10/5/2014
TKS 4008 Analisis Struktur I
TM. IX : DEFORMASI BALOK SEDERHANA Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
Pendahuluan • Pada prinsipnya tegangan pada balok akibat beban luar dapat direncanakan tidak melampaui suatu nilai tertentu, misalnya tegangan ijin. Perancangan yang berdasarkan batasan tegangan ini dinamakan perancangan berdasarkan kekuatan (design for strength). • Pada umumnya lendutan/defleksi balok perlu ditinjau agar tidak melampaui nilai tertentu, karena dapat terjadi dalam perancangan ditinjau dari segi kekuatan balok masih mampu menahan beban, namun Iendutannya cukup besar sehingga tidak nyaman lagi. Perancangan yang mempertimbangkan batasan lendutan dinamakan perancangan berdasarkan kekakuan (design for stiffness).
1
10/5/2014
Pendahuluan
(lanjutan)
• Semua balok akan terdefleksi (atau melendut) dari posisi awalnya apabila terbebani. Dalam struktur bangunan, seperti : balok dan plat lantai tidak boleh melendut terlalu berlebihan (over deflection) untuk mengurangi kemampuan layan (serviceability) dan keamanannya (safety) yang akan mempengaruhi psikologis (ketakutan) pengguna. • Deformasi adalah salah satu kontrol kestabilan suatu elemen balok terhadap kekuatannya, biasanya dinyatakan sebagai perubahan elemen struktur dalam bentuk lengkungan () dan perpindahan posisi dari titik di bentang balok ke titik lain atau defleksi () akibat beban di sepanjang bentang balok tersebut.
Pendahuluan
(lanjutan)
• Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan defleksi pada balok, dimana asumsi yang digunakan untuk penyelesaian adalah defleksi yang diakibatkan oleh gaya-gaya yang bekerja tegak-lurus terhadap sumbu balok, defleksi yang terjadi relatif kecil dibandingkan dengan panjang baloknya, dan irisan yang berbentuk bidang datar akan tetap berupa bidang datar walaupun terdeformasi (Prinsip Bernoulli).
2
10/5/2014
Teori Dasar Hukum Hooke Salah satu prinsip dasar dari analisa struktur adalah hukum Hooke yang menyatakan bahwa pada suatu struktur : hubungan tegangan (stress) dan regangan (strain) adalah proporsional atau hubungan beban (load) dan deformasi (deformations) adalah proporsional. Struktur yang mengikuti hukum Hooke dikatakan elastis linier dimana hubungan F dan y berupa garis lurus (lihat Gambar 1. a), sedangkan struktur yang tidak mengikuti hukum Hooke dikatakan Elastis non linier (Gambar 1. b).
Teori Dasar (lanjutan)
Gambar 1. Perilaku material terhadap struktur
3
10/5/2014
Teori Dasar (lanjutan) Dari Gambar 1.a. : 𝐅 = 𝐊. 𝐲 dengan : F = beban K = kekakuan y = defleksi untuk 𝐅𝟑 = 𝐅𝟏 + 𝐅𝟐 → 𝐲𝟑 = 𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 Dari Gambar 1.b. : 𝐅 = 𝐊. 𝐲 𝐧 dengan : 𝐅𝟏 = 𝐊. 𝐲𝟏 𝐧 𝐅𝟐 = 𝐊. 𝐲𝟐 𝐧 𝐅𝟑 = 𝐊. 𝐲𝟑 𝐧 dalam hal ini, 𝐲𝟑 𝐧 ≠ 𝐲𝟏 𝐧 + 𝐲𝟐 𝐧
Teori Dasar (lanjutan) Hukum Betti Jika suatu struktur elastis linier diberikan dua sistem beban terpisah P1, P2, P3, …, Pn (lihat Gambar 2.a) dan F1, F1, F1, …, F1 (Gambar 2.b), dimana gaya-gaya P menghasilkan deformasi y1, y2, y3, …, yn dibawah kedudukan gaya-gaya F dan gaya-gaya F menghasilkan deformasi x1, x2, x3, …, xn dibawah kedudukan gayagaya dari P. Maka : 𝐏𝟏 𝐱 𝟏 + 𝐏𝟐 𝐱 𝟐 + ⋯ + 𝐏𝐧 𝐱 𝐧 = 𝐅𝟏 𝐲𝟏 + 𝐅𝟐 𝐲𝟐 + ⋯ + 𝐅𝐧 𝐲𝐧
4
10/5/2014
Teori Dasar (lanjutan)
Gambar 2. Sistem beban dan deformasinya
Teori Dasar (lanjutan) Dengan kata lain hukum Betti atau teorema Betti menyatakan : “Jika pada struktur elastis linier bekerja 2 sistem gaya, maka usaha yang dilakukan oleh sistem gaya 1 terhadap lendutan yang diakibatkan oleh sistem gaya 2 pada titik titik kerja gaya sistem 1 sama dengan usaha yang dilakukan oleh sistem gaya 2 terhadap lendutan yang disebabkan oleh sistem gaya 1 pada titik-titik kerja gaya sistem 2“.
