 2 dx mengatakan besarnya A2 tetapi
dengan tanda negatif. Sehingga sangatlah perlu untuk menggambar grafik fungsi demikian pada interval yagn bersangkutan, dan menghitung luas dari daerah-daerah satu demi satu, misalnya dari daerah A, sendiri dan daerah A2 sendiri. Pada contoh di atas maka jumlah luas yang terletak antara kurva dan sumbu –x adalah
1 4
1
1
+ 4 = 2, mengingat bahwa luas tidak
mungkin negatif. Latihan : 1. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar 8 dengan menggunakan integral, kemudian cocokkanlah hasilmu jika luas tersebut dihitung dengan menggunakan rumus ge3ometri ybs. Gambar 8 x Y=x=2
Y=3
y=b
x 4
2
6
0
1
3
2. Tentukan dengan menggunakan pengintegral luas daerah yang diarsir pada gambar 9 di bawah ini. Gambar 9 Y=x3
I
ii
iii
63
iv
Y=x2 - 9 2
Y= 2x-x Y= x
9 v
vi
vii
viii
3. Tentukan titik-titik potong pada kurva y = x3 – 4x dengan sumbu x. hitunglah luas daerah antara kurva tersebut dengan sumbu x 4. Pada gambar 10 (i), kurva y = x3 – 4x + 3 memotong sumbu y di A, dan sumbu x di B dan di C. tentukan A,B dan C
B
C
Y=x2-4x+3
Y = (x-1)(5-5) B
C I
ii
gambar 10
4. Luas Daerah antara Dua Kurva Untuk menghitung luas daerah yang diarsir antara kurva y = 4 -x3
dan garis y = 3x
pada gambar 11. Kita tentukan terlebih dahulu interval pengintegralan. Untuk ini kita hitung absis titik-titik potong garis dan parabola. Kita dapat berturu-turut : 3x2 = 4 – x2 x2 + 3x – 4 = 0 (x + 4) (x-1) = 0 <=> x = -4 atau x = 1. luas lempeng yang lebih gelap yang lebarnya ∆x, kira-kira adalah [(4-x2) – 3x]. ∆x sehingga luas daerah yang diarsir adalah : [(4-x2) – 3x]. ∆x
= lim ∆x x = 4
= Y = 3x
1 −4
4x 2 − 3x dx 1
3
= 4𝑥 − 3 𝑥 2 − 2 𝑥 2 1
-4
1 −4
=(4 − 3) − (−16 +
1 2
1
1
= 2 2 − 3 + 40 −
Gambar 11
64 3
64 3
− 24) 5
= 20 6
Pada umumnya luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) dan y= g (x) pada interval [a, b] ditentukan oleh rumus : 64
b a
f x − g x dx asal saja f (x) > g (x) dan a < x < b (lihat gambar 12) Y
0
x
Gambar 12
Latihan : 1. a) tentukan luas daerah s dalam kuadran pertama yagn dibatasi oleh kurva y = x (6 – x) dan sumbu x b. tentukan titik-titik potong kurva tersebut dengan kurva y = x2 dan buktikan bahwa kurva y = x2 membagi daerah S menjadi dua bagian yang luasnya berbanding sebagai 1 : 3 2. a. diketahui parabola y = x2 + 2 dan titik-titik P (-,6) dan Q (1,3) pada kurva itu. tentukan koordinat titik potong garis-garis singgung di P dan Q pada parabola b. tentukan luas daerah ya ng dibatasi oleh busur PQ, garis singgung di P dan garis singgung di Q parabola. 5. Isi Benda Putar Pada bidang rata ada sebuah gambar. Jika gambar ini diputar mengelilingi suatu garis lurus sejauh 360, maka dikatakan bahwa gambar tersebut membangun suatu benda putar. Garis tersebut disebut sumbu putar. Perhatikan gambar 13 sebagai contoh sebuah silinder terjadi jika suatu persegi panjang diputar mengelilingi salah satu sisinya. Suatu kerucut terjadi jika sebuah segitiga siku-siku diputar mengelilingi salah satu sisi sikusikunya, sedangkan sebuah bola terjadi jika setengah lingkaran diputar mengelilingi garis tengahnya.
Silinder
Kerucut
Bola
Gamabar 13
65
Parabola
a. Benda putar mengelilingi sumbu x 1
Dirumuskan : V = 3 π r2 t untuk isi sebuah kerucut lingkaran tegak telah ditemukan dengan cara yang intuitif. Dalam rumus tersebut t adalah tingginya dan r jari-jari lingkaran alas. Rumus tersebut dapat kita rumuskan kembali secara eksak dengan menggunakan kalkulus. Walaupun cara yang kita tempuh dibawah ini adalah cara yang umum, namun kita perhatikan hal yang khusus, yaitu r = t = i. kerucut itu dapat dibangun jika segitiga siku-siku pada gambar 14 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 (ii). y A
y=x
L 0
X
(i)
∆x
L
x
(ii)
(iii)
b. Gamabar 14
perhatikan daerah segitiga pada gambar 14 (ii) yang dibatasi oleh garis y = x, sumbu x dan garis x =1. Isi benda yang terjadi, jika lempeng dengan lebar ∆x diputar, kira-kira sama dengan isi silinder lingkaran tegak yang jari-jarinya y dan dengan tinggi ∆x ; isi ini adalah π2, ∆x oleh karena y = x, sehingga isi kerucut yang kita cari, kirai-kira sama 2 𝑥=1 𝑥=0 𝜋x
dengan x = 1 V = lim𝑥→0 =𝜋
1 2 x 0
.∆x. dengan mencari limit pada jumlah itu maka isi silinder
1 2 𝑥=0 𝜋 ∆𝑥
dx = π
1 2 x 3
1 1 = π 0 3
Pada umumnya, jika daerah di bawah kurva y = f (x); antara garis x = a dan garis x =b diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Isi benda putar yang terjadi V = lim∆→0
1 𝑥=𝑎
𝜋[𝑓𝑥] ∆𝑥. Gambar 15
Y
Y Y= x2
Y=f (x)
0
x ∆x
a
0
b
(i) Gambar 16
Gambar 15
Sehingga isi benda putar mengelilingi sumbu x adalah : V=𝜋
b [f a
(x) dx = 𝜋
b 2 y a
dx 66
x
0
x
x (ii)
Contoh : Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Tentukan isi benda putar yang terjadi (lihat gambar 16) V=𝜋
2 2 y 0
dx = 𝜋
2 4 x 0
dx =
1 5
x5
2 32 = π 0 5
Latihan : 1. Pada gambar 17 tiap daerah yang diarsir diputar melalui sumbu s sejauh 3600. Tentukan isi benda putar yang terjadi . Y y= x
y=½x
4
0
y=x2
y=x
4
3
5
(I)
(ii)
(iii)
(iv)
y=x
y = 2-x
y= 4 − x 2
x=y2
1
2
(v)
4
x (vi)
(vii)
(viii)
Gambar 17
2. Y =
(r 2 x 2 adalah persamaan setengah lingkaran yang terletak di atas sumbu x
yang berputar di titik asal 0 dan yang berjari-jari r. buktikan bahwa isi bola yang terjadi jika setengah lingkaran itu diputar mengelilingi sumbu –x sejauh 3600 adalah
4 3
π r2.
3. Sebuah roda katrol, diameter lingkaran luarnya adalah 12 cm, tebalnya 2 cm sedangkan dalamnya tempat tali adalah 1 cm. roda tersebut dapat dianggap terjadi, jika daerah di
bawah kurva y = x2 + 5, diantara x = -1 dan x = 1 diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Tentukan isi roda tersebut teliti sampai cm3.
b. Isi benda putar mengelilingi sumbu y ada kalanya perlu untuk memutar sebuah gambar datar mengelilingi sumbu x. dalam hal pemutaran mengelilingi sumbu y, kita tulis terlebih dahulu persamaan kurva dalam bentuk x = f (y). (gambar 18). Maka isi elemen silinder adalah π[f(y]2.∆y. sehingga isi benda putar yang bersangkutan kira-kira adalah
67
𝑑 𝑦=𝑐
𝜋[𝑓 (𝑦)]2 .∆y.
Dengan mengambil limit jumlah tersebut, yaitu membuat .∆y 0, didapatlah isi benda yang sesungguhnya, ialah : V=π
d [f c
y ]2 dy = π
d c
x2dy
X =f(4) d 3 ∆y
C
2 2
0
x
0
Gambar 18
x Gambar 19
Contoh : Tentukan isi benda putar ya ng terjadi jika daerah yang dibatasi oleh sumbu y, hiperbola xy = 1 dean garis-garis y = 2 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 2600 (gambar 21) V=π
3 2 x 2 1
dy = π 1
3 2 y dy 2
1
= π[-y ]
1
1
3 2 1
= π[-(3) − (− 2)] = π (-3 + 2) = 6 π Latihan : 1. X = y2 + 1 , y = -1 dan y = 1 2. X2 = y (1 – y) 2, y = 0 dan y = 1
c. Isi benda putar daerah antara dua kurva Contoh : tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = Y = x2
x2 dan y = 2x + 3, diputar mengelilingi titik
B
potong kurva dan garis itu didapat sebagai berikut : X2 = 2x + 3 x2 = -2x – 3 = 0 (x + 1) (x-3) = 0
A -1 Y= 2x +3 Gambar 22
0
3
x = -1 atau x = 3 Sehingga isi daerah dibawah AB adalah π
3 (2x −1
+ 3)2 dx, dan isi di bawah busur
AOB adalah π 68
3 (x2 )2 −1
Jadi isi benda putar yang diarsir adalah : =π
3 (2x −1
=π
3 (4x 2 −1
+ 32) dx - π
3 (x2)2 −1
dx 4
1
+ 12x + 9 − x2) dx – π[(3x3) + 6x2 + 9x - 5 x 5 ] 3
= π[(36 + 54 + 27 − 48 5) −
4 3
1
3 1
8
+ 6 − 9 + 5 = 72 15
Pada umumnya isi benda putar ya ng erjadi jika daerah antara dua kurva y1 = f (x) adalah y 2 = g(x) diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah : V=π =π
b a
b (fx)2) a
dx – (g (x)2 dx
y1 2 − y2 2 dx
Latihan : 1. Y = ½ x dan y = x 2. Y = x2 dan y = x4 3. Y = (2 − 22 ) dan y = 1 4. Y = x2 + 3 dan y = 4 5. Y = 1 + x2 dan y = 9 – x2 6. Y = x2 dan y = 6x – x2
6. Panjang Busur Akan kita hitung panjang busur kurva y = f (x) dan x = 0 sampai x =b. perhatikan gambar sebagai berikut ; titik P dan Q pada kurva y = f (x) dari x = z sampai dengan x = b. titik P dan Q pada kurva y = f (x), P (x,v) dan Q (x +∆x, y + ∆y), maka => PQ2 = PR2 QR2 = ∆x2 + ∆y2 = (∆ + ∆x)2 + (y + ∆y)2 1
PQ = ∆x (∆x)2 + (y)2 = (∆x)2 + (y)2 PQ ∆y
1
= ∆y (∆x)2 + (y)2 =
∆x 2 ∆x 2
+
∆x 2 ∆y 2
∆y 2
= 1 + ∆x 2
∆𝑆
𝑃𝑄
Panjang busur PQ =S, maka lim𝑥→0 ∆𝑥 = lim𝑥→0 ∆𝑥
69
ds = lim ∆𝑥→0 dx
1+(
∆y 2 ) = ∆x 2
1+
∆y
dy
1 + (∆x )2 . dx ; S =
Ds =
∆y 2 ) (∆x
1 + (dx )2 dx
Untuk mewujudkan bahwa panjang busur dihitung dari x = a sampai denan x =b dy
1 + (dx )2 dx
maka ditulis S = Misal :
1. Diketahui titik A (-3,2) dan B (5,4). Hitunglah AB dengan rumus panjang busur. Pemecahan : y−y1
x−x1
𝑦 −2
𝑥+3
Persamaan AB = y2−y1 = x2−x1 = −4−2 = 5+3 , 8y – 16 = -6x – 18 8y = -6x -3 3
1
dy
3
dy
1 + (dx )2
Y = − 4 x − 4 . dx = 4 => 3
b a
5
= 1 + ( − 4 )2 = 4 . S =
5 5 dx −3 4
dy
1 + (dx )2 dx =
5
= 4]
5 = 10 −3
Jadi jarak A ke B = 10 satuan.
