´ dsz. Labor Komplex Rendszerek Szim. Mo
Dinamika Boole-h´ al´ ozatokon
´ vid Gergely Nagy Da Fizika MSc.
III. beadand´o
Fizikai Int´ezet E¨otv¨os Lor´and Tudom´anyegyetem Budapest 2013
1.
Egyszer˝ u Boole-h´ al´ ozatok
A n´egyf´ele egydimenzi´os boole f¨ uggv´enyek a k¨ovetkez˝ok: x 7→ x x 7→ ¬x x 7→ 1 x 7→ 0 A lehets´eges N,K gr´afokat Mathematica seg´ıts´eg´evel hat´aroztam meg. K=1 miatt egy list´aval lehet reprezent´alni a gr´afot, ahol az n-ik elem az n-ik vertex bemenete, pl ha 1 → 2 ´es 2 → 1 akkor graph = [2, 1]. ´Igy az o¨sszes lehets´eges gr´af megkaphat´o ha vessz¨ uk az 1, 2, ..N -b´ol el˝oa´ll´ıthat´o ¨osszes N hossz´ u rendezett p´art.
tup = Tuples[Range[N], N]; rules = Table[Table[Rule[tup[[i,j]],j],{j,1,N}],// //{i,1,Length[tup]}]; graphlist = Graph /@ rules; Ezut´an kisz˝ urtem k¨oz¨ ul¨ uk az izomorf gr´afokat.
DeleteDuplicates[graphlist, IsomorphicGraphQ[#1, #2] &] ´Igy N=3-ra 7, N=4-re pedig 19 gr´afot kaptam.
1.1.
N=3 K=1 Kauffmann automata
2
Mivel m´ar itt is rengeteg f´ele lehets´eges Kauffmann automata van, ´ıgy eltekintek az o¨sszes trajekt´oria-gr´af k¨ozl´es´et˝ol. Ehelyett sok v´eletlen automata k¨oz¨ ul a szemre nem izomorfak egy jelent˝os r´esz´et mentettem el. 7 gr´ af · 43 f u¨ggv´ enykioszt´ as = 448 f´ele K=1 N=3 h´al´ozat ha nem sz´amoljuk az izomorfakat (k¨ ul¨onben 1728 lenne). MaN gasabb K eset´en a lehets´eges f¨ uggv´enykioszt´asok sz´ama 22K . A nem izomorf gr´afok sz´am´ara adott N-n´el nem siker¨ ult analitikus k´epletet konstru´alnom ´es irodalomban sem tal´altam ilyet. A vonz´asi tartom´anyokat u ´gy kerestem meg, hogy minden lehets´eges kezdeti felt´etelb˝ol ind´ıtva a rendszert megn´eztem hogy mi a k¨ovetkez˝o l´ep´es. Az automata determinisztikuss´aga miatt ezzel az ¨osszes lehets´eges trajekt´ori´at megkaptam. Az o¨sszes kezdeti felt´etelt legener´al´o Python k´od:
[[x,y,z] for x in [0,1] for y in [0,1] for z in [0,1]] N´eh´any az ´ıgy kapott trajekt´oria gr´afok k¨oz¨ ul az al´abbi ´abr´akon l´athat´o. A sz´amoz´as a k¨ovetkez˝ok´eppen m˝ uk¨odik: az els˝o sz´am hogy hanyadik nem izomorf gr´af az auto3
mat topol´ogi´aja (0-t´ol kezd˝od˝o indexel´essel), a m´asodik sz´am a boole f¨ uggv´enyeket indexeli. Teh´at pl a 6-111 azt a Kauffmann automat´at jel¨oli ahol a vertexek h´aromsz¨og szer˝ uen vannak o¨sszek¨otve ´es minden n´odus neg´alja a bemenet´et. Mivel ´ıgy is rengeteg k´ep van, nem illesztettem be mindet, a marad´ekot minden feladatn´al a lenti linken lehet megtal´alni.1 101
001 001 100
111
000 010
111
000 011
110
100
010
011 110
101
1. ´abra. 6-010 ´es 6-101
000
001
011
110
100
011
000
111
010
010
110
001
101
100
101
111
2. ´abra. 5-100 ´es 5-010
000
001
100
111
110
101
000
101
010
010
100
011
110
011
001
3. ´abra. 5-121 ´es 0-100 1
http://davidnagy.web.elte.hu/comphys/kauffman/
4
111
1.2.
