De leraar als regisseur

Doorlopende leerlijnen

Wilma Willems en Kris Verbeeck

De leraar als regisseur Opbrengstgericht rekenonderwijs bij de invoering van de referentieniveaus in PO en VO

De leraar als regisseur Opbrengstgericht rekenonderwijs bij de invoering van de referentieniveaus in PO en VO

Wilma Willems Kris Verbeeck

KPC Groep, ’s-Hertogenbosch, 2011

Deze publicatie is ontwikkeld door KPC Groep voor ondersteuning van het regulier en speciaal onderwijs in opdracht van het ministerie van OCW. KPC Groep vervult op het gebied van R&D een scharnierfunctie tussen wetenschap en onderwijsveld.

Illustratie: Heleen Schoots-Wilke Eindredactie: Jeanet Visser

Bestelnummer: 105079 Het is toegestaan om in het kader van educatieve doelstellingen (delen van) teksten uit deze publicatie te gebruiken, te verveelvoudigen, op te slaan in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar te maken in enige vorm zodanig dat de intentie en de aard van het werk niet worden aangetast. Bronvermelding is in alle gevallen vereist en dient als volgt plaats te vinden: Bron: Wilma Willems & Kris Verbeeck, 2011, De leraar als regisseur, Opbrengstgericht rekenonderwijs bij de invoering van de referentieniveaus in PO en VO. ’s-Hertogenbosch: KPC Groep, in opdracht van het ministerie van OCW. © 2011, KPC Groep, ’s-Hertogenbosch

Voorwoord

In de Wet op het primair onderwijs (WPO, 1985) staat dat leerlingen recht hebben op een ononderbroken ontwikkellijn. Bij de overgang van het primair onderwijs naar het voortgezet onderwijs blijkt dit meestal niet het geval. Om hier beter aan tegemoet te komen zijn doorlopende leerlijnen ontwikkeld op het terrein van taal en rekenen en zijn referentieniveaus vastgesteld. Deze doorlopende leerlijnen op zich leiden nog niet tot kwaliteitsverbetering, maar zijn een belangrijke opstap er naartoe. Door heldere doelen te stellen, weten leraren waar ze aan moeten werken. Daarnaast is een opbrengstgerichte houding van de leraar noodzakelijk. Hoe ziet opbrengstgericht rekenonderwijs eruit? Hoe geef je opbrengstgericht rekenonderwijs vanuit de referentieniveaus concreet vorm? In deze publicatie, tot stand gekomen binnen de programmalijn Doorlopende leerlijnen, brengen we u op de hoogte van de problematiek en dus de kansen bij de overgang van het primair naar het voortgezet onderwijs. We bieden u achtergronden over de referentieniveaus rekenen, laten u kennismaken met diverse handige websites waar u informatie kunt vinden en geven u een praktijkvoorbeeld van de samenwerking van scholen uit het primair en het voortgezet onderwijs om te komen tot een betere afstemming en de realisatie van een doorlopende leerlijn bij meten en meetkunde. Zonder de medewerking van een aantal scholen was deze publicatie niet tot stand gekomen. Graag bedanken we daarom het Fioretticollege in Veghel, het DaCapocollege in Sittard, het Christelijk College Groevenbeek in Putten, de Mariaschool in Erp, basisschool de Vijfmaster in Veghel en basisschool Maria ter Heide in Mariaheide. Zij hebben meegewerkt aan het concretiseren van de leerlijn Meten en Meetkunde in hun praktijk. Deze publicatie is mede tot stand gekomen door het werk van collega’s die in het veld met de scholen aan het werk zijn geweest en die hebben bijgedragen aan onderzoek naar de effecten van de interventies. Onze dank gaat ook uit naar Evelien Loeffen (KPC Groep), Joost Meijer (KPC Groep/UvA), Marga Tubbing (C. van de Graaf & Partners), Mieke van Groenestijn (Hogeschool Utrecht), Harm van Son (KPC Groep), Maaike Verschuren (KPC Groep) en José van der Hoeven (KPC Groep).

Voorwoord

Wij wensen u veel leesgenot en inspiratie toe om werk te maken van een betere overgang tussen primair en voortgezet onderwijs aan de hand van de referentieniveaus. Wilma Willems en Kris Verbeeck

De leraar als regisseur

Inhoud

1 1.1 1.2 1.3

Doorlopende leerlijnen rekenen Overgang van PO naar VO Praktijkgericht onderzoek Referentieniveaus

3 3 7 10

2 2.1 2.2 2.3

Opbrengstgericht rekenonderwijs Definitie Leraargedrag Een praktijkvoorbeeld

19 20 22 28

3 3.1 3.2 3.3

De referentieniveaus in de praktijk: meten en meetkunde Verschillen tussen PO en VO Een mogelijk traject met bovenbouw PO en onderbouw VO Aanbevelingen

31 31 35 61

Nawoord

63

Geraadpleegde bronnen

65

Bijlagen 1 Checklist Didactiek rekenonderwijs 2 Kijkwijzer Opbrengstgericht rekenonderwijs

71 74

Inhoud

1


1 Doorlopende leerlijnen rekenen

In de pauze…. Frans, leraar van groep 8, komt opgewonden de lerarenkamer binnen. Hij heeft net gehoord dat één van zijn ex-leerlingen, Kees, het helemaal niet goed doet in het voortgezet onderwijs. “Kees kan het wel, maar hij heeft extra begeleiding en zorg nodig. Blijkbaar is die zorg niet doorgezet in het voortgezet onderwijs,” zegt een ontgoochelde Frans. Bijna gelijktijdig vindt in de lerarenkamer van de school voor voortgezet onderwijs waar Kees zit een gesprek plaats over dezelfde leerling: “Het advies van het primair onderwijs voor Kees klopt niet. Hij zit hier helemaal niet op zijn plaats. Hij is zo zwak in wiskunde dat hij zelfs de basisberekeningen niet kan maken. De enige informatie die ik over Kees heb gekregen vanuit het primair onderwijs is een score op de Cito-eindtoets en wat korte opmerkingen. Wat heb ik hier aan?”

Wellicht doet dit voorbeeld u denken aan gesprekken die ook bij u op school plaatsvinden. Hier blijkt duidelijk dat een doorgaande lijn tussen het primair en het voortgezet onderwijs – in dit geval op het terrein van rekenen – niet vanzelfsprekend is. Het is in het belang van de leerlingen dat hier bewust werk van gemaakt gaat worden. Leerlingen hebben immers behoefte aan continuïteit in hun leerproces. Veel leerlingen en leraren ervaren drempels tussen de verschillende onderwijssectoren. Het is noodzakelijk om de wederzijdse inspanningen en verworvenheden, van zowel het PO als het VO, voor rekenen en liefst ook voor de andere vakken, op elkaar af te stemmen. In hoeverre is hier al onderzoek naar verricht en bevestigt dit de onderkende problematiek van scholen?

1.1 Overgang van PO naar VO De overgang tussen PO en VO houdt ook de overheid sterk bezig. Meerdere keren is onderzoek verricht voor het krijgen van zicht op de problemen en na te denken over mogelijke oplossingen. De Onderwijsraad (2005) wijst erop dat de overgang van het primair naar het voortgezet onderwijs één van de


3

belangrijkste momenten in de schoolloopbaan van leerlingen is die nogal wat gevolgen heeft voor de leerlingen. Er verandert meestal niet alleen iets qua leerstof of methodiek, maar ook de hele fysieke omgeving en het aantal leraren zijn aan verandering onderhevig. De raad stelt vast dat een nietsoepele overgang direct raakt aan de leerloopbaan van de leerlingen. Dit wordt beaamd in onderzoek van Driessen e.a. (2005, p.1): “De overgang van basis- naar voortgezet onderwijs markeert een cruciale fase in de schoolloopbaan van kinderen. Met de in die periode gemaakte keuzes worden immers de latere mogelijkheden en kansen in het onderwijs en vervolgens op de arbeidsmarkt voor een belangrijk deel vastgelegd.” Problematiek Duidelijk is dat er nog veel winst te behalen valt door de overgang beter te regelen. We brengen eerst in kaart wat er zoal speelt. • Leraren in het primair onderwijs zijn onvoldoende op de hoogte van de vaardigheden van de leerlingen in het voortgezet onderwijs (Gelderblom, 2009). • Interpretatie van aangeleverde gegevens vormen vaak een probleem (Gelderblom, 2009). • De gesprekken tussen primair onderwijs en voortgezet onderwijs gaan meestal niet over de leerstofinhoudelijke aansluiting of werkwijze (Smeets, 2007). • Uit een onderzoek van Smeets (2007, p.5) blijkt ook dat betrokken partijen: “ondanks jarenlange contacten en samenwerking vaak nog onvoldoende op de hoogte waren van elkaars manier van werken en van de knelpunten waarmee de anderen bij het uitvoeren van hun taken worden geconfronteerd. Daardoor was onvoldoende helder wat men van elkaar kon verwachten. Ook het bestaan van vooroordelen over en weer vormde een hindernis voor de samenwerking.” Driessen e.a. (2005, p.148) bevestigen dit: “Volgens de directies wordt met VO-scholen (zowel vmbo als havo/vwo) het meest overleg gevoerd over de geschiktheid van de school voor bepaalde leerlingen. Minder vaak is de aansluiting qua leerstof, werkwijze en pedagogisch klimaat een onderwerp van overleg.” • In de mondelinge overdracht ontbreekt een duidelijke structurering waardoor deze persoonsafhankelijk is (Inspectie van het Onderwijs, 2005). De inspectie merkt ook op dat het PO soms te weinig informatie doorgeeft. Het VO wordt dan weer verweten dat het te weinig met de aangeleverde informatie doet. Zowel de aard, omvang als het gebruik van de informatie vormt een probleem. • Volgens de Inspectie van het Onderwijs (2007a/b) is de overdracht in een direct contact erg belangrijk, de zogenaamde ‘warme overdracht’. Het is tevens belangrijk eisen te stellen aan wat wordt overgedragen.

4


•

Uit het PRIMA-onderzoek (Driessen e.a., 2005) blijkt dat basisscholen maar matig bekend zijn met het sociaal-emotionele klimaat op de scholen voor voortgezet onderwijs. Bovendien blijkt dat meer aandacht nodig is voor de overdracht van zorgleerlingen.

Bronneman e.a. (2002, p.266) vatten het als volgt samen: “Van een systematische samenwerking en wederzijdse afstemming tussen basisonderwijs en voortgezet onderwijs is in het algemeen (...) geen sprake.” De problemen komen niet zomaar uit de lucht vallen. Sommige VO-scholen krijgen leerlingen uit 30(!) verschillende basisscholen, dit zal de overdracht zeker niet vergemakkelijken. Het is voor deze scholen bijna niet te doen om met alle toeleverende basisscholen contact te hebben en een betere overgang te bevorderen. Toch heeft elke leerling daar recht op. Afname van prestaties en motivatie ‘Het aansluitingsvraagstuk’, zoals de Onderwijsraad het noemt, kent nog meer facetten. Zo kan een dergelijke overgang leiden tot motivatieproblemen en afnemende prestaties. “Al decennia lang is er binnen het onderwijs zorg over de afname in prestaties en motivatie van leerlingen voor school na de overgang naar het voortgezet onderwijs. Het gaat om een fenomeen dat zich in diverse landen voordoet”, aldus Driessen e.a. (2005, p.131). Volgens Gelderblom en Oosterman (2009) is een kwart van de leerlingen al meteen bij de start in het VO onvoldoende in staat het onderwijs te volgen. Uit onderzoek van de Inspectie van het Onderwijs (2007b) naar de aansluiting tussen PO en VO blijkt nog een reden om actie te ondernemen. In de derde klas van het VO zit 25% van de leerlingen op een ander niveau dan de basisschool adviseerde en dit is te wijten aan de breuk op het pedagogische en didactische vlak. Van die 25% stroomt ruim 11% naar een lagere onderwijssoort en ruim 3% blijft zitten in het eerste of tweede leerjaar. Zo’n 12% tot 13% stroomt door naar een hogere onderwijssoort. Ander onderzoek van de inspectie (2005, 2006) toont aan dat de continuïteit in zorg en begeleiding te wensen overlaat. Uit een inspectierapport (2010b, p.15), waarin de resultaten staan van een onderzoek naar de ontwikkeling van basisvaardigheden rekenen in het voortgezet onderwijs, blijkt dat: “er nauwelijks vooruitgang [is] in het niveau van de beheersing van de basale rekenvaardigheden in de loop van de onderbouw van het voortgezet onderwijs.”


5

De Inspectie van het Onderwijs (2010a) onderzocht ook de rekenvaardigheden. Een herhaalde meting met een rekentoets laat zien dat leerlingen in het tweede leerjaar nauwelijks beter rekenen dan in het eerste leerjaar. Het aanbod is niet echt gericht op basale rekenvaardigheden. Leerlingen die deze rekenvaardigheden niet meekregen op de basisschool, zullen deze in het voortgezet onderwijs ook niet verwerven. Leerlingen die met zwakke rekenvaardigheid in het VO terechtkomen, zullen zich daarin niet verder ontwikkelen in het voortgezet onderwijs. De continuïteit in rekenvaardigheid is een probleem. Samengevat Bij de overgang van de leerlingen van het PO naar het VO doen zich diverse problemen voor, bijvoorbeeld: • er wordt onvoldoende relevante informatie doorgegeven; • er vindt geen warme overdracht plaats; • scholen zijn onvoldoende op de hoogte van elkaars aanpak en hun onderwijs is onvoldoende op elkaar afgestemd. Een vlotte overgang is echter niet vanzelfsprekend aangezien VO-scholen vaak met veel verschillende toeleverende scholen vanuit het PO te maken hebben. Verbetering in de overdracht is dus een belangrijk aandachtspunt. Het is tevens van belang dat het VO verder werkt aan het verbeteren van de basisvaardigheden bij rekenen. Mogelijke oplossingen De Onderwijsraad (2005, p.15) vindt dat de onderwijsinstellingen zelf verantwoordelijkheid moeten dragen voor de leerloopbaan van de leerlingen. De raad is van mening dat de school niet alleen het eigen onderwijstraject tot haar verantwoordelijkheid moet rekenen, maar ook het traject ervoor en erna. Leraren zouden zich volgens de raad: “goed moeten informeren over de onderwijsfase die voorafgaat aan het eigen onderwijstraject, en ze zouden zich moeten verdiepen in de vervolgperiode.” De raad wijst erop dat er inhoudelijke/methodologische afstemming, maar ook pedagogisch-methodologische afstemming moet komen, evenals een informatierijke persoonlijke begeleiding bij de overgang. Qua inhouden is een doorgaande lijn noodzakelijk. De Onderwijsraad (2005, p. 22) wijst op het belang van doorlopende leerlijnen: “Een doorlopende leerlijn is een geordende reeks leerstofcomponenten die qua vakbegrippen, terminologie en methodologische aanpak grotendeels overeenstemmen en leerstofjaren en/of opleidingen overstijgen. Een leerlijn zorgt voor continuïteit in inhouden en in methodologische begeleiding. De leerlijn biedt de leerling houvast in de nieuwe leeromgeving en kan daarom de overgang vergemakkelijken.”

6


Een warme overdracht waarbij gebruik wordt gemaakt van een eenduidig rapportagemodel is zeer belangrijk. Ook blijkt dat de prestaties van leerlingen in de brugklas beter zijn wanneer er meer overleg plaatsvindt (Mulder & Suhre, 1996). Volgens Smeets (2007) kan de aansluiting verbeteren door bijvoorbeeld leerlingvolgsystemen te gebruiken die de doorgaande lijn bevorderen. Volgens Driessen en Sleegers (2000) blijken de overdracht van gegevens van de leerlingen die extra zorg nodig hebben en de afstemming van de leerlingenzorg bij te dragen aan de verbetering van de overgang van PO naar VO. Gelderblom (2009) is voorstander van het organiseren van een professioneel moment waarop de overdracht plaatsvindt. De Onderwijsinspectie (2007b) geeft aan dat er ook eisen moeten worden gesteld aan de onderwijskundige rapporten. Zo is het aan te bevelen nuttige informatie te geven over onder meer het cognitieve beheersingsniveau aan het einde van de basisschool (DLE’s, vaardigheidsscores en percentages op de diverse domeinen van de eindtoets) en het sociaal-emotioneel functioneren. Er zouden bijvoorbeeld ook regionale afspraken gemaakt moeten worden tussen het PO en het VO. Samengevat Uitgaande van de zelfverantwoordelijkheid van scholen voor de leerloopbaan van hun leerlingen, zal er voor het oplossen van de gesignaleerde problemen bij de overgang van PO naar VO, onder meer aandacht moeten zijn voor: • het realiseren van een doorgaande leerlijn; • een warme overdracht; • eenduidige, complete onderwijskundige rapporten.

1.2 Praktijkgericht onderzoek KPC Groep verrichtte een praktijkgericht onderzoek naar de overgang tussen PO en VO. Daaruit blijkt dat meerdere stappen nodig zijn om een doorgaande leerlijn rekenen in relatie tot de referentieniveaus te realiseren. Een aantal noodzakelijke fasen wordt in het afstemmingsproces onderscheiden. • Oriënteren Bij en met elkaar verkennen wat in het PO en het VO in de rekenles gebeurt op het terrein van de leerling, de didactiek, het curriculum en de visie. Een bezoek in elkaars klassen kan veel inzicht in en begrip over elkaars praktijk opleveren. Er kan gekeken worden naar de gebruikte methodes, de lesopbouw, de manier van instructie geven, het klassen-


7

•

•

management, het volgen van leerlingen, et cetera. Aan de hand van deze oriëntatie kan vrijblijvend een keuze gemaakt worden om op een aantal rekenonderdelen meer af te gaan stemmen, bijvoorbeeld samen aandacht geven aan automatiseren en dit op een gelijklopende manier doen. Dergelijke kleine experimenten geven inzicht in een mogelijk effect van samenwerking en afstemming. Afstemmen met commitment Wat werkt naar aanleiding van het uitproberen, wordt ook ingebed in de praktijk en is niet langer vrijblijvend. Het borgen in de kwaliteitscyclus Het gaat hier om kwaliteitszorg bij de overgang van PO naar VO. Denk hierbij aan het hanteren van gelijksoortige streefnormen, een structureel afstemmingsoverleg, analyse van in- en uitstroom met consequenties en acties. In deze laatste fase worden aspecten structureel in de scholen ingevoerd, dus niet meer toevallig, afhankelijk van de leraar en van de schoolleiding.