2. Hitunglah panjang busur kurva : y = 9 − x 2 dari x = 0 sampai dengan x = 3. Pemecahan :dy dy
1
1
y = 9 − x 2 = (9-x2)1/2 , dx = 2 (9 − x 2 )2 −2𝑥 − =
x2
−𝑥 1 (9−𝑥 2 )2
9
= 9−x 2 = s = =
3 3 0 3
x2
𝑑𝑦
= (9−x 2 ) = 1 + (𝑑𝑥 )2 = 1 + 9−x 2 =
dx x2 ) 3
1+
=
3 dx 0 1−(x )2
1−(
= 3 𝑎𝑟𝑒. sin
dy 2
3 0
𝑥 3
dx
dx = 3
3 dx 0 9−x 2
−𝑥
9−x 2 +x 2 9−x 2
=3
𝑑𝑦
= (𝑑𝑥 )2
1 (9−𝑥 2 )2
3 0
= dx x2 ) 3
9 1−(
x
=3
3
3 d(3 ) 0 1−(x )2 3
3 0 3 = 3 (𝑎𝑟𝑒. sin − 𝑎𝑟𝑒. sin ) 3 3 0
= 3 𝑎𝑟𝑒. sin 1 − are. sin 0) = 3
π 2
3
− 0 =2 π
3
= 2 . 1800 = 2700. Catatan : Invers
dari
fungsi
trigonometri
y = are.sin x => x = are. Sin y Y = are. Cos x => x = are.cos y
70
adalah
fungsi
siklometri.
Misal : 1
are. Sin 1 = 900 = 2 π 1
are. Cos ½ = 600 = 3 π 1
are. Tg 1 = 450 = 4 π f (x) = are.cin x => disebut fungsi siklometri.
Selesaikanlah : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
dx 1+16x 2 dx 1−25x 2 dx 4+x 2 dx 1−4x 2 dx 25− x 2 dx 1+9x 2 dx 4−x 2 dx 1−16x 2 dx 36− x 2 dx 49− x 2
71
BAB VI VEKTOR
1. Pendahuluan Sebagai hasil penelitian, seorang peneliti mendapatkan data dari data yang telah diamati. Kemudian diusahakan untuk menarik suatu kesimpulan. Kesimpulan inilah yang menjadi jawaban dari masalah yang menjadi pangkal dilakukannya penelitian. Dalam bentuknya yang sangat sederhana, data yang terkumpul dapat berupa suatu pengukuran tunggal terhadap sifat sekumpulan benda yang menjadi bahan pengamatan. Misalnya untuk membedakan dua jenis varietas padi yang mana menghasilkan lebih banyak, data yang diperlukan adalah pengukuran daya hasil untuk suatu satuan luas terentu. Jika varietas pertama menghasilkan 40kg/are dan varietas kedua menghasilkan 70 kg/are. Maka berdasarkan data yang diberikan oleh satu sifat ini saja yaitu hasil persatuan luas dapat disimpulkan, bahwa varietas kedua pada keadaan yang diamati, menghasilkan lebih banyak daripada varietas pertama. Tetapi jika masalah yang dihadapi ialah menemukan jenis tanaman padi yang tinggi hasilnya jauh sebelum tanaman itu sendiri mampu memberikan hasil, maka pembedaan varietas itu harus dilakukan berdasarkan sifat-sifat yang erat hubungannya dengan kemampuan memberikan hasil yang tinggi. Sifat ini antara lain jumlah anakan setiap rumpun, jumlah malai, panjang malai serta jumlah bulir rata-rata pada setiap malai. Jadi setiap jenis tanaman harus diperhatikan lebih dari satu sifat secara serentak. Timbulah suatu persoalan bagaimana cara memperlakukan kumpulan pengamatan ini sebagai suatu kesatuan yang tak terpisah. Dalam hal ini matematika matrik kemudian dapat digunakan sebagai suatu cara untuk mebuat pengolahan data majemuk seperti ini menjadi lebih praktis dan sederhana. Yang dihadapi kemudian seolah-olah hanyalah data yang berasal dari pengukuran tunggal. Hal ini dimungkinkan karena pengukuran- pengukuran itu tidak diperhatikan satu demi satu lepas dari sesamanya, tetapi secara menyeluruh dengan memperhatikan pola hubungan terdapat diantara sesama pengamatan.
72
Data yang dipersiapkan untuk diselidiki dengan matematika matriks, disusun dalam bentuk suatu rangka yang disebut matrik. Kata ini berasal dari bahasa latin yang berarti “sesuatu yang membungkus”. Suatu vektor adalah bentuk khusus suatu matrik. Semakin banyak penyebab terjadinya sesuatu hal, semakin banyak pula jenis pengamatan yang harus dilakukan pada penelitian tentang hal tersebut. Pada kasus tentang penentuan tanaman padi dengan hasil tertinggi apabila di misalkan setiap tanaman hanya menghasilkan sebutir gabah, maka pengamatan cukup dilakukan terhadap ukuran gabah. Akan tetapi karena hasil keseluruhan dari satu rumpun padi terdiri dari sejumlah butir gabah yang berasal dari malai-malai yang masing-masing juga mengandugn jumlah gabah yang berbeda, maka untuk menduga hasilnya terpaksa diadakan pengamatan dapengukuran terhadap lebih dari satu sifat. Alasan semacam ini tidak saja terdapat di dalam teknik bercocok tanam, tetapi juga dalam bidang sosialekonomi, termasuk sosial ekonomi pertanian dan budidaya pertanian. Wajarlah apabila mahasiswa STIPER harus mempelajari matematika matrik, demikian juga mahasiswa APER, untuk kepentingan pengolahan data.
2. Vektor Lajur dan Vektor Baris Sekumpulan bilangan yang disusun berupa suatu lajur atau kolom dinamakan vektor lajur atau vektor kolom. Misalnya : 1 , 0
12/3 4 5
6
0 −1 0 , 0 , −2 3 0 4
Pada vektor lajur yang pertama terdapat dua bilangan yaitu : 1 dan 0. Kedua bilangan tersebut dinamakan unsur atau elemen vektor lajur tersebut. Vektor-vektor berikutnya mengandung 3 dan 4 unsur, oleh karena itu keempat vektor lajur tersebut masingmasing dikatakan berukuran atau berdimensi dua kali satu, tiga kali satu dan empat kali satu. Kata “sat” pada dimensi vektor tersebut menunjukkan jumlah lajur pada vektor tersebut yaitu satu lajur atau satu kolom. Untuk memudahkan menunjukkan suatu kolom lajur tertentu, setiap vektor lajur yang dikemukakan diberi nama, biasanya dengan salah satu huruf kecil abjad latin yagn bergaris bawah (lihat keterangan). Dalam bentuk yang paling umum, jika suatu vektor lajur U terdiri dari 6 unsur u1, u2, u3,……… un. maka lihat keterangan. a 4x 2
−3 = 4 7 −8
,
73
u nx 2
u1 u = . 2. un
Keterangan : Jika kumpulan bilangan itu tidak disusun lajur, akan tetapi berupa sebuah baris maka vektor tersebut dinamakan vektor baris. Jika n = 1 maka vektor baris maupun vektor lajur akan sama. Dari vektor lajur u dapat ditulis u1 yang berdimensi satu kali n. u1 u1, u2, u3, … . . , un 1xn 3. Penjumlahan Dua Vektor a1 a2 a = a3 … an
b1 b2 , b = b3 … bn a1 + b1 a1 b1 a2 + b2 a2 b2 a3 a+b= + = b3 = a3 + b3 … … ….. an bn an + bn Contoh : 3+2 3 2 5 + = = 4+2 4 2 6 10 + 2 10 5 15 Dalam bentuk vektor baris ditulis sebagai berikut : 3 4
10 + 2 3 5 = 5 6
15
Penjumlahan dua buah vektor yang berdimensi sama menghasilkan vektor berdimensi sama, maka penjumlahan tiga buah vektor yang berdimensi sama dilakukan dua tahap. a1 a2 a3 … an
a1 + b1 a1 + b1 + c1 b1 c1 c1 a2 + b2 a2 + b2 + c2 b2 c2 c2 c3 c3 + b3 = = a3 + b3 + = a3 + b3 + c3 … … … ….. ….. cn cn bn an + bn an + bn + cn
Oleh karena itu untuk n buah vektor yang berdimensi sama yaitu r, haruslah berlaku sebagai berikut : u11 + v21 + ⋯ + v111 u11 v21 v111 + ⋯ + v112 u12 v22 v112 … + … + …. + + … = u12 + v22 … ur v2r vnr u1r + v2r + ⋯ + vnr
74
u1 U – V = u2 … un
v1 u1 − v1 v2 − v2 … = u2 … vn un − vn
4. Penggandaan Vektor terhadap Vektor Lajur Penggandaan vektor baris terhadap vektor lajur U
Misalkan terdapat vektor baris 1 x r
v1 u1, u2, … . ur dan r x 1 = v2 … vr v
Maka yang dimaksud dengan penggandaan vektor baris u1 terhadap vektor lajur v adalah : u.v = u2 v2 + … + ur vr =
uj . vj
𝑗 =1
Contoh : 1 −4 7
3 2 = (1) (3) + (3) (2) + (-4) (1) + (7) (6) = 37 1 −6
5. Pandangan Geometrik mengenai Vektor Dalam pelajaran koordinat diketahui bahwa suatu titik pada bidang datar dapat ditentukan letaknya dengan mengukur koordinatnya terhadap y bertadap suatu titik baku yang dinamakan 0. Titik P mempunyai absis sebesar x dan ordinat y sebesar y, yang lazim dituli P (x,y). Bentuk (x,y) tidak lain adalah suatu vektor berdimensi dua. Y
Absis P (x,y)
Ordinat
0
x
X
Y
y
Absis P
½y
0
Q
½x
x
X
75
Penggandaan suatu vektor terhadap saklar secara geometrik dapat dilukiskan sebagai pemindahan suatu titik ujung vektor (x,y) ke tempat yang letaknya lebih jauh dari 0 jika saklar tersebut > 1, jika saklar antara 0 dan 1 menjauhi. (bergeser) dari tempat semula ke 0, jika saklar < 1 menjauhi 0 ke arah yang berlawanan. Y
V2
v3
V1 x
Kaidah jajaran genjang V1 + v2 + v3 V3 = x1 + x2 Y3 = y1 + y2 Latihan : 1. Jika v1 = 2 2 4 v1 = 0 1
1 2 w = 5 1
Tentukan : a. u1 +v1 + w1 =… b. v1 + w1 z1 = … x 2. x 2 = 0 => 𝑥 = ⋯ −2 x 2 3 3. = 0+> 𝑥 … −2 13 x 3 −x x −4 4. = 0 => 𝑥 = .. 1 2 3 −1
76
1 2 z = −2 −2 1
BAB VII MATRIK
1. Matrik Sebagai Bentuk Umum Suatu Vektor Suatu matrik adalah himpunan unsur-unsur yang disusun berdasarkan penggolongan terhadap sifat. Untuk membedakan penggolongan terhadap kedua macam sifat ini diciptakan istilah baris dan lajur. Oleh karena itu pula suatu matrik dapat dianggap sebagai himpunan beberapa vektor baris atau vektor lajur. beberapa contoh misalnya : 1 0 1 A= 3 2 5 9 8 4
1 2 4 −3 4 C= 1 7 ,B= 5 6 4 1 7 . .8
2 3 −5 6
Matrik pertama dinamakan A terdidi dar 4 lajur dan 3 baris, dikatakan A berdimensi 3 x 4. Unsur yang terletak pada baris kedua dan lajur ketiga diberikan lambang a23 dan inti =5 Pada umumnya, jika suatu matrik H mengandung m baris dan n lajur sehingga berdimensi m x n maka bentuknya sebagai berikut : h11 = h21 … mxn hm1 H
h12 h22 … hm2
… h1n … h2n … … … hmn
Untuk menyederhanakan penulisan matrik tersebut lazim ditulis dalam bentuk : H mxn
= (hij)mxn
Baris-baris matrik H dapat dianggap sebagai vektor baris dengan bentuk umum: 1 h = [hi1 hi2……. hin] => I = 1,2, ……n. i matrik H dapat juga dianggap sebagai vektor lajur dengan m b uah unsur yang masingmasing berupa vektor baris. h1i hi2 H= … . i hm i h1j
hij =
hi2j hi3j … himj
, j = 1,2,3, … . , m