N=4 K=1 Kauffmann automata
1100
1000
0000
0010
1011
0111
1001
0011
1101
0110
1010
0001
1110
1111
0101
4. ´abra. 0-2333
5
0100
0000
1010
0001
1011 1110
0111
0101
1100
0100
1101
1111
0110
0011
1001 0010
1000
5. ´abra. 4-1210
1000
1001
1010
0001
0011
0000
0101
0111
0100
1011
1100
1101
1110
1111
0010
0110
6. ´abra. 6-3103
1100
1000
0000
0010
1011
0111
1001
0011
1101
0110
1010
0001
1110
1111
0101
0100
7. ´abra. 5-2223
1.3.
N=10 K=1 Kauffmann automata
Mivel itt kezelhetetlen¨ ul sokf´ele topol´ogia lehets´eges, ezek k¨oz¨ ul v´eletlen¨ ul v´alogattam, teh´at a sz´amoz´as els˝o fele a k¨ovetkez˝ok´eppen m´odosul: az els˝o sz´am i-ik sz´amjegye azt adja meg, hogy melyik n´odus az i-ik n´odus bemenete. Itt azt lehetett ´eszrevenni, hogy v´eletlen¨ ul bolyongva a lehets´ege Kauffman automat´ak ter´eben, gyakorlatilag mindig igaz hogy a legt¨obb kezdeti felt´etel nem stabil, hanem p´ar l´ep´esen bel¨ ul a kev´es attraktor egyik´ebe ker¨ ul a rendszer. Ilyen eset l´athat´o az al´abbi a´br´an. 6
8. ´abra. 0 9 5 5 0 9 8 0 3 6-2 2 3 2 0 2 3 2 0 0 El˝ofordul az is, hogy az attraktor nem egy a´llapot hanem egy hat´arciklus.
7
9. ´abra. 5 1 7 2 8 1 4 0 2 0 - 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Az attraktoroknak id˝onk´ent diszjunkt vonz´asi tartom´anyai vannak.
8
10. ´abra. 6 3 2 4 5 3 6 7 0 6 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9
11. ´abra. 4 5 5 4 1 3 5 5 8 8-0 1 1 1 1 1 0 1 0 0
1.4.
N=3 K=2 szinkron ´ es azinkron friss´ıt´ essel
Itt a szinkron fris´ıt´essel megkaptam a k¨onyv ´abr´aj´an is szerepl˝o trajekt´ori´akat, ez l´athat´o a k¨ovetkez˝o a´br´an.
10
100
110
011
111
000
101
010
001
12. ´abra. N=3 K=2 gr´af ´allapottere Az aszinkron friss´ıt´esn´el az eddigi m´odszer nem adja meg az ¨osszes lehets´eges trajekt´ori´at, mivel ugyanabb´ol az ´allapotb´ol n´eha m´ashov´a l´ep¨ unk. Ha minden kezdeti felt´etelb˝ol sokszor futtattam, akkor az al´abbi a´llapotteret kaptam:
110
111
010
011
100
101
000
001
13. ´abra. 4 5 5 4 1 3 5 5 8 8-0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 K¨onnyen ´eszrevehet˝o hogy ez egy kocka gr´afja rekurrens ¨osszek¨ot´esekkel, ami azt jelenti hogy minden ´allapotb´ol minden a´llapotba ´atmegy n´eha a rendszer. Kiv´eve az ´ ’100’ a´llapotot, ezt soha nem saj´at maga k¨oveti. Altal´ anoss´agban felt´etelezhet˝o, hogy 11
mivel hiperkocka cs´ ucsai azok az a´llapotok amelyeket N hossz´ u {1,0}-b´ol a´ll´o vektorban egy elemet megv´altoztatva kaphatunk, ´ıgy tetsz˝oleges N-re az N dimenzi´os hiperkocka lesz az a´llapott´er. Itt tal´an ´ertelmes lehet az a´llapotok felett egy val´osz´ın˝ us´egeloszl´ast figyelni, ebben az esetben hossz´ u id˝o ut´an a rendszer szinte mindig a 000 vagy 111 a´llapotban volt, illetve nagoyn ritk´an a 011-ben.
2. 2.1.
