Ortogonal
Yang dibahas : • Ortogonal • Basis ortogonal • Ortonormal • Matrik ortogonal • Komplemen ortogonal • Proyeksi ortogonal • Faktorisasi QR
Ortogonal • Himpunan vektor {v1, v2, ….., vk} dalam Rn disebut
himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika : vi . vj = 0 ketika i ≠ j untuk i, j = 1, 2,….., k
• Basis standar {e1, e2, ….., en} dalam Rn adalah himpunan ortogonal.
Contoh : Tunjukkan bahwa {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal dalam R3 jika : v1
2 1 , v2
0 1 , v3
1 -1
-1
1
1
Jawab : Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal v1 . v2 = 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0 v2 . v3 = 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0 v1 . v2 = 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0 Kesimpulan : {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal
Teori 1. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan vektor bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor tersebut adalah bebas linier. Bukti : Jika c1, c2, …., ck adalah skalar sehingga : c1v1+ …+ ckvk=0 kemudian (c1v1+ …+ ckvk) . vi = 0 . vi = 0 Atau hal yang sama : c1(v1. vi)+ ….. +ci(vi. vi)+ ……+ ck(vk. vi) = 0 Karena {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan ortogonal, semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol kecuali (vi. vi), sehingga persamaan dapat diringkas menjadi : ci(vi. vi) = 0
Dengan hipotesa : vi ≠ 0 sehingga vi. vi ≠ 0, oleh karena itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah ci. Hal ini juga berlaku untuk semua i = 1, ….. k, sehingga disimpulkan bahwa {v1, v2, ….., vk} adalah bebas linier.
Basis Ortogonal Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari Rn adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal. Contoh soal : Cari basis ortogonal dari subruang W dari R3 yaitu : x
W
y :x z
y
2z
0
Jawab : Subruang W adalah bidang yang berada pada R3, dari persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri dari vektor dengan bentuk : y 2z 1 -2 y y 1 z 0 z 0 1 1
Jadi vektor u =
1 0
-2
dan v =
0
adalah basis W, namun tidak
1
ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah satu vektor tersebut.
x
Anggap w
y
adalah vektor dalam W yang ortogonal
z
dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0. Dengan menyelesaikan SPL : x-y+2z = 0 x+y =0 Didapatkan : x = -z dan y = z Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk :
-z w
z z
-1
Jika diambil w
1 dengan mudah dapat dibuktikan 1
bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W , sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W=2. Teori 2. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah basis ortogonal dari subruang W dari Rn dan w merupakan vektor dalam W, maka skalar unik c1,…., ck dapat ditulis : w = c1v1+ …+ ckvk
Menghasilkan : ci
w.vi vi .vi
untuk i = 1, ……, k
Contoh soal : Carilah koordinat w
1 2 yang menjadi basis ortogonal
3 dari B = {v1, v2, v3} dengan
2 1 , v2
0 1 , v3
1 -1
-1
1
1
v1
Jawab : c1
w.v1 v1.v1
2 2 3 4 1 1
1 6
c2
w.v2 v2 .v2
0 2 3 0 1 1
5 2
c3
w.v3 v3 .v3
1 2 3 1 1 1
2 3
Jadi : w = c1v1+ c2v2 + c3v3 = 1/6 v1 + 5/2 v2+ 2/3 v3 Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B adalah : 1 6
w
B
5 2 3 2
Ortonormal Definisi : himpunan vektor dalam Rn adalah himpunan ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari Rn adalah basis dari W dan merupakan himpunan ortonormal. Catatan : Jika S= {q1,….., qk} adalah himpunan vektor ortonormal, kemudian q1. q2 = 0 untuk i≠ j dan qi 1 Kenyataannya bahwa setiap qi merupakan vektor satuan dengan kata lain : qi . qi = 1. Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika : 0 jika i j qi .q j 1 jika i j
Contoh soal : 1. Tunjukkan bahwa S = {q1,q2} adalah himpunan ortonormal dalam R3 jika : 1
1
3
q1
-
1 3 1
1
q1.q1
1
q2 .q2
1
2 18
3 6
1 18
1
3
4
6
1
18
3
1
6
1
dan q2
2 6 1
3
Jawab : q1.q2
6
6
0 ortonormal
1
Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap vektor himpunan ortogonal tersebut.
