KAJIAN ANTRIAN TIPE M/M/∞ DENGAN SISTEM PELAYANAN FASE CEPAT DAN FASE LAMBAT QUEUES ANALYSIS M/M/ ∞ TYPE WITH SLOW AND FAST PHASE SERVICE SYSTEM
Oleh: Erida Fahma Nurrahmi NRP. 1208 100 009 Dosen Pembimbing: Dra. Laksmi Prita W, M.Si. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2012
Permasalahan dalam Antrian
Jumlah Pelayanan yang Terbatas
Jumlah Pelanggan Tak Terbatas
Kondisi pelayanan yang semakin lambat
Sistem tidak segera diubah ke kondisi normal sebelum pewaktu individu habis
Rumusan Masalah 1. Bagaimana karakteristik khusus sistem antrian tipe M/M/∞ yaitu probabilitas server menganggur pada fase cepat dan fase lambat dalam sistem. 2. Bagaimana karakteristik khusus sistem antrian tipe M/M/∞ yaitu ekspekasi jumlah pelanggan dalam sistem.
Batasan Masalah 1. Teori Antrian yang digunakan adalah Model M/M/c untuk c= ∞ atau disebut kasus self server 2. Sistem berjalan dalam dua fase/kondisi yaitu kondisi normal atau disebut fase cepat (dinotasikan = 1) dan fase lambat (dinotasikan = 0) 3. Kedatangan pelanggan diasumsikan mengikuti proses Poisson 4. Sistem antrian diasumsikan dalam kondisi tunak (steady state) 5. Tiap pelanggan yang meninggalkan sistem ini, tidak akan kembali lagi 6. Simulasi model antrian dilakukan dengan menggunakan bantuan software Matlab 7. Karakteristik khusus dari teori antrian yang diasumsikan terdiri dari jumlah pelanggan dalam sistem, probabilitas (proporsi waktu) server menganggur pada fase cepat dan probabilitas (proporsi waktu) server menganggur pada fase lambat.
Tujuan 1. Mendapatkan karakteristik khusus dari sistem antrian tipe M/M/∞ yaitu probabilitas server menganggur pada fase cepat dan fase lambat. 2. Mendapatkan karakteristik khusus dari sistem antrian tipe M/M/∞ yaitu ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem.
Manfaat Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk memperoleh pengalokasian waktu pelayanan yang optimal dan memprediksi jumlah pelanggan dalam sistem sehingga dapat meningkatkan pelayanan antrian dan memberikan metode pendukung keputusan, termasuk penetapan biaya dan juga untuk jasa perencanaan di dalam perusahaan.
Sistem Antrian
Sistem antrian adalah tempat terjadinya pelanggan (customer) tiba menurut proses kedatangan (arrival process) untuk menerima pelayanan dari fasilitas pelayanan Disiplin Antrian
Struktur Antrian
First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO) Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO) Service In Random Order (SIRO)
Single Channel – Single Phase Single Channel – Multi Phase Multi Channel – Single Phase Multi Channel - Multi Phase
Priority Service (PS) Notasi Kendall : (a/b/c) : (d/e/f) Dengan: a : distribusi kedatangan pelanggan, b : distribusi waktu pelayanan,
c : jumlah pelayan dalam sistem, e : kapasitas sistem, d : disiplin antrian, f : ukuran sumber pemanggilan. untuk tiga parameter terakhir jika tidak dituliskan adalah e = ∞, d adalah FCFS dan f = ∞.
Proses Stokastik Proses stokastik adalah suatu kumpulan/himpunan dari peubah acak dengan T adalah himpunan indeks disebut parameter Space, dan nilai-nilai yang diasumsikan oleh peubah acak X(t) disebut state, dan S adalah ruang sample dari peubah acak, disebut state space.
