DINAMIKA POPULASI MANUSIA DAN VEKTOR PADA PENULARAN PENYAKIT MALARIA OLEH PLASMODIUM FALCIPARUM DAN PLASMODIUM VIVAX SUGANDI PUTRA GINTING

DINAMIKA POPULASI MANUSIA DAN VEKTOR PADA PENULARAN PENYAKIT MALARIA OLEH PLASMODIUM FALCIPARUM DAN PLASMODIUM VIVAX

SUGANDI PUTRA GINTING

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

ABSTRACT SUGANDI PUTRA GINTING. Dynamic population of human and the vector in the infectious malaria disease through Plasmodium falciparum and Plasmodium vivax parasites. Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO. Malaria is a disease that transmitted to human by the bitting of infectious Anopheles mosquitoes. This infectious desease caused by parasite genus Plasmodium. There are two species of the parasites studied here, that cause human malaria namely Plasmodium vivax and Plasmodium falciparum. The mathematical model in discribing the transmission of Plasmodium falciparum and Plasmodium vivax on human population is divided into four classes, the susceptible, the infectious, the dormant, and the recovered classes. Mosquitoes that caused malaria are called the vector. In this case, the vector population is divided into two classes, the susceptible and infectious classes. There are two equilibrium states, a disease free state E0 and an endemic state E1. The stability of E0 and E1 is determined by considering the basic reproductive number (R0). The E0 is stable if R0 is less than one. On the other hand, the point E1 was stable given the value of R0 is greater than one. In this research the dynamic of human population and vector is discribed in to some ilustrative sample with 5% and 50% of the infected vector. It is found that, if R0 < 1, with 5% infected vector could reach the stability faster than the 50% infected vector. For R0 > 1 , it was found that, 5% infected vector could reach the stability slower than the 50% infected vector. This research also showed that the interaction between susceptibles and infectious human has no effect in to the dynamic of the human population.

ABSTRAK SUGANDI PUTRA GINTING. Dinamika populasi manusia dan vektor pada penularan penyakit malaria oleh Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO. Malaria adalah penyakit yang ditularkan kepada manusia melalui gigitan nyamuk Anopheles. Malaria merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh parasit genus Plasmodium. Terdapat dua jenis parasit yang menyebabkan penyakit malaria dalam studi ini, yaitu Plasmodium vivax dan Plasmodium falciparum. Model matematik untuk menggambarkan transmisi antara Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax dalam populasi manusia dibagi menjadi empat kelas yaitu kelas rentan, kelas tertular, kelas dorman, dan kelas pulih. Nyamuk penyebab malaria ini selanjutnya disebut vektor. Pada kasus ini akan dibedakan populasi vektor menjadi dua kelas yakni, kelas yang rentan terhadap infeksi dan kelas yang telah terinfeksi. Terdapat dua titik kesetimbangan tetap yaitu titik bebas penyakit (E0) dan titik endemik (E1). Kestabilan E0 dan E1 ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar (R0). Titik E0 adalah stabil ketika R0 < 1. Sebaliknya jika R0 > 1, titik E1 adalah stabil. Dalam karya tulis ini, dinamika populasi manusia dan vektor digambarkan dalam beberapa contoh ilustratif dengan banyaknya vektor yang terinfeksi sebesar 5% dan 50%. 1, populasi vektor terinfeksi 5% Berdasarkan simulasi ini, diperoleh hasil bahwa untuk R 1, mencapai kestabilan lebih cepat daripada populasi vektor dengan terinfeksi 50%. Untuk R populasi vektor terinfeksi 5% mencapai kestabilan lebih lambat daripada populasi vektor dengan terinfeksi 50%. Dalam penelitian ini juga ditunjukkan bahwa interaksi antara populasi rentan dengan yang terinfeksi tidak berpengaruh terhadap dinamika populasi manusia.

DINAMIKA POPULASI MANUSIA DAN VEKTOR PADA PENULARAN PENYAKIT MALARIA OLEH PLASMODIUM FALCIPARUM DAN PLASMODIUM VIVAX

SUGANDI PUTRA GINTING

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

Judul : Dinamika populasi manusia dan vektor pada penularan penyakit malaria oleh Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax Nama : Sugandi Putra Ginting NRP : G54063323

Menyetujui Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Paian Sianturi NIP. 19620212 199011 1 001

Drs. Ali Kusnanto, M.Si NIP. 19650820 198903 1 001

Mengetahui Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus:

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala berkat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesarbesarnya kepada: 1. Keluargaku terkasih: Bapak dan mamak terkasih, yang telah memberikan kasih sayang, doa, didikan, serta dukungan baik secara moril dan materi, nasihat, dan motivasi yang sangat berharga bagi penulis. “Kekelengenndu la erleka man bangku”. Untuk kakak dan abangku, Kak Tua, Kak Susi, Bang Jefry terimakasih selalu memberikan semangat dan nasihat bagi penulis; 2. Dr. Paian Sianturi. selaku dosen pembimbing I, Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing II. Terimakasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis. Semua ilmu yang Pak Paian dan Pak Ali berikan sangat bermanfaat bagi penulis. TERIMA KASIH; 3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku dosen penguji. Terimakasih atas waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis; 4. Semua dosen Departemen Matematika, terimakasih atas ilmu yang telah diberikani; 5. Ibu Susi, ibu Ade, bapak Yono, mas Bono, mas Heri, mas Deni dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terimakasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di departemen Matematika; 6. Teman-teman satu bimbingan: Kak Danu dan Ache terimakasih buat semangatnya; 7. Kakak kelas angkatan 42 dan 41 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu; 8. Teman-teman angkatan 43: Ratna yang baik, Emta, Narsih, Destya, Suci, Lia, Sophie, Resti yang udah nungguin, Margi, Agung, Fardan, Wira, Adhi, Nia, Arum, Ecka, Rias, Erni, Irsyad, Arif, Peli, Elly, Cici, Maria Herlina, Cupid, Vera, Rizky NS, Rizki SN, Nanu, Dandi, Zul, Andrew, Ucok, Kabil, Sabar, Lina, Handra, Mubarok, Faisol, Slamet, Razon, Nobo, Syahrul, Nidya. Terimakasih atas doa, dukungan dan semangatnya, terimakasih atas kebersamaannya selama 3 tahun di Math’43; 9. Adik kelas angkatan 44 dan 45 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu; 10. Teman-teman Pengurus Permata 2007-2009 dan 2009-2011, terimakasih buat doa dan semangatnya; 11. Teman-teman Permata yang telah memberikan semangat dan doa serta dukungan kepada penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini; 12. Bebere-bebereku : Andre, Rendy, Regina, Mima, dan Keke, terimakasih untuk canda tawanya; 13. Bang Edo, Kak Yanthi, beserta kedua bebere (Babang dan Dedek): terimakasih buat doa, semangat serta canda tawanya; 14. Teman-teman satu kosan yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu; 15. Friska Kembaren, terimakasih buat doa, support, dan semuanya. Aku mengasihindu; Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika.

Bogor, Maret 2011

Sugandi Putra Ginting

RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Berastagi (Medan-Sumatra Utara) pada tanggal 20 Juli 1987 sebagai anak bungsu dari empat bersaudara, anak dari Sofian Ginting dan Rosnana Pandia. Tahun 2000 penulis lulus dari SDN 040481 Cintarakyat. Tahun 2003 penulis lulus dari SLTPN 1 Berastagi. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 1 Berastagi dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Pada tahun 2007, penulis memilih dan masuk Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen (PMK) dan Agriaswara. Penulis aktif menjadi pengajar persiapan Ujian Akhir untuk SD, SMP dan SMA dan terakhir menjadi staf pengajar musik dan vokal di SMPN 1 Bogor.

vii

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI ........................................................................................................................ vii DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................................viii DAFTAR TABEL...............................................................................................................viii DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................................viii PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ................................................................................................................. 1 1.2 Tujuan ............................................................................................................................. 1 LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Linear Orde 1 ............................................................................. 2 2.2 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri ........................................................................... 2 2.3 Titik Tetap ........................................................................................................................ 2 2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen.......................................................................................... 2 2.5 Pelinearan ......................................................................................................................... 2 2.6 Kestabilan Titik Tetap ..................................................................................................... 3 2.7 Kondisi Routh-Hurwitz .................................................................................................... 3 2.8 Bilangan Reproduksi Dasar (R0) ..................................................................................... 3 PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model ............................................................................................................ 4 3.2 Titik Tetap ........................................................................................................................ 6 3.3 Titik Tetap tanpa Penyakit .............................................................................................. 6 3.4 Titik Tetap Endemik ........................................................................................................ 6 3.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap ....................................................................................... 6 3.5.1 Kestabilan Titik Tetap tanpa Penyakit .................................................................. 6 3.5.2 Kestabilan Titik Tetap Endemik ........................................................................... 7 3.6 Dinamika Populasi Penularan Malaria ............................................................................ 8 3.6.1 Dinamika Populasi untuk R0 < 1 ........................................................................... 8 3.6.2 Dinamika Populasi untuk R0 > 1 ......................................................................... 10 SIMPULAN .................................................................................................................................. 13 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................................... 14 LAMPIRAN ......................................................................................................................... 15

viii

DAFTAR GAMBAR

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Halaman Diagram model penularan penyakit malaria pada manusia (yang dibagi dalam empat kelas , ̃ , , dan ) dan populasi vektor (yang dibagi dalam dua kelas dan ̃ ) . 4 Dinamika populasi sh, ih, dh, dan terhadap waktu t ........................................................... 8 Dinamika populasi sh terhadap waktu t ................................................................................. 8 Dinamika populasi sh, ih, dh, dan iv terhadap waktu t ............................................................ 9 Dinamika populasi sh terhadap waktu t ................................................................................. 9 Dinamika populasi sh, ih, dh, dan iv terhadap waktu t ............................................................ 9 Dinamika populasi sh, ih, dh, dan iv terhadap waktu t .......................................................... 10 Dinamika populasi sh terhadap waktu t ............................................................................... 10 Dinamika populasi sh, ih, dh, dan iv terhadap waktu t .......................................................... 11 Dinamika populasi sh terhadap waktu t ............................................................................... 11 Dinamika populasi sh, ih, dh, dan iv terhadap waktu t .......................................................... 11 Dinamika populasi sh, ih, dh, dan ketika vektor terinfeksi 5% untuk R0 < 1................... 12 Dinamika populasi sh, ih, dh, dan ketika vektor terinfeksi 50% untuk R0 < 1 ................ 12

14 15

Dinamika populasi sh, ih, dh, dan Dinamika populasi sh, ih, dh, dan

1

ketika vektor terinfeksi 5% untuk R0 > 1................... 12 ketika vektor terinfeksi 50% untuk R0 > 1 ................ 12

DAFTAR TABEL 1 2 3

Halaman Kondisi Kestabilan Titik Tetap.............................................................................................. 7 Simulasi terhadap R0 < 1 ....................................................................................................... 8 Simulasi terhadap R0 > 1 ..................................................................................................... 10