5
10/5/2014
Teori Dasar (lanjutan) Hukum Maxwell Hukum timbal balik Maxwel (Reciprocal Theorem) menyatakan : “Jika pada struktur linier elastis bekerja 2 gaya F1, F2 pada titik 1 dan 2 , maka usaha yang dilakukan oleh gaya F1 terhadap lendutan pada titik 1 yang diakibatkan oleh F2 sama dengan usaha yang dilakukan oleh gaya F2 terhadap lendutan pada titik 2 yang diakibatkan oleh F1”. → 𝐅𝟏 . 𝐝𝟏𝟐 = 𝐅𝟐 . 𝐝𝟐𝟏 Jika F1 = F2, maka d12 = d21.
Teori Dasar (lanjutan)
Gambar 3. Struktur linier elastis bekerja 2 gaya
6
10/5/2014
Energi Regangan Suatu struktur akan berdeformasi akibat pengaruh beban luarnya (eksternal), sehingga menghasilkan tegangan dan regangan (internal). Usaha akibat beban yang bekerja tersebut pada struktur akan tersimpan suatu energi di dalam struktur yang disebut dengan “energi regangan”. 1. Energi regangan akibat gaya aksial (normal force) Lihat Gambar 4, energi regangan sepanjang dL yang menghasilkan perubahan d : 𝟏 𝟏 𝐏𝐝𝐋 𝐝𝐔𝐧 = 𝟐 𝐏𝐝𝚫 = 𝟐 𝐏 𝐄𝐀
Teori Dasar (lanjutan)
Gambar 4. Energi regangan akibat gaya aksial
7
10/5/2014
Teori Dasar (lanjutan) Jika A = luas penampang batang, L = panjang batang, E = modulus elastisitas, maka energi regangan total sepanjang L adalah : 𝐋
𝐔𝐧 = 𝟎
𝐏 𝟐 𝐝𝐋 𝟐𝐄𝐀
Karena P, A, dan E adalah konstan, maka : 𝐏𝟐 𝐋 𝐔𝐧 = 𝟐𝐄𝐀
Energi Regangan
(lanjutan)
2. Energi regangan akibat gaya lentur (bending force) Lihat Gambar 5, jika I = momen inersia penampang, maka rotasi relatif d dari kedua ujung elemen yang berhubungan dengan M adalah : 𝐌𝐝𝐋 𝐝𝛉 = 𝐄𝐈 𝟏
𝐝𝐔𝐦 = 𝟐 𝐌𝐝𝛉 = Sepanjang L : 𝐋
𝐔𝐦 = 𝟎
𝐌𝟐 𝐝𝐋 𝟐𝐄𝐈
𝐌𝟐 𝐝𝐋 𝐌𝟐 𝐋 = 𝟐𝐄𝐈 𝟐𝐄𝐈
8
10/5/2014
Teori Dasar (lanjutan)
Gambar 5. Enersi regangan akibat gaya lentur
Energi Regangan
(lanjutan)
3. Energi regangan akibat gaya lintang (shear force) Lihat Gambar 6, jika G = modulus geser, maka regangan geser : 𝐝𝐲 𝐟 𝐕 𝐝𝛟 = 𝐝𝐋 = 𝐆𝐬 = 𝐆𝐀 Sepanjang kedalaman AB, maka energi regangan : 𝟏
𝐝𝐔𝐬 = 𝟐 𝐕𝐝𝐲 = Sepanjang L : 𝐋
𝐔𝐬 = 𝟎
𝐕 𝟐 𝐝𝐋 𝟐𝐆𝐀
𝐕 𝟐 𝐝𝐋 𝐕 𝟐 𝐋 = 𝟐𝐆𝐀 𝟐𝐆𝐀
9
10/5/2014
Teori Dasar (lanjutan)
Gambar 6. Enersi regangan akibat gaya geser
Energi Regangan
(lanjutan)
4. Energi regangan akibat gaya torsi (torsion force) Analog untuk batang yang bulat akibat gaya torsi, maka energi regangan sepanjang L : 𝐋
𝐔𝐭 = 𝟎
𝐓 𝟐 𝐝𝐋 𝐓 𝟐 𝐋 = 𝟐𝐆𝐉 𝟐𝐆𝐉
dengan : T = gaya torsi J = momen inersia polar penampang
10
10/5/2014
Terima kasih atas Perhatiannya!
11
