perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PENYELESAIAN SIMETRI SPIN PERSAMAAN DIRAC DENGAN POTENSIAL P ̈ SCHL-TELLER TERMODIFIKASI DAN POTENSIAL NON-SENTRAL SCARF II TRIGONOMETRIK MENGGUNAKAN ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)
Disusun oleh: BETA NUR PRATIWI M0211012
SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains
JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit to user Mei, 2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi dengan judul : Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac dengan Potensial P ̈ schl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-Sentral Scarf II Trigonometrik Menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM) Yang ditulis oleh: Nama
: Beta Nur Pratiwi
NIM
: M0211012
Telah diuji dan dinyatakan lulus oleh dewan penguji pada Hari
: Rabu
Tanggal : 22 April 2015 Anggota Tim Penguji: 1. Drs. Darmanto, M.Si. NIP 19610614 198803 1 002
........................................
2. Dra. Riyatun, M.Si. NIP 19680226 199402 2 001
........................................
3. Prof. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D. NIP 19520915 197603 2 001
.........................................
4. Prof. Drs. Cari, M.A., Ph.D. NIP 19610306 198503 1 002
.........................................
Disahkan oleh Ketua Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta
commit to user ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
NIP 19680508 199702 1 001
commit to user iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa isi intelektual Skripsi saya yang berjudul “Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac dengan Potensial P ̈ schlTeller Termodifikasi dan Potensial Non-Sentral Scarf II Trigonometrik Menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM)” adalah hasil kerja saya dan sepengetahuan saya hingga saat ini. Skripsi tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau materi yang telah diajukan untuk mendapatkan gelar kesarjanaan di Universitas Sebelas Maret atau di Perguruan Tinggi lainnya kecuali telah dituliskan di daftar pustaka. Skripsi ini dan segala bentuk bantuan dari semua pihak telah ditulis di bagian ucapan terimakasih. Isi Skripsi ini boleh dirujuk atau difotokopi secara bebas tanpa harus memberitahu penulis.
Surakarta, Mei 2015
Beta Nur Pratiwi
commit to user iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTTO
Bermimpilah yang hebat, jangan mau mimpi yang biasa-biasa saja, karena Kuasa Tuhan kita luar biasa (Ahmad Rifa’i Rif’an). We have got to understand that the poor are all around us and we are ignoring them. We have got to understand that these deaths are preventable. We have got understand that they are us. We are them (Rachel Corrie).
commit to user v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan kepada: ALLAH SWT Tuhan Seluruh Alam, Rasululloh Muhammad SAW, Keluarga kecilku: Mamak, Bapak, mas bro Segenap keluarga besarku, Teman-teman FISIKA 2011, dan aku, yang berawal dari rasa penasaran (ingin tahu) akhirnya setelah cukup lama bisa menemukan sedikit jawaban atas rasa penasaran itu, walaupun belum sepenuhnya terjawab serta teruntuk, makhluk hidup ciptaan Tuhan yang se-spesies denganku yang mungkin tertarik dengan keindahan Fisika Kuantum.
commit to user vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac dengan Potensial P ̈ schl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-Sentral Scarf II Trigonometrik Menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM)
BETA NUR PRATIWI Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret ABSTRAK Penyelesaian dari persamaan Dirac kombinasi potensial P ̈ schl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II trigonometrik untuk kondisi spin simetri yaitu kondisi dimana potensial skalar sama dengan potensial vektor dipelajari dan diselesaikan menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM). Kombinasi dari kedua potensial disubtitusikan ke dalam persamaan Dirac tak bergantung waktu, kemudian dilakukan pemisahan variabel menjadi bagian radial dan anguler. Persamaan bagian radial dan anguler diselesaikan dengan mereduksi menjadi persamaan perantara hipergeometri, untuk selanjutnya diselesaikan mengikuti AIM. Dengan AIM, persamaan spektrum energi relativistik dan persamaan bilangan kuantum orbital dapat diperoleh, dimana keduanya saling berkaitan antar bilangan kuantum. Spektrum energi diselesaikan pula secara numerik menggunakan sofware Matlab 7.1, dimana kenaikan bilangan kuantum radial menyebabkan penurunan spektrum energi. Fungsi gelombang bagian radial dan bagian anguler ditentukan dalam bentuk fungsi hipergeometri dan divisualisasikan dengan software Matlab 7.1. Hasilnya menunjukkan bahwa gangguan yang dilakukan potensial non-sentral Scarf II trigonometrik mengakibatkan perubahan pada fungsi gelombang bagian radial dan fungsi gelombang bagian anguler. Kata kunci: persamaan Dirac, potensial Pöschl-Teller termodifikasi, potensial Scarf II trigonometrik, Asymptotic Iteration Method (AIM).
