DERET UMUM TAYLOR. Stephanus Ivan Goenawan. Atma Jaya University, Jln. Jenderal Sudirman no.1, Jakarta

DERET UMUM TAYLOR Stephanus Ivan Goenawan Atma Jaya University, Jln. Jenderal Sudirman no.1, Jakarta [email protected]

ABSTRACT This paper describes the Taylor general series which is a general form of the Taylor series that we have known. And using the Taylor general series Taylor or SIG-Taylor series we can solve new problems on times series in functions more easily. Keywords: Taylor general series

ABSTRAK Makalah ini membahas tentang deret umum Taylor, yaitu bentuk umum dari deret Taylor yang kita ketahui. Dengan memakai deret umum Taylor atau seri SIG-Taylor, kita dapat mencari solusi terhadap masalah fungsi deret bertingkat dengan lebih mudah. Kata kunci: deret umum Taylor

92

Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: 92-103

PENDAHULUAN Deret umum Taylor merupakan perkembangan lebih lanjut dari deret Taylor. Suatu fungsi yang dibangun dari deret Taylor harus mempunyai basis fungsi-basis fungsi yang berbentuk (α ⋅ i + a ) k , di mana nilai i dan k adalah bilangan integer positip. Apabila fungsi yang telah berhasil dibangun oleh deret Taylor tersebut kita deretkan secara bertingkat tentu saja akan menghadapi kendala tidak efisien (membutuhkan waktu lama) bila dilakukan secara berurutan. Dengan maksud agar hasil akhir diperoleh dengan cara yang lebih efisien, maka pada paper ini penulis mengembangkan deret umum Taylor atau dapat juga disebut sebagai deret SIG-Taylor. Deret SIG-Taylor ini dibangun dari basis fungsi-basis fungsi yang berbentuk deret bertingkat j berderajat t

satu

∑

u + i −1

j , di mana nilai i , u dan t adalah bilangan integer positip. Tentu saja bila fungsi

j =1

tersebut tidak kita deretkan, maka hasil akhirnya akan sama dengan fungsi yang dibangun dengan deret Taylor. Itulah alasan lain dari penulis mengapa memberanikan diri menamai permasalahan deret pada paper ini sebagai deret umum Taylor.

DERET UMUM TAYLOR Sebelum membahas deret umum Taylor ada baiknya kita kembali mengingat bentuk suatu fungsi yang dibangun oleh deret Taylor. Misalkan terdapat suatu fungsi f (α .i. + a ) , di mana α & a merupakan suatu parameter real dan i adalah bilangan integer positip, maka model deret Taylor yang akan dibangun sampai basis fungsi i berderajat β adalah berbentuk β

f (α .i. + a) ≅ ∑ c j ⋅ (α .i. + a) j j =0

≅ c0 + c1 ⋅ (α .i. + a) + c 2 ⋅ (α .i + a) 2 + c3 ⋅ (α .i + a) 3 + ......... + c β ⋅ (α .i + a ) β . (1) Nilai konstanta c j pada persaman di atas dapat ditentukan dengan menurunkan fungsi

f (α .i. + a) terhadap komponen (α .i ) sebanyak j kali, kemudian mensubstitusikan harga i = − a ,

α

hubungan persamaan tersebut adalah

cj =

1 ⎛ d j f (α .i + a ) ⎞ , ⋅⎜ j ⎟ (d (α .i) ) ⎠ (i =.− a ) j.! ⎝ α

(2a) atau

cj =

1 ⎛ d j f (α .i ) ⎞ ⋅ . ⎜ j ⎟ j (d .i ) ⎠ (i =.−a ) α ⋅ j.! ⎝ α

(2b)

Deret Umum Taylor (Stephanus Ivan Goenawan)

93

t

∑

Selanjutnya bila operator penjumlahan bertingkat

u

bekerja pada pers.(2.1) akan diperoleh hasil

i =1

t

∑

u

i =1

t

β

i =1

j =0

f (α .i + a) ≅ ∑ u ∑ c j ⋅ (α .i + a ) j t

t

i =1

i =1

t

t

i =1

i =1

≅ c 0 ⋅ ∑ u 1. + c1 ⋅ ∑ u (α .i + a) + c 2 ⋅ ∑ u (α ..i + a) 2 + c3 ⋅ ∑ u (α .i + a ) 3 + .. t

