BAB 3 FRAME Sinyal kontinu dapat kita diskritisasi dengan menggunakan ekspansi vektor. Sifat yang paling esensial untuk melakukan hal tersebut adalah adanya operator yang menjamin bahwa ekspansi vektor yang kita lakukan memang merepresentasikan sinyal kontinu yang diharapkan. Pada bab ini akan dibahas ekspansi vektor oleh operator frame, serta keunggulannya dibandingkan ekspansi oleh basis ortonormal. Untuk selanjutnya, ruang Hilbert yang dibicarakan dalam tugas akhir ini adalah ruang Hilbert separabel.
3.1
Basis
Suatu subhimpunan Ψ = {ψi }i∈I dari ruang vektor berdimensi hingga V (dimana I adalah suatu himpunan indeks) disebut basis bagi V jika V = span(Ψ) dan vektorvektor di Ψ bebas linier. Jika I = {1, . . . , n}, kita katakan V berdimensi n. Basis Ψ = {ψi }i∈I disebut basis ortonormal jika vektor-vektornya ortonormal, yaitu hψi , ψj i = δij . Ekspansi vektor oleh basis ortonormal diberikan oleh : X x= hψi , xi ψi i∈I
hψi , xi disebut koefisien ekspansi dari x. Sebagai contoh sederhana, pandang himpunan di R2 berikut: Ψ = {ψ1 , ψ2 } = {(1, 0), (0, 1)}. Jelas bahwa Ψ adalah basis ortonormal dari R2 . Dengan demikian, 12
BAB 3. FRAME
13
setiap vektor x = (x1 , x2 ) ∈ R2 dapat diekspansi oleh Ψ, yaitu: x = h(1, 0), (x1 , x2 )i (1, 0) + h(0, 1), (x1 , x2 )i (0, 1) x = x1 (1, 0) + x2 (0, 1)
(3.1)
Dalam pemrosesan sinyal, misalnya transmisi, koefisien ekspansi dipandang sebagai kode dari sinyal yang bersangkutan. Kode ini kemudian akan ditransmisikan melalui media perantara. Secara umum, kode yang dikirim dapat berbeda dengan kode yang diterima. Dalam kasus ekspansi oleh basis ortonormal, kesalahan ini tidak dapat dideteksi oleh satu kali proses transmisi. Perhatikan (3.1). Misalkan kode yang dikirim adalah x1 dan x2 , sedangkan kode yang diterima adalah x1 dan x3 . Proses rekonstruksi dari kode yang diterima diberikan oleh: x1 (1, 0) + x3 (0, 1) = (x1 , x3 ) ∈ R2 . Jadi, vektor yang dikirim dan yang diterima sama-sama berada di R2 sehingga proses transmisi dianggap berhasil. Padahal, (x1 , x2 ) 6= (x1 , x3 ). Kesalahan seperti ini tidak dapat dideteksi hanya dengan satu kali proses transmisi, diperlukan beberapa kali pengulangan proses yang akan berdampak negatif pada efisiensi dan efektivitas pemrosesan sinyal.
3.2
Frame
Konsep frame merujuk pada perluasan konsep basis yang memungkinkan adanya vektor-vektor ’basis’ yang berlebih (redundant). Jadi, berbeda dengan basis secara umum, sistem basis yang bergantung linier ini mengandung vektor-vektor ’basis’ yang lebih banyak daripada dimensi ruangnya. Definisi 19. Keluarga fungsi (ϕi )i∈I dalam ruang Hilbert H disebut frame jika terdapat dua konstanta 0 < A ≤ B < ∞ sehingga untuk setiap x ∈ H berlaku X A k xk2 ≤ | hϕi , xi|2 ≤ B k xk2 (3.2) i∈I
A dan B disebut batas-batas frame.
