26 Berdasarkan apa yang sudah kita pelajari dalam modul 4 kegiatan belajar 1, maka dapat kita simpulkan sebagai berikut : ruang Hilbert adalah ruang vektor linier dengan dimensi tak hingga yang memiliki produk skalar dan bersifat lengkap. Elemen - elemen dari ruang Hilbert ialah vektor ket dan vektor bra. Hubungan antara vektor ket dan vektor bra adalah antilinier. Analogi ruang Hilbert dengan ruang fungsi gelombang adalah sebagai berikut
ψ ∈ ruang gelombang ↔ ψ ∈ ℵ . Suatu set {U i }dikatakan basis dalam ruang ℵ bila setiap ψ ∈ ℵ dapat dijabarkan kedalam basis tersebut ψ = ∑ C i U i . Dua hubungan i
antar basis dalam ruang ℵ adalah orthonormal dan relasi closure. Suatu vektor dijabarkan ke dalam komponen. Suatu vektor dijabarkan kedalam komponen – komponen vektornya, sedangkan suatu operator dijabarkan oleh elemen- elemen matriksnya. Representasi matriks suatu vektor ket ialah berupa matriks kolom, sedangkan vektor bra berupa matriks baris. Berdasarkan haltersebuat maka perkalian sklar dua vektor ket adalah berupa bilangan. Elemen – elemen matriks suatu operator dalam basis
{U } i
didefinisikan sebagai berikut U i Aˆ U j = Aij . Matriks – matriks dari sebuah operator mempunyai sifat – sifat diantaranya simetris, antisimetris, orthogonal dan lain- lain. Representasi keadaan suatu sistem dalam ruang Hilbert menurut notasi dirac ini umum digunakan dalam menjabarkan permasalahan- permasalahan mekanika kuantum.
I. Pilihlah satu jawaban yang benar untuk soal – soal dari no. 1 – no. 4. 1. Hermitian adjoint dari pernyataan berikut λ ψ Aˆ ϕ V W ( dengan A adalah
operator dan λ bilangana kompleks) ialah A. λ ψ Aˆ + ϕ V W B. λ* V W ϕ Aˆ ψ C. λ* W V ϕ Aˆ + ψ D. λ ψ Aˆ ϕ W V
2. Manakah diantara matriks – matriks dibawah ini yang hermitian 2i − 4 A. 6 3
27 − 2 i 3 B. − i 3 6 1 i 2 C. i 2 3 2 i 3 D. 4 − 2i 3. Manakah diantara operator- operator matriks dibawah ini yang bersifat uniter ˆ A. Tˆ = e iA , bila Aˆ hermitian 1 + iAˆ B. Dˆ = , bila Aˆ tak hermitian 1 − iAˆ i − iAˆ C. Dˆ = , bila Aˆ hermitian ˆ 1 + iA ˆ ˆ D. T = e −iA , bila Aˆ tak hermitian a11 a12 a13 ˆ ˆ 4. Tarce dari operator A berikut, dengan A = a 21 a 22 a 23 ialah a 31 a32 a33 A. a11 ⋅ a 22 ⋅ a33 B. a 21 + a31 + a32
C. a12 + a13 + a 23 D. a11 + a22 + a33
II. ESSAI 1. Fungsi eigen dari operator hermitian Hˆ ialah ψ n . Kita asumsiskan bahwa keadaan
ψn
membentuk basis orthonormal diskrit. Suatu operator Uˆ
didefinisikan sebagai berikut Uˆ (m, n ) = ψ m ψ n a) Hitunglah Uˆ (m, n )
[
]
b) Hitunglah komutator dari Hˆ , Uˆ (m, n )
