Pembelajaran M a t e m a t i k a .... “ Dia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya, serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya…”
(QS Yunus:5 )
Pendahuluan Luas Sifat : - Luas daerah rata adalah bilangan riil tak negatif - Lpersegipanjang=panjang x lebar (satuan sama) - Daerah kongruen mempunyai luas yang sama - Luas gabungan daerah yang hanya berimpit satu ruas garis = Luas kedua daerah - Jk daerah 1 ada di daerah 2 maka Luas daerah daerah = Luas d2 kurang/samadg Luas d1
Beberapa jumlah khusus yang dibutuhkan dalam penghitungan Luas n
n(n 1) i 1 2 3 n 2 i 1
n
n(n 1)( 2n 1) i 1 2 3 n 6 i 1
2
2
2
2
2
n
n(n 1) i 1 2 3 n 2 i 1
n
3
3
3
3
2
3
3 2 n ( n 1 )( 6 n 9 n n 1) 4 4 4 4 4 i 1 2 3 n 30 i 1
Pendahuluan
Pilar-pilar jembatan membentuk partisi-partisi yang akan dijadikan pijakan dalam menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.
Luas sebagai limit
Menentukan luas daerah dengan
Y
limit jumlah dapat diilustrasikan oleh gambar di samping.
Langkah :
y sin x X
1) Partisi 2) Aproksimasi,
3) Jumlahkan dan 4) Hitung limitnya.
y
Langkah menghitung luas daerah
y f(x)
dengan limit jumlah adalah: 1. Bagilah interval menjadi selang yang sama panjang. Li
2. Partisilah daerah tersebut. 3. Masing-masing partisi buatlah persegi panjang. 4. Perhatikan persegi panjang pada interval [xi-1 , xi].
f (x i )
x 0
xi a x
y
y f(x)
5. Tentukan luas persegi panjang ke-i (Li) 6. Jumlahkah luas semua persegi panjang
Li
f (x i )
7. Hitung nilai limit jumlahnya
x
xi a
0
x
Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x Jumlah luas persegi panjang :L f(xi) x Limit jumlah : L = lim f(xi) x
(n∞)
Contoh 1.
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 dengan menggunakan cara limit jumlah.
Jawab
Langkah penyelesaian: 1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n. 2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar. 3. Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya. x0 = 0 x1 = 3/n x2 = (3/n) × 2 = 6/n Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n
Li
xi 12
n3
27 L i 3 i 12 n
3(i 1) 2 n
3 n
f(x) x 2
y
x i 12 Li
0
x1
x2
x3
xi
xi+1 3
3/n
x
4. Jumlahkan luas semua partisi
L
n 1
i 0
27 2 i 1 n3
27 L 3 12 2 2 ... n 2 n
n
2 k
L
27 1 n(n 1)(2n 1) n3 6
L
9 (1 n1 )(2 n1 ) 2
k 1
n ( n 1)( 2 n 1) 6
f (x) x 2
y
x i 12
5. Tentukan limitnya
Li
9 L lim (1 n1 )(2 n1 ) n 2 L
9 (1 0)(2 0) 9 2
Jadi luas daerah = 9 satuan
0
x1
x2
x3
xi 3/n
x xi+1 3
Integral Tentu
Perhatikan gambar di bawah y
Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian (lebar tidak harus sama) dengan lebar selang ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada selang [xi-1, xi] diambil titik sampel xk maka jumlah Riemann dituliskan sebagai :
f (x k ) Δx k
x 0
a
n
k 1
b xi-1 xk xi xi
Selanjutnya didefinisikan bahwa:
b
f (x) dx lim
a
Bentuk
b
f ( x) dx
a
disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)
n
f (x k ) Δx k
n k 1
Teorema Dasar Kalkulus
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F
adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : b
f ( x) dx F(b) F(a)
a Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Contoh 2. 2
Hitunglah nilai dari
1
Jawab
2
6x
1
2
6 x 2 4 x dx
2
4 x dx = 2x 3 2x 2 1 = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2] = 16 – 8 + 2 - 2 = 8
F(x) ab
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
y
Berubah Menjadi
Jumlah Luas Partisi
Integral y
f (x)
f (x)
Tentukan limitnya
n
n
i 1
b
f ( x) dx