DAFTAR LAMPIRAN 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Halaman Pembuktian Teorema 1 ........................................................................................................ 15 Pembuktian Teorema 2 ........................................................................................................ 15 Penurunan Persamaan (3.7) – (3.10) .................................................................................. 16 Mencari Titik Tetap ............................................................................................................. 17 Mencari Matriks Jacobi ....................................................................................................... 19 Persamaan Karakteristik tanpa Penyakit ............................................................................. 20 Pembuktian t2.t1-t0 > 0 untuk Tanpa Penyakit ..................................................................... 22 Mencari nilai w3, w2, w1,dan w0 untuk Persamaan Karakteristik Endemik ....................... 22 Pembuktian w3.w2.w1 > . dan w3, w1,dan w0 > 0 untuk Endemik ................. 23 Nilai Eigen Titik Tetap Bebas Endemik.............................................................................. 24 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 0.00378437 ...... 25 Program Mathematica 7 untuk Gambar Simulasi Populasi sh ............................................ 26 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 0.000105122 ..... 27 Program Mathematica 7 untuk Gambar Simulasi Populasi sh ............................................ 27 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 0.00378044 ....... 28

16 17 18 19 20 21 22 23 24

Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 1.48298 ............. 29 Program Mathematica 7 untuk Gambar Simulasi Populasi sh ............................................ 29 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 5.93191 ............. 30 Program Mathematica 7 untuk Gambar Simulasi Populasi sh ............................................ 31 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 1.4837 ............... 32 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 5% untuk R0 < 1................................................................................................... 32 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 50% untuk R0 < 1................................................................................................. 33 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 5% untuk R0 > 1.................................................................................................. 33 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 50% untuk R0 > 1................................................................................................. 34

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Malaria telah diketahui sejak dahulu kala dan demam dikenal sebagai tanda orang yang akan terjangkit penyakit ini. Hal ini ditulis dalam sejarah tulisan Mesir kuno yang mengemukakan bahwa penyakit malaria disebabkan oleh parasit dari genus Plasmodium yang dapat ditemukan pada burung, mamalia dan kadal, dimana proses penularannya melalui gigitan nyamuk Anopheles. Protozoa parasit jenis ini banyak sekali tersebar di wilayah tropik, misalnya di Amerika, Asia dan Afrika. Terdapat empat jenis parasit malaria yaitu, Plasmodium vivax, Plasmodium falciparum, Plasmodium ovale, dan Plasmodium malariae dan lebih dari 3 ratus juta kasus malaria per tahun dengan 1 sampai 1,5 juta kasus kematian setiap tahunnya (kebanyakan terjadi pada anakanak). Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu model SIDRS (Susceptible Infected Dormant Removed Susceptible) dari penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Terdapat 247 juta kasus malaria di dunia dan lebih dari satu juta kasus kematian setiap tahunnya (WHO, 2010). Pada kasus ini akan dibahas mengenai penyebaran penyakit malaria di Thailand. Malaria di Thailand ditemukan di sepanjang perbatasan Burma, Kamboja, dan Malaysia. Infeksi yang timbul dari Plasmodium falciparum, Plasmodium vivax dan Plasmodium malariae masing-masing berkembang menjadi 50-60%, 40-50% dan kurang dari 1%. Sedangkan Plasmodium ovale tidak ditemukan di Thailand. Di antara ketiga masalah malaria di atas yang menjadi permasalahan yang sangat besar ditemukan pada kasus Plasmodium vivax. Pada tahun 1994 ditemukan 109.321 kasus malaria dan 45.123 di antaranya merupakan kasus malaria yang diakibatkan oleh Plasmodium vivax. Parasit malaria memiliki siklus kehidupan ganda yang sangat rumit, yaitu siklus reproduksi seksual terjadi pada tubuh nyamuk sendiri sedangkan reproduksi aseksualnya terjadi pada manusia. Pada reproduksi aseksual, terdapat

tahapan yang disebut tahap berenang bebas yakni tahap sporozoite. Parasit malaria dalam tahap ini akan diinfeksikan ke dalam aliran darah manusia melalui kulit manusia oleh nyamuk. Sporozoite ini akhirnya memasuki sel darah merah manusia, dimana bentuk awalnya ialah seperti cincin dan seperti bentuk amuba sebelum terjadi tahap pembelahan yang akan menjadi bentuk yang lebih kecil yang disebut merozoite. Sel darah merah yang mengandung merozoite ini kemudian akan pecah dan melepaskan merozoite tersebut ke dalam aliran darah. Pada tahap ini penderita akan menggigil dan demam yang merupakan ciri khas dari penyakit malaria. Merozoite-merozoite ini akan menginfeksi sel-sel darah merah yang lain dan membangun siklus yang berulang. Lebih dari dua milyar orang atau total 41% dari populasi dunia tinggal di daerah dimana malaria ditularkan secara teratur (misalnya, bagia Afrika, Timur Tengah, Amerika Selatan, Hispania dan Oseania) dan ada sekitar 1,5-2,7 juta orang yang meninggal akibat malaria setiap tahun. Perkembangan Plasmodium vivax berbeda dengan Plasmodium falciparum yakni seseorang yang menderita Plasmodium falciparum akan sembuh dari kesehatan yang paling buruk (jika tidak meninggal), namun seorang yang terinfeksi Plasmodium vivax tidak akan meninggal namun akan tetap menderita kambuh. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah : 1. 2. 3.

4.

Mempelajari model matematika dari sistem penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Menganalisis titik tetap yang diperoleh. Melakukan simulasi terhadap model yang diberikan sehingga terlihat parameter yang mempengaruhi populasi. Menganalisis perilaku solusi model.

2

II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Linear Orde 1 Suatu persamaan yang dinyatakan sebagai g , 2.1 disebut persamaan diferensial (PD) linear orde 1. Jika g(t) = 0, PD disebut PD homogen dan jika g(t) ≠ 0, PD disebut PD linear tak homogen. (Tu 1994) 2.2 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Suatu persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai ,

2.2

dengan f fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. SPD tersebut disebut SPD mandiri (autonomous) bilamana tidak memuat waktu (t) secara eksplisit di dalamnya. (Tu 1994) 2.3 Titik Tetap Diberikan SPD

2.5 Pelinearan Misalkan x = f ( x , y ) y = g ( x , y ) andaikan ( x * , y * ) adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka f ( x * , y * ) = 0 dan g ( x* , y * ) = 0 . Misalkan u = x − x* didapatkan u = x

dan

v = y − y*

maka

= f ( x* + u , y * + v ) ∂f ∂f = f ( x* , y* ) + u + v + Ο(u 2 , v 2 , uv) ∂x ∂y ∂f ∂f = u + v + Ο(u 2 , v 2 , uv) ∂x ∂y v = y = g ( x* + u , y * + v )

, Titik disebut titik tetap jika f (x*) = 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah titik tetap. (Tu 1994) 2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diberikan matriks koefisien konstan A berukuran n x n, dengan SPD homogen berikut (2.3) , 0 = , Suatu vektor tak nol x dalam ruang

disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar λ berlaku Ax = λx (2.4) Nilai skalar λ dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai λ dari matriks A, maka persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai ( A- λI )x = 0 (2.5) dengan I matriks identitas. Persamaan (2.5) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika p(λ) = det( A- λI ) = │A- λI│= 0 (2.6) Persamaan (6) disebut persamaan karakteristik dari matriks A. (Anton 1995)

= g ( x* , y * ) + u

∂g ∂g + v + Ο(u 2 , v 2 , uv) ∂x ∂y

∂g ∂g + v + Ο(u 2 , v 2 , uv). ∂x ∂y Dalam bentuk matriks ⎛ ∂f ∂f ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ u ⎞ ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎛ u ⎞ 2 2 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ + Ο (u + v + uv). ⎟ ∂ ∂ v g g v ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ =u

Matriks

Jacobi

⎡ ∂f ⎢ ∂x A=⎢ ⎢ ∂g ⎢ ∂x ⎣ pada

titik

∂f ⎤ ∂y ⎥ ⎥ disebut ∂g ⎥ ∂y ⎥⎦ ( x* , y* )

matriks

tetap ( x * , y * ) . Karena Ο (u 2 + v 2 + uv ) → 0 maka dapat diabaikan, sehingga didapat persamaan linear ⎛ ∂f ∂f ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ u ⎞ ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎛ u ⎞ (2.7) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟. ∂g ∂g ⎟ ⎝ v ⎠ ⎝v⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ (Strogatz 1994)

3

2.6 Kestabilan Titik tetap Diberikan SPD sebarang , .

k = 2; a1 > 0, a2 > 0, k = 3; a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3, k = 4; a1 > 0, a3 > 0, a4 > 0, a1a2a3 > a32+a12a4. (2.8)

Tentukan titik tetap

yang memenuhi 0. Penentuan kestabilan titik tetap f didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu : λi dimana i = 1,2,…,n yang diperoleh dari persamaan karakteristik (2.5). Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku :

Stabil, jika : a. Re( λi ) < 0 untuk setiap i, atau b. Terdapat Re ( λj ) = 0 untuk

1.

sebarang j dan Re(λi ) < 0 untuk setiap i ≠ j.

Tak Stabil, jika terdapat paling sedikit satu i dimana Re(λi ) > 0.

2. 3.

Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah negatif (λi λj < 0 untuk i dan j sembarang). (Tu 1994)

2.7 Kondisi Routh Hurwitz Misalkan a1, a2,…, ak bilangan-bilangan real, aj = 0 jika j > k. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik p(λ) = λk +a1 λk-1 +…+ ak-2 λ2 + ak-1 λ1 + ak = 0 mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks i x i, untuk setiap i = 1,2,…,k, determinan dari matriks i x i, … … …

1 M= 0 0

0

0

adalah positif.

…

Sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk suatu k, k = 2, 3, 4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika (untuk k = 2, 3, 4),

Untuk kasus k = 3 dan k = 4, kondisi RouthHurwitz disajikan pada teorema 1 dan 2 berikut. Teorema 1 Misalkan A, B, C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( λ ) = λ3 +A λ2 + Bλ + C = 0 (2.9) adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0 dan AB > C. Teorema 2 Misalkan A,B,C dan D bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( λ ) = λ4 +A λ3 + Bλ2 + Cλ + D = 0 (2.10) adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0, D > 0 dan ABC > C2 +A2 D.

(Tu 1994) 2.8 Bilangan reproduksi Dasar ( R0 ) Bilangan Reproduksi Dasar ditulis R0 adalah nilai harapan dari kasus kedua yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh suatu jenis individu yang terinfeksi/menular. Kondisi yang timbul adalah :

1. Jika R0 < 1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi kurang dari satu individu baru dan penyakit tidak akan berkembang. 2. Jika R0 > 1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari satu individu baru, dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi wabah.