Ferrom´ agneses Ising modell Ising modell mint Kauffmann automata
A 20*20 2D r´acs Ising modell felfoghat´o egy N = 400, K = 5 (a saj´at a´llapot´at is figyelembe kell vennie) Kauffmann automatak´ent ahol az egym´assal interakt´al´o spinek felelnek meg az egym´assal ¨osszek¨ot¨ott vertexeknek. A gr´af m´odos´ıt´as´aval egy´ebk´ent tetsz˝oleges dimenzi´oj´ u ´es topol´ogi´aj´ u Ising modell szimul´alhat´o. A konnektivit´as a periodikus hat´arfelt´etelek miatt k¨ovetkez˝o, az els˝o ´abr´an a jobb a´ttekinthet˝os´eg miatt csak az egyik ir´any ment´en van ´erv´enyes´ıtve a hat´arfelt´etel,
m´ıg a m´asodikon a teljes szomsz´eds´ag l´athat´o:
12
A vertexekhez a k¨ovetkez˝o boole-f¨ uggv´enyt rendelj¨ uk a T=0 esetben, mivel ilyenkor csak kisebb energi´aj´ u a´llapotok fel´e l´ep¨ unk (a kezdeti a´llapot hot start eset´en persze nem nulla h˝om´ers´eklet˝ u): ( 1 ∆E < 0 f (v0 , v1 , v2 , v3 , v4 ) = 0 egy´ ebk´ ent ami a k¨ovetkez˝ok´eppen fejezhet¨ unk ki a szomsz´edos spinek a´llapotaival ( P 1 t¨ obb mint 2 0 up0 szomsz´ ed = 4n=1 vi > 2 f (v0 , v1 , v2 , v3 , v4 ) = 0 egy´ ebk´ ent A k¨ovetkez˝o a´br´an az l´athat´o hogy n´eh´any spin ´es spinszomsz´eds´ag a´llapot (bal oldali oszlop) eset´en mik lesznek a k¨ovetkez˝o a´llapotok (jobb oldali oszlop).
14. a´bra. N´eh´any a´tmeneti szab´aly a kauffmann automat´aban (A n´odusokon ´ertelmezett boole-f¨ uggv´eny igazs´agt´ablazata kaphat´o meg ezekb˝ol). A szab´alyt egy 20*20-as r´acson futtatva a v´eletlen kezdeti felt´etelb˝ol (bal oldali ´abra) viszonylag kev´es l´ep´es ut´an a jobb oldali ´allapotba jutunk, ahonnan nem v´altozik tov´abb, ’befagy’ a rendszer.
13
15. ´abra. Kezdeti ´es v´egs˝o ’befagyott’ ´allapot. A m´agnesezetts´eg nem tud eljutni a legalacsonyabb energi´aj´ u a´llapotokba, itt val´osz´ın˝ uleg arr´ol van sz´o hogy egy lok´alis minimum k¨ozelebb van a kezdeti a´llapothoz mint az abszol´ ut energiaminimum, ´es mivel az id˝ofejl˝od´es olyan hogy az energiafel¨ uleten soha nem l´ep felfel´e a rendszer, ez´ert be fog ragadni a legk¨ozelebbi minimumba b´armilyen sek´ely is legyen az. Ez azt jelenti hogy a T=0-nak megfelel˝o a´llapotot gyakorlatilag csak akkor tudjuk megkapni, ha eleve onnan ind´ıtjuk a rendszert.
2.2.