sebaliknya lajur-lajur matrik H dapat dianggap sebagai vektor lajur dengan bentuk seperti diatas. Oleh karena itu matrik H dapat pula dianggap sebagai vektor baris denga n buah unusur masing - masing berupa vektor lajur H = [h1 h2 h3……. hn] 77
Jika : -
m = 1 => maka matrik H berubah menjadi vektor baris
-
n = 1 => maka matrik H berubah menjadi vektor lajur
-
m = 1 dan n = 1 => maka matrik H merupakan x….lar
2. Beberapa Macam Bentuk Matrik yang Khas Ada beberapa matrik yang memiliki bentuk khusus sehingga di beri nama yang khas. Pasal ini dimaksudkan untuk melengkapi perbendaharaan istilah mengenai matrik yang bentuknya memiliki keistemewaan. a) Matrik segi : ialah matrik yang memiliki bentuk baris dan lajur sama , m=n , misalnya : 2 = 4 4x4 1 5
0 1 2 1
G
2 7 3 4
4 7 4 1
matrik segi berdimensi 4 x 4 b) Matrik setangkup : ialah suatu matrik segi yang unsurnya pada baris ke –I dan pada lajur ke –j sama nilainya dengan unsurnya pada baris ke-j dan pada lajur ke-I. dengan perkataan lain, jika matrik (ai.j)n.n setangkup, haruslah berlaku : ai.j = aj.i. misalnya : 1 0 G = 7 5x5 7 8
0 5 4 3 2
7 4 2 5 1
7 3 5 1 1
8 2 1 1 1
Ialah matrik setangkup, karena unsur-unsur sudut menyudut atau diagonal kekiri atas ke kanan bawah merupakan bayangan kaca unsur-unsur dibawahnya. Unsurunsur yang terletak pada garis sudut menyudut tadi dinamakan unsur-unsur diagonal utama matrik G c) Matrik diagonal: ialah suatu matrik setangkup yang unsur-unsurnya semua bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya. Beberapa matrik setangkup yagn bersifat matrik diagonal ialah : 1 D1 = 0 0 0
0 4 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
5 0 dan D2 = 0 0 0 0
0 −4 0 0 0 0
0 0 4 0 0 0
0 0 0 3 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 7
Biasanya huruf di disediakan sebagai lambang bagi matrik diagonal, sedangkan untuk penulisan secara singkat digunakan sebagai berikut : D = dij
n.n
78
d) Matrik saklar: ialah suatu matrik diagonal yang unsur-unsurnya bernilai sama pada diagonal utamanya seperti : 3 0 G2 0 = 5x5 0 0
0 3 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 0 3
e) Matrik identitas : ialah matrik saklar yang unsur-unsur diagonalnya bernilai satu. Huruf kapital I digunakan sebgai lambang untuk identitas, indeks dibawah I menunjukkan dimensinya. 1 1 0 0 0 1 0 I2 = , I3 = 0 1 0 , = I5 = 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
f) Matrik tanda : Ialah suatu matrik diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utamanya bernilai + 1 atau -1 1 = 0 3x3 0
0 0 1 0 , 0 −1
G3
g) Matrik miring setangkup : ialah suatu matrik yang unsur-unsur diagonal utamanya bernilai 0, sedangkan unsur-unsur di luar diagonal utamanya b erlaku ai.j = aj.i. misalnya : 0 1 G5 −2 = 5x5 −4 −5
−1 0 −1 −3 −2
2 4 5 1 3 2 0 1 −1 −1 0 4 1 −4 0
h) Matrik segitiga atas : ialah matriksegi yagn
unsur-unsur di bawah diagonal
utamanya bernilai 0
i) Matrik segitiga bawah ialah : matrik segi yang unsur-unsur di atas diagonal utamanya bernilai 0. Misalnya 9 G5 = 0 0 0
9 3 0 3 0 2 0 0
7 1 −1 4
0 G6 = 1 2 9
0 1 1 9
0 0 1 7
0 0 0 7
j) Matrik tegak Matrik tegak memiliki jumlah baris yang lebih besar daripada lajurnya 1 E= 1 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
79
k) Matrik datar Memiliki jumlah lajur yang lebih besar daripada barisnya 1 1 0 G7 = 0 0 1 0 0 1 l) Matrik satu-nol
1 0 1
Suatu matrik yang unsur-unsurnya bernilai 1 atau 0 saja 1 G8 = 1 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
m) Matrik nol : ialah matrik yang semua unsurnya bernilai 0 0 0 O 0 0 dan 4 x 4 = 0 0 0
0 = 0 3 x 24 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
n) Matrik J : ialah matrik yang semua unsurnya bernilai 1. 1 = 1 4x4 1 1 J
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 , J = 1 4x5 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Bahwa suatu matrik dapat dianggap terdiri dari suatu himpunan vektor-vektor baris atau lajur, maka sebenarnya hal ini dapt dipandang secara lebih umum lagi, yaitu memandang matrik tertentu sebagai himpunan unsur-unsur yang masing-masing terdiri dari matrik, vektor atau skalar. Jika misalnya matrik A dipisah-pisahkan sebagai berikut : A=
1 3
0 2
1 4 5 7
9
8
4
1
Apabila dibatasi bahwa : A1.1 =
1 3
0 1 4 A = A2.1 = 9 2 3 1.2 7
8 4 A2.2 = 1
Maka matrik A dapat ditulis : A=
A1.1 A2.1
A1.2 A2.2
Jika di dalam menghadapi suatu masalah suatu matrik diperlukan seolah-olah terdiri dari unsur-unsur yang masing-masing berbentuk matrik, maka matrik tersebut disebut matrik sekatan
80
3. Kesamaan Dua Buah Matrik Kesamaan dua buah matrik A dan B dikatakan sama, jika dan hanya jika keduanya berdimensi sama, sedangkan setiap unsur yang berindeks sama juga bernilai sama. Dengan kata lain : A
B
Jika m x n = p x q => m = p, n = q, ai.j = bi.j , V ij Jadi jika misalnya :
2 5
a12 6
b 3 = 11 5 7
7 b22
3 7
Maka haruslah : a12 = 7 , b11 = 2 dan b22 = 6
4. Penjumlahan Dua Buah Matrik Penjumlahan dua buah matrik yang berdimensi sama, dapat dibatasi dengan mengingat bahwa suatu matrik dapat dianggap sebagai suatu vektor dengan unsur-unsurnya juga terdiri dari vektor. Misalkan bahwa : ℒ′ = ai1 i β′ = bi1 i
ai2
ai3
… ain => 𝑖 = 1,2,3 … 𝑚
bi2
bi3
… bin => 𝑖 = 1,2,3 … 𝑚
A
Sehingga : m x n
ℒ1′ ℒ2′ B ℒ3′ dan m x n = … ′ ℒm
ℒ1′ + ℒ2′ + A + B = ℒ3′ + … ′ + ℒm
β1′ β′2 β′3 … β′m
β1′ (a11 + b11) ′ β2 (a21 + b21) ′ = (a31 + b31) β3 … … ′ (am1 + bm1) βm
(a12 + b12) (a22 + b22) (a32 + b32) … (am2 + bm2)
… … … … …
(a1n + b1n) (a2n + b2n) (a3n + b3n) … (amn + bmn)
Jadi sejalan dengan pembatasan penjumlahan bagi dua vektor, penjumlahan dua buah matrik yang berukuran sama dapat dibatasi sebagai berikut :
[ai.j]m.n + [bi.j]m.n = [ai.j + bi.j]m.n Demikian pula alasan yang sama, maka untuk penjumlahan tiga buah matrik yang berdimensi sama, harus berlaku kaidah penghimpunan sebagai berikut : A = (B+ C) = (A + B) +C Demikian pula untuk penggandaan suatu matrik terhadap suatu skalar berlaku kaidah sebagai berikut :
CA =c [ai.j]m.n = [c.ai.j]m.n = [ai.j cj]m.n = AC Sehingga berlaku pula selisih A terhadap B sebagai berikut A – B = [ai.j - bi.j]m.n 81
Sebagai kesimpulan berlaku kaidah-kaidah sebagai berikut : A + B = B + A (komulatif) A + (B + C) = (A + B) + C (asosiatif) A+0=0+A A + (-A) = 0 Latihan : A=
7 3 1 8 ,B= 5 0 1 1
4 −1 1 C= 10 4 4
1 0 5 6
a. A + B = … b. A – B = … c. A + B + C = … d. 4A – ½ B = …
5. Penggandaan Matrik Pada umumnya penggandaan matrik tidak bisa bersifat komkulatif. Karena itu harus dibedakan antara penggandaan awal dan penggandaan akhir suatu matrik terhadap matrik lain. Jika matrik A digandakan dari depan terhadap matrik B sehingga terhadap matrik AB, dikatakan bahwa di dalam hasil kali itu A merupakan pengganda awal B dan B merupakan pengganda akhir A. Penggandaan awal A terhadap B hanya dibatasi untuk matrik A yang banyak lajurnya = banyak baris matrik B. jika A berukuran m,n, haruslah B berukuran n.q, sedangkan antara m dan q tidak diharuskan adanya hubungan tertentu. Matrik AB yang terjadi akan berukuran m x q. dua buah matrik yang masing-masing ukurannya memenuhi syarat untuk digandakan terhadap sesamanya, dikatakan saling “menenggang” Cara membatasi penggandaan awal A terhadap B dapat dikemukakan dalam bentuk singkat dengan mengguankan pengertian penggandaan vektor baris terhadap vektor lajur, maka : A mxn
= [ai.j]m.n dan
B nxa
= [bi.j].n.q = b1, b2, b3, …..bq =
Yang dimaksudkan penggandaan awal A terhadap B ialah : A mxn
B
C
= m x q = [Ci.j]m.q nxa 82
a′1 a′2 … a′m
Sedangkan Ci.j = a′i , b′j
m.n
=
𝑛 𝑘=1 𝑎1𝑘 𝑏𝑘𝑗
Yaitu jumlah hasil kali unsur-unsur ke – k pada baris ke I matrik A terhadap unsur-unsur ke k pada lajur ke j dari matrik B Contoh : a 1 2 3 A= B=b 4 5 6 c Maka = AB =
a′i
d g e h f i
= 1 2 3
, a′2
= 4 5
1. a + 2. b + 3. c 1d + 2c + 3f 4a + 5b + 6c 4d + 5e + 6f
g a d 6 , b1 = b b2 = e , b3 = h c i f 1. g + 2h + 3i 4g + 5h + 6j
Seperti halnya pada penggandaan awal A terhadap B ya ng menghasilkanAB, penggandaan akhir A terhadap B yang menghasilkan matrik BA dapat dianggap sebagai penggandaan awal B terhadap A. tetapi jika A menenggang B sebagai awal, belum tentu pula B menenggang A sebagai pengganti awal. Misalnya A berdimensi m x n, dan B berdimensi n x q maka sebagai penanda awal B hanya menenggang A jika m = q. oleh karena itu pada umumnya sifat komutatif tidak berlaku bagi penggandaan dua buah matrik terhadap sesamanya. Bagi matrik-matrik A yang berdimensi m x n, disingkat A (m x n), B (n x p), C (p x p), serta K (n x p) berlaku kaidah –kaidah sebagai berikut : a. A (BC) = (AB) C b. A (B+K) = AB + AK c. (B + K) C = BC + KC Contoh : 1 2 2 1 ,B= 3 4 1 2 4 5 AB = dan BA = 10 11 1 2 Jika C = dan F = −2 0
a. A =
5 7 −3 −2
8 AB ≠ BA 10 −7 −6 −7 −6 2 ; FC = dan CF = 6 −4 6 −4 4 => 𝐹𝐶 = 𝐶𝐹
b. Jika sebidang tanah tertentu diberi pupuk sebanyak 0 kg n/ha, 0 kg P/ha, dan 0 k/ha, maka hasilnya 2 ton gabah kering/ha. Pemupukan dengan 30 kg N/ha menghasilkan 2,5 ton gabah kering /ha/ . pemupukan dengan 30 kg N/ ha dan 30 kg P/ha menghasilkan 3,8 ton/ha/. Sedangkan pemupukan dengan 30 kg 83