(Deriessche dan Watmough 2005 )

III PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model Model yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah model SIDRS (Susceptible Infected Dormant Removed Susceptible) dari penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Dalam model ini terdapat tiga populasi yang berbeda yaitu rentan S(t), terinfeksi I(t), dan sembuh R(t). S(t) digunakan untuk mewakili jumlah orang yang belum terinfeksi oleh penyakit pada waktu t, atau mereka yang rentan terhadap penyakit. I(t) menunjukkan jumlah individu yang telah terinfeksi oleh penyakit dan mampu menyebarkan penyakit kepada mereka yang masuk dalam kategori rentan. R(t) digunakan untuk menunjukkan banyaknya orang-orang yang telah terinfeksi dan kemudian pulih dari penyakit. Secara skematik, diagram alur model SIDRS pada penularan penyakit malaria dalam suatu populasi ditunjukkan pada diagram kompartemen di bawah (Gambar 1). Misalkan jumlah populasi pada waktu t dinyatakan dengan N = Nh(t). Populasi ini dibagi menjadi empat kelas yaitu populasi rentan S = (t), populasi terinfeksi I = (t), populasi yang dorman D = (t) dan populasi yang sembuh R = (t). Total populasi dinyatakan dengan Nh = + + + . Individu yang lahir digolongkan ke kelas rentan ( ) dengan laju

kelahiran sebesar C. Individu yang berada di kelas rentan akan mengalami kematian dengan , atau masuk ke kelas laju kematian sebesar terinfeksi ( ) karena terjangkit plasmodium falciparum ( ′ ) dan plasmodium vivax ( ′ ). Laju penularan individu dari kelas rentan ( ) ke kelas Dorman ( ) karena terjangkit plasmodium vivax namun tidak terlihat gejala sebesar . Selanjutnya individu yang berada di kelas terinfeksi akan mati dengan laju kematian sebesar , atau sembuh dan masuk ke kelas rentan karena tidak adanya sistem atau kekebalan tubuh dengan laju sembuh dengan laju penyembuhan sebesar sehingga dimasukkan ke kelas sembuh ( ). Kemudian individu di kelas sembuh akan mati dengan laju kematian sebesar , atau menjadi rentan kembali karena sistem kekebalan tubuh dapat hilang sehingga kembali masuk ke kelas rentan dengan laju hilangnya kekebalan tubuh sebesar . Individu yang berada pada kelas Dorman ( ) akan mengalami kematian atau sewaktu-waktu dapat dengan laju kehilangan kekebalan tubuh dan masuk ke kelas terinfeksi dengan laju r3 atau sembuh namun kehilangan kekebalan tubuh dengan laju r4 dan menjadi rentan kembali sehingga siap untuk terinfeksi.

A

̃ μv

µv

r

αr2 Nh

r μh

̃

r r4

r

r3 μh

μh

μh r5

Gambar 1 Diagram model penularan penyakit malaria pada manusia (yang dibagi dalam empat kelas , ̃ , , dan ) dan populasi vektor (yang dibagi dalam dua kelas dan ̃ ) Selain itu, pada diagram kompartemen di atas (Gambar 1) terdapat diagram alur yang

menjelaskan populasi vektor yang membawa virus malaria. Diagram ini akan menunjukkan 2

5

kelas yang berbeda yakni kelas rentan S = (t) yakni ditujukan kepada populasi vektor yang masih steril dari virus malaria dan kelas infeksi I = (t) yaitu ditujukan kepada vektor yang sudah terinfeksi oleh virus malaria. Total populasi vektor dinyatakan dengan NV = + . Vektor yang lahir digolongkan ke dalam populasi rentan ( ) dengan laju kelahiran A. Vektor yang berada di kelas rentan akan mengalami kematian dengan laju μv , atau masuk ke kelas terinfeksi ( ) dengan laju .

Selanjutnya vektor yang berada pada kelas terinfeksi akan mengalami kematian dengan laju μv. Laju perubahan populasi manusia atau vektor pada suatu kelas ialah jumlah manusia atau vektor yang masuk dalam kelas tersebut dikurangi dengan jumlah manusia atau vektor yang meninggalkan kelas tersebut. Penjelasan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan-persamaan berikut:

Ih

3.1 3.2 3.3

‐

3.4

A

3.5 3.6

di mana adalah laju kematian populasi µh adalah laju kematian vektor µv adalah laju penularan P.falciparum dari nyamuk ke tubuh manusia adalah laju penularan P.vivax dari nyamuk ke tubuh manusia adalah laju penularan P.falciparum dari tubuh manusia ke tubuh nyamuk adalah laju penularan P.vivax dari tubuh manusia ke tubuh nyamuk adalah laju kelahiran populasi Nh adalah total banyaknya populasi α adalah rasio dorman manusia yang terinfeksi adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.falciparum adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.vivax adalah tingkat dimana manusia tidak aktif namun akan kambuh kembali adalah laju pemulihan manusia yang dorman oleh P.vivax adalah tingkat pemulihan manusia dan akan menjadi manusia yang rentan adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.falciparum adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.vivax

(t) adalah banyaknya vektor rentan (t) adalah banyaknya vektor menular Selanjutnya untuk mempermudah dalam menganalisis, normalkan atau sederhanakan persamaan (3.1)-(3.6) dengan mendefinisikan variabel baru:. ,

,

, ,

akhirnya diperoleh persamaan:

t

1 1

(3.7)

(3.8) (t) (3.9) (t)

+

1

(3.10)

6

dengan kondisi sh+ih+dh+rh=1 dan sv+iv=1, dan ,

vektor dan manusia. Dari persamaan (19), (20), (21), dan (22) diperoleh titik tetap endemik

, Selanjutnya akan dicari titik tetap untuk persamaan (3.7), (3.8), (3.9), dan (3.10) yang kemudian akan dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut serta dinamika populasinya.

E1 = (sh*,ih*,dh*,iv*) dengan

3.2 Titik Tetap Analisis titik tetap pada SPD sering digunakan untuk menentukan suatu solusi konstan. Titik tetap dari persamaan 3.7 3.10 akan diperoleh dengan menetapkan sh(t) = 0, ih(t)= 0, dh(t) = 0 dan iv(t) 0 sehingga diperoleh persamaanpersamaan di bawah ini:

dh* =

sh* = ih* =

i v* = 3.5. Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan persamaan (3.7)-(3.10) dituliskan sebagai berikut : sh(t) = A(sh, ih, dh, iv)

ih(t) = B(sh, ih, dh, iv)

1

dh(t)= C(sh, ih, dh, iv)

1

(i) )

0

(ii)

0

(iii) +

1

iv(t) = D(sh, ih, dh, iv) Dari persamaan di atas dapat diperoleh matriks Jacobi.

J0 =

0

(iv) Dengan menyelesaikan keempat persamaan di atas secara serentak akan diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. 3.3 Titik Tetap tanpa Penyakit Titik tetap tanpa penyakit merupakan kondisi dimana semua individu sehat dan tetap sehat tiap waktu dengan kata lain tidak terdapat penyakit. Titik tetap ini diperoleh ketika banyaknya vektor yang terinfeksi sama dengan 0) yang didapat dari persamaan (iv), nol ( 0 disubstitusi ke persamaan (i), kemudian (ii), dan (iii) maka akan diperoleh nilai , , sehingga diperoleh titik tetap dari dan persamaan-persamaan (3.7), (3.8), (3.9), dan 1,0,0,0 . (3.10) yaitu 3.4 Titik Tetap Endemik Pada titik tetap endemik akan menghasilkan solusi nontrivial. Di sini titik tetap endemik merupakan kondisi dimana penyakit masih terdapat di dalam populasi

=

dengan, J = { } untuk I = 1, 2, 3, 4 dan j =1, 2, 3, 4 3.5.1 Kestabilan Titik Tetap tanpa Penyakit Pelinearan pada titik tetap akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut:

J0 =

dengan μ

0

μ

7

J1 =

0 0 0 0

dengan

μ

5 1 4 1

μ

1

Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det J 0. Persamaan karakteristik dari J adalah ( +µ + ) ( t t t ) = 0 sehingga diperoleh salah r dan satu nilai eigen dari J yaitu = µ nilai eigen yang lainnya diperoleh dari akar polinomial dimana, t2 = 2μ μ t1 = μ μ μ 2μ r r r r 1 α r r r r r r r r t0 =μ 1 μ μ r r 1 α r r r r r r r dengan, R0 =

1

2 5

(*)

Karena semua parameter yang terlibat positif maka t 0, 0, dan t 0 sehingga kestabilan di titik bergantung 0 akan terpenuhi pada nilai . Kondisi stabil dan ketika R0 < 1 maka titik tetap 0 tidak dipenuhi ketika sebaliknya kondisi sadel. Kondisi stabil R0 > 1 maka titik tetap yang dipenuhi ketika R0 < 1 dimana R0 merupakan bilangan reproduksi dasar virus , sehingga ketika 1 dalam populasi merupakan kondisi stabil asimtotik karena virus malaria tidak dapat bertahan dalam populasi. 1 merupakan kondisi Sebaliknya, ketika tidak stabil karena virus malaria dapat bertahan dan meningkat dalam populasi. Sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz, titik E0 stabil. 3.5.2 Kestabilan Titik Tetap Endemik Pelinearan pada titik tetap akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut:

2

5

2

2 2

μ

= 0 μ

0 0

1

0 3

4

Untuk memperoleh nilai eigen digunakan 0. persamaan karakteristik det J Persamaan karakteristik dari J adalah w w w w 0 dan nilai eigennya diperoleh dari akar polinomial p( λ ) = λ4 +w3 λ3 + w2 λ2 + w1λ + w0 = 0. Karena semua parameter yang terlibat positif maka w 0, 0, 0 dan dengan menggunakan software Mathematica dibuktikan w sehingga menurut Routh-Hurwitz, titik stabil. Berikut ini adalah tabel kondisi kestabilan dari kedua titik tetap yang diperoleh. Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap. Kondisi 1

Simpul stabil

Spiral Tidak stabil

1

Sadel

Spiral stabil

Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa kondisi kestabilan dari titik tetap yang diperoleh saling bertentangan. Ketika titik tetap yang pertama stabil, titik tetap yang kedua tidak stabil dan ketika titik tetap yang pertama tidak stabil, titik tetap yang kedua stabil.