Ising model 2D r´ acson Metropolis friss´ıt´ essel
A magasabb h˝om´ers´eklet˝ u a´llapotok szimul´aci´oj´ahoz az Ising modell hagyom´anyos (nem Kauffmann-automata) megfogalmaz´as´at haszn´altam, b´ar felt´etelezem hogy lehet ´ertelmezni a Metropolis algoritmust aszinkron friss´ıt´es˝ u Kauffmann automat´ara ´es feltehet˝oleg hasonl´o eredm´enyeket gener´alna. Itt a v ∈ {0, 1} helyett s ∈ {−1, 1} a´llapotokat haszn´alok ´es a friss´ıt´esi szab´aly (ez a Metropolis szab´aly amir˝ol k´es˝obb m´eg b˝ovebben ´ırok): ( −si,t si,t+1 (si,t , sijobb t , sibal ,t , sif elett ,t , sialatt ,t ) = si,t
∆E
e− kT > x ∼ U nif orm[0, 1] egy´ ebk´ ent
ahol ∆E = Eproposed − Et = 2 · J · si,t · (sibal ,t + sijobb t + sif elett ,t + sialatt ,t ) mivel si,proposed = f lip(si,t ) = −si,t . Analitikus eredm´ enyek A kritikus h˝om´ers´eklet 2d r´acs Ising modellre2 2
H.A. Kramers and G.H. Wannier, Phys. Rev. 60, 252 (1941)
14
kTC 2 √ = 2.26919 = J ln(1 + 2) Az elm´eleti m´agnesezetts´egi g¨orbe termodinamikai hat´aresetben a 2d r´acs Ising modellre P
si Mt=∞ (T ) = lim | |= N →∞ N
(
1 − sinh 0
2 T
1/8
T ≤ TC T > TC
amit mi egy viszonylag hossz´ u id˝o ut´an vett id˝oa´tlaggal k¨ozel´ıt¨ unk. Metropolis algoritmus A Metropolis algoritmus egy Markov chain Monte Carlo m´odszer. Az MCMC algoritmusok seg´ıts´eg´evel bonyolult (pl sok dimenzi´os) val´osz´ın˝ us´egi eloszl´asokb´ol lehet sztochasztikusan mintav´etelezni illetve integr´alokat k¨ozel´ıteni. A m´odszer l´enyege, hogy egy olyan Markov l´ancot konstru´alunk, amelynek az egyens´ ulyi eloszl´asa a mintav´etelezni k´ıv´ant π(x) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny ´es a l´anc sok l´ep´es ut´ani a´llapotait tekintj¨ uk a mint´aknak. 1. Kezdj¨ unk valamilyen x0 kezd˝oa´llapotb´ol 2. Egy tetsz˝oleges eloszl´as (proposal distribution) seg´ıts´eg´evel v´alasszunk egy javasolt u ´j a´llapotot. 3. Sz´am´ıtsuk ki az elfogad´asi ar´anyt (acceptance ratio) a =
π(x0 ) π(xt )
(a) Ha a ≥ 1 akkor fogadjuk el a javasolt u ´j a´llapotot, azaz xt+1 = x0 (b) Ha a < 1 akkor a val´osz´ın˝ us´eggel fogadjuk el az u ´j a´llapotot 4. Folytassuk a 2. l´ep´est˝ol. Az ´ıgy kapott xt a´llapotok az eloszl´as szerint magas val´osz´ın˝ us´eg˝ u ´allapotok k¨oz¨ott bolyonganak, de a 3.a miatt n´eha alacsonyabb val´osz´ın˝ us´eg˝ u ir´anyokba is l´epnek. A 3. pontban szerepl˝o ar´any az´ert el˝ony¨os, mert emiatt el´eg egy π(x)-el ar´anyos mennyis´eggel sz´amolnunk, mert a konstans szorz´o - pl egy nehezen kisz´amolhat´o a´llapot¨osszeg - kiesik. A programban a Metropolis-Hastings algoritmusnak egy speci´alis v´altozat´at haszn´aljuk, a Gibbs mintav´etelez´est, amikor π(x) Boltzmann eloszl´as, az u ´j ´alapotokat pedig u ´gy v´alasztjuk hogy egy v´eletlenszer˝ uen v´alasztott spint megford´ıtunk. ´ Eszrevehetj¨ uk hogy 2·J ·si,t ·(sibal ,t +sijobb t +sif elett ,t +sialatt ,t )-nek csak 5 f´ele k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´eke lehets´eges, ∆E/2J ∈ {4, 2, 0, −2, −4}. Ez´ert a Boltzmann faktornak is csak 5 lehets´eges ´ert´eke van, amelyeket ha el˝ore kisz´am´ıtunk akkor az exponenci´alis t¨obb sz´azmilli´o evalu´aci´ojt´ol k´ım´eljhetj¨ uk meg magunkat. 15