f (xi )xi
a
x
x 0
a
x
b
b
a
0
n
L f (x) dx lim f (xi ) xi a
n i 1
b
Menghitung Luas dengan Integral
Kegiatan pokok dalam menghitung
y
xi
y f(x)
Li
f (xi )
luas daerah dengan integral tentu
adalah: 1. Gambar daerahnya. 2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi x
Li f(xi) xi
0
4. Jumlahkan luas partisi L f(xi) xi
L
a
0
f (x) dx
5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi
6. Nyatakan dalam integral
xi
a
Menghitung Luas dengan Integral Contoh 3.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 Jawab
Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya
f(x) x 2
y xi
2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi 4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi 5. Ambil limit jumlah luasnya
xi 2
L = lim xi2 xi
Li
6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya
x 0
3
L x 2 dx 0
3
x3 L 3 0
33 3
0 9
xi
3
Contoh 4.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5 Jawab
Langkah penyelesaian: y
1. Gambar dan Partisi daerahnya
xi
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan Aj -(4xj - xj
2)x
j
Li
4. Jumlahkan : L (4xi - xi A -(4xj - xj
4 xi xi 2
2)x
2)x
i
dan 0
j
xj
5. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi dan A = lim -(4xj - xj2)xj
4 xi 0 (4 x x 2 )
5
xj
Aj
6. Nyatakan dalam integral 4
2
L (4 x x ) dx 0
5
A (4 x x 2 ) dx 4
f(x) 4 x x 2
x
4
L (4 x x 2 ) dx 0
L 2x 2
1 3
x3
y
xi
4
0
L 2(4)2 31 (4)3 0 32
4 xi xi 2
64 3
Li
xj
5
A (4 x x 2 ) dx 4
A 2x 2
1 3
x3
0
4
64 A 50 125 32 3 3
61 3
18
Luas daerah 32 64 61 18 3 3 Luas daerah 13
xi
5
A 2(5)2 31 (5)3 2(4)2 31 (4)3
A
4
0 (4 x x 2 )
5
xj
Aj
f(x) 4 x x 2
x
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada
selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
y x
y f(x)
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya :
L = lim [ f(x) – g(x) ] x 6. Nyatakan dalam integral tertentu
L
b
a
f(x) g(x)dx
f(x) g(x)
Li 0
a
x
b x
y g(x)
Contoh 5.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x Jawab
1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 y 2x 3. Partisi daerahnya x 4. Aproksimasi luasnya Li (2 - x - x2)x 4. Jumlahkan luasnya (2 x) x 2 Li 2 L (2 - x - x )x 5. Tentukan limit jumlah luasnya L = lim (2 - x - x2)x -3 -2 -1 x 6. Nyatakan dalam integral tertentu 1
L (2 x x 2 ) dx 2
y 5 4
3
y x2
2 1 x 0
1
2
1
L (2 x x 2 ) dx 2
L 2 x L 2(1)
L 2
1 2
L 2
x 2
12 2
1 3
1 2
x3 3
13 3
1
2
1 2
4 2 42
4
4
2(2) (2)2 (2)3 2 3
3
(2 x) x 2
1 2
Li
y x2
2 1
8 3
x -3
L 5
5 x
8 3
1 3
y
y 2x
-2
-1
x
0
1
2
Untuk kasus tertentu
y g(x)
y
y f(x)
pemartisian secara vertikal
x
menyebabkan ada dua bentuk
x
integral. Akibatnya diperlukan
Ai
waktu lebih lama untuk
0
Li
f(x) g(x)
x
a
b 2 f ( x)
menghitungnya.
a
b
0
a
Luas daerah = 2 f ( x)dx f (x) g(x)dx
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan
diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
y g(x) x g(y) y
y f ( x) x f ( y )
d g(y) f(y) Li
y x
0
c
Luas daerah =
d
g(y ) f (y ) dy
c
Contoh 6.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Jawab
1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (6 - y - y2)y 4. Jumlahkan luasnya L (6 - y - y2)y 5. Tentukan limitnya L = lim (6 - y - y2)y 6. Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah =
6 y y 2 dy
2 0
y 6
(6 y) y 2
x y2
2 Li
y
y 6
0
x
x 6y
Luas daerah =
2 6 y y dy
2 0
Luas daerah =
6 y
y y3 2 3
0
2 23 0 6 ( 2 ) Luas daerah = 2 3
Luas daerah =
12
y
2 6
(6 y) y 2
1 8 3
2 Li
y
y 6
0
25 Luas daerah = 3
x y2
x
x 6y