c) Buktikanlah Uˆ (m, n )Uˆ + ( p, q ) = δ nqUˆ (m, p )
28 d) Misalkan
Aˆ
adalah operator dengan
elemen – elemen matriks
Amn = ψ m Aˆ ψ n buktikan lah bahwa A = ∑∑ AmnUˆ (m, n ) m
n
2. Representasi matriks untuk persamaan nilai eigen dapat diungkapkan sebagai berikut Hˆ U i = hi U i . Tentukanlah persamaan keadaan tersebut dalam bentuk matriks untuk i = 4 . Kunci jawaban Tes Formatif KB 1 I. Pilihan ganda 1. C penjelasan λ ψ Aˆ ϕ V W
( (λ ψ Aˆ ϕ (λ ψ Aˆ ϕ
) V W ) V W )
+
= V W
+
+
ψ Aˆ ϕ λ+
+
= W V ϕ Aˆ + ψ λ*
+
= λ* W V ϕ Aˆ + ψ
2. B Penjelasan Harus dibuktikan bahwa Aˆ + = Aˆ T * = Aˆ +
− 2 i 3 −2 = − i 3 6 − i 3 3. A Penjelasan Harus dibuktikan bahwa hermitian. ˆ + ˆ+ Tˆ + = e iA = e −iA karena
( )
ˆ+ ˆ Tˆ + = e − iA = e − iA , maka ˆ ˆ TˆTˆ + = e iA e − iA = 1
i 3 6
T*
*
− 2 − i 3 − 2 i 3 = = − i 3 6 i 3 6
ˆ TˆTˆ + = 1 atau Dˆ Dˆ + = 1 , untuk Tˆ = e iA dengan
Aˆ
Aˆ hermit maka Aˆ + = Aˆ , sehingga
( )
ˆ ˆ bila anda memilih Tˆ = e − iA dengan Aˆ tak hermitian. Tˆ + = e −iA ˆ ˆ ˆ+ ˆ Aˆ tak hermit maka Aˆ + ≠ Aˆ , maka TˆTˆ + = e − iA e iA+ = e iA −iA ≠ 1
+
ˆ+
= e iA , karena
29 4. D Penjelasan Lihat definisi trace suatu operator TrAˆ = ∑ ai i
yaitu trace dari suatu operator sama dengan jumlah dari elemen – elemen diagonalnya.
II. ESSAI 1. d a) Uˆ + (m, n ) = ( ψ m ψ n b)
)
+
= ψn ψm
[Hˆ ,Uˆ (m, n)] = Hˆ Uˆ (m, n) − Uˆ (m, n)Hˆ [Hˆ ,Uˆ (m, n)] = Hˆ ψ ψ − ψ ψ Hˆ m
n
m
dari
n
persamaan
nilai
eigen
Hˆ ϕ m = E m ϕ m
ϕ n Hˆ = ϕ n E n maka persamaan diatas menjadi
[Hˆ ,Uˆ (m, n)] = E ψ ψ − ψ [Hˆ ,Uˆ (m, n)] = (E − E )ψ ψ [Hˆ ,Uˆ (m, n)] = (E − E )Uˆ (m, n) Uˆ (m, n )Uˆ ( p, q ) = ψ ψ (ψ m
c)
m
n
m
n
m
n
m
m
n
n
p
+
m
ψ n En
ψq
Uˆ (m, n )Uˆ + ( p, q ) = ψ m ψ n ψ q ψ p
)
+
diketahui bahwa keadaan
membentuk basis orthonormal diskrit, maka
ψ n ψ q = δ nq jadi terbukti bahwa
Uˆ (m, n )Uˆ + ( p, q ) = δ nq ψ m ψ p = δ nqUˆ (m, p )
ψn
30 d) bukti Aˆ = ∑∑ AmnUˆ (m, n ) m
n
Aˆ = ∑∑ ψ m Aˆ ψ n ψ m ψ n m
n
Aˆ = ∑∑ ψ m ψ m Aˆ ψ n ψ n m
n
Aˆ = ∑ ψ m ψ m Aˆ ∑ ψ n ψ n m
n
Aˆ = 1 ⋅ Aˆ ⋅ 1 Aˆ = Aˆ 2. Hˆ U i = hi U i
produk skalarkan kedua ruas dengan basis U j dari kiri U j Hˆ U i = hi U j U i
gunakan
U j Hˆ ⋅ 1 U i = hi U j U i
∑U
j
Hˆ U k U k U i = hi U j U i
k
∑ Hˆ
jk
a k(i ) = hi a (ji )
k
untuk i = 4 maka h11 0 0 0 ...
0 h22 0 0 ...
0 0 h33 0 ...
0 0 0 h44 ...
... 0 0 ... 0 0 ... 0 = h4 0 ... 1 1 ... ... ...
relasi
closure
31 TRANSFORMASI UNITER
2.1.
Transformasi Uniter Transformasi Uniter ialah transformasi yang menghubungkan dari satu basis ke basis lainya dalam ruang Hilbert basis lama {U i
}
―›
basis baru { t n } .
