DÁLYAY Zsuzsanna Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar

DÁLYAY Zsuzsanna Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar A tanító és óvodapedagógus szakok matematika tananyagának szerkezete a SZTE JGYPK Tanító- és Óvóképző Intézetében Jelen tanulmányban elsősorban a Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Karának Tanító- és Óvóképző Intézetében folyó tanító és óvópedagógus képzésekbe illeszkedő matematikai tananyag szerkezetét és tartalmi vetületeit kívánjuk bemutatni, másodsorban pedig összehasonlítani a Nyitrai Konstantin Filozófus Egyetem Közép-Európai Tanulmányok Karán folyó hasonló képzésekbe illeszkedő matematikai tananyag szerkezeti és tartalmi vonatkozásaival. A két képzés összehasonlítását a két egyetem között meglévő Erasmus-kapcsolatok keretében kiutazó hallgatók kinti tanulmányai elismerésének kérdése tette szükségessé. A nyitrai képzést Szabó Tibor – jelen kötetben megtalálható munkájából ismerhetjük meg; a két tanulmány kiegészíti egymást, azonos szempontok szerint végezve a saját intézményben folyó képzés bemutatását, majd a másik képzéssel történő összehasonlítást. Tanító szak: A SZTE JGYPK Tanító- és Óvóképző Intézetében a tanító szak képzési programja a következő részekből épül fel: – Közös alapozó ismeretek: ebben az egységben található a társadalmi ismeretek, pszichológia, pedagógia, informatika. Minden tanító szakos hallgató számára kötelező, összesen 48 kreditértékű. – Szakmai elméleti modul: a magyar nyelv és irodalom, matematika, természetismeret, ének-zene, technika, testnevelés, vizuális nevelés és ezek tantárgy-pedagógiáit öleli fel. Minden hallgató számára kötelező, összesen 89 kreditértékű. Ebből a Matematika és tantárgy-pedagógiája 14 kreditet tesz ki, tantárgyait megtalálhatjuk alább az 1. táblázatban. A Matematika I., II. tárgy tartalmazza a tanító szakos hallgatók számára szükséges olyan általános (elméleti) matematikai ismereteket, mint a matematikai logika és a halmazelmélet alapjai, a valós szám fogalmának előkészítése, sorozatok alapvető tulajdonságai, továbbá a kombinatorika és valószínűségszámítás alapfogalmai, a Matematika tantárgypedagógia a matematika módszertan tanítók számára szükséges fejezeteit, az Elemi matematika pedig az alsó tagozatos matematika tárgykörébe tartozó tehetséggondozásra is alkalmas feladatok megoldási módszereibe nyújt bevezetést. Különleges helyet foglal el a kurzusok között a 0 kredites Matematika praktikum, melynek bevezetését a hallgatók felzárkóztatásának szükségessége tette indokolttá. A tárgy fő célja a tanító szakos hallgatók számára elengedhetetlen matematikai alapismeretek összefoglalása és az alsó tagozatos matematika tananyag legalapvetőbb részeinek áttekintése. A kurzus teljesítése előfeltétele a Matematika tantárgypedagógia I. felvételének, így nem kerülhető ki. Érdemes kiemelni, hogy egy tanító szakos hallgató, a fenti matematika kurzusok sikeres teljesítésével, abszolválta a számára előírt - tanulmányai során kötelezően teljesítendő - teljes matematika tananyagot. Az így megszerzett 14 kredit nagyjából 8%-a a négyéves képzés során különböző kurzusokon megszerezhető 1

185 kreditnek. (A négy év alatt összesen 240 kreditet kell teljesítenie a hallgatónak, ebből 40 kredit szerezhető a szakmai gyakorlattal és 15 kredit a szakdolgozattal.)

Matematika és tantárgy-pedagógiája

előadás/gyakorlat kredit félév

Matematika praktikum

0/2

0

1

Matematika I.

2/2

2+2

1

Matematika II.

1/2

1+2

2

Matematika tantárgypedagógia I.

2/1

2+1

2

Matematika tantárgypedagógia II.

0/2

2

3

Elemi matematika

0/1

1

6

Elemi matematika

0/1

1

7

Kreditérték összesen

14

1. táblázat: A szakmai törzsanyag (minden hallgató számára kötelező) matematika tárgyai tanító szakon – Differenciált szakmai ismeretek: 6-7 kredites modulokból áll, minden hallgatónak két modult kell választania, összesen 13 kreditértékkel. A modulok nem bonthatóak, modulon belül minden kurzust teljesíteni kell. A kínálatban hét modul található, köztük egy matematika, Képességfejlesztés a matematikában címmel, melynek tantárgyait a 2. táblázat tartalmazza. A modul tárgyait nem tanító szakos hallgatók is felvehetik, egyenként is, szabadon választható tantárgyként.

Képességfejlesztés a matematikában

előadás/gyakorlat kredit Félév

Problémamegoldás, kritikus gondolkodás, kreatív gondolkodás

0/2

3

5

Kombinatív képességek, valószínűségi gondolkodás

0/2

2

6

Térszemlélet fejlesztése

0/2

2

7

Kreditérték összesen

7

2. táblázat: Differenciált szakmai ismeretek matematika modulja tanító szakon (óvópedagógus szakosoknak szabadon választható, tárgyanként is) – Kötelezően választható műveltségterületi modul: a szakmai elméleti modulban felsorolt irányok szerinti, valamint angol műveltségi területek közül választhatnak a hallgatók. Minden modul egységesen 23 kreditet ér, és minden hallgatónak egy műveltségterületi modult kell választania. A matematika modul tárgyait a 3. táblázatban láthatjuk.

2

Matematika műveltségterületi modul

előadás/gyakorlat kredit Félév

Függvények

2/2

2+2

3

A matematika alapjai

2/0

2

3

Kombinatorika és valószínűségszámítás

0/2

2

4

Síkgeometria

0/2

2

4

Térgeometria

0/2

2

5

Elemi algebra

2/1

2+1

5

Tantárgypedagógia

0/2

2

5

Tantárgypedagógia

0/2

2

6

Elemi matematika

0/2

2

6

Elemi matematika

0/2

2

7

0

0

7

Matematika szigorlat Kreditérték összesen

23

3. táblázat: Kötelezően választható műveltségterületi modul matematika moduljának tantárgyai Nem jellemző, hogy nagy létszámmal indulna a matematika műveltségi terület, de minden évben kialakul egy 6-10 fős hallgatói csoport (átlagosan nagyjából 60-80 fős egy évfolyam), akiket érdekel a matematika, és akikkel többnyire eredményesen lehet dolgozni. A csoport létszámából adódóan, a hallgatók eléggé összecsiszolódnak, segítik egymást a tanulásban, és együttműködőek az órákon is. Kiemelendő, hogy a műveltségterületi modul egy matematika szigorlattal zárul. Ez általában nehézséget okoz a hallgatóknak, de ennek ellenére – ha nem is mindenki első nekifutásra – teljesíteni szokták. – Szakmai gyakorlati modul, mindenki számára kötelező, 40 kreditet ér. – Szabadon választható tantárgyak: összesen 92 kreditnyi a kínálat, minden hallgatónak összesen 14 kredit értékű tárgyat kell teljesítenie. A szabadon választható matematika tárgyakat a 4. táblázatban láthatjuk. Érdekes megjegyezni, hogy a szakmai törzsanyag Matematika és tantárgypedagógiája blokkjában a hallgatók felzárkóztatásának szükségessége miatt bevezetett Praktikum tárgy hasznosnak bizonyult és pozitív visszhangra lelt a hallgatók körében, majd ennek következményeként – a hallgatók kérésére – születtek meg a Matematika praktikum II., III. szabadon választható tárgyak is, melyek minden évben meghirdetésre kerülnek, és a hallgatói érdeklődésnek köszönhetően mindig indul is csoport. Ez utóbbi állítás egyébként szinte kivétel nélkül minden alább felsorolt választható tárgyra igaz. Ugyancsak különleges helyzetű a Feladatmegoldó kör, mely bizonyos értelemben hallgatói tehetséggondozásra ad lehetőséget. Minden félévben fut, és a kör tagjainak van egy többé-kevésbé állandó magja. Vannak hallgatók, akik tanulmányaik elején bekapcsolódnak, és az utolsó félévüket leszámítva, végig részt vesznek. A Feladatmegoldó kör alapozza meg a Szendrei János Országos 3

Matematikaversenyen az SZTE JGYPK Tanító- és Óvóképző Intézetet képviselő csapat felkészülését is. (A magyarországi tanító- és óvóképző intézetek között évente megrendezésre kerülő versenyen a szegedi hallgatók általában eredményesen szerepelnek, és gyakran díjazottak is.)

Szabadon választható tárgyak

előadás/gyakorlat kredit Félév

Matematika praktikum II.

0/2

2

2

Matematika praktikum III.

0/2

2

4

Feladatmegoldó kör

0/2

0

bármely

Matematika a művelődéstörténetben I.

0/2

3

6

Matematika a művelődéstörténetben II.