Diagram Laju Transisi Diagram transisi untuk sistem antrian tipe M/M/∞ dengan sistem pelayanan pada fase lambat dan fase cepat, yaitu : dengan:
Proses Poisson
Birth and Death Process (Proses Input-Output) Bentuk model antrian yang paling sederhana tergantung pada proses kelahiran dan kematian (birth and death process) dengan kondisi suatu proses kelahiran mendiskripsikan waktu antar kedatangan ke suatu antrian dan proses kematian mendeskripsikan pelayanan atau waktu kejadian pada antrian
Balance Equation
Probability Generating Function
Sifat-sifat probability generating function :
Aturan L’Hopital
Kummer Function
Metode penelitian yang digunakan pada Tugas Akhir ini yaitu : 1. Studi Literatur 2. Analisis Model 3. Penyelesaian Karakteristik Khusus Sistem Antrian 4. Simulasi Numerik 5. Penarikan Kesimpulan
Deskripsi dan Analisa Mekanisme Sistem Antrian Tipe M/M/∞
Sistem Persamaan Beda Diferensial untuk Fase Lambat (j=0) pada Saat n Pelanggan
Sistem Persamaan Beda Diferensial untuk Fase Lambat (j=0) pada Saat 0 Pelanggan
Sistem Persamaan Beda Diferensial untuk Fase Cepat (j=1) pada Saat n Pelanggan
Dengan cara yang sama untuk mendapatkan persamaan beda diferensial pada fase lambat untuk n pelanggan, maka didapatkan:
Sistem Persamaan Beda Diferensial untuk Fase Cepat (j=1) pada Saat 0 Pelanggan
Persamaan Keseimbangan Sistem Antrian
Probabilitas Steady-State pada Sistem Antrian
Probability Generating Function Sistem Antrian Tipe M/M/∞
Lanjutan…
Ekspektasi Jumlah Pelanggan dalam Sistem
Probabilitas Server Menganggur dalam Sistem
Simulasi Numerik Perubahan besar probabilitas terhadap laju kedatangan pada fase cepat 0.7 P00 P10
0.6
Besar Probabilitas
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
3
3.5
4
6 5.5 5 4.5 Laju Kedatangan pada Fase Cepat
6.5
7
Pada grafik perubahan besar probabilitas server menganggur terhadap λ (laju kedatangan pada fase cepat) menunjukkan bahwa probabilitas server menganggur pada fase lambat dan fase cepat akan semakin menurun apabila parameter λ (laju kedatangan pada fase cepat) bertambah karena jumlah pelanggan pada fase cepat semakin bertambah. Untuk nilai ekpektasi jumlah pelanggan pada tabel akan terus bertambah apabila pelanggan yang datang semakin bertambah.
Perubahan besar probabilitas terhadap laju kedatangan pada fase lambat 0.65 P00 P10
0.6 0.55 0.5 Besar Probabilitas
Pada grafik perubahan besar probabilitas server menganggur terhadap λ0 (laju kedatangan pada fase lambat) menunjukkan bahwa probabilitas server menganggur pada fase lambat dan fase cepat akan semakin menurun apabila parameter λ0 (laju kedatangan pada fase lambat) bertambah karena jumlah pelanggan pada fase lambat semakin bertambah. Untuk nilai ekpektasi jumlah pelanggan pada tabel akan terus bertambah apabila pelanggan yang datang semakin bertambah.
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2
2
2.5
5 4.5 4 3.5 3 Laju Kedatangan pada Fase Lambat
5.5
6
Perubahan besar probabilitas terhadap laju pelayanan pada fase cepat 0.7 P00 P10
0.6
Besar Probabilitas
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
2.5
3
3.5 4 4.5 5 Laju Pelayanan pada Fase Cepat
5.5
6
Pada grafik perubahan besar probabilitas server menganggur terhadap µ (laju pelayanan pada fase cepat) menunjukkan bahwa probabilitas server menganggur pada fase lambat dan fase cepat akan semakin naik apabila parameter µ (laju pelayanan pada fase cepat) bertambah karena jumlah pelayanan pada fase cepat semakin bertambah. Untuk nilai ekpektasi jumlah pelanggan pada tabel akan terus bertambah apabila pelanggan yang datang lebih besar dari jumlah pelayanan.
Perubahan besar probabilitas terhadap laju pelayanan pada fase lambat 0.022 P00 P10
0.02 0.018
Besar Probabilitas
Pada grafik perubahan besar probabilitas server menganggur terhadap µ0 (laju pelayanan pada fase lambat) menunjukkan bahwa probabilitas server menganggur pada fase lambat dan fase cepat akan semakin naik apabila parameter µ0 (laju pelayanan pada fase lambat) bertambah karena jumlah pelayanan pada fase lambat semakin bertambah. Untuk nilai ekpektasi jumlah pelanggan pada tabel akan terus bertambah apabila pelanggan yang datang lebih besar dari jumlah pelayanan.
