3- Deformasi Struktur

3- Deformasi Struktur Deformasi adalah salah satu kontrol kestabilan suatu elemen balok terhadap kekuatannya. Biasanya deformasi dinyatakan sebagai perubahan bentuk elemen struktur dalam bentuk lengkungan (q) dan perpindahan posisi dari titik di bentang balok ke titik lain, yaitu defleksi (v) akibat beban di sepanjang bentang balok tersebut.

MEKANIKA REKAYASA III MK-142003-Unnar-Dody Brahmantyo

1

Ada beberapa metode untuk menentukan deformasi struktur, yaitu : 1. Metode Beban Satuan (Unit Load) / Prinsip Kerja Maya 2. Metode Turunan Parsial – Teorema Castigliano 3. Metode Bidang Momen (Momen Area) 4. Metode Balok Padanan (Conjugate Beam) Pada mata kuliah Mekanika Rekayasa 3 ini akan dibahas 2 metode saja yaitu Metode Beban Satuan (Unit Load) dan Metode Balok Padanan (Conjugate Beam)


2

Metode Beban Satuan (Unit Load) / Prinsip Kerja Maya • Metode ini ditemukan oleh John Bernoulli pada tahun 1717. • Prinsip kerja metoda ini adalah: “ Kerja/work didapatkan dari hasil perkalian gaya dengan simpangan sesuai dengan arah gaya yang ditinjau. “ P

Q dx

dx B

B

C

C

A

A D

D

x

x

v dq

v M m

L

L

dx

• Perubahan rotasi karena sistem beban P adalah : • Sedangkan kerja WQ , yang dihasilkan akibat beban maya Q yang bekerja untuk defleksi sebesar v adalah :


3

• Energi regangan maya dUQ yang dihasilkan di tiap elemen sebagai momen m bergerak di sepanjang sudut dq adalah : • Untuk mendapatkan total energi regangan UQ , sepanjang bentang L, maka:

• Prinsip pada keseimbangan energy mensyaratkan bahwa kerja maya WQ sebanding dengan energy regangan UQ , sehingga :

• Sedangkan dq diketahui sebagai fungsi dari M, maka kerja maya dinyatakan sebagai :


4

• Karena beban maya Q adalah beban bernilai satu satuan, maka persamaan di atas menjadi :

• Jika kerja luar bukan diakibatkan oleh beban maya Q, tetapi diakibatkan oleh momen maya MQ , maka persamaan kerja maya menjadi :

• Tanda positif dihasilkan jika arah beban maya searah dengan simpangannya sedangkan tanda negatif berarti arah gaya maya berlawanan dengan arah simpangan.


5

• Pada struktur “Konstruksi Rangka Batang” hanya ada defleksi titik simpul. • Untuk struktur konstruksi Rangka Batang statis tertentu, karena setiap batang mempunyai nilai gaya batang yang tetap (konstant), maka perumusannya tidak memerlukan perhitungan integral melainkan hanya penjumlahan secara aljabar saja. Rumus defleksi untuk konstruksi rangka batang statis tertentu adalah sebagai berikut : n

= ∑ • • • • • • • • •

 S  A E I

i =1

Si  i (AE) i

: defleksi : gaya batang akibat beban yang ada. : gaya batang akibat beban unit : luas penampang batang : modulus elastis bahan batang : nomor batang dari 1 sampai dengan n n ∑ : penjumlahan aljabar dari batang no.1 sampai dengan no. n i =1 Catatan : Gaya batang tarik  (+) Gaya batang tekan  (-) MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo

6

Contoh 3-1 : Suatu struktur statis tertentu berupa balok kantilever dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. Hitunglah defleksi dan rotasi titik B akibat beban terbagi rata q. q

A

EI

B L

Penyelesaian : • Akibat beban q : RA = qL () MA = ½ qL² ( ) Persamaan momen (Mx) : B→A : 0 ≤ x ≤ L Mx = - ½ qx² • Akibat beban unit gaya vertical di B () RA = 1 () MA = 1 x L = L (  ) Persamaan momen (mv) : B→A : 0 ≤ x ≤ L mV = - 1 . X = - X

MA= ½ q L²

b). Akibat beban q q

A RA = qL

MA= L

A RA = 1


x c). Akibat beban unit gaya vertical di B ()

x

B

1

B

7

d). Akibat beban unit momen di B (  ) 1 MA= 1

• Akibat beban unit momen di B () MA = 1 () RA = 0 Persamaan momen (mθ) : B→A : 0 ≤ x ≤ L mθ = - 1 L

vB  ∫

Defleksi di B :

0

L

vB  ∫

qL4 vB   8 EI

x

B

Mx.mv dx EI

- 1/2qx²- x  dx  

0

A

EI

I L 1 1 1 [ q x 4 ]0L ∫ q x ³ dx   EI 0 2 EI 8

(  ) (kebawah) L

Rotasi di B : qB =  Mx mq dx 0

EI

qB = ∫ (- 1/2 qx² ) (- 1) dx = + I [ 1 qx ³]L = + qL³ o L 0

EI

EI 6

6EI

() (searah jarum jam).


8

Contoh 3-2 : Suatu struktur statis tertentu berupa balok kantilever dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. Hitunglah defleksi dan rotasi titik B akibat beban terpusat P.

v(x) P A B

x

EI konstan


9

P A

B P

M x 1

1 mv x

A

1 mq

1 x


10

Contoh 3-2 : Suatu struktur statis tertentu berupa balok diatas dua tumpuan dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. Hitunglah defleksi di tengah bentang dan rotasi di ujung perletakan A. v(x) q , EI konstan x1

A RA

C

B RB

x2

q

q

1 A

C

x1


B x2

11


12

v(x)

A RA

q , EI konstan

B RB

x q B

1 A

B x


13


14

Metode Balok Padanan (Conjugate Beams) / Mohr’s Theorems • Metode ini dikembangkan oleh Otto Mohr pada tahun 1868. • Prinsip dasarnya adalah analogi hubungan antara beban, gaya geser, dan momen lentur dengan , slope (rotasi) dan defleksi (lendutan). • Analogi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut : Beban-Geser-Momen

Diagram

1.

1.

2.

2.

– rotasi –defleksi

• Jadi jika diberlakukan sebagai beban pada balok conjugate, maka geser dan momen lentur pada balok conjugate merupakan rotasi dan defleksi pada balok asli. MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo

15

• Definisi balok conjugate adalah: balok fiktif yang sama panjangnya seperti pada balok aslinya tetapi mungkin mempunyai tumpuan yang berbeda yang dibebani oleh diagram dari balok asli sedemikian rupa sehingga gaya geser dan momen lentur pada suatu titik pada balok conjugate merupakan putaran sudut dan lendutan pada balok aslinya. REAL BEAM

CONJUGATE BEAM

q≠0 v=0

q≠0 v=0

q=v=0

q≠0 v≠0

S≠0 M=0

S≠0 M=0

S=0 M=0

q≠0 v≠0

q≠0 v=0

q≠0 v=0

S≠0 M≠0

q=0 v=0

q≠0 v≠0

q≠0 v=0

S=0 M=0

S≠0 M≠0

S≠0 M=0

S≠0 M≠0


S≠0 M=0

S≠0 M=0

16


17

Contoh 3-3 :


18


19

3- Deformasi Struktur

Recommend Documents