Perubahan basis didefinisikan oleh komponen spesifiknya U i t n S in = U i t n
―›
(S ) +
ni
= (S in ) = t n U i *
matriks transformasi S ini bersifat uniter S + S = SS + = 1 buktikanlah bahwa S bersifat uniter. Transformasi Komponen – Komponen Vektor Keadaan (ket) sekarang mari kita pelajari bagaimana komponen – komponen dari sembarang vektor keadaan dalam basis lama di transformasi ke komponen dalam basis baru dan sebaliknya. Misalkan vektor keadaan ψ ingin ditransformasi ke basis baru { t n
semula dalam basis lama
} maka dilakukan sebagai berikut
{U } i
:
t n ψ = t n 1ψ tn ψ = ∑ tn U i U i ψ i
t n ψ = ∑ S ni+ U i ψ i
pada persamaan tersebut U i ψ
adalah komponen ψ dalam basis lama, S ni+
adalah matriks transformasi yang akan mentransformasikan komponen ψ dalam basis lama ke komponen ψ dalam basis baru t n ψ . Kebalikanya dapat dijelaskan dengan cara yang sama U i ψ = U i 1ψ U i ψ = ∑ U i tn tn ψ i
U i ψ = ∑ S in t n ψ i
32 komponen ψ dalam basis baru t n ψ di transformasi oleh matriks transformasi S in sehingga berubah menjadi komponen ψ dalam basis lama U i ψ . Jika ϕ dan ψ adalah dua vektor sembarang dalam ruang Hilbert maka dengan transformasi basis S, vektor – vektor tersebut ditransformasi menjadi ϕ ' dan ψ ' sebagai berikut
ϕ' = S ϕ ψ' = Sψ dengan transformasi seperti itu perkalian skalar kedua vektor tersebut tidak akan berubah
ψ ' ϕ ' = ψ S + S ϕ = ψ S −1 S ϕ ψ ' ϕ' = ψ 1ϕ ψ ' ϕ' = ψ ϕ bila kita misalkan ψ = ϕ maka akan diperoleh
ϕ' ϕ' = ϕ ϕ jadi dengan demikian Transformasi Uniter tidak mengubah panjang vektor dan sudut antara kedua vektor tersebut. Transformasi Uniter Komponen – Komponen suatu bra
Misalkan kita ingin mentransformasi komponen suatu Bra yang semula dalam basis lama ψ U i menjadi komponen bra dalam basis baru ψ t n . Untuk melakukan perubahan basis tersebut dilakukan Transformasi Uniter berikut :
ψ tn = ψ 1 tn = ∑ ψ U i U i tn i
ψ t n = ∑ ψ U i S in i
dengan cara yang sama kebalikanya dapat dilakukan Transformasi Uniter sebagai berikut :
ψ U i = ψ 1 U i = ∑ ψ tn tn U i i
ψ U i = ∑ ψ tn S
+ ni
i
Transformasi Uniter Komponen - Komponen Matriks Suatu Operator
33 Pada uraian sebelumnya anda sudah mempelajari bagaimana menentukan elemen – elemen suatu operator. Sekarang kita pelajari bagaimana mentransformasi elemen matriks suatu operator dalam basisi lama U i Aˆ U j elemen operator yang sama dalam basis baru t n Aˆ t m
menjadi elemen –
atau sebaliknya. Untuk
melakukan perubahan tersebut dilakukan Transformasi Uniter sebagai berikut :
t n Aˆ t m = t n 1 ⋅ Aˆ ⋅ 1 t m t n Aˆ t m = ∑∑ t n U i U i Aˆ U j U j t m i
j
(
Anm = ∑∑ S ni+ Aij S jm = S + AS i
)
nm
j
karena S bersifat uniter maka bisa juga ditulis
Anm = ∑∑ S ni−1 Aij S jm
(
i
j −1
Anm = S AS
)
nm
sebaliknya elemen - elemen matriksdalam basis lama ingin dinyatakan atau dijabarkan dalam elemen – elemen basis baru, maka dilakukan Transformasi Uniter berikut :
U i Aˆ U j = U i 1 ⋅ Aˆ ⋅ 1 U j U i Aˆ U j = ∑∑ U i t n t n Aˆ t m t m U j n
m
(
Aij = ∑∑ S in Anm S mj+ = SAS + n
)
ij
m
atau −1 Aij = ∑∑ S in Anm S mj
(
n
m
Aij = SAS −1 2.2.
