Distribusi Sampel & Statistitik Terurut

Distribusi Sampel & Statistitik Terurut Sampel Acak, Rataan sampel, X-bar, Variansi sampel, S2, Teorema Limit Pusat, Distribusi t, 2, F • Statistik Terurut

•

MA 3181 Teori Peluang 11 November 2014 Utriweni Mukhaiyar

Beberapa definisi  Suatu populasi terdiri atas keseluruhan pengamatan yang  

 

menjadi perhatian. Sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi. Misalkanlah X1, X2, ..., Xn merupakan n peubah acak bebas yang masing-masing berdistribusi peluang f(x). X1, X2, ..., Xn didefinisikan sebagai sampel acak ukuran n dari populasi f(x) dan distribusi peluang gabungannya sebagai, f(x1, x2, ..., xn) = f(x1), f(x2), ..., f(xn) Setiap fungsi dari peubah acak yang membentuk suatu sampel acak disebut statistik. Contoh statistik : rataan sampel ( X ) , variansi sampel (S2), ...

Rataan dan Variansi Sampel  Bila X1, X2, ..., Xn merupakan suatu sampel acak ukuran n,

maka rataan sampel dinyatakan oleh statistik, 1 n X   Xi n i 1

 dan variansi sampel oleh statistik, 2 n n  1 1    2 2 2 S  (Xi  X )   n xi    xi    n  1 i 1 n  n  1  i 1  i 1   n

 Simpangan baku sampel dinyatakan dengan S

didefinisikan sebagai akar positif variansi sampel.

Distribusi sampel  Distribusi peluang suatu statistik disebut distribusi

sampel.  Simpangan baku distribusi sampel suatu statistik disebut galat baku dari statistik tersebut.

Distribusi sampel dari rataan, X  Misalkan sampel acak berukuran n diambil dari populasi

normal dengan rataan  dan variansi 2. tiap pengamatan Xi, i = 1, 2, ..., n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya.

1 n  1 n  E  X   E   X i   E   X i   n i 1  n  i 1  1 1   E X1   ...  E X n    n    n n 1 n  1  n  Var X  Var X  Var X   i  i   2 n n  i 1   i 1  1 1 2 2  2 Var  X1   ...  Var  X n    2 n  n n n

 





Teorema Limit Pusat  Bila X rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari

populasi dengan rataan  dan variansi 2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi, Z

X 

/ n

bila n  , ialah distribusi normal baku N(0,1).

Distribusi sampel dari selisih dua rataan, X1  X 2  Bila sampel bebas ukuran n1 dan n2 diambil secara acak dari

dua populasi, diskrit maupun kontinu, masing-masing dengan rataan 1 dan 2 dan variansi 12 dan 22, maka distribusi sampel dari selisih rataan, X1  X 2 , berdistribusi hampir normal dengan rataan dan variansi berturut-turut adalah, 2 2   2 X  X  1  2 dan  X X  1  2 n1 n2 sehingga, 1

2

1

X  Z

1

2



 X 2   1  2 

12 n1



 22 n2

Secara hampiran merupakan peubah normal baku.

Distribusi sampel dari (n-1)S2/2  Bila S2 variansi sampel acak ukuran n diambil dari populasi

normal dengan variansi 2, maka statistik 2 n  1 S   X2 

2

berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan  = n-1.

Distribusi - t  Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-

kuadrat dengan derajat kebebasan . Bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila diberikan oleh,

Z T V 

   1 2  t 2  h t   1      2   

  1 2

,  t  

Ini dikenal dengan nama distribusi-t dengan derajat kebebasan .

Distribusi F  Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing-masing

berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan 1 dan 2. Maka distribusi peubah acak, U 1 F V 2

 Diberikan oleh,

 1  2  2 h f    1 2   2 2

1 1  1

2 

1 2

f 1

2 1

1 2 

2 f 2 

2

,

Ini dikenal dengan nama distribusi-F dengan derajat kebebasan 1 dan 2.

0f 

STATISTIK TEURUT  Misal sampel acak 𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 Berukuran n yang

mempunyai fungsi peluang f(x) untuk . Jika Y1 adalah nilai terkecil dari (𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 ), Y2 adalah nilai terkecil kedua dari (𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 ),…, Yk adalah nilai terkecil ke-k dari (𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 ),…, Yn adalah nilai terbesar dari (𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 ) Maka akan berlaku hubungan sebagai berikut: 𝑌1 < 𝑌2 <. . . < 𝑌𝑘 <. . . < 𝑌𝑛  Dalam hal ini, Yi, i = 1, 2, …, n dinamakan statistik terurut ke-i dari sampel acak 𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 .