................... + c β ⋅ ∑ u (α .i + a ) β i =1

β

⎛ ⎞ ≅ .∑ c j ⋅ ⎜ ∑ u (α .i + a ) j ⎟. j =0 ⎝ i =1 ⎠ t

(3) di mana range : u dan t adalah bilangan integer positip u ≥ 0 dan t ≥ 1. Untuk menjabarkan fungsi (α .i + a ) j agar tersusun dari basis fungsi-basis fungsi (α .i) m , maka dibutuhkan Binomium Newton yang akan menghasilkan hubungan j ⎛ j⎞ (α .i + a ) j = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ a ( j − m ) ⋅ (α .i ) m , m =0 ⎝ m ⎠

(4) bila didefinisikan kembali

⎛ j⎞ s ( j , m) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ a ( j − m ) , ⎝m⎠ (5) maka pers.(4) dapat ditulis kembali menjadi j

(α .i + a ) = ∑ s ( j , m) ⋅ (α .i ) m . j

m =0

(6) Sehingga bila fungsi (α .i + a ) kita kenai operator penjumlahan bertingkat dihasilkan hubungan j

t

∑ i =1

u

t

j

i =1

m =0

(α .i + a) j = ∑ u ∑ s ( j , m) ⋅ (α .i ) m t

t

t

= s ( j ,0) ⋅ ∑ u 1. + s ( j ,1) ⋅ α . ⋅ ∑ u i. + s ( j ,2) ⋅ α .2 ⋅ ∑ u i 2 . + i =1

i =1

t

i =1

t

.s ( j ,3) ⋅ α .3 ⋅ ∑ u i 3 . + ......... + s ( j , j ) ⋅ α . j ⋅ ∑ u i j i =1

i =1

j

t

m=0

i =1

= ∑ s ( j , m) ⋅ α . m ⋅ ∑ u i m

(7) Selanjutnya bila pers.(1.5)-[13], disubstitusikan ke pers.(7) diperoleh hasil t

∑ i =1

u

j

m

m =0

i =1

(α .i + a ) j = ∑ s ( j , m) ⋅ α .m ⋅ ∑ k 0 (i, m) ⋅ g (i, u , t ) , (8)

94


dengan catatan bahwa 0

∑k i =1

t

u 0 (i , m) ⋅ g (i , u , t ) = ∑ 1 = g (0, u , t ) i =1

(9a) dan

k 0 (i, β ) = ( −1) β + i ⋅ c (i, β ) , (9b) di mana basis fungsi

⎛ u + i + t − 1⎞ ⎟⎟ g (i, u , t ) = ⎜⎜ ⎝ u+i ⎠ (9c)

dan konstanta c(i, β ) mempunyai hubungan [13] sebagai berikut

c(i, β ) = i ⋅ (c(i, ( β − 1) ) + c((i − 1), ( β − 1) )) , (9d)

dengan beberapa persyaratan, yaitu

c(1, β ) = 1 c(i, β ) = 0 c(i, β ) > 0

i>β 1≤ i ≤ β .

bila bila

(9e) Agar pers.(8) menjadi bentuk yang lebih sederhana yaitu dengan mengelompokkan komponenkomponen yang mempunyai basis fungsi yang sama, maka di bawah ini akan dilakukan prosesnya t

∑

u

i =1

(α .i + a ) j = s ( j ,0) ⋅ g (0, u , t ). + s ( j ,1) ⋅ α . ⋅ k 0 (1,1) ⋅ g (1, u , t ). + s ( j ,2) ⋅ α .2 ⋅ (k 0 (1,2) ⋅ g (1, u , t ). + k 0 (2,2) ⋅ g (2, u , t ) ). +

s ( j ,3) ⋅ α .3 ⋅ (k 0 (1,3) ⋅ g (1, u , t ). + k 0 (2,3) ⋅ g (2, u , t ). + k 0 (3,3) ⋅ g (3, u , t ) ). + ........................................................ ........................................................ ........................................................ s ( j , j ) ⋅ α . ⋅ (k 0 (1, j ) ⋅ g (1, u , t ). + k 0 ( 2, j ) ⋅ g ( 2, u , t ). + ........ + k 0 ( j , j ) ⋅ g ( j , u , t ) ) j