8

3.6 Dinamika Populasi Penularan Malaria Untuk mengamati pengaruh masuknya virus malaria ke dalam populasi manusia maupun vektor pada waktu tertentu maka diperlukan kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi dengan variabel waktu. Hal ini membutuhkan nilai awal untuk semua parameter dan variabel. Pada proses penggambarannya diambil nilai awal populasi nyamuk atau vektor yang terinfeksi adalah 5% dari total populasi nyamuk. Dalam karya ilmiah ini dianalisis dinamika populasi untuk dua kondisi yaitu 1 di mana populasi akan stabil karena 1 di penyakit hilang dari populasi dan mana penyakit bertahan dalam populasi dan meningkat menjadi wabah. 3.6.1 Dinamika Populasi untuk 1 Proses penggambarannya dengan menggunakan Mathematica 7 yang dievaluasi ketika ditetapkan μh = 0.0000421 per hari yang sesuai dengan harapan hidup yang sesungguhnya dari 65 tahun untuk manusia, dan μV = 1/30, yang sesuai dengan harapan hidup dari 30 hari untuk nyamuk Anopheles. Nilainilai = 1/20 per hari dan = 1/14 per hari, sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang manusia yang terinfeksi dengan P. falciparum dan P.vivax untuk meninggalkan kelas terinfeksi dan menjadi rentan kembali, yaitu 20 hari untuk P. falciparum dan 14 hari untuk P . vivax. Nilai-nilai = 1/365 per hari, = 1/(2*365) per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang yang terinfeksi P.vivax untuk meninggalkan kelas dorman, yaitu 1 tahun untuk memasuki kelas yang terinfeksi , dan 2 tahun untuk memasuki kelas rentan. Nilai =1/(3*365) per hari sesuai dengan 3 tahun bagi orang-orang yang terinfeksi dengan P.vivax akan kehilangan sistem imun. Nilai-nilai = 1 / 30 per hari, = 1 / 25 per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang-orang yang terinfeksi P.falciparum dan P.vivax untuk pulih, yakni 30 hari untuk P.falciparum dan 25 hari untuk P.vivax, α = 0.65. Untuk mendapatkan titik tetap pada keadaan bebas penyakit yang stabil lokal, kita menetapkan masing-masing , , , sama dengan 0.025, 0.024, 0.03 dan 0.02. 1 dilakukan analisis Untuk nilai untuk tiga kondisi yang berbeda dengan

mengubah nilai (laju kematian vektor) dan α (rasio dorman manusia yang terinfeksi) seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut. Tabel 2 Simulasi terhadap Ro < 1. μv 0.033

0.65

0.003784437

0.2

0.65

0.000105122

0.033

0.00065

0.00378044

. Kondisi 0.00378437 dipenuhi = 0.033 dan α = 0.65. Dengan ketika menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, a.

1.0

sh

ih

dh

iv

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Waktu

Gambar 2 Dinamika populasi terhadap waktu t.

, .

, dan

Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi Sh terhadap waktu t dengan mengubah nilai parameter dan . = 0.025 = 0.045 = 0.060

= 0.024 = 0.056 = 0.075

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00 0

Gambar 3

10

20 Waktu

30

40

Dinamika populasi sh terhadap waktu t.

9

. Kondisi 0.000105122 dipenuhi ketika rasio jumlah manusia yang terinfeksi virus tetap dengan α = 0.65 dan laju kematian 0.2 murni pada vektor dinaikkan menjadi sehingga diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, b.

sh

1.0

ih

dh

iv

0.8

0.6

0.4

sh

1.0

ih

dh

iv

0.2

0.8

0.0 0.6

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Waktu


0.4

, .

, dan

0.2

0.0

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Waktu


, .

, dan

Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi Sh terhadap waktu t dengan mengubah nilai parameter dan . = 0.025 = 0.045 = 0.060

0.4

= 0.024 = 0.056 = 0.075

0.3

0.2

0.1

0.0 0

Gambar 5

10

20

30

40

Waktu


. Kondisi 0.00378044 dipenuhi ketika rasio jumlah manusia yang terinfeksi virus diturunkan menjadi α = 0.00065 dan laju 0.033 kematian murni pada vektor tetap sehingga diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, c.

Pada Gambar 2, Gambar 4 dan Gambar 6 dapat dilihat bahwa kurva Sh stabil naik menuju satu, namun pada kurva Ih stabil turun menuju ke nol. Hal ini berarti bahwa banyaknya manusia yang terinfeksi akan mengurangi banyaknya manusia yang rentan karena total populasi dianggap konstan. Penurunan pada kurva mengakibatkan penurunan pada kurva Ih, hal ini dikarenakan semakin sedikit jumlah nyamuk yang terinfeksi sehingga jumlah manusia yang terinfeksi pun semakin sedikit. Pada kurva Dh dapat kita lihat awalnya mengalami sedikit kenaikan dan kemudian stabil turun menuju kepunahan. Hal ini berarti semakin sedikit jumlah nyamuk yang terinfeksi sehingga jumlah manusia yang dorman pun semakin sedikit. Pada Gambar 2, Gambar 4 dan Gambar 6 dilakukan simulasi dengan dan α. Jika nilai mengubah nilai parameter semakin besar maka jumlah manusia yang rentan akan semakin besar dan jika nilai semakin kecil maka akan terjadi penurunan pada jumlah manusia rentan. Jika nilai α semakin besar maka jumlah manusia rentan akan semakin kecil. Gambar 3 dan Gambar 5 menunjukkan hubungan populasi Sh terhadap waktu t. Ketiga kurva di atas dibandingkan berdasarkan nilai ′ dan ′ yang berbeda yaitu ′ = 0.025 dan ′ = 0.024, ′ = 0.045 dan ′ = 0.056, ′ = 0.060 dan ′ = 0.075. Dari kurva di atas dapat dilihat bahwa manusia yang rentan mengalami terus penaikan yang tajam menuju satu yang artinya menuju kestabilan. Semakin besar nilai ′ dan ′ , kurva akan mengalami penaikan yang datar, artinya laju manusia yang rentan

10

ketika ′ = 0.045 dan ′ = 0.056 lebih kecil dari laju manusia rentan ketika ′ = 0.025 dan ′ = 0.024 dan laju manusia rentan ketika ′ = 0.060 dan ′ = 0.075 lebih kecil dari laju manusia rentan ketika ′ = 0.025, ′ = 0.024 dan ′ = 0.045, ′ = 0.056. Ini berarti bahwa ketika laju penularan Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax dari nyamuk ke tubuh ′ dan ′ manusia meningkat mengakibatkan banyaknya manusia yang rentan menurun.

Tabel 3 Simulasi terhadap Ro >1.

3.6.2 Dinamika Populasi untuk 1 Proses penggambarannya dengan menggunakan Mathematica 7 yang dievaluasi ketika ditetapkan μh = 0.0000421 per hari yang sesuai dengan harapan hidup yang sesungguhnya dari 65 tahun untuk manusia, dan μV = 1/120, yang sesuai dengan harapan hidup dari 30 hari untuk nyamuk Anopheles. Nilainilai = 1/20 per hari dan = 1/14 per hari, sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang manusia yang terinfeksi dengan P. falciparum dan P.vivax untuk meninggalkan kelas terinfeksi dan menjadi rentan kembali, yaitu 20 hari untuk P. falciparum dan 14 hari untuk P . vivax. Nilai-nilai = 1/365 per hari, = 1/(2*365) per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang yang terinfeksi P.vivax untuk meninggalkan kelas dorman, yaitu 1 tahun untuk memasuki kelas yang terinfeksi , dan 2 tahun untuk memasuki kelas rentan. Nilai =1/(3*365) per hari sesuai dengan 3 tahun bagi orang-orang yang terinfeksi dengan P.vivax akan kehilangan sistem imun. Nilai-nilai = 1 / 30 per hari, = 1 / 25 per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang-orang yang terinfeksi P.falciparum dan P.vivax untuk pulih, yakni 30 hari untuk P.falciparum dan 25 hari untuk P.vivax, α = 0.70. Untuk mendapatkan titik tetap pada keadaan endemik yang stabil lokal, kita menetapkan masingmasing , , , sama dengan 0.14, 0.1, 0.15 dan 0.1. 1 dilakukan analisis Untuk nilai untuk tiga kondisi yang berbeda dengan mengubah nilai (laju kematian vektor) dan α (rasio dorman manusia yang terinfeksi) seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut.

. Kondisi 1.48298 dipenuhi ketika = 0.0084 dan α = 0.70. Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini,

μv 0.084

0.70

1.448298

0.0042

075

5.93191

0.0084

0.9999

1.4837

a.

1.0

sh

ih

dh

iv

0.8

0.6 0.4

0.2

0.0 0

50

100

150

Waktu

, .


, dan

Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi Sh terhadap waktu t dengan mengubah nilai parameter dan . 1.0

= 0.14 = 0.25 = 0.56

0.8

= 0.1 = 0.22 = 0.44

0.6 0.4

0.2

0.0 0

5

10

15

20

25

30

Waktu

Gambar 8


11

. Kondisi 5.93191 dipenuhi ketika = 0.0042 dan α = 0.70. Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, b.

1.0

sh

ih

dh

1.0

ih

dh

iv

0.6 0.4

iv

0.8

0.2

0.6

0.0 0

50

100

150

Waktu

0.4


0.2

0.0 0

20

40

60

80

100

Waktu


, .

, dan

Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi Sh terhadap waktu t dengan mengubah nilai parameter dan . 1.0

= 0.14 = 0.25 = 0.56

0.8

= 0.1 = 0.22 = 0.44

0.6 0.4

0.2

0.0 0

5

10

15

20

Waktu

Gambar 10 Dinamika populasi sh terhadap waktu t. . Kondisi 1.4837 dipenuhi ketika = 0.0084 dan α = 0.9999. Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, c.

sh

0.8

, .

, dan

Gambar 7, Gambar 9 dan Gambar 11 menunjukkan hubungan antara Sh, Ih, Dh, dan terhadap waktu t. Kurva Sh terus menurun menjauhi satu dan kurva Ih dan Dh naik terus naik menjauhi nol serta kurva mendekati satu dan turun kembali namun bertahan pada titik kesetimbangannya, ini menunjukkan bahwa kurva Sh, Ih, Dh, dan 1,0,0,0 yang menandakan menjauhi tidak stabil bahwa titik tetap tanpa penyakit 1 sedangkan titik tetap endemik pada menjadi stabil di mana keempat kurva dapat . Ini dilihat menuju kestabilan titik tetap menunjukkan kondisi ketika penyakit dapat bertahan pada populasi. Gambar 8 dan Gambar 10 merupakan dinamika populasi Sh terhadap waktu t. Ketiga kurva tersebut dibandingkan berdasarkan nilai nilai ′ dan ′ yang berbeda yaitu ′ 0.14 dan ′ 0.1, ′ 0.25 dan ′ 0,22, 0.56 dan ′ 0.44 Semakin besar nilai , kurva terlihat semakin signifikan ke bawah sebelum kemudian menuju kestabilan . Laju manusia yang rentan ketika ′ 0.25 dan ′ 0.22 lebih kecil dari laju manusia rentan ketika ′ 0.14 dan ′ 0.1 0.56 dan dan laju manusia rentan ketika ′ 0.44 lebih kecil dari laju manusia rentan ′ ′ ketika 0.14 dan ′ 0.1 dan ′ 0.22 . Ini berarti bahwa semakin 0.25 dan besar laju penularan Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax dari nyamuk ke tubuh dan maka laju manusia yang manusia rentan semakin kecil. Berikut akan dibandingkan ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi 5% dengan ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi 50%. Ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi

12

5% dari total populasi nyamuk 0 0.05 maka populasi manusia yang rentan adalah 0 1, 100% dari total populasi manusia 0 0 dan sehingga kondisi awal lainnya 0 0. Ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi 50% dari total populasi nyamuk 0 0.5 maka populasi manusia yang rentan adalah 100% dari total populasi manusia 1.0

sh

ih

dh

0 0

1 sehingga kondisi awal yang lainnya 0 dan 0 0. Berikut akan dibandingkan dinamika populasi dan pengaruhnya terhadap populasi manusia ketika populasi awal vektor yang terinfeksi 5% dan 50% dari total populasi vektor untuk R0 < 1 dan R0 > 1. 1.0

iv

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0.0

0

200

400

600

800

1000

1200

0.0

1400

sh

0

200

ih

400

600

Waktu

sh

800

iv

1000

1200

1400

Waktu

Gambar 12 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 5% terhadap waktu t untuk R0 < 1. 1.0

dh

ih

dh

Gambar 13 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 50% terhadap waktu t untuk R0 < 1. 1.0

iv

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0.0

sh

ih

dh

iv

0.0 0

10

20

30

40

50

Waktu

Gambar 14 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 5% terhadap waktu t untuk R0 > 1. Pada Gambar 12 dan Gambar 13 dapat dilihat bahwa kurva nyamuk yang terinfeksi 5% lebih curam dibandingkan 50%. Hal ini dikarenakan nyamuk yang terinfeksi 50% lebih banyak menginfeksi manusia dibandingkan 5%. Sehingga pada kurva infeksi 50% garis kurva manusia rentan lebih datar dibanding pada kurva infeksi 5% yang cenderung lebih tajam kenaikannya. Dengan kata lain banyaknya nyamuk yang terinfeksi mempengaruhi jumlah manusia yang terinfeksi atau tertular. Semakin

60

0

10

20

30

40

50

60

Waktu

Gambar 15 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 50% terhadap waktu t untuk R0 > 1. banyak nyamuk yang terinfeksi semakin banyak pula manusia yang terinfeksi. Berbeda halnya pada Gambar 14 dan Gambar 15 dapat dilihat bahwa kurva nyamuk yang terinfeksi 50% lebih curam dibandingkan 5%. Peningkatan banyaknya manusia yang terinfeksi lebih cepat terjadi pada nyamuk yang terinfeksi 50%. Hal ini dikarenakan nyamuk yang terinfeksi 50% lebih banyak menginfeksi manusia dibandingkan 5%.