)
ij
Representasi Energi Kotak satu dimensi
Dalam representasi energi, Hamiltonian adalah diagonal. Representasi ini mencakup basis berupa fungsi –fungsi eigen dari operator Hamiltonian. Dalam modul pengantar fisika kuantum atau dalam fisika modern, anda sudah mempelajari bagaimana menentukan fungsi eigen dan nilai eigen dari partikel yang terperangkap dalam kotak satu dimensi . Energi partikel diungkapkan oleh
34
En =
h2 = E1 n 2 32m0 L2
dengan fungsi eigen atau spektrum fungsi eigen
2 nπx sin L L
ϕn =
Basis dimana Hamiltonianya diagonal ialah Β=
2 πx 2πx 3πx , sin ,.... sin , sin L L L L
dan representasi Hamiltonianya adalah 1 0 ˆ H = E1 0 0 ...
0 4 0 0 ...
0 0 ... 0 0 ... 9 0 ... 0 .... ... ... ... n 2
Osilator harmonik sederhana
Anda sudah mempelajari bagaimana menentukan spektrum nilai eigen dan spektrum fungsi eigen pada permasalahan osilator harmonis sederhana satu dimensi dalam pengantar fisika kuantum. Spektrum fungsi eigenya diungkapkan oleh
ϕ n (β ) = An ℜ n (β )e
1 − β2 2
dengan An adalah konstanta normalisasi dan ℜ n (β ) adalah polynomial hermite. Untuk osilator harmonis ini basis yang mendiagonalkan Hamiltonian Hˆ adalah Β=e
−
β2 2
{A1ℜ1 , A2 ℜ 2 ,....}
Β = {1 , 2 , 3,... }
Spektrum energi dari osilator harmonis satu dimensi ini adalah 1 2n + 1 E n = n + hω = hω 2 2 reprexentasi matriks dari Hamiltonian ini adalah
35 1 2 0 Hˆ = hω 0 0 ...
... 0 0 ... 5 0 ... 2 0. ... ... 2n + 1 ... ... 2
0
0
3 2 0 0 ...
0
Operator posisi dan Momentum Sekarang marilah kita hitung representasi matriks dari operator posisi dan operator momentum untuk osilator harmonik dalam representasi energi. Hubungan antara observable atau besaran dinamis posisi dam momentum dengan operator – operatornya ialah
xˆ = pˆ =
mω x h 1 mhω
p
sedangkan untuk Hamiltonian ialah
Hˆ = hωHˆ didefinisikan operator kreasi dan anihilasi yang dinotasikan oleh a + dan a hubungan kedua operator tersebut dengan operator posisi dan momentum adalah sebagai berikut a= a+ =
1 2 1
(xˆ + ipˆ )
2
(xˆ − ipˆ )
atau xˆ = pˆ =
1 2 i 2
(a
+
(a
+
+a
)
−a
)
36 Bila operator kreasi dan anihilasi itu dioperasikan pada sembarang vektor ket maka
a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1 a ϕ n = n ϕ n −1 Dapat kita lihat bahwa operator kreasi akan menaikan sedangkan operator anihilasi menurunkan. Bila kedua operator itu di operasikan pada vektor bra maka
ϕ n a + = n ϕ n −1 ϕ n a = n + 1 ϕ n +1 Sekarang tinjau suatu observable bekerja pada suatu vektor ket x ϕn =
h xˆ ϕ n mω
x ϕn =
h 1 + a + a ϕn mω 2
x ϕn =
h a+ ϕn + a ϕn 2mω
x ϕn =
h 2mω
(
)
{
{ n +1 ϕ
n +1
}
+ n ϕ n−1
}
Repersentasi matriks dari operator posisi tersebut ialah
ϕk x ϕn = x kn =
h 2mω
h 2mω
{ n +1 ϕ
{ n + 1δ
k , n +1
k
ϕ n +1 + n ϕ k ϕ n −1
+ nδ k ,n −1
}
Dengnan k dan n adalah integer positif Representasi matriksnya ialah
x=
0 1 h 0 2mω 0 ...
1
0
0
2
2
0
0
3
...
...
