´ ı extremy ´ 6.3. Globaln´
Matematika II
6.3.
Glob´ aln´ı extr´ emy
V´ yklad Glob´aln´ı extr´emy maj´ı stejn´ y v´ yznam jako u funkc´ı jedn´e promˇenn´e. Hled´ame je bud’ na cel´em definiˇcn´ım oboru dan´e funkce, nebo na pˇredem zadan´e podmnoˇzinˇe definiˇcn´ıho oboru. Definice 6.3.1. ˇ Rekneme, ˇze funkce f : Rn ⊇ Df → R m´a na uzavˇren´em definiˇcn´ım oboru Df glob´ aln´ı maximum (absolutn´ı maximum) v bodˇe A ∈ Df , jestliˇze ∀X ∈ Df plat´ı f (X) ≤ f (A). ˇ Rekneme, ˇze funkce f : Rn ⊇ Df → R m´a na uzavˇren´em definiˇcn´ım oboru Df glob´ aln´ı minimum (absolutn´ı minimum) v bodˇe A ∈ Df , jestliˇze ∀X ∈ Df plat´ı f (X) ≥ f (A). Je-li f (X) < f (A) resp. f (X) > f (A), hovoˇr´ıme o ostr´ em glob´ aln´ım maximu resp. ostr´ em glob´ aln´ım minimu.
Pozn´ amka Mnoˇzina Df se naz´yv´a uzavˇ ren´ a, jestliˇze obsahuje vˇsechny sv´e hraniˇcn´ı body. Hraniˇ cn´ım bodem mnoˇziny Df rozum´ıme takov´y bod, jehoˇz kaˇzd´e okol´ı obsahuje body X leˇz´ıc´ı v Df , tj. X ∈ Df , a souˇcasnˇe obsahuje body Y neleˇz´ıc´ı v Df , tj. Y 6∈ Df . Tak´e mnoˇzina Rn je mnoˇzina uzavˇren´ a. Ovˇsem hranice t´eto mnoˇziny je pr´ azdn´a mnoˇzina, ∅. Pozn´ amka Na rozd´ıl od lok´aln´ıch extr´emu, kter´e se hledaj´ı na okol´ıch bod˚ u, hled´ame glob´ aln´ı extr´emy na cel´e mnoˇzinˇe Df . Uvaˇzujme spojitou a alespoˇ n dvakr´at spojitˇe diferencovatelnou funkci (tj. existuj´ı spojit´e parci´aln´ı derivace alespoˇ n aˇz do druh´eho ˇr´adu) z = f (x, y), defino-
- 318 -
´ ı extremy ´ 6.3. Globaln´
Matematika II
vanou na uzavˇren´e mnoˇzinˇe Df . Necht’ hranice t´eto mnoˇziny je kˇrivka o rovnici g(x, y) = 0. Glob´aln´ı extr´emy funkce f na mnoˇzinˇe Df budeme urˇcovat takto: 1. Urˇc´ıme lok´aln´ı extr´emy funkce f na mnoˇzinˇe Df , ze kter´e vylouˇc´ıme hranici. 2. Urˇc´ıme lok´aln´ı extr´emy t´eto funkce v´azan´e podm´ınkou g(x, y) = 0. 3. Porovn´ame funkˇcn´ı hodnoty vˇsech extr´em˚ u. Extr´em s nejvˇetˇs´ı funkˇcn´ı hodnotou bude glob´ aln´ım maximem, extr´em s nejmenˇs´ı funkˇcn´ı hodnotou bude glob´ aln´ım minimem.
Pozn´ amka Je-li hranice tvoˇrena koneˇcn´ym poˇctem kˇrivek, vyˇsetˇrujeme v´azan´e extr´emy na jednotliv´ych kˇrivk´ach. V tomto pˇr´ıpadˇe ovˇsem mus´ıme uvaˇzovat i vrcholy hraniˇcn´ıch kˇrivek pˇri koneˇcn´em porovn´av´ an´ı funkˇcn´ıch hodnot. Pozn´ amka Analogicky se postupuje i v pˇr´ıpadˇe funkc´ı tˇr´ı a v´ıce promˇenn´ych.
ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy Pˇ r´ıklad 6.3.1. Naleznˇete glob´aln´ı extr´emy funkce z = f (x, y), f (x, y) = x2 − 2y 2 + 4xy − 6x − 1, je-li Df = {[x, y] ∈ R2 | x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ y ≤ −x + 3}.