0/2

2

7

Játékok a matematika órán

0/2

3

5

Matematikai játékok az óvodában

0/2

2

4

Szemléltetési lehetőségek a matematika órán

0/2

3

5

Fundamentals of Mathematics

0/2

3

3

Mathematical Problem-Solving

0/2

3

5

Kreditérték összesen

25

4. táblázat: Szabadon választható tárgyak matematika kurzusai tanító (és óvópedagógus) szakon Látható, hogy a matematika tárgyak kínálata a választható tárgyakon belül, több mint 14 kredit, tehát elméletileg az is megtörténhet, hogy egy hallgató a választható tárgyakra fenntartott összes 14 kredites keretét matematika kurzusokra használja. Ha ez a hallgató a Differenciált szakmai ismeretek modulon belül is választ matematikát, ráadásul matematika műveltségterületes is, akkor 58 kreditet szerez matematika kurzusok teljesítésével, ami az ily módón elérhető maximális kreditszám. Ez a kreditérték, a tanulmányai során - kurzusok teljesítésével – megszerezhető kreditek 31%-a. Természetesen kétséges, hogy van-e ilyen hallgató, de olyan több is van, aki matematika műveltségterületes, Differenciált szakmai ismeretek modulon belül is választ matematikát, és a szabadon választható tárgyak közül is választ matematikát. Óvópedagógus szak: Nem célunk áttekinteni a szak képzési programját, mivel annak nagyon jól elkülöníthető és nagyon jól átlátható részét képezi a matematika és tantárgypedagógiája blokk. Ennek tárgyai minden hallgató számára kötelezőek, a részleteket pedig az 5. táblázat mutatja. Kifejezetten az óvópedagógus hallgatóknak szól a Matematikai játékok az óvodában című kurzus, de az összes többi tanító szakon meghirdetett szabadon választható tantárgy és a Képességfejlesztés a matematikában modul tárgyai is elérhetőek az óvópedagógus szakosok számára is a szabadon választható tárgyaik között. A hallgatók jó tájékozódási képességére utal, hogy ezek közül általában olyanokra jelentkeznek, amelyeknek haszna is van számukra (jellemzően a Matematikai játékokra és a Képességfejlesztés modul tárgyaira). 4

Örvendetes megjegyeznünk, hogy újabban óvópedagógus hallgatók közül is néhányan részt vesznek a Feladatmegoldó körön, és előfordult már, hogy a házi versenyen bekerültek az országos versenyre induló csapatba.

Matematikai nevelés és módszertana

előadás/gyakorlat kredit Félév

Matematika I. (tantárgypedagógia)

2/0

2

1

Matematika II. (tantárgypedagógia)

0/2

1

2

Elemi matematika

2/0

2

3

Kreditérték összesen

5

5. táblázat: Szakmai törzsanyag matematika tárgyai óvópedagógus szakon (minden óvópedagógus szakos hallgató számára kötelező) Összehasonlítás a SZTE JGYPK és a NYKFE KETK Tanító- és Óvóképző Intézeteiben folyó képzések között: Lényeges különbség a két képzés között, hogy Szegeden két teljesen különálló alapszakról van szó, egymástól független matematikai tananyaggal is, míg Nyitrán az óvópedagógus alapszakra épül a tanító mesterszak. Ez utóbbi, az egymásra épülésből fakadóan bizonyos nehézségekkel küzd: az óvópedagógus alapszak három évéhez képest a tanító mesterszak újabb egy éve kevés ahhoz, hogy a tanítók számára szükséges matematika tananyagot teljes egészében tartalmazza, tehát szükségszerűen ennek egy része az óvópedagógus alapszak képzési programjába kerül, ami soknak bizonyulhat egy óvópedagógus számára. Ennek részleteit Szabó Tibor munkája tartalmazza.

6. grafikon: Matematikából szerzett kreditek aránya az összkredithez képest, tanító szakon (Szabó Tibor konferencián elhangzott előadásának anyagából, az ő hozzájárulásával közölve.)

A tanító szakok minden hallgató számára kötelező matematika tárgyainak teljesítésével megszerezhető kreditek nagyjából azonos hányadát képviselik az összkreditértéknek mindkét intézményben, azonban elsősorban a – szélesebb körű matematikai ismereteket nyújtó - matematika műveltségi területnek, másodsorban a matematika modulnak és a matematika választható tárgyak nagyobb számának köszönhetően, Szegeden jóval magasabb a matematika tárgyakkal maximálisan 5

megszerezhető kreditek aránya (lásd 6. grafikon). A tantárgyi kínálatban meglévő különbségek is alapvetően az előzőekből fakadnak. Talán hiányolhatja az olvasó a tantárgyak részletesebb bemutatását, de a tantárgyi tematikák megadása nem volt célunk, és terjedelmi okokból lehetőségünk sem lenne rá. A korábbi évek Apáczai – Napok konferenciáin gyakran hangzottak el a fent felsorolt tantárgyak tematikáival, azok kialakulásával és a tanításukkal kapcsolatos tapasztalatokról szóló előadások. Ezek paraméterei megtalálhatóak alább az irodalomban. Zárógondolatként megjegyezhetjük, hogy a tanító- és óvópedagógus képzésekre érkező hallgatók érdeklődésére nem elsősorban a matematika iránti kíváncsiság jellemző, éppen ezért fontos a képzést úgy felépíteni, hogy valamiképpen megragadja a hallgatókat, ezáltal formálva gondolkodásukat. „Feladatunk a kritikai gondolkodás fejlesztése, tapasztalati tudás beemelése a tanulási folyamatba - jól strukturált tananyaggal, egymásra épülő feladatokkal. A feladatok optimális nehézségi foka is feltétele a motiváció és érdeklődés kialakításának. […] Az oktatás ne csak hierarchikus tudásbővítés legyen, hanem ciklikus fejlesztőmunka is, ahol a lemaradók esélyeket kaphatnak a saját optimális ütemükben való haladásra.” (NAGYOVÁ LEHOCKÁ 2006: 22)

6

Irodalom BAGOTA Mónika: Játékok a tanítóképzésben. In: Apáczai – Napok 2009 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar, 2010. p. 601−609. BAGOTA Mónika: A Matematikai praktikum tárgy tanító szakon történt bevezetésének tapasztalatai. In: Apáczai – Napok 2011 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar, 2012. p. 3−9. BAGOTA M., CZÉDLINÉ B. É., SZALAY I., VÁRMONOSTORY E.: Útkeresés a tanító szakos hallgatók képzésében Szegeden. In: Iskolakultúra, 2008. 9-10. sz. p. 39−46. KRISZTIN NÉMET István: Megjegyzés a valós számok tanítóképzésbeli oktatásához. In: OTE Tükörkép – Válogatás az óvó- és tanítóképző főiskolák, karok oktatóinak tanulmányaiból. Baja 2009. p. 149−154. KRISZTIN NÉMET István: A Matematika műveltségi terület Geometria tárgyának oktatásáról. In: Apáczai – Napok 2009 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar. 2010. p. 496−501. KRISZTIN NÉMET István: A Matematika műveltségi terület Geometria tárgyának oktatásáról – 2. rész. In: Apáczai – Napok 2010 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar. 2011. p. 896−901. KRISZTIN NÉMET István: A Térszemlélet fejlesztése modultárgy oktatásáról. In: Apáczai – Napok 2011 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar. 2012. p. 45−51. KRISZTIN NÉMET István: Az Euklides szoftver alkalmazása a műveltségi terület geometriaoktatásában. In: Apáczai – Napok 2012 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar. 2013. p. 2−9. NAGYOVÁ LEHOCKÁ Zuzana: Néhány a tanulói érdeklődés felkeltésére alkalmas feladat- és problémakezelés. In: Matematika tanítása, 2006. p.18−24. NAGYOVÁ LEHOCKÁ Zuzana: Döntéseket hozni nem mindig egyszerű. In: Matematika tanítása, 2012. p. 18−20. PINTÉR Klára: A Matematikai praktikum tantárgy hatása a tanító hallgatók alapvető matematikai képességeinek fejlődésére. In: Apáczai – Napok 2011 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar, 2012. p. 10−18. SZALAY István: Alapkérdések a tanító-hallgatók matematika oktatásában és a közgondolkodás evidencia-szintje. In: Apáczai – Napok 2006 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar, 2007. p. 406−411. SZALAY István: Kudarcok és sikerek, útkeresés a tanítók matematika képzésében. In: Apáczai – Napok 2007 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar, 2008. p. 386−390. SZALAY István: A folytonos és a szivacs modell ötvözete a tanítók matematika képzésében. In: Apáczai – Napok 2008 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar, 2009. p. 235−239. SZALAY István: A matematikatanítás problémái és orvoslásuk a tanítóképzésben. ÓTE Tükörkép, 2010. p. 155−166. SZALAY István: A tanítóképzés Általános matematika tárgya vizsgáinak tapasztalatai. In: Apáczai - Napok 2009 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar, 2010. p. 475−481. SZALAY István: Az általános matematika és a matematika tantárgy-pedagógia kapcsolata a tanítóképzésben. In: Konferencia kötet, Baja: Eötvös József Főiskola, 2011. p. 350−358. SZALAY István: Egy tankönyvkészítés anatómiája. In: Apáczai – Napok 2010 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar, 2011. p. 864−871. VÁRMONOSTORY Endre: A teljes indukció tanításának lehetőségei a tanítóképzésben. In: Apáczai – Napok 2008 Tanulmánykötet. Győr: NYME Apáczai Csere János Kar, 2009. p. 262−266. VÁRMONOSTORY Endre: Oszthatóság, osztás, maradékos osztás oktatása a tanító-képzésben. In: OTE Tükörkép – Válogatás az óvó- és tanítóképző főiskolák, karok oktatóinak tanulmányaiból. Baja 2009. p. 166−171. SZTE JGYPK TÓKI tanító tantervi haló (2014.01.30): http://www.jgypk.u-szeged.hu/tanszek/TOKI/wordpress/?page_id=1045 SZTE JGYPK TÓKI óvópedagógus tantervi háló (2014.01.30): http://www.jgypk.u-szeged.hu/tanszek/tanitoovo/