... 0 ... 3 ... 0 ... ... ... 0
sedangkan untuk operator momentum ialah
}
37 p ϕ n = mhω pˆ ϕ n i
p ϕ n = mhω
2
(a
+
)
− a ϕn
p ϕn = i
mhω + a ϕn − a ϕn 2
p ϕn = i
mhω 2
(
{ n +1 ϕ
n +1
)
− n ϕ n−1
}
representasi matriksnya ialah
mhω 2
ϕk p ϕn = i p kn = i
mhω 2
{ n +1 ϕ
{ n + 1δ
k , n +1
0 − 1 m hω p=i 0 2 0 ...
k
ϕ n +1 − n ϕ k ϕ n −1
− nδ k ,n −1
1 0
}
0 2
− 2
0
0 ...
− 3 ...
0 0 3 0 ...
... ... ... ... ...
Representasi matriks operator kreasi dan anihilasi
dari persamaan sebelumnya a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1 kalikan dengan
ϕ k dari sebelah kiri maka
ϕ k a + ϕ n = n + 1 ϕ k ϕ n +1 a kn+ = n + 1δ kn+1 matriksnya ialah
}
38
a+
=
0
0
0
0
0
0
0
0 0
2 0
0 3
0 0
...
...
...
...
1
... ... ... ... ...
dan untuk operator anihilasi a ϕ n = n ϕ n −1
ϕ k a ϕ n = n ϕ k ϕ n −1 a kn+ = nδ k ,n −1
matriksnya adalah
0 0 a= 0 ...
1 0
0 2
0 0
0 ...
0 ...
3 ...
... ... ... n
kita dapat mempelajari lebih jauh bagaimana pengaruh operator kreasi dan anihilasi terhadap fungsi eigen. Sudah kita pelajari sebelumnya bahwa fungsi eigen – fungsi eigen
{ n } untuk Hamiltonian osilator harmonik adalaha vektor
kolom dengan elemen yang tak nol hanya pada baris ke (n + 1) seperti berikut 1 0 0 =0 0 ...
0 1 1 = 0 0 ...
0 0 2 = 1 0 ...
keadaan eigen bergantung waktu dari operator Hˆ adalah
ψ 0 ( x , t ) = e − iω t 2 0 0
ψ 0 ( x , t ) = e − iω t 0
1 2 0 0 ...
39
ψ 1 ( x, t ) = e −3iω t 2 1 0
ψ 1 ( x , t ) = e − 3 iω t 0
0 2 1 0 ...
ψ 2 ( x, t ) = e −5iω t 2 2 0
ψ 2 ( x , t ) = e − 5 iω t 0
0 2 0 1 ...
Sekarang kita coba operasikan aˆ dan aˆ + pada ket diatas misalkan pada 2 untuk operator anihilasi dapat diungkapkan sebagai berikut :
0 0 aˆ 2 = 0 0 ...
1 0 0 0 ...
0 2 0 0 ...
0 0 3 0 ...
0 0 0 4 ...
... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... ...
0 1 aˆ 2 = 2 0 0 ...
Dapatkah anda melihat bagaimana peranan aˆ ? ternyata operator menurunkan fungsi eigen yang asalnya 2 menjadi 1 . operasi aˆ + pada ket 2 adalah 0 1 + aˆ 2 = 0 0 ...
0 0 2 0 ...
0 0 0 0 0 0 3 0 ... ...
... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... ...
40 0 0 + aˆ 2 = 3 0 1 ... aˆ + 2 = 3 3 Ternyata operator kreasi aˆ + yang bekerja pada fungsi eigen 2 , hasil operasinya
mengakibatkan fungsi eigen menjadi bertambah atau naik yaitu jadi 3 . Dari kedua contoh itu anda dapat menyimpulkan bagaimana pengaruh kerja operator aˆ dan aˆ + pada suatu fungsi eigen.
LATIHAN 1. Tunjukanlah bahwa Sˆ dengan elemen – elemen matriks S ni = t n U i adalah uniter. Dimana set basis { t n
} dan {U } adalah lengkap dan orthonormal. i
2. Tunjukan bahwa perkalian skalar tidak berubah dibawah Transformasi Uniter. 3. Elemen – elemen matriks dalam basis basis { t n
} adalah B
' nm
{U } adalah i
Bij = U i Bˆ U j
(
' = t n Bˆ t m . Tunjukan bahwa Bnm = SˆBˆ Sˆ −1
)
nm
sedangkan
= t n Bˆ t m
4. Tentukanlah matriks komutator [x, p ] untuk osilator harmonik dalam representasi
energi. Gunakan reperesentasi matriks untuk xˆ dan pˆ yang sudah kita peroleh sebelumnya. 5. komponen vektor ψ dalam basis lama dinyatakan oleh U i ψ komponen vektor tersebut dalam term basis baru { t n } .