Naar aanleiding van dit onderzoek is een overdrachtsmodel ontwikkeld dat vooral bruikbaar is voor directieleden en stuurgroepleden die verantwoordelijk zijn voor het aansturen en monitoren van het proces van afstemming. PO-school

VO-school

Overdrachtsmodel Taal en Rekenen

Leerling

Didactiek

Leerling

Didactiek

Curriculum

Visie en verantwoording

Curriculum

Visie en verantwoording

Uitwisseling Afstemming

Leerling

Didactiek

Curriculum

Vrijblijvend Commit- ment

Visie en Bronnen verantwoorGoede voorbeelden ding

Kwaliteitszorg Figuur 1 Schematische weergave van het overdrachtsmodel PO-VO

8


Aan het begin van het onderzoek beschikten de deelnemende PO- en VO-scholen alleen over eigen informatie over de leerling, hanteerden ze een eigen didactiek, een eigen curriculum, en een eigen visie en manier van verantwoorden. Door de uitwisseling die eerst meer vrijblijvend was, zijn de scholen gekomen tot afstemming waarbij ze zich hebben verbonden om samen te werken aan een betere overgang. Dit heeft geleid tot afstemming op de genoemde terreinen en borging door de scholen in hun kwaliteitszorgsysteem, zodat het niet een eenmalige actie is geweest. Bij het tot stand komen van afstemming hebben de scholen gebruik kunnen maken van een aantal hulpmiddelen zoals checklists en gespreksagenda’s in de fase van oriëntatie en uitwisseling en om het gesprek tussen PO- en VO-leraren en schoolleiding te ondersteunen. In bijlage 1 staat een voorbeeld van een van deze checklists met betrekking tot didactiek rekenen. Een school kan zelf bepalen met welk onderdeel en met welke checklist ze wil starten. Uiteraard is het de bedoeling om afstemming te verkrijgen op alle onderdelen.1 Samengevat Het is mogelijk om de overgang en de afstemming tussen het primair onderwijs en het voortgezet onderwijs te verbeteren. De volgende stappen dienen daarbij gezet te worden. • Bepaal eerst samen welke blinde vlekken er zijn in de huidige overdracht tussen PO en VO, zodat je ook ziet welke kansen er zijn voor verbetering (oriënteren). • Ga samen in gesprek aan de hand van een checklist (uitwisselen). • Bepaal op grond van urgentie welke thema’s als eerste dienen afgestemd te worden (afstemmen). Het is noodzakelijk om duidelijke afspraken vast te leggen zodat de overgang minder afhankelijk is van personen. Er is een sterke behoefte aan doorlopende leerlijnen. Meer informatie over de te hanteren checklisten, de gespreksagenda’s en voorbeelden uit de praktijk vindt u op de website www.povo.nl.

1


9

1.3 Referentieniveaus Aan de behoefte aan doorlopende leerlijnen is inmiddels tegemoet gekomen. Zoals aangegeven in de brief van OCW-staatssecretaris Van BijsterveldVliegenthart (21 mei 2010) gericht aan de VO-scholen: “Met de wet Referentieniveaus Taal en Rekenen wordt het mogelijk om tegelijkertijd in alle sectoren van het onderwijs niveauverhogende maatregelen te nemen en om de aansluiting van het taalen rekenonderwijs tussen de verschillende sectoren in het onderwijs te verbeteren.” Niveau taalen rekenonderwijs Uit deze brief blijkt dat de overheid maatregelen neemt om het niveau van het taalen rekenonderwijs te verhogen en om de aansluiting tussen de verschillende sectoren aan te pakken. Over de noodzaak om de prestaties te verhogen is reeds veel gepubliceerd. Samengevat komt het hierop neer. Het is duidelijk dat in het debat over het peil van het rekenwiskunde onderwijs zowel positieve als negatieve geluiden te horen zijn. De overheid (Ministerie van OCW en Inspectie van het Onderwijs) lijkt zich te concentreren op de aanpak van de negatieve geluiden, omdat ze kwalitatief goed rekenonderwijs wil bevorderen. Behoefte aan verbetering blijkt onder andere uit de PPON-resultaten van 2004. Leerlingen scoren in 2004 op een aantal onderdelen (zoals cijferend vermenigvuldigen en delen) duidelijk minder goed dan in 1997. Het vaardigheidsniveau voor meten en meetkunde, berekenen van omtrek, oppervlakte en inhoud is laag en veel leerlingen kunnen deze berekeningen niet met succes uitvoeren. Op bepaalde onderdelen is wel winst geboekt. Zo is er vooruitgang van scores voor getallen en getalrelaties, schattend rekenen, hoofdrekenen, optellen en aftrekken en het rekenen met procenten. De KNAW-commissie (2009) vindt dat de bezorgdheid over de kwaliteit van het rekenonderwijs terecht is. Internationaal blijft Nederland goed scoren in vergelijking met andere landen, maar er is geen reden om achterover te gaan leunen.2 Vooral op het terrein van bewerkingen is er een sterke achteruitgang. “Het rekenpeil kan over de gehele linie omhoog (p.9)” en “Positieve en negatieve ontwikkelingen mag men niet tegen elkaar wegstrepen (p.11).” Drempelniveaus Om voor de verschillende leerstofdomeinen een doorgaande lijn tussen PO en VO en tussen VO en MBO/HBO/WO tot stand te brengen op het terrein van taal en rekenen is vanaf 1 augustus 2010 de wet Referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen van kracht. Voor meer informatie over dit onderwerp verwijzen we naar de publicatie ‘Het kwartje valt. Doelgericht rekenen in anders georganiseerd onderwijs’ (Verbeeck & Verschuren, 2010).

2

10


De concrete invulling van de referentieniveaus is door de commissie Meijerink, ook bekend als de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, in 2008 voorbereid en ontwikkeld. Zij stelde vast dat de eisen per sector variëren en onvoldoende op elkaar aansluiten en dat de onderwijsprogramma’s, lesmethodes, en de toetsen en examens niet op elkaar aansluiten. Zo bleek er onvoldoende gespecificeerde informatie aanwezig te zijn over instromende leerlingen. De expertgroep stelt dat drempels tussen onderwijssectoren geslecht moeten worden. Daarom is een referentiekader taal en rekenen aangeboden waardoor leerlingen uiteindelijk een hoger taalen rekenniveau moeten halen. De Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen had als opdracht drempelniveaus (heldere referentieniveaus voor leerlingen van 12 jaar, 16 jaar en omstreeks 18 jaar) te formuleren die de doorgaande lijn kunnen waarborgen. Op drie momenten in de schoolloopbaan zijn referentiebeschrijvingen geformuleerd. Twee sporen Voor elk moment is een fundamenteel niveau geformuleerd voor het zogenaamde F-spoor. Dit spoor loopt vanaf basisniveau op 12-jarige leeftijd (niveau 1F) naar het burgerschapsniveau op 16-jarige leeftijd (niveau 2F), met een mogelijke verbreding of toespitsing naar de leeftijd van omstreeks 18 jaar (niveau 3F). Niveau 2F wordt beschouwd als het niveau dat alle Nederlanders zouden moeten beheersen om op het gebied van rekenen maatschappelijk goed te kunnen functioneren. Het F-spoor wordt haalbaar geacht voor het merendeel van de leerlingen. De fundamentele kwaliteiten zijn typerend voor ‘functioneel gebruiken’ en meer toepassingsgericht geformuleerd. Ook is er een streefniveau aangegeven voor het S-spoor. Dit spoor loopt vanaf het streefniveau op 12-jarige leeftijd (niveau 1S) naar het streefniveau op 16-jarige leeftijd (niveau 2S), met een doorloop naar niveau 3S, omstreeks 18 jaar. De S-niveaus overlappen het basisniveau. Bij niveau 3S gaat het om het (nieuw voorgestelde) rekendomein van het vak Wiskunde A in de havo bovenbouw en enkele technische richtingen in het MBO. De streefkwaliteiten zijn typerend voor ‘formaliseren, generaliseren en abstraheren’, samengevat met de term ‘verdiepen’. Het S-spoor beschrijft een voorbereiding op de abstracte wiskunde.


11

12 jaar 1F po so

16 jaar 1S

2F po (taal); so (taal) mbo niv. 1, 2 en 3; vmbo 2S

po (rekenen) so (rekenen)

18 jaar 3F havo, vwo (rekenen) mbo niv. 4 3S

4F vwo (taal) 4S hbo wo

1 1F 2 1S

2F 3 2S

3F 4 3S

4F 4S

Algemeen maatschappelijk niveau Drempels

Schema 1: De referentieniveaus zoals deze in het Besluit 265 (17 juni 2010) zijn toegewezen aan de onderwijssectoren. (Hier en daar soms afwijkend van het advies van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, de commissie Meijerink)

Toelichting referentieniveaus In schema 1 staan deze twee sporen aangegeven. Het bevat vier drempels voor het fundamentele niveau voor rekenen: • drempel 1: fundamenteel eindniveau primair onderwijs, speciaal onderwijs; • drempel 2: fundamenteel eindniveau mbo 1,2,3, vmbo bl, kl, gl, tl; • drempel 3: fundamenteel eindniveau havo/vwo en mbo 4; • drempel 4: “Voor rekenen en wiskunde zijn de niveaus 4F en 4S niet ingevuld, omdat het rekenen daar helemaal in meer geavanceerde wiskunde is opgegaan.” (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008, p. 23). Binnen het vakgebied rekenen en wiskunde worden vier domeinen onderscheiden: Getallen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde, en Verbanden.

12


Elk domein is opgebouwd uit de onderdelen: • notatie, taal en betekenis, waarbij het gaat om de uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties en om het gebruik van wiskundetaal; • met elkaar in verband brengen, waarbij het gaat om het verband tussen begrippen, notaties, getallen en dagelijks spraakgebruik; • gebruiken, waarbij het gaat om het inzetten van rekenvaardigheden bij het oplossen van problemen. Elk domein is weer opgebouwd uit drie typen kennis en vaardigheden. Die zijn als volgt te karakteriseren: • paraat hebben: kennis van feiten en begrippen, reproduceren, routines, technieken; • functioneel gebruiken: kennis van een goede probleemaanpak, het toepassen, het gebruiken binnen en buiten het schoolvak; • weten waarom: begrijpen en verklaren van concepten en methodes, formaliseren, abstraheren en generaliseren, blijk geven van overzicht. Door duidelijke doelen te stellen, hoopt men dat drempels tussen de verschillende onderwijsvormen verdwijnen en dat de kwaliteit en de resultaten van het rekenwiskunde onderwijs verbeteren. Verschil kerndoelen – referentieniveaus Er is een duidelijk verschil tussen de referentieniveaus en de kerndoelen: de kerndoelen geven aan welke doelen moeten worden aangeboden (inspanningsdoelen), terwijl de referentieniveaus formuleren wat kinderen moeten beheersen (beheersingsdoelen). Hierdoor bouwen de doelen die in het voortgezet onderwijs worden gesteld, duidelijk voort op de doelen die in het primair onderwijs moeten worden behaald. Het is helder wat leerlingen moeten kennen en kunnen. De referentieniveaus voor het primair onderwijs zijn complementair aan de kerndoelen en vervangen ze dus niet. Ter illustratie geven we een voorbeeld van de kerndoelen rekenen en wiskunde (eind groep 8) en een voorbeeld van de referentieniveaus voor het primair onderwijs (eind groep 8). Voorbeeld kerndoel Kerndoel 23 uit het primair onderwijs: “De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken.” Het kerndoel is beknopt beschreven en er wordt geen concrete invulling aan gegeven. Voorbeeld referentieniveaus Dit wordt anders in de referentieniveaus. Daar wordt explicieter aangegeven


13

wat de leerlingen bijvoorbeeld aan wiskundetaal moeten kunnen gebruiken, bijvoorbeeld: “evenveel als, groter, kleiner, uitspraak en schrijfwijze van decimale getallen, breuken, teller, noemer en breukstreep.” Wat dit betekent voor bijvoorbeeld de notatie, taal en betekenis van het onderwerp Getallen, niveau F staat in schema 2 op de pagina’s 16 en 17 aangegeven.

14


Vrijheid scholen De wet op de Referentieniveaus geeft duidelijk richting aan wat kinderen en jongeren dienen te leren3. Scholen zijn echter vrij om zelf te bepalen hoe ze de vastgelegde doelen gaan behalen. De concretisering van de referentieniveaus in de scholen kan dus verschillen als de gestelde einddoelen maar behaald worden. De Commissie Meijerink beveelt aan om rekenen en wiskunde integraal te benaderen en tot een afgestemde brede verantwoordelijkheid te maken door het te integreren in andere vakgebieden en in praktijksituaties. Intersectorale afstemming verdient de voorkeur, waarbij leerlijnen, aanpak en verwachtingen bespreekbaar worden gemaakt tussen PO en VO. Samengevat Sinds 1 augustus 2010 is de Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen van kracht. In deze wet is vastgelegd wat leerlingen dienen te beheersen op het gebied van rekenen en taal. De einddoelen liggen vast, scholen hebben wel de vrijheid zelf te bepalen hoe ze daar concreet vorm aan geven. De referentieniveaus zijn bedoeld om aan een doorgaande lijn en aan kwaliteitsverbetering in de verschillende sectoren te werken.

Voor meer informatie over de referentieniveaus kunt u de website www.taalenrekenen.nl raadplegen. Deze site bevat veel informatie ook richting praktische uitwerking van de referentieniveaus. Een must voor scholen!

3


15

A Notatie, taal en betekenis • Uitspraak, schrijfwijze en

betekenis van getallen, symbolen en relaties • Wiskundetaal gebruiken

Niveau 1F Paraat hebben


• 5 is gelijk aan (evenveel als)

• Schrijfwijze negatieve

2 en 3 • De relaties groter/kleiner dan • 0,45 is vijfenveertig honderdsten • Breuknotatie met horizon3 tale streep 4 • Teller, noemer, breukstreep

getallen: -3 °C, -150 m • Symbolen zoals < en > gebruiken • Gebruik van wortelteken, machten

Functioneel gebruiken


• Uitspraak en schrijfwijze van

• Getalnotaties met miljoen en

gehele getallen, breuken en decimale getallen • Getalbenamingen zoals driekwart, anderhalf en miljoen

miljard: er zijn 60 miljard euro-munten geslagen

Weten waarom

Weten waarom

• Orde van grootte van

• Getallen relateren aan

getallen beredeneren

situaties:

- ik loop ongeveer 4 km/u - Nederland heeft ongeveer 16 miljoen inwoners

- 3576 AP is een postcode - hectometerpaaltje 78,1 - 0,543 op bonnetje is gewicht - 300 Mb vrij geheugen nodig Schema 2: Referentieniveaus Getallen, niveau F, onderdeel A

16



Niveau 3F Voorbeelden

• Uitspraak, schrijfwijze en

• Het vriest 8 graden kan ook

betekenis van negatieve getallen (ook op de rekenmachine) zoals ze voorkomen in situaties met bijvoorbeeld temperatuur, schuld en tekort en hoogte

worden weergegeven als: het is -8 °C en uitgesproken als ‘min 8’ of ‘8 graden onder 0’ • Tekorten en schulden kunnen weergeven met een minteken • In een tabel de betekenis van positieve (overschotten) en negatieve verschillen (tekorten) aflezen en interpreteren • Op de rekenmachine

Functioneel gebruiken • Uitspraak, schrijfwijze en

betekenis van grote getallen met miljoen en miljard als maat en met passende voorvoegsels (bij maten) functioneel gebruiken

Weten waarom • In complexere situaties

reken-procedures toepassen en daarbij weten waarom het nodig kan zijn haakjes te zetten en weten hoe dit werkt. Bijvoorbeeld bij gebruik van een rekenmachine of spreadsheet


bijvoorbeeld -5,23 -7,81 correct intypen Voorbeelden • Deze presentatie is 3,1 Mb (megabyte) • 1 249 574 uitspreken als ruim 1,2 miljoen • De periode van 15,5 miljoen naar 16 miljoen inwoners duurde vijf jaar, hoeveel inwoners zijn er in die 5 jaar bijgekomen? Voorbeelden • De prijs van 3 koffie van € 1,90 plus 2 koeken van € 1,90 bereken je niet met 3 + 2 x € 1,90 en wel met (3 + 2) x € 1,90 • In een spreadsheet een tabel van prijzen maken met: a x € 1,90 + b x € 1,90 of met (a + b) x € 1,90

17

18


2 Opbrengstgericht rekenonderwijs

Het vorige hoofdstuk eindigden we door aan te geven dat de referentieniveaus de einddoelen vastleggen. Met andere woorden wat de leerlingen moeten bereiken ligt vast, maar hoe het rekenonderwijs in de praktijk vorm krijgt, kunnen scholen zelf bepalen. Er zijn veel manieren om dat te doen. Scholen krijgen enerzijds de vrijheid om het op een eigen wijze in te vullen, maar anderzijds worden wel duidelijke kwaliteitseisen gesteld. Wat is goed, doelgericht en opbrengstgericht rekenonderwijs en wat vraagt dit van de leraar? Op basisschool De Kindertuin is er een dalende trend te merken in de rekenresultaten. De eindopbrengsten worden steeds lager en liggen beneden de streefnorm, die verwacht mag worden op basis van de leerling-populatie. De zorg wordt niet planmatig uitgevoerd. Leraren stemmen hun onderwijs onvoldoende af op de onderwijsbehoeften van de leerlingen. Zij geven leerlingen weinig feedback op hun leer- en ontwikkelingsproces. Leraren maken nauwelijks analyses van de vorderingen en zijn als gevolg daarvan niet in staat aanpassingen te doen in het aanbod en/of onderwijsleerproces in de groep. Er worden geen beredeneerde keuzes gemaakt voor noodzakelijke onderwijstijd, het afstemmen van instructie en verwerking rekening houdend met de verschillen in de ontwikkeling van leerlingen. De school werkt nauwelijks planmatig aan verbeteractiviteiten en de schoolleiding werkt amper aan een professionele schoolcultuur. Als er niets gebeurt, dreigt de kwaliteit van het rekenonderwijs verder te dalen en biedt de school onvoldoende wat de leerlingen nodig hebben. Een externe adviseur heeft aangegeven dat het vervangen van de methode niet de oplossing biedt. Maar wat dan wel? Het is duidelijk dat basisschool De Kindertuin actie moet ondernemen. Maar waarop, wat is er bekend over wat daadwerkelijk verbetering in kwaliteit en opbrengsten teweegbrengt? De commissie Meijerink beveelt een gedifferentieerde aanpak aan waarbij


19

sterk rekening wordt gehouden met de onderwijsbehoeften van de leerlingen en waarbij de mogelijkheden van de leerlingen worden uitgedaagd. Verder pleit de commissie voor opbrengstgericht werken door leerling-resultaten te analyseren, streefdoelen te formuleren en groepsgewijs of waar nodig met een individueel traject hoge verwachtingen te hebben van leerlingen en in te spelen op en actie te ondernemen richting het gewenste eindniveau. Er dient als het ware een verandering bij de leraren plaats te vinden van denken en handelen vanuit activiteiten, naar doelgericht werken en opbrengstgericht werken (Ros e.a., 2009; Verbeeck e.a., 2008). Maar wat is dat dan?