IV SIMPULAN Dalam tulisan ini telah dipelajari model matematika dari penularan penyakit malaria untuk Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax . Dari model tersebut dihasilkan dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Terdapat dua titik kesetimbangan tetap yaitu titik bebas penyakit (E0) dan titik endemik (E1). Kestabilan E0 dan E1 ditentukan oleh rumusan yang disebut bilangan reproduksi dasar (R0). Titik E0 adalah stabil ketika R0 kurang dari satu. Sebaliknya jika R0 lebih besar dari satu, titik E1 adalah stabil. Dari grafik bidang solusi dapat dilihat bahwa ketika nilai laju penularan virus dari tubuh nyamuk ke tubuh manusia diperbesar mengakibatkan laju manusia rentan semakin kecil. Semakin banyak nyamuk yang terinfeksi semakin sedikit manusia yang rentan. Ketika laju kematian nyamuk semakin besar maka jumlah populasi manusia rentan akan semakin besar, demikian sebaliknya jika laju kematian

nyamuk semakin kecil maka populasi manusia rentan akan semakin kecil. Banyaknya populasi awal nyamuk yang terkena virus sangat berpengaruh ke dalam populasi manusia, khususnya manusia rentan. Semakin banyak populasi awal nyamuk yang terkena virus maka populasi manusia rentan akan semakin cepat berkurang, demikian sebaliknya. Dalam karya tulis ini, dinamika populasi manusia dan vektor digambarkan dalam beberapa contoh ilustratif dengan banyaknya vektor yang terinfeksi sebesar 5% 1, dan 50%. Diperoleh hasil bahwa untuk populasi vektor yang dengan terinfeksi 5% mencapai kestabilan lebih cepat daripada populasi vektor dengan terinfeksi 50%. Untuk 1, terjadi situasi yang berkebalikan. Dalam penelitian ini juga ditunjukkan bahwa interaksi antara manusia yang rentan dengan manusia terinfeksi tidak berpengaruh terhadap dinamika populasi manusia.

DAFTAR PUSTAKA Anton, H. 1995. Aljabar Linear Elementer (Edisi ke-5). Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta. Driessche, PVD dan Watmough, J. 2005. Reproduction Number and Sub-Threshold Endemic Equilibria for Compartemental Model of Disease Transmission. Math. Biosci : 1-21 Pongsumpan P dan Tang I.M. Mathematical Model of Plasmodium Vivax and Plasmodium Falciparum Malaria. Applied Mathematical Sciences, Vol. 3, (2009), pp. 283–290.

Strogatz, SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusete. TU PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Springer-Verlag. Heidelberg, Germany. WHO. 2010. Malaria. http://www.who.int/ mediacentre/ diakses pada tanggal 31 Januari 2010.

LAMPIRAN

15

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 1 Teorema 1. Misalkan A, B, C bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( λ ) = λ3 +A λ2 + Bλ + C = 0 adalah negatif jika dan hanya jika A, C, positif dan AB > C.

Bukti :

Dari persamaan p( λ ) = λ3 +A λ2 + Bλ + C, maka a0 = 1, a1 = A, a2 = B, a3 = C dan ai = 0 jika i selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap akar polynomial p( λ ) = λ3 +A λ2 + Bλ + C adalah negatif jika dan hanya jika │M1│.│M2│.│M3│positif, dimana : │M1│=│ a1│= │A│= A > 0 (1) │M2│= 1

=

0 0

1 0

│M3│=

= AB – C > 0

1

=

1 0

0 0 = ABC – C2 > 0

(2)

(3)

Dari (1) maka diperoleh A > 0 Dari (2) maka diperoleh AB – C > 0 Dari (3) maka diperoleh ABC – C2 > 0 yang dapat diubah dalam bentuk C (AB – C) > 0, sehingga dari (2) diperoleh nilai C > 0. Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polynomial = λ3 +A λ2 + Bλ + C adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0 serta AB > C.

p( λ ) Terbukti ■

Lampiran 2 Pembuktian Teorema 2 Teorema 2. Misalkan A, B, C dan D bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( λ ) = λ4 +A λ3 + Bλ2 + Cλ + D = 0 adalah negatif jika dan hanya jika A, C dan D positif dan ABC > C2 + A2D.

Bukti :

Dari persamaan p( λ ) = λ4 +A λ3 + Bλ2 + Cλ + D, maka a0 = 1, a1 = A, a2 = B, a3 = C, a4 = D dan ai = 0 jika i selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap akar polinomial p( λ ) = λ4 +A λ3 + Bλ2 + Cλ + D adalah negatif jika dan hanya jika │M1│,│M2│,│M3│,│M4│ positif, dimana : │M1│=│ a1│= │A│= A > 0 │M2│= │M3│=

= 0

1

= AB – C > 0 0 = 1 0 = ABC – A2D – C2 > 0 0

16

│M4│=

= 1 0 0

0 0

0 0 0 = D (ABC – A2 D – C2) > 0 0

1

Dari (1) maka diperoleh A > 0 Dari (3) dan (4) diperoleh D > 0 Dari (2) dan (3), maka dapat ditulis C(AB – C ) > A2 D, karena A2D > 0 dan AB – C > 0, sehingga diperoleh nilai C > 0. Persamaan (4) benar jika D > 0 dan ABC > C2 + A2 D. Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polinomial = λ3 +A λ2 + Bλ + C adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0, D > 0 serta C2A2D.

p( λ ) ABC >

Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.7) – (3.10) Sh t

ΛNh‐αr Ih t ‐μhSh t ‐

sh t Nh

IV t Sh t

ΛNh‐αr ih t Nh‐μhsh t Nh‐

sh t Nh

r

iv t

r

r Ih t

r Dh t

r Rh t

A µV

r ih t Nh r dh t Nh r rh t Nh

sh t

Λ‐αr ih t ‐μhsh t ‐

sh t

Λ‐μhsh t ‐αr ih t ‐

sh t

μh 1‐sh t ‐αr ih t ‐ β

A

A

µV

µV

A

A

µV

µV

iv t sh t

r

r

iv t sh t

r

r ih t

β iV t sh t

r

ih t

r ih t

r dh t r dh t

r dh t

r rh t r rh t

r 1‐ sh t

ih t

dh t 7

Ih t

IV t Sh t ‐ r

ih t Nh

iv t

ih t

A

A

µV

µV

ih t

β

Dh t

αr Ih t ‐ r

dh t Nh

A µV

iv t

sh t N h ‐ r A µV

sh t ‐ r

β iv t sh t ‐ r

r

αr ih t Nh ‐ r

r Ih t ‐μhIh t ‐ r

r Dh t

r ih t Nh ‐μhih t Nh ‐ r r ih t ‐μhih t ‐ r

r ih t ‐μhih t ‐ r

μh Dh t r

r Ih t

μh d h t N h

r ih t

r ih t Nh

r ih t r dh t

r dh t Nh

r dh t 8

17

dh t

αr ih t ‐ r

IV t iv t

μh d h t

9

Ih t SV t ‐μVIV t A

ih t Nh sv t

µV

iv t iv t

r

A µV

‐μViv t

A µV

ih t sV t ‐μViv t β

β ih t 1‐iV t ‐μViv t

10 Lampiran 4 Mencari Titik Tetap

Titik tetap akan diperoleh dengan menetapkan µh(1-sh(t))-αr ih(t)-(β +β )iv(t) sh(t)+( r +r )ih(t) r dh(t)+ r (1-(sh(t)+ih(t)+dh(t)) = 0

(i)

(β +β )iv(t) sh(t)-( r +r )ih(t)-µhih(t)-( r

(ii)

r )ih(t)+ r dh(t) = 0

αr ih(t) -( r +r +µh)dh(t) = 0 β +β ih(t)(1-iv(t))-µviv(t) = 0 1.

Dari persamaan (iv) dapat disederhanakan agar diperoleh nilai iv β +β ih(t)(1-iv(t))-µviv(t) = 0

ih(t) = 0 dan iV(t) = 0 atau o

Dari Persamaan (iii) αr ih(t) -( r +r +µh)dh(t) = 0 dh(t) = .

0 o

Dari Persamaan (i) µh(1-sh(t))-αr ih(t)-(β +β )iv(t) sh(t)+( r +r )ih(t) r dh(t)+ r (1-(sh(t)+ih(t)+dh(t)) = 0 µh(1-sh(t))-α.(0)-(β +β ).(0) sh(t)+( r +r ).(0) r .(0) + r (1-(sh(t)+(0)+(0)) = 0 µh(1-sh(t))-(0)-(0)+(0) (0) + r (1-(sh(t)) = 0 µh(1-sh(t))+ r (1-sh(t)) = 0 (1-sh(t)) (µh+ r ) = 0 (1-sh(t)) = 0 sh(t)) = 1

(iii) (iv)

18

2.

