BAB V HIMPUNAN
5.1
Pendahuluan Pengertian himpunan dan menjadi anggota suatu himpunan merupakan hal yang
mendasar dalam matematika. Orang tidak mungkin mengadakan diskusi matematika dengan tidak menyangkut dua konsep di atas. Walaupun dua pengertian tadi dapat diselidiki secara matematik aksiomatis, namun pada diktat ini dianggap bahwa pengertian-pengertian ini secara intuitif dapat ditangkap. Secara intuitif kita mengerti apa yang dimaksud dengan himpunan semua bilangan alam, himpunan Raja-raja yang masih hidup, dll. Apabila kita minta suatu anak kecil yang belum bisa berhitung untuk mengumpulkan bunga-bunga merah diantara bungabunga yang beraneka warna dan ia mampu mengerjakan maka dengan demikian ia memperlihatkan menangkap pengertian syarat keanggotaan. Apabila elemen notasi
menjadi anggota suatu himpunan
. Sedangkan ingkarannya yaitu
, maka fakta ini disajikan dengan
bukan anggota
disajikan
.
Apabila banyaknya anggota suatu himpunan itu berhingga maka himpunan tersebut dapat disajikan dengan membuat daftar nama-nama anggota-anggotanya, sedangkan jka banyak anggotanya tak terhingga maka cara menyajikan himpunan itu dengan menuliskan syarat keangotaannya. Misalkan sari suatu semesta pembicaraan hendak dikumpulkan obyek-obyek yang memiliki sifat , maka himpunan itu disajikan dengan ( dan dibaca : himpunan semua
Definisi 5.1.1
Dua himpunan anggota dari
sedemikian hingga
dan
Jika
{
mempunyai sifat .
disebut sama atau berhimpit jika dan hanya jika setiap
menjadi anggota dari
}
dan sebaliknya. Jika ditulis dengan
(
notasi matematika: Contoh 5.1.3
(
{
. } maka
.
Definsi 5.1.3
Himpunan
dikatakan menjadi himpunan bagian
dan hanya jika setiap anggota
menjadi anggota
(
matematik :
dengan notasi
jika
. Jika ditulis dengan notasi
.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinotasikan dengan , contohnya himpunan orang Indonesia yang pernah ke bulan.
Teorema 5.1.4
Himpunan kosong
adalah himpunan bagian dari setiap himpunan.
Bukti
Ambil himpunan sembarang , hal berarti ada salah karena diingkar dan terbukti
dan andaikan
bukan himpunan bagian dari
sedemikian hingga
, kalimat terakhir ini pasti
tidak mempunyai anggota. Sehingga pengandaian harus adalah himpunan bagian dari
. Karena
sembarang maka
merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
Bukti ini dapat juga dilihat dengan menggunakan implikasi material sebagai berikut: Untuk membuktikan
maka harus dibuktikan benarnya pernyataan
dan
karena anteseden selalu salah maka pernyataan tersebut selalu benar. Definisi 5.1.5
Irisan dari dua himpunan
dan
dengan notasi
yang anggota-anggotanya menjadi anggota
Apabila Definisi 5.1.6
sedangkan Gabungan
dan
sekaligus menjadi anggota
{
Notasi matematisnya:
adalah himpunan ,
}. maka
dan
dengan notasi
disebut saling asing.
adalah himpunan yang anggota-
anggotanya terdiri atas elemen yang sekurang-kurangnya menjadi anggota dari salah satu himpunan
atau . Notasi matematisnya: {
Definisi 5.1.7
Selisih dari dua himpunan
}. dan
dengan notasi
yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota-anggota . Notasi matematisnya: {
}.
, adalah himpunan yang bukan anggota
Berikut diberikan beberapa contoh untuk memperjelas definisi-definisi di atas. Contoh 5.1.9
{ } Contoh 5.1.10
5.2
{
Semesta pembicaraan {
}
Semua
himpunan
{
}{
}{
} {
bagian
{
}
dari
}
{ {
{
} dan }
} maka {
adalah
}. { }{ }{ }{
=
}
}.
Aljabar Himpunan Rumus-rumus berikut berlaku untuk setiap himpunan
dan .