0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004
1
1.5
2
2.5 3 3.5 4 Laju Pelayanan pada Fase Lambat
4.5
5
Perubahan besar probabilitas terhadap Laju Transisi Waktu dari Fase Cepat ke Fase Lambat 1.5 1.45
Grafik ekspektasi jumlah pelanggan semakin turun yang artinya bahwa apabila laju transisi waktu dari fase cepat ke fase lambat bertambah maka ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem berkurang karena sistem berjalan semakin lambat dari kondisi normal.
Besar Ekspektasi
1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1
1
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 Laju Transisi Waktu dari Fase Cepat ke Fase Lambat
5
Perubahan besar probabilitas terhadap Laju Transisi Waktu dari Fase Lambat ke Fase Cepat 1.9 1.85 1.8
Besar Ekspektasi
Grafik antara ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem antrian terhadap laju transisi waktu dari fase lambat ke fase cepat yang berbeda-beda. Pada grafik tersebut menunjukkan bahwa grafik ekspektasi jumlah pelanggan semakin naik yang artinya bahwa apabila laju transisi waktu dari fase lambat ke fase cepat bertambah maka ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem juga bertambah karena sistem kembali ke kondisi normal.
1.75 1.7 1.65 1.6 1.55 1.5
1
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Laju Transisi Waktu dari Fase Lambat ke Fase Cepat
5
Perubahan besar probabilitas terhadap Individual Timer yang Dihidupkan Pelanggan Sejak Masuk Antrian 1.5 1.45
Grafik ekspektasi jumlah pelanggan semakin turun yang artinya bahwa apabila nilai individual timer yang dihidupkan pelanggan sejak masuk antrian bertambah maka ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem berkurang.
1.4
Besar Ekspektasi
1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1
1
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Individual Timer yang Dihidupkan Pelanggan Sejak Masuk Antrian
5
[1] [2] [3] [4] [5]
Kakiay, T.J. 2004. Dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata. Penerbit Andi:Yogyakarta. Perel, N. and Yechiali, U. February. 2009. “Queues with slow servers and impatient customers”. European Journal of the Operational Research vol 201 (2010), Hal. 247-258. Lasono, Eka S. 2009. Model Antrean Perencanaan dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit. Jurusan Matematika ITS, Surabaya. Nugroho, R.D. 2009. Analisis Waktu Pelayanan Bongkar Muat dalam Menghadapi Peningkatan Arus Muatan. Jurusan Matematika ITS, Surabaya. Abadi, R. 2010. Simulasi Antrian Pelayanan Bongkar Muat Kapal Kontainer. Jurusan Matematika ITS, Surabaya.
[11] [12] [13]
Al Hamzany, I.K. 2010. Analisis Antrian Tipe M/M/1 dengan Sistem Pelayanan yang Lambat dan Pelanggan yang Tidak Sabar. Jurusan Matematika ITS, Surabaya. Setiawan, B. 2011. Analisis Antrian Tipe M/M/c dengan Sistem Pelayanan yang Lambat dan Pelanggan yang Tidak Sabar. Jurusan Matematika ITS, Surabaya. Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional : Teori dan Praktek. Universitas Indonesia Press. Jakarta Lasono, E.S. 2009. Model Antrean Perencanaan dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit. Jurusan Matematika ITS, Surabaya. Subagyo, P, dkk. 2000. Dasar – Dasar Operations Research. BPFE. Yogyakarta Publishing Coop. Ross, S.M. 1996. Stochastic Processes second edition. Canada: John Wiley & Sons. Hiller, F, dkk. 2004. Pengantar Riset Operasi. Erlangga:Jakarta. Haryono, dkk. 2007. Laporan Modul Ajar: Proses Stokastik. Jurusan Statistika ITS, Surabaya
[14]
Stordahl, K. 2007. The History Behind The Probability and The Queuing Theory. ISSN 0085-7130 ©Telenor ASA
[15]
Allen, L.J.S. 2003. an Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. New Jersey: Pearson Education, Inc
[16]
Adan, I. dan Resing, J. 2002. Queueing Theory. Departement of Mathematics and computing science Eindhoven University of Technology. The Netherland http://en.wikipedia.org/wiki/Confluent_hypergeometric_function (25 Mei 2012 09.28 WIB) Dosen-dosen Jurusan Matematika. 2005. Kalkulus II. Jurusan Matematika FMIPA ITS, Surabaya.
[6] [7] [8] [9] [10]
[17] [18]