7

SZABÓ Tibor Nyitrai Konstantin Filozófus Egyetem Közép-európai Tanulmányok Kara A tanító- és óvóképző szak matematikájának vizsgálata Nem csak a tudományos és mérnöki számításoknál van jelen a matematika, hanem a mindennapi életünkben is, még ha azt nem is tudatosítjuk. Nem meglepő, hogy a matematika a képzési folyamat egyik szerves része. Ebből kifolyólag természetes, hogy szerves részét kell képeznie a leendő tanítószakos hallgatók tanulmányi programjának is. Azon, hogy nem tudatosulnak bennünk a minket körülvevő mindennapi matematikai problémák, változtathat a jelenlegi irányelv, mely a valóságközeli matematika beillesztését szorgalmazza az oktatásba. A nemzetközi PI SA-felmérésben is ilyen típusú feladatok megoldását várják el a diákoktól. Lényeges különbség van a magyarországi és a szlovákiai tanító- és óvóképző szakok struktúráját illetően. Míg Magyarországon két teljesen elkülönülő alapképzésről beszélhetünk, úgy Szlovákiában az óvóképzés alapszak és a tanítóképzés a mesterszak, melyek egymásra épülnek (1. táblázat). óvóképzés tanítóképzés képzés foka képzés képzés foka képzés hossza [év] hossza [év] BA BA Magyarország 3 4 BA MA Szlovákia 3 2 1. táblázat: képzési rendszerek összehasonlítása Szlovákiában hét egyetemen folyik tanító- és óvóképzés. Tálán még illene megemlíteni azt, hogy az utóbbi években némely egyetemen megjelent a legmagasabb fokú képzés (PhD) is az említett szakokra épülve. A következőkben szeretném röviden vázolni a Nyitrai Konstantin Filozófus Egyetem Közép-európai Tanulmányok Karán (KETK) kínált tanító- és óvóképző szakok tartalmát, felépítését. Az oktatott tantárgyak zöme magyar nyelven folyik (matematikából teljesen magyar nyelven), a teljes mértékben szlovák nyelven folyó tanulmányi programot az egyetem Pedagógiai kara kínálja. Óvóképzés – BA (Nyitra KETK) Az óvóképzés egy 3 évig tartó alapszak, ahol a kötelező tárgyakból 151 kreditet érnek el a hallgatók, ebből 11 kreditet a matematika nyújt. A kötelezően választható tantárgyakból minimálisan 35 kreditre van szüksége a hallgatóknak a 3 év alatt, amely 6 csoportra van osztva, és itt a matematikai tantárgyak “A matematikai és természettudományi kompetenciák” csoportjában foglalnak helyet, ebből minimálisan 4 kreditet szükséges megszerezniük. Megtörténhet, hogy a diák nem választ matematikai tantárgyat ebből a csoportból, és úgy is elérheti az előirt kreditszámot.

8

előadás/gyakorlat kredit szemeszter

A matematikai logika és halmazelmélet alapjai

1/1

3

1

Számkörök

1/1

3

2

Az elemi matematika alapjai

1/1

3

3

Az elemi geometria alapjai

1/1

3

4

Matematikai módszerek az iskoláskor előtti képzésben*

0/2

2

5

Érdekes feladatok*

0/2

2

5

2. táblázat: BA tantervi háló – (* kötelezően választható tantárgy) Tanítóképzés – MA (Nyitra KETK) A tanítóképző szak egy 2 évig tartó mesterszak, melyen belül a kötelező tárgyakból 95 kreditet érnek el a hallgatók, ebből 4 kreditet a matematika biztosít. A kötelezően választható tantárgyakból minimálisan 28 kreditre van szüksége a hallgatónak a 2 év alatt, amely 6 ugyancsak mint az alapképzésnél hat csoportra van osztva. A matematikai tantárgyak szintén az ún. “Matematikai és természettudományi kompetenciák” csoportjába tartoznak, ebből minimálisan 4 kredit szükséges, ill. maximálisan 6 kreditet érhetnek el. előadás/gyakorlat

kredit

szemeszter

problémák

0/2

2

1

Geometriai szerkesztési feladatok*

0/2

2

2

Matematikai módszertan I.

1/1

2

2

Matematikai módszertan II.

1/1

2

3

Kongruenciák struktúrák*

0/2

2

3

Matematikai heurisztikája*

és

algebrai

3. táblázat: MA tantervi háló – (* kötelezően választható tantárgy) Tény, hogy a matematika sok diáknak okoz problémát, és ez végigkíséri őket az alapiskolai és középiskolai tanulmányaik során. Közülük azok, akik még a továbbtanulás mellett döntenek, újra könnyen szemben találhatják magukat ezzel a problémával. Így van ez a tanító- és óvóképző szakok választásánál is, ahol tapasztalható több hallgatónál, hogy nem rendelkezik megfelelő matematikai alapokkal. Ha megnézzük a tantervi hálót, akkor látjuk, hogy az első szemeszterben máris találkoznak a „A matematikai logika és halmazelmélet alapjai” nevezetű tantárggyal. Ekkor gyakran teszik fel a kérdést felénk, hogy miért kell nekik a halmazelmélet vagy a logika? Sokáig nem tudatosul bennük, hogy a halmazelmélet a számfogalom kialakulásához feltétlenül szükséges. A logikus gondolkodás fejlesztése nem csak a matematikai feladatok során kamatozik a későbbiek során. „A logika nincs egy adott 9

korosztályhoz, sem egy adott évfolyamhoz kötve, hanem áthatja a matematika egészét. Tananyagtól függetlenül mindig becsempészhetünk az órába olyan feladatokat, melyek a logikus gondolkodás fejlesztését, a logikai formulákkal és módszerekkel való helyes bánásmód kialakítását célozzák meg.” (Nagy Lehocky 2012 : 18) Megnézve a tantárgyhálót a külső szemlélőnek is úgy tűnhet, hogy túlzott mértékben fordulnak elő a matematikai tantárgyak az óvóképző szakon belül. Talán az iskoláskor előtti képzéshez elég lenne ennek a töredéke is. Talán valóban elég lenne, de ez így igaz lehet akár más tudományterületre is az óvóképzésen belül. Gondoljunk bele abba, hogy lényegében Szlovákiában államilag előírva adott 3 év az óvóképzésre és további kettő a tanítóképzésre, problematikus két évbe beilleszteni magát a tanítóképzést, még ha vannak is átfedések a két szak között. A Szlovák egyetemek változóan próbálják kezelni ezt a problémát, van olyan, amely csak egy kötelező tantárgyat kínál (heti 3 óra) és kettő kötelezően választhatót (elég egyet választani) az alapképzésen belül. A mesterképzésen belül pedig már négy kötelező tantárgyat (egyenként heti három óra) ír elő, és négy kötelezően választhatót (heti kettő óra), melyek közül legalább egyet kell választani. Egy másik egyetem az alapképzésen belül három kötelező tárgyat ír elő (heti 4, 4, 3 órában), három kötelezően választhatót (heti egy óra), és kettő választható tantárgyat (heti egy óra) kínál, ez meghaladja a KETK-en előirt óraszámot is. Az említett egyetem a mesterképzésén belül három kötelező (heti 4, 3, 2 órában), négy kötelezően választható (heti egy óra), és három választható tantárgyat (heti egy óra) kínál. Voltak kezdeményezések arra való tekintettel, hogy két egymástól teljesen különálló szakként legyenek kínálhatók a tárgyalt szakok, de mindeddig sikertelenül. Nem kell messzire mennünk, csak például Csehországba, ahol ráadásul a tanárszakot is két külön szakként kezelik, elválasztják a leendő középiskolai és alapiskolás tanárok képzését egymástól. A kötetben Dályay Zsuzsanna tanulmányában találkozhatunk a Nyitrai Konstantin Filozófus Egyetem Közép-európai Tanulmányok Kara és a Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar Tanító- és Óvóképző Intézete által kínált a már említett szakok matematikai tantárgyainak tartalmi szempontból való összehasonlításával. Tervek Szlovákiában hat éves ciklusonként megismétlődik az ún. komplex akkreditációs folyamat, amelyben minden felsőoktatási intézménynek részt kell vennie, kivételt képezhetnek azon új intézmények esetleg karok, amelyek alapítása beleesik egy adott intervallumba. Ez a folyamat nem csak a tanulmányi programok akkreditálásáról vagy újraakkreditálásáról szól, hanem a felsőoktatási intézmények és karok értékeléséről a kutatás, fejlesztés, művészeti ill. más tevékenységek alapján. Az elért eredmények által besorolják az intézményeket egyetemi vagy főiskolai státuszba. Ez a folyamat legközelebb a 2014-es évben megy végbe. A KETK megoldója egy EU által támogatott projektnek, melynek egyik célja a tantárgyak innovációja. Az említett projekt és az akkreditációs folyamat egyben 10

ösztönöztek minket arra, hogy változtassunk a tanulmányban tárgyalt két tanulmányi program felépítésén. Megpróbáltuk ésszerűen szétosztani a krediteket az adott tudományterületek fontossága szerint a tanulmányi programokon belül. Százalékban kifejezve azt jelenti, hogy a kötelező tantárgyakból elérhető kreditszám csupán 5%-át fedi le a matematika az alapképzésben, a mesterképzésben pedig a 22%-át fedi le. Az általunk összeállított tervek a 4. és 5. táblázatokban részletesebben megtekinthetők. előadás/gyakorlat

kredit

szemeszter

A matematika alapjai

2/2

4

2

Matematikai módszertan

2/2

4

3

Tansegédeszközök*

0/2

2

3,4,5,6

Mindennapok matematikája*

0/2

2

3,4,5,6

4. táblázat: BA tantervi háló terve – (* kötelezően választható tantárgy) előadás/gyakorlat

kredit

szemeszter

Elemi matematika

2/2

3

1

Matematikai módszertan I.