N/ha, 30 kg P/ha dan 30 kg K/ha menghasilkan gabah kering 4 ton/ha. Untuk pemupukan dengan setiap kg N, P, dan K masing-masing memerlukan biaya sebesar Rp 40, Rp 50 dan Rp 100,. Dengan dosis pemupukan manakah dari keempat susunan pemupukan itu yang akan memberikan keuntungan terbesar jika harga penjualan gabah Rp. 10 Jawab : Keterangan mengenai dosis pupuk ya ng dipakai sewaktu mengadakan pemupukan serta hasil yang akan didapat dapat disusun dalam tabel dwi kasta sebagai berikut : N 0 30 30 30
Cara pemupukan P 0 0 30 30
K 0 0 0 30
Hasil gabah dalam .ton/ha 2,0 2,5 3,8 4,0
Tabel tersebut di atas dapat disederhanakan menjadi matrik 4 x 4 sebagai berikut : 0 30 30 30
0 0 30 30
0 0 0 30
2.0 2.5 3,8 4,0
Selain itu dapat pula disusun suatu vektor lajur yang mencatat penerimaan pendapatan dengan menggunakan pemupukan setiap kg N, P, K serta setiap ton gabah kering yang dihasilkan. Pendapatan ini disusun dalam bentuk vektor sebagai berikut : −40 −50 −100 +10.000 Tanda minus menunjukkan adanya pengeluaran atau pendapatan negatif, yaitu pemupukan 1 kg N, P, K. sedangkan unsur terakhir yang positif adalah harga penjualan 1 ton gabah kering. Namakan vektor itu vektor biaya. Maka pendapatan bersih dari keempat macam pemupukan itu dapat di hitung dengan melakukan penggandaan dosis pupuk terhadap vektor lajur ang memperincikan pendapatan sebagai berikut : 0 30 30 30
0 0 30 30
0 0 0 30
2.0 2.5 3,8 4,0
84
−40 20.000 −50 = 23.800 −100 35.300 +10.000 34.300
Dari hasil penggandaan tersebut dapat diambil kesimpulan sebagai berikut yang memberikan hasil maksimal adalah dosis pemupukan 30kg N dan 30 kg P. sedangkan pemupukan 30 kg N, 30 kg P dan 30 kg K memberikan hasil gabah lebih banyak tetapi mengurangi tambahan penghasilan dalam bentuk uang. 6. Putaran Matrik Dari suatu matrik A = [a′i.j ]n.m ′ sedangkan a′i.j = a′j.i dengan kata lain, matrik A
„
yang dinamakan putaran A didapatkan dari matrik A dengan menggunakan baris-baris A sebagai lajur-lajur A‟ misalnya : a d = g 4x3 j A
b c e f => h i k t
a d = b e 3x 4 c f A
g j h k i l
Dengan menggunakan putaran matrik ini, matrik setangkup dapat dibatasi sebagai matrik yang sama dengan putarannya. Jadi A setangkup jika dan hanya jika A = A‟ Kaidah putaran matrik: a. [A‟] = A „ b. [A + B]‟ = A‟ + B‟ c. (AB)‟ = B‟ A‟ 7. Teras Suatu Matrik Segi Yang dimaksud dengan teras suatu matrik segi ialah jumlah nilai-nilai unsur-unsur diagonal utamanya. Jika A = [ai.j]m.n Maka teras matrik tersebut : tr A a11 + a22 + a33 + …. + an.n =
𝑛 𝑖=1
ai.j
Dari batasan ini dapat diturunkan beberapa kaidah mengenai teras dari jumlah, putaran dan hasil kali matrik sebagai berikut : a. Tr (A + B)
= tr A + tr B
b. Tr A‟
= tr A
c. Trc. A
= C. tr. A
d. Tr. A.B
= tr. B x A
8. Penggandaan Dua Buah Matrik Sekatan Dalam pasal 2.5 diketahui bahwa untuk : A = [ai.j]2.2 dibatasi matrik : a11 b11 + a1.2 b21 a11 b12 + a12 b22 a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 85
dan B= [Bi.j]2.2
maka A.B
Contoh : 4 1 5 1 5 B= 7 8 1 4 −1 1 1 0
3 1. Jika A = 2 Maka
AB
1 2 1
3 4 1 5 + 7 8 + 1 1 2 1 4 −1
=
3 5 2
1
1 1 2 + 4
5 0 1 −1 = 12 8
3 7 + 2 28
8 5 5 + 32 −1 −1
0 5 24 16 0 −1 35 33
1 2 3 + + 4 8 2
15 10
16 10 14 9
2. Untuk 3 A= 1 1 1
1 3 0 0
Maka AB =
1 0 3 0
1 0 , dan B = 0 3
2 1 4 1
1 7 0 0
4 0 5 0
1 0 0 1
6 0 0 1
c11 c12 c21 c22
Sedangkan : C 11 = 3 2 6 3 C 12 = 3 1 1 C 21 = 1 2 1 2 1 = 2 1 2 1 1 Dan C2.2= 1 1 12 A.B = 5 14 5
1 4 + 1 1 12 + 6 7
1 7 1 4 0 1 0
5 = 12
10
0 5 0 17
0 0 6 + 1 1 1 0 0 = 3 18 + 1 1 1 1 3 0 0 170 1 4 + 0 3 0 405 0 0 3 100 4 3 21 0 5 22 4 4 + 12 0 15 = 14 1 19 4 3 0 0 5 1 4 3 0 0 0 0 1 6 1 6 + 0 3 0 0 0 = 1 6 + 0 0 3 1 1 1 6 10 22 1 1
17 4 9 4
4 1 1 4
19 6 6 9
86
= 4 19
0 0 1 6 0 0 = 1 6 3 3 4 9
BAB VIII DETERMINAN SUATU MATRIK
1. Pasangan Unsur Negatif dan Positif Suatu Matrik Dari pasangan matrik segi A = [ai.j] unsur-unsur ai.j dan ak.r dikatakan menyusun suatu pasangan negatif jika dan hanya jika k < dan η > j atau k > I dan η < j. Dengan kata lain salah satu dari kedua unsur itu letaknya dijalur yang lebih kanan, tetapi juga di baris yang lebih atas daripada unsur yang lain . Suatu pasangan positif disusun oleh ai.j dan ak.r jika dan hanya jika k < I dan η < j atau k > I η > j. jadi salah satu dari kedua unsur itu terletak di baris dan lajur yang terdahulu, jika dibandingkan dengan letak unsur yang lain di dalam matrik. Gambar di bawah ini melukiskan batasan tentang pasangan positif dan negatif itu untuk suatu matrik berdimensi 4 x 4. a11 dan a42 : pasangan positif (0) a14 dan a22 : pasangan negatif (0) a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
Jika dari suatu matrik diambil suatu unsur dari setiap baris dan setiap lajur dengan syarat bahwa dari baris dan lajur yang sama tidak b oleh diambil lebih dari satu unsur, maka dari matrik berukuran n x n dapat diambil n unsur. Jika ke n unsur yang terpilih in dibandingkan sepasang demi sepasang, maka dari C (n,2) macam perbandingan ini akan ada pasangan yang positif dan ada pula yang negatif. Misalnya jika matrik di atas diambil unsru-unsurnya : a11, a23, a34, dan a42 maka pasangan-pasangan yang dibentuk berjumlah C (4,2) = 6 buah, yaitu {a11, a23}, {a11,a34}, {a11,a42}, {a23,a34}, {a23,a42}, dan {a34,a42}. Diantaranya , {a23, a42} dan {a34, a42} merupakan pasangan negatif, sedangkan sebaliknya merupakan pasangan positif. Andaikata waktu mengambil unsur-unsur itu syarat bahwa baris atau lajur yang sama tak boleh diambil lebih dari satu unsur tidak diperhatikan, maka unsur yang terpilih itu tidak semuanya dapat menyusun pasangan positif atau negatip. Jika misalnya diambil unsur a11, a22, a31 dan a34 maka {a11, a31} dan {a22, a24} tidak dapat digolongkan sebagai pasangan negatif maupun positif.
87
2. Determinan Suatu Matrik a11 Perhatikan matrik segi A = a21 a31
a12 a13 a22 a23 a32 a33
Dari matrik ini dapat disusun 3! = 3.2.1 = 6 suku. Masing-masing terdiri dari hasil penggandaan tiga unsur yang tidak sebaris maupun tidak selajur, suku tersebut adalah : a11 a11 a12
a22 a33 dg. φ = 0 a23 a32 dg. φ = 1 a21 a33 dg. φ = 1
a12 a13 a13
a23 a31 dg. φ = 2 a21 a32 dg. φ = 2 a22 a31 dg. φ = 3
Kemudian keenam suku dapat disusun menjadi sebuah fungsi homogen sebagai berikut: (-1)0 a11 a22 a23 + (-1)1 a12 a23 a32 + (-1)1 a12 a21 a33 + (-1)2 a12 a23 a31 + (-1)2 a13 a21 a32 + (-1)3 a13 a22 a31. a11 a21 1 4 𝐶 = 8 2 6 9
Maka 𝐴 =
a12 = a11 a22 – a21 a12 a22 7 6 1 1 5 = (a-1) (1) (2) (3) + (-1) (1) (5) (9) + (-1) (4) (8) (3) + 3 (-1)2 (4) (5) (6) + (-1)2 (7) (8) (9) + (-1)3 (7) (2) (6) = 6 -4 45 -96 + 120 + 504 – 84 = 405
Kaidah untuk determinan 3 x 3 1 4 8 2 6 9
7 1 4 5 8 2 = (1.2.3) + (4.5.6) + (7.8.9) – (6.2.7) – (9.5.1) – (3.8.4) = 405 3 6 9
3. Minor dan Ko faktor Dari suatu matrik A (n x n) determinan anak matriknya yang didapatkan dengan menghapus baris ke p dan lajujr ke q, dinamakan minor untuk apq dan dilambangkan Mpq. Minor bertanda unsur apq yaitu ℒpq = (-1)pq Mpq dinamakan ko faktor unsur apq. Misalkan :
a11 a12 a13 = a21 a22 a23 => →3 x 3 a31 a32 a33 A
Minor unsur a 23 ialah M23 =
a11 a31
a12 = a11 a32 – a12 a31 a32
Sedangkan kofaktornya ialah ℒ23 = (-1)2+3 (a11 a32 – a12 a31) = - (a11 a32 – a12 a31) 88
4. Sifat-sifat Diterminan a. Diterminan putaran matrik A = diterminan itu sendiri. 1 3 1 𝐴1= 2 𝐴 =
2 = 1.4 – 3.2 = 4 - = 4 3 = 1.4 – 2.3 = 4 – 6 = -2 4
b. Determinan suatu matrik segi yagn salah satu baris aau lajurnya terdiri dari unsur – unsur bernilai nol, juga bernilai nol. 1 2 0 1 =0–0=0; 𝐴 = =0–0=0 0 0 0 2
𝐴 =
c. Jika suatu baris atau lajur matrik A digandakan dengan suatu skalar c, maka determinanya berubah menjadi c dit. A = C 𝐴 A=
1 3
2 2 2 => A1 = => c = 2 4 6 4
𝐴 = 1.4 – 3.2 = -2 => 𝐴1 = 2.4 – 6.2 = -4 = 2 (-2) d. Jika dua baris atau lajur matrik A dipertukarkan tempatnya agar menjadi matrik B, maka 𝐴 = - 𝐵 A=
4 2
2 1 3 => B = a = 4-6 = -2 ; B = 6 – 4 = 2 = > 𝐴 = − 𝐵 4 3 1
e. Diterminan matrik yang mengandung dua baris atau lajur yang sama, nilainya sama dengan nol A=
2 2
2 => 𝐴 = 2.2 – 2.2 = 0 2
f. Diterminan suatu matrik yang mengandung 2 baris atau lajur yang sebanding nilainya = 0 A=
2 4
3 6
B=
7 14
8 16
𝐴 = 2.6 – 4.3 = 0 ; 𝐵 = 7.16 – 14 = 112 – 112 = 0 g. Determinan matrik segi A dapat dirubah menjadi kombinasi linier unsur ke –I (lajur ke-j) dengan kofaktor unsuryang setara sebagai koefisiennnya. 1 3 𝐴 = 2 2 2 1
2 2 7 2 + 2 7 = -3 1 3 2 3
7 2 + 2 3 2
2 = -1 + 24 – 4 = 19 1
2 1 − 1 3 2
2 = 24 – 2 – 3 = 19 7
Menurut baris pertama : 1 3 𝐴 = 2 2 2 1
2 2 7 1 + 2 7 = -3 2 3 2 3
Menurut lajur kedua 89
h. Koefisien unsur baris atau lajur suatu matrik dengan kofaktor unsur baris atau lajur lajur lain dari lajur atau baris yang sama sebagai koefisien bernilai 0 1 3 2 A= 2 2 7 2 1 3 2 2 A= 2 2 2 1
unsur baris pertama 1,3,2 digantikan unsur baris ke dua : 2,2,7 7 2 7 2 7 2 2 − 2 + 7 =0 7 𝐴 =2 1 3 2 3 2 1 3