3
y
0 Obr. 6.3.1
- 319 -
3 x
´ ı extremy ´ 6.3. Globaln´
Matematika II
ˇ sen´ı: Definiˇcn´ım oborem funkce f je troj´ Reˇ uheln´ık s vrcholy A = [0, 0], B = [3, 0], a C = [0, 3] plus vˇsechny body, kter´e v nˇem leˇz´ı, Obr. 6.3.1. 1. Nejdˇr´ıve budeme hledat lok´aln´ı extr´emy funkce f v bodech leˇz´ıc´ıch uvnitˇr troj´ uheln´ıku ABC. ∂f = 2x + 4y − 6 = 0, ∂x ∂f = −4y + 4x = 0. ∂y ˇ sen´ım t´eto soustavy je bod A1 = [1, 1], tento bod ovˇsem leˇz´ı uvnitˇr troj´ Reˇ uheln´ıku ABC, leˇz´ı tedy v mnoˇzinˇe Df a m´a smysl hledat v tomto bodˇe lok´aln´ı extr´em funkce f . Sestav´ıme matici 2 ∂ f ∂x2 Q= ∂ 2f ∂y∂x 2 Q(A1 ) = 4
Q a dosad´ıme do matice Q bod A1 , ∂2f 2 4 ∂x∂y = , ∂2f 4 −4 ∂y 2 4 . −4
Determinant D1 = 2 > 0, D2 = −24 < 0, extr´em v bodˇe A1 neexistuje. 2. Hraniˇcn´ı kˇrivka se skl´ad´a ze tˇr´ı u ´seˇcek leˇz´ıc´ıch na pˇr´ımk´ach. Jedn´a se o pˇr´ımku x = 0 pro y ∈ (0, 3), y = 0 pro x ∈ (0, 3) a y = −x + 3 pro x ∈ (0, 3). Provˇeˇr´ıme existenci v´azan´ ych extr´em˚ u funkce f na jednotliv´ ych u ´seˇck´ach. a) Necht’ g(x, y) = x = 0 pro y ∈ (0, 3). Pak f (y) = −2y 2 − 1 df = −4y = 0 ⇒ y = 0. dy Dosadili jsme x = 0 do funkce f a z´ıskali jsme tak funkci pouze jedn´e promˇenn´e y. Funkci jsme derivovali podle y a dostali jsme stacion´arn´ı bod y = 0. Ovˇsem tento bod neleˇz´ı v intervalu (0, 3), a tedy v´azan´ y extr´em na t´eto u ´seˇcce neexistuje.
- 320 -
´ ı extremy ´ 6.3. Globaln´
Matematika II
b) Necht’ g(x, y) = y = 0 pro x ∈ (0, 3). Pak f (x) = x2 − 6x − 1 f ′ (x) =
df = 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3. dx
Ovˇsem bod x = 3 neleˇz´ı v intervalu (0, 3) a tedy v´azan´ y extr´em neexistuje. c) Necht’ g(x, y) = y + x − 3 = 0 pro x ∈ (0, 3). Dosazujeme za y do funkce f v´ yraz y = −x + 3, tedy f (x) = x2 − 2(−x + 3)2 + 4x(−x + 3) − 6x − 1 = −5x2 + 18x − 19 f ′ (x) = −10x + 18 = 0 ⇒ x = 59 . Bod x =
9 5
leˇz´ı v intervalu (0, 3) a m´a smysl zkoumat, zda-li v tomto bodˇe m´a
funkce f v´azan´ y extr´em. Vypoˇc´ıt´ame druhou derivaci funkce f a urˇc´ıme hodnotu derivace v bodˇe x = 59 , f ′′ ( 95 ) = −10 < 0 ⇒ ostr´e lok´aln´ı maximum. Dopoˇc´ıt´ame y-ovou souˇradnici z rovnice y = −x + 3, tedy y = 65 . Funkce f m´a v bodˇe A2 = [ 95 , 56 ] v´azan´e lok´aln´ı maximum. 3. Protoˇze je hranice tvoˇren´a jednotliv´ ymi kˇrivkami, mus´ıme jeˇstˇe vyˇsetˇrit vrcholy troj´ uheln´ıka ABC. Vypoˇc´ıt´ame jednotliv´e funkˇcn´ı hodnoty a vz´ajemnˇe je porovn´ame. , f (A2 ) = − 14 5
f (A) = −1,
f (B) = −10,
f (C) = −19.