(10) basis fungsi-basis fungsi yang sama dikelompokkan menjadi satu menjadi t

∑ i =1

u

(α .i + a ) j = s ( j ,0) ⋅ g (0, u , t ). +

(

) g (2, u , t ) ⋅ (s ( j ,2) ⋅ α . ⋅ k (2,2) + s ( j ,3) ⋅ α . ⋅ k (2,3) + ...... + s ( j, j ) ⋅ α . ⋅ k (2, j ) ) + g (3, u , t ) ⋅ (s ( j ,3) ⋅ α . ⋅ k (3,3) + s ( j ,4) ⋅ α . ⋅ k (3,4) + ....... + s ( j , j ) ⋅ α . ⋅ k (3, j ) ) + g (1, u , t ) ⋅ s ( j ,1) ⋅ α ⋅ k 0 (1,1) + s ( j ,2) ⋅ α .2 ⋅ k 0 (1,2) + ...... + s ( j , j ) ⋅ α . j ⋅ k 0 (1, j ) + 2

j

3

0

0

3

0

4

0

j

0

0

........................................................ ........................................................ ........................................................

(

+ g ( j, u, t ) ⋅ s( j, j ) ⋅ α . j ⋅ k 0 ( j, j )


)

95

(11) disederhanakan menjadi j

t

∑

u

i =1

(α .i + a ) j = s ( j ,0) ⋅ g (0, u , t ). + g (1, u , t ) ⋅ ∑ s ( j , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (1, i ). + i =1

j

j

g ( 2, u, t ) ⋅ ∑ s ( j , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 ( 2, i ). + g (3, u , t ) ⋅ ∑ s ( j , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (3, i ). + i =2

i =3

........................................................ ........................................................ ........................................................ j

+ g ( j , u , t ) ⋅ ∑ s ( j , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 ( j , i ) i= j

(12) Atau t

∑

u

i =1

j

j

m =1

i =m

(α .i + a ) = s ( j ,0) ⋅ g (0, u , t ). + ∑ .g (m, u , t ) ⋅ ∑ s ( j , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (m, i ). j

(13) Langkah berikutnya kita akan mensubstitusikan pers.(13) dan (8)-[13] ke persamaan deret bertingkat pada suatu fungsi tertentu pers.(3), yaitu t

∑ i =1

u

f (α .i + a ) ≅ c 0 ⋅ g (0, u , t ). + 1 ⎛ ⎞ c1 ⋅ ⎜ s (1,0) ⋅ g (0, u , t ) + g (1, u , t ) ⋅ ∑ s (1, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (1, i ) ⎟. + i =1 ⎝ ⎠ 2 ⎛ ⎞ ⎜ s (2,0) ⋅ g (0, u , t ) + g (1, u , t ) ⋅ ∑ s (2, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (1, i ) + ⎟ i =1 ⎟. + c 2 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎜⎜ g (2, u , t ) ⋅ ∑ s (2, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (2, i ) ⎟⎟ i =2 ⎝ ⎠ 3 ⎛ ⎞ ⎜ s (3,0) ⋅ g (0, u , t ) + g (1, u , t ) ⋅ ∑ s (3, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (1, i ) + ⎟ i =1 ⎜ ⎟. + c3 ⋅ ⎜ 3 3 ⎟ ⎜⎜ g (2, u , t ) ⋅ ∑ s (3, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (2, i ) + g (3, u , t ) ⋅ ∑ s (3, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (3, i ) ⎟⎟ i =2 i =3 ⎝ ⎠ ................................................ ................................................ ................................................