. Nyatakanlah
41 Rambu – Rambu Jawaban Latihan
( )
1. Anda harus menunjukan bahwa (S −1 )ni = Sˆ + itu adalah anda harus menunjukan bahwa I ji = δ ji
ni
= (S in ) atau yang setara dengan hal *
( )
I ji = ∑ S jn S −1
ni
n
I ji = ∑ S jn (S in )
*
n
kemudian gunakan definisi matriks transformasi S 2. Misalkan ψ '= Sˆψ dan ϕ ' = Sˆϕ . Anda harus membuktikan bahwa
ψ ' ϕ' = ψ ϕ 3. Anda harus menempatkan operator identitas dalam basis {U i
} pada operator B
' nm
.
' Bnm = t n Bˆ t m = t n 1 ⋅ Bˆ ⋅ 1 t m ' Bnm = ∑∑ t n U i U i Bˆ U j U j t m i
j
gunakan definisi matriks transformasi s dan definisi elemen matriks suatuoperator . kemudian jumlahkan untuk seluruh i dan j 4. Anda harus menghitung ϕ k [x, p ] ϕ n gunakan definisi komutator
ϕ k xp − px ϕ n = ϕ k xp ϕ n − ϕ k px ϕ n gantikan x dan p masing – masing dengan komutsinya kemudian kalikan xp =
h mhω xˆpˆ = h 2 xˆpˆ mω
h pˆ xˆ = h 2 pˆ xˆ mω kemudian ganti 1 + xˆ = a +a 2 i pˆ = a+ − a 2 ) hitung xˆpˆ dan pxˆ .
px = mhω
(
)
(
)
Hasilnya subtitusikan pada ϕ k xp ϕ n dan ϕ k px ϕ n lau hitung. 5. Tuliskan U i ψ lalu masukan operator identitas dalam basis baru.
U i ψ = U i 1 ψ = ∑ U i t n t n ψ dan seterusnya. n
42 RANGKUMAN
Kita dapat mengubah suatu basis lama ke basis baru dengan menggunakan Transformasi Uniter . dengan Transformasi Uniter ini juga kita dapat menjabarkan komponen suatu ket ke dalam basis baru dan sebaliknya. Selain itu kita juga dapat mengubah elemen – elemen matriks dari suatu operator dalam suatu basis menjadi elemen –elemen matriks dari suatu operator yang sama tapi dinyatakan dalam basis lain dan sebaliknya. Transformasi Uniter itu sendiri ialah transformasi yang menghubungkan dari suatu basis ke basis lainyadalam ruang Hilbert. Perubahan basis didefinisikan oleh komponen – komponen spesifiknya, yaitu melalui matriks perubah basis. Matriks perubah basis ini akan memproyeksikan dari suatubasis ke basis lain. Matriks perubah basis itu bersifat uniter. Dalam kegiatan belajar ini juga kita sudah mempelajari bagaimana menentukan elemen – elemen matriks suatu operator dalam representasi energi. Dalam representasi energi, Hamiltonian adalah diagonal. Representasi ini mencakup basis beruopa fungsi – fungsi eigen dari operator Hamiltonian. Beberapa contoh sederhana seperti kotak satu dimensi dan osilator harmonik telah kita tentukan basis – basis nya dan representasi matriks dari Hamiltonianya.
43 Soal-Soal Latihan
1. Set
{U } adalah basis lama dalam ruang Hilbert dan set { t } adalah basis baru. i
n
Komponen suatu vektor semula dinyatakan dalam basis lama sebagai berikut U i ψ . Bagaimanakah komponen vektor tersebut bila dinyatakan dalam basis baru? 2. Elemen – elemen suatu operator dinyatakan dalam basis baru ialah
t k Aˆ t l .
Transformasikanlah elemen operator tersebut sehingga menjadi elemen operator dalam basis lama. 3. Suatu operator kreasi a + bila diopersikan pada sembarang ket akan memenuhi relasi
a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1 Tunjukanlah relasi tersebut bila ϕ n = 3 .