2/2

4

2

Matematikai módszertan II.

2/2

4

3

Matematikai feladatok megoldása*

0/2

2

1,2,3,4

Matematika a speciális 0/2 2 1,2,3,4 bánásmódot igénylő gyermekeknek* 5. táblázat: MA tantervi háló terve – (* kötelezően választható tantárgy) A tanulmányban már szó esett arról, hogy megfelelő matematikai tudás hiányában érkezik a diákok egy része, az alapszakon belül a matematika alapjai tantárgy lényegében az egész csoport felzárkózását lenne köteles biztosítani. A másik kötelező tárgy pedig a jelenleg futó programunkban még hiányzik, de fontosnak tartjuk iskoláskor előtti nevelésben használatos matematikai módszertant, és most pótoljuk is. A mesterképzésben az elemi matematika hivatott biztosítani azt a tudást, amelyre szükség van bizonyos fogalmak bevezetéséhez. Illetve a mindkét matematikai módszertan az eddigi heti két órához képest kétszeresére nőtt. Befejezés Láthattuk, hogy talán nem olyan egyszerű egy ideálisan összeállított tanulmányi programot megalkotni az adott körülményeket tekintve. Ez abból is adódik, hogy lényeges különbség léphet fel már Szlovákián belül is tanító- és óvóképzési szakok matematikáját illetően. Bízunk benne, hogy a legmegfelelőbb módon sikerül felépítenünk a tanító- és óvóképző tanulmányi programokat, hiszen 11

már a kezdetektől fogva úgy kell oktatni, hogy lehetőleg a legkevesebb tanuló élje meg a matematikát problémaként az iskolákban. Az iskolához, tanuláshoz való viszonya a gyermeknek az említett pedagógusok keze munkája alatt alakul ki, ehhez pedig feltétlenül szükséges a megfelelő felkészültség, mely a mi feladatunk.

Irodalom NAGY LEHOCKY Zsuzsa: Döntéseket hozni nem mindig egyszerű. In: A Matematika Tanítása, 2012., XX. évf. 2. sz. p. 18−20. http://www.nefmi.gov.hu/felsooktatas/kepzesi-rendszer/alapkepzesi-szakok-kkk https://www.minedu.sk/sustava-studijnych-odborov-sr/ http://www.akredkom.sk

12

PETZ Tiborné Nyugat-magyarországi Egyetem Apáczai Csere János Kar Miből lesz a cserebogár? – avagy – Mivé fejlődik az általános iskolai matematikatudás?

Komplexet egyszerűen - A reáltudományi oktatás, kutatás kihívásai Az információrobbanás új kihívások elé állítja a tudomány művelőit és oktatóit az oktatás minden szintjén. A matematika és a természettudományok oktatóinak egyre komplexebb ismereteket kell átadniuk erre egyre kevésbé fogékony nemzedékeknek, akik egyre kevésbé elszántak a jelenségeket, összefüggéseket mélységükben megérteni. A magyar oktatás alapjában véve nem változott sokat, ezt az új érettségi rendszer eredményei is mutatják. A frontális osztálymunka, a kevés lehetőség a szóbeli megnyilvánulásra, a kevésbé érdekfeszítő tananyag elvette a tanulók kedvét a matematikától. Amíg az alsó tagozaton a matematika a három kedvenc tantárgy között szerepel, addig az idő előrehaladtával lejjebb csúszik a ranglétrán. A mechanikus tanulás elveszi a diákok kedvét, és fennáll a veszélye, hogy olyat is betanulnak, amit nem értenek. A matematika érettségik eredménye azt mutatja, hogy a matematika még mindig az egyik legnehezebb tantárgy. Másik eredménye pedig az, hogy a szakközépiskolások nagytöbbsége a középiskola elvégzése után is csak annyi matematikatudással rendelkezik, mint amennyit az általános iskolában megtanult. Mivel már a gyengébb jegyekkel is mennek a diákok főiskolára, egyetemre, ezért a felsőoktatásban is egyre több az olyan hallgató, akinek az alaptudása kevés, csak annyi, amennyit az általános iskolából hozott. A felmérés 10 feladatból álló felmérést végeztettem el a főiskolás hallgatóimmal, illetve egy negyedikesekből álló osztállyal. A feladatok a nyolcosztályos gimnáziumok felvételi feladatsoraiból származott, mert úgy gondoltam, hogy ez egy jó szintmérője az alsó tagozaton megszerzendő tudásnak. A főiskolán 71 fő írta meg a feladatsort, míg az általános iskolában 22 fő írta meg összehasonlításként. Arra voltam kíváncsi, hogy az általános iskolától a főiskoláig a megszerzett tudás mennyit, és milyen mértékben változik. Pontosabbá válnak-e az ismeretek? A bevésődött problémák megmaradnak-e? A feladatok megoldásának sikeressége javul-e? A kompetenciák és a tanító szakos hallgatók tudása nagyon fontos Az eredmények: Csak a legérdekesebb eredményeket adó feladatok megoldásait közlöm. Az első feladat volt: Egészítsd ki a megfelelő mértékegységekkel a következő mondatokat!

13

a.) Péter nem az iskola mellett lakik, de nagyon közel: a távolság az iskola és az otthona között körülbelül 200 ……… b.) Marcsi kb. 50 …….. alatt ér haza az iskolából.. c.) Tomi iskolatáskája gyakran nagyon nehéz, de mindig könnyebb, mint 10 …… d.) Panka minden nap 5 …….. ivólevet visz az iskolába. e.) Gergő íróasztala 78 …….. hosszú. Ez a feladat arra jó, hogy felmérjük a tanulók ismereteit a mértékek, mértékegységek témában. Bár a feladat nem volt nehéz, az eredmények azt mutatják, hogy az e) részben a hallgatók 6 %-a rosszul válaszolt. Az általános iskolások körében is ez volt a legnagyobb arányban elrontott feladat (18%). Sokan írtak dm-t, vagy m-t válaszként. Ezek a hallgatók, illetve diákok nem gondoltak bele a feladat lényegébe. 1/e problem correct

1/e problem (primary. school)

wrong

18%

6%

jó nem jó

94%

82 % 1. ábra 1/e feladat megoldása A második feladat segítségével a diákok és a hallgatók számalkotó képességét, számfogalommal kapcsolatos ismereteit mérhetjük fel. Kati a következő kártyákat készítette: Melyik háromjegyű számok teszik igazzá a következő tulajdonságokat? a) A legnagyobb szám: ……. b) A legkisebb szám ……. c) Kerekített értéke 600 ……. d) A kisebb tízes szomszédja a 600 …….. Ebben a feladatban öt kártya volt készítve, tehát a számjegyek nem ismétlődhetnek. Néhány hallgató mégis beírta megoldásnak például a 333-t. És nem vették észre, hogy ez rossz. A grafikon mutatja, hogy 10%-a és 13%-a a hallgatóknak nem tudta megalkotni a legkisebb és a legnagyobb számot. Míg a c) és a d) feladat még ennél is rosszabb lett. 59%-a and 68%-a a hallgatóknak nem tudott jól kerekíteni. Néhányan nem találták meg az összes megoldást, néhányan rossz számokat is beleírtak. Pedig az életben szüksége van az embereknek a kerekítés képességére. Például bevásárlásnál szükség lehet arra, hogy a végösszeget megbecsüljük. Az általános iskolások is rosszul teljesítettek, de például a d) feladat, ha nem sokkal, de jobban sikerült, mint a főiskolás hallgatóknak.

14

2/a problem correct

2/b problem

wrong

correct

10%

wrong

13% 90% 2/c problem

87 % 2/d problem

correct

correct

wrong

wrong

32%

41%

59%

68 % 2/a problem (primary school) jó

2/b problem (primary school)

nem jó

jó

25%

18% 75%

82 % 2/d problem (primary school)

2/c problem (primary school) jó

nem jó

jó

nem jó

nem jó

23% 59 %

77%

41%

2. ábra 2. feladat megoldása

A harmadik feladat egy kombinatorikai feladat volt. Kriszti kertjében 4 margaréta, 2 tulipán és 1 rózsa volt. Kriszti 3 virágot szedett a vázába. Melyik virágból, és mennyit szedhetett Kriszti a vázába?

Számos hallgató nem találta el az összes megoldást, de az igazi meglepetés az volt a számomra, hogy néhány hallgató beírta a 3 tulipán vagy a 3 rózsa megoldást is. Ők nem olvasták el figyelmesen a kérdést, vagy csak automatikusan írták a választ.

15

3. problem correct

deficient

3. problem (primary school)

wrong

teljes

2%

hiányos

rossz

23%

35%

50%

63% 27% 3. ábra 3. feladat eredménye

A nyolcadik feladat a geometria témakörébe tartozott. Tekintsük a következő alakzatokat!