2.1 Definitie In deze paragraaf kijken we eerst naar de opvattingen van de overheid over opbrengstgericht werken. Daarna breiden we de door de overheid gehanteerde definitie van opbrengstgericht werken verder uit en onderbouwen we verschillende aspecten die daarin een rol spelen. Opvattingen overheid Het opbrengstgericht werken is één van de belangrijke pijlers van de Kwaliteitsagenda voor het PO en VO. Leraren moeten zich sterk focussen op leeropbrengsten. Om opbrengstgericht te werken, kunnen ze gebruikmaken van toetsresultaten, observaties of informatie opgedaan bij het begeleiden van hun leerlingen tijdens de rekenles. Opbrengstgericht werken is volgens de Inspectie van het Onderwijs het systematisch en doelgericht werken aan het maximaliseren van prestaties. Deze benadering wordt bevestigd in het ‘Onderwijsverslag 2008/2009’ (Inspectie van het Onderwijs, 2010c, p. 196): “Voor opbrengstgericht werken is het nodig dat scholen doelen voor ogen hebben en bepalen in hoeverre leerlingen die doelen bereiken. Een eerste vereiste is dus kennis van prestaties. Daarnaast moeten scholen weten hoe ze leerlingen tot het bereiken van doelen willen brengen: doelen moeten een vertaling krijgen in het didactisch handelen en de afstemming van het onderwijs op leerlingen. Voor veel scholen is gericht toewerken naar doelen in de les geen gemeengoed, evenmin als het aanpassen van het onderwijs als er problemen opduiken. Leraren in de groepen 4, 6 en 8 doen dit significant vaker dan leraren in groep 2, maar in alle groepen is verbetering mogelijk.”4

4 Voor meer informatie over dit onderwerp kunt u terecht op de website: http://schoolaanzet.nl/opbrengstgerichtwerken.

20


De Inspectie van het Onderwijs is een sterke pleitbezorger van opbrengstgericht rekenonderwijs. In het waarderingskader van het primair onderwijs (2009c) verwijzen vijf indicatoren naar elementen van opbrengstgericht werken van de scholen: • leraren volgen vorderingen van leerlingen systematisch; • de school gebruikt een samenhangend systeem van instrumenten en procedures voor het volgen van leerling-prestaties; • de school gaat de effecten van de zorg na; • de school evalueert jaarlijks systematisch de kwaliteit van haar opbrengsten; • de school evalueert regelmatig het onderwijsproces. Uit het genoemde ‘Onderwijsverslag 2008/2009’ blijkt dat leerlingen op opbrengstgerichte scholen beter presteren. Eveneens staat in dit verslag (p. 192) dat basisscholen moeite hebben met: “het stellen van doelen, het evalueren van doelen, het trekken van conclusies op basis van een evaluatie en het doorvoeren van verbeteringen. Ze beschikken wel over voldoende gegevens om het eigen functioneren te evalueren. De knelpunten zitten in het gebruik van die gegevens.” De Inspectie van het Onderwijs (2010b) heeft onderzoek gedaan naar opbrengstgericht werken bij rekenen-wiskunde in het primair onderwijs. In de conclusies van het onderzoek wordt opnieuw gewezen op het tekortschietend leraargedrag als het gaat om het stellen van doelen. Ook het analyseren van resultaten en daaruit consequenties trekken om leertrajecten van leerlingen aan te passen, blijkt nog steeds een zwak punt. De relatie tussen opbrengstgericht werken en leerresultaten is door de inspectie in haar onderzoek aangetoond. In scholen die opbrengstgericht werken worden meer toetsen als voldoende beoordeeld en zijn er vaker positieve trends in de leerresultaten. Samengevat De overheid legt sterk de nadruk op het opbrengstgericht werken. Daarbij wordt vooral gefocust op het systematisch volgen van vorderingen, het analyseren van de resultaten en het maximaliseren van de leerresultaten. Uitbreiding definitie Naast de door de overheid gehanteerde definitie van opbrengstgericht werken, waarbij vooral het sturen van opbrengsten op basis van meetbare resultaten wordt benadrukt, zijn er ook andere invullingen mogelijk die het begrip ruimer interpreteren en een sterker accent leggen op de leraar en op de verantwoordelijkheid van alle betrokkenen in en om de school.


21

Spliethoff e.a. (2010) pleiten voor een bredere kijk op opbrengstgericht werken gericht op leraargedrag in de groep. Ze hanteren daarbij de volgende definitie: “Opbrengstgericht werken is een bewuste, systematische en cyclische werkwijze waarbij betrokkenen in en om de school (leerling, leraar, team, directeur, bestuurder en ouder) zich in het streven naar de kwaliteit van de totale ontwikkeling van leerlingen, in hun professioneel handelen mede laten sturen door de uitkomsten van metingen, toetsen en observaties van vooraf door hen zelf gestelde doelen. Gesteld op het niveau van de leerling, leraar, team, directie, bestuur en ouders.” Uit deze definitie blijkt dat professionals zich mede laten sturen door gegevens, maar daarnaast pleit Spliethoff met zijn medeauteurs voor een cyclische manier van werken waarbij planmatig en systematisch gewerkt wordt aan kwaliteitsverbetering van het onderwijsleerproces en de vakbekwaamheid van de leraar. Daarbij onderscheiden ze vier handelingsdimensies afgeleid van de dimensies binnen handelingsgericht werken en 1-zorgroute: 1 Waarnemen: verzamelen en registreren van informatie. 2 Begrijpen: analyseren en interpreteren van de gegevens, en formuleren van onderwijsbehoeften van leerlingen. 3 Plannen: doelen stellen en plannen maken op de verschillende niveaus. 4 Realiseren: actie ondernemen op de gestelde doelen, reflecteren en monitoren. Dit alles wordt gevolgd door het evalueren van het proces en borgen van de opbrengsten. Hieruit blijkt dat de auteurs de bedoeling van de overheid om opbrengstgericht te werken onderschrijven, ze leggen echter veel sterker de nadruk op het verbeteren van het leraargedrag. Het is immers de leraar die uiteindelijk kan zorgen voor verandering in de klas. Bovendien geven ze duidelijk aan dat alle betrokkenen bij de school daarin een rol vervullen. Deze ruimere definitie wordt in deze publicatie gebruikt wanneer we voorbeelden geven van scholen die meer opbrengstgericht willen werken.

2.2 Leraargedrag Wat betekent opbrengstgericht werken voor het rekenonderwijs? In deze paragraaf kijken we vooral wat dit betekent voor het handelen van de leraar en belichten daarbij achtereenvolgens de rol van de leraar, het belang van goede instructie en feedback door de leraar en de invloed van de leraar op het zelfbeeld van de leerling. Deze aspecten worden onderbouwd met gegevens uit onderzoek.

22


Het KNAW-rapport (2009) geeft een stand van zaken op het terrein van onderzoek naar rekenen. Uit dit rapport vermelden we twee punten die bijdragen aan het leereffect: de rol van de leraar en het belang van goede instructie. Rol van de leraar Slavin en Lake (2008) hebben onderzocht wat werkelijk bijdraagt aan het verbeteren van het wiskundeonderwijs. Aantoonbaar effect hebben programma’s die het coöperatief leren bevorderen, die de vaardigheden van de leraar op het gebied van klassenmanagement verbeteren en die de motivatie van de leerlingen verhogen. Daarbij is leraren geleerd hun tijd effectiever te gebruiken, de leerlingen productief en betrokken te houden, hoe ze hun leerlingen kunnen motiveren en kunnen stimuleren om elkaar te helpen en van elkaar te leren. Met andere woorden (KNAW, 2009, p. 47): “De sleutel tot het verbeteren van de rekenvaardigheid ligt in het verbeteren van de interactie tussen leraar en leerling.” Verschaffel e.a. (2007) onderstrepen de cruciale rol van de leraar bij de realisatie van onderwijs. Ze vermelden negen terugkerende kenmerken van recente onderzoeken in het rekenwiskunde onderwijs. Een aantal daarvan kan gelezen worden als aanbevelingen voor goed rekenonderwijs (KNAW, 2009, p. 50): • “erkenning dat leren rekenen een actief en constructief gebeuren is en van de cruciale rol die voorkennis daarin speelt; • de nadruk die er in de instructie op begripsmatige kennis en op probleemoplossend denken wordt gelegd; • de reserves tegen het opleggen van één uniform denkmodel of één vaste oplossingsmethode aan alle leerlingen; • het intensief gebruik van interactieve werkvormen; • de inspanningen die men zich getroost om het leren van rekenen in te bedden in betekenisvolle, authentieke contexten.” Alle punten hebben te maken met de kijk van de leraar op leren. Bij de eerste drie punten gaat het over de kijk op leren in de betekenis van ‘to learn’, de laatste twee verwijzen naar de didactische bekwaamheid van de leraar, dit wil zeggen leren in de betekenis van ‘to teach’. Fennema en Franke (1992) onderscheiden drie soorten vakspecifieke kennis van de leraar: • kennis van rekenen en wiskunde; • kennis van wiskundige representaties; • kennis van leerlingen. De laatste twee maken onderdeel uit van ‘pedagogical content knowledge’


23

(PCK), met andere woorden: de vakdidactische kennis. Onderzoek heeft het positieve effect aangetoond van nascholing van leraren gericht op het verhogen van PCK en vooral op het vergroten van hun kennis van het denken van de leerlingen. In een bredere context dan rekenen analyseerde Hattie (2009) allerlei onderzoeken die betrekking hebben op prestaties van leerlingen. Om te beginnen maakt hij duidelijk dat een uitspraak als ‘de leraar maakt het verschil’ ons op een dwaalspoor kan brengen. Volgens hem is helder dat niet alle leraren effectief zijn: ze zijn niet allemaal expert en niet alle leraren hebben een krachtig effect op hun leerlingen. Juist het verschil in kwaliteit en effect doet ertoe! Uit zijn studie blijkt dat de grote verschillen tussen de leraren de verschillen in kwaliteit van de resultaten verklaren. Het krachtigste verschil tussen een goede en een minder goede leraar heeft te maken met de graad waarin de leraar passende uitdagende doelen voor leerlingen stelt. Andere verschillen die ertoe doen zijn onder andere: respect voor de leerlingen, een positief klimaat in de klas dat het leren bevordert, passie voor onderwijzen en leren, goed inzicht in de eigen onderwijsstijl en het effect ervan op de leerling. Tegelijkertijd wijst hij erop dat de invloed van ‘zwakke’ leraren vernietigend (‘devastating’) kan zijn. Sanders en Rivers (1996) stellen dat de effecten van een kwalitatief zwakke leraar jaren blijven doorwerken nadat een leerling deze leraar heeft gehad. Hattie (2009) stelt dat de kracht van een positieve relatie tussen leraar en leerling een kritieke factor is die het leren al dan niet mogelijk maakt. Toen aan leerlingen, ouders, schoolleiders en leraren gevraagd werd wat de prestaties van leerlingen beïnvloedde, benadrukte iedereen behalve de leraren zelf de relatie tussen leraar en leerling. Samengevat De invloed van de leraar op het verbeteren van het rekenonderwijs is groot. Vooral de vaardigheden van de leraar op het gebied van klassenmanagement, inclusief zijn effectief tijdgebruik en of hij erin slaagt de motivatie van de leerlingen te verhogen, doen ertoe. Ook zijn opvatting over leren en onderwijzen speelt een grote rol. Eigen vakkennis en vakdidactische kennis zijn eveneens belangrijke factoren, evenals het vergroten van het denken van de leerling. Daarnaast blijkt de relatie tussen leraar en leerling de prestaties sterk te beïnvloeden.

24


Instructie Uit onderzoek van Hiebert en Grouws (2007) blijkt duidelijk de invloed en het belang van instructie. Onderscheid wordt gemaakt tussen instructie voor het opdoen van vaardigheden en instructie voor het creëren van conceptueel begrip. Wat vaardigheden betreft, is het van belang dat de leraar veel productgerichte vragen stelt en dat hij de overgang maakt van demonstreren (modelleren) naar oefenen zonder fouten. Hierbij is de rol van de leraar heel groot: hij bepaalt het tempo, de doelen en organiseert de leersituatie. Wat betreft conceptueel begrip is het van belang dat leerlingen zelf moeite moeten doen om iets uit te puzzelen en niet gewoon informatie krijgen, memoriseren of oefenen wat gedemonstreerd is. Kroesbergen en Van Luit (2003) onderzochten welke interventies qua instructie ertoe doen bij kinderen die meer moeite hebben met rekenen. Zij onderscheiden drie instructievarianten: • directe instructie; • zelfinstructie; • mediated/assisted instructie. Directe instructie en zelfinstructie maken gebruik van een vast stappenplan voor het aanleren van een bepaalde strategie. Bij directe instructie brengt de leraar zijn eigen oplossingswijze over. Bij zelfinstructie doorloopt de leerling een procedure in vier stappen waarbij hij met meer of minder verbale hulp een op zijn voorkennis afgestemde oplossingsstrategie leert. De mediated/ assisted instructie kent geen vast stappenplan: de leraar probeert bij een gewenste oplossingsstrategie te komen uitgaande van de representaties/ strategieën van de leerling. Uit het onderzoek blijkt dat in het algemeen zelfinstructie effectiever is dan directe instructie en mediated/assisted instructie. Op het gebied van de basisvaardigheden blijkt directe instructie het meest effectief. De aanpak van mediated/assisted instructie die wordt gebruikt bij realistisch rekenen, is minder effectief dan zelfinstructie en directe instructie. Op de website www.rekenpilots.nl zet Gelderblom (2009) een aantal punten op een rijtje die nodig zijn om tot goed rekenonderwijs te komen. Voorwaarden voor effectieve rekeninstructie zijn volgens hem: • dat er doelgericht gewerkt wordt; • dat extra tijd wordt geïnvesteerd in zwakke rekenaars (pre-teaching en verlengde instructie); • dat het formele rekenen grondig wordt voorbereid; • dat er voldoende aandacht is voor het automatiseren van de basisvaardigheden.


25

Er zijn meer bronnen die leraren proberen te informeren over wat er werkelijk toe doet om tot beter rendement te komen. Zo staan op één van de vele kwaliteitskaarten rekenen van de PO Raad5 belangrijke didactische aandachtspunten vermeld om tot hoger rendement te komen. • Vergroot het inzicht in doorlopende leerlijnen bij leraren. • Ontdek de witte vlekken in de rekenmethode. • Verbreed de instructievaardigheden van leraren. • Ga goed om met verschillen tussen leerlingen. • Zorg voor een eenduidige zorgstructuur. Samengevat Bij het leren van vaardigheden gaat het vooral om het demonstreren en het oefenen, terwijl het bij het verwerven van inzicht eerder gaat om het zelf ontdekken, zelf uitzoeken. Bij zwakkere rekenaars is directe instructie het meest effectief op het gebied van de basisvaardigheden. In zijn algemeenheid blijkt zelfinstructie het meest effectief. Doelgericht werken, extra tijd investeren in zwakke rekenaars en voldoende tijd besteden aan het automatiseren van basisvaardigheden dragen bij aan verbetering van het rekenonderwijs. De invloed van het zelfbeeld van kinderen Naast de rol van de leraar mogen we de invloed van de leerlingen zelf op hun prestaties niet onderschatten. Zo blijkt uit motivatieonderzoek van Dweck e.a. (Bors & Stevens, 2010) dat het zelfbeeld van leerlingen een zeer grote rol speelt bij wat voor soort doelen ze stellen, bij hun inzet, bij de manier waarop ze verklaringen zoeken voor hun succes of falen, bij hun leerstrategieën en bij hun resultaten. Volgens Dweck (2000) zijn er twee tegengestelde zelfbeelden die mensen hebben. Een aantal mensen denkt dat persoonlijke eigenschappen zoals karakter of intelligentie stabiel, onveranderlijk en onbeheersbaar zijn (de ‘entiteittheorie’); andere mensen zijn van mening dat persoonlijke kwaliteiten plooibaar, beheersbaar en kneedbaar zijn (de ‘groeitheorie’). Voor aanhangers van de groeitheorie is intelligentie zoiets als spierkracht (Bors & Stevens, 2010, p. 73): “door je hersens te gebruiken – door je actief in leersituaties te begeven – vergroot je je mentale capaciteiten.” Onderzoek van Blackwell e.a. (2003) waarin de wiskunderesultaten van 700 kinderen gedurende twee jaar gevolgd zijn, toonde ook aan dat het zelfbeeld van kinderen erg bepalend is. In dit onderzoek wordt duidelijk dat 5

Zie http://www.rekenpilots.nl/implementatiekoffer/kwaliteitskaarten.

