BASIS ORTOGONAL Batasan Bila V ruang Euclides , S ⊂ V disebut Himpunan Ortogonal bila tiap dua unsur S ortogonal.
DALIL 1 Jika S himpunan ortogonal yang terdiri dari K buah vektor tak nol dalam ruang Euclides V, maka S bebas linear. V khususnya, bila dimensi V = k, S basis untuk V, disebut Basis ortogonal.
DALIL 2 Jika x ∈ V , V ruang Euclides berdimensi n, B = {µ -(1) , µ -(2) , ... , µ -(n) } basis ortogonal untuk V maka : ( x) B = (x1 , x1 , ... , x n ) dengan x k
< x , µ −(k ) > = , k = 1 , 2, ... , n −( k ) (k ) < µ ,µ >
1
DALIL 3 Jika V ruang Euclide, x , y ∈ V dan B = {µ basis ortogonal untuk V, maka : n
( i) < x , y > ∑ i =1
(1)
(1)
, µ , ... , µ }
(i)
< x , µ − ( i ) >< y , µ > < µ −( i ) , µ −( i ) >
n
( ii) < x , x >
(1)
∑ i =1
< x , µ − (i ) > 2 < µ −( i ) , µ − (i ) >
BATASAN 1. Vektor a pada ruang Euclides dengan disebut Vektor Normal
a
= 1
2. Himpunan Ortogonal yang setiap unsurnya vektor normal disebut Himpunan Ortonormal 3. Basis Ortogonal yang setiap unsurnya vektor normal, disebut Basis Ortonormal
2
DALIL (Untuk basis ortonormal) Jika x ∈ V , V ruang Euclides berdimensi n, (1)
(1)
(n)
B = {µ , µ , ... µ } basis ortonormal untuk V, maka : n
x =
∑< x , µ > µ (i)
(i)
i=1
DALIL (Untuk Basis Ortonormal) Jika V ruang Euclides, x, y ∈ V dan (1)
(2)
(n)
B = {µ , µ , ... , µ } basis ortonormal untuk V, maka : n
(1) < x, y >= ∑ < x, µ -(i) >< y, µ -(i) > i=1
n
(2) < x, x >= ∑ < x , µ >2 (rumus Parseval) (i)
i=1
3
RUANG EUCLIDES II
Proses Pengortogonalan Gram-Schmdit BATASAN Jika v ruang Euclides v ∈ V , W ⊂ V , v dikatakan ortogonal pada W bila < v , w >= 0 ∀w ∈W DALIL 1 Jika V ruang perkalian skalar dan {µ 1 , µ 2, ... , µ r } Himpunan ortogonal vektor di < v.w >=< µ 1 , µ 2 , ... , µ r > = ruang linear yang dibentang oleh { µ 1 , µ 2 , ... , µ r } , maka setiap vektor v ∈ V dapat dinyatakan dalam bentuk: r
v = w1 + w 2
,
w1 =
∑
i=1
w2
< v , µi > µi , < µi , µi >
ortogon al pada w
Proses Pengortogonalan Gram-Schmidt Misalkan V ruang Euclides tak nol berdimensi n, B = { v1 , v 2 , ... , v n } basis untuk V. akan dibentuk suatu basis ortogonal B1 = {µ 1 , µ 2 , ... , µ n } dengan proses berikut: 4
Langkah 1 : µ 1 = v 1 Langkah 2 : µ 2 = v 2 -
< v2 , µ 1 > µ1 < µ 1 , µ1 > < v3 , µ 1 > < v3 , µ 2 > µ1 µ2 < µ1 , µ1 > < µ 2 , µ2 >
Langkah 3 : µ 3 = v 3 -
Langkah ke k :( misalkan µ 1 , µ 2 , ... , µ k , sudah di peroleh) µk = vk -
< vk , µ1 > < µ1 , µ1 >
µ1 -
< vk , µ 2 > < µ2 , µ2 >
µ 2 ...-
< vk , µ k−1 > < µk−1 , µk−1 >
µk-1
atau: k-1
< v k , µi >
i =1
< µi , µi >
µk = vk - ∑
.µi , k =1,2,..., n
Contoh 1 : V = R3 dengan perkalian scalar < a,b >=2a1b1 +a2b2 +3a3b3 . Tentukan proyeksi orthogonal a = (1,2,1) , b = (1,1,1) ! 5
Contoh 2 : Misal V = R3 dengan perkalian scalar < a,b >=2a1b1 +a2b2 +a3b3 . W ruang bagian linear yang dibentang oleh {(−1,1,1),(1,1,1)} dan v = (1,2,3) Tentukan proyeksi orthogonal v pada W !
Contoh 3 : 1
Misal V = P2 dengan perkalian scalar < p,q >=∫ p(x).q(x).dx −1
, W = ruang bagian linear yang dibangun oleh
{(1− x),(1−3x2)} Himpunan ini orthogonal .Tentukan w1 &w2 bila p(x) = x + 2x2 !