4. Hitung representasi matriks operator xˆ 2 untuk osilator harmonik dalam representasi energi. 5. Hitunglah representasi matriks oprerator
pˆ 2 untuk osilator harmonik dalam
representasi energi.
KUNCI JAWABAN Soal-Soal Latihan 1.
t k ψ = t k 1ψ
tk ψ = ∑ tk U i U i ψ i
t k ψ = ∑ S ki+ U i ψ i
dengan U i ψ
adalahkomponen vektor ψ dalam basis lama dan S ki+ adalah matriks
yang mentransformasikan komponen ψ dalam basis lama ke komponen ψ dalam basis baru. 2.
U i Aˆ U j = U i 1 ⋅ Aˆ ⋅ 1 U j
44 U i Aˆ U j = ∑∑ U i t k t k Aˆ t l t l U j k
l
Aij = ∑∑ S ik Akl S lj+
(
k
l
)
Aij = SAS +
ij
0 1 0 3. a + 3 = 0 0 ...
0
0
0
0
2
0
0
3
0
0
...
...
... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 1 4 ... 0 ... ... ... 0
0 0 0 a+ 3 = 4 0 1 ... jadi terbukti bahwa a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1 atau a + 3 = 4 U 4
4. Dalam representasi energi hubungan antara observable posisi dan operatornya ialah
xˆ =
mω x h
xˆ : operator posisi
x : observable
hubungan antara operator posisi dengan operator kreasi dan anihilasi ialah
xˆ =
1 2
(a
+
+a
)
sedangkan bila operator kreasi dan anihilasi dioperasikan pada sembarang ket, maka a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1 a ϕ n = n ϕ n −1
45 dari dua persamaan diatas
(
)
(
)(
h a+ + a 2mω h x2 = a+ + a a+ + a 2mω h x2 = a + a + + a + a + aa + + aa 2mω 2 h x2 = a + + a + a + aa + + a 2 2mω x=
)
(
((
)
)
)
( )
2 h ϕ k a + + a + a + aa + + a 2 ϕ n 2mω 2 h ϕ k a + ϕ n + ϕ k a + a ϕ n + ϕ k aa + ϕ n + ϕ k a 2 ϕ n . = 2mω h = n + 1 n + 2δ k ,n + 2 + (2n + 1) δ kn + n n − 1δ k ,n − 2 2mω
ϕk x2 ϕn =
{
ϕk x2 ϕn
{
ϕk x2 ϕn
}
( )
}
representasi matriksnya adalah
h 2 x = 2mω
3
0
0
0
5
0
6
0
7
0
0
0
...
... ...
... 12 ... 0 ... 9 ... ... ... 0
5. Dalam representasi energi hubungan antara observable momentum dan operatornya ialah
pˆ =
1 mhω
p
hubungan antara operator pˆ dengan operator kreasi dan anihilasi ialah pˆ =
i 2
(a
+
−a
)
maka dari dua persamaan tersebut p=i
mhω + a −a 2
(
)
46 mhω + a − a a+ − a 2 mhω + 2 p2 = − a − a + a − aa + + a 2 2
(
p2 = −
((
)(
)
)
2 mhω ϕ k a + − a + a − aa + + a 2 ϕ n 2 2 mhω =− ϕ k a + ϕ n − ϕ k a + a ϕ n − ϕ k aa + ϕ n + ϕ k a 2 ϕ n 2 mhω =− n + 1 n + 2δ k ,n + 2 − (2n + 1) δ kn + n n − 1δ k ,n −2 2
( )
ϕk p 2 ϕn = − ϕk p 2 ϕn ϕk p 2 ϕn
)
{
( )
{
}
}
representasi matriksnya adalah 0 −3 0 0 −5 0 mhω 2 p =− 6 0 −7 2 0 0 0 ... ... ... 3 2 0 p 2 = mhω 6 − 2 0 ...
0 5 2 0 0 ...
... 12 ... 0 ... − 9 ... ... ... 0
... 0 − 3 ... 7 0 ... 2 9 0 ... 2 ... ... ... 0
0
Daftar Pustaka
1. Richard, L Liboff. “Introductory Quantum Mechanics” second edition AddisonWesley Publishing Company (1992). 2. Cohen-Tannoudji, Diu,Laloe. “Quantum Mechanics” volume 1 Willey –Interscience Paris (1977). 3. P. Sinaga. “Fisika Kuantum (diktat)”