commit to user vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Solution Spin Symmetry of the Dirac Equation with Modified Pöschl-Teller Potential and Trigonometric Scarf II Non-Central Potential Using Asymptotic Iteration Method (AIM)
BETA NUR PRATIWI Physics Department, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University
ABSTRACT Solution of the Dirac equation for modified Poschl-Teller potential and trigonometric Scarf II non-central potential for spin symmetry which scalar potential is same with vector potential studied and solved using Asymptotic Iteration Method (AIM). The combination of the two potential is substituted into the Dirac equation is independent of time, then the separation of variables into radial and angular parts. Radial and angular part equation solved by reducing them to the hipergeometri intermediaries equation, to further resolved to follow the asymptotic iteration method. With the asymptotic iteration method, the energy spectrum of the relativistic equations and equations of orbital quantum number can be obtained, where both are interrelated between quantum numbers. Energy spectrum also numerically solved using Matlab software, where the increase in the radial quantum number causes a decrease in the energy spectrum. The wave function of radial part and the angular are defined as hipergeometri functions and visualized with Matlab 7.1. The results show that the disturbance of trigonometric Scarf II non-central potential change in the wave function of the radial part and the angular part. Keywords: Dirac equation, modified Pöschl-Teller potential, trigonometric Scarf II non-central potential , Asymptotic Iteration Method (AIM).
commit to user viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Alloh SWT atas segalaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Skripsi yang penulis susun sebagai bagian dari syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains ini penulis beri judul “Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac
dengan Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-Sentral Scarf II Trigonometrik Menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM) “. Dapat menyelesaikan skripsi ini adalah suatu kebanggaan bagi saya setelah sekitar satu semester penulis berjuang untuk menyelesaikan skripsi ini tepat waktu. Dengan segala suka dan duka yang dialami, pada akhirnya skripsi ini dapat diselesaikan. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada: 1. Prof. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D. selaku pembimbing I dan pembimbing akademik yang senantiasa membimbing dari awal semester hingga skripsi ini dapat selesai. 2. Prof. Drs. Cari, M.A., Ph.D. selaku pembimbing II yang senantiasa membimbing hingga skripsi ini dapat selesai. 3. Segenap dosen dan staf Jurusan Fisika yang telah banyak membantu dan memberikan bimbingan selama perkuliahan. 4. Kedua orang tua dan keluarga besar, atas doa dan segala bantuannya sejak penulis menjadi mahasiswa hingga akhirnya bisa menyelesaikan skripsi ini. 5. Kakak-kakak seperguruan Fisika Kuantum. 6. Teman-teman Fisika 2011. Semoga Tuhan membalas jerih payah dan pengorbanan yang telah diberikan dengan balasan yang lebih baik. Penulis menyadari akan banyaknya kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Namun demikian, penulis berharap semoga karya kecil ini bermanfaat.
