DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI
SKRIPSI
MARLINA JUNITA SITORUS 060803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MARLINA JUNITA SITORUS 060803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
ii
PERSETUJUAN
Judul
Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas
: DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI : SKRIPSI : MARLINA JUNITA SITORUS : 060803010 : SARJANA (S1) MATEMATIKA : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Januari 2011
Komisi Pembimbing
:
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP 19500321 198003 1 001
Dr. Sutarman, M.Sc NIP 19631026 199103 1 001
Diketahui/ Disetujui oleh: Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP 19640109 198803 1 004
Universitas Sumatera Utara
iii
PERNYATAAN
DISTRIBUSI TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Januari 2011
MARLINA JUNITA SITORUS 060803010
Universitas Sumatera Utara
iv
PENGHARGAAN
Pujian dan ucapan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kasih karunia dan pertolonganNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Sutarman, M.Sc dan Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku Dosen pembimbing penulis dalam penyelesaian skripsi ini, atas setiap bimbingan dan motivasi yang telah diberikan. Penulis juga mengucapkakan terima kasih kepada Drs. H. Haludin Panjaitan dan Drs. Pasukat Sembiring, M.Si selaku Dosen penguji, atas setiap saran dan masukannya selama pengerjaan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga penulis tujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matemetika Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matemetika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, Bapak dan Ibu dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU beserta semua Staf Administrasi di FMIPA USU. Tidak terlupakan kepada kedua orang tua penulis, G. Sitorus dan L. br. Sihotang. Penulis mengucapkan terima kasih atas doa, motivasi, kasih sayang, serta semua dukungan moril dan materil yang membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada kakak dan adik penulis (k’Marda dan Edis) terima kasih atas dukungan dan doa kalian. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada temanteman Math’06 atas kebersamaan kita selama ini, atas doa dan saling mendukung di antara kita. Semangat dan doa dari teman-teman sangat membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Kelompok Reminiscere dan adik-adik PA (Enjel, Yanti, Nella, Ribka, Raisa dan Yunita) untuk doa dan dukungannya yang membantu penyelesaian skripsi ini. Kiranya kasih karunia Tuhan Yang Maha Esa menyertai kita semua.
Universitas Sumatera Utara
v
ABSTRAK
Penentuan perlakuan terhadap sistem merupakan salah satu bagian penting dalam menghasilkan produksi yang optimal. Karena dihadapkan pada situasi yang kompleks dan tidak pasti, sehingga pengambil keputusan kesulitan dalam mengambil keputusan. Penentuan distribusi peluang total waktu bekerja sistem merupakan salah satu cara yang efektif untuk menjawab persoalan ini. Dengan mengetahui distribusi peluang sistem, pengambil keputusan mengetahui lama bekerja sistem dalam interval waktu [0,t] sehingga pengambil keputusan dapat menentukan perlakuan yang terbaik terhadap sistem tersebut. Jika total waktu perbaikan lebih besar daripada total waktu bekerja, maka sebaiknya sistem diganti.
Universitas Sumatera Utara
vi
ABSTRACT
Determination of the treatment for the system is one important part in generating the optimal production. Because faced with complex situations and uncertain, so the difficulty decision makers in making decisions. Determination of the probability distributions of total working time system is one effective way to answer this problem. By knowing the probability distribution system, decision makers know the old working system in time interval [0, t] so that decision makers can determine the best treatment against the system. If the total repair time is greater than the total time worked, then the system should be replaced.
Universitas Sumatera Utara
vii
DAFTAR ISI
Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi
ii iii iv v vi vii
Bab 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Identifikasi Masalah 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tinjauan Pustaka 1.5 Tujuan Penelitian 1.6 Manfaat Penelitian 1.7 Metode Penelitian
1 3 3 3 5 5 5
Bab 2 Landasan Teori 2.1 Peluang 2.1.1 Definisi Peluang 2.1.2 Peluang Beberapa Kejadian 2.2 Peubah Acak 2.2.1 Peubah Acak Diskrit 2.2.1.1 Definisi Peubah Acak Diskrit 2.2.1.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Diskrit 2.2.1.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit 2.2.1.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Diskrit 2.2.2 Peubah Acak Kontinu 2.2.2.1 Definisi Peubah Acak Kontinu 2.2.2.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Kontinu 2.2.2.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Kontinu 2.2.2.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Kontinu 2.3 Matriks 2.3.1 Definisi Matriks 2.3.2 Teorema Matriks 2.4 Rantai Markov 2.4.1 Definisi Rantai Markov 2.4.2 Sifat Markov 2.4.3 Keadaan Awal Rantai Markov 2.4.4 Keadaan Transisi dan Probabilitas Rantai Markov 2.5 Rantai Markov Kontinu 2.6 Persamaan Chapman-Kolmogorov
6 6 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 13 14 15 15 15 16 17 19
Universitas Sumatera Utara
viii
Halaman Bab 3 Pembahasan 3.1 Total Waktu Bekerja Sistem yang Dipandang sebagai Sebuah Komponen 3.1.1 Waktu Bekerja dan Perbaikan Sistem Berdistribusi Eksponensial 3.1.2 Availabilitas Sistem 3.1.3 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Sebuah Komponen 3.2 Total Waktu Bekerja Sistem n Komponen 3.2.1 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Terdiri dari n Komponen yang Independent 3.2.2 Sistem yang Terdiri dari n Komponen dengan Waktu Bekerja dan Waktu Perbaikan Berdistribusi Eksponensial 3.3 Sistem dengan Dua Komponen 3.3.1 Peluang Transisi 3.3.2 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem dengan dua Komponen 3.4 Pembahasan Numerik
20 22 23 24 29 29 29 31 32 33 34
Bab 4 Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran
36 37
Daftar Pustaka
38
Universitas Sumatera Utara