Jika dari matrik segi A, baris ke 1 atau lajur ke j terdiri dari unsur yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium maka 𝐴 = 𝐴 yang baris ke I (lajur k j) nya digantikan oleh suku binomium pada tempat yang setara, ditambah dengan 𝐴 yang baris ke I (lajur ke j) nya digantikan oleh suku binomium yang kedua. 1 (2 + 1) 1 2 1 2 1 1 = = + = 1 − 4 + 1 − 2 = −4 2 (1 + 1) 2 2 2 1 2 1 i. Apabila matrik B didapatkan dari matrik A dengan menambahkan suatu kelipatan unsur suatu baris (lajur) tertentu terhadap unsur baris (lajur) lainnya yang terdapat pada baris (lajur) yang sama,maka diterminan matrik B = determinan matrik A 1 4 2 6
2 3 4 1 2 3 4 6 2 = 4 4 6 2 −1 2 1 5 4 6 2 1 2 1 −1
4 2 0 −1
−7 tambahkan − x baris pertama terhadap baris ketiga 4 1 7 tambahkan − 2x baris kedua terhadap baris pertama 4 1 6
−6 4 −1 −6 4 −1 2
−9 0 6 2 2 0 −9 0 6 2 2 0 1 −1
tambahkan + 2x baris ke4 terhadap baris kedua
13 = 8x 3 0
−7 −6 −9 − (−1)(−1)4+4 16 8 8 1 −1 2 6 21 1 3 = -192 −1 0
j. Apabila matrik A = [ai.j]n.n dapat disekat sebagai berikut : A=
B D sedangakan B dan C masing – masing berukuran j x j dan (n – j) x(n-j), G C
maka 𝐴 = 𝐵 x 𝐶 1 4 2 0
0 0 0 4 0 0 = 1 1 5 0 4 2 1 −1
0 4
5 0 = (1) (4) (5) (-1) = - 20 1 −1
90
k. Determinan suatu matrik diagonal = hasil kali unsur-unsur diagonal utamanya. 𝐴 =
4 2
3 = 4 1 − 2 3 = 4−6 =2 1
l. Jika A dan B masing-masing merupakan matrik segi, maka 𝐴𝐵 = 𝐴 𝑥 𝐵 5. Ordo dan Pangkat Suaut Matrik kalau suatu matrik segi A berukuran n x n, dikatakan bahwa matrik itu berordo n. kalau determinannya ≠ 0, maka A dikatakan berpangkat penuh atau matrik tak singular. Kalau hal ini tak dipenuhi, dikatakan A berpangkat tak penuh dan dikatakan matrik singular. Pada umumnya matrik B yang berdimensi mxn yang dimaksud dengan pangkatnya yaitu p (ℬ) ialah ordo anak matriknya yang terbesar dan masih berpangkat penuh. 1 1. A = 2 4 1 2. B = 2 4 1 C= 1 2 1 1 2
1 0 1 1 = −3 ≠ 0 −1 1 berpangkat dua karena 𝐴 = 0 𝑑𝑎𝑛 +2 −1 1 1 1 0 2 0 berpangkat satu karena semua determinannya = 0 4 0 2 3 4 1 1 1 berpangkat tiga karena misalnya determinan ordonya : 4 1 6 2 3 1 1 1 1 1 1 −2 +3 =5 ≠0 1 1 = 1 4 1 2 1 2 4 4 1
6. Mencari Kebalikan Matrik dengan Matrik A joint Untuk matrik segi A (n xn) dapatlah disimpulkan dari dalil-dalil di atas disusun menjadi matri K, matrik K‟ C =
1 𝐴
. K‟ maka AC = CA = I. karena itu C dinamakan
kebalikan A dan ditulis A=-1. Matrik K dinamakan matrik A joint atau matrik. 1 0 1 1 −1 − Kalau A = −2 1 0 , maka K‟ = 2 1 −2 ; A = (1 + 1(2) = 3 0 −1 1 2 1 1 1
Oleh karena itu A-1 =
3 2
1
−3 1
3 2
3 1
3
3
1
−3 2
−3 1 3
Latihan 1. Tentukan matrik a joint dan matrik kebalikan 1 0 2 A = −1 1 3 0 1 1
4 B= 8 4
0 0 10 4 10 12
4 c= 0 0 91
0 0 8 0 0 12
2. Tentukan matrik kebalikan dari 1 0 2 P = −1 1 3 0 −1 1
4 0 4 Q= 0 8 0 4 0 12
4 2 2 R = −6 −6 −14 2 4 12
3. Tentukan matrik ajoint dan matrik kebalikan dari : 20 15 15 20 H = 10 5 5 10 5 5
10 5 4 0 0
5 10 0 6 0
5 5 0 0 8
92
BAB IX MATRIK KEBALIKAN
1. Transformasi Dasar terhadap Matrik, Baris, dan Lajur Di dalam suatu matrik A (m x n) dapat dibentuk matrik baru dengan mengadakan perubahan bentuk atau lajurnya. Pengolahan semacam ini disebut transformasi dasar terhadap lajur atau baris suatu matrik Pada pokoknya ada 6 transformasi dasar yang dapt dilakukan terhadap suatu matrik, yaitu : 1) b1
: penukaran baris ke I dengan baris ke j matrik A untuk memperoleh matrik
baru Ei.j (A) 2) b2
: penggandaan baris ke I matrik A dengan suatu skalar c ≠ 0 untuk
mendapatkan matrik baru Ei.(c) (A) 3) b3 : penambahan C kali baris ke j terhadap baris ke I matrik A untuk memperoleh matrik Ei.j© (A) 4) n1 : penukaran lajur ke I dengan lajur j untuk mendapatkan matrik baru Fi.j (A) 5) n2 :penggandaan lajur ke-I matrik A dengan skalar C ≠ 0 untuk memperoleh materik baru Fi© (A) 6) n3 ; Penambahan c kali lajur ke j terhadap lajur ke I matrik A untuk mendapatkan matrik baru Fij© (A) Dengan sendirinya keenam transformasi dasar ini tidak mengakibatkan perubahan ukuran matrik. Jika : 1 4 7 A= 5 2 5 9 6 3 1 E2.4 (A) 20 9
5 2 5 , maka E1.2 (A0 = 1 4 7 , 9 6 3 4 7 1 4 8 20 dan E 3.2 (-1)(A) 5 2 6 3 4 4 4 1 7 1 Sedangkan F1.2 (A) = 2 5 5 => F2.4 (a) 5 6 9 3 9 1 4 3 Dan F 3.2(-1)(A) = 5 2 3 9 6 −3
93
7 5 −2 16 7 8 5 24 3
Transformasi dasar terhadap matrik ini dapat dinyatakan sehingga hasil penggandaan awal atau penggandaan akhir suatu matrik yang mempunyai bentuk tertentu. Pada umumnya matrik pengganda y ang dimaksud berupa matrik identitas yang telah mengalami beberapa perubahan. Jadi transformasi dasar b1 terhadap suatu matrik A dapat dianggap sebagai hasil penggandaan awal matrik identitas ya ng telah mengalami perubahan b1 terhadap matrik A. transformasi n1 terhadap lajur matrik A ialah hasil penggandaan akhir matrik identitas yang telah mengalami perubahan (pengolahan ) n1 terhadap matarik A. Contoh : matrik A yang telah dibahas diatas sebagai berikut: 0 E1.2A = 1 0 1 a.F2(4) = 5 9
1 0 0 0 0 1 4 7 2 5 6 3
1 5 9 1 0 0
4 2 6 0 4 0
7 5 5 = 1 3 9 0 1 0 = 5 1 9
2 5 4 7 = E1.2(A) 6 3 16 7 8 5 = F2(4) (A) 24 3
Matrik pengganda yang mengubah bentuk suatu matrik lain dinamakan juga matrik transformasi. Keenam matrik E dan F yang sebagai pengganda awal dan pengganda akhir yang menyebabkan terjadinya transformasi dasar suatu matrik dinamakan matrik transformasi dasar. Karena matrik transformasi dasar
berasal dari matrik identitas yang mengalami
pertukaran baris atau lajur dan penambahan c kali suatu baris atau lajur terhadap baris atau lajur lain, maka matrik transformasi dasar ini selalu berpangkat penuh.
2. Pangkat dan Bentuk Kanonik Suatu Matrik Telah dikemukakan bahwa matrik transformasi dasar berpangkat penuh. Sebabnya matrik ini berasal dari matrik identitas yang mengalami baris atau lajurnya dipertukarkan yang tidak mungkin membuat matrik identitas yang memiliki determinan bernilai = 0 Demikian pula suatu determinan yang bernilai 0 karena matriknya singular, maka pengolahan baris atau lajur seperti yang dimaksudkan tadi tidak akan menyebabkan matrik itu mendapatkan determinan yang tidak = 0. Kedua kenyataan ini dapat digunakan membenarkan kaidah sebagai berikut ; a. Pangkat satu matrik tidak berubah A (m x n), setelah mengalami serangkaian transformasi dasar b. Setiap matrik segi tidak singular, merupakan hasil penggandaan serangkaian matrik transformasi dasar
94
c. Kalau matrik A yang berukuran m(n) berpangkat p (a) = r maka A B (rxr) Or (n − r) Ir O r(n − r) ∞ ∞ 0 m − r r O m − r (n − r) O m − r r O m − r (n − r) mxn Sedangkan p (B) = r Kalau A (m xn) setara dengan matrik
Ir 0
0 maka matrik ini disebut bentuk 0
konomik matrik A d. Dua buah matrik yang berukuran sama setara jika dan hanya jika keduanya berpangkat sama. Kenyataan bahwa suatu matrik tertentu setara dengan suatu matrik konomik dapat digunakan untuk menentukan pangkat suatu matrik dengan cara yang lebih sederhana dan teratur daripada dengan memperhatikan nilai determinan anak matriknya sehingga, mendapatkan anak matrik yang berpangkat penuh. Dengan mengubah matrik melalui transformasi dasar menjadi bentuk kanoniknya sekaligus dapat dikatakan pangkatnya dan ukuran matrik Ir yang terdapat di dalam matrik kanonik itu. 1 − 12 Untuk menentukan pangkat matrik B = 3 − 10 4 − 22 Misalnya matrik tersebut digandeng di depannya dengan suatu matrik identitas kemudian pengolahan baris sampai semua unsur di bawah diagonal utama B berubah menjadi no,. kemudian kalau kemudian matrik itu tak berpangkat penuh akan ada sedikitnya satu baris yang terdiri dari nol. Setelah taraf ini tercapai matrik yang terdapat digandeng di bawahnya dengan matrik identitas. Kemudian diadakan pengolahan lajur sampai semua unsur di atas diagonal utama “disapu” menjadi nol. Semua pengolahan baris akan terdapat di matrik identitas yang digandengkan di depan B setelah mengalami pengolahan ini B baru lah menjadi bentuk kanonik Apa yang telah dibahas di depan pada prakteknya dapat dicatat sebagai berikut 1 0 0 1 0 0
1 −1 2 ∞ −3 −1 0 −4 −2 2
0 : 1 0 : 3 1 : 4
0 0 : 1 0 : 0 1 :
1 −1 2 0 2 −6 0 2 −6
(penambahan -3 kali baris pertama terhadap baris ke dua ; penambahan -4 kali baris pertama terhadap baris ke tiga) 1 0 ∞ −3 1 −1 −1 1 0 3 1 ∞ −2 2 −1 −1
0 0 1 0 0 1
: : : : : :
1 0 0 1 0 0
−1 2 2 −6 menambah -1 kali baris kedua terhadap baris ketiga 0 0 −1 2 1 −3 penggandaan baris kedua terhadap skalar nilai ½ 0 0 95
Setelah mencapai taraf ini, matrik yagn terdapat digandengakn dibawahnya dengan matrikidentitas sebelum diadakan pengolahan lajur. setelah itu diadakan pengolahan lajur sehingga semua unsur di atas diagonal utama menjadi nol 1 0 0 : 1 0 0
−1 2 1 1 −3 0 0 0 0 : : ∞ : 0 1 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 −3 0 0 : : 1 −2 1 0 0 1
(penambahan 1 kali lajur pertama terhadap lajur kedua, penambahan -2 kali lajur pertama terhadap lajur ketiga) 1 0 0 ∞ : 1 0 0
0 1 0 : 1 1 1
0 0 0 : (penambahan 3 kali lajur kedua terhadap lajur ketiga) 1 3 1
Dengan hasil pengolahan baris dan lajur terhadap matrik B, mi dapat disimpulkan bahwa ; 1 3 − 2
−1
0 1 2
0 0
−1 1
P
1 −1 2 1 3 −1 0 0 4 −2 2 0 B
I2 1 1 1 0 0 = = 1 3 0 1 0 0 1 0 0 1 0
.
0
.