Porovn´ame jednotliv´e funkˇcn´ı hodnoty, f (C) < f (B) < f (A2 ) < f (A). Funkce f m´a v bodˇe A = [0, 0] glob´aln´ı maximum z = −1 a v bodˇe C = [0, 3] glob´aln´ı minimum z = −19.
- 321 -
´ ı extremy ´ 6.3. Globaln´
Matematika II
Pˇ r´ıklad 6.3.2. Na elipse 9x2 + 16y 2 ≤ 144 naleznˇete glob´aln´ı extr´emy funkce z = f (x, y), f (x, y) = 9x2 − 36x + 16y 2 − 64y. ˇ sen´ı: Definiˇcn´ım oborem funkce f je Df = {[x, y] ∈ R2 | 9x2 +16y 2 ≤ 144}. Reˇ y 3
4
x
Obr. 6.3.2 Nalezneme lok´aln´ı extr´emy funkce f , ∂f = 18x − 36 = 18(x − 2) = 0, ∂x ∂f = 32y − 64 = 32(y − 2) = 0. ∂y ˇ sen´ım soustavy je bod A1 = [2, 2]. Je nutn´e ovˇeˇrit, ˇze bod A1 leˇz´ı v Df , Reˇ dosazen´ım snadno zjist´ıme, ˇze A1 vyhovuje nerovnici elipsy. Sestav´ıme matici parci´aln´ıch derivac´ı druh´eho ˇr´adu a urˇc´ıme hodnoty determinant˚ u D1 , D2 . Obˇe hodnoty jsou kladn´e, funkce f m´a v bodˇe A1 ostr´e lok´aln´ı minimum. Sestav´ıme Lagrangeovu funkci a vyˇsetˇr´ıme existenci v´azan´ ych extr´emu na hranici elipsy. Φ = 9x2 − 36x + 16y 2 − 64y + λ(9x2 + 16y 2 − 144), ∂Φ 2 = 18x − 36 + 18λx = 0 ⇒ x = , ∂x 1+λ ∂Φ 2 = 32y − 64 + 32λy = 0 ⇒ y = . ∂y 1+λ 9 2 Dosad´ıme vazby (g(x, 2 2 y) = 9x + 16y − 144 = 0), do rovnice 2 2 + 16 = 144 ⇒ λ2 = 61 , λ3 = 11 9 . 6 1+λ 1+λ
Pro λ2 =
1 6
dopoˇc´ıt´ame x2 = y2 =
12 , 5
z´ıskali jsme stacion´arn´ı bod A2 = [ 12 , 12 ]. 5 5
Stejnˇe postupujeme i pro hodnotu λ3 =
11 , 6
x3 = y3 = − 12 , tedy A3 = [− 12 , − 12 ]. 5 5 5
- 322 -
´ ı extremy ´ 6.3. Globaln´
Matematika II
Sestav´ıme matici parci´aln´ıch derivac´ı druh´eho ˇr´adu pru Lagrangeovu funkci Φ a urˇc´ıme hodnoty pˇr´ısluˇsn´ ych determinant˚ u. V bodˇe A2 = [ 12 , 12 ] m´a funkce 5 5 , − 12 ] m´a funkce f v´azan´e lok´aln´ı f v´azan´e lok´aln´ı minimum, v bodˇe A3 = [− 12 5 5 maximum. Porovn´an´ım funkˇcn´ıch hodnot rozhodneme o existenci glob´aln´ıch extr´em˚ u funkce f , f (A1 ) = −100
<
f (A2 ) = −96
<
f (A3 ) = 384.
Funkce f m´a v bodˇe A1 = [2, 2] glob´aln´ı minimum z = −100 a v bodˇe A3 = [− 12 , − 12 ] glob´aln´ı maximum z = 384. 5 5 ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 − y na ˇctverci s vrcholy [1, 1], [3, 1], [1, 3], [3, 3]. 2. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 + y 2 na troj´ uheln´ıku s vrcholy [0, 0], [2, 0], [0, 1]. 3. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 4y na kruhu x2 + y 2 ≤ 1. 4. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 3x + 4y + 1 na kruhu (x − 3)2 + (y − 1)2 ≤ 1. 5. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 5x − 3y + 1 na troj´ uheln´ıku s vrcholy [1, 4], [−2, 1], [0, −1]. 6. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = −x2 − y 2 + 2y na troj´ uheln´ıku s vrcholy [1, 4], [−2, 1], [0, −1]. 7. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = −x2 − y 2 + 2y na ˇctverci s vrcholy [0, 0], [−1, 0], [−1, −1], [0, −1]. 8. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = −x2 − y 2 + 2y na kruhu x2 + y 2 ≤ 16. 9. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 2x + 4y + 1 na elipse x2 + 4y 2 ≤ 1. 10. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = (x−y)2 +x2 na ˇctverci s vrcholy [2, 0], [0, 2], [−2, 0], [0, −2].