Fungsi peluang gabugan  Fungsi peluang gabungan dari 𝑌1 , 𝑌2 , . . . , 𝑌𝑛 :

n ! f ( y1 ) f ( y2 )... f ( yn ) a  y1  ...  yn  b g ( y1 , y2 ,..., yn )   0 untuk lainnya   Contoh: Misal 𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 sampel acak dari distribusi

𝑁(𝜇, 𝜎 2 . Tentukan fungsi peluang gabungan dari 𝑌1 , 𝑌2 , . . . , 𝑌𝑛 dengan 𝑌1 < 𝑌2 <. . . < 𝑌𝑛 .

Contoh (Solusi):  Diketahui : 𝑓(𝑥 =

1 − 𝑒 𝜎 2𝜋

𝑥−𝜇 2 2𝜎2

, −∞<𝑥 <∞

g ( y1 , y2 ,..., yn )  n ! f ( y1 ) f ( y2 )... f ( yn )  1  n! e  2





1 2



n

e

( y1   )2 2 2

 1 e  2

n ( yi   )2 1  2 i 1  2



( yn   ) 2 2 2

,    y1  ...  yn  

Distribusi dari Y1  Misal 𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 adalah sampel acak berukuran n. Jika

Y1 adalah nilai terkecil dari (𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 ), maka fungsi peluang dari 𝑌1 = min(𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 adalah:

n 1  n 1  F ( y1 ) f ( y1 ) g1 ( y1 )   0  

a  y1  b y1 yang lain

Contoh  Misal 𝑌1 < 𝑌2 < 𝑌3 < 𝑌4 < 𝑌5 merupakan statistik terurut

dari sampel acak berukuran 5 yang berdistribusi dengan fungsi peluang: e  x f ( x)   0

Tentukan 𝑃(𝑌1 < 2 !

x0 x lainnya

Contoh (Solusi) F ( y5 )  

y5



y5

f ( x)dx   e dx  1  e x

 y5

0

f ( y5 )  F '( y5 )  e  y5

g5 ( y5 )  5 F ( y5 ) f ( y5 )  5(1  e y5 )4 e y5 4



P(Y5  2)   5(1  e 2

 y5 4  y5

) e

dy5  0,52

Distribusi dari Yn  Misal 𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 adalah sampel acak berukuran n. Jika

Yn adalah nilai terbesar dari (𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 ), maka fungsi peluang dari 𝑌𝑛 = max(𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 adalah:

n 1   n  F ( yn )  f ( y n ) g n ( yn )   0  

a  yn  b yn yang lain

Contoh  Misal 𝑌1 < 𝑌2 < 𝑌3 < 𝑌4 < 𝑌5 merupakan statistik terurut

dari sampel acak berukuran 5 yang berdistribusi dengan fungsi peluang: e  x f ( x)   0

Tentukan 𝑃(𝑌5 > 2 !

x0 x lainnya

Contoh (Solusi)  …  𝑃(𝑌5 > 2 =

∞ 5 2

1 − 𝑒 −𝑦5 4 𝑒 −𝑦5 𝑑𝑦5 = 0,52

Distribusi dari Yk  Misal 𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 adalah sampel acak berukuran n. Jika

Yk adalah nilai terkecil ke-k dari (𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 ), maka fungsi peluang dari 𝑔𝑘 𝑦𝑘 adalah:

n 1   n  F ( yn )  f ( y n ) g n ( yn )   0  

a  yn  b yn yang lain

Contoh  Misal 𝑌1 < 𝑌2 < 𝑌3 < 𝑌4 < 𝑌5 merupakan statistik terurut

dari sampel acak berukuran 5 yang berdistribusi dengan fungsi peluang: e  x f ( x)   0

Tentukan 𝑃(𝑌4 ≥ 1 !

x0 x lainnya

Contoh (Solusi)  𝐹 𝑦4 =

𝑦4 −𝑥 𝑒 𝑑𝑥 0

= 1 − 𝑒 −𝑦4

 𝑓 𝑦4 = 𝐹 ′ 𝑦4 = 𝑒 −𝑦4

𝑔4 (𝑦4 = 20 𝐹(𝑦4 3 1 − 𝐹(𝑦4 𝑓(𝑦4  1−𝑒 −𝑦4 3 −𝑦4 = 20( 𝑒  𝑃(𝑌4 ≥ 1 =

∞ 20 1

1 − 𝑒 −𝑦4 3 𝑒 −𝑦4 𝑑𝑦4 = 0,13

Referensi  Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and  

  

23

Statistics, London : Springer, 2005. Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Hogg, et.al., Intro. to Mathematical Statistics 6th ed., Pearson: New Jersey, 2005. Wackerly, et.al., Mathematicsl Statistics and Its Application 7th Ed., USA: Thomson, 2008. Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.