Dari Persamaan (iii) dapat disederhanakan agar diperoleh dh* αr ih(t) -( r +r +µh)dh(t) = 0 r +r +µh) dh(t) = αr ih(t) d =

o

Dari Persamaan (ii) (β +β )iv(t) sh(t)-( r +r )ih(t)-µhih(t)-( r r +r )ih(t)-µhih(t)-( r

r )ih(t) = 0

r )ih(t)+ r dh(t) = (β +β )iv(t) sh(t) + r dh(t)

i = i = o

Dari Persamaan (i) µh(1-sh(t))-αr ih(t)-(β +β )iv(t) sh(t)+( r +r )ih(t) r dh(t)+ r (1-(sh(t)+ih(t)+dh(t)) = 0 µh - µh sh(t)-αr ih(t)-(β +β )iv(t) sh(t)+( r +r )ih(t) r dh(t)+ r -r sh(t)- r ih(t)- r dh(t) = 0 µh sh(t)+ (β +β )iv(t) sh(t)+ r sh(t) = µh-αr ih(t)+( r +r )ih(t) r dh(t)+ r - r ih(t)- r dh(t) sh(t) = sh(t) = sh(t) = s

o

Dari Persamaan (iv) β +β ih(t)(1-iv(t))-µviv(t) = 0 β +β ih(t) β +β ih(t)(iv(t) - µviv(t) = 0 β +β ih(t)(iv(t) - µviv(t) = β +β ih(t) i

Untuk membuktikan titik tetap pertama dan titik tetap kedua digunakan berikut :

Mathematica 7 seperti

Clear[μh,α,r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,β1,β2,β3,β4,μv,R0,Nh,A] δ=r1+r2+r3+r4+r6+r7; R0=((β1+β2)(β3+β4)(μh+r3+r4))/(μv (μh (μh+δ)+(r3+r4)+(r1+r6+r6)+r2 (r3 (1-α)+r4))); (*titik tetap*) titet=Solve[{μh (1-sh)-α r2 ih-(β1+β2)iv sh+(r1+r2)ih+r4 dh+r5 (1-(sh+ih+dh)) 0,(β1+β2)iv sh(r1+r2)ih-μh ih-(r7+r6)ih+r3 dh 0,α r2 ih-(r3+r4+μh)dh 0,(β3+β4)ih (1-iv)-μv iv 0},{sh,ih,dh,iv}]//FullSimplify; (*keadaan bebas endemik Subscript[E, 0]*) titet[[1]] {dh→0,sh→1,iv→0,ih→0}

19

(*keadaan endemik Subscript[E, 1]*) titet[[2]] {dh→-((r2 α (r5+μh) (-(β1+β2) (β3+β4) (r3+r4+μh)+(r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) μv))/((β3+β4) (r3+r4+μh) (-r2 (-r3-r4+r3 α-α β1-α β2-μh) (r5+μh)+r1 (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r3+r4+μh) ((r6+r7+μh) (β1+β2+μh)+r5 (r6+r7+β1+β2+μh))))), sh→((r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) ((β3+β4) (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r2 r5 α+(r5+r6+r7+r2 α) μh+μh2+r3 (r5+r6+r7+μh)+r4 (r5+r6+r7+μh)) μv))/((β3+β4) (r3+r4+μh) (-r2 (r3-r4+r3 α-α β1-α β2-μh) (r5+μh)+r1 (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r3+r4+μh) ((r6+r7+μh) (β1+β2+μh)+r5 (r6+r7+β1+β2+μh)))), iv→-(((r5+μh) (-(β1+β2) (β3+β4) (r3+r4+μh)+(r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) μv))/((β1+β2) ((β3+β4) (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r2 r5 α+(r5+r6+r7+r2 α) μh+μh2+r3 (r5+r6+r7+μh)+r4 (r5+r6+r7+μh)) μv))), ih→-(((r5+μh) (-(β1+β2) (β3+β4) (r3+r4+μh)+(r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) μv))/((β3+β4) (-r2 (-r3-r4+r3 α-α β1-α β2-μh) (r5+μh)+r1 (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r3+r4+μh) ((r6+r7+μh) (β1+β2+μh)+r5 (r6+r7+β1+β2+μh)))))} Sehingga disederhanakan : s

µ

r d

i

d r

i r

r 1

β i s /r

β

d

αr i t / r

i

β

r

β i / β

α

r

r

r

r 1 r

d /µ

β

β i

r

µ

µ β i

µ Lampiran 5 Mencari Matriks Jacobi

Mencari Matriks Jacobi dengan menggunakan software Mathematica 7 sebagai berikut : Jacobi1 Simplify µh 1 sh r2ih β1 β2 iv sh r1 r4dh r5 1 sh ih dh , β1 β2 iv sh r1 r2 ih r6 ih r3dh , r2ih r3 r4 µh dh , β3 β4 ih 1 iv µviv , sh , ih , dh , iv //MatrixForm r5

µh β1iv β1 β2 iv 0 0

β2iv

r1 r2 r5 r2 r1 r2 r6 r7 µh r2 β3 β4 1 iv

r4

r5 r3 r3 r4 µh 0

r2 ih µhih

β1 β2 sh β1 β2 sh 0 µv β3 β4 ih

Untuk Jacobi Bebas Endemik : 1 4 7

6 ,

1 5 1

3

,

,

, r5

Untuk Jacobi Endemik :

2 ,

µh 0 0 0

2 3 /.

,

1

1 4

2 1,

r1 r2 r5 r2 r1 r2 r6 r7 µh r2 β3 β4

2 ,

3 0, r4

1 1 4

2 0,

r5 r3 r3 r4 µh 0

r7

2

1 0 //

β1 β2 β1 β2 0 µv

20

4 7

2

1

5 1

6 ,

,

r5

µh β1

3

β1i β2 i 0 0

,

,

β2i

,

,

2

/.

3

2

1 4

2

1

,

2 ,

r1 r2 r5 r2 r1 r2 r6 r7 µh r2 β3 β4 1 i

3

,

1 4

r4

r5 r3 r3 r4 µh 0

Lampiran 6 Persamaan Karakteristik tanpa Penyakit

Menentukan Persamaan Karakteristik Bebas endemik

Dengan

μ

0

μ

0 μ

0 0 0

μ

Akan diambil kolom 1 untuk menentukan determinannya :

0

1

2 1 ,

2 //

β1 β2 s β1 β2 s 0 µv β3 β4 i

21

•

μ μ

•

μ μ μ

2μ 2μ

μ

μ

• μ μ

μ

μ μ

μ μ μ

μ μ

μ 2μ

1 μ

μ μ

μ μ

μ μ μ

μ

μ μ

μ

μ μ

μ

μ

μ

1

μ 2μ

• μ μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ μ

μ μ

μ

μ

μ μ

μ μ

μ

μ

μ μ

μ

1 μ μ

μ 1

μ

μ 1

μ

μ

μ

μ

1 μ 1 1 μ 1

.

μ

μ

1

Maka : μ 2μ μ μ 2μ μ μ 1 +µ + ) ( t t t )=0 Dengan t2 = 2μ μ t1 = μ μ μ 2μ r r r t0 = μ 1 μ r r 1 α r r μ r r r r r r µ R0 = µ µ µ

μ

μ

1 μ 1

r r r

r

r r 1

α

r

r

r

r r

r

r r

22

Lampiran 7 Pembuktian t2. t1 – t0 > 0 untuk Tanpa Penyakit

Membuktikan t2. t1 – t0 > 0 t2. t1 – t0 = [2μ μ ][ μ r r r r r r r r = 2μ μ μ μ r r μ r r r μ r r r r 1 α r r r r r r r = 2μ μ μ μ r μ r r 1 α r r

μ

μ 2μ μ 1

r r μ

r r 1 α r r μ r r 1 α

r r r

r r

2μ r r r r 1 α r r r r r r r μ μ μ μ μ 2μ μ r r μ r r 1 α r r μ μ μ μ r r r r μ μ μ μ μ r r μ r r μ r 2μ μ r

r r r r 1 α r r μ μ 2μ μ r r μ r r r r >0

r

r r

r μ

r μ

Lampiran 8 Mencari nilai w3, w2, w1 dan w0 untuk Persamaan Karakteristik Endemik 2 4

2 , 1 2 5 2 , 4 5, 1 2 , 1 7, 3, 1 2 , 0, 2 , 3 4 , 0 , 0, 3 4 // r1 r2 r5 r2 r4 r5 β1 β2 s r1 r2 r6 r7 µh r3 β1 β2 s r2 r3 r4 µh 0 β3 β4 1 i 0 µv β3 β4 i , ; , , r6 r7 3µh µv β1 β2 iv β3 β4 sh