26


kinderen die denken dat hun intelligentie een vaststaand feit is, de prestatie als doel beschouwen. Via een toets laat je immers zien hoe slim je bent. Bij tegenvallende resultaten geven deze kinderen op. Ze hebben minder inzet, haken af, gaan spieken, besteden minder tijd aan hun werk. Hun motivatie en zelfvertrouwen dalen. Kinderen die echter menen dat ze door hard werken hun intelligentie kunnen ontwikkelen, stellen het leren zelf als doel. Deze kinderen verbeteren hun wiskundeprestaties en hun zelfvertrouwen en motivatie nemen toe. Ander onderzoek levert meer informatie over beïnvloeding van het zelfbeeld van de leerling. • Het zelfbeeld van kinderen wordt sterk beïnvloed door de zelfbeeldtheorie van leraren uit lagere leerjaren. Het zelfbeeld van de leerlingen wordt immers ook bepaald door de (impliciete en expliciete) verwachtingen die leraren ten aanzien van hun leerlingen hebben (Dweck, 2000). • Verwachtingen van leraren hebben effect op de prestaties van jonge kinderen: kinderen van wie de leraren hoge verwachtingen hebben, ontwikkelen zich intellectueel sterker. Dit wordt ook wel Pygmalioneffect genoemd (Rosenthal & Jacobson, 1968). • Een warme relatie tussen leraar en leerlingen is belangrijk voor het leerproces (Pederson e.a., 1978). • Kinderen weten zelf ook dat ze in de klas op een andere manier worden behandeld omwille van de verwachtingen die de leraar koestert (Weinstein, 2002). • ‘Wees bereid om verrast te worden’ blijkt een goede mantra te zijn om negatieve verwachtingseffecten te vermijden (Hattie, 2009) Samengevat Het is belangrijk dat scholen opbrengstgericht rekenonderwijs verzorgen om de kwaliteit van hun onderwijs op peil te houden. Opbrengstgericht rekenonderwijs houdt in dat de scholen hun rekenresultaten kritisch analyseren en daarop actie ondernemen. Het is daarbij vooral de leraar die het verschil kan maken. Er blijkt onder andere dat de rol van de leraar groter is dan die van de gekozen didactiek (realistisch of traditioneel), maar ook dat meer onderwijstijd leidt tot betere resultaten en dat hulp in kleine groepjes positieve effecten kent. Rekenzwakke kinderen lijken meer gebaat met sturende hulp van de leraar dan met een vrijere vorm van instructie. Kwaliteits-/resultaatsverbetering vindt plaats door: • een gedifferentieerde aanpak die aansluit bij de onderwijsbehoeften van de leerlingen;


27

•

• • • • • •

een opbrengstgerichte aanpak waarbij resultaten worden geanalyseerd en daarna adequate actie door vakinhoudelijke en vakdidactische interventies wordt ondernomen; het stellen van duidelijke doelen en die ook evalueren; adequate en effectieve instructie; bevorderen van een positief zelfbeeld van de leerlingen en hoge, positieve verwachtingen; kennis van doorlopende leerlijnen; structurele aandacht voor automatiseren; extra tijd voor zwakke rekenaars afgestemd op de onderwijsbehoeften van de leerlingen en met een doelgerichte aanpak.

2.3 Een praktijkvoorbeeld Aan het begin van dit hoofdstuk hebben we basisschool De Kindertuin geïntroduceerd, een school die rekenzwak dreigde te worden. Wat heeft deze school gehad aan de informatie over opbrengstgericht rekenonderwijs en waartoe heeft dit geleid? Uiteraard wil de school graag beantwoorden aan de kwaliteitseisen van de inspectie. Met de wetenschap over betere resultaten in het achterhoofd is de school aan de slag gegaan en heeft zich de volgende vragen gesteld. • Wat laten de resultaten en de trendanalyses per groep zien? • Welke rekenonderdelen in welke groepen vragen om specifieke aandacht? • Welke oorzaken vinden we om de lagere resultaten op specifieke rekenonderdelen in bepaalde groepen te verklaren? En welke oplossingen zijn mogelijk? • Wat moeten we als team veranderen en wat en wie hebben we daarbij nodig? • Wanneer starten we met die veranderingen en wanneer willen we welke resultaten bereiken? De Kindertuin heeft inmiddels een aantal acties ondernomen. • Er heeft een scholing plaatsgevonden om de kennis van de leraren in verband met opbrengstgericht rekenonderwijs te vergroten en ook om de didactische vaardigheden te vergroten. De professionalisering bestond uit: informatie krijgen over effectief rekenonderwijs om aan de kennisbasis te werken, kennismaken met actieve verwerkingsvormen direct gerelateerd aan het onderwijs in de groep van ‘morgen’, samen voorbereiden in regelmatig werkoverleg in de bouw en samen reflec-

28


•

•

•

•

•

teren op taakopvatting en opvattingen over leren rekenen. De scholing richtte zich op de volgende vaardigheden van leraren in het rekenonderwijs: ‘baas over de methode’ worden, doelgericht en planmatig werken, differentiëren op grond van leerresultaten en analyse van leerresultaten, degelijk voorbereiden van rekenonderwijs, een rijke rekenomgeving realiseren, werk van leerlingen volgen, proces- en productfeedback geven aan leerlingen, en oplossingsstrategieën aanleren door instructie en begeleiding. Vervolgens hebben de leraren voor de start van een blok een voortoets afgenomen zodat ze duidelijk zicht hadden op wat de leerlingen al beheersten en wat ze nog moesten leren. Er is een duidelijke analyse van de resultaten gemaakt. De leraren zijn samen aan de slag gegaan met het begrijpen van de onderwijsbehoeften van de leerlingen naar aanleiding van de voortoets. Zij hebben vooral gekeken naar de leerlijnen in het rekenblok. (Welke doelen zijn nieuw voor de leerlingen? Welke doelen worden herhaald? Welke doelen zijn verdieping/verbreding?) De leraren kregen zicht op de structuur van de methode. Ze gingen na bij welke doelen klassikale instructie nodig was en welke leerlingen aanvullende, extra of andere instructie nodig hadden. En de leraren kregen inzicht in de methode in relatie tot de onderwijsbehoeften van de leerlingen. Ze zochten ook naar een effectieve structuur van de rekenles. Op basis van de onderwijsbehoeften van de kinderen hebben de leraren een groepsplan geschreven waarbij ze rekening hielden met de onderwijsbehoeften van de kinderen en waarbij heldere rekendoelen zijn gesteld. In de lessen lieten ze de methode meer los omdat ze zich vooral hebben gericht op de behoeften van de kinderen met de doelen in het achterhoofd. Tevens hebben ze sterk nagedacht over hoe de kinderen het best konden leren, bijvoorbeeld door concreet ervaren, of door meer automatiseren, of door samen te werken. In alle groepen hebben groepsbezoeken plaatsgevonden om te kijken of de leraarvaardigheden verbeterd zijn en het beoogde doel is bereikt met de nieuwe aanpak.

Uit deze manier van werken blijkt dat opbrengstgericht werken meer is dan alleen het kritisch bekijken van resultaten aan het begin en het einde van een interventie. Het gaat vooral om het ondernemen van gerichte actie op basis van wat je weet over goed rekenonderwijs. Daarbij sloten de leraren nauw aan op de onderwijsbehoeften van de kinderen en formuleerden ze die behoeften in te behalen doelen en een gewenste aanpak. De resultaten van deze interventies waren duidelijk merkbaar, zelfs zozeer dat de leraren grip


29

hebben gekregen op het onderwijsleerproces en op het realiseren van opbrengsten. Eén van de leraren gaf aan dat de succesfactoren onder andere waren: • “kinderen zijn veel meer gemotiveerd en betrokken door een andere manier van lesgeven; • een gezamenlijke voorbereiding op onze school door de leraren in de bouw; • het teruggrijpen naar rekenontwikkel-materialen als daar om gevraagd wordt; • aansluiten bij de individuele wensen en behoeften van het individuele kind, de werkwijze biedt differentiatie op allerlei niveaus en dat geeft betere opbrengsten; • gedifferentieerd lesgeven en efficiënter werken in de geplande onderwijstijd; • het loslaten van de methode en het bewust maken van keuzes door de leraar; • kritisch kijken naar de methode, de methode op bepaalde momenten los durven laten en durven te kiezen voor wat de leerlingen in de groep nodig hebben.”6 Samengevat Een basisschool kan de resultaten verbeteren door: • opbrengstgericht te werken; • de resultaten goed te analyseren (welk rekenonderdeel in welke groep(en) dient verbeterd te worden); • in de methode te kijken of dit onderdeel en de bijbehorende tussendoelen voldoende aan bod komen en indien dit niet zo is hier extra materiaal bij te zoeken; • de juiste acties te ondernemen op basis van de resultaten; • te werken aan inzicht in de betreffende leerlijn(en); • aan te sluiten bij de onderwijsbehoeften van de kinderen, bijvoorbeeld door een pre-toets af te nemen en kinderen op basis daarvan gerichte en gedifferentieerde instructie te geven; • dagelijks tien minuten te automatiseren; • de rekentijd in de verschillende groepen te verhogen; • te werken aan rekeninzicht en vanuit handelen te komen tot modelmatige en abstractere vormen van rekenen; • concrete en meetbare doelen te stellen en die te monitoren.

6

Citaat afkomstig uit een intern evaluatieverslag van KPC Groep (mei-juli 2010)

30


3 De referentieniveaus in de praktijk: meten en meetkunde

In hoofdstuk 1 zijn we dieper ingegaan op het belang van een doorgaande lijn tussen PO en VO en de rol van de referentieniveaus. In hoofdstuk 2 hebben we stilgestaan bij wat er werkelijk toe doet bij het realiseren van opbrengstgericht rekenonderwijs. In dit hoofdstuk geven we een voorbeeld hoe de referentieniveaus concreet vertaald kunnen worden door scholen en hoe dit opgepakt kan worden in een doorgaande lijn van primair naar voortgezet onderwijs. We nemen u mee in de ontwikkelingen op een aantal scholen. De informatie is afkomstig uit een praktijkgericht onderzoek van KPC Groep bij vijf scholen: drie PO-scholen en twee VO-scholen.

3.1 Verschillen tussen PO en VO Omdat het voor de scholen onhaalbaar was voor alle vier de rekendomeinen een concrete vertaling te maken in de gegeven tijd, is samen met de scholen in een POVO-overleg een keuze gemaakt om ‘meten en meetkunde’ in de praktijk verder uit te werken. Deze keuze blijkt eveneens goed aan te sluiten bij constateringen van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen dat dit onderwerp in het primair onderwijs sterk onderbelicht is. Bovendien komt dit domein in rekenmethodes vaak te fragmentarisch aan bod. Uit het PPON-onderzoek (2005) blijkt dat de resultaten op dit domein sterk aan het dalen zijn. Om de verschillen in benadering tussen het PO en het VO duidelijk te maken, starten we met een praktijkvoorbeeld. Tijdens een POVO-overleg vertelt de leraar uit groep 7 en 8 wat een geweldige les rekenen hij de afgelopen week heeft gegeven. De kinderen in de klas hebben aan den lijve kunnen ervaren wat een kubieke meter is. Ze hadden een kubieke meter opgebouwd. Vervolgens kregen ze de opdracht de inhoud van ruimtes te schatten en daarna concreet te meten hoeveel van die kubieke meters erin konden. Volgens de leraar


31

hebben de leerlingen zelf ervaren wat ‘kubieke meter’ betekent en waren ze ook erg enthousiast. De leraar uit het VO kijkt hem vragend aan: “Waarom geef je ze niet gewoon de formule en de uitleg? Dat vraagt minder tijd.” Realistisch en mechanisch rekenonderwijs Sommige leraren zijn vanuit hun eigen schoolervaring voorstander van kale rijtjes met sommen (mechanistisch rekenen), andere leraren vinden opdrachten in concrete contexten (realistisch rekenen) noodzakelijk. Ligt de waarheid ergens in een combinatie tussen beide? Het voorbeeld van de kubieke meter sluit goed aan bij realistisch rekenonderwijs. Rekenen wordt in een duidelijke context geplaatst en er is een opbouw van concreet ervaren en inzicht verwerven naar uiteindelijk de abstracte som en de formele bewerkingen. Het realistisch rekenonderwijs ziet wiskunde als een menselijke activiteit die ontstaat in de realiteit. Het doel is die realiteit te begrijpen. Het is daarom belangrijk om rekenen te plaatsen in een realistische context, leerlingen hun eigen oplossingsstrategie te laten ontwikkelen en daar samen op te reflecteren. De meeste rekenmethodes in het PO zijn gestoeld op een realistische didactiek. Momenteel zijn er ook bewegingen die juist de mechanistische benadering promoten die in de jaren 1950 - 1960 populair was. Deze benadering veronderstelt dat de leraar een efficiënte standaardmethode aanreikt en uitlegt om een probleem op te lossen, en dat kinderen daarna intensief en veelvuldig gaan oefenen tot ze dit beheersen. De behoefte aan deze benadering komt momenteel onder andere voort uit de veelgehoorde klachten dat er onvoldoende geautomatiseerd wordt en dat sommige kinderen meer gebaat zijn met één duidelijke oplossingsstrategie. In het VO wordt nauwelijks tijd besteed aan het concreet ervaren. De nadruk ligt eerder op oefenen en trainen. Oefenen en trainen zou in het hierboven genoemde voorbeeld uit het primair onderwijs volgen op de concrete ervaringen. Uit een KNAW rapport (2009) blijkt dat er geen eenduidige en gefundeerde conclusie kan worden getrokken over de relatie tussen rekendidactiek en rekenvaardigheid. Het realistisch rekenonderwijs tegenover het mechanistisch rekenonderwijs blijkt geen beter of slechter effect te hebben op de rekenvaardigheid van kinderen. De referentieniveaus geven zowel ruimte aan het realistische rekenonderwijs als aan het oefenen en automatiseren. Het verschil in effect wordt dus niet veroorzaakt door de gehanteerde didactische aanpak, maar wel door de leraar. Dit bleek al duidelijk in hoofdstuk 2.

32


IJsbergmodel Het voorbeeld van de kubieke meter heeft niet alleen te maken met de discussie over de verschillen in didactische aanpak, maar ook over een opbouw in het leren van concreet naar abstract. Deze opbouw wordt goed weergegeven in het zogenaamde ‘ijsbergmodel’, dat het belang erkent van ervaringen uit de werkelijkheid als een belangrijke stap op weg naar meer formeel rekenen. Het ijsbergmodel stelt dat de werkelijkheid op elk niveau betekenis verleent aan het rekenen en dat het rekenen op elk niveau toepasbaar is in de realiteit. De ijsberg (figuur 2) geeft een soort ‘didactische gelaagdheid’ aan. Uitleg model De didactiek van de ijsberg is ontstaan vanuit onderzoek naar het leren van zwakke leerlingen (Freudenthal Instituut e.a., 2003, p. 7): “Het grootste gedeelte van de ijsberg zie je niet, dat zit onder water, maar zorgt er wel voor dat het topje boven komt drijven. Als we de parallel trekken naar het rekenwiskunde onderwijs zou je kunnen zeggen, dat het maken van sommen niet meer is dan het topje van de ijsberg. Het met inzicht kunnen oplossen van een rekenopgave is echter gebaseerd op een breed draagvlak van kennis en vaardigheden (het drijfvermogen). In het onderwijs wordt er relatief veel tijd en energie gestopt in het topje van de ijsberg (de formele bewerkingen), en naar verhouding weinig in het ontwikkelen van het drijfvermogen.”

Figuur 2 Het ijsbergmodel uitgewerkt voor rekenen


33

Boswinkel en Moerlands (2003, p. 6) stellen dat: “het zich eigen maken van rekenwiskunde vaardigheden een proces is dat verschillende niveaus doorloopt.” Zij onderscheiden in de ijsberg vier niveaus: het niveau van de wiskundige wereldoriëntatie, het niveau van modelmateriaal, het bouwsteenniveau en het niveau van formele bewerkingen. Het niveau van de wiskundige wereldoriëntatie is het meest basale niveau. Op dit niveau maken kinderen binnen een inleefbare situatie kennis met getallen. Op het niveau van de modelmaterialen maken de kinderen kennis met materialen die de concrete werkelijkheid symboliseren. Het bouwsteenniveau is het niveau van de getalrelaties. Tot slot is er het formele niveau van de sommen. Er wordt aangeraden met leerlingen de verschillende niveaus te doorlopen. Sommige kinderen hebben behoefte om langer stil te blijven staan bij ervaringen in de realiteit, terwijl andere kinderen op basis van eerder opgedane inzichten sneller kunnen overstappen naar een abstractere vorm. Als we de ijsberg van de voet naar de top bekijken, zien we een bepaalde formalisering: van wiskundige wereldverkenning (waar kom je wiskunde tegen in het dagelijks leven) tot symboliseren (bijvoorbeeld de eierdoos), modelleren (bijvoorbeeld de vijf- of tienstructuur) tot de ontwikkeling van notatievormen (bijvoorbeeld sommen). Dat betekent steeds meer afstand kunnen nemen van die realiteit. Dit model kan leraren helpen om de kinderen op een adequate manier te ondersteunen bij het formaliseren, zowel bij een stap vooruit als bij een stapje terug. Leraren kunnen bij de inrichting van de leeromgeving rekening houden met de achterliggende principes van het ijsbergmodel: van concrete ervaringen in de werkelijkheid tot formele sommen. Gevolgen voor afstemming Uit het praktijkvoorbeeld van de kubieke meter blijkt dat de betreffende VO-leraar eerder insteekt op het formele niveau bovenaan de ijsberg, terwijl de PO-leraar aandacht en tijd besteedt aan de verschillende stappen om te komen tot het formele niveau via ervaringen van de leerlingen en symbolisch materiaal. Wat dit voor gevolg kan hebben voor verschillende scholen en voor de afstemming tussen PO en VO, maken we in paragraaf 3.2 duidelijk aan de hand van een doorlopend traject waarin visie en didactiek tussen PO en VO worden afgestemd.

34


3.2 Een mogelijk traject met bovenbouw PO en onderbouw VO In dit traject vormt het opbrengstgericht werken de rode draad. De leraren doorlopen de stappen van het waarnemen (resultaten analyseren), onderwijsbehoeften begrijpen, plannen en realiseren op basis van kennis en vaardigheden met betrekking tot meten en meetkunde. De referentieniveaus worden geconcretiseerd voor meten en meetkunde en er wordt getracht rekening te houden met de ijsberg en met inzichten vanuit onderzoek. Er zijn didactische interventies gepleegd om te kijken of didactische afstemming haalbaar en mogelijk is.

3.2.1 Beginsituatie in beeld brengen: meten en meetkunde Dit traject hebben we uitgevoerd op drie PO-scholen en twee VO-scholen. In een bijeenkomst met leraren uit de bovenbouw van het PO en uit de onderbouw van het VO werd duidelijk dat meten en meetkunde een onderwerp is waarop duidelijk winst te behalen valt en waarop de leraren graag samen willen werken om van elkaar te leren. Van dit domein wisten ze ook het minst af. De twee VO-scholen geven overigens geen rekenonderwijs, wel wiskunde. Om de keuze voor dit gemeenschappelijk onderwerp te onderbouwen namen de PO- en VO-leraren vanuit het oogpunt van een doorgaande lijn dezelfde voortoets af bij hun leerlingen. Deze ABC-toets van de Hogeschool Utrecht (Groenestijn, 2007) is een toets die in het voortgezet onderwijs wordt gebruikt. De toets is afgenomen om de onderwijsbehoeften van leerlingen zichtbaar te maken: wat zijn de resultaten van de leerlingen aan het einde van de basisschool en het begin van het voortgezet onderwijs op de diverse rekendomeinen? De ABC-toets bestaat uit drie onderdelen. • Blok A: basisvaardigheden, basisoperaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met hele getallen, zowel in context als met kale sommen. Voorbeeld van een opdracht Welke som is goed? Kruis aan A, B of C. 150 + 15 : 3 kun je uitrekenen door: A 150 : 3 B 50 + 15 C 150 + 5


35

•

Blok B: inzicht in en bewerkingen met verhoudingen, breuken, procenten en kommagetallen. Voorbeeld van een opdracht Er zitten 24 leerlingen in een klas. De helft daarvan heeft een hond. Hoeveel leerlingen zijn dat?

•

Blok C: inzicht in elementaire begrippen van meten en meetkunde en rekenen met maten binnen het metriek stelsel, geld en tijd. Voorbeeld van een opdracht De winkel is open op de volgende tijden. Maandag: van 08.00 - 12.00 uur en van 12.45 - 18.00 uur Woensdag: van 08.00 - 10.15 uur en van 10.45 - 12.00 uur Vrijdag: van 13.00 uur - 16.30 uur en van 17.15 - 21.00 uur Hoeveel uur per week werkt de winkeljuffrouw?

Op basis van een analyse van de toetsresultaten werd duidelijk wat de hoogste prioriteit had om aan te werken. De toetsresultaten bevestigden de keuze om aan meten en meetkunde extra aandacht te besteden. Eén van de leraren van een kadergroep vmbo stelde bijvoorbeeld op deze manier duidelijk vast dat in zijn klas extra aandacht nodig was voor het meten van lengte, omtrek en het berekenen van oppervlakte. Hij merkte ook op dat het systematisch analyseren van gegevens veel meer zou moeten gebeuren op zijn school.

3.2.2 Vragen van de leraren De leraren van de deelnemende scholen zaten vooral met volgende vragen. • Wat houdt het domein Meten en Meetkunde in? • Hoe is de leerlijn Meten en Meetkunde opgebouwd? • Hoe leren leerlingen effectief binnen het domein Meten en Meetkunde? De eerste twee vragen hebben vooral te maken met kennis over het betreffende domein (referentieniveaus) en kenmerken van goed kwalitatief rekenonderwijs leidend tot hogere opbrengsten. De derde vraag heeft meer te maken met een kennisbasis over leren en leraarvaardigheden: • doelgericht en handelingsgericht werken door het analyseren van leerresultaten (waarnemen); • de onderwijsbehoefte van leerlingen zien (begrijpen);

36


onderwijs effectief plannen (uitgaande van leerdoelen, aansluiten bij de onderwijsbehoeften); • opbrengstgericht rekenonderwijs realiseren (leerlingen volgen, effectieve instructie, verwerking en feedback, evalueren en bijstellen). Daarnaast heeft de derde vraag te maken met attitudes van leraren: handelen vanuit leerdoelen en onderwijsbehoeften, en kritisch reflecteren op eigen leraargedrag in relatie tot het leerproces en de leerresultaten van de leerlingen. •

3.2.3 Een scholingstraject Er is een scholingstraject ontwikkeld waar leraren van de bovenbouw uit het PO en van de onderbouw uit het VO gezamenlijk aan deelnamen. De scholing richt zich op het versterken van de kennisbasis, het vergroten van de leraarvaardigheden en het bereiken van de eerder genoemde attitudes. Met als doel antwoord te geven op de in subparagraaf 3.2.2 vermelde vragen. Vraag 1: Wat houdt het domein Meten en Meetkunde in? Het is niet de bedoeling om in deze publicatie uit te leggen wat het domein Meten en Meetkunde inhoudt. Daarvoor verwijzen we graag naar publicaties als ‘Meten en meetkunde in de bovenbouw’ (Tal team, 2007) en ‘Richting geven aan onderwijs in meten en meetkunde in de bovenbouw’ (Verdiepingswerkgroep Panama-conferentie, 2006). De kennisbasis Wel schetsen we kort wat we verstaan onder meten en meetkunde. Bij meten gaat het om het krijgen van grip op eigenschappen van voorwerpen of situaties om ons heen, bijvoorbeeld de lengte, de inhoud of het gewicht van een voorwerp of de tijdsduur van een gebeurtenis. Deze eigenschappen worden grootheden genoemd. Meten is letterlijk het afpassen met behulp van een maat. Het aantal keren dat de maat afgepast kan worden, levert een meetgetal op. Om ‘af te passen’ worden allerlei meetinstrumenten ingezet, zoals liniaal, maatbeker, klok (naar Van Zanten, 2010). Leerlingen leren meten door metingen uit te voeren en meetinstrumenten af te lezen. Daardoor leren ze de maten van het metrieke stelsel kennen en krijgen ze inzicht in dit stelsel (kiezen van de juiste maat, maatverfijning en het interpreteren van meetfouten). In het PO komen op het terrein van meetkunde de volgende aspecten aan bod: oriënteren op plattegronden en lezen van kaarten, alledaagse meetkundige begrippen gebruiken in de vorm van vlakke en ruimtelijke figuren (bijvoorbeeld driehoek, vierkant, cirkel, kubus, rechthoek, parallellogram).


37

In het VO ligt bij meetkunde vooral de nadruk op het construeren met vormen en figuren in de ruimte (twee- en driedimensionaal). Vraag 2: Hoe is de leerlijn Meten en Meetkunde opgebouwd? Om te begrijpen hoe de leerlijn Meten en Meetkunde is opgebouwd, plaatsen we deze vraag in een breder kader: wat zeggen de kerndoelen, wat zeggen de referentieniveaus en hoe ziet de concretisering van deze referentieniveaus eruit? Kerndoelen In hoofdstuk 1 zijn we ingegaan op het verschil tussen de kerndoelen en de referentieniveaus. Ook hier blijkt dat de kerndoelen een beperkte beschrijving geven van wat de scholen moeten aanbieden. De volgende twee kerndoelen voor het primair onderwijs hebben betrekking op meetkunde respectievelijk meten. • Kerndoel 32 De leerlingen leren eenvoudige meetkundige problemen op te lossen (meetkunde). • Kerndoel 33 De leerlingen leren meten en leren te rekenen met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en temperatuur (meten).

38


Deze kerndoelen zijn vóór het verschijnen van de referentieniveaus nader uitgewerkt in diverse publicaties, zoals TAL7 van het Freudenthal Instituut en TULE8 van de SLO en in methodes voor rekenen en wiskunde. In de publicaties worden doelen gesteld die leiden tot wat eind groep 8 vanuit de kerndoelen van leerlingen wordt verwacht. Referentieniveaus De leraren wilden weten wat er in de referentieniveaus staat, dus wat de leerlingen moeten kennen en kunnen in groep 8 en in de onderbouw van het voortgezet onderwijs. Zoals eerder aangegeven, stellen de referentieniveaus vast wat de leerlingen moeten bereiken eind groep 8 (niveau 1F minimaal) en bij de afronding van het vmbo (niveau 2F). Op pagina 40 en 41 staat een gedeelte van de uitwerking van het referentieniveau Meten en Meetkunde niveau 1F tot en met 3F, onderdeel A9.

7 8

9

Kijk voor meer informatie over TAL op www.fi.uu.nl/talbovenbouw. Kijk voor meer informatie over TULE op http://tule.slo.nl/, onderdeel rekenen/ wiskunde. De complete uitwerking van het referentieniveaus, inclusief die van Meten en Meetkunde is te vinden op http://www.slo.nl/downloads/2009/referentiekader-taal-enrekenen-referentieniveaus.pdf (opgehaald 15 januari 2011).


39

A Notatie, taal en betekenis • Maten voor lengte,

oppervlakte, inhoud en gewicht, temperatuur • Tijd en geld • Meetinstrumenten • Schrijfwijze en betekenis van meetkundige symbolen en relaties



• Uitspraak en notatie van

• 1 ton is 1000 kg; 1 ton is

- (euro)bedragen - tijd (analoog en digitaal) - kalender, datum (23-11-2007) - lengte-, oppervlakte- en inhoudsmaten - gewicht - temperatuur • Omtrek, oppervlakte en inhoud • Namen van enkele vlakke en ruimte-

lijke figuren, zoals rechthoek, vierkant, cirkel, kubus, bol • Veelgebruikte meetkundige begrippen zoals (rond, recht, vierkant, midden, horizontaal etc.)

€ 100.000 • Voorvoegsels van maten megabyte,

gigagbyte • Symbool voor rechte hoek evenwijdig,

loodrecht, haaks, bouwtekening lezen, tuininrichting • Namen vlakke figuren: vierkant, ruit, parallellogram, rechthoek, cirkel • Namen van ruimtelijke figuren: cilinder, piramide, bol, een schoorsteen heeft ongeveer de vorm van een cilinder



• Meetinstrumenten aflezen en uitkomst

• Allerlei schalen (ook in beroepsitua-

noteren; liniaal, maatbeker, weegschaal, thermometer etc. • Verschillende tijdseenheden (uur, minuut, seconde, eeuw, jaar, maand) • Aantal standaard referentiematen gebruiken (‘een grote stap is ongeveer een meter’, in een standaard melkpak zit 1 liter) • Eenvoudige routebeschrijving (linksaf, rechtsaf)

ties) aflezen en interpreteren kilometerteller, weegschaal, duimstok • Situaties beschrijven met woorden, door middel van meetkundige figuren, met coördinaten, via (wind)richting, hoeken en afstanden, routebeschrijving geven, locatie in magazijn opgeven, vorm gebouw beschrijven • Eenvoudige werktekeningen interpreteren (montagetekening kast, plattegrond eigen huis)

Weten waarom Weten waarom • Eigen referentiematen ontwikkelen (‘in 1 kg appels zitten ongeveer 5 appels’) • Een vierkante meter hoeft geen vierkant te zijn • Betekenis van voorvoegsels zoals ‘kubieke’ Schema 3: Referentieniveau Meten en Meetkunde niveau F, gedeelte onderdeel A

40



Niveau 3F Voorbeelden

METEN • In bekende situaties notatie, naam (ook voorvoegsels) en betekenis van veelvoorkomende maten (eenheden en grootheden) paraat hebben MEETKUNDE • In authentieke situaties veelgebruikte meetkundige begrippen kennen (haaks, evenwijdig, richtingaanduidingen, ...) en veelgebruikte symbolen kunnen lezen • Namen van (in situaties) veelvoorkomende vlakke en ruimtelijke vormen kennen

METEN

Functioneel gebruiken METEN • Allerlei schalen van meetinstrumenten

aflezen, de aanduidingen correct interpreteren MEETKUNDE • Veelgebruikte meetkundige begrippen en woorden (bijvoorbeeld coördinaten in de werkelijkheid, namen van vormen, (wind)richtingen hoeken en afstanden) gebruiken om in diverse situaties vormen, voorwerpen, plaatsen in de ruimte en routes te beschrijven • Eenvoudige werktekeningen interpreteren Weten waarom

• Gewicht op personenweegschaal aflezen in kg en

op keukenweegschaal in gram • Weten dat een bestand van 3571 KB ruim 3

megabyte is • Maataanduidingen op verpakkingen en ‘alledaag-

se’ meetinstrumenten aflezen en interpreteren • Weten dat bij gewicht geldt: 1 ton is 1.000 kg; en

bij geld 1 ton is € 100.000 MEETKUNDE • Symbolen in een bouw-tekening voor verbouwing van eigen huis of nieuwe tuininrichting lezen • Weten wat bedoeld wordt met: links van de cilindervormige schoorsteen en het piramidevormige dak Voorbeelden METEN • Kilometerteller, weegschaal en duimstok aflezen MEETKUNDE • Route naar stageadres beschrijven: 3e rechts, 300 meter verder scherpe bocht naar links • Locatie in magazijn opgeven via de daar gebruikelijke coördinaten (bijvoorbeeld die in de Ikea) • Vorm van een gebouw beschrijven • Coördinaten in Google Earth gebruiken • In de montagetekening van een kast de vorm en plaats van onderdelen correct interpreteren • De vormen van de kamers van een plattegrond aflezen en beschrijven • Bij een tuinontwerp de schaalaanduiding correct interpreteren Voorbeelden


41

De SLO heeft voor niveau 1F van de referentieniveaus een concretisering gemaakt met voorbeelden (Noteboom, 2008)10. Onderstaand de uitwerking Meten, onderdeel Lengte en omtrek: METEN: Lengte en omtrek Fundamentele doelen

Voorbeelden

• Kunnen meten en vaststellen van

- Hoeveel centimeter is jouw tafel lang? Precies?

lengtes met meetinstrumenten als liniaal, meetlat, rolmaat, huishoudcentimeter, kilometerteller, enzovoort en uitdrukken in meters, centimeters en/of millimeters en omgekeerd: kunnen afpassen/aangeven van een bepaalde lengte in meters, centimeters en/of millimeters door gebruik te maken van passende meetinstrumenten • Kunnen afpassen van lengtes met

behulp van een eenvoudige schaallijn en werkelijke afstanden bepalen • Kennen van de lengtematen kilometer

(km) meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm) en millimeter (mm), de samenhang tussen deze maten zien in betekenisvolle situaties; en hiermee veelvoorkomende herleidingen kunnen maken - van km naar m - van m naar dm, cm en mm - van dm naar m en cm - van cm naar m en mm - van mm naar cm, in betekenisvolle contexten, ook met daarbij behorende kommagetallen; zowel precies als via afronden

Kun je nog preciezer meten, bijvoorbeeld ... cm en ... mm - Hoe lang zou je schrift zijn? Wat denk je? En het lokaal? Meet maar eens, welke meetlat gebruik je en waarom? - Het wereldrecord verspringen staat op 8,95 meter. Hoe ver is dat ongeveer denk je? Zo lang als dit lokaal? Teken die afstand eens op het schoolplein. Hoe ver spring je zelf? Wat betekent 8,95. Zijn dat mm, cm, m, km? - Op een plattegrond van een bouwtekening is een schaallijn afgebeeld. ___ (1cm) is in werkelijkheid 1 m. Kijk en meet op de plattegrond. Hoe breed is het huis? - Op de fietspaddenstoel staat dat het naar het zwembad nog 2,5 km is. Hoeveel meter is dat? Of: Dat is 2 km en ....... m - Ayoub is 1,75 meter. Dat is .... meter en .... cm of .... cm - Het A4-papier is 300 mm lang. Dat is .... cm; De kamer is precies 7 meter lang, dat is ..... cm - Hoeveel stukjes van 25 cm kun je knippen uit een touw van 1 meter? - 1,65 meter betekent 1 meter en 65 cm (65 honderdsten van een meter); 23,1 cm betekent 23 cm en 1 mm (ééntiende cm)

De concrete uitwerking is te downloaden van de site van SLO: www.slo.nl/downloads/2009/Fundamentele__doelen__rekenwiskunde__herzien.pdf (opgehaald 15 januari 2011).

10

42


• Vergelijken en ordenen van lengtes op

- Leg de voorwerpen in volgorde van kort naar lang.

basis van schatten of van gegeven aanduidingen

Waar let je dan op? Hoe kun je het uitzoeken als ze even lang lijken? - Welke dingen in dit lokaal zijn ongeveer 1 meter lang? Welke zijn langer, welke zijn korter dan 1 meter? • Kennen van de begrippen lengte, - Van rechthoekige figuren (bijvoorbeeld plattebreedte en omtrek en de omtrek gronden van tuinen, kamers) en van veelhoeken de globaal en precies kunnen bepalen van omtrek bepalen door te meten of door gebruik te figuren, op basis van meten, schatten maken van een onderliggend rooster met een en rekenen maat • Kunnen berekenen van de omtrek van - Omtrek van een ronde/rechthoekige tafel of rechthoekige figuren door gebruik te fietswiel meten maken van de kennis dat de omtrek - Van grillige figuren de omtrek uitrekenen door 2x de lengte en 2x de breedte is (geen gebruik te maken van de onderliggende roosterformule) of structuur en een gegeven lengtemaat; of met een lengte+lengte+breedte+breedte of touwtje varianten hierop (dit met eenvoudige - De tuin is 12 meter lang en 5 meter breed. We getallen) zetten er een hek omheen. Hoeveel meter hek hebben we dan nodig? Wat is de omtrek? • Kennen en notie hebben van enkele - Een deur/bed is ongeveer 2 meter; je loopt veel voorkomende referentiematen bij ongeveer 4 km per uur, een kilometer is ongeveer lengte en afstanden en kunnen kiezen van school tot ....; een meter is een hele grote van de juiste maat in de gegeven stap, gespreide duim/wijsvinger is ongeveer 10 cm context of 1 dm; de schoolliniaal is 30 cm lang - In deze straat spelen kinderen en mag je maar 30 cm/m/km per uur rijden. Kies wat juist is. Schema 4 Uitwerking Meten, onderdeel Lengte en omtrek (Noteboom, 2008)


43

En het onderdeel Plattegronden, en Oriënteren en lokaliseren als voorbeeld voor Meetkunde: MEETKUNDE Fundamentele doelen Plattegronden • Kunnen lezen en interpreteren van gegevens op plattegronden: - interpreteren van legenda’s - routes kunnen tekenen en beschrijven met begrippen als links, rechts, rechtdoor en met behulp van een rooster met coördinaten - afstanden berekenen met behulp van een eenvoudige schaallijn en afpassen - lokaliseren van plaatsen op een plattegrond (met behulp van een rooster of coördinaten) - mentaal innemen van een standpunt op een plattegrond en daarbij ruimtelijk redeneren Oriënteren en lokaliseren • Standpunt kunnen bepalen bij een ruimtelijke tekening op basis van een tweedimensionale tekening of foto; mentaal innemen van een standpunt en ruimtelijk redeneren

Voorbeelden

- De kinderen bekijken een kaart van de eigen wijk of eigen stad, omgeving. De kaart heeft een rooster, een legenda, een schaallijn en eventueel een register: . In A5 staat het ziekenhuis. Kun je dat vinden? . Door welke vakken op de kaart kom je als je van huis naar school gaat? . Wijs eens aan hoe je van de school naar het zwembad kunt gaan. Welke straten moet je dan door? . Wat betekent het dubbele zwarte lijntje op de kaart, hoe weet je dat? . Hoe ver is het ongeveer van school naar het zwembad? Waaraan kun je dat zien?

- Leerlingen hebben in de klas enkele foto’s

gemaakt. Ze bekijken nu de foto’s en moeten uitzoeken waar de fotograaf stond toen hij de foto maakte: waar precies? Hoe weet je dat, waar let je dan op? Waarom kan hij niet ‘daar’ gestaan hebben? Schema 5 Uitwerking Meetkunde onderdeel Plattegronden, en Oriënteren en lokaliseren (Noteboom, 2008)

44


Vraag 3: Hoe leren leerlingen effectief binnen het domein Meten en Meetkunde? Zodra de leraren wisten wat de kerndoelen en de referentieniveaus voor het domein Meten en Meetkunde inhielden, kwam de vraag hoe ze tot het gewenste eindniveau komen. Ze vroegen zich vooral af welke stappen ze dienen te zetten in de leerlijn. Leerlijn Meten en Meetkunde Er is door KPC Groep in samenwerking met SLO en het Freudenthal Instituut een leerlijn voor primair onderwijs tot en met klas 2 van het voortgezet onderwijs uitgewerkt voor dit domein. Deze leerlijn is gebaseerd op de Tal-uitgaven van het Freudenthal Instituut (2004, 2007) en de cruciale leermomenten rekenen (Verbeeck & Verschuren, 2010). De PO- en VO-scholen hebben gereflecteerd op de concrete uitwerking van deze leerlijn11. Ter illustratie staat onderstaand een overzicht van de onderwerpen van deze leerlijn over de leerjaren heen. Groep 1

Groep 2

Groep 3

Groep 4

Groep 5

Groep 6

Groep 7

Groep 8

Klas 1

Klas 2

Meten

Oriëntatie op meten

Lengte

Grootheden en meetinstrumenten

Oppervlakte

Meetkunde

Metriek maatstelsel

Omtrek/oppervlakte/ inhoud

Ruimtelijke oriëntatie

Representeren en visualiseren

Vormen en ﬁguren

Rekenen in de meetkunde

Figuur 3 Overzicht van de onderwerpen van de leerlijn Meten en Meetkunde

De uitgewerkte rekenlijn is te vinden op: http://www.fi.uu.nl/rekenlijn/viewer/?domainid=2 (opgehaald 15 januari 2011) . Daar staan de doelen weergegeven en ook nuttige achtergrondinformatie.

11


45

Bij alle onderdelen wordt nuttige achtergrondinformatie gegeven. We geven als voorbeeld de informatie die vermeld staat bij omtrek, oppervlakte en inhoud in klas 1 en 2 (VO-onderbouw): Omtrek, oppervlakte en inhoud Op het grensvlak van meten en meetkunde breiden leerlingen in het voortgezet onderwijs hun kennis uit op het gebied van maten voor lengte, oppervlakte en inhoud. Het gaat hier met name om de samenhang tussen de een-, twee- en driedimensionale eenheden uit het metriek stelsel. Omtrek

Bij niveau 1F hoort het meten en berekenen van omtrekken van rechthoekige figuren en ook het meten van de omtrek van grillige figuren. In alle richtingen in het voortgezet onderwijs wordt de formule voor de omtrek van de cirkel behandeld. Het meten van de omtrek van grillige figuren in het PO is hierop een goede voorbereiding. In het VO kan daarbij aangesloten worden door het behandelen van de formule voor de omtrek van een cirkel vooraf te laten gaan door het meten van de omtrek van cirkelvormige voorwerpen. Op die manier kan ook het vermoeden van een verband tussen straal en omtrek van een cirkel geformuleerd worden (de omtrek is iets meer dan zes keer de straal).

Oppervlakte

In het basisonderwijs leren de kinderen de vierkante meter (m²), vierkante decimeter (dm²) en vierkante centimeter (cm²) als oppervlaktematen.

46


Ze gebruiken deze standaardmaten aanvankelijk nog om oppervlaktes te bedekken (via rijtjes leggen), maar gaandeweg wordt naar een meer formeel niveau gewerkt: het wordt dan een vermenigvuldiging. De kinderen leren ook welke maten in welke contexten het meest passend zijn (bij de oppervlakte van een land praat je over een aantal vierkante kilometers, bij een tuin niet). De kinderen ontwikkelen passende referentiematen, zoals momenteel nog het zijbord van het schoolbord. In het VO berekenen de kinderen oppervlaktes van rechthoekige objecten, maar ook van eenvoudige onregelmatige figuren. Daarbij passen ze, vanuit inzicht ook de formule ‘lengte × breedte’ toe. Inhoud Aan het eind van de basisschool hebben de kinderen kennisgemaakt met inhoudsmaten zoals liter, kubieke decimeter, kubieke meter en hun verkorte notatie. Het tellen van bijvoorbeeld het aantal dozen dat in een grote verpakking past, bereidt voor op het berekenen van inhoud. In het VO gaan de leerlingen in het vmbo-basis meestal eerst blokjes van ongedefinieerde omvang tellen. De formules volgen daar in een veel later stadium. Leerlingen in het vmbo-gt gaan (net als in vmbo-kader) meteen gebruikmaken van gestandaardiseerde blokjes. Het inzicht dat 1 dm3 niet 10 of 100 maar 1000 cm3 is, kan worden ondersteund door concrete ervaringen. Het is ook in het VO belangrijk af en toe te checken of deze concrete basis er nog is. Een ander aspect dat aandacht krijgt vanaf groep 8, is de relatie tussen omtrek, oppervlakte en inhoud bij het vergroten of verkleinen van vormen en figuren. Bronnen • Tal lessen rond maten en hun voorvoegsels12 • Wiki rekenwiskunde onderwijs13 Bron: Rekenlijn http://www.fi.uu.nl/rekenlijn/viewer/?domainid=2

12 K ijk voor meer informatie over deze lessen op: http://www.fi.uu.nl/talbovenbouw/lessen_bij_poster.pdf (opgehaald 15 januari 2011). 13 Kijk voor meer informatie over Wike reken-wiskunde onderwijs op: http://www.fi.uu.nl/wiki/index.php/Categorie:Meten (opgehaald 15 januari 2011).


47

De uitwerking van deze rekenlijn stoelt eveneens op het ijsbergmodel. Samengevat ziet het ijsbergmodel voor meten er zo uit.

Afgeleide grootheden Maatberekeningen maken Relatie doorzien tussen maten lengte, inhoud, gewichten en kommagetallen Maten hanteren in model (getallenlijn) waardoor onderlinge verhouding zichtbaar wordt Meten met meetinstrumenten, leren standaardmaten en ‘meetweetjes’ op basis van meetervaringen Afpassend meten met natuurlijke maateenheid Vergelijken en ordenen van voorwerpen/samenstellen Begrippen ervaren en toepassen (breed, lang, hoog, laag, zwaar, licht, lengte, breedte, gewicht, inhoud, afstand, omtrek, oppervlakte en hoogte)

Figuur 4: IJsbergmodel voor Meten (Bron: Maaike Verschuren, KPC Groep en Marga Tubbing, C. van de Graaf en Partners)

En voor meetkunde kan dat er als volgt uitzien. Schatten en berekenen (hoeken, straal) Twee- en driedimensionale weergave maken en interpreteren van de werkelijkheid (bouwtekeningen, kaartlezen) Relaties en eigenschappen van vlakke en ruimtelijke figuren Oriënteren in de ruimte buiten de school: reflectie, verklaren, (mentaal) voorstellen en voorspellen (kijklijn, richting, draaiing, plattegrond, schaal) Vormen en figuren construeren (spiegelen) Leren van ruimtelijke begrippen en vlakke en ruimtelijke figuren Oriënteren, verkennen, waarnemen en beleven van de omgeving: lokaliseren en innemen van een positie

Figuur 5: IJsbergmodel voor meetkunde (Bron: Maaike Verschuren, KPC Groep en Marga Tubbing, C. van de Graaf & Partners)

48


Groepsplannen Daarnaast wilden de deelnemende leraren vooral weten wat ze konden doen om hun leerlingen verder te brengen en betere opbrengsten te behalen. Deze vraag is opgepakt door concreet aan de slag te gaan met de eigen groep. Op basis van de inhoudelijke analyse van de resultaten uit de ABC-toets hebben de leraren de onderwijsbehoeften van de leerlingen vastgesteld. Deze zijn vastgelegd in een groepsplan. Vervolgens is aan de hand van een kijkwijzer nagedacht over leraargedrag met betrekking tot doelen, werkvormen, differentiatie, variatie en feedback. In deze kijkwijzer is het gewenste leraargedrag geformuleerd in de vorm van gedragsindicatoren. Met deze kijkwijzer is het voor leraren duidelijk welk handelingsrepertoire wordt bedoeld, de kijkwijzer dient ook als observatielijst tijdens groepsbezoeken. Op basis van de onderwijsbehoeften en de bevindingen voor het leraargedrag uit de kijkwijzer is een groepsplan gemaakt. Nadat het groepsplan gedurende een geplande tijd is uitgevoerd, is aan de hand van dezelfde kijkwijzer vastgesteld op welke wijze er anders is gewerkt. De leraren hebben in hun groepsplan verschillende accenten gelegd afgestemd op de onderwijsbehoeften van hun leerlingen. We geven hier twee uitwerkingen. Eén van de leraren heeft in het groepsplan de methode ‘losgelaten’ en de te bereiken doelen gebaseerd op de toetsresultaten van de ABC-toets op het onderdeel C: ‘meten en meetkunde’, op het te behalen niveau 1F en op eigen observaties. Vanuit de doelen en de leerbehoeften van de kinderen heeft ze de instructie en de verwerkingsstof gekozen. Zo koos ze ook verwerkingsstof uit de methode ‘Pluspunt’. Het groepsplan heeft ze ingedeeld in een basisaanbod en een aanbod voor een subgroep 1, subgroep 2 en subgroep 3. Tijdens een klassikale instructie kregen alle leerlingen het basisaanbod. Na deze instructie werkte subgroep 3 vooral zelfstandig aan herhalings- en verdiepingsstof. Subgroep 2 kreeg verlengde instructie waarbij ze zelf veel mochten handelen met materialen en subgroep 1 kreeg extra instructie. De leraar besloot doelgericht te werken aan: • parate kennis en functioneel toepassen van lengtematen; • berekenen van omtrek, oppervlakte en inhoud, met aandacht voor de structuur van het metriek stelsel, begrippen (milli, centi, deci, hecto, kilo); • het omrekenen van inhoudsmaten naar kubieke maten. De leerlingen werkten zowel zelfstandig, in tweetallen als in groepjes aan de verwerkingsopdrachten. Op pagina 50 en 51 staat een groepsplan van een andere leraar.


49

Schema 50 6: Voorbeeld van een handgeschreven groepsplan



51

In dit voorbeeld is eveneens een onderscheid gemaakt in een basisaanbod en een aanbod voor drie verschillende groepen van leerlingen. • Subgroep 1 (zes leerlingen met 50-60% score) kreeg aanvullende instructie aan de instructietafel met materiaal. Deze leerlingen werkten met een maatschrift. De leraar observeerde bij deze groep of het materiaal goed werd gebruikt; gericht op het berekenen van omtrek, oppervlakte en maateenheden (m-km). • Subgroep 2 (drie leerlingen met 90-100% score) werd extra uitgedaagd, kreeg ander werk en onderhield het automatiseren van sommen tot 100 met behulp van de computer. De leraar observeerde deze groep gericht op het gebruik van strategieën, oplossingswijzen, samenwerking, tempo en werkhouding. • Subgroep 3 (twee leerlingen met 30-40% score) kreeg extra hulp om gericht te werken aan het berekenen van omtrek en oppervlakte met behulp van materiaal en gesprekken met de leraar. Sommige leerlingen kregen ook nog extra hulp van de remedial teacher buiten de klas. Uit de verschillende groepsplannen blijkt dat alle leraren een groepsindeling hebben gemaakt vanuit de onderwijsbehoeften van de kinderen, gericht op doelen voor meten en meetkunde. In de onderwijsbehoeften is onderscheid gemaakt tussen meer of minder geleide instructie, meer of minder werken met materiaal, meer of minder verwerkingsstof en meer of minder feedback.

52


De leraren verschillen in de wijze waarop ze gebruikmaakten van de methode. Een leraar voegde zelf een onderdeel toe aan de reguliere lessen die al in de methode stonden gepland. Een andere leraar liet de methode los en ging zelf op zoek naar verwerkingsstof, werkvormen, hulpmiddelen, enzovoort. Weer een andere leraar probeerde vanuit de methodeles meer gedifferentieerd te gaan werken. Een voorbeeld van een gehanteerde kijkwijzer Als lessen systematisch worden bekeken in het kader van opbrengstgericht rekenonderwijs is het handig om gebruik te maken van een kijkwijzer. In bijlage 2 staat een voorbeeld hoe zo’n kijkwijzer eruit kan zien. Deze kijkwijzer bevat drie onderdelen: voorbereiding, realisering en nabespreking. De leraar gebruikt deze kijkwijzer ter voorbereiding van de les. Zo weet hij waar de observator naar komt kijken. Hij kan aan de hand van de genoemde aandachtspunten zijn les opzetten en focussen op het gewenste leraargedrag. De kijkwijzer wordt door de observator ingevuld tijdens de les. De leraar baseert zijn les op zijn groepsplan en het verwachte handelen van de leraar. Tijdens de nabespreking gebruikt de observator de kijkwijzer om met de leraar terug te blikken op de betreffende onderdelen. Aan het eind van de bespreking worden afspraken samen vastgelegd.

3.2.4 Acties in de klas De leraren hebben op basis van de achtergrondkennis over meten en meetkunde en de informatie uit het groepsplan over de onderwijsbehoeften van de leerlingen concrete acties ondernomen in de klas. De door de begeleiding voorgestelde interventies sluiten aan bij wat in hoofdstuk 2 vanuit onderzoek bekend is over opbrengstgericht rekenonderwijs: • de resultaten goed analyseren en inzicht verwerven in de betreffende leerlijn(en); • aansluiten bij de onderwijsbehoeften van de kinderen; • gerichte instructie geven; • werken aan rekeninzicht om vanuit handelen te komen tot modelmatige en abstractere vormen van rekenen; • concrete en meetbare doelen stellen en die monitoren. Een voorbeeld uit het primair onderwijs De leraar start zijn les door eerst het doel aan te geven: leerlingen maken kennis met diverse soorten van meetinstrumenten, leren waarvoor ze gebruikt kunnen worden en er berekeningen mee maken. De leerlingen zitten in een kring en hebben meetinstrumenten meegebracht. De leraar vraagt aan hen om het meegebrachte meetinstru-


53

ment te laten zien en uit te leggen wat het is en waarvoor je het kan gebruiken. Leerlingen vertellen over een meetlint, een maatbeker, een waterpas, et cetera. De leraar stelt vragen als: “Hoe lang is jouw meetinstrument”, “Hoeveel kan er in de maatbeker?”, “Wie gebruikt dit meetinstrument?” en “Waarvoor kan je het gebruiken?” Na dit gesprek toont de leraar op het digitale bord de verschillende vervolgopdrachten die de verschillende groepjes leerlingen kunnen maken. Er zijn opdrachten die gaan over het maken van een grafiek op basis van de lengte en het gewicht van mensen, er zijn opdrachten over kledingmaten, schoenmaten en ook over Engelse kledingmaten. Door niet elke groep dezelfde opdrachten te geven, differentieert hij naar de onderwijsbehoeften van de kinderen. Er is ook nog een extra opdracht: bereken het gemiddelde gewicht van alle leerlingen in je groepje. Hij laat zijn leerlingen in groepjes nadenken over de opdrachten: snappen zij wat er staat en wat ze moeten doen? De leerlingen leggen de opdrachten aan elkaar uit en maken een voorbeeldopdracht. Daaruit blijkt duidelijk dat een groep leerlingen al direct zelf aan de slag kan gaan. Dat had de leraar in zijn groepsplan ook bedacht en blijkbaar klopt dat. Een ander groepje gaat direct aan de slag met het maken van berekeningen. De leraar geeft aan dat ze alvast mogen beginnen, maar goed met elkaar moeten bespreken hoe ze de juiste berekeningen kunnen maken. Hij geeft hen de tip nog eens goed na te kijken hoe ook alweer de formule was voor omtrek, oppervlakte en inhoud. Vervolgens vertelt hij de groep dat hij eerst een andere groep gaat helpen en dat hij later bij hen terugkomt. Met één groepje leerlingen gaat hij direct aan de slag aan de instructietafel. Hij vraagt hen of ze kunnen uitleggen wat ze wel snappen en waar ze vastlopen. De leraar laat de leerlingen er concrete meetinstrumenten bij nemen zodat ze zien waarmee ze kunnen meten. Al metende met de instrumenten ontdekken de leerlingen hoe ze de opdrachten kunnen maken. Als hij ziet dat dit groepje daadwerkelijk verder kan, zet hij het groepje zelf aan de slag. De leraar loopt vervolgens langs de groep leerlingen die direct aan de slag is gegaan. Hij vraagt hoe het loopt, kijkt of de leerlingen de opdrachten begrepen hebben en gaat in op hun vragen. Daarna gaat hij bij een groepje zitten, deze leerlingen hebben vooral feedback nodig op hun manier van berekeningen maken. Hij vertelt de leerlingen dat hij gezien heeft dat zij niet altijd de goede bewerking hanteren bij het uitrekenen van de omtrek, van de oppervlakte en

54


de inhoud. Daarom wil hij er met hen over praten. Hij vraagt: “Wat is omtrek?” Hij laat op het digibord een rechthoek zien (lengte = 5 m en breedte = 10 m). Samen met de leerlingen berekent hij hardop de omtrek. Daarna vraagt hij aan de leerlingen om de omtrek van de tafel te berekenen en geeft de leerlingen ieder een meetlint. Niet alle leerlingen meten even nauwkeurig en zo ontstaan er verschillende berekeningen en verschillende uitkomsten. Door heel precies te meten, komen ze tot een omtrek van 286 cm. Daarna worden de leerlingen gevraagd om de omtrek van de tafel in cm om te rekenen naar een omtrek in m. De leerlingen komen opnieuw met allerlei verschillende oplossingen. Op het bord noteert de leraar ‘m-dm-cm-mm’ en vraagt wat er gebeurt met het getal als ze stappen maken tussen de maten. Na uitleg met ‘x 10 en : 10’ komen de leerlingen tot de uitkomst (286 cm = 2,86 m). Dan zegt de leraar dat hij nu de oppervlakte van de tafel wil berekenen. Hij vraagt: “Wat was de oppervlakte ook al weer en wanneer hebben we oppervlakte nodig?” De leerlingen geven voorbeelden. De leraar laat opnieuw de rechthoek op het bord verschijnen (lengte 5 m en breedte 10 m). Hij schetst de leerlingen een probleem: “Ik ben schilder en wil deze muur (= rechthoek) verven. Ik ga verf kopen en de winkelier vraagt mij hoeveel m2 ik wil verven. Kunnen jullie mij helpen om antwoord te geven?” De leerlingen geven allerlei antwoorden. Een van de leerlingen noemt de formule: “Dit kun je toch weten door lengte x breedte = oppervlakte.” De leraar reageert enthousiast en vraagt de leerling de formule in te vullen. Samen komen ze tot de som 10 x 5 = 50. De leraar vraagt de leerlingen: “En wat betekent 50 dan?” Hij roept daarbij voorkennis op door de leerlingen te herinneren aan de meetactiviteit van vorige week: “Weet je nog de les met de vierkantjes, die we geplakt hebben in een vlak?” Een leerling geeft het antwoord: “50 kubieke meter.” De leraar haalt de maatbeker uit de kast en laat de leerlingen ontdekken dat kubieke meter met inhoud te maken heeft. Uiteindelijk komen de leerlingen bij 50 vierkante meter. Daarna vraagt hij aan de leerlingen om de oppervlakte van het tafelblad te berekenen. De leerlingen komen snel tot het goede antwoord: 5040 cm2. Eén van de leerlingen zegt: “En nu moeten we dit zeker omzetten naar vierkante meter.” De leraar schrijft daarbij opnieuw de maten op het bord ‘m2- dm2- cm2-mm2’ en vraagt de leerlingen wat er bij elke stap gebeurt met het getal. Zo vervolgt de leraar de geleide instructie met een kubus (5m x 5m x 5m) om de inhoud te laten berekenen. Hij volgt eenzelfde oplossingsstrategie en vergelijkt uiteindelijk met de inhoudsmaat (liter).


55

De les wordt afgesloten met een evaluatie. De leraar vraagt de kinderen wat het doel was van de les. Hij vraagt hen wat ze nu meer weten dan voor de les. Hij neemt per groepje de sommen door met behulp van het digitale bord en vraagt kinderen om de oplossingen op het bord uit te leggen en ook aan te geven hoe ze de uitkomst berekend hebben. Hij staat in de nabespreking uitgebreider stil bij het berekenen van Engelse kledingmaten en demonstreert met leerlingen het meten van de ‘borstomvang’ en legt uit waar de begrippen S (small) , M (medium) en L (large) vandaan komen. Zo ook bij het berekenen van (Engelse) schoenmaten in inches en het berekenen van het gemiddelde van de leerlinggewichten in de groep. Uit de les blijkt dat de leraar doelgericht heeft gewerkt. Op basis van de resultaten uit de toets heeft hij verschillende groepjes samengesteld. Die groepjes krijgen werk op maat en instructie of begeleiding op maat. Dit kon omdat er op voorhand een overdachte inschatting is gemaakt van de onderwijsbehoeften van de leerlingen. Ook is er een opbouw in de lessen gaande van gebruik van materiaal, het ontdekken van de relatie tussen omtrek, oppervlakte en inhoud, het toepassen van de formules en het doorzien van het metriek stelsel. Doordat de leraar aan het einde van de les ook zijn doel geëvalueerd heeft met de kinderen, krijgt hij beter zicht op kinderen die het doel ook daadwerkelijk gehaald hebben en op kinderen die nog andere behoeften hebben. Deze acties zijn tot stand gekomen doordat er op verschillende momenten ook groepsbezoeken zijn afgelegd waarbij met de observator samen is gereflecteerd op de les en waarbij telkens aan de leraar feedback is gegeven. Op basis daarvan heeft de leraar een verbeterpunt geformuleerd waarvan hij werk wilde maken. Vooral op het terrein van doelgericht en gedifferentieerd werken, lag er voor de leraar een grote uitdaging. Voorheen liet de leraar de leerlingen veel zelfstandiger werken en constateerde hij vaak achteraf dat kinderen iets niet hadden begrepen of dat ze eigenlijk meer instructie nodig hadden. Door nu vooraf een goede analyse uit te voeren, kreeg hij de indruk veel beter in te kunnen spelen op wat de leerlingen echt nodig hebben. De leraar zei dat vooral het inspelen op de onderwijsbehoeften en differentiatie qua instructie, materiaal en verwerking ertoe hebben geleid dat de kinderen gewoon beter snapten wat ze leerden. Hij wees erop dat meer kijken naar de kinderen in plaats van gewoon de methode volgen de grootste ommekeer had gebracht.

56


Een voorbeeld uit het voortgezet onderwijs De leraar vraagt de leerlingen wat ze in de vorige les hebben gedaan. De leerlingen zeggen dat ze iets gemeten hebben. Vervolgens vertelt de leraar het doel van de les: concrete meetervaringen opdoen met het meten van lengte, omtrek en oppervlakte. De leerlingen zijn verdeeld in drie groepen. Elke groep krijgt een blad met andere opdrachten. Aan de leerlingen wordt gevraagd hoe ze de opdrachten denken aan te pakken. Binnen elk groepje gaan ze hierover in overleg met elkaar. Ze lezen de opdrachten en merken zo dat ze er ook materialen bij nodig hebben. Per groepje pakt iemand de nodige materialen. Eén van de drie groepen geeft aan al verder te kunnen en wil al beginnen. De twee andere groepjes hebben vragen. In het ene groepje kunnen ze de beginopdrachten wel maken, maar niet de derde en volgende opdrachten. Het andere groepje geeft aan niet direct zelfstandig aan de slag te kunnen met de opdrachten. De leraar schuift bij het groepje aan dat niet kan starten en laat de andere groep zelfstandig beginnen. Hij geeft aan dat hij later bij hen komt kijken. In het gesprek met het groepje blijkt dat een opdracht als ‘bereken de lengte van het lokaal’ moeilijk wordt gevonden. De leerlingen gaan eerder de hoogte meten. Blijkbaar vragen de begrippen ‘lengte’, ‘breedte’ en ‘hoogte’ om instructie. De leraar laat de leerlingen zelf opdrachten verzinnen waarbij ze de lengte van een voorwerp moeten meten.


57

De leerlingen gaan daar vervolgens mee aan de slag en als ze klaar zijn, komen ze in het groepje terug om samen met de leraar te bespreken hoe ze dat gedaan hebben en om te kijken of ze het ook hebben begrepen. Terwijl de leerlingen van die groep aan het meten zijn, gaat de leraar naar de groep die wel kon starten met de eerste twee opdrachten, maar problemen had met de daaropvolgende. In deze groep begrijpen de leerlingen wel wat ‘lengte’ en ‘omtrek’ zijn en zijn ze in staat om correct te meten. Zij weten niet precies wat ‘oppervlakte’ betekent. Ze begrijpen ook niet waarom er dan een ‘2’ boven meter moet worden gezet. Sommige leerlingen hebben ook gezien dat er soms een ‘3’ boven meter staat en waarom staat er dan geen ‘1’ boven meter? De leraar heeft een blad met vierkantjes van 1 cm2. Hij vraagt de leerlingen er zo veel van uit te knippen als ze nodig hebben om de hele kaft van hun boek te bedekken. Ze kijken hoe groot een vierkantje is: namelijk 1 cm op 1 cm, dus 1 cm2. Op die manier kunnen ze de oppervlakte van de kaft berekenen. Vervolgens wordt hen gevraagd hoe ze dat zouden kunnen weten zonder dat ze de hulpvierkantjes gebruiken. De formule wordt weer opgefrist en krijgt nu voor de leerlingen veel meer betekenis. Als deze groep verder kan, loopt de leraar een rondje langs de groep die zelfstandig aan de gang is gegaan. Deze leerlingen hebben een aantal opdrachten gemaakt en ook een aantal opdrachten zelf bedacht die ze graag door de andere leerlingen willen laten uitvoeren, Ze willen de leerlingen coachen terwijl ze die opdrachten uitvoeren. Deze leerlingen bleken inderdaad uitstekende leermeesters te zijn! Aan het einde van de les bespreekt de leraar met de leerlingen wat ze deze les geleerd hebben. De leerlingen geven aan dat ze door het concreet meten veel beter snappen wat het verschil is tussen een cm, dm, meter. Andere leerlingen geven aan dat ze nu beter het verschil tussen lengte, omtrek en oppervlakte begrijpen. Sommige leerlingen begrijpen nu ook wat het cijfer boven de ‘m’ betekent. De leerlingen die opdrachten gemaakt hebben voor hun medeleerlingen, vinden dat vooral erg leuk en leerzaam. De leraar gaf aan dat deze les best veel van hem vroeg. Hij werd geacht eerst zicht te hebben op de onderwijsbehoeften en dus niet gewoon te doen wat in de methode stond. Dit soort lessen, zeker met het gebruik van concrete materialen, was redelijk ongebruikelijk in zijn school. Het inspelen op de verschillende instructiebehoeften van de leerlingen en differentiëren in opdrachten en instructie waren nieuw voor hem. Eerder werkte hij vooral

58


klassikaal en vanuit het boek14. Hij gaf aan dat de betrokkenheid bij de leerlingen enorm was gestegen. Blijkbaar hadden de leerlingen er echt zin in omdat ze aangesproken werden op wat ze konden, terwijl wat ze niet konden als haalbaar werd voorgesteld. De leraar gaf aan dat hij bewust had gekozen voor opdrachten waarmee de leerlingen succes konden boeken. De groep die het eigenlijk redelijk goed begreep, vond het erg prettig en leerzaam om zelf opdrachten te bedenken, uit te voeren en dan voor te leggen aan de andere leerlingen. Zij hebben die leerlingen ook zelf feedback gegeven tijdens het meetproces. Volgens deze leerlingen hebben ze er allebei veel aan gehad. “Het werkt altijd heel goed als je leerlingen iets aan elkaar laat uitleggen. Het lijkt alsof ze een andere taal spreken dan ik”, aldus een van de leraren. Een VO-leraar gaf de volgende reactie: “Ik zie nu in dat de basisschoolleerlingen op een heel verschillend niveau bij ons binnenkomen. Door de scholingsbijeenkomsten ben ik met de neus op de feiten gedrukt, dat wij er binnen onze klassen in de rekenwiskunde lessen iets mee moeten. We zullen in moeten spelen op de verschillen tussen de leerlingen! Ik ben dit vooral in gaan zien door de gesprekken met collega’s en door de informatie over de referentieniveaus en het onderscheid in domeinen en niveaus. Hierdoor is mijn urgentiebesef om te gaan differentiëren in mijn rekenlessen versterkt. Door het groepsbezoek na de scholingsbijeenkomsten denk ik beter na over de wijze waarop ik mijn instructie geef. Heel waardevol om de professionalisering deels uit te voeren in de praktijk, direct gerelateerd aan het uitvoeren van het onderwijs. Wij zullen als school nog een flinke slag moeten maken, bijvoorbeeld door te gaan werken met klassendoorbrekende niveaugroepen en het uitwerken van een matrix voor ons curriculum: welke rekeninhoud bieden we op welk moment aan? En op welke manier komt rekenen terug bij de andere vakken?”

Meer inspiratie om leerlingen de begrippen ‘oppervlakte’, ‘inhoud’, enzovoort duidelijk te maken kunt u halen uit de lessenserie ‘oppervlakte’ van de site van het Freudenthal Instituut (http://www.fi.uu.nl/publicaties/lessen, opgehaald 15 januari 2011).

14


59

3.2.5 Effect meten Leraren signaleerden dat ze leerrendement zien bij de leerlingen. Blijkbaar begrijpen leerlingen nu duidelijker waar ze mee bezig zijn. Ook tijdens de groepsbezoeken is vastgesteld dat de leraar een aantal vaardigheden en attitudes in zijn handelen heeft toegepast die voordien niet aanwezig waren. De meest opvallende verschillen zijn: • vooraf nagaan welke onderwijsbehoeften de leerlingen hebben; • het benoemen van een duidelijk lesdoel; • concreet materiaal gebruiken tijdens de instructie; • differentiatie in verwerking en instructie; • klassenmanagement door het werken met drie groepen; • nagaan of het lesdoel ook werkelijk is behaald. Om objectief te kunnen vaststellen of de leerlingen daadwerkelijk vooruit zijn gegaan, is de ABC-toets opnieuw afgenomen. Het effect op het onderdeel Meten en meetkunde is duidelijk: de leerlingen scoren op de natoets hoger dan op de voortoets. Samengevat Tip 1: Stel aan de hand van een analyse van toetsresultaten vast welk rekendomein van de referentieniveaus de hoogste prioriteit verdient. De ABC-toets is hiervoor een geschikte toets. Onderzoek op grond van onderwijsbehoeften welke tussendoelen in het rekendomein het beste aansluiten bij de leerlingen in het volgende rekenblok. Tip 2: Laat leraren uit de bovenbouw van het primair onderwijs en de onderbouw van het voortgezet onderwijs samen vragen formuleren waarop ze antwoord willen krijgen om de doorgaande leerlijnen rekenen te verbeteren en laat hen een gemeenschappelijk doel bepalen. Tip 3: Vergroot op het gekozen rekendomein zowel de kennis als de vaardigheden en verbeter de attitude van leraren. Tip 4: Ga op basis van de analyse van de toets na welke leerlingen welke instructie nodig hebben op grond van de clustering van onderwijsbehoeften van de leerlingen. Bijvoorbeeld in drie groepen, afhankelijk van de instructiebehoefte. Tip 5: Zorg dat leerlingen concreet kunnen ervaren wat het meten van lengte, omtrek en oppervlakte is zodat ze inzicht krijgen in deze begrippen en de concretisering ervan. Laat leerlingen ook zelf opdrachten voor elkaar bedenken zodat ze elkaar kunnen helpen en feedback kunnen geven.

60


Tip 6: Gebruik video-opnamen van de lessen tijdens de nabespreking met de leraren en/of ga op groepsbezoek om directe feedback te geven op het leraargedrag. Tip 7: Stem af op de onderwijsbehoeften, geef doelgerichte instructie, geef gerichte feedback op inhoud en proces, controleer of de doelen ook daadwerkelijk bereikt zijn, moedig leerlingen positief aan en heb hoge verwachtingen. Tip 8: Neem na het rekenblok en/of de rekenperiode de (ABC-)toets op het gekozen domein opnieuw af om te kijken of de onderwijsaanpak en de interventies effect hebben gehad.

3.3 Aanbevelingen Uit de besproken praktijkvoorbeelden blijkt het belang en de noodzaak van samenwerking tussen PO en VO op het terrein van opbrengstgericht rekenonderwijs. Die samenwerking komt er niet vanzelf. Daarop moet concreet actie worden ondernomen. De samenwerking kan bevorderd worden door: • een gemeenschappelijk thema te kiezen waaraan gewerkt kan worden; • dat thema vast te stellen op basis van een gemeenschappelijke toets; • samen vragen op te stellen en doelen te stellen die leraren willen bereiken; • gemeenschappelijke scholing en gemeenschappelijk uitproberen van acties; • feedback te krijgen op de ondernomen acties; • gezamenlijk ondernomen acties, knelpunten en successen terug te koppelen; • samen na te gaan welke verbeteringen die acties hebben opgeleverd als het gaat om het gemeenschappelijke doel en de doorgaande leerlijnen voor de leerlingen. In die samenwerking spelen directie, intern begeleiders, leraren en externe begeleiders een cruciale rol. Er mag niet vergeten worden de leraren te faciliteren in tijd zodat ze daadwerkelijk de gelegenheid hebben om samen te werken en samen te professionaliseren. Voor een leraar is het niet mogelijk om in zijn eentje veranderingen in de verbetering van doorgaande leerlijnen voor leerlingen door te voeren. De directie speelt hierbij een belangrijke rol. Omdat bij de overgang van PO naar VO meestal veel PO-scholen en een enkele VO-school betrokken zijn, is gezamenlijk actie nodig van álle directieleden van de verschillende scholen.


61

Het is goed als een van hen de kartrekker van dit proces is en de regie voert om de doorgaande lijn werkelijk tot stand te brengen.

62


Nawoord

In deze publicatie hebben we u meegenomen in het beantwoorden van de vraag naar de invoering van doorgaande leerlijnen en een ononderbroken ontwikkeling tussen PO en VO richting rekenen. Het belang van opbrengstgericht rekenen hebben we aangegeven. Hoe dit concreet vorm kan krijgen is aan de hand van doorkijkjes uit de praktijk binnen het domein Meten en Meetkunde uitgewerkt. We hopen dat u hierdoor een duidelijk beeld hebt gekregen van de noodzaak van doorgaande leerlijnen en wat u kunt doen om daar op uw school vorm aan te geven. Daarnaast hopen wij dat u met deze publicatie over de benodigde te raadplegen bronnen beschikt en voldoende tips heeft om afstemming mogelijk te maken. Uw reacties en suggesties ontvangen we graag via [email protected] of [email protected].

Nawoord

63

64



Blackwell, L.S., Dweck, C.S. & Trzesniewski, K. ( 2003). Implicit theories of intelligence predict achievement across an adolescent transition. A longitudinal study and an intervention. Unpublished manuscript. New York: Columbia University. Bors, G. & Stevens, L. (2010). De gemotiveerde leerling. Antwerpen/ Apeldoorn: Garant. Boswinkel, N. & Moerlands, F. (2003). Het topje van de ijsberg. In: K. Groenewegen (red.), Nationale Rekendagen. Opgehaald 15 januari 2011 van http://www.fi.uu.nl/speciaalrekenen/project/topje_van_de_ijsberg.pdf Bronneman-Helmers, H.M., Herweijer, L.J. & Vogels, H.M.G. (2002). Voortgezet onderwijs in de jaren negentig. Den Haag: Sociaal en Cultureel Planbureau. Buijs, K. & Zwaart, P. van der (2006). Aandachtsgebieden voor een doorgaande lijn rekenen-wiskunde van po naar vmbo. Enschede: SLO. Bijsterveldt-Vliegenthart, M. van (2010). Informatie over taal en rekenen in het voortgezet onderwijs. Brief gericht aan VO-scholen 21 mei 2010. Opgehaald 15 januari 2011 van www.taalenrekenen.nl/referentiekader/ rel_doc/downloads/Brief-taal-rekenen_stsec-21mei2010.pdf Commissie Meijerink (2009). Referentiekader taal en rekenen. De referentieniveaus. Enschede: Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Driessen, G. & Sleegers, P. (2000). Consistency of teaching approach and student achievement: An empirical test. School Effectiveness and School Improvement, 11, 57-79.


65

Driessen, G., Doesborgh, J., Ledoux, G., Overmaat, M., Roeleveld, J. & Veen, I. van der (2005). Van basis- naar voortgezet onderwijs. Nijmegen/ Amsterdam: ITS/SCO-Kohnstamm Instituut. Dweck, C.S. (2000). Self-theories: their role in motivation, personality, and development. Philadelphia: Psychology Press. Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (2008). Over de drempels met rekenen. Enschede: Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Fennema, E. & Franke, M.L. (1992). Teachers knowledge and its impact. In: D. Grouws (ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (p.147-164). New York: MacMillan. Ferguson, P.D. & Fraser, B.J. (1999). Changes in learning environment during the transition from primary to secondary school. Learning Environments Research, 1(3), 369-383. Freudenthal Instituut, KPC Groep & CED Groep (2003). Tussenrapportage Project Speciaal Rekenen maart 2002 – november 2003. Planning november 2003 - november 2005. Utrecht/’s-Hertogenbosch/Rotterdam: Freudenthal Instituut, KPC Groep en CED Groep. Opgehaald 15 januari 2011 van http://www.fi.uu.nl/speciaalrekenen/project/ rapportages/rapportage_2002-2003.pdf Gelderblom, G. (2009). Effectieve rekeninstructie: de sleutel tot rekensucces, 3, 12-15. Opgehaald 15 januari 2011 van www.rekenpilots.nl Gelderblom, G. & Oosterman, J. (red.) (2009). Taal en rekenen op de grens van primair en voortgezet onderwijs. Amersfoort: CPS. Groenestijn, M. van (2007). Rekenvaardigheid in de brugklas. Kun je daar op rekenen? Utrecht: Hogeschool Utrecht. Hattie, J. & Timperley, H. (2007). The power of feedback. Review of Educational research, 77(1), 81-112. Hattie, J. (2009). Visible learning. A synthesis of over 800 meta-analyses relating to achievement. New York: Routledge.

66


Hiebert, J. & Grouws, D.A. (2007). The effects of classroom mathematics teaching on students’ learning. In: F.K. Lester (ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 371-404). Greenwich, CT: Information Age Publishing. Inspectie van het Onderwijs (2005). Doorgaande zorg en begeleiding. Een inventariserend onderzoek naar verschillende aspecten van de overgang van zorgleerlingen van primair naar voortgezet onderwijs in de regio Oss. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs (2006). Over de brug komen. Een onderzoek naar de doorgaande lijn tussen primair en voortgezet onderwijs. Utrecht: Inspectie van het onderwijs. Inspectie van het Onderwijs (2007a). De staat van het onderwijs, Onderwijsverslag 2005/2006. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs (2007b). Aansluiting voortgezet onderwijs op basisonderwijs. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs (2009a). School, maak het verschil. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs (2009b). De staat van het onderwijs. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs (2009c). Waarderingskader NTC Primair Onderwijs 2009. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs (2010a). Ontwikkelingen in basisvaardigheden rekenen in het vo. Resultaten van inspectieonderzoeken in 2008 en 2009. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs (2010b). Opbrengstgericht werken in het basisonderwijs. Een onderzoek naar opbrengstgericht werken bij rekenen-wiskunde in het basisonderwijs. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs (2010c). De staat van het onderwijs. Onderwijsverslag 2008/2009. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Koninklijke Nederlandse Academie van Wetenschappen (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: KNAW.


67

Kroesbergen, E.H. & Luit, J.E.H. van (2003). Mathematics interventions for children with special educational needs. A meta-analysis. Remedial and Special Education, 24, 97-114. Mulder, L. & Suhre, C. (1996). Onderwijsachterstanden in het voortgezet onderwijs. Eindrapport schoolloopbanenonderzoek OVB-cohort 88-8. Nijmegen: ITS-Radboud Universiteit Nijmegen. Mulder, L., Roeleveld, J. & Vierke, H. (2007). Onderbenutting van capaciteiten in basis- en voortgezet onderwijs. Studie in opdracht van de Onderwijsraad. Nijmegen/Amsterdam/Den Haag: ITS/SCO-Kohnstamm Instituut/ Onderwijsraad. Noteboom, A. (2009). Fundamentele doelen rekenen-wiskunde. Uitwerking van het Fundamenteel niveau 1F voor einde basisonderwijs, versie 1.2. Enschede: SLO. Opgehaald 15 januari 2011 van www.slo.nl/downloads/2009/ Fundamentele__doelen__rekenwiskunde__herzien.pdf Onderwijsraad (2005). Betere overgangen in het onderwijs. Advies. Den Haag: Onderwijsraad. Pedersen, E., Faucher, T.A. & Eaton, W.W. (1978). A new perspective on the effects of first-grade teachers on children’s subsequent adult status. Harvard Educational Review, 48(1), 1-31. Ros, A., Timmermans, R., Hoeven, J. van der & Vermeulen, M. (2009). Leren en laten leren, ontwerpen van leeractiviteiten voor leerlingen en docenten. Mesofocus 75, Alphen aan de Rijn: Kluwer. Rosenthal, R. & Jacobson, E. (1968). Pygmalion in the classroom. The Urban Review, 3(1), 16-20. Sanders, W.L. & Rivers, J.C. (1996). Cumulative and residual effects of teachers on future student academic achievement. University of Tennessee Value-Added Research and Assessment Center. Scheerens, J. & Bosker, R.J. (1997). The foundations of educational effectiveness. Oxford: Elsevier Science Ltd. Slavin, R.E. & Lake, C. (2008). Effective programs in elementary mathematics: A best-evidence syntheses. Review of Educational research, 78, 427-515.

68


Smeets, E. (2007). Samenwerking tussen primair onderwijs, voortgezet onderwijs, regionale expertisecentra en jeugdzorg. Onderzoek naar innovatie in vijf regio’s. Nijmegen: ITS, Radboud Universiteit Nijmegen. Smeets, E. & Wester, M. (2009). Knelpunten in de samenwerking tussen onderwijs en zorginstellingen. Nijmegen: ITS, Radboud Universiteit Nijmegen. Spliethoff, F., Willems, W., Amsing, M. & Beek, S. (2010). Opbrengst Gericht Werken. Een voorbeeld van een cyclische aanpak voor meer dan meetbaar onderwijs? ’s-Hertogenbosch: KPC Groep. Opgehaald 15 januari 2011 van www.kpcgroep.nl/nl-NL/Primair%20onderwijs/Bestuur%20en%20beleid/~/ media/Files/DocumentenVO/Meer_dan_meetbaar_onderwijs.ashx Tal team (2004). Jonge kinderen leren meten en meetkunde. Groningen: Noordhoff Uitgevers. Tal team (2007). Meten en meetkunde in de bovenbouw. Groningen: Noordhoff Uitgevers. Verbeeck, K., Ros, A. & Sijl, I. van (2008). Van activiteitgericht naar doelgericht leren vanuit leerlijnen. Perspectief. Uitgave voor het primair onderwijs, 9, april 2008, p. 4-8. Verbeeck, K. & Verschuren, M. (2010). Het kwartje valt. Doelgericht rekenen in anders georganiseerd onderwijs. ‘s-Hertogenbosch: KPC Groep. Verdiepingswerkgroep Panama-conferentie (2006). Richting geven aan onderwijs in meten en meetkunde in de bovenbouw. Opgehaald 15 januari 2011 van www.fi.uu.nl/panama/conferentie/archief_conf Verschaffel, L., Greer, B. & Corte, E. de (2007). Whole number concepts and operations. In: F.K. Lester (ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 557-628). Greenwich, CT: Information Age Publishing. Weinstein, R.S. (2002). Reaching higher. The power of expectations in schooling. Cambridge, MA: Harvard University Press. Zanten, M. van (2010). Meten en meetkunde. Baarn: ThiemeMeulenhoff.


69

Sites www.fi.uu.nl/talbovenbouw/ http://tule.slo.nl/RekenenWiskunde/F-KDRekenenWiskunde.html www.fi.uu.nl/rekenlijn/viewer/?domainid=2 www.fi.uu.nl/wiki/index.php/Categorie:Meten www.fi.uu.nl/publicaties/lessen

70


Bijlage 1 Checklist Didactiek rekenonderwijs

Verantwoordelijk of uitvoerder?

Bespreek- of actiepunt?

Algemeen

Hoe gebeurt het nu op school?

1 In welke mate vindt er bij u op school afstemming of overleg plaats over rekendidactiek? 2 Gebeurt dit met alle leraren? 3 Is het doel en de opbrengst van de les voor alle leerlingen duidelijk? 4 Wordt er in de rekenlessen voorkennis geactiveerd en zo ja, op welke manier? 5 In hoeverre sluit u bij de keuze van verwerkingsstof voor rekenen aan bij de belevingswereld van uw leerlingen? 6 Op welke manier wordt er aan het einde van de rekenles gecontroleerd wat er geleerd is? Hoe krijgen leerlingen taakgerichte feedback?



Instructie


7 Op welke manier wordt instructie gegeven in de rekenlessen? 8 Hoe is de verhouding tussen instructie en het toepassen van het geleerde in de rekenlessen? 9 Is er sprake van verlengde instructie in de rekenlessen en zo ja, hoe wordt die gegeven?

Bijlage 1

71



Strategieën


10 Welke rekenstrategieën worden er aangeleerd in de rekenlessen? 11 Is er een afgesproken begrippenkader over rekenstrategieën? 12 Vindt er overleg plaats over rekenvaardigheden in andere vakken? Zo ja, bij welke vakken?



Differentiatie


13 Wordt er gedifferentieerd binnen de rekenles en zo ja, op welke manier? 14 Is er voldoende materiaal om te differentiëren in rekenlessen? 15 Hoe is extra zorg of begeleiding voor hoogbegaafden en risicoleerlingen voor rekenen georganiseerd bij u op school? 16 Hoe wordt bepaald welke leerlingen in aanmerking komen voor extra zorg of begeleiding? 17 Vindt de begeleiding plaats binnen of buiten de klas om de rekenvaardigheden te verbeteren? 18 Indien buiten de klas: Hoe vindt terugkoppeling plaats tussen de zorg / extra begeleiding en de reguliere rekenlessen?

72






Leertijd


19 Hoeveel tijd wordt er per leerjaar besteed aan: - rekenen? - het domein Getallen? - het domein Verhoudingen? - het domein Meten en Meetkunde? - het domein Verbanden? Hoeveel tijd wordt er bij andere vakken dan rekenen/ wiskunde besteed aan rekenvaardigheden?

Werkvormen Hoe gebeurt het nu op school?

20 Welke werkvormen worden in de les of op school gebruikt bij rekenen en specifiek bij de verschillende domeinen? 21 In welke mate is er bij u in de rekenles of op school sprake van samenwerkend leren? 22 Worden er computers ingezet bij rekenen en zo ja, welke programma’s worden gebruikt?

Bijlage 1

73

Bijlage 2 Kijkwijzer Opbrengstgericht rekenonderwijs

Leraar: Groep/klas: Unit: Activiteit:

Observator: Datum:

Wanneer je bij mij komt kijken, let dan extra op:

De vraag/vragen die ik hierbij heb is/zijn:

Voorbereiding: waarnemen – begrijpen – plannen De voorbereiding is gebaseerd op een analyse van waarnemingen (vanuit een vorige activiteit en/of vanuit leerresultaten en/of observatie?) De onderwijsbehoeften van de leerlingen worden benoemd. In doelen en in aanpak? In de voorbereiding is een beargumenteerde keuze gemaakt vanuit een leerlijn. Met behulp van een methode? Er is een bewuste keuze gemaakt voor gevarieerde en passende werkvormen, afgestemd op de onderwijsbehoeften van de leerlingen. Realiseren Pedagogisch klimaat Er heerst een prettige werksfeer

74

ja nee

ja nee ja nee ja nee

ja nee


Instructie (indien de leraar instructie geeft aan een groepje of individu) De instructie sluit doelgericht aan bij de ja specifieke onderwijsbehoeften van de nee leerlingen. Is zichtbaar in het groepsplan? In de les? Leerlingen die de instructie volgen, worden ja geactiveerd tijdens de instructie. (Interactie nee leraar - leerlingen, leerlingen onderling?) De overige leerlingen zijn in staat zelfstandig ja te werken als de leraar een groepje instrucnee tie geeft. De leraar geeft het doel van de les aan en ja sluit af met een terugblik op het doel. nee Zowel ‘wat hebben we geleerd als gedaan?’ Verwerking De leerlingen werken aan het doel dat bij ja hun ontwikkeling past en kiezen daar bewust nee verwerkingsactiviteiten bij. (bijvoorbeeld concrete materialen inzetten, leerstijlen, MI)? De leerlingen ontvangen inhoudelijke en ja procesmatige feedback. nee De leraar maakt (bewuste) keuzes in leerlingja werk dat hij nakijkt en wat hij daarvan met nee de kinderen bespreekt. Organisatie- en klassenmanagement De leerlingen weten wat er van hen ja verwacht wordt. nee De leerlingen weten wanneer ze instructie krijgen.

ja nee

De leerlingen weten wat ze moeten doen tijdens de verwerking.

ja nee

De leerlingen weten wat, hoe en wanneer hun werk af moet zijn.

ja nee

Er is sprake van een hoge betrokkenheid bij de leerlingen. De leertijd wordt effectief besteed.

ja nee ja nee

Bijlage 2

75

Voorbereiding nagesprek met leraar Hier ben ik tevreden over:

Hier ben ik minder tevreden over:

Reflecteren De leraar kijkt doelgericht terug naar de onderwijsactiviteit. Naar leerinhoud, lesdoel, keuze van werkvormen, effectieve onderwijstijd. De leraar haalt essentiële aspecten uit de terugblik om aan te wijzen waarom meer of minder leereffect bereikt is. De leraar benoemt voornemens voor een vervolgactiviteit en legt die vast.

ja nee

De leraar relateert zijn handelen aan de schoolontwikkeling. Doorgaande lijn met tussendoelen? Opbrengsten? De leraar werkt met een groepsplan en indien nodig met individuele groepsplannen.

ja nee

ja nee ja nee

ja nee

Bij afronding van het gesprek De komende periode ga ik aandacht besteden aan:

Dit ga ik doen door:

76


Verstand van leren Gevoel voor mensen

De leraar als regisseur

Recommend Documents