Soal Latihan : Di R 4 diketahui basis B ={(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,1,0)} ' Bentuklah basis orthogonal (B ) menggunakan proses pengortogonalan Gram-Schmidt (perkalian scalar Euclides) ! 6
Untuk mendapatkan basis ortonormal, langkahnya dapat dibuat sebagi berikut : Langkah 1: µ 1 =
Langkah 2 : µ 2 =
Langkah 3 : µ 3 =
v1 v1 v 2 - < v 2 , µ1 > µ1 v2 - < v 2 , µ1 > µ1 v3 - < v 3 , µ 1 > µ 1 - < v 3 , µ 2 > µ 2 v3 - < v3 , µ1 > µ1 - < µ3 , µ 2 > µ 2
Langkah ke k : (misalkan sudah di peroleh µ 1 , µ 21 , ... , µ k-1 )
vk − µk = vk −
k −1
∑
k
,µi > µi
∑
k
,µi > µi
i =1 k −1 i =1
k −1
v k - ∑ < v k , µ i > µ i ≠ 0 , karena i =1
{v 1 , v 2 , . .. , v k -1 , v k } bebas linear
7
Contoh 1 : R3
bentuklah basis ortonormal dari {(1,1,1),(1,−1,1),(1,1,−1)} terhadap perkalian skalar < a, b >=2a1b1 + a2b2 + a3b3 !
basis
Contoh 2 : Di P3 , bentuklah basis ortonormal terhadap perkalian skalar
B' = {P0 , P1, P2, P3}
1
< p, q >= ∫ p(x).q(x).dx dari basis baku −1
8
{1, x, x 2 , x3} !
PENGHAMPIRAN TERBAIK 1. Dalil Proyeksi Jika w ruang bagian linear berdimensi berhingga dari ruang berperkalian skalar v, maka setiap v ∈ V dapat dinyatakan dalam tepat satu cara dengan v = w 1 + w 2 , w 1 ∈ w , w 2 ortogonal pada W
2. Dalil Penghampiran Terbaik : Jika : ( i) w ruang bagian linear berdimensi berhingga dari ruang berperkalian skalar V (ii) v ∈ V dan v w proyeksi ortogonal v pada w maka : ∀ w ∈ W dengan w ≠ v w , berlaku v − vw < v - w
3. Arti Ilmu ukur Penghampiran Terbaik di R3. Mencari titik dengan vektor posisi vw ∈ W (ruang bagian linear dari V ) yang jaraknya dengan titik dengan vektor posisi v ∈ V sekecil mungkin jaraknya terdekat itu ialah v - v w 9
4. Arti Penghampiran Terbaik pada Umumnya Mencari v ⊂W pada ruang bagian linear berdimensi berhingga W ⊂ V , V ruang berperkalian skalar, yang jaraknya dengan v ⊂ V sekecil mungkin khususnya : Metode kuadrat terkecil : Mencari fungsi dalam bentang linear himpunan fungsi {ϕ 0 ,ϕ 1 , ... , ϕ n } ⊂ c [a,b] yang jaraknya dengan f ∈ c [a,b] sekecil mungkin. Jarak diturunkan dari perkalian skalar < f,q > =
∫ f(x).g(x) dx b
a
5. a) Polinom penghampiran terbaik berpangkat ≤ n dengan metode kuadrat terkecil untuk suatu fungsi f ∈ c [a,b] ialah p(x) = a0+a1x+a2x2 b dengan ∫a [f - p(x)]2 dx sekecil mungkin. b) Mencari polinom penghampiran terbaik itu lebih efisien dengan mencari proyeksi ortogonal f pada P2 terhadap perkalian skalar b
< f, q> = ∫ f(x).g(x) dx a
Dibentuk dulu basis ortogonal P2 dengan Proses Gram Schmidt mulai dengan { 1, x, x2}. 10
6. Polinom Fourier orde ≤ n adalah polinom Trigonometri penghampiran terbaik orde ≤ n ( PTn ) dengan metode kuadrat terkecil untuk fungsi f pada [-π,π] atau [0,2π]. Pn ( x) = a0 + a1 cosx + a2 cos2x + ... + an cosnx+ b1 sinx + b2 sin2x + ... + bn sinnx
atau Pn ( x ) = a 0 +
∞
(a i cos ix + b i sin ix ) ∑ i =1
Fungsi f yang didefinisikan pada [-π,π] atau [0,2π] akan dihampiri dengan fungsi Pn (x) pada selang itu. Pn (x) membentuk ruang bagian linear dari C[0,2π ] atau C[−π,π] , kalau daerah definisi Pn (x) dibatasi pada selang-selang itu saja. Basis orthogonal ruang bagian linear itu adalah = {1, cos x, cos 2 x,..., cos nx , sin x, sin 2 x,..., sin nx} karena B adalah himpunan orthogonal , maka menurut dalil B bebas linear, jadi merupakan basis untuk PT n , dan adalah basis orthogonal untuk PT n , terhadap perkalian scalar < p , q >= atau < p , q >=
π
∫ p ( x ).q ( x ).dx
−π
11
2π
∫ p( x ).q ( x ).dx 0
Untuk mendapatkan basis orthogonal , terlebih dahulu menetukan panjang masing-masing vector dalam basis orthogonal itu.