5 1 , 1 2 6 , 0, 3 1 r5 µh β1i β2i β1 β2 i 0 0

w3 = r1

r2

r3

r4

r5

,

=r1r3

w2

r2r3

r1r4

r2r4

r4r7

r5r7

r2r3

2r1µh

3µh

r1µv

r2µv

r3µv

β2 1

β3

β4

β2 iv r2α

r3

β3 r4

r1r5 2r2µh

r4µv

β4 r1 r5

r2r5

r6

2r3µh

r5µv r2

r7

r3r5

2r4µh

r6µv

r3

r4

2µh

µv

r4r5

r7

=

r1r3r5

r2r3r5

r1r4r5

r2r4r5

r3r5r6

2r6µh

β3

r4r5r6

r2r4µh

r1r5µh

r2r5µh

r3r5µh

r4r6µh

r5r6µh

r3r7µh

r4r7µh

r5r7µh

r2r3 µh

r1µh

r2r5µv r2r3 µv

r3r5µv

r7µh

r4r5µv

2r1µhµv

µh

r3r6µv

2r2µhµv

r1r3µv r4r6µv

2r3µhµv

r2r3µv r5r6µv

2r4µhµv

β1 1

r3r5r7

r1r4µh r6µh

2r7µh β3

β4

β1

,

r2r3µh r5µh

r3r7

β4 sh

r1r3µh r4µh

r5r6

3µh sh

,

w1

r4r6

3µhµv

r6 1

r3r6

2r5µh

r7µv r5

,

r1r4µv r3r7µv

2r5µhµv

r4r5r7 r4r5µh r2µh r2r4µv

r4r7µv 2r6µhµv

r2r3r5 r3r6µh

r3µh r1r5µv r5r7µv 2r7µhµv

23

3µh µv

r4β1

r5β1

r4β2

r5β2

r1r4β3

r2r4β3

r1r5β3

r4r6β3

r5r6β3

r4r7β3

r5r7β3

r4β1β3

r5β1β3

r4β2β3

r2r4β4

r1r5β4

r2r5β4

r4r5β4

r4r6β4

r5r6β4

r4r7β4

r5β1β4

r4β2β4

r5β2β4

2β1µh

2β2µh

2r1β3µh

r2r5β3 r5β2β3

r1r4β4

r5r7β4

2r2β3µh

r4β1β4

2r4β3µh

2r5β3µh

2r6β3µh

2r7β3µh

2β1β3µh

2β2β3µh

2r1β4µh

2r2β4µh

2r4β4µh

2r5β4µh

2r6β4µh

2r7β4µh

2β1β4µh

2β2β4µh

3β3µh

r3 β1 1

β3

β2 1

2µh

β4 β1

sh

r2r5

r3µh

2µhµv

r2α r3

β2 iv r3r5 r4µh

µv

1

β3

β4

r3

w0 = β1

β2 iv

r4r5

r2αβ3µh r2α β3 µh β3 β2 1

β3 r3

β4 β3

µh β4

r4 β2 1 β4

β3

r4r5

r3r6

r4

r4r7

r6β3µh

r7

β3µh

β4µh

r2α β3

β4

µh r6 β3

r7 β4

β3

r4r6

β4

r2r4

r2r5

r2

µh µv

µh

r2 r3

r4

r3

β3

β4 r1

r2

r6

r2

r6

r7

r2

r7

µh

µh

sh

r6µv

r7µv r5β4

2β4µh sh r6µh

r5

r6β4 r5

µh µv

r2r4

r7µh

r2r5 β4

r2 β4

r2 β3

r2

r2αβ4

r6β4µh

β4µh sh

µh

β4 r1

2β3µh , , r5µh

3β4µh

r2r3

r7β3

r2r5 β3 r7β4

r7

r5µv

r6β3

2µh

r7β3

β3µh

r4µv

r5β4µh

r6β4

r6

r4r7

r4µh

r2αβ4µh

r4 r6β3

r5

r3r7

r5β3

β3

r2 β3

r2

r3µv

µh

r2αβ3 1

r7β3µh

r7β3

β4 r1

r7µh r5

r6

r3 r6β3

β4

1

r4r6 r3 r5

r5β3µh β4µh

β3µh r5

µh

β4

r6µh

µh

r7β4

r4

r5µh

r4

r6β4

r2α r3

β3

r4r5β3

µh r4

µh

r5µh

r7β4µh 1 r7β4

µh

β3

β4

r2 β4

r1 r3

r4

µh β1 1

r3 β1 1

β3

β4

Lampiran 9 Pembuktian w3w2w1 > w12 + w32w0 dan w3 > 0, w1 > 0, w0 > 0 untuk Endemik μh=0.0000421;α=0.4;r1=1/20;r2=1/14;r3=1/365;r4=1/(2*365);r5=1/(3*365);r6=1/30;r7=1/25;β1'=0.0 25;β2'=0.024;β3'=0.03;β4'=0.02;μv=1/20;A=1/10;β1=β1'(A/μv);Nh=1;β2=β2'(A/μv);β3=β3' Nh;β4=β4' Nh;δ=r1+r2+r3+r4+r6+r7;ρ=α*r2+r3+r4+r5+r6+r7; sh*= ((r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) ((β3+β4) (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r2 r5 α+(r5+r6+r7+r2 α) μh+μh2+r3 (r5+r6+r7+μh)+r4 (r5+r6+r7+μh)) μv))/((β3+β4) (r3+r4+μh) (-r2 (r3-r4+r3 α-α β1-α β2-μh) (r5+μh)+r1 (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r3+r4+μh) ((r6+r7+μh) (β1+β2+μh)+r5 (r6+r7+β1+β2+μh)))); ih*=-(((r5+μh) (-(β1+β2) (β3+β4) (r3+r4+μh)+(r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) μv))/((β3+β4) (-r2 (-r3-r4+r3 α-α β1-α β2-μh) (r5+μh)+r1 (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r3+r4+μh) ((r6+r7+μh) (β1+β2+μh)+r5 (r6+r7+β1+β2+μh))))); dh*=-((r2 α (r5+μh) (-(β1+β2) (β3+β4) (r3+r4+μh)+(r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) μv))/((β3+β4) (r3+r4+μh) (-r2 (-r3-r4+r3 α-α β1-α β2-μh) (r5+μh)+r1 (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r3+r4+μh) ((r6+r7+μh) (β1+β2+μh)+r5 (r6+r7+β1+β2+μh))))); iv*=-(((r5+μh) (-(β1+β2) (β3+β4) (r3+r4+μh)+(r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) μv))/((β1+β2) ((β3+β4) (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r2 r5 α+(r5+r6+r7+r2 α) μh+μh2+r3 (r5+r6+r7+μh)+r4 (r5+r6+r7+μh)) μv)));

24

sv 1 iv ; w3>0 True w1>0 True w0>0 True w3*w2*w1>w12+w32*w0 True Lampiran 10 Nilai Eigen Titik Tetap Bebas Endemik 6, 2 1 2 5, 4 5, 1 2 , 0, 1 2 6 7, 3, 1 2 , 0, 2, 3 4 , 0 , 0, 3 4,0, 6 , 3 1 3 4 1 3 3 2 3 4 2 3 3 1 4 4 1 4 3 2 4 4 2 4 1 3 2 3 1 4 2 4 1 3 2 3 1 4 2 4 3 6 4 6 3 7 4 7 2 3 1 2 3 4 6 7 1 3 2 3 1 4 2 4 3 6 4 6 3 7 4 7 2 3 1 3 2 3 1 4 1 2 3 4 2 4 1 2 3 4 6 7 6 7 2 #1 1 2 3 4 6 7 2 #1 3 1 3 4 1 3 3 2 3 4 2 3 3 1 4 4 1 4 3 2 4 #1 &,1 , 4 2 4 1 3 2 3 1 4 2 4 1 3 2 3 1 4 2 4 3 6 4 6 3 7 4 7 2 3 1 2 3 4 1 3 2 3 1 4 2 4 3 6 4 6 3 7 4 7 6 7 2 3 1 3 2 3 1 4 2 4 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 6 7 2 #1 1 2 3 4 6 7 #1 &,2 , 3 1 3 4 1 3 3 2 3 4 2 3 3 1 4 4 1 4 2 #1 3 2 4 4 2 4 1 3 2 3 1 4 2 4 1 3 2 3 1 4 2 4 3 6 4 6 3 7 4 7 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 4 2 4 3 6 4 6 3 7 4 6 7 4 7 2 3 1 3 2 3 1 4 2 4 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 6 7 2 #1 1 2 3 4 6 #1 &,3 7 2 #1 2 µh

1

2

3 27t0 27t0 9t1t2

1

0,

r5

t2 3

t2 3

0

32 √3

3t1

3√3√27t0 9t1t2 2t2 3√3√27t0 4t1 2t2 / 32 1

/

/

t2

4t1 18t0t1t2 18t0t1t2 t1 t2

√3 3t1

t1 t2 4t0t2

4t0t2

/

/

,

t2

27t0 9t1t2 2t2 3√3√27t0 4t1 18t0t1t2 t1 t2 4t0t2 / 27t0 9t1t2 2t2 3√3√27t0 4t1 18t0t1t2 t1 t2 4t0t2 / / 62

25

√ /

/

√

√

/

√ /

Lampiran 11 Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 0.00378437 0.0000421; ; 1 1; 2

0.025; 2 2

1

0.024; 3

; 3

2

3

; 2

0.65; 1 3 4

; 4 6

; 3

0.03; 4 4

; 4 0.02;

; 5 ;

; 6 ; 1

; 7

1

;

;

7;

0 0.00378437 1 4

5 1 7 6

2

1 ,

2 1

1 2

2 1

2

3 , 2 3 4 , 3 , 0 0, 0 0.8, 0 0.8, 0 4 1 0.8 , , , , , , 0,100000 {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],ih[t]→Interpolat ingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],dh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,1 00000.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t]}} Gandi1=Plot[sh[t]/.bidsol,{t,0,1500},PlotRange→{0,1},FrameLabel→{"Wa ktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Red,Thick}]; Gandi2=Plot[ih[t]/.bidsol,{t,0,1500},PlotRange→All,FrameLabel→{"Wakt u"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Blue,Thick}]; Gandi3=Plot[dh[t]/.bidsol,{t,0,1500},PlotRange→All,FrameLabel→{"Wakt u"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Black,Thick}]; Gandi4=Plot[iv[t]/.bidsol,{t,0,1500},PlotRange→All,FrameLabel→{"Wakt u"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Green,Thick}]; , , ,

26

Lampiran 12 Gambar Simulasi Populasi sh 0.0000421; 0.65; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.025; 2 0.024; 3 0.03; 4 0.02; 1/30; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/20; 1 1 1

2

3

4

6

7;

0

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 0,ih[0] 0.8,dh[0] 0.8,iv[0] 0.8},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 11 /. , , 0,40 , , " ", , , , , , , ; 0.0000421; 0.65; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.045; 2 0.056; 3 0.03; 4 0.02; 1/30; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/20; 1 1 1

2

3

4

6

7;

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 0,ih[0] 0.5,dh[0] 0.8,iv[0] 0.8},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 12 /. , , 0,40 , , " ", , , , , , , ; 0.0000421; 0.65; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.06; 2 0.075; 3 0.03; 4 0.02; 1/30; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/20; 1 1 1

2

3

4

6

7;

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 0,ih[0] 0.2,dh[0] 0.8,iv[0] 0.8},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 13 /. , , 0,40 , , " ", , , , , , , ; 11, 12, 13

27

Lampiran 13 Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 0.000105122 0.0000421; 0.65; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.025; 2 0.024; 3 0.03; 4 0.02; 1/5; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/10; 1 1 1 2 3 4 6 7; R0=((β1+β2)(β3+β4)(μh+r3+r4))/(μv (μh (μh+δ)+(r3+r4)+(r1+r6+r6)+r2 (r3 (1-α)+r4))) 0.000105122 bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 0,ih[0] 0.8,dh[0] 0.8,iv[0] 0.8},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100000}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][ t],dh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>] [t]}} Gandi1=Plot[sh[t]/.bidsol,{t,0,500},PlotRange→{0,1},FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Red,Thick}]; Gandi2=Plot[ih[t]/.bidsol,{t,0,500},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Blue,Thick}]; Gandi3=Plot[dh[t]/.bidsol,{t,0,500},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Black,Thick}]; Gandi4=Plot[iv[t]/.bidsol,{t,0,500},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Green,Thick}]; 1, 2, 3, 4 Lampiran 14 Gambar Simulasi Populasi sh 0.0000421; 0.4; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.025; 2 0.024; 3 0.03; 4 0.02; 1/20; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/10; 1 1 1

2

3

4

6

7;

0

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 0,ih[0] 0.8,dh[0] 0.8,iv[0] 0.8},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} Gandi11 Plot sh /. bidsol, , 0,40 , PlotRange All, FrameLabel "Waktu" , Frame True, False , True, False , PlotStyle Dashed, Red, Thick ; 0.0000421; 0.4; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.045; 2 0.056; 3 0.03; 4 0.02; 1/20; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/10; 1 1 0

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 0,ih[0] 0.5,dh[0] 0.8,iv[0] 0.8},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100}]

28

{{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 12 /. , , 0,40 , , " ", , , , , , , ; 0.0000421; 0.4; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.06; 2 0.075; 3 0.03; 4 0.02; 1/20; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/10; 1 1 1

2

3

4

6

7;

0

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 0,ih[0] 0.3,dh[0] 0.8,iv[0] 0.8},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 13 /. , , 0,40 , , " ", , , , , , , ; 11, 12, 13 Lampiran 15 Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 0.00378044 0.0000421; 0.00065; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.025; 2 0.024; 3 0.03; 4 0.02; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/30; 1/10; 1 1 1 2 3 4 6 7; R0=((β1+β2)(β3+β4)(μh+r3+r4))/(μv (μh (μh+δ)+(r3+r4)+(r1+r6+r6)+r2 (r3 (1-α)+r4))) 0.00378044 bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 0,ih[0] 0.8,dh[0] 0.8,iv[0] 0.8},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100000}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][ t],dh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>] [t]}} Gandi1=Plot[sh[t]/.bidsol,{t,0,500},PlotRange→{0,1},FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Red,Thick}]; Gandi2=Plot[ih[t]/.bidsol,{t,0,500},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Blue,Thick}]; Gandi3=Plot[dh[t]/.bidsol,{t,0,500},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Black,Thick}]; Gandi4=Plot[iv[t]/.bidsol,{t,0,500},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Green,Thick}]; 1, 2, 3, 4