β ⎞ ⎛ ⎜ s ( β ,0) ⋅ g (0, u , t ) + g (1, u, t ) ⋅ ∑ s ( β , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (1, i ) + ⎟ ⎟ ⎜ i =1 ⎟ ⎜ β i ⎟ ⎜ + c β ⋅ g (2, u , t ) ⋅ ∑ s ( β , i ) ⋅ α . ⋅ k 0 (2, i ) +.................... + ⎟ ⎜ i =2 ⎟ ⎜ β ⎟ ⎜ g ( β , u , t ) ⋅ s ( β , i ) ⋅ α .i ⋅ k ( β , i ) ∑ 0 ⎟ ⎜ β i = ⎠ ⎝

(14)

96


selanjutnya basis fungsi-basis fungsi yang sama dikelompokkan menjadi satu diperoleh hasil t

∑

u

i =1

f (α .i + a) ≅ g (0, u, t ) ⋅ (c0 + c1 ⋅ s (1,0) + c 2 ⋅ s(2,0) + ........ + c β ⋅ s ( β ,0) ) + 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ c1 ⋅ ∑ s(1, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (1, i ) + c 2 ⋅ ∑ s(2, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (1, i ) + ...... + ⎟ i =1 i =1 ⎜ ⎟ g (1, u, t ) ⋅ ⎜ β ⎟. + i ⎜⎜ c β ⋅ ∑ s( β , i ) ⋅ α . ⋅ k 0 (1, i ) ⎟⎟ i =1 ⎝ ⎠ 2 3 ⎛ ⎞ ⎜ c 2 ⋅ ∑ s (2, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (2, i ) + c3 ⋅ ∑ s(3, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (2, i ) + ...... + ⎟ i =2 i =2 ⎜ ⎟ g (2, u, t ) ⋅ ⎜ β ⎟. + i ⎜⎜ c β ⋅ ∑ s ( β , i ) ⋅ α . ⋅ k 0 (2, i ) ⎟⎟ i =2 ⎝ ⎠ 3 4 ⎛ ⎞ ⎜ c3 ⋅ ∑ s (3, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (3, i ) + c 4 ⋅ ∑ s (3, i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (3, i ) + ...... + ⎟ i =3 i =3 ⎜ ⎟ g (3, u , t ) ⋅ ⎜ β ⎟. + i ⎜⎜ c β ⋅ ∑ s( β , i ) ⋅ α . ⋅ k 0 (3, i ) ⎟⎟ i =3 ⎝ ⎠ ...................................................... ...................................................... ......................................................

β

g ( β , u, t ) ⋅ c β ⋅ ∑ s ( β , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 ( β , i ). i=β

(15) disederhanakan menjadi t

∑

u

i =1

β ⎞ ⎛ f (α .i + a ) ≅ g (0, u , t ) ⋅ ⎜⎜ c0 + ∑ .ci ⋅ s (i,0) + ⎟⎟ + g (1, u , t ) ⋅ i =1 ⎠ ⎝ j j ⎛ β ⎞ ⎛ β ⎞ ⎜ ∑ .c j ∑ s ( j , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (1, i ) ⎟. + g (2, u , t ) ⋅ ⎜ ∑ .c j ∑ s ( j , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (2, i ) ⎟. + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ j =1 i =1 ⎠ ⎝ j =2 i=2 j ⎛ β ⎞ g (3, u , t ) ⋅ ⎜⎜ ∑ .c j ∑ s ( j , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (3, i ) ⎟⎟. + .............................. ⎝ j = 3 i =3 ⎠

β

j

j=β

i=β

+ g ( β , u , t ) ⋅ ∑ .c j ∑ s ( β , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 ( β , i ). (16) atau t

∑ i =1

u

β ⎛ ⎞ f (α .i + a) ≅ ⎜⎜ c0 + ∑ ci ⋅ s (i,0) ⎟⎟ ⋅ g (0, u , t ). + . i =1 ⎝ ⎠ j β β ⎞ ⎛ ⎜ ∑ .c j ∑ s ( j , i ) ⋅ α i ⋅ k 0 (l , i ) ⎟ g (l , u , t ), ∑ ⎟ ⎜ l =1 ⎝ j =l i =l ⎠

(17)


97

bila kita definisikan konstanta-konstanta pada deret umum Taylor β

j

j =l

i =l

d l ( β ) = ∑ .c j ∑ s ( j , i ) ⋅ α .i ⋅ k 0 (l , i ) dan

β

d 0 ( β ) = c 0 + ∑ ci ⋅ s (i,0) i =1

(18) atau dengan mensubstitusikan pers.(5) ke pers.(18) diperoleh β j ⎛ j⎞ d l ( β ) = ∑ .c j ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ a j −i ⋅ α .i ⋅ k 0 (l , i ) j =l i =l ⎝ i ⎠