Surakarta,
Mei 2015
Beta Nur Pratiwi
commit to user ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
HALAMAN PUBLIKASI Sebagian skripsi saya yang berjudul “Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac dengan Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-Sentral Scarf II Trigonometrik Menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM)” dipublikasikan di Repositori Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret.
commit to user x
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ......................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN ......................................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ..........................................................................iii HALAMAN PERNYATAAN .......................................................................... iv HALAMAN MOTTO ....................................................................................... v HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... vi HALAMAN ABSTRAK ................................................................................. vii HALAMAN ABSTRACT ..............................................................................viii KATA PENGANTAR ...................................................................................... ix HALAMAN PUBLIKASI................................................................................. x DAFTAR ISI ..................................................................................................... xi DAFTAR TABEL ..........................................................................................xiii DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xv DAFTAR SIMBOL ....................................................................................... xvii DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................xviii BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1 1.1. Latar Belakang ................................................................................. 1 1.2. Batasan Masalah ............................................................................... 4 1.3. Perumusan Masalah .......................................................................... 4 1.4. Tujuan Penelitian.............................................................................. 5 1.5. Manfaat Penelitian............................................................................ 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA....................................................................... 7 2.1. Persamaan Dirac ............................................................................... 7 2.2. Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Nonsentral Scarf II Trigonometri .......................................................... 13 2.3. Persamaan Dirac dalam Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri................................................................................... 14 2.4. Asymptotic Iteration Method (AIM) .............................................. 16 2.5. Penyelesaian Analitik Simetri Spin Persamaan Dirac dengan Potensial Hiperbolik Pöschl-Teller Termodifikasi-q dan potensial Non-Sentral Scarf II Trigonometrik dengan metode Nikivorof-Uvarof ........................................................................... 19 BAB III METODOLOGI PENELITIAN ..................................................... 21 3.1. Tempat dan Waktu Penelitian ........................................................ 21 3.2. Alat dan Bahan Penelitian .............................................................. 21 3.3. Metode Penelitian ........................................................................... 21 3.3.1. Studi Literatur ...................................................................... 22 3.3.2. Penulisan Persamaan Kombinasi Potensial PöschlTeller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri ................................................................... 23
commit to user xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
3.3.3. Penulisan persamaan Dirac bagian radial, anguler dan azimuth untuk Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri Simetri Spin dengan Koordinat Bola ........... 23 3.3.4. Penentuan Fungsi Energi dan Fungsi Gelombang Radial dan Anguler Persamaan Dirac Kondisi Simetri Spin dengan Koordinat Bola untuk Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri ...................................... 23 3.3.4.1. Penentuan Fungsi Gelombang Bagian Radial ....... 23 3.3.4.2. Penentuan Fungsi Gelombang Bagian Anguler .... 24 3.3.5. Visualisasi Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang dengan Software Matlab 7.1 ............. 26 3.3.6. Analisis Energi dan Fungsi Gelombang ............................... 26 3.3.7. Kesimpulan........................................................................... 26 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................ 27 4.1. Pendahuluan ................................................................................... 27 4.2. Penyelesaian Bagian Radial Kondisi Simetri Spin untuk Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri .................................. 27 4.3. Penyelesaian Bagian Anguler Kondisi Simetri Spin untuk Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri .................................. 35 4.4. Penyelesaian Bagian Azimut Kondisi Simetri Spin untuk Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri .................................. 44 4.5. Visualisasi Tingkat Energi Relativistik Persamaan Dirac Kombinasi Potensial Non-sentral Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Scarf II Trigonometri ....................... 45 4.6. Visualisasi Gelombang Radial dan Anguler Persamaan Dirac Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri .................................. 51 4.6.1. Analisa Fungsi Gelombang Radial Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri ................................... 51 4.6.2. Analisa Fungsi Gelombang Anguler Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri ................................... 59 BAB V PENUTUP ........................................................................................... 71 5.1. Kesimpulan..................................................................................... 71 5.2. Saran ............................................................................................... 72 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 73 LAMPIRAN ..................................................................................................... 77
commit to user xii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 4.1.
Tabel 4.2.