Írd a megfelelő betűket a megfelelő helyre! a) Nem téglalap: ………. b) Négyzet:……….. c) A területe kétszer nagyobb, mint a C alakzat területe: ………… d) Kerülete kétszer nagyobb, mint a C alakzat kerülete:……… Egy másik sarkalatos pontja a matematikának a geometria. A feladatsorban véleményem szerint ez a feladat sikerült a legrosszabbul. 63%-a a tanulóknak nem tudta abszolválni az a), 72%-a pedig a d) feladatrészt. Néhányan nem tudták, hogy a négyzet téglalap is. 25%-uk nem találta meg az összes négyzetet, az F ábra mivel el volt forgatva, már nem jelentett számukra négyzetet. Ez nagyon zavarba ejtő. Külön ábrán elkészítettem egy összehasonlítást a c) és a d) feladathoz. Bár a két feladatrész ugyanarra az alapproblémára vezethető vissza, mégis 58%-a a hallgatóknak a c)-t megoldotta, de a d)-t nem tudta. Véleményem szerint a kerület fogalmának könnyebbnek kellene lennie, mint a területnek, de ez az összehasonlítás nem ezt mutatja. Az érdekesség, hogy az általános iskolások is hasonló eredményekkel oldották meg a feladatot. Ez a tény azt mutatja, hogy a diákokban az évek előrehaladtával nem pontosodnak a fogalmak, hanem megmaradnak ugyanazok az alapvető hibák. Mondhatni bevésődnek. És ezen nem sokat változtat sem a felső tagozat, sem a középiskola.

16

8/a problem

8/b problem

correct

correct

wrong

wrong

25% 37%

63% 75% 8/c problem

8/d problem

correct

correct

wrong

wrong

13%

28 % 72%

87% 8/ a problem (primary school) jó

8/b problem (primary school)

rossz

jó

rossz

32%

36% 64%

68%

8/c problem (primary school) jó

8/d problem (primary school)

rossz

jó

rossz

32% 68%

86%

8 c and d problem comparison c is correct and d is correct c is correct but d is wrong c is wrong but d is correct c is wrong and d is wrong

0%

13%

29%

58%

17

14%

8 c and d problem comparison (primary school) c jó és d jó

c jó de d nem jó

c nem jó de d jó

c nem és d nem

14%

27% 0%

59% Fig. 4. Results of 8th exercise Összegezve a teszt eredményeit elmondható, hogy a hallgatóink tudása kevés, és bizonytalan. Sajnos a felsőoktatás tömegesedése azt okozza, hogy egyre több olyan diák jut be a felsőoktatásba, akik nem rendelkeznek a megfelelő alaptudással. Ez sajnos kihat a későbbiekben a munkájukra is. Ők fogják a jövő generációit tanítani. Az órán bizonytalanok lesznek, esetleg rosszul tanítanak meg valamit. És ezeket a dolgokat a diákok nagyon hamar észreveszik. A másik probléma az oktatásban, és a diákok viselkedésében keresendő: a diákoknak nagyon sok anyagot kell megtanulniuk, de a hozzá állásuk a világgal változik. A „mindent könnyen, kevés munkával megkaphatok” hozzáállás nem segít a matematikaoktatásnak. ahol pontos, precíz munkára lenne szükség, sok gyakorlással. A matematikai kompetenciák megszerzése fontos feladat lenne a következő generációk számára is. Az életben előforduló problémákban fel kell ismerni, és használni kell tudni a tudományokat. Ebben a felgyorsult világban az életből vett példák is nagy fontossággal bírnak. Egy fontos kérdés, hogy mit és hogyan tanítsunk a matematika órákon? Az sem jó, ha csupán praktikus tudást tanítunk lexikális tudás nélkül; ha csak a definíciókat tanítjuk, és nem kötjük példákhoz, akkor csak passzív ismeret lesz, értelem nélkül. A másik oldalról kell, hogy megismertessük őket a valósághoz közeli példákkal az órán, hogy hozzásegítsük őket az anyag jobb megértéséhez. Ezzel tapasztalatokat szereznek a mindennapi élet problémáival kapcsolatban, felkészítsék őket az életre. Könnyebb eltárolni a definíciókat a hosszú távú memóriába, ha szituációba rakjuk az adott definíciót, feladatot. Sajnos a hatalmas tananyag nem sok lehetőséget ad a diákoknak az önálló ismeretszerzésre, felfedezésre. A diákok sokat küzdenek az ismeretek, tananyag elsajátításával, mivel nem értik a problémát. De egy-két érdekes feladattal elérhetjük, hogy érdeklődjenek az amúgy nem kedvelt tárgy, a matematika iránt, és megváltozzon a hozzáállásuk. És akkor talán az általános iskola alsó tagozata és az érettségivel rendelkező diákok tudása között szignifikánsan nagyobb eltérés lesz. Elkerülhető lesz az, hogy a kezdeti szakaszban bevésődött hibák törlődjenek. Irodalom [1] https://www.ketszintu.hu/publicstat.php?stat=_2012_1 [2]http://www.oktatas.hu/pub_bin/dload/kozoktatas/beiskolazas/feladatsorok/2012ev_ gimn/6_8oszt/M1_4.pdf 18

KRISZTIN NÉMET István Szegedi Tudományegyetem, Juhász Gyula Pedagógusképző Kar, Tanító- és Óvóképző Intézet, Matematika Szakcsoport Elemi geometriai feladatok sejtésekre és bizonyításokra Bevezetés A matematikatanításnak minden szinten fontos feladata a sejtés-megfogalmazási képesség és a bizonyítási igény kialakítása, fejlesztése. A tanítóképzésben ennek lehetőségei viszonylag korlátozottak a képzés összetett célja, a rendelkezésre álló időkeret, valamint a hallgatók előképzettsége és motivációja miatt. Harmad- és negyedéves tanító szakos hallgatóknak tartott geometriai jellegű óráinkon próbálunk sort keríteni olyan feladatokra is, amelyek alkalmasak a bizonyítási igény felkeltésére: elég könnyűek ahhoz, hogy a siker reményével vághassunk bele megoldásukba, de azért nem is triviálisak, ami komolytalanná tenné a munkát. Az ELTE Tanítóképzőjének 2013-ban elhunyt tanárnője, néhai Szendrei Julianna egyik előadásában hallottunk ilyen feladatot: szabályos háromszög hajtogatása A4 papírlapból (SZENDREI). Ennek mintájára olyan motiváló erejű példákat igyekszünk keresni és bemutatni, amelyeknél viszonylag gyorsan, érdeklődést és kételyt keltően lehet vázolni egy problémát; amelyeknél viszonylag könnyű sejtést megfogalmazni; amelyeknél az igazolás vagy a cáfolat egyszerű eszközökkel és rövid gondolatmenettel elérhető; továbbá, amelyeknél lehetőség van analóg esetek vizsgálatára, további kérdések felvetésére. A megoldásnál természetesen nagy szükség van a tanár előkészítő és irányító munkájára. A sokszögek és a kör elemi geometriája különösen alkalmas ilyen problémák bemutatására: az ábrák segítenek sejtést megfogalmazni, de kételyt is ébresztenek, a közoktatásból pedig elég sok egyszerű eszköz és összefüggés áll rendelkezésre a bizonyításhoz. Ilyen feladatokról szól írásunk: négyet részletesen bemutatunk, néhány továbbit pedig felsorolunk a végén. E feladatok természetesen nem csak a sejtési-bizonyítási képesség fejlesztésére alkalmasak, hanem más fontos problémamegoldási képességekére is: probléma részekre bontása és rész-kérdések megfogalmazása; lehetséges esetek elkülönítése és pontos, rendszerszerű felsorolása; megfelelő térszemlélet. Háromszög körüli ívek

19

A fenti baloldali ábrán az ABC háromszög A csúcsa körül, tetszőleges sugárral, az óramutató járásával megegyező irányban megrajzoljuk a két oldalegyenes közé az A1 körívet, a háromszöglapon kívülre. Majd ennek végpontjából indulva, ugyanolyan irányban haladva megrajzoljuk a B1 körívet a B csúcs körül. Kérdés, hogy az eljárást folytatva, a végén kapott C2 ív ugyanott végződik-e, ahonnan az A1 ív indult? Megszerkesztve az alakzatot, az elkészült rajz alapján általában az „Igen” választ sejtjük a kérdésre; szerkesztési pontatlanságok okozhatnak bizonytalanságot. Körívekről lévén szó, az igazoláshoz azonnal a sugarak felírására gondolunk. Formai nehézséget okoz itt, hogy kilenc szakaszt kell elneveznünk a fenti jobboldali ábrán. A C2 ív sugara a  z . Ahhoz, hogy feladat kérdésére igennel válaszolhassunk, azt kellene belátni, hogy a  z egyenlő a C pontból az A1 körív kezdőpontjáig terjedő szakasszal, b  x -szel. Ilyen „összetett sugarú” körív még kettő van az ábrán: B1, illetve A2. Ezek sugaraiból kapjuk a c  x  a  y , illetve a b  y  c  z egyenlőségeket. Kérdés, hogy ez utóbbi kettőből megkapható-e a b  x  a  z egyenlőség? Egymás alá írva a két ismert egyenlőséget, viszonylag gyorsan látható a megoldás. c  x  a  y b  y  c  z

c  x  b  y  a  y  c  z

A kérdéses egyenlőség két oldalán levő összegek tagjai külön-külön szerepelnek az ismert egyenlőségek megfelelő oldalain. Ebből az észrevételből kézenfekvő az az ötlet, hogy adjuk össze a megfelelő oldalakat. Ezen újabb egyenlőség rendezése után megkapjuk a kívánt b  x  a  z egyenlőséget. További kérdések merülhetnek fel a feladattal kapcsolatban. Elképzelhető-e az íveknek a kiindulási ábrán láthatótól eltérő helyzete is? Abban is záródik a görbe? Mekkora az ívek fokokban mért összege? Az első kérdés megválaszolásához megfelelő fantázia szükséges: észre kell venni, hogy az ívek nemcsak a háromszöglapon kívül, hanem azon is futhatnak, részben vagy egészben. Ilyen helyzet kétféleképpen alakulhat ki:

Megszerkesztés után ezek a „hurkolt” görbék is záródni látszanak. Ennek igazolása hasonló a fenti gondolatmenethez; az eltérés annyi, hogy az ívek sugarai nemcsak összegek, hanem különbségek is lesznek. Az ívek fokokban mért összegének meghatározásához azt kell észrevenni, hogy minden ívhez a háromszögnek egy belső szöge tartozik, és minden belső szöghöz két ív. Így az összeg éppen a háromszög belső szögeinek kétszeres összege, vagyis 360°. (JACOBS 2003: 503)

20

Hamis szögharmadolás A hallgatók többsége ismeri a szögfelezés euklideszi szerkesztésének módját, amit a következőképpen is interpretálhatunk (alábbi baloldali ábra). Készítsünk olyan egyenlőszárú háromszöget, aminek szárszöge az adott szög. Alapjának felezőpontját kössük össze a szemközti csúccsal; a kapott szakasz felezi a szárszöget.