β

dan

d 0 ( β ) = c 0 + ∑ ci ⋅ a i i =1

(19) akhirnya kita mendapatkan formula deret umum Taylor untuk suatu fungsi f (α .i + a ) dari pers.(17), yaitu β

t

∑ i =1

u

f (α .i + a) ≅ ∑ d l ( β ) ⋅ g (l , u, t ) l =0

≅ d 0 ( β ) ⋅ g (0, u, t ) + d1 ( β ) ⋅ g (1, u, t ) + d 2 ( β ) ⋅ g (2, u , t ) + d 3 ( β ) ⋅ g (3, u, t ) + ...................... + d β ( β ) ⋅ g ( β , u, t ). (20) Konstanta-konstanta yang muncul pada deret umum Taylor d l ( β ) ternyata dapat diperoleh setelah kita terlebih dahulu mendapatkan nilai konstanta-konstanta dari deret Taylor cl . Keakuratan

nilai konstanta pada deret umum Taylor juga tergantung pada parameter β , semakin besar nilai β akan semakin akurat konstanta tersebut. Demikian juga hasil akhir yang diperoleh yaitu t

∑

f (α .i + a)

u

i =1

akan semakin akurat bila

1. nilai variabel maksimum (α .t ) tidak menyimpang jauh dari nilai -a. 2. nilai konstanta-konstanta pada deret Taylor d l .≤. β ( β ) semakin akurat dan 3. jumlah konstanta-konstantanya semakin banyak. Pada formula deret umum Taylor pers.(20) nilai variabel t merupakan bilangan integer positip untuk nilai u ≥ 1 , akan tetapi bila u = 0 maka range untuk nilai variabel t berubah menjadi bilangan real yang sesuai dengan deret Taylor. Bentuk formula deret umum Taylor pada nilai u = 0 adalah

t

∑ i =1

0

f (α ⋅ i + a ) = f (α ⋅ t + a ) ≅ d 0 + d1 ( β ) ⋅ t + d 2 ( β ) ⋅

t ⋅ (t + 1) + 2! β −1

t ⋅ (t + 1) ⋅ (t + 2) d3 (β ) ⋅ + ............. + d β ( β ) ⋅ 3!

98

∏ (t + k ) k =0

β .!

.


(21a) atau j −1

β

∏ (t + k )

j =1

j!

f (α ⋅ t + a ) ≅ d 0 + ∑ d j ( β ) ⋅

k =0

, (21b)

dengan nilai b0 = f (0) . Dari pers.(21) ternyata kita dapat mengetahui bahwa formula tersebut tersusun oleh deret Newton atau sering juga disebut sebagai interpolasi Newton. Apabila sebuah fungsi dapat dibangun dari deret Taylor, maka tentu saja fungsi tersebut juga dapat ditransformasikan ke deret Newton. Hal ini pasti dapat terjadi karena fungsi yang dibangun dari deret Newton, basis fungsi-basis fungsinya dapat diuraikan sehingga terbentuk basis fungsi-basis fungsi yang dimiliki oleh deret Maclaurin, sedangkan fungsi yang dibangun dari deret Taylor juga dapat diubah menjadi deret Maclaurin. Dengan metode interpolasi Newton pada pers.(21) konstanta-konstanta yang menyusun deret umum Taylor dapat juga diperoleh nilainya selain dengan cara pers.(19) yaitu

d 0 = f (a) ,

d1 = −( f (−α + a ) − d 0 ) (22a)

dan 1 2 ⎛ ⎞ (−l + k ) (−l + k ) ⎟ ⎜ ∏ ∏ ⎟ ⎜ f (−α ⋅ l + a ) − d − d ⋅ (−l ) − d ⋅ k =0 − d 3 ⋅ k =0 0 1 2 ⎜ ⎟ l! 2! 3! dl = ⎜ ⎟ ⋅ l −1 l −2 ⎜ ⎟ (−l + k ) (−l + k ) ∏ ⎜ ⎟ ∏ k =0 k =0 ⎜ − ....................... − d l −1 ⋅ ⎟ (l − 1)! ⎝ ⎠

(22b) atau j −1 ⎛ ⎞ ⎜ (−l + k ) ⎟ ∏ l −1 l.! ⎟⋅ d l = ⎜⎜ f (−α ⋅ l + a ) − d 0 − ∑ .d j ⋅ k =0 l −1 ⎟ ( j − 1)! j =1 ⎜ ⎟ ∏ (−l + k ) ⎝ ⎠ k =0

(22c) di mana rentang nilai l =2,3,4,….. (bil. Integer positip).