Szimul´ aci´ os eredm´ enyek Mivel az MCMC m´odszerek h´atr´anya hogy er˝osen korrel´alt mint´akat gener´alnak, ez´ert illik legal´abb N · N (itt 20*20) l´ep´est v´arni a mintav´etelez´esek k¨oz¨ott hogy a´tlagosan minden spinnek legyen es´elye megfordulni. A l´ep´eseket ez´ert u ´gy veszem hogy a metropolis friss´ıt´esek sz´ama NM f rissit = Nl´ep´esek · 20 · 20 A szimul´aci´ot hot startb´ol a megadott 100k l´ep´esig futtatva ´es a m´agnesezetts´eget az utols´o 1000 l´ep´esben m´erve a m´agnesezetts´eg az elm´eleti g¨orb´evel egy¨ utt: 1.0
È<M>È
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
T
16. ´abra. L´athat´o, hogy a f´azis´atalakul´as k¨ozel esik az elm´eleti ´ert´ekhez (kb 2.3), b´ar a pontos hely´et nem olyan egyszer˝ u meghat´arozni. A v´artakkal ellent´etben a Curie h˝om´ers´eklet felett sem 0 a m´agnesezetts´eg, de ez szerintem az´ert lehet, mert nagyon kev´es l´ep´es van amit nem dobunk el hanem a´tlagolunk, ´es mivel er˝osen korrel´altak a mint´ak ez´ert nagy a m´agnesezetts´eg ´atlag k¨or¨ uli sz´or´asa. Ez az alacsonyabb h˝om´ers´eklet melletti ´ert´ekekn´el (a Curie h˝om. alatt) kev´esb´e tud sz´orni mivel ott k¨ozel tart´ozkodik a f¨ uggv´eny a maximum´ahoz ami f¨ol´e nem tud menni. A m´asik ok ami miatt pont a kritikus h˝om´ers´eklet k¨or¨ ul a legrosszabbak az ´ert´ekek, a kritikus lelassul´as jelens´ege. Ez azt jelenti, hogy a kritikus h˝om´ers´eklethez tartva a relax´aci´os id˝o a v´egtelenbe tart, hab´ar itt a rendszer v´eges m´erete miatt a korrel´aci´os hossz legfeljebb L lehet, ´ıgy a f¨ uggetlen mint´akhoz a mintav´etelez´esek k¨oz¨ott L4 azaz 160000 l´ep´est k´ene v´arni a 400 helyett, illetve legrosszabb esetben ennyi id˝o ut´an felejti el a rendszer a kezeti felt´etelt.
16
M
0.5
0.0
-0.5
0
200
400
600
800
1000
step
17. ´abra. Az ´atlagolt M(t) T=2.5 mellett. L´athat´o hogy a mint´ak er˝osen korrel´altak. 1.0
M
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
20 000
40 000
60 000
step
18. ´abra. M(t) T=2.2 mellett.
17
80 000
100 000
0.6 0.4
M
0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 0
5000
10 000
15 000
20 000
step
19. ´abra. M(t) T=2.9 mellett. Egy´ebk´ent j´oval kevesebb l´ep´esn´el is el´eg j´o egyez´est kapunk az elm´eleti g¨orb´evel, az ´abr´an az 5000 ´es 10000 l´ep´esig futtatott ´atlagolt m´agnesezetts´eg (itt az utols´o 80%-´ara a´tlagoltam a l´ep´eseknek ´es jobbak is lettek a magas h˝om´ers´eklet˝ u ´ert´ekek, ami al´at´amasztja hogy t´enyleg ez lehetett az egyik gond az el˝obbi szimul´aci´on´al). 1.0
È<M>È
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
T
´ 20. a´bra. Atlagos m´agnesezetts´eg 5000 ´es 10000 l´ep´es mellett, az utols´o 80%-ra a´tlagolva.
2.3.
Ising model m´ as topol´ ogi´ akon
A k¨ ul¨onb¨oz˝o gr´af topol´ogi´akat kiss´e k¨ ul¨onb¨oz˝o friss´ıt´esi m´odszerrel volt c´elszer˝ u vizsg´alni, ´ıgy az utols´o k´et feladatot o¨sszevontam. Az u ´j friss´ıt´esi m´odszert a Phase 18
Transitions on Fixed Connected Graphs and Random Graphs in the Presence of Noise 3 c´ım˝ u cikkre alapoztam, mivel ez k¨onnyen a´ltal´anos´ıthat´o b´armilyen topol´ogi´ara. Itt a friss´ıt´esi szab´aly a k¨ovetkez˝o: xi (k + 1) = sign[vi (k) + ξi (k)] ahol ξi (k) ∼ U nif orm[−ν, ν], vi (k) pedig a szomsz´edos spinek a´tlagos ´ert´eke. A ν zajszint a h˝om´ers´eklettel anal´og mennyis´eg ebben a rendszerben, a rendparam´eternek pedig itt is a m´agnesezetts´eget tekintettem 2.3.1.