2. Bangun basis ortonormal untuk R3 dari vektor-vektor : v1
2 1 , v2
0 1 , v3
1 -1
-1
1
1
Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v1, v2, dan v3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi setiap vektor diperoleh : 2 q1
q3
1 v1 v1 1 v3 v3
2
1 1 6 -1
6 1 6
-
6
1 v2 v2
1 1 2 1
1
1
1 -1 3 1
1
, q2
3
-
0
1 3 1 3
Jadi {q1, q2, q3} merupakan basis ortonormal untuk R3
0
1 2 1 2
Teori 3. Jika {q1, q2 .….., qk} basis ortonormal dari subruang W dari Rn dan w adalah vektor dalam W, maka : w = (w. q1 )q1 + (w. q2 )q2 +………+ (w. qk ) qk
Matrik ortogonal Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom berbentuk himpunan ortonormal disebut: matrik ortogonal. Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentuk himpunan ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan hanya jika Q-1 = QT
Contoh soal : Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah ortogonal dan carilah matrik inversnya ! A
0 1 0 0 0 1
dan B
1 0 0
cos
sin
sin
cos
Jawab : Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar dari R3 jelas merupakan ortonormal, sehingga A adalah ortogonal dan 0 0 1 A
1
AT
1 0 0 0 1 0
Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut : T
B B
cos sin
sin cos
cos 2
sin 2
sin cos
1 0 0 1
cos sin
sin cos cos sin
cos sin
sin 2
1
Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan
B
1
B
T
cos sin
sin cos
cos 2
sin cos
Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut ini memiliki arti yang sama : a. Q adalah ortogonal. x untuk setiap x dalam R n b. Qx c. Qx.Qy x. y untuk setiap x dan y dalam R n Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen baris merupakan himpunan ortonormal. Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal. a. Q-1 adalah ortogonal b. det Q = 1 1 c. Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka d. Jika Q1 dan Q2 adalah matrik ortogonal nxn, maka demikian juga untuk Q1Q2
Komplemen ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari Rn. Sebuah vektor v dalam Rn ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang ortogonal dengan W disebut komplemen ortogonal dari W ditulis sebagai: W
W = {v dalam Rn: v.w = 0 untuk semua w dalam W} v W w
W dan W = l
Teori 9. Ambil W subruang dari Rn. a. W adalah subruang dari Rn. b. ( W ) W c. W W = {0} d. Jika W = span (w1, ……, wk), maka v berada dalam W jika dan hanya jika v. wi = 0 untuk semua i= 1, …….,k Teori 10. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal dari ruang kolom A adalah ruang null AT (baris ( A))
null ( A) dan ( kolom( A))
null ( A T )
Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang : baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari Rn kolom (A) dan null (AT): komplemen ortogonal dari Rm Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n null (A)