Tabel 4.3.
Tabel 4.4.
Tabel 4.5.
Tabel 4.6.
Tabel 4.7.
Tabel 4.8.
Tabel 4.9.
Energi relativistik (1/fm) dari partikel yang dipengaruhi oleh potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial Scarf II Trigonometrik variasi μ dengan M=5, k=1,5 ,η=1 ,a= 0,25 dan b= 0,75 ................................................................. 47 Energi relativistik dalam fm-1 dari partikel yang dipengaruhi oleh potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial Scarf II Trigonometrik variasi nilai dan ............ 48 dengan Energi relativistik dari partikel yang dipengaruhi oleh potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial Scarf II Trigonometrik variasi konstanta a dan b dengan dan ............................................. 50 Fungsi Gelombang bagian radial tak ternormalisasi ( ) ( ( ) ( ( )) kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial nonsentral Scarf II Trigonometri dengan variasi nr (M=5, m=2, nl=2, k =2, 2, a =0,25, b =0,75 dan ) ............ 53 Fungsi Gelombang bagian radial tak ternormalisasi ( ) ( ( ) ( ( )) kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial nonsentral Scarf II Trigonometri dengan variasi k, η (M=5, m=2, nl=2, a =0,25 , b= 0,75, μ=0,2 1/fm ................................ 56 Fungsi Gelombang bagian radial tak ternormalisasi ( ) ( ( ) ( ( )) kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial nonsentral Scarf II Trigonometri dengan variasi a, ( ) ................................................ 57 ,nl=2,m=2, Fungsi Gelombang bagian radial tak ternormalisai ( ) ( ( ) ( ( )) kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial nonsentral Scarf II Trigonometri dengan variasi ( ,nl=2,m=2, ) ...................................................... 58 Fungsi Gelombang bagian anguler kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II Trigonometri dengan variasi nl (M=5,nr=0,k =1,5 , 1, a=0,25,b=0,75 dan ) ............................... 60 Fungsi Gelombang bagian anguler kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II Trigonometri dengan variasi m (M=5,nr=0,k =1,5 commit , 1, a=0,25,b=0,75 dan to user ) ............................... 64 xiii
perpustakaan.uns.ac.id
Tabel 4.10.
digilib.uns.ac.id
Fungsi Gelombang bagian anguler kombinasi potensial P ̈ schl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II Trigonometri dengan variasi a atau b (M=10, 1,5, ) ................................. 67 nr=0, nl=1, =2 ,
commit to user xiv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1. Sistem Koordinat Bola .............................................................. 12 Gambar 3.1. Diagram Alir Metode Penelitian ............................................... 22 Gambar 4.1. Grafik energi relativistik persamaan Dirac kombinasi potensial Pöschl-Teller dan potensial Scarf II trigonometrik variasi dan .................................................. 48 Gambar 4.2. Spektrum energi relativistik variasi k, ..................................... 49 Gambar 4.3. Grafik energi relativistik persamaan Dirac kombinasi potensial Pöschl-Teller dan potensial Scarf II trigonometrik variasi a dan b ..................................................... 50 Gambar 4.4. Spektrum energi relativistik variasi a,b ..................................... 51 Gambar 4.5. Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi untuk potensial Pöschl-Teller dan potensial Scarf II Trigonometri dengan variasi nr (M=5, m=2, nl=2, k =2, 2, a =0,25, b =0,75 dan ............................... 54 Gambar 4.6. Fungsi gelombang bagian radial potensial non-sentral Pöschl-Teller hiperbolik terdeformasi-q (q=1) dan potensial Manning-Rosen variasi n (Aysiah, D, 2014) ............. 55 ( ) potensial PöschlGambar 4.7. Fungsi gelombang bagian radial Teller dan potensial Scarf II Trigonometri dengan variasi k, .............................................................................................. 56 Gambar 4.8. Fungsi gelombang bagian radial potensial Pöschl-Teller dan potensial Scarf II Trigonometri dengan variasi a,b ............ 