Erre az ismeretre gondolva felvetjük a kérdést: lehet-e egy szöget (euklideszi) szerkesztéssel harmadolni, vagyis három egyenlő részszögre osztani? Tapasztalataink szerint a hallgatók az előzővel analóg módszert javasolnak (fenti jobboldali ábra): az adott szárszögű egyenlőszárú háromszög alapjának harmadolópontjait kössük össze a szemközti csúccsal. Azt sejtik, e szakaszok harmadolják a szárszöget. A sejtést teljesen jogosnak érzik, hiszen a felezőpont analóg esetében igaz a szögfelezés, és a fenti ábra alapján is igaznak tűnik a harmadolás. A sejtést tovább erősíthetjük, ha az ábrát kivágjuk, és a feldarabolt részszögeket egymásra helyezzük: úgy tűnik, pontosan fedik egymást. Ekkor hozhatjuk a következő (ellen)példát:

Egy szabályos háromszög egyik oldalát hosszabbítsuk meg önmagával, mindkét irányban. Majd a kapott új végpontokat kössük össze a háromszög szemközti csúcsával. Az így keletkezett „nagy” egyenlőszárú háromszög alapja ugyan három egyenlő részre van felosztva, a megfelelő szakaszok azonban látványosan nem egyenlő részszögekre osztják a szárszöget: a két szélső ugyan egyenlő, de a középső jóval nagyobb náluk. E részszögeket elég egyszerűen ki is tudjuk számítani: 60°, 30°, 30°. Ez az ellenpélda több kérdést is felvet. Lehet, hogy a szerkesztési módszer teljesen rossz? Vagy esetleg csak bizonyos szögekre jó, másokra pedig nem? Milyen reláció van a részek között? A háromszög oldalai és szemközti szögei nagyságára vonatkozó összefüggés segít választ adni, amit a hallgatók többsége ismer. Az alábbi ábrán a részszögek közül a két szélső a tengelyes szimmetria miatt egyenlő. Ezek középsővel való összehasonlítását az előbb említett fizikai feldarabolás segíti. A középső rész-háromszöget vegyük ki a két másik közül, csúcsát fordítsuk ellenkező irányba, és alapjával illesszük az egyik szélső részháromszög alapjához. Geometriailag ez az egyik harmadolópontra való tükrözést jelent.

21

Így egy olyan új háromszöget kapunk (AK’A’), aminek a szélső () és a középső () részszög is belső szöge. Az e szögekkel szemközti oldalakat – b-t és c-t – próbáljuk meg valahogy összehasonlítani. E szakaszok az eredeti háromszög egyik szélső rész-háromszögének oldalai. E rész-háromszögben b-vel szemben a , c-vel szemben pedig a  szög van. A  szög tompaszög, hiszen külső szöge a középső, egyenlőszárú rész-háromszög egyik, alapon levő hegyesszögének. A  szög pedig hegyesszög, hiszen az eredeti egyenlőszárú háromszög egyik, alapon levő szöge. Emiatt    , és így c  b . Alkalmazzuk most ezt az egyenlőtlenséget az AK’A’ háromszögre: a velük szemközti szögekre is ugyanilyen relációnak kell fennállnia, vagyis    . Eszerint a fenti konstrukció nem eredményez szögharmadolást: a keletkező középső részszög minden esetben nagyobb a két szélsőnél. A „látszólagos harmadolás”-t az okozza, hogy kis kiindulási szögnél nagyon kicsi az eltérés. Viszonylag egyszerű az összefüggés a szögek tangensei között: ha a kiindulási szög

, a középső részszög pedig , akkor nyilván

tg

 2

 3  tg



. Pl.

  30

esetén

2

  1 0, 2  ,

a szélső részszögek pedig   9 , 9  . Ilyen kicsi eltérés talán fel sem tűnik, vagy ha igen, akkor magyarázhatnánk akár szerkesztési vagy vágási pontatlansággal is. Természetesen jelezzük: nincsen tetszőleges szögre alkalmazható euklideszi harmadoló-szerkesztés. Csillag-ötszög szögösszege Egyszerű sokszögek belső szögeinek összegéről általában pontos ismeretekkel rendelkeznek a hallgatók. Erre építve érdekes lehet a következő problémakör tárgyalása. Induljunk ki egy szabályos ötszögből, és húzzuk be összes átlóját. Az átlók által létrehozott, ún. szabályos csillag-ötszögnek hány fokosak a csúcsainál levő szögek?

Mivel szabályos sokszögről van szó, a hallgatók valamelyik nevezetes szögre gondolnak, a fenti baloldali ábra alapján általában 30°-ra. Ezután, a belső szabályos ötszög egy szögéből kiindulva, kiszámítjuk a kérdéses szöget, ami 36°-nak adódik. Így a szabályos csillag-ötszög szögösszege 5  3 6   1 8 0  .

22

Induljunk ezután ki egy nem szabályos, de még konvex ötszögből, és ennek átlóiból készítsünk csillag-ötszöget (fenti jobboldali ábra). Ennek a szögei általában már nem egyenlők. De esetleg az összegükről tudnánk-e valamit mondani? (JACOBS 2003: 241) Mivel a csillag-ötszög általában „elég szabálytalan” alakzat, ezért hajlunk arra, hogy a szögösszegére nincs szabály. A csillag-ötszög a legkisebb csúcsszámú „csillag-sokszög”, ugyanúgy, ahogy a háromszög az egyszerű sokszögek között. Ez az analógia – és persze az előbbi eredmény is – mégis arra a sejtésre utal, hogy a kérdéses szögösszeg ekkor is 180°. Ennek talán „legelegánsabb” bizonyítása a jobboldali ábráról olvasható le: kétszer alkalmazva a háromszög egyik külső szögének és két nem mellette levő belső szöge összegének egyenlőségét, továbbá a háromszög szögöszszegének 180° voltát, azonnal adódik, hogy a csillag-ötszög szögösszege is 180°. Az órákon nem ezt, hanem a következő két gondolatmenet valamelyikét sikerült a hallgatók ötletei lapján végigvinnünk. Az első megoldás az alábbi baloldali ábrán belül keletkező kis ötszög szögeiből indul ki, ugyanúgy, mint a szabályos ötszög esetén. A belső ötszög szögösszegét ismerjük, 540°. Egy ilyen belső szög – 1 – egyenlő a csillag-ötszög egyik szöge –  – és az ötszög egyik külső szöge – 2 – összegével. Így    1   2 . A csillag-ötszög szögeinek összege ezek szerint megkapható úgy, hogy a belső ötszög szögösszegéből kivonjuk ezen ötszög külső szögeinek összegét. A külső szögek összege 360°, így a keresett különbség 5 4 0   3 6 0   1 8 0  .

A másik megoldás a csillag-ötszög két csúcsát összekötő szakasznál keletkező háromszögekre épül. A fenti jobboldali ábrán a kétíves szögek összege egyenlő a csillagötszög  és  szögeinek összegével, hiszen ezek a szögek két olyan háromszög szögei, amelyeknek harmadik szögei csúcsszögek. Így a csillag-ötszög szögösszege egyenlő a kétíves szögek továbbá ,  és  összegével. De ezen öt szög összege éppen a csúcsaik által meghatározott háromszög szögösszege, tehát 180°. A csillag-ötszög után tovább is léphetünk: mi történik, ha ötszög helyett konvex hat- vagy hétszögből indulunk ki, és ennek az átlóit húzzuk be? Mindkét esetben lényegesen megváltozik a helyzet az ötszögéhez képest, ami a megoldásra is kihat. Hatszög esetén az az újdonság, hogy a 23

csillag-hatszög két háromszögből áll. Ez persze igen egyszerűvé teszi a megoldást: szögösszege 2  1 8 0   3 6 0  . A csillag-hétszög esete azonban már jóval komplikáltabb. Először is azért, mert – ahogy az a lerajzolási kísérleteknél azonnal kiderül – két lehetőség van rá: az első típus esetén a hétszög adott csúcsát a tőle számított második csúccsal kötjük össze, a második típusnál pedig a harmadikkal. Az alábbi ábrák ezt a két típust mutatják be, először a kiindulási hétszöggel, majd nélküle:

A másik komplikáció az, hogy itt a szögösszeg(ek) meghatározása nehezebb, főleg a második típus esetében. Ezért megelégszünk a típusok felfedeztetésével. Négyzet és szabályos tizenkét-szög Az utolsónak sorra kerülő probléma talán a legnehezebb a bemutatottak közül. Az alábbi baloldali ábrán egy négyzet látható, a szomszédos oldalfelező pontjain átmenő egyenesekkel, továbbá a körülírt körével. Megjelöltük a kör és az egyenesek metszéspontjait, továbbá a négyzet csúcsait. Kérdés, hogy ez a 12 pont szabályos tizenkét-szöget határoz-e meg? (KÁRTESZI 1969: 96)

Az ábra megszerkesztése alapján úgy tűnik, „Igen” a válasz. De nézzünk meg előbb egy egyszerűbb esetet: egy szabályos háromszögből kiinduló analóg konstrukciót. A fenti jobboldali ábrán jól látszik, hogy az oldalfelező pontok egyeneseinek a körrel alkotott metszéspontjai és a csúcsok nem szabályos kilencszöget adnak. Ez az eredmény óvatosságra és vizsgálatra int a négyzetre vonatkozó kérdés esetében. Itt a választ egy szabályos háromszög „felfedezéséből” kapjuk.