null (AT)
0
0
TA baris (A) Rn
kolom (A) Rm
Contoh soal : 1. Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari :
A
1 1 3 1 6 2 -1 0 1 -1 -3 2 1 -2 1 4 1 6 1 3
dan buktikan bahwa : (baris ( A))
null ( A) dan ( kolom( A))
null ( AT )
Jawab : Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :
R
1 0 1 0 -1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 4
baris (A) = baris (R)
0 0 0 0 0
Baris (A) = span (r1, r2, r3) dengan : r1 = {1 0 1 0 -1}, r2 = {0 1 2 0 3}, r3 = {0 0 0 1 4} Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0 diperoleh : x 1
x2 x
x3 x4 x5
-s t -2s-3t s -4t t
-1 -2 s 1
1 -3 t 0
0 0
-4 1
su
tv
Null (A) = span (u, v) dengan : -1 -2
1 -3
u = 1 dan v = 0 0 0
-4 1
Untuk menunjukkan (baris ( A)) null ( A) cukup dengan menunjukkan bahwa setiap vektor r ortogonal dengan u dan v. Selanjutnya, dapat dilihat bahwa : r3 = r1 + 2r2 dan r5 = -r1 + 3r2 + 4r4
Dengan demikian r3 dan r5 tidak memberikan kontribusi apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r1, r2 dan r4 adalah bebas linier dan merupakan vektor satuan. Jadi basis kolom A = span{a1, a2, a3} dengan : a1
1 2 , a2 -3
1 -1 , a4 2
1 1 -2
4
1
1
Perhitungan null(AT) dilakukan dengan reduksi baris :
AT 0
1 2 -3 4 0 1 -1 2 1 0 3 0 1 6 0
1 0 0 1 0 0 1 0 6 0 0 0 1 3 0
1 1 -2 1 0 6 -1 1 3 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Jika y didalam null(AT) dengan y1 = - y4, y2 = -6 y4 dan y3 = -3y4 , maka dapat diperoleh hasil :
null(AT) =
- y4
1
-6y 4
6
-3y 4
span
y4
3 1
Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut ortogonal dengan a1, a2, a3 sehingga terbukti bahwa :
(kolom( A))
null ( AT )
2. Ambil W adalah subruang R5 yang dibangun oleh :
w1
1 -3 5 , w2 0 5
-1 1 2 , w3
0 -1 4
-2 3
-1 5
Tentukan basis dari W Jawab : subruang W dibangun oleh w1,w2 dan w3 sama dengan ruang kolom dari : 1 -1 0 -3 1 -1 A
5 2 4 0 -2 -1 5 3 5
Teori 10 menyatakan W Sehingga dapat dihitung :
AT 0
(kolom( A))
null ( AT )
1 -3 5 0 5 0 -1 1 2 -2 3 0
1 0 0 3 4 0 0 1 0 1 3 0
0 -1 4 -1 5 0
0 0 1 0 2 0
y didalam W jika dan hanya jika : y1= –3 y4 – 4 y5, y2= – y4 – 3 y5 dan y3= –2 y5 Sehingga diperoleh : -3y4 - 4y5
-3
-4
- y4 - 3y5
-1
-3
0
-2
y4
1
0
y5
0
1
W
Ada 2 vektor basis untuk
-2y5
W
span
Proyeksi ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari Rn dan {u1, u2 .….., uk} merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v dalam Rn, maka proyeksi ortogonal v pada W didefinisikan sebagai : u1.v u1 u1.u1
proyw (v)
.....
uk .v uk .uk
Komponen v ortogonal ke W adalah vektor : perpw (v) v proyw (v) v v
perpu(v)
u
u2 proyu(v)
p2 p
p1 W u1
uk
Contoh soal : Jika W bidang dalam R3 dengan persamaan x-y+2z=0 3
dan v
Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan
-1 2
komponen v yang ortogonal ke W !
Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk : y 2z y z
1 y 1
-2 z 0
0
1
Diperoleh vektor basis W : -1
1
u1=
1
dan u2 =
1 1
0
Proyeksi ortogonal v pada W adalah :
proyw (v)
u1.v u1 u1.u1 1
2 1 2 0
u2 .v u2 u2 .u2 -1
2 1 3 1
v
perpw(v)
5 3 1 3
- 23
proyw(v) W
Dan komponen v ortogonal pada W adalah :
3
5 3
4 3
perpw(v) = v – projw(v)= -1
1 3
- 43
2
- 23
8 3
Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa projw(v) berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan bidang. Demikian pula halnya dengan perpw(v) adalah ortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari vektor normal 1 terhadap W. -1 2
Dekomposisi ortogonal Teori 11. Jika W merupakan subruang dari Rn dan v adalah vektor dalam Rn , maka ada vektor-vektor unik w dalam W dan w dalam W
dapat dituliskan :
v=w+w
Teori 12. Jika W merupakan subruang dari Rn, maka : dim W + dim W = n
Faktorisasi QR Teori 13. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagai QR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang invertible. Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a1,…,an adalah kolom bebas linier dari matrik A dan q1,…,qn adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan menggunakan metode Gramm-Schmidt. Untuk setiap i = 1,…..,n : Wi = span (a1,…,ai ) = span (q1,…,qi ) Sehingga jika terdapat skalar r1i,r2i…,rii dapat dituliskan : ai = r1iq1 + r2iq2 + …..+riiqi untuk i= 1, ……, n
Diperoleh hasil : a1 = r11q1 a2 = r12q1 + r22q2
an = r1nq1 + r2nq2 + …..+rnnqn Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut :
r11 r12 ... r1n A
a1 a2 .... an
q1 q2 .... qn
0 r22 ... r2 n 0
0 ... rnn
QR
Contoh soal : Cari faktorisasi QR dari : A
1 2 2 -1 1 2 -1 0 1 1 1 2
Jawab :
Subruang W dibangun oleh x1,x2 dan x3 sama dengan ruang kolom dari matrik A. {x1,x2, x3} adalah himpuan bebas linier, sehingga merupakan basis dari W. Ambil v1 = x1, selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt dihitung komponen x2 yang ortogonal pada W1= span (v1)
v2
perpw1 ( x2 )
x2
v1.x2 v1 v1.v1
2
1
3 2
1
2 -1 4 -1 1
3 2
0 1
1 2 1 2
Untuk menghilangkan pecahan pada v2 dilakukan perkalian skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian 3 v2 dirubah menjadi : v2
2v2
3
1 1
Selanjutnya dihitung komponen x3 ortogonal pada W2 = span (x1 ,x2) = span (v1 ,v2)= span (v1 , v2 ) menggunakan basis ortogonal (v1 , v2 )
v3
perpw2 ( x3 ) x3
v1.x3 v1 v1.v1
v2 .x3 v2 v2 .v2
2 2 1 2
1 1 -1 4 -1 1
3 15 3 20 1 1
- 12 0 1 2
1
Kembali dilakukan penskalaan ulang : v3
2v3
-1 0 1 2
Akhirnya diperoleh basis ortogonal v1 , v2 , v3 untuk W Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan normalisasi setiap vektor
q1
1 v1
v1
1 2
1
1 2
-1
- 12
-1
- 12
1
1 2
3 5 3 q2
1 v2
v2
1
3
2 5
1
3 5 5
1 5
- 6 -1 q3
1 v3
v3
1 6
0
0
1
6
2
6
10 10
10 10
6
6 3
1
Jadi Q
q1 q2 q3
3 5
2
- 12
3 5
- 12
5
1
5
2
10 10 10 10
-
6
6
0 6 6
6 6
A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga QTQ = I. Oleh karena itu : QTA=QTQR = IR=R Diperoleh hasil akhir : 1
R
QT A
2
3 5
-
-
10
6
6
1
3 5
2 10
0
-
1 5
6
2
10 6
1 5
2 10
6
3
1 2 2 -1 1 2 -1 0 1 1 1 2
2 1 0
5
0
0
1
2
3 5 6
2 2
Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrik diagonal D sehingga diperoleh : QTAQ = D Teori 14. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal , maka A adalah matrik simetri Bukti : Karena Q-1 = QT diperoleh QTQ = I = QQT sehingga : QDQT = QQTAQQT = IAI = A Tetapi juga : AT= (QDQT)T = (QT)T DTQT = QDQT = A Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri .
Latihan soal : 1. V=R3 dengan perkalian skalar
= 2a1b1 + a2b2 + 3a3b3 Tentukan proyeksi ortogonal a= (1,2,1), b= (1,1,1) 2. V=R3 dengan perkalian skalar = 2a1b1 + a2b2 + a3b3 W subruang linier yang dibangun oleh {(-1,1,1), (1,1,1)} dan v = (1,2,3) Tentukan proyeksi ortogonal v pada W