57 Gambar 4.9. Fungsi gelombang bagian radial potensial Pöschl-Teller dan potensial Scarf II Trigonometri dengan variasi μ ............... 59 Gambar 4.10. Fungsi gelombang anguler 3D koordinat bola ( (θ)) persamaan Dirac kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II Trigonometri 3D koordinat bola variasi bilangan kuantum angular nl (a) H001 ,(b) H011 ,(c) H021 ,(d) H031........................... 61 Gambar 4.11. Fungsi gelombang anguler 2D koordinat polar ( ( )) persamaan Dirac kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II Trigonometri variasi bilangan kuantum angular nl (a) H001 ,(b) H011 ,(c) H021 ,(d) H031......................................................... 62 Gambar 4.12. Fungsi gelombang anguler ( ( )) persamaan Dirac kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II Trigonometri 3D koordinat bola variasi bilangan kuantum magnetik m (a) H110 ,(b) H111 ,(c) H112, (d) H114 ............................................................... 63
commit to user xv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Gambar 4.13. Fungsi gelombang anguler 2D koordinat polar ( ( )) persamaan Dirac kombinasi potensial PöschlTeller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II Trigonometri variasi bilangan kuantum magnetik m (a) H110 ,(b) H111 ,(c) H112, (d) H114 ................................................ 66 Gambar 4.14. Fungsi gelombang anguler (H011 ( )) persamaan Dirac kombinasi potensial P ̈ schl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II Trigonometri 3D koordinat bola variasi konstanta a dan b (a) a = 0,25 ,(b) a = 0,85,(c) b = 0,25, (d) b = 0,85 ................................................................. 68 Gambar 4.15. Fungsi gelombang anguler (H011 ( )) persamaan Dirac kombinasi potensial P ̈ schl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II Trigonometri 2D koordinat polar variasi konstanta a dan b (a) a = 0,25 ,(b) a = 0,85,(c) b = 0,25, (d) b = 0,85 ................................................... 70
commit to user xvi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR SIMBOL
Simbol
Keterangan
Nilai/Satuan
Tetapan Planck ⁄ Massa diam elektron Muatan elektron Kecepatan cahaya Permitivitas ruang hampa Jarak elektron ke inti
m
Massa dalam medan relativistik Bilangan kuantum utama
-
Bilangan kuantum radial
-
Bilangan kuantum anguler Bilangan kuantum magnetik Bilangan kuantum orbital
commit to user xvii
-
-
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Lampiran 2. Lampiran 3. Lampiran 4.
Lampiran 5.
Lampiran 6. Lampiran 7. Lampiran 8.
Listing Program Iterasi konstanta dan dan eigen nilai bagian radial .............................................................................. 77 Listing Program Iterasi konstanta dan dan eigen nilai bagian angular ........................................................................... 78 Listing Program spektrum energi dan bilangan kuantum orbital l....................................................................................... 79 Hasil penelitian yang dilakukan oleh Kurniawan dkk. (2014) tentang penyelesaian analitik simetri spin persamaan Dirac dengan potensial hiperbolik P ̈ schlTeller termodifikasi-q dan potensial non-sentral Scarf II trigonometrik dengan metode Nikivorof-Uvarof ...................... 80 Hasil penelitian oleh Aysiah (2014) terkait penyelesaian persamaan Dirac untuk potensial non-sentral P ̈ schl-Teller hiperbolik termodifikasi-q plus Manning-Rosen untuk simetri spin dengan metode Nikivorof-Uvarof.......................... 81 Listing Program visualisasi fungsi gelombang radial (r vs U(r)) ........................................................................................... 82 Listing Program visualisasi fungsi gelombang anguler 3D koordinat bola ............................................................................ 84 Listing program visualisasi gelombang anguler 2d koordinat polar........................................................................... 86
commit to user xviii