29

Lampiran 16 Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 1.48298 0.0000421; 0.7; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.14; 2 0.1; 3 0.15; 4 0.1; 1/120; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/20; 1 1 1 2 3 4 6 7; R0=((β1+β2)(β3+β4)(μh+r3+r4))/(μv (μh (μh+δ)+(r3+r4)+(r1+r6+r6)+r2 (r3 (1-α)+r4))) 1.48298 bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.00002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100000 }] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][ t],dh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>] [t]}} Gandi1=Plot[sh[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Red,Thick}]; Gandi2=Plot[ih[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Blue,Thick}]; Gandi3=Plot[dh[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Black,Thick}]; Gandi4=Plot[iv[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Green,Thick}]; 1, 2, 3, 4 Lampiran 17 Gambar Simulasi Populasi sh 0.0000421; 0.7; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.14; 2 0.1; 3 0.15; 4 0.1; 1/120; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 0.05; 1 1 1

2

3

4

6

7;

0

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.00000002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100 }] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 11 /. , , 0,30 , , " ", , , , , , , ; 0.0000421; 0.7; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.25; 2 0.22; 3 0.15; 4 0.1; 1/120; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 0.05; 1 1 1 0

2

3

4

6

7;

30

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.00000002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100 }] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 12 /. , , 0,30 , , " ", , , , , , , ; 0.0000421; 0.7; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.56; 2 0.44; 3 0.15; 4 0.1; 1/120; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 0.05; 1 1 1

2

3

4

6

7;

0

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.00000002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100 }] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 13 /. , , 0,30 , , " ", , , , , , , ; 11, 12, 13 Lampiran 18 Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 5.93191 0.0000421; 0.7; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.14; 2 0.1; 3 0.15; 4 0.1; 1/240; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/20; 1 1 1 2 3 4 6 7; R0=((β1+β2)(β3+β4)(μh+r3+r4))/(μv (μh (μh+δ)+(r3+r4)+(r1+r6+r6)+r2 (r3 (1-α)+r4))) 5.93191 bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.000002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,1000 00}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][ t],dh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>] [t]}} Gandi1=Plot[sh[t]/.bidsol,{t,0,100},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Red,Thick}]; Gandi2=Plot[ih[t]/.bidsol,{t,0,100},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Blue,Thick}]; Gandi3=Plot[dh[t]/.bidsol,{t,0,100},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Black,Thick}]; Gandi4=Plot[iv[t]/.bidsol,{t,0,100},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Green,Thick}]; 1, 2, 3, 4

31

Lampiran 19 Gambar Simulasi Populasi sh 0.0000421; 0.75; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.14; 2 0.1; 3 0.15; 4 0.1; 1/240; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 0.05; 1 1 1

2

3

4

6

7;

0

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.000002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 11 /. , , 0,20 , , " ", , , , , , , ; 0.0000421; 0.75; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.25; 2 0.22; 3 0.15; 4 0.1; 1/240; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 0.05; 1 1 1

2

3

4

6

7;

0

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.000002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 12 /. , , 0,20 , , " ", , , , , , , ; 0.0000421; 0.75; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.56; 2 0.44; 3 0.15; 4 0.1; 1/95; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 0.05; 1 1 1

2

3

4

6

7;

0

bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.000002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],dh[t] →InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100.}},<>][t]}} 13 /. , , 0,20 , , " ", , , , , , , ; 11, 12, 13

32

Lampiran 20 Gambar Dinamika Populasi untuk R0 = 1.4837 0.0000421; 0.9999; 1 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 ; 1; 2 1/20; 1 1

1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 0.14; 2 0.1; 3 0.15; 4 0.1; 1/120; 2 ; 3 3 ; 4 4 ;

1/ 3

1 2 3 4 6 7; R0=((β1+β2)(β3+β4)(μh+r3+r4))/(μv (μh (μh+δ)+(r3+r4)+(r1+r6+r6)+r2 (r3 (1-α)+r4))) 1.4897 bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.000002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,10000 0}] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][ t],dh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>] [t]}} Gandi1=Plot[sh[t]/.bidsol,{t,0,100},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Red,Thick}]; Gandi2=Plot[ih[t]/.bidsol,{t,0,100},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Blue,Thick}]; Gandi3=Plot[dh[t]/.bidsol,{t,0,100},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Black,Thick}]; Gandi4=Plot[iv[t]/.bidsol,{t,0,100},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Green,Thick}]; 1, 2, 3, 4 Lampiran 21 Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 5% untuk R0 < 1 0.0000421; ; 1 1; 2

0.025; 2 2

1

2

0.024; 3

; 3 3

; 2

0.65; 1 3 4

; 4 6

; 3

0.03; 4 4

; 4 0.02;

; 5 ;

; 6 ; 1

1

; 7 ;

;

7;

0 bidsol NDSolve µh 1 sh r2ih β1 β2 iv sh r1 r2 ih r4dh r5 1 sh ih dh sh , β1 β2 iv sh r1 r2 ih µhih r7 r6 ih r3dh ih , r2ih r3 r4 µh dh dh , β3 β4 ih 1 0, ih 0 0.8, dh 0 0.8, iv 0 iv µviv iv , sh 0 0.8 , sh , ih , dh , iv , , 0,100000 sh t InterpolatingFunction 0.,100000. , t ,ih t InterpolatingFunction 0.,100000. , t ,dh t InterpolatingFunction 0.,100000. , t ,iv t InterpolatingFunction 0.,1000 00. , t

Gandi1 Plot sh t /.bidsol, t,0,1500 ,PlotRange 0,1 ,FrameLabel "Waktu" , Frame True,False , True,False ,PlotStyle Dashed,Red,Thick ; Gandi2 Plot ih t /.bidsol, t,0,1500 ,PlotRange All,FrameLabel "Waktu" , Frame True,False , True,False ,PlotStyle Dashed,Blue,Thick ;

33

Gandi3 Plot dh t /.bidsol, t,0,1500 ,PlotRange All,FrameLabel "Waktu" , Frame True,False , True,False ,PlotStyle Dashed,Black,Thick ; Gandi4 Plot iv t /.bidsol, t,0,1500 ,PlotRange All,FrameLabel "Waktu" , Frame True,False , True,False ,PlotStyle Dashed,Green,Thick ; 1,

2,

3,

4

Lampiran 22 Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 50% untuk R0 < 1 0.0000421; ; 1 1; 2

0.025; 2 2

1

0.65; 1 0.024; 3

; 3

2

3

; 2

3 4

; 4 6

; 3

0.03; 4 4

; 4 0.02;

; 5 ;

; 1

; 6 1

; 7 ;

;

7;

0 bidsol NDSolve µh 1 sh r2ih β1 β2 iv sh r1 r2 ih r4dh r5 1 sh ih dh sh , β1 β2 iv sh r1 r2 ih µhih r7 r6 ih r3dh ih , r2ih r3 r4 µh dh dh , β3 β4 ih 1 0, ih 0 0.8, dh 0 0.8, iv 0 iv µviv iv , sh 0 0.8 , sh , ih , dh , iv , , 0,100000 sh t InterpolatingFunction 0.,100000. , t ,ih t InterpolatingFunction 0.,100000. , t ,dh t InterpolatingFunction 0.,100000. , t ,iv t InterpolatingFunction 0.,1000 00. , t

Gandi1 Plot sh t /.bidsol, t,0,1500 ,PlotRange 0,1 ,FrameLabel "Waktu" , Frame True,False , True,False ,PlotStyle Dashed,Red,Thick ; Gandi2 Plot ih t /.bidsol, t,0,1500 ,PlotRange All,FrameLabel "Waktu" , Frame True,False , True,False ,PlotStyle Dashed,Blue,Thick ; Gandi3 Plot dh t /.bidsol, t,0,1500 ,PlotRange All,FrameLabel "Waktu" , Frame True,False , True,False ,PlotStyle Dashed,Black,Thick ; Gandi4 Plot iv t /.bidsol, t,0,1500 ,PlotRange All,FrameLabel "Waktu" , Frame True,False , True,False ,PlotStyle Dashed,Green,Thick ; 1,

2,

3,

4

Lampiran 23 Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 5% untuk R0 > 1 0.0000421; 0.7; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.14; 2 0.1; 3 0.15; 4 0.1; 1/120; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/20; 1 1 1 2 3 4 6 7; R0=((β1+β2)(β3+β4)(μh+r3+r4))/(μv (μh (μh+δ)+(r3+r4)+(r1+r6+r6)+r2 (r3 (1-α)+r4))) bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.00002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100000 }]

34

{{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][ t],dh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>] [t]}} Gandi1=Plot[sh[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Red,Thick}]; Gandi2=Plot[ih[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Blue,Thick}]; Gandi3=Plot[dh[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Black,Thick}]; Gandi4=Plot[iv[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Green,Thick}]; 1, 2, 3, 4 Lampiran 24 Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 50% untuk R0 > 1 0.0000421; 0.7; 1 1/20; 2 1/14; 3 1/365; 4 1/ 2 365 ; 5 1/ 3 365 ; 6 1/30; 7 1/25; 1 0.14; 2 0.1; 3 0.15; 4 0.1; 1/120; ; 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 1/2; 1 1 1 2 3 4 6 7; R0=((β1+β2)(β3+β4)(μh+r3+r4))/(μv (μh (μh+δ)+(r3+r4)+(r1+r6+r6)+r2 (r3 (1-α)+r4))) bidsol=NDSolve[{μh (1-sh[t])-α r2 ih[t]-(β1+β2)iv[t] sh[t]+(r1+r2)ih[t]+r4 dh[t]+r5 (1(sh[t]+ih[t]+dh[t])) sh'[t],(β1+β2)iv[t] sh[t]-(r1+r2)ih[t]-μh ih[t]-(r7+r6)ih[t]+r3 dh[t] ih'[t],α r2 ih[t]-(r3+r4+μh)dh[t] dh'[t],(β3+β4)ih[t](1-iv[t])-μv iv[t] iv'[t],sh[0] 1,ih[0] 0.00002,dh[0] 0.00012,iv[0] 0.0002},{sh[t],ih[t],dh[t],iv[t]},{t,0,100000 }] {{sh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],ih[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][ t],dh[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>][t],iv[t]→InterpolatingFunction[{{0.,100000.}},<>] [t]}} Gandi1=Plot[sh[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Red,Thick}]; Gandi2=Plot[ih[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Blue,Thick}]; Gandi3=Plot[dh[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Black,Thick}]; Gandi4=Plot[iv[t]/.bidsol,{t,0,160},PlotRange→All,FrameLabel→{"Waktu"}, Frame→{{True,False},{True,False}},PlotStyle→{Dashed,Green,Thick}]; 1, 2, 3, 4

DINAMIKA POPULASI MANUSIA DAN VEKTOR PADA PENULARAN PENYAKIT MALARIA OLEH PLASMODIUM FALCIPARUM DAN PLASMODIUM VIVAX SUGANDI PUTRA GINTING

Recommend Documents