Selanjutnya tentu saja akan muncul pertanyaan untuk menentukan nilai konstanta deret umum Taylor cara mana yang paling baik? Secara analitik saya tidak menjabarkannya akan tetapi dari perhitungan numerik diperoleh hasil akhir ternyata cara Taylor pers.(19) lebih akurat dari pada cara interpolasi Newton pers.(22). Hasil akhir yang diperoleh bila jumlah nilai-nilai konstanta yang diperoleh dengan cara Taylor semakin banyak yang diketahui maka hasil yang didapat akan semakin akurat. Tetapi tidak demikian halnya bila menggunakan cara interpolasi Newton karena nilai-nilai konstanta yang diperolehnya ternyata digunakan untuk ekstrapolasi data. Sehingga kekurangan yang ada pada cara interpolasi Newton adalah semakin banyak konstanta yang diperoleh tidak menjamin hasil akhir akan menjadi semakin akurat. Tentu saja ada nilai plusnya bila menggunakan cara interpolasi Newton yaitu lebih mudah mencari nilai konstanta deret umum Taylor, nah persoalannya menjadi berkembang sampai sejauh mana jumlah konstanta yang dihasilkan dari intepolasi Newton sehingga hasil akhirnya paling baik untuk nilai variabel u dan t tertentu.


99

PEMBAHASAN 1.

Nilai Konstanta-Konstanta Penyusun Deret Umum Taylor pada Fungsi tertentu dengan Menggunakan Cara Taylor Pers.(19). Notasi bl ( β ) ≡ bl ; d l ( β ) ≡ d l , nilai β yang digunakan untuk mendapatkan harga konstanta

adalah β = 20 dan nilai variabel subcrip l dari 0 sampai 10.

Fungsi e

(

0.1⋅ x −π

4

)

d 0 = 0.924465250376256

d1 = 8.797450016183762 ⋅ 10 −2

d 6 = 6.8657485258 10387 ⋅ 10 −7

d 2 = 8.371880582396362 ⋅ 10 −3

d 7 = 6.5336235683 19202 ⋅ 10 −8

d 3 = 7.9668977211 54519 ⋅ 10 −4

d 8 = 6.2175648834 24227 ⋅ 10 −9

d 4 = 7.581505573884937 ⋅ 10 −5

d 9 = 5.9167952783 17175 ⋅ 10 −10

d 5 = 7.2147565585 6551 ⋅ 10 −6

d 10 = 5.6305751816 7697 ⋅ 10 −11

Fungsi e

(

−0.1⋅ x −π

4

)

d 0 = 1.081706423895329

d1 = −1.137640576893974 ⋅ 10 −1 d 2 = 1.1964670391 20487 ⋅ 10 −2 d 3 = −1.2583353695 15534 ⋅ 10 −3

d 4 = 1.32340286059008 ⋅ 10 −4

d 5 = −1.3918349383 21971 ⋅ 10 −5

Fungsi e

(

± j ⋅ x −π

4

)

, j≡

d 6 = 1.4638055827 30841 ⋅ 10 −6 d 7 = −1.5394977702 00608 ⋅ 10 −7

d 8 = 1.6191039386 7404 ⋅ 10 −8

d 9 = −1.7028264768 98294 ⋅ 10 −9 d 10 = 1.7908782387 95794 ⋅ 10 −10

−1

d 0 = 0.707106781186548 m 0.707106781186548 ⋅ j

d1 = 9.200651963458433 ⋅ 10 −1 ± 2.699544827129245 ⋅ 10 −1 ⋅ j d 2 = 0.195792484794786 ± 0.898305620122722 ⋅ j d 3 = −6.6589253567 07726 ⋅ 10 −1 ± 5.7770311174 13823 ⋅ 10 −1 ⋅ j

d 4 = −7.922289319347575 ⋅ 10 −1 m 2.947569955945584 ⋅ j d 5 = −0.116199487530586 m 0.802308803843091 ⋅ j d 6 = 6.2291242766 2968 ⋅ 10 −1 m 4.6234756792 11948 ⋅ 10 −1 ⋅ j d 7 = 6.5610489538 3349 ⋅ 10 −1 ± 2.5031997967 74191 ⋅ 10 −1 ⋅ j