0
Q
Ini berarti bahwa P (B) = 2 perlu juga diperhatikan bahwa dengan cara yang telah dilaksanakan di atas, P dan ! masiang-masing berupa matrik segitiga bawah dan matrik segitiga atas. e. Untuk matrik-matrik A dan B yang menenggang terhadap sesamanya p (AB) < min (p (A) . P (B). Latihan : 3 Jika x = 3 2 0 0 0 0 E= 1 0 0 0 0 1
0 6 8 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
4 2 ,y = 0 2 0 3
3 2 3 1 6 1 0 1 4
0 0 1 0 1 0 dan F = 0 0 1 0 1 0 0 0
Hitunglah : a. Y‟ x b. Xy c. Y‟ y 96
d. E y‟ e. Y y‟ f. Xf g. fxyE h. f‟xF i. eE‟y‟
3. Matrik Kebalikan dan Sifat-sifatnya Pada pasal sebelumnya dikemukakan bahwa suatu matrik segi tidak singular A dapat ditentukan suatu matrik A-1 yang dinamakan kebalikan atau invers A dan bersifat AA-1 = A-1 = 1. Mengenai matrik kebalikan (A-1) ini dapat dikemukakan kaidah dan sifat sebagai berikut : a. Kebalikan matrik segi tidak singular A bersifat khas => A => B, A => C maka B = c b. Kebalikan dari kebalikan suatu matrik = matrik itiu sendiri. Kebalikan A = A-1 , kebalikan A-1 = A c. Kebalikan suatu matrik bersifat tidak singular det (A-1,A) = (det, A-1) (det. A), det. In = 1 sehingga A -1 =
1 𝐴
d. Kalau A dan B bersifat segi dan tidak singular, maka (AB) = B-1 A-1 e. Kalau matrik segi A tidak singular, maka (A)-1 = (A-1) f. Kalau D = 𝑑
n.n1=
maka D-1 = |
g. Ln =l n2
4. Mencari Matrik Kebalikan dengan Cara Penyapuan 1 0 1 Untuk mencari B-1 dari B = −2 1 0 misalnnya, maka matrik B digandengkan 0 −1 1 dengan di depannya dengan matrik I setelah itu diadakan pengolahan baris sehingga B berubah menjadi matrik segitiga atas dan semua pengolahan ya ng telah dilakukan tercatat dlam matrik identitas. 1 0 0 1 0 0
0 : 1 0 1 0 : −2 1 0 1 : 0 −1 1 A
E 3.2.(1)
E
∞
1 0 2 1 2 1 p
-1
E 2.1.(2)
E
∞
1 0 0 1 0 0
B 0 : 0 : 1 :
1 0 1 0 1 2 0 0 3 p-1B 97
0 : 1 0 1 0 : 0 1 2 1 : 0 −1 1
kemudian matrik segitiga atas P-1B digandengkan dibawahnya dengan matrik identitas.setelah itu diadakan penagolahan lajur sehingga matrik P-1B berubah menjadi matrik identitas. 1 0 0 : 1 0 0
0 1 0 : 0 1 0
1 2 3 F 3.1.(−1) : ∞ 0 0 1
1 0 0 : 1 0 0
0 1 0 : 0 1 0
0 2 3 F 3.1.(−2) : ∞ −1 0 1
1 0 0 : 1 0 0
0 1 0 : 0 1 0
0 0 3 F 3.1.(1) 3 : ∞ −1 −2 1
1 0 0 1
0 0 1 0 : : −1 3 0 2 1 −3 0 1
0 : 1 0 0
I
a-1
3 -1
-1 -1
Oleh karena itu B = Q P = F 3.1 (-1) F3.2(-2). F3(1/3) F 3.2 (1). E 2.1 (2). 1
1 0
−3
= 0 1
2
1 0 2 1 2 1
−3
0 0 1/3
0 1 −1 −2 1 0 = 3 2 1 −2 1 2 1 1
Jika matrik B-1 akan ditentukan sekali lagi dengan cara lain, maka sebelum menjalankan transformasi
dasar terhadap baris terlebih dulu
didepan atau
dibelakangnya dengan matrik I yang akan mencatat semua pengolahan baris terhadap matrik B. apakah penggandengan I di belakang atau di depan tidak menjadi masalah, karen dalam kedua hal matrik I tetap mencatat transformasi terhadap baris. Kalau penggandengan di belakang B, maka menjadi : 1 0 1 : −2 1 0 : 0 −1 1 :
E 3.1.(2) ∞
E 2.3.(−2) ∞
1 0 0 1 0 0
B
I
1 0 0 1 0 0
1 : 1 2 : 2 3 : 2
1 0 0 1
1 : 0 :
0 0
1 :
0 0 1
E 2.1.(2) ∞
1 0 0 1 0 1
0 0 E 3.(1) 1 0 3 0 1 1 0 ∞ 0 0 1 1
1 0 0 2 1 2 −3 3 3 2
1
1
3
3
3
E 1.3.(−1) ∞
1 : 1 2 : 2 1 : 0
1 : 1 0 0 2 : 2 1 0 2 1 1 1 : 3 3 3 1
0 1 :
0
1
0
0
Latihan : Tentukan a. A-1 98
1
1
−1 −2 1 −2 1 1
1
−3
3 2
0 :
Sehingga : 1 B-1 = E1.3(1) E 2.3(-2) E 3 (1/3) E 3.2 (1) E 2.1 (2) = 2 2
0 0 1 0 0 1
1
3
:
1
−3 2
−3
3 2
1
1
3
3
3
b. B-1 c. C-1 d. (AB)-1 e. (CB)-1 f. (CBA)-1 4 12 A = 1 12 1 6
0 0 4
B=
2 0 0 6 1 10 −4 0 2
4 3 C= 5 8 6 1
99
2 6 10
BAB X VEKTOR DAN GUGUS DAN PERSAMAAN LINEAR
1. Gugus Persamaan Linier dengan Matrik Transformasi Segi Berpangkat Penuh. Apabila gugus persamaan linier Ax = y, matrik transformasinya bersifat segi dan berpangkat penuh maka P (A) = p (A,y) sehingga vektor jawabnya selalu ada. Karena berpangkat penuh maka A mempunyai kebalikan yaitu A-1. Penggunaan awal matrik ini terhadap kedua ruas transformasi linier Ax = y menghasilkan x = A-1 y di atas A-1 bersifat khas. Oleh karena itu pula vektor jawab
Menurut kaidah
transformasi linier itu yakni x0 = A-1 y A-1
=
1 dit .A
(ℒj.i)n.n
Ini berarti bahwa : 1
X0 = dit .A
ℒ11 y1 + ℒ21 y2 + ⋯ ℒn. 1 yn ℒ2.1 y1 + ℒ22 y2 + ⋯ ℒn. 2 yn …………………………………… ℒ1n y1 + ℒ2n y2 + ⋯ + ℒn. n yn
Sehingga Xjo =
1 A
(ℒij y1 + ℒ2j y2 + ⋯ + ℒmj yn
J = 1,2, …. , n Apabila diingat kembali bahwa nilai det.A dapat ditentukan berdasarkan penguraiannya menurut lajur k-j Det.A = ℒ1j aij + ℒ2j a2j + ⋯ + ℒnj anj. J = 1,2,3, … … … … . n Maka Xj0 dapat dianggab sebagai
1 dit .A
kali penguraian suatu determinan, yang unsur-
unsurnya = unsur det.A. kecuali untuk unsur-unsur lajur ke J. lajur ini telah digantikan tempatnya oleh vektor y. kalau diadakan pembatasan bahwa : a11 a12 … a i. j − 1 y1 a 1. j + 1 … a 1n … a 2. j. 1 y2 a 2. j + 1 … a2n a21 a22 … a n. j − 1 yn a n. j + 1 … ann an. 1 an. 2 Maka dapat disusun kaidah berikut yang dikenal dengan kaidah Cramer : Apabiula suatu gugus persamaan linier Ax = y memiliki matrik transformasi segi dan berpangkat penuh maka vektor jawabnya x0 bersifat khas, sedangkan xj0 = Sebagai contoh : 2 4 Transformasi linier 4 10 2 2
2 2 12
x1 6 x2 = 18 x3 −16
100
1 A
A
∆J
Memiliki matrik transformasi yang berpangkat penuh. Kebalikannya dapat ditentukan dengan menggunakan methode penyapuan : 2 4 4 10 2 2
E 2.1.(−2) ∞
x1= E
2 : 1 0 0 E 3.1.(−1) 2 4 2 : 1 0 0 4 10 2 : 0 1 0 2 : 0 1 0 ∞ 2 −2 10 : −1 0 1 12 : 0 0 1
2 4 4 2 0 2
1 3( ) 2
E
1 1( ) 2
∞
2 : 1 0 0 −2 : −2 1 0 10 : −1 0 1 1 2
1
0 1 −1 0 1
E 1.3 (−1) E 2.3 (1) ∞
1
1
1
8
8
8
7
1
0 1
0 :
0 0
1 : −8
E1.2 (−2) 0 1 0
8
1
−8
0 :
29
8
−
−8
11
5
1
8 3
8 1
8 1
8
8
11
3
−8
8
11
5
1
8 3
8 1
8 1
8
8
0
: −
1
: −8
2 : 1 0 0 −2 : −2 1 0 10 : −1 0 1
0
2
3
1 2
:
1
: −1
−
∞
2 4 0 2 0 −2
0 0
2
1 :
0 0
0
1
:
E 3.2.(1)
-1
I
A
1
Karena itu A-1 = 8
dan x 0= A-1y =
Dengan menggunakan kaidah Cramer vektor jawab transformasi linier pada soal di atas dapat ditentukan dengan menghitung : 2 4 2 2 𝐴 = 4 10 2 = 0 2 2 12 0 4 6 2 ∆𝐴1 = 18 10 2 = −16 2 12 2 6 2 ∆𝐴1 = 4 18 2 = 2 −16 12 2 6 2 ∆𝐴1 = 4 18 2 = 2 −16 12
4 2 2 4 2 2 −2 = 0 2 −2 = 32 −2 10 0 0 8 6 4 2 0 −2 −4 = −2 72 + 32 + 4 12 + 64 = 96 −16 2 12 2 6 2 0 6 −2 = 2 (60-44) = 32 0 −22 10 2 4 6 0 2 6 = 2 (-44 + 12) -64 0 −2 −22
101
96
32
Oleh karena itu haruslah : x10 = 32 = 3, x10 = 32 = 1 dan x30 =
− 64 32
= −2
Untuk ukuran matrik transformasi sebesar (3 x3) cara ini masih dianjurkan untuk dipakai. Apabila matrik transformasi berdimensi lebih besar, kaidah cramer terlalu bertele-tele dibandingkan dengan cara lain yang lebih singkat. 2. Metode Doolilitle untuk penentuan vektor jawab transformasi linier dengan matrik transformasi setangkup Jika matrik transformasi bersifat setangkup seperti contoh di atas, maka cara mendapatkan A-1 dan vektor jawab dapat dilakukan dengan ringkas dan efisien melalui penggunaan metode Doolittle. Selain itu algoritma in8 juga memungkinkan adanya pengawasan terhadap adanya kekeliruan perhitungan pada setiap taraf pengolahan baris. Seperti terlihat pada contoh di atas matrik A yang setangkup telah digandaakhirkan terhadap suatu matrik segitiga bawah. 1 T‟ = E3.2(1) E2.1(-2) E3.2(-1) = −2 −3
0 0 1 0 1 1
Untuk mendapatkan segitiga atas : 2 TA=R 0 0
4 2 2 −2 0 8
‟
Kemudian
matrik
ini
digankaakhirkan 1 2
x1 = E3 (1) E2 (1) x E1 (1) = 0 8
2
2
terhadap
matrik
diagonal
0 0 1 2
0 0
0 1 8
Sehingga terdapat matrik segitiga atas yang unsur diagonalnya bernilai satu X1R = X1T‟ 1 TA = TA = 0 0 ‟
2 1 1 −1 0 1
Kemudian matrik ini diusahakan agar menjadi matrik I dengan menggandakan X2 = E 1.2(-2)
E1.3(-1) E2.3(1) sebagai pengganda awal terhadap T‟A sehingga X2X1T‟A = I dan
X2X1T1 = A-1 Pada umumnya untuk sembarang matrik setangkup A tidak singular dapt ditentukan matrik T‟ yang membuat A menjadi matrik segitiga, matrik X1 yagn membuatnya memiliki unsur diagonal utama bernilai satu serta matrik X2 yagn membuat matrik ini
102
menjadi matrik identitas X2X1T1 = I hal ini berarti (X2X1)-1 T1A (X2X1) = (X2X1)-1 I (X2X1) =1. Sehingga T1A (X2X1) = I. Demikian pula (T1)-1T1A (X2X1) (X2X1)-1 = (T1)-1I(X2X1) sehingga A = (T1) = (X2X1)-1 dan A = (T1)-1 (X2X1)-1 dan A-1 = X2X1T‟. karena A‟ = A, maka (A‟)-1 = A-1 atau X2X1T‟ = T‟ = Tx12 x12 akan tetapi karena X1 = x12 haruslah X2X1T‟ = Tx1 x12 3. Vektor Di ruang Dimensi Tiga a. Perkalian skalar dua vektor 1) Pengertian perkalian skalar dua vektor a1 b1 Perkalian skalar a.b (baca : a titik b) dari dua vektor a = a2 dan b = b2 a3 b3 adalah bilangan real a1 b 1 + a2 b2 + a3 b3. a1 b1 Notasi a,b = a2 . b2 a3 b3 Contoh : 4 4 1 1 A = 2 b = −5 . a.b = 2 . −5 = 1x4 + 2x −5 + −3 x 6 = −24 −3 6 −3 6 Catatan : a. Perkalian skalar dua vektor kolom di atas didefinisikan, tetapi tidak sesuai dengan aturan perkalian matrik. Menurut aturan perkalian matriks ditulis : b1 (a1 a2 a3) b2 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 b3 Perkalian matris ini tidak dipergunakan dalam perkalian skalar dua vektor. b. Perkalian skalar dua vektor adalah bilangan real dan bukan vektor 2) Perkalian skalar dua vektor adalah bilangan real dan bukan vektor Teorema : Jika a dan b adalah dua vektor yang bukan vektor nol, dan 𝜽 adalah sudut antara a dan b ( 0 < 𝜽 < π ) maka perkalian skalar dari a dan b a dinyatakan dengan a.b = 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜽 . Bukti : Akan kita buktikan dengan aturan kosinus segitiga a1 𝐷𝐴 mewakili vektor posisi a = a2 pada titik A (a1, a2, a3) a3
103
b1 𝑂𝐵 mewakili vektor posisi b = b2 pada titik B (b1, b2, b3) b3 b1 − a1 𝐴𝐵 mewakili b2 − a2 . b3 − a3 Z B(b1 b2 b3)
A (a1 a2 a3)
A
b
y
x
Menurut rumus panjang vektor 2
= a12 + a22 + a23
2
= b12 + b22 + b33
2
= (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵
= a12 + a22 + a23 + b12 + b22 + b23 -2 (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ) 𝑂𝐴
2
𝑂𝐵
−2 𝑎.𝑏
2
Menurut aturan cosinus segi tiga dan hasil-hasil di atas, maka diperoleh : 2
𝐴𝐵
=
2
𝑂𝐴
=
2
𝑂𝐵
=2
𝑂𝐴
𝑂𝐵
cos 𝜽 =
2
𝑂𝐴
+
2
𝑂𝐵
- 2 .a. b
𝑎 𝑏 𝒄𝒐𝒔𝜽 = a.b Terbukti bahwa a.b = 𝑎 𝑏 𝒄𝒐𝒔𝜽 Tugas : Jika didefinisikan a.b = 𝑎 𝑏 𝒄𝒐𝒔𝜽 , buktikan bahwa a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 Contoh : Jika panjang vektor a adalah 2, panjang vektor b adalah 3 dan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor itu 1000, maka hitunglah a.b. Jawab : a.b = 𝑎 𝑏 𝒄𝒐𝒔 1000
= 2 x 3 (-cos 800) = 2 x 3 (-0,174) = -1,44 104
3) Nilai a.b terhadap nol a) Jika a atau b adalah vektor nol (0) dan besar 𝜽
sembarang, maka
didefinisikan bahwa a.b = 0 b) Jika a ≠ b, b ≠ 0, Dan 0 < 𝜽 < π , maka a.b > 0 (gambar 1.2 (i)) 𝟏
𝜽 = 𝟐 𝝅, maka a.b = 0 (gambar 1.2 (ii)) 𝟏 𝟐
𝝅 < 𝜽 < π, maka a.b < 0 (gambar 1.2 (iii))
c) Jika a.b = 0, a ≠ 0 dan b ≠ 0 , maka 𝜽 = d) Jika a.b = 0 maka 𝜽 =
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝝅
𝝅 atau sekurang-kurangnya sebuah diantara a atau
b adalah cektor nol.