BAB 3. FRAME
14
Jika kedua batas frame sama, A = B, maka frame ini disebut frame ketat. Frame Parseval adalah frame ketat dengan batas frame A = 1. Dari (3.2), untuk frame ketat, kita peroleh
X
| hϕi , xi|2 = A k xk2
(3.3)
i∈I
yang ekuivalen dengan
À¯2 X ¯¯ ¿ 1 ¯ ¯ √ ϕi , x ¯ = k xk2 ¯ ¯ A
(3.4)
i∈I
yaitu, keluarga Φ = ( √1A ϕi )i∈I adalah frame Parseval. Dengan kata lain, sebarang frame ketat dapat diubah menjadi frame Parseval. Dengan A = 1, (3.4) tampak mirip dengan identitas Parseval yang menyebabkan ia dinamai frame Parseval. Pada frame ketat, x ∈ H diekspansi seperti berikut ini: x=
1X hϕi , xi ϕi A i∈I
(3.5)
Meskipun persamaan (3.5) mirip dengan ekspansi vektor oleh basis ortonormal, secara umum frame tidak menyatakan suatu basis ortonormal. Sebaliknya, vektorvektor frame boleh bergantung linier dan oleh karena itu tidak harus membentuk basis. Berikut ini akan diberikan contoh bagaimana frame dapat meningkatkan efisiensi dan efektivitas pemrosesan sinyal, khususnya dalam pendeteksian kesalahan. Contoh 2. Ambil H = R2 , e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), e3 = (−1, 0), e4 = (0, −1). Untuk sebarang v = (v1 , v2 ) di H, kita peroleh 4 X
| hv, ej i|2 = | v1 |2 + | v2 |2 + | v1 |2 + | v2 |2
j=1
= 2[ | v1 |2 + | v2 |2 ] = 2 k vk2 . Jadi {e1 , e2 , e3 , e4 } adalah frame ketat dengan batas frame A = 2, dan jelas bukan basis ortonormal: keempat vektor e1 , e2 , e3 , e4 tidak bebas linier. Dari (3.5), kita peroleh bahwa setiap v = (v1 , v2 ) ∈ H diekspansi oleh {e1 , e2 , e3 , e4 }
BAB 3. FRAME
15
menjadi: 4
1X v = hej , vi ej 2 j=1 =
1 [v1 (1, 0) + v2 (0, 1) + (−v1 )(−1, 0) + (−v2 )(0, −1)] . 2
Jika kita akan mentransmisikan v, maka yang kita transmisikan adalah barisan kode {v1 , v2 , −v1 , −v2 }. Perhatikan bahwa komponen pertama dan kedua masingmasing merupakan balikan dari komponen ketiga dan keempat. Dengan menggunakan sifat ini, kita dapat mendeteksi kesalahan setidaknya hanya dengan satu kali proses transmisi, yaitu jika pada barisan kode yang diterima, komponen pertama bukan balikan dari komponen ketiga atau komponen kedua bukan balikan dari komponen keempat, maka dengan yakin dapat kita katakan bahwa telah terjadi kesalahan dalam proses transmisi.
3.3
Operator Frame
Pada bagian ini akan dibahas operator frame secara umum. Definisi 20. Misalkan (ϕi )i∈I adalah frame di ruang Hilbert H. Maka operator frame T adalah operator linier dari H ke `2 yang didefinisikan oleh: T (x) = (hx, ϕi i)i∈I (T (x))i = hx, ϕi i . Dari Definisi 20 diperoleh bahwa k T (x)k2 ≤ B k xk2 , yaitu T adalah operator linier terbatas. Maka, terdapat T ∗ , adjoint dari T yang dengan mudah dapat dihitung: hT (x), yi = hy, T (x)i =
X j∈J
Jadi, T ∗ (y) =
P j∈J
yj ϕj .
* yj hx, ϕj i =
x,
X j∈J
+ yj ϕj
= hx, T ∗ (y)i .