100


Fungsi e

± j ⋅π

180

(

⋅ x −π

4

)

, j≡

−1

d 0 = 9.9990604980 15505 ⋅ 10 −1 m 1.3707354604 7048 ⋅ 10 −2 ⋅ j

d1 = 3.195168582798035 ⋅ 10 −4 ± 1.744867908373595 ⋅ 10 −2 ⋅ j

d 2 = −3.04461809249217 ⋅ 10 −4 ± 9.490429676775321 ⋅ 10 −6 ⋅ j d 3 = −2.1200184422 60832 ⋅ 10 −7 m 5.3121458012 40318 ⋅ 10 −6 ⋅ j d 4 = 9.267743866962537 ⋅ 10 −8 m 4.509007886372114 ⋅ 10 −9 ⋅ j d 5 = 9.2808261064 5209 ⋅ 10 −11 ± 1.6167575834 87752 ⋅ 10 −9 ⋅ j d 6 = −2.8202175309 90161 ⋅ 10 −11 ± 1.8659675037 41914 ⋅ 10 −12 ⋅ j d 7 = −3.6860951174 06863 ⋅ 10 −14 m 4.9191163003 50879 ⋅ 10 −13 ⋅ j d 8 = 8.5794275971 95148 ⋅ 10 −15 m 7.1823282543 65329 ⋅ 10 −16 ⋅ j

d 9 = 1.3841579564 56036 ⋅ 10 −17 ± 1.4962226708 73435 ⋅ 10 −16 ⋅ j d 10 = −2.6091604776 65223 ⋅ 10 −18 ± 2.6435706828 3831 ⋅ 10 −19 ⋅ j

2.

Nilai Konstanta-Konstanta Penyusun Deret Umum Taylor pada Fungsi Tertentu dengan Menggunakan Cara Interpolasi Newton Pers.(22). Notasi bl ( β ) ≡ bl ; d l ( β ) ≡ d l , nilai variabel subcrip l dari 0 sampai 10.

Fungsi e

(

0.1⋅ x −π

4

)

d 0 = 9.2446525037 62558 ⋅ 10 −1 d1 = 8.797450016183761 ⋅ 10 −2

d 6 = 6.8657485297 05229 ⋅ 10 −7

d 2 = 8.3718805823 96463 ⋅ 10 −3

d 7 = 6.5336235699 48688 ⋅ 10 −8

d 3 = 7.9668977211 56663 ⋅ 10 −4

d 8 = 6.2175635751 06055 ⋅ 10 −9

d 4 = 7.581505573917013 ⋅ 10 −5

d 9 = 5.9167459820 4861 ⋅ 10 −10

d 5 = 7.2147564562 64126 ⋅ 10 −6

d 10 = 5.6291860062 17424 ⋅ 10 −11

Fungsi e

(

−0.1⋅ x −π

4

)

d 0 = 1.081706423895329

d1 = −1.137640576893975 ⋅ 10 −1

d 6 = 1.4638055854 11038 ⋅ 10 −6

d 2 = 1.196467039120486 ⋅ 10 −2

d 7 = −1.5394977115 335 ⋅ 10 −7

d 3 = −1.2583353695 15473 ⋅ 10 −3

d 8 = 1.6191051832 59251 ⋅ 10 −8

d 4 = 1.3234028605 93514 ⋅ 10 −4

d 9 = −1.7027996790 37526 ⋅ 10 −9

d 5 = −1.3918349383 213599 ⋅ 10 −5

d 10 = 1.7914625338 733 ⋅ 10 −10


101

Fungsi e

(

± j ⋅ x −π

4

)