24

A fenti ábrán kiemeltük a négyzetre vonatkozó ábra bal felső részletét. A kör középpontját kössük össze a körvonalon levő megjelölt pontokkal. Ha sikerülne belátni, hogy a megjelölt két szomszédos szakasz szöge

 

360

 30

, akkor

12

szimmetria-okok miatt a többi ilyen szög is 30°, amiből következne a tizenkétszög szabályossága. Az   3 0  egyenlőség következne az O-nál megjelölt derékszögben levő másik szög 60° voltából. Ennek érdekében vizsgáljuk az OQP háromszöget. Ebben O Q  O P , hiszen mindkettő a kör sugara. Továbbá, a négyzet két oldalfelező pontját összekötő e egyenes a háromszög-középvonal tulajdonságai miatt egyrészt felezi O P -t, másrészt merőleges is rá (a négyzetátlók merőlegességét is kihasználva). Tehát az e egyenes az OQP háromszögnek szimmetriatengelye lesz, így O Q  P Q is fennáll. Vagyis az OQP háromszög szabályos, így O-nál levő szöge 60°. Ezzel pedig elértük célunkat. Az előzőekből világos lehet, miért illettük fentebb a „legnehezebb” jelzővel ezt a feladatot: a bemutatottak közül ebben kell a legtöbb részletet figyelembe venni, ebben kell a legtöbb elemi összefüggést észrevenni, ebben kell a legösszetettebb gondolatmeneten végighaladni. Mindezek miatt e feladat megoldásával értük el a legkevesebb sikert, bármennyire látványos is maga a problémafelvetés. További feladatok Végezetül, ahogy a bevezetőben említettük, felsorolunk néhány további olyan, tevékenykedtető módon felvetett geometriai problémát, amelyek véleményünk szerint alkalmasak a sejtés-megfogalmazási képesség és a bizonyítási igény – továbbá más, a Bevezetésben említett problémamegoldó képességek – fejlesztésére.  1, 2, 3, 4, 5 egyenes metszés és párhuzamosság szerinti felvételi lehetőségei a síkon; az 1-4 egyenes esetein kialakuló sejtést 5 egyenes esete megcáfolja.  Konvex négyszög átdarabolása paralelogrammába (esetleg még téglalap átdarabolása négyzetté is). (KÁRTESZI 1966: 14; LUKÁCS - TARJÁN 1975: 142–145)  Terület-paradoxonra vezető sokszög-átdarabolási feladatok. (IGNATYEV 1982: 63–64; JACOBS 2003: 343; KÁRTESZI 1966: 91–93; LUKÁCS - TARJÁN 1975: 147–150; MLODINOW 2003: 41–42)  Gyufaátrakási feladat állandó kerületre és változó területre: 12 gyufaszálból alkossunk 12 kerületű és egész szám területű sokszöget. (GÖRKE - ILGNER LORENZ - PIETZSCH - REHM 1974: 121; IMRECZE - REIMAN - URBÁN 1986: 81; JACOBS 2003: 353)  Pontok távolsága téglatest felületén (esetleg más testek is). (BONIFERT 1982: 150–154; HÓDI 1999: 67–79; IGNATYEV 1982: 114; IMRECZE - REIMAN URBÁN 1986: 81; KÁRTESZI 1966: 60–63) 25



Kevés lapú poliéder-felület kiterítési lehetőségei: a sokszor előforduló kocka és szabályos tetraéder esete mellett nagyon hasznos és tanulságos a szabályos négyoldalú gúla, továbbá a szabályos háromszög alapú és négyzet oldallapú hasáb esete is: az előbbinél 8, az utóbbinál 9 kiterítési lehetőség van.

Irodalom BONIFERT Domonkos: Néhány tipikus problémaszituáció matematikából, Mozaik, Szeged, 1982. GÖRKE, Lilly − ILGNER, Kurt − LORENZ, Günter − PIETZSCH, Günter − REHM, Manfred: Séta a matematika birodalmában, Műszaki Kiadó, Budapest, 1974. HÓDI Endre (szerk.): Matematikai mozaik, Typotex Kiadó, Budapest 1999. IGNATYEV, Jemeljan Ignatyevics: A találékonyság birodalmában, Tankönyvkiadó, Budapest, 1982. IMRECZE Zoltánné − REIMAN István − URBÁN János: Fejtörő feladatok felsősöknek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986. JACOBS, Harold R.: Geometry – Seeing, Doing, Understanding, Freeman, New York, 2003. KÁRTESZI Ferenc: Szemléletes geometria, Gondolat, Budapest, 1966. KÁRTESZI Ferenc: 590. sz. kitűzött feladat és megoldása. In: A matematika tanítása, 1969. május, XVI. évf. 3. sz. p. 96. LUKÁCS Ernőné - TARJÁN Rezsőné: Játékos matematika, Gondolat Kiadó, Budapest, 1975 MLODINOW, Leonard: Eukleidész ablaka, Akkord Kiadó, Budapest, 2003 SZENDREI Julianna: Szóbeli közlés.

26

PINTÉR Klára SZTE Juhász Gyula Pedagógusképző Kar Tanító- és Óvóképző Intézet Matematika Szakcsoport Játékok és azok matematikai háttere a tanító hallgatók probléma alkotási képességének fejlesztésében Absztrakt A probléma megoldási képesség fejlesztése az iskolai matematika oktatás egyik kiemelt feladata, így a felsőoktatásban biztosítanunk kell, hogy a leendő pedagógusok felkészüljenek erre a feladatra. Ez egyrészt a hallgatók saját problémamegoldó képességeinek fejlesztését jelenti, másrészt segítséget ad a gyerekek tanításához is. A fejlesztés hatékonyságát nagymértékben növeli az önálló, tevékenységen alapuló problémamegoldás. Az aktív tevékenységet sokszor játékkal, bűvészmutatvánnyal motiváljuk, amely lehetőséget ad a kísérletezésre, így a sok, változatos tapasztalat egy idő után matematikai ismeretek, probléma-megoldási stratégiák önálló felfedezéséhez vezet. A tevékenységek, játékok során sok új kérdés merül fel, így fejlődik a gyerekek és a hallgatók problémaérzékenysége, problémaalkotási képessége. A játékokat, tevékenységeket általános iskolai tanulók matematika szakkörén és tanító hallgatók különböző kurzusain próbáltuk ki, ezekből mutatunk be néhány játékot, bűvészmutatványt, azok matematikai alapjait a tanítási tapasztalatokkal együtt. Többek között mutatunk játékot, amely a műveleti tulajdonságokon, az invariancia elvén alapul, láthatjuk, hogyan alkalmazható a gráfelmélet. 1. Bevezetés A problémamegoldás tanítását olyan pedagógusok tudják sikerrel végezni, akiknek maguknak is van tapasztalatuk a problémamegoldó tevékenységről. Rendelkezniük kell olyan szakmai biztonsággal, hogy megengedhessék a tanulók útkeresését, sikerrel tudják tervezni az útkeresést segítő mozzanatokat. A problémamegoldás tanításának perspektíváit Kilpatrick a következőképpen határozta meg (KILPATRICK 2009): - Szivárgás: sok feladat megoldása során a tanulók probléma-megoldási képessége fejlődik. Ez azonban csak akkor lesz hatékony, ha a feladatok választása elméletileg megalapozott. Figyelembe kell venni a fokozatosságot, tudatosítani kell az egyes problémák általános és speciális jellegzetességeit. Biztosítani kell a változatosságot, egyrészt a változatos reprezentáció fontos eleme a tanulásnak, másrészt a tanulók hozzáállását is pozitív irányba befolyásolja. - Memorizálás: hasznos problémaelemek tanítása. Lényeges, hogy a tanulók igényeinek megfelelő legfontosabb elemeket válasszuk ki, és ezek tanításához, keressük meg a legalkalmasabb feladatokat. A diákoknak gyakorolniuk kell a tanult problémaelemek használatát, a szükséges elemek kiválasztását, és ezekből új megoldás összerakását. - Utánzás: a „szakértő” problémamegoldók viselkedésének, megoldási stratégiáinak megfigyelése, mintaként való alkalmazása. A diákok számára hasznos, ha látják, hogy a jó problémamegoldók is juthatnak zsákutcába az útkeresés során, fontos, hogy ezt hogyan ismerik fel, hogyan vonják le a tanulságot, és hogyan indulnak más irányba.