1 =
p, q =
cos ix =
2π
∫0 (1)
2
dx =
2π
2 ∫ (cos ix ) dx = 0
2π
∫0 dx =
[
[x ] = 2π 0
2π − 0 = 2π
1 cos ix sin ix + ix 2i
2π 0
]
=
1 [{cos i ( 2π ). sin i ( 2π ) + i ( 2π )} − {cos 0 . sin 0 + i ( 0 )} ] 2i
=
1 .i ( 2π ) = 2i
sin ix =
π
2π
2 (sin ix ) dx = ∫ 0
[
1 − sin ix cosix + ix 20π 2i
]
=
1 [{− sin i(2π ).cosi(2π ) + i(2π )}− {− sin 0. cos0 + i(0)}] 2i
=
1 .i(2π ) = π 2i
12
Dengan demikian basis ortonormal untuk
PTn
adalah
1 cosx cos2x cosnx sinx sin2x sinnx , , ,..., , , ,..., } 2π π π π π π π ={u0, u1,...,un,...,v0, v1,...,vn} ={
Polinom Fourier untuk f(x) yaitu Polinom Trigonometri Penghampiran Terbaik untuk f(x) dengan perkalian skala di atas.
P(x) =< f ,u0 > u0 + < f ,u1 > u1 +...+ < f ,un > un + < f ,v1 > v1+ < f ,v2 > v2 +...< f ,vn > vn n
n
i=1
i =1
P(x) =< f , u0 > u0 + ∑< f , ui > ui + ∑< f , vi > vi di mana : < f , u 0 >=
2π
∫ 0
1 f ( x). .dx = 2π 13
1 2π
2π
∫ f ( x)..dx 0
< f ,u0 > u0
=
1 2π
2π
∫
1 2π
f ( x ).. dx =
1 π
2π
∫
f ( x ).. dx
0
1 = π
1 2π
2π
∫
f ( x ).. dx
0
2
0
di mana a 0
ui =
=
=
a0 2
2π
∫0
f ( x ). dx
cos ix π
< f , u i >=
2π
∫ 0
cos ix 1 f ( x). .dx = π π
2π
∫ f ( x ). cos ix.dx 0
1 2π cos ix < f , u i > u i = f ( x ). cos ix.dx ∫ π 0 π 1 2π = ∫ f ( x ). cos ix.dx (cos ix ) = a i . cos ix π 0 14
1 ai = di mana π vi =
2π
∫
f ( x ). cos ix . dx
0
sin ix π
< f , v i >=
2π
∫ 0
sin ix 1 f ( x ). .dx = π π
2π
∫ f ( x).sin ix.dx 0
1 2π sin ix < f , v i > v i = f ( x ). sin ix . dx ∫ π 0 π 1 2π = ∫ f ( x ). sin ix .dx (sin ix ) = b i . sin ix π 0
di mana
Jadi
1 bi = π
2π
∫ f (x).sin ix.dx 0
n
n
i=1
i=1
P(x) =< f ,u0 > u0 + ∑< f , ui > ui + ∑< f , vi > vi
n n a0 P ( x) = + ∑ a i . cos ix + ∑ bi . sin ix 2 i =1 i =1
15
n a0 P ( x) = + ∑ (a i . cos ix + b i . sin ix ) 2 i=1 di mana i = 1, 2 , 3 ,..., n
Polinom Fourier itu adalah a Pn ( x ) = 0 + 2 di mana : a
a
=
0
1 = π
∑ (a
i
. cos ix + b i . sin ix )
i =1
2 π
∫
f ( x ). dx
0
2π
1 = π
i
bi
1 π
n
∫
f ( x ). cos
0
2π
∫
f ( x ). sin ix . dx
0
atau a
0
=
1 π
ix . dx
π
∫
f ( x ). dx
− π
16
… [0, 2π ]
a
π
1 = π
i
1 = π
bi
∫
f ( x ). cos ix . dx
−π π
∫
f ( x ). sin ix . dx
−π
… [− π , π
nπ i = n = π = L , maka Ambil π dan i =
nπ [− L, L ] L dan intervalnya
sehingga a
0
1 L
=
L
∫
f ( x ). dx
− L
1 L nπ x a n = ∫ f ( x ). cos .dx L −L L 1 bn = L
π
∫
−π
f ( x ). sin L
nπ x .dx L
17
… [− L, L ]
]
Dengan demikian menjadi:
Polinom
Fourier
berubah
Deret Fourier : ∞ a0 nπx n πx f ( x) = + ∑ a n . cos + bn .sin 2 n=1 L L
di mana n = 1 , 2 , 3 ,..., ∞
18