Erd˝ os-R´ enyi gr´ afokon
A cikk a´ll´ıt´as szerint bebizony´ıthat´o, hogy Erd˝os-R´enyi topol´ogi´an ha egy adott ν zajszintet ´atl´ep¨ unk, akkor a m´agnesezetts´egnek szakad´asa lesz, νc = 1-n´el. Ezt az eredm´enyt nekem is siker¨ ult igazolni, att´ol eltekintve hogy u ´gy tal´altam hogy a kritikus zajszint konnektivit´asf¨ ugg˝o. Egy m´asik, analitikus m´odszereket alkalmaz´o tanulm´anyban4 HN (σ) =
K X
σiν σjν
ν=1
ahol K ∼ P oisson(αN ), ahol α a konnektivit´as m´ert´eke, K a foksz´amot adja meg. Nulla h˝om´ers´eklet mellett a konnektivit´as f¨ uggv´eny´eben van egy f´azis´atalakul´as, αc = 1/2 alatt a m´agnezettss´eg 0, felette pedig null´at´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o. Az is bebizony´ıthat´o hogy a magas-h˝om´ers´eklet˝ u limitben a m´agnesezetts´eg 0, ´ıgy α > αc eset´en kell hogy legyen f´azis´atalakul´as M(T)-ben. Azt a jelens´eget hogy a konnektivit´as adott szintje felt´etele a f´azis´atalakul´asnak az ´en szimul´aci´omban is meg lehetett figyelni, viszont a kritikus αc n´alam j´oval kisebbnek ad´odott, 0.01 k¨or¨ ul 0.5 helyett. 3 Phase Transitions on Fixed Connected Graphs and Random Graphs in the Presence of Noise, Jialing Liu et al, 2008, http://arxiv.org/pdf/0808.3230.pdf 4 Mean field dilute ferromagnet I. High temperature and zero temperature behavior, Luca De Sanctis, Francesco Guerra, 2013, http://arxiv.org/pdf/0801.4940v4.pdf
19
1.0
È<M>È
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
T
21. ´abra. F´azis´atalakul´as α = 0.1-n´el. 1.0
0.8
È<M>È
0.6
0.4
0.2
0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
Ν
22. ´abra. M´agnesezetts´eg g¨orb´ek. Balr´ol jobbra α ´ert´eke 0.001, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3. 2.3.2.
Sk´ alaf¨ uggetlen gr´ afokon
´ itt is az el˝obbi model keretei k¨oz¨ot vizsg´altam a Barab´asi-Albert top´ol´ogi´at, ´ıgy En az irodalmi eredm´enyeket csak kvalitat´ıvan tudtam igazolni, a sz´am´ert´ekeket nem. Megfigyelhet˝o volt hogy a konnektivit´as f¨ uggv´eny´eben (m:h´any ´elet adunk hozz´a a gr´afhoz l´ep´esenk´ent) egy´ertelm˝ uen megjelenik a f´azis´atalakul´as, a kritikus zajszint az el˝obbihez hasonl´oan egy k¨or¨ ul van.
20
1.0
È<M>È
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
Ν
23. a´bra. Saj´at eredm´enyek a Jialing et al cikk modellje alapj´an. A k´ek, lila, s´arga gr´afokban m ´ert´eke rendre 1,3 ´es 6. Irodalmi adatok a k¨ ul¨onb¨oz˝o kitev˝oj˝ u hatv´anyeloszl´as´ u gr´af topol´ogi´aj´ u Ising modell 5 kritikus h˝om´ers´ekleteir˝ol
A k¨ovetkez˝o a´bra forr´asa6 . 5
Ising Model on Networks with an Arbitrary Distribution of Connections, Dorogovtsev et al., 2002, http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0203227v3.pdf 6 Ferromagnetic Phase Transition in Barab´asi-Albert Networks, Aleksiejuk et al., 2001, http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0112312v1.pdf
21
24. a´bra. M´agnesezetts´eg a h˝om´ers´eklet f¨ uggv´eny´eben, k¨ ul¨onb¨oz˝o m-ekn´el (a BA modell param´etere). Az ´abra forr´asa fent.
22