A b
𝜽
b
b
a
a 0= A1
(i)
𝜽
a
B (ii)
(iii)
Latihan 1: 2 −1 1. Hitung u.v jika u = −1 dan v = 2 3 −1 2. Hitung u.v jika u dan v berturut-turut adalah vektor posisi titik u (-2,1,0) dan v (1, -2, 1) 3. Hitung u.v jika u = 2i – j + k dan v = I + j – 2k 1 −2 4. Jika u 2 , dan v = 0 hitung lah u.v −1 −2 5. Jika u = I – 2 k dan v = 2i – j + k, hitunglah u.v 6. Jika u vektor posisi titik u (1, -1, 1) dan v vektor posisi titik v (1, -2, -1) tentukan u.v Untuk soal soal nomor 7 -18, hitunglah u.v, jika u, v dan 𝜽 diketahui pada tabel berikut . No 7. 8.
U 1 3
V 2 4
105
𝜽 00 1 𝜋 6
9.
5
6
10.
7
8
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
1 2 3 4 1 7 3 5
8 7 7 5 8 1 6 4
1 𝜋 4 1 𝜋 3 0 90 1200 1350 1500 100 45,20 100,40 1600
x −1 19. Jika u = −5 , v = 4 , dan u.v = 21 −1 −2 2 −1 20. Jika u = 4 , v = −1 dan u.v = 0, tentukan y y −2 21. Buktikan bahwa u.u = u
2
22. Pada suatu sistem koordinat dimensi tiga memiliki tripel vektor I, j, k yang saling tegak lurus dan sama panjang sebagai vektor basis dan vektor satuan a. Buktikan bahwa 1.i = 1 b. Buktikan bahwa i.j = 0 c. Isilah tabel [erkalian skalar dua vektor satuan sebagai berikut I 1
i J K
J 0
K
23. Jika u tegak lurus pada I, pada j, pada k, buktikan bahwa u = 0 24. Jika u tegak lurus v dan u tegak lurus w, maka u tegak lurus v + w. Buktikan 25. Jika u tegak lurus v dan CER, maka u tegak lurus cv. Buktikan. b. Sudut antara dua vektor Sudut rumus-rumus yang telah kita pelajari akan kita temukan besarnya sudut antara dua vektor. Telah kita pelajari pula bahwa : a1 Jika a = a2 maka a = a21 + a22 + a23 dan a3 b1 Jika b = b2 maka b = b12 + b22 + b23 b3 Menurut definisi, a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 diperoleh : 𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝑎 .𝑏 𝑎 𝑏
atau 𝒄𝒐𝒔𝜽 =
dari teorema a.b 𝑎 𝑏 𝒄𝒐𝒔𝜽 ,
a1 b1 + a2b2 + a3 b3 2
2
2
2
(a1 +a22 + a23 ) (b1 +b2 + b3 )
106
Contoh 1: Diketahui a = I + 2j –k dan b =2i – j + k. hitunglah besarnya sudur antara a dan b Jawab : 1 2 a = 12 + 22 + (−1)2 = 6 −1 2 b = 2i + j + k => b = −1 a = 22 + (−1)2 + 12 = 6 1 1 2 a.b = 2 −1 = 1 x + 2 x −1 + −1 x 1 = −1 −1 1 a = I + 2 j – k => a =
cos x0 =
a.b a b
=
−1 6 6
1
= − 6 = 0,167
cos x0 = -cos 80,4 = cos (180 – 80,4)-0- = cos 99,60 Jadi benar sudut antara a dan b sama dengan 99,60 Contoh 2 : Titik-titik sudut segi tiga ABC berposisi sebagai berikut : A (-1, 0, 3), B (1,-4,1), C(-2, -1, 1). Tentukan besar tiap sudut nya tanpa menggunakan rumus jumlah sudut segitiga Catatan : pangkal vektor harus terletak pada titik sudut. Gambar 1.3, 1.4, dan 1.5 meskipun besar sudutnya tidak tepat, tetapi sangat membantu dalam perhitungan. a. Menghitung sudut BAC (gambar 1.3) 1+1 2 𝐴𝐵 mewakili u = −4 − 0 = −4 1−3 −2 −2 + 1 −1 𝐴𝐶 mewakili v = −1 − 0 = −1 1−3 −2 u = 22 + (−4)2 + (−2)2
A(-1,0,3)
= 24
c(-2,-1,1) Gambar 1.3
=2 6 v = (−1)2 + (−1)2 + (−2)2 = 6 2 −1 u.v = −4 −1 = −2 + 4 + 4 = 6; −2 −2 cos∟ABC =
B(1,-4)
6 2 6x 6
1
= = 2
1
1
3
3
cos π => ∟BAC π = 600
107
b. Menghitung ∟ABC (gambar 1.4)
A(1,0,8)
−1 − 1 −2 𝐵𝐴 mewakili w = 0 + 4 = 4 3−1 2 −2 − 1 −3 𝐵𝐶 mewakili x = −1 + 4 = 3 1−1 0
w x A(-1,-4,1)
c(-2,-1,1) Gambar 1.4
w = (−2)2 + 42 + 22 = 24 =2 6 x =
−3
2
+ 32 + 02 = 18
= 33 2 −2 −3 w.x = 4 3 = 6 + 12 + 0 = 18; 2 0 cos∟ABC =
18 2 6x3 2
1
1
6
6
=
1 2
3=
cos π => ∟BAC π = 300 c. Menghitung ∟ABC (gambar 1.5)
A(-1,0,3)
−1 + 2 1 𝐶𝐴 mewakili y = 0 + 1 = 1 3−1 2 1+2 3 𝑌𝑍 mewakili z = −4 + 1 = −3 1−1 0
y z A(-2,-1,1)
1 3 y.z = 1 −3 = 3 − 3 + 0 = 0; 2 0 cos∟ABC = 0 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
y.z y z
c(1,-4,1) Gambar 1.5
=0
1
jadi, ∟ACB π = 900 2
Latihan 2: 1. Diantara tiga vektor, yaitu a = 31 -5j – k, b = -I + 4j – 2k, dan c = 2i – j – 3k, pasangan vektor manakah yang : a. Membentuk sudut lancip? b. Membentuk sudut siku-siku? c. Membentuk sudut tumpul?
108
2. Segi empat ABCD dengan A (2,2,1), B (1,1,-4), C (-2,-2,-1), dan D (-1, -1,4). a. Sudut-sudut manakah yang lancip? b. Sudut-sudut manakah yang tumpul? c. Tentukan besar sudut antara diagonal-diagonalnya d. Apa nama bentuk yang paling tepat untuk ABCD? 3. Suatu segi tiga dengan titik-titik sudut dan koordinatnya sebagai berikut : O (0,0), A (1,1,2) dan B (-1,1). Hitung besar tiap sudutnya 4. Suatu segi tiga dengan titik-titik sudut dan koordinatnya sebagai berikut : A (2,2,4), B (4,-2,2) dan C (1,1,2). Hitung besar tiap sudutnya 5. Diketahui segitiga ABC dengan A(-1,-1,-4), B (-1,1,4) dan C (-2 2, 2 2, - 2. hitung besar tiap sudutnya. 6. Tentukan besar tiap sudut segitiga ABC jika titik-titik sudutnya berposisi sebagai berikut : A (1,0,1), B(-1,1,-2), C (0,1,-2) c. Sifat-sifat perkalian skalar 1) Sifat komutatif a1 b1 Akan kita bahas hubngna a.b dan b.a untuk a = a2 dan b = b2 a3 b3 a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Menurut sifat komutatif pada perkalian bilangan real, dapat diubah menjadi b1a1 + b2a2 + b3a3. Menurut definisi perkalian skalar dapat diubah menjadi b.a. dengan demikian, perkalian skalar antara dua vektor memiliki sifat komutatif : a.b = b.a 2) Sifat distributif akan kita perhatikan hubungan antara a. (b+c) dan a.b + a.c a1 c1 b1 untuk a = a2 , b = b2 dan c = c2 . a3 c3 b3 a1 b1 + c1 a.(b+c) = a2 . b2 + c2 a3 b3 + c3 a.(b+c)
= a1b1 + a1c1 + a2b2 + a2c2 + a3b3 + a3c3 = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a1c1 + a2c2 + a3 + a3c3 =
a.b
+
a.c
Sebutkan sifat yang dipergunakan ! sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan vektor adalah a.(b+c) = a.b + a.c 109
3) Sifat lain Tidak seperti pada perkalian bilangan real. Perkalian skalar dua vektor tidak memiliki sifat tertutup, elemen identitas, invers dan asosiatif. Cobalah selidiki hal itu dengan definisi perkalian skalar sebagai dasar. Contoh : C D E T 0 A
B
Gambar 1.6
Pada segitiga ABC digambar garis-garis tinggi AD dan BE yang berpotongan di T. buktikan CT tegak lurus AB. Bukti : Dipilih titik pangkal koordinat 0 yang berimpit dengan T (gambar 1.6). vektorvektor posisi titik A, B dan C berturut-turut adalah a, b dan c. AD┴ BC => AO ┴ BC => (0 –a) (c-b) = 0 -a.c + a.b = 0 a. b = .c (1) Be ┴ AC BO┴ AC => (0 – b) (c – a) = 0 -b.c + a.b = 0 A.b = b.c(2) (i)
A.b =ac
(ii)
A.b = b.c
A.c = b .c A.c – b.c = 0 -c. (b-a) = 0 (a-c) (b-a) = 0 CO ┴ AB => CT ┴ AB (terbukti) Latihan 3: 1. Jika u
−1 2 2 dan v = −3 , hitunglah : 2 6
a. U.u b. V.v c. U.v 110
d. U. (u+v) e. U (u – v) f. (u + v) (u-v) 2. Jika (u+v) (u+v) = u.v + v.v, buktikan bahwa u dan v saling tegak lurus 3. A,b,c dan da berturu-turut adalah vektor posisi titik A, B, C dan D. jika AB dan CD saling tegak lurus buktikan bahwa : a.c + b.d = a.d + b.c 4. Pada tetrahedron ABCD, AB ┴ CD, AC ┴ BD. a. Buktikan bahwa a.b + c.d = a.c + b.d = a.d + b.c b. Buktukan pula bahwa AD ┴ BC 5. Jika u + v ≠ u –v ≠ 0, u = v. buktikan (u+ v) ┴ (u – v) 6. Gambarlah garis tengah hw pada lingkaran yang berpusat di O, sebarang titik v terletak pada keliling lingkaran. Jika 0 sebagai titik pengkal sistem koordinat, u dan v berturut-turut adalah vektor posisi u dan v maka : a. Nyatakan vektor posisi yang diwakili 𝑊𝑂 dengan v b. Nyatakan vektor posisi yang diwakili 𝑉𝑊 dengan u dan v c. Nyatakan vektor posisi yang diwakili 𝑉𝑈 dengan u dan v d. Apakah u = v? ataukah u v ? e. Buktikan bahwa ∟uvw = ½ π f. Kesimpulan apa yang anda peroleh tentang sudut keliling lingkaran di atas 7. Sumbu-sumbu sisi OP dan OQ dari segitiga OPQ berpotongan di M. jika O sebagai titik pangkal sistem koordinat, vektor-vektor posisi titik P,Q dan M berturu-turut adalah p, q dan m, buktikan bahwa a. P.m = ½ p.p b. q. m = ½ q.q c. garis hubung titik M dan titik tengah sisi PQ tegak lurus PQ 8. limas DABC dengan AB = CD, AC = BD dan AD = BC a. dari AC = BD, buktikan bahwa : (c-a + d-b). (c-a-d+b) = 0 b. jika titik P,Q, R dan S berturut-turut adalah titik tngah rusuk-rusuk AB, CD, AD dan BC, buktikan bahwa PQ tegak lurus RS c. apa kesimpulan anda tentang ketiga garis hubung titik-titik tengah rusuk berhadapan pada limas DABC
4) Proyeksi suatu vektor pada vektor lain a) Pengertian Seorang anak menarik mobol-mobilan dengan tali sejauh s ( perhatikan gambar 1.7) 𝑂𝐵 menggambarkan arah dan panjang lintasan mobil-mobilan.