- 323 -
´ ı extremy ´ 6.3. Globaln´
Matematika II
V´ ysledky u ´lohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. [1, 3] - glob´aln´ı minimum, [3, 1] - glob´aln´ı maximum. N´avod: pro vyj´adˇren´ı hraniˇcn´ıch kˇrivek staˇc´ı naj´ıt rovnice pˇr´ımek, kter´e jsou urˇceny vrcholy ˇctverce. 2. [0, 0] - glob´aln´ı minimum, [2, 0] - glob´aln´ı maximum. 3. [0, −1] - glob´aln´ı minimum, [0, 1] - glob´aln´ı maximum. 4. [ 12 , 1 ] - glob´aln´ı minimum, [ 18 , 9 ] - glob´aln´ı maximum. 5 5 5 5 5. [−2, 1] - glob´aln´ı minimum, [0, −1] - glob´aln´ı maximum. 6. [1, 4] - glob´aln´ı minimum, [0, 1] - glob´aln´ı maximum. 7. [−1, −1] - glob´aln´ı minimum, [0, 0] - glob´aln´ı maximum. 8. [0, −4] - glob´aln´ı minimum, [0, 1] - glob´aln´ı maximum. 9. [−
√ 2 2 , − ] 2 4
√
- glob´aln´ı minimum, [
√
√ 2 2 , ] 2 4
- glob´aln´ı maximum.
10. [0, 0] - glob´aln´ı minimum, [0, −2] - glob´aln´ı maximum, [0, 2] - glob´aln´ı maximum. Kontroln´ı test 1. Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = −2x2 + xy + 12x − 3y 2 + 20y. a) [0, 0] - ostr´e lok´aln´ı minimum
b) [0, 0] - ostr´e lok´aln´ı maximum
c) [4, 4] - ostr´e lok´aln´ı minimum
d) [4, 4] - ostr´e lok´aln´ı maximum
2. Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x4 − 2x2 + y 4 + 2y 2 . a) [0, 0] - ostr´e lok´aln´ı maximum b) [1, 1] - ostr´e lok´aln´ı minimum, [−1, −1] - ostr´e lok´aln´ı maximum c) [1, 0], [−1, 0] - ostr´a lok´aln´ı minima d) [1, 0] - ostr´e lok´aln´ı minimum, [0, 0], [−1, 0] - ostr´a lok´aln´ı maxima 3. Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 2x3 + 2y 3 + x2 − 4x − 24y. a) [ 32 , 2] - ostr´e lok´aln´ı minimum, [−1, −2] - ostr´e lok´aln´ı maximum b) [ 23 , 2], [ 23 , −2] - ostr´a lok´aln´ı minima, [−1, 2], [−1, −2] - ostr´a lok´aln´ı maxima c) [ 32 , −2] - ostr´e lok´aln´ı minimum, [−1, 2] - ostr´e lok´aln´ı maximum d) [ 32 , 2], [−1, 2] - ostr´a lok´aln´ı minima, [ 23 , −2], [−1, −2] - ostr´a lok´aln´ı maxima 4. Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 13 x3 − xy 2 + 2y + 4.