Teorema 5.2.11 dan Y
maka
dan Y
maka
Berturut-berturut disebut sifat reflektif, anty-symetris dan transitif dari inklusif Bukti:
Langsung diturunkan dari definisi dari relasi
.
.
Teorema 5.2.12 dan (
dan (
( (
(
(
( (
dan
(
(
berturut-turut disebut sifat indemponten, assosiatif dan distributif. Bukti:
(
Akan dibuktikan sifat distributive berarti
harus
(
(
dan a (
dan a , jadi a (
(
(
bahwa
(
(
(i) Ambil sembarang a dan a
ditunjukkan
( (
. Hal ini (
dan
.
, berarti a
atau a
, sehingga a
(
dan a
, sehingga a
.
(
(
Jika a , dan jika a (
(
maka a maka a . Maka terbukti
(
(ii) Ambil sembarang a (
a
(
(
(
. Jika a
(
berarti a
X, berarti a
Y dan a
(
. Dengan demikian terbukti
dan (
(
Z. Jadi a (
. Jika a (
X, maka
, sehingga a
.
Bukti sifat yang lain sebagai latihan.
Teorema 5.2.13.
Y dan Y dan X
dan
jika dan hanya jika
Z
dan Z
jika dan hanya jika
Bukti:
Langsung dari definisi.
Teorema 5.2.14.
X
Teorema 5.2.15.
(X
jika dan hanya jika o
) =X
o
o
=Y jika dan jika o
Y dan (X Y) = X
o
=X.
o
Y
Rumus ini disebut rumus de Morgan. Bukti:
Apabila a
(X
Y)o maka tidak benarlah bahwa sekaligus dalam X dan Y.
Jadi pasti tidak dalam X atau tidak dalam Y (atau tidak dalam kedua-duanya). Yaitu a a
(
atau a aϵ
, dengan kata lain a
atau a
Maka terbukti
. Dengan cara yang sama akan didapat sebaliknya,
sehingga terbukti teorema di atas.
Teorema 5.2.16
Bukti:
(
Sebagai latihan
Teorema 5.2.18
5.3
Hasil Ganda Kartesius, Himpunan Kuasa, Keluarga Himpunan Suatu pasangan berurutan tatu order pair (a,b) adalah himpunan yang terdiri atas dua
anggota a dan b dengan urutan diperhatikan.
Definisi 5.3.20
Dua pasangan berurutan (a1,b1)≠(b,a) dan (a2,b2) dikatakan sama jhj a1=b1 dan a2 = b2. Sehingga pada umumnya (a,b)
Definisi 5.3.21
(b,a).
Hasil ganda kartesius pergandaan
di
dari dua himpunan kosong
atas
{
faktor-faktornya
yaitu
maka
didefinisikan
. Dalam pergandaan di atas faktor-faktornya boleh sama, yaitu
Pada umumnya
Contoh 5.3.22
sama,
}
Apabila salah satu faktornya merupakan himpunan kosong sebagai himpunan
boleh
. Dalam
tidak sama dengan {
Jika (
(
, hal ini dapat dilihat dengan contoh berikut.
} dan
{ {(
sedangkan
.
}, maka (
(
maka
(
{(
(
(
(
}
}, karena pada umumnya
.
Hasil ganda kartesius tidak terbatas pada dua himpunan. Hasil ganda kartesius dari himpunan-himpunan
adalah himpunan semua
himpunan semua himpunan- himpunan bagian dari Misalkan
{
{ { }{ }{ }{
}{
dan {
} sendiri
. }{
}{
}}
Keluarga himpunan atau koleksi himpunan (family of sets) adalah suatu himpunan dengan anggota-anggotanya juga himpunan.
Dengan demikian himpunan kuasa merupakan contoh keluarga himpunan.
5.4
adalah
.
} maka dengan memperhatikan bahwa
merupakan himpunan bagian dari
Definisi 5.3.23
dengan notasi
Soal Latihan 1. Buktikan: 2. Buktikan: 3. Buktikan bahwa:
. (
. maka (
4. Buktikan bahwa jika 5. Sederhanakan: (
(
(
( .
.
6. Buktikan bahwa apabila
dan
maka 7. Buktikan: (
merupakan himpunan-himpunan sedemikian hingga
. (
(
8. Perlihatkan dengan mengambil contoh penyangkal bahwa pada umumnya: (
(
(