111
𝑂𝐴 menggambarkan arah dan besar gaya tarik anak (F) lewat tali. Besar sudut antara arah lintasan dan gaya adalah 0. A F
0
0
S
B
Gambar 1.7
Situasi tersebut dalam pelajaran fisika diutarakan sebagai berikut. (Gambar 1.8). ada gaya f (vektor a, di wakili 𝑂𝐴) yang bekerja pada suatu benda sehingga benda itu menempuh jarak s (vektor b, diwakili 𝑂𝐵). A F a 0
0
Fcos 𝜃
A
S
Gambar 1.8
Gaya yang memindahkan enda sejauh dan searah s bukan F seutuhnya, tetapi hanya sebagian saja, yaitu sebesar proyeksi F pada S, yaitu 𝑂𝐴 atau F cos 𝜃 atau proyeksi a pada b atau 𝑎 cos
𝜃. Usaha ya ng dilakukan gaya
F sama dengan F S cos 𝜃 Contoh : Sebuah gaya 5 newton memindahkan sebuah benda sejauh 4 m. sudut yang dibentuk oleh arah gaya sebesar 450. Usaha itu = F S cos 𝜃, yaitu proyeksi vektor a pada vektor b. b) Proyeksi skalar a pada b Vektor a (diwakili 𝑂𝐴 dan vektor b diwakili 𝑂𝐵 membentuk sudut sebesar 𝜃 (gambar 1.9). titik A‟ adalah proyeksi titik pada 𝑂𝐵. Sehingga OA‟ = a cos 𝜃.
A
A
a
0
b
A‟
b
a
0
B
(i)
a (ii)
(iii)
Gambar 1.9
112
B
Jika 0 < 𝜃 < ½ π, maka a cos 𝜃 > 0 (gambar 1.9 (i)) Jika 0 = ½ π, maka a cos 𝜃 = 0 (gambar 1.9 (ii)) Jika ½ π < 𝜃 < π maka a cos 𝜃 < 0 (gambar 1.9 (iii)) OA‟ = a cos 𝜃. Disebut proyeksi skalar a pada b a cos 𝜃 =
a.b b a.b
Jadi proyeksi skalar a pada b =
b
Contoh Diketahui : u = 2i – 3j + 6k ; v = 2i + 2j + k. akan dihitung : a. Proyeksi skalar u pada v dan v pada u b. Proyeksi vektor u pada v dan v pada u Jawab : 2 2 u.v = −3 . 2 = 4 – 6 + 4 = 4 6 1 u 2 = 22 + (−3)2 + 62 = 49 => u = u 2 = 22 + 22 + 12 = 9 => u = a. Proyeksi skalar u pada v =
u.v
Proyeksi vektor v pada u = =
4
u.v
b. Proyeksi skalar v pada u = = u.v u2
9=3
=3
u
Proyeksi vektor u pada v =
49 = 7
v2 u.v u
4
8
8
4
= 9 2i + 2j + k = 9 i + 9 j + 9 k 4
=7 4
8
12
24
u = 49 2 i − 3j + 6k = 49 i − 49 j = 49 k
Latihan 4 1. Hitung proyeksi skalar dan proyeksi vektor u pada v , jika u dan v sebagai berikut : a. u =
−1 −1 dan v = 2 1 1 1
b. u = 2i – 3j – 2k c. u adalah vektor posisi titik u (1,2,3) dan v adalah vektor posisi titik v (-2, 2,2) 2. hitung proyeksi skalar dan proyeksi dan proyeksi v pada u, jika u dan v tersebut pada soal nomor 1a, 1b dan 1c di atas 3. tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor u = 3i – 4j-5k, pada a. vektor i b. vektor j c. vektor k 113
4. proyeksi skalar vektor u pada I, pada j dan pada k berturut-turut adalah 2,-3 dan 6 a. tentukan u b. tentukan panjang u 5. pada soal nomor 4, tentukan besarnya sudut antara a. u dan i b. u dan j c. u dan k 6. tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor (u + v) pada w jika u = 2i – j – k, v = I + 2j – k, dan w = 2i – 2 + k
4. Permasalahan dalam Vektor Tiga Dimensi a. Tentukan landasan bagi ruang yagn direntang oleh (1, -1, 2), (0,1,3) dan (2,0,10) 1 −1 2 Pemecahan : matrik harus diperiksa ialah 0 −1 3 2 0 10 Pengolahan baris terhadap matrik ini menghasilkan : 1 −1 2 E 2 1.2 1 0 1 3 0 ∞ 2 0 10 2
0 5 E 1 0 3.1 −2 1 3 0 1 ∞ 0 10 0 0
5 3 0
Oleh karena itu (1,0, 5)dan (0,1, 3) merupakan suatu landasan bagi ruang tersebut.
b. Tentukan landasan terhadap matrik yang tersusun dari vektor-vektor ini menghasilkan :
1 1 −1 2 E 1.2 (1) 0 1 3 0 ∞ 1 1 3 1 E
1 1( ) 5
∞
0 0 0 1 1 0
0 5 1 3 1 3
1 E 0 2.1 (−3) 3 0 ∞ 0 1
E 3.2 (1) ∞
1 0 5 0 1 3 1 0 0
E 1.3 (−1) ∞
0 0 0 1 1 3
0 1 E 1 0 0 1.3 1 0 0 1 0 maka : ∞ 0 0 0 0 1
gugus vektor { 1, −1, 2 , , 1,1,3 }dapat menggunakan landasan vektor c. Tentukan vektor jawab dari 1 6 4 1 6 4
2 −4 −2 −10 −2 0 2 −4 −2 −10 −2 0
x1 1 x2 = −22 x3 −4 x1 1 = x2 −22 x3 −4
114
5 3 0
Pemecahan : dari transformasi linier : pengolahan baris terhadap matrik gandengannnya menghasilkan : 1 2 1 2 −4 = 1 −4 = 1 6 −2 −10 = −22 E1 (1) E3 (1 ) 3 −1 −5 = −11 2 2 4 −2 2 −1 0 = −4 3 = −2 1 2 1 2 −4 = 1 −4 = 1 E2.1 (−3) E3.1 (−2) 0 −7 7 = −14 E3 (1) E2 (−1) 0 1 −1 = 2 2 7 0 −5 11 = −4 0 0 1 = 1 Maka x1 + 2x2 + 4x3 = 1 X2 – x3 = 2 X3 = 1 Sehingga x3.0 = 1, x2.0 = 2 + (+1) = 3, x1.0 = 1 – 2 (3) + 4 (1) = 1 Jadi vektor Jawabanya x0 = {(-1) (3) (1)} d. Tentukan vektor jawab X0 untuk 2 4 4 10 2 2
2 x1 6 2 . x2 = 18 12 x3 −16
Pemecahan: transformasi linear dari : 2 4 4 10 2 2
2 x1 6 2 . x2 = 18 12 x3 −16
Memiliki matrik transformasi yang berpangkat penuh. Kebalikannya dapat menggunakan metode penyapuan sebagai berikut : 2 4 4 10 2 2 E3.2 1 ∞ x1= E
2 : 1 2 : 0 12 : 0 2 4 0 0 2 −2 0 0 8
1 3 8
E
1 2 2
E
0 0 E 3.1 (−1) 2 4 1 0 ∞ 0 0 1 : 1 0 0 : −2 1 0 : −3 1 1
1 1 2
∞
1
2
0
1 −1 :
0
0
1 2 0 E 1.3 (−1) E 2 .3 1 ∞
0 1 0 0
‟
4 2 : 1 0 0 10 2 : 0 1 0 −2 10 : −1 0 1
1
oleh karena itu A = 8
:
1 7
0 0
2
1
−1
: 1
0
2
3
1
1
8
8
8
1
−8
8
0 : − 1 :
1
1 :
−8
11
5
1
E 1.2 (−2)
8 3
8 1
8 1
∞
8
8
−8
29 −11 −11 5 −3 1
−3 1 dan 1 115
29
−
1
0 0 :
0
1
0 :
0
0
1 : −8
8
−
11 8
3
−8
11
5
1
8 3
8 1
8 1
8
8
3 x0 = A y = 1 = x1 = 3 , x2 = 1, x3 = -2 −2 -1
e. Selesaikan matrik di atas dengan metode Cramer 2 4 2 2 ∆ = 4 10 2 = 0 2 2 12 0 6 4 2 ∆X1 = 18 10 2 = −16 2 12 2 6 2 ∆X2 = 4 18 2 = 2 −16 12 2 4 6 ∆X3 = 4 10 18 = 2 2 −16
4 2 2 4 2 = −2 −2 0 2 −2 −2 10 0 0 8 6 4 2 0 −2 −4 = (-2) (72 + 32) + 4 (12 + 64) = 96 −16 2 12 2 6 2 0 6 −2 = 2 (60 + 44 ) = 32 0 −22 10 2 4 8 0 2 6 = 2(-44 + 12) = -64 0 −2 −22
Jadi ∆
𝟗𝟔
∆
𝟑𝟐
X1 = ∆𝐗𝟏 = 𝟑𝟐 = 3 X2 = ∆𝐗𝟐 = 𝟑𝟐 = 1 dan X3 =
∆ ∆𝐗𝟑
=
𝟔𝟒 𝟑𝟐
= −𝟐
Jadi jawabnya : sama dengan di atas
116
DAFTAR PUSTAK
Andi Hakim Nasution, Dr, Landasan Matematika, Bratara, Jakarta 1978 Buchori Kifli. Drs. Prinsip-Prinsip Matrmatika. CV. Sinar Baru, Bandung 1985 Dumairy, Dr. matematika terapan, BPPB Yogyakarta 1983 H. Johanes dan Budiono. Pengantar Matematika LP3ES, Jakarta 1990 The :Liang Gie. Pengantar Logika Modern, Karya Kencana, Yogyakarta 1979 Drs. Sarjono, Modul O UI, Mt. I DepDikBud 84-85 Toetoyo. Matematika Modern, Yayasan Penerbit Sanatha Dharma. Yogyakarta 1978 Staf Penulis GSB. Konsep Dasar Kalkulkus. Ganesha Studen Book. Series Bandung 1980 Subagio DKK, Aljabar Matrik, PT Tarsito Pres. Semarang 1987
117