27

- Kooperáció: a kiscsoportban zajló problémamegoldás segíti a párbeszédet, a gondolatok megfogalmazását, a továbbsegítő kérdések feltevését, az ötletek megosztását, ami pozitív hatással van a problémamegoldásra. - Reflexió: a problémamegoldó folyamat elemeinek tudatosítása elengedhetetlen a fejlesztéshez. Látható, hogy a megfelelően választott játékok mindezeket a célokat teljesíthetik, hiszen a diákok kiscsoportban, egymással kommunikálva végeznek nagyszámú probléma-megoldási tevékenységet. Természetesen utánozzák a sikeres játékosokat, igyekeznek megjegyezni és tudatosan alkalmazni a hatékony stratégiákat. 2. Elméleti háttér A kutatók egyetértenek abban, hogy a problémamegoldás fejlesztése nem szorítkozhat kizárólag a stratégiák tanítására, a kognitív területek mellett tekintettel kell lenni a metakognitív és affektív területekre is. - Kognitív aspektus a változatos reprezentációkat (AMBRUS,2007), a különböző probléma típusok és stratégiák tanítását jelenti (PÓLYA, 1977). Schoenfeld a stratégiák részletesebb tanítását javasolta a konkrét apró lépések bemutatásával (SCHOENFELD, 1985). Mayer az információfeldolgozási modell alapján a problémamegoldási tréninget reprezentáló, hálózatot építő, és kereső, alkalmazó szakaszra bontotta (MAYER, 1982). - Metakognitív aspektus a lépések, stratégiák tudatos végrehajtását, a kontrollt, az önellenőrzést, a folyamat felügyeletét jelenti (FLAWELL, 1976). A problémamegoldó folyamatos önmagával folytatott párbeszéddel irányítja gondolkodását. Ezt a párbeszédet, a megoldó önmagának felteendő kérdéseit is tanítani kell (LESTER, 1994). A tanulónak értékelnie kell a saját tevékenységét, meg kell fogalmaznia konkrét elvárásokat a problémával kapcsolatban, jóslatokat az eredményre vonatkozóan, és döntéseket kell hoznia a megkezdett út folytatásáról vagy elvetéséről. - Affektív aspektus a tanulók aktivitásának fejlesztését, önállóságuk, pozitív hozzáállásuk, kitartásuk erősítését, az ösztönző tanári magatartás tanulását jelenti (KILPATRICK, 2009). A diákoknak lehetőséget kell adni a szabad asszociációkra, a hibákhoz való pozitív hozzáállással bátorítani kell az ötleteket. A problémák nehézségét úgy kell megválasztani, hogy intellektuális kihívást jelentsen a tanulók számára, de ne állítsa őket megoldhatatlan feladat elé. A játékok biztosítják a kognitív aspektusok fejlesztését, hiszen lehetőséget adnak stratégiák felfedezésére, kikísérletezésére, elraktározására. A játékos tudatosan irányítja a saját lépéseit a győzelem érdekében, a lépéseinek értékelését gyorsan megkapja. A metakognitív aspektusokat erősíti a játékosoknak az a tevékenysége, hogy több lépéssel előre gondolkodnak, számba veszik az ellenfél lépéseit, és ennek megfelelően hoznak döntéseket. A játék általában motiváló, olyan érzelmi állapotot hoz létre, ami segíti az alkotó tevékenységet, így erősíti a problémamegoldás affektív aspektusát. 3. A játékok alkalmazása A tanító hallgatóknak kifejlesztett problémamegoldás fejlesztése kurzus során a problémamegoldás lépéseit, stratégiáit tanítjuk. Minden foglalkozás bevezető problémája egy játék, tevékenység vagy bűvészmutatvány, amelynek tapasztalataiból indulva a hallgatók maguk fedezhetik fel a stratégiát, amely így maradandó élményt nyújt számukra. A játékokat sikerrel alkalmazzuk gyerekek 28

matematika szakkörén, tanárok továbbképzésein is. Mind a gyerekek, mind a felnőttek körében észrevehető a játékok pozitív hatása. A következőkben ezekből a játékokból, bűvészmutatványokból mutatunk be néhányat. 1. Változtassuk a reprezentációt! Rakjunk le 9 bábut az ábrán látható csillag köreire! Mindegyik bábut ugratva lehet lerakni. Ez azt jelenti, hogy a bábut egy üres körről ugratjuk egy másik üres körre úgy, hogy közben átugrik egy körön, amelyik lehet üres, de állhat már rajta bábu. A három kör, ahonnan indul, ahová érkezik, és amelyiken átugrik a bábu, egy egyenesen közvetlenül egymás után helyezkednek el. Egy már lerakott bábut később nem lehet mozgatni. Hogyan rakhatjuk le a bábukat?

Már a probléma szövegének megértése sem könnyű, és nagyban segíti a tevékenység. A hallgatók hosszas kísérletezés után találtak megoldást, aminek a megjegyzése sem volt egyszerű, így lényeges lett a taktikájuk megfogalmazása. Ezután következett a megoldás tudatosítása. Megvizsgáltuk, hogy mi jelentette a nehézséget a probléma megoldásában. Ez a csillag alak volt, ez határozta meg, merre lehetett kanyarodni a csúcsokban. Némi gondolkodás után rájöttek, hogy ez csak annyiban érdekes, hogy minden körről két irányba lehet ugrani, ha egyik irányból érkezünk egy körbe, akkor csak egy irányba tudunk továbbmenni. Itt meg tudtuk ragadni a probléma gyökerét: fel lehet fűzni a köröket egy láncra, valahol elindulunk, utána ezen a láncon tudunk továbbhaladni. Eszerint megszámoztuk a köröket, majd átalakítottuk az ábrát úgy, hogy az egymás utáni körök egy nagy kör mentén helyezkedjenek el. 9

0

0 8 6

3

7

9

4

1

7

1

2 6

3

5 5 2

8

29

4

Ezután tovább vizsgáltuk a problémát, vajon hányféle megoldás lehetséges? Amíg az eredeti reprezentációban egy megoldás megtalálása is nehézséget jelentett, az új reprezentációban az összes megoldás megtalálása sem okozott gondot. Arra a meglepő eredményre jutottunk, hogy 10∙29 megoldás lehetséges, hiszen végül lesz egy kör, amelyen nem áll bábu, ezt 10-féleképpen választhatjuk ki, az első bábut két irányból ugrathatjuk a helyére, a többi 8 bábu mindegyikét a meglevő lánc bármelyik végére ugrathatjuk, ez minden bábu esetén 2 lehetőséget jelent. 2. Gondolkodjunk visszafelé! A visszafelé gondolkodás stratégiáját a NIM játékok egy egyszerű változatával kezdtük. 21-es játék: Két játékos felváltva mond egy számot, amely legalább 1-gyel, legfeljebb 3-mal nagyobb az előzőnél. A kezdő 1-3-ig mondhatja valamelyik számot. Az nyer, aki kimondja a 21-et. Lényeges, hogy ha az a célunk, hogy a tanulók felfedezzék a nyerő stratégiát, kis számokkal kell kezdeni a játékot, hogy minél több játékot ki tudjanak próbálni viszonylag rövid idő alatt. Néhány játék után rájöttek, hogy ha valaki kimondja a 17et, akkor nyer, mert az ellenfél még nem érheti el a 21-et, viszont legalább 18-at mond, ahonnan már nyerünk. Érdekes volt, hogy hosszú ideig azt gondolták, hogy az ez előtti játék viszont nem számít. Rájöttek, hogy honnan tudják elérni a 21-et, de ezt a stratégiát nehezen vonatkoztatták a 17 elérésére. Lényeges eleme a játéknak, hogy ha valakinek hibás stratégiája van, az a játék során előbb-utóbb kiderül, nem a tanár feladata felhívni a figyelmet a tévedésre, a diák maga rájön, és esetleg tud javítani. A nyerőszámok visszafelé való felsorolása a visszafelé gondolkodás stratégiáját követi. A nyerő stratégia felfedezése után ez a játék már nem jelent érdekességet, viszont lehet találni új változatokat, amelyekre a megismert stratégiát alkalmazva tudatosíthatjuk azt. Először változtassuk meg a játékban szereplő számokat, majd játsszunk úgy is, hogy az veszít, aki 21-et vagy annál nagyobbat mond. Számok hozzáadása helyett játszhatunk visszafelé haladva is: például 32 fogpiszkálóból vehetünk el legalább 1-et, legfeljebb 4-et, és az veszít, aki nem tud lépni. További érdekes változatokat kapunk, ha kockát görgetünk egy élén, és a felül levő számot adjuk hozzá az előző összeghez. Az nyer, aki először mond 30-nál nagyobb számot. A térszemlélet fejlesztésén kívül más újdonságot is rejt ez a játék, hiszen nem mindig ugyanazok közül a számok közül választhatunk. Ha kezdő játékosként mindig az 1-esre görgetjük a kockát, akkor ellenfelünk nem görgethet 6ost (mert az az 1-essel szemközti lapon van), ha mással elérné a célt, akkor azt mi 6ossal hamarabb elérhettük volna (6-osra ugyanúgy görgethettük volna a kockát, ahogy 1-esre). Ha úgy módosítjuk a kockagörgetéses játék szabályát, hogy az győz, aki pontosan a 31-et kimondja, a nyerő stratégia jóval bonyolultabb, így tovább érdekes marad a játék. Ezen játékok nyerő stratégiájának meghatározása a nyerő számok visszafelé felsorolásán alapul. 3. Invariancia elve A problémamegoldásban sokszor hasznos stratégia az invariáns keresése, amelyet egy bűvészmutatvánnyal mutatunk be. A bűvész kér egy segítőt a közönség soraiból. A bűvész valamennyi érmét ledob az asztalra