- 324 -
´ ı extremy ´ 6.3. Globaln´
Matematika II
a) [1, 1] - ostr´e lok´aln´ı minimum b) [−1, −1] - ostr´e lok´aln´ı maximum c) extr´em neexistuje d) [1, 1] - ostr´e lok´aln´ı minimum, [−1, −1] - ostr´e lok´aln´ı maximum 5. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = y 2 − x2 vzhledem k podm´ınce y = 2x + 3. a) [−2, −1] - v´azan´e lok´aln´ı maximum b) [−2, −1] - v´azan´e lok´aln´ı minimum c) [2, 7] - v´azan´e lok´aln´ı maximum d) [2, 7] - v´azan´e lok´aln´ı minimum 6. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = x2 + y vzhledem k podm´ınce y = −x3 − 25 x2 + 18x + 32. a) [2, 40] - v´azan´e lok´aln´ı maximum, [−3, −31] - v´azan´e lok´aln´ı minimum b) [2, 50] - v´azan´e lok´aln´ı maximum, [−3, − −35 ] - v´azan´e lok´aln´ı minimum 2 c) [−2, −12] - v´azan´e lok´aln´ı maximum, [3, 23] - v´azan´e lok´aln´ı minimum d) [−2, −12] - v´azan´e lok´aln´ı minimum, [3, 23] - v´azan´e lok´aln´ı maximum 7. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = sin2 x + y 2 − 9x2 vzhledem k podm´ınce y = cos x. a) [0, 1] - v´azan´e lok´aln´ı maximum
b) [ π2 , 0] - v´azan´e lok´aln´ı maximum
c) [− π2 , 0] - v´azan´e lok´aln´ı minimum d) [0, −1] - v´azan´e lok´aln´ı minimum 8. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 2x2 + y 2 + y + 4x na ˇctverci s vrcholy [2, 2], [−2, 2], [−2, −2], [2, −2]. a) [2, −2] - glob´aln´ı maximum
b) [2, 2] - glob´aln´ı maximum
[−2, −2] - glob´aln´ı minimum c) [2, −2] - glob´aln´ı maximum
[−2, −2] - glob´aln´ı minimum d) [2, 2] - glob´aln´ı maximum [−1, − 21 ] - glob´aln´ı minimum
[−1, − 12 ] - glob´aln´ı minimum
9. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 − 3y + 6 na troj´ uheln´ıku s vrcholy [0, 0], [1, 2], [−1, 2].
- 325 -
´ ı extremy ´ 6.3. Globaln´
Matematika II
a) [0, 0] - glob´aln´ı maximum
b) [0, 0] - glob´aln´ı maximum
[0, 2] - glob´aln´ı minimum
[1, 2] - glob´aln´ı minimum
c) [0, 0] - glob´aln´ı maximum
d) [0, 0] - glob´aln´ı maximum [0, 2], [0, −2] - glob´aln´ı minima
[−1, 2] - glob´aln´ı minimum
10. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x − 2y na kruhu x2 + y 2 ≤ 54 . a) [ 21 , 1] - glob´aln´ı maximum
b) [− 21 , 1] - glob´aln´ı maximum
[− 12 , −1] - glob´aln´ı minimum
[ 12 , −1] - glob´aln´ı minimum d) [− 12 , −1] - glob´aln´ı maximum
c) [ 21 , −1] - glob´aln´ı maximum [− 12 , 1] - glob´aln´ı minimum
[ 12 , 1] - glob´aln´ı minimum
V´ ysledky testu 1. d), 2. c), 3. a), 4. c), 5. b), 6. b), 7. a), 8. d), 9. a), 10. c) Kontroln´ı ot´ azky 1. Co je to stacion´arn´ı bod funkce? 2. Co jsou lok´aln´ı extr´emy funkce v´ıce promˇenn´ ych? 3. Zformulujte Fermatovu vˇetu. 4. Jak hled´ame lok´aln´ı extr´emy funkc´ı dvou promˇenn´ ych? 5. Jak hled´ame lok´aln´ı extr´emy funkc´ı tˇr´ı promˇenn´ ych? 6. Co jsou to v´azan´e extr´emy? 7. Jak´ y je geometrick´ y v´ yznam v´azan´ ych extr´em˚ u? 8. Jak´ y je princip Lagrangeovy metody? 9. Co jsou to glob´aln´ı extr´emy? 10. Zformulujte postup pˇri hled´an´ı glob´aln´ıch extr´em˚ u. Shrnut´ı lekce V t´eto kapitole jsme se nauˇcili hledat tˇri druhy extr´em˚ u. Jednalo se o extr´emy lok´aln´ı, v´azan´e a glob´aln´ı. Vˇsimnˇeme si jeˇstˇe, ˇze urˇcov´an´ı glob´aln´ıch extr´em˚ u zahrnuje hled´an´ı jak extr´em˚ u lok´aln´ıch, tak extr´em˚ u v´azan´ ych.
- 326 -