, j≡

−1

d 0 = 7.071067811865476 ⋅ 10 −1 m 7.071067811865475 ⋅ 10 −1 ⋅ j d1 = 9.200651963458437 ⋅ 10 −1 ± 2.699544827129282 ⋅ 10 −1 ⋅ j d 2 = 1.957929847894078 ⋅ 10 −1 ± 8.983056200803 ⋅ 10 −1 ⋅ j d 3 = −6.65892531152553 ⋅ 10 −1 ± 5.777031379058251 ⋅ 10 −1 ⋅ j d 4 = −7.922296894906835 ⋅ 10 −1 m 2.947604435771147 ⋅ 10 −1 ⋅ j d 5 = −1.161538007424211 ⋅ 10 −1 m 8.021389932434655 ⋅ 10 −1 ⋅ j d 6 = 6.215810542314477 ⋅ 10 −1 m 4.664814986671805 ⋅ 10 −1 ⋅ j d 7 = 6.78270023424381 ⋅ 10 −1 ± 3.08601952549593 ⋅ 10 −1 ⋅ j

Fungsi e

± j ⋅π

180

(

⋅ x −π

4

)

, j≡

−1

d 0 = 9.999060498015505 ⋅10 −1 m 1.370735460470748 ⋅10 −2 ⋅ j d1 = 3.195168582797612 ⋅ 10 −4 ± 1.744867908373595 ⋅ 10 −2 ⋅ j d 2 = −3.044618092492568 ⋅ 10 −4 ± 9.490429676774215 ⋅ 10 −6 ⋅ j d 3 = −2.120018441909011 ⋅ 10 −7 m 5.312145801253387 ⋅ 10 −6 ⋅ j d 4 = 9.267743883434321 ⋅ 10 −8 m 4.509007944797361 ⋅ 10 −9 ⋅ j d 5 = 9.280853863202765 ⋅ 10 −11 ± 1.616757436262439 ⋅ 10 −9 ⋅ j d 6 = −2.820188527152823 ⋅ 10 −11 ± 1.86570203730696 ⋅ 10 −12 ⋅ j d 7 = −3.663735981263017 ⋅ 10 −14 m 4.922728891187944 ⋅ 10 −13 ⋅ j d 8 = 8.9928064994663768 ⋅ 10 −15 m 1.054711873393899 ⋅ 10 −15 ⋅ j d 9 = 1.776356839400251 ⋅ 10 −15 ± 8.326672684688674 ⋅ 10 −17 ⋅ j

SIMPULAN Beberapa simpulan dari artikel ini ialah: Deret umum Taylor merupakan model deret yang lebih umum dari deret Taylor, Suatu fungsi yang dibangun oleh deret Taylor apabila dikenai operatot deret bertingkat dapat diselesaikan dengan menggunakan model deret umum Taylor, Basis fungsibasis fungsi yang menyusun deret umum Taylor adalah berupa deret bertingkat berderajat satu, Untuk mendapatkan nilai konstanta-konstanta penyusun deret umum Taylor perlu diketahui terlebih dahulu nilai konstanta-konstanta penyusun deret Taylor bila menggunakan pers.(19). Dengan menggunakan interpolasi Newton ternyata juga dapat diperoleh nilai konstanta penyusun deret umum Taylor yaitu pers.(22).

102


DAFTAR PUSTAKA Goenawan, S. I. (2005). Teori Keteraturan & Deret Umum Taylor (Deret SIG-Taylor), Hak Cipta 032193. Goenawan, S. I. (2002). Deret Garis Bertingkat dalam Teori Keteraturan, Metris. Vol.3, No.3 Jakarta, Unika Atma Jaya, p.50-57. Goenawan, S. I. (2003). Deret Bertingkat Berderajat Satu dalam Teori Keteraturan, Metris. Vol.4, No.1 Jakarta, Unika Atma Jaya, p.50-56. Goenawan, S. I. (2000). Metode Horisontal (Metris), Metris. Vol.1. Jakarta, Unika Atma Jaya , p.1-8. Goenawan, S. I. (2010). Algoritma Jumlahan Data Diskrit Simetris dengan menggunakan Deret SIGMaclaurin dan Aplikasinya pada kebutuhan batang baja untuk pagar suatu Jembatan., Prosiding Seminar Ritektra 2010 Jakarta, Unika Atma Jaya.


103

DERET UMUM TAYLOR. Stephanus Ivan Goenawan. Atma Jaya University, Jln. Jenderal Sudirman no.1, Jakarta

Recommend Documents