BAB 3. FRAME
16
Operator linier T : H −→ `2 memetakan x ∈ H ke (hx, ϕj i)j∈J ∈ `2 . Maka, oleh operator adjoint T ∗ : `2 −→ H, (hx, ϕj i)j∈J dipetakan menjadi: T ∗ ((hx, ϕj i)j∈J ) =
X
hx, ϕj i ϕj
j∈J
Teorema 11 menyatakan bahwa x =
P j∈J
hx, ϕj i ϕj = x jika dan hanya jika ϕj
adalah basis ortonormal di ruang Hilbert H. Telah disebutkan bahwa secara umum, frame bukan basis ortonormal. Dengan demikan, T ∗ T (x) = x tidak selalu dipenuhi. Hingga bagian ini, kita telah mengetahui bagaimana vektor diekspansi oleh frame. Akan tetapi, adjoint dari operator frame ternyata tidak memberi jaminan dalam proses rekonstruksi vektor yang telah kita ekspansi. Kita perlu mencari operator lain yang menjamin bahwa vektor yang telah kita ekspansi dapat kita konstruksi ulang menjadi vektor yang sama. Perhatikan bahwa hT ∗ T (x), xi =
X
| hx, ϕj i|2 ,
j∈J
maka kita dapat menuliskan (3.2) sebagai: AI ≤ T ∗ T ≤ BI,
(3.6)
dengan I adalah operator identitas pada H. Dari (3.6), kita peroleh: B −1 I ≤ (T ∗ T )−1 ≤ A−1 I, yang mengakibatkan ®¯ ® X¯ ∗ ¯ (T T (ϕj , x))−1 ¯2 ≤ A−1 k xk2 , B −1 k xk2 ≤ (T ∗ T (x), x)−1 = j∈J
yaitu bahwa ((T ∗ T )−1 (ϕj ))j∈J juga adalah frame. Definisikan (ϕ˜j )j ∈ J = ((T ∗ T )−1 (ϕj ))j∈J , frame dual dari (ϕj )j∈J . Operator frame dari frame dual ini adalah T˜ : H −→ `2
BAB 3. FRAME
17 xj 7−→ hx, ϕ˜j i
yang memenuhi T˜(x) = T (T ∗ T )−1 (x) T˜∗ T˜ = (T ∗ T )−1 T˜∗ T = I = T ∗ T˜ Jadi, jika kita mengekspansi vektor x oleh T : H −→ `2 x 7−→ (hx, ϕj i)j∈J maka T˜∗ : `2 −→ H akan merekonstruksi (hx, ϕj i)j∈J menjadi x, yaitu (hx, ϕj i)j∈J 7−→
X
hx, ϕj i ϕ˜j = x.
j∈J
Dengan mudah dapat diperiksa bahwa frame dual dari (ϕ˜j )j∈J adalah (ϕj )j∈J . Kita dapat menulis ulang T˜∗ T = I = T ∗ T˜ sebagai X
hx, ϕj i ϕ˜j = x =
j∈J
X
hx, ϕ˜j i ϕj .
(3.7)
j∈J
Ini berarti kita telah memperoleh rumus rekonstruksi untuk x dari hx, ϕj i. Dengan demikian, jika diberikan suatu frame (ϕj )j∈J , hal yang perlu dilakukan untuk menerapkan (3.7) adalah menghitung ϕ˜j = (T ∗ T )−1 (ϕj ).
3.4
Frame Parseval
Secara khusus, frame Parseval memberi kita kemudahan dalam menghitung frame dualnya, karena pada frame Parseval berlaku: X
| hϕj , xi|2 = k xk2 .
j∈J
Selanjutnya, (3.6) dapat kita tulis ulang menjadi T ∗ T = I.
BAB 3. FRAME
18
Ini berarti, (T ∗ T )−1 = I. Sehingga, frame dual untuk frame Parseval adalah (ϕ˜j )j∈J = ((T ∗ T )−1 (ϕj ))j∈J = (ϕj )j∈J yaitu frame Parseval itu sendiri. Perhatikan kembali operator frame secara umum. Misalkan S = T ∗ T . S(x) = T ∗ T (x) =
X
hx, ϕj i ϕj .
j∈J
Karena S memiliki invers, maka kita dapat menuliskan x sebagai komposisi dari S dan inversnya, yaitu x = SS −1 (x) =
X ® S −1 (x), ϕj ϕj . j∈J
Karena S adalah operator positif, maka terdapat secara tunggal akar kuadrat positif dari S yang juga self-adjoint. Ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai: X
X ® ® S −1 (x), ϕj ϕj = S −1/2 (x), S −1/2 (ϕj ) ϕj .
j∈J
j∈J
Dengan memisalkan g = S −1/2 (x), maka kita peroleh: I(x) = S 1/2 S −1/2 (x) = S 1/2 (g) =
X
® g, S −1/2 (ϕj ) ϕj .
j∈J
Lebih jauh, kita dapatkan: g=
X ® g, S −1/2 (ϕj ) S −1/2 (ϕj ), j∈J
yaitu bahwa S −1/2 (ϕj ) adalah frame Parseval. Jadi, dari sebarang frame, kita dapat membentuk frame Parseval. Teorema berikut ini meringkas pekerjaan yang baru saja kita lakukan. Teorema 21. Untuk setiap frame (ϕj )j∈J (dengan frame operator S), terdapat frame Parseval S −1/2 (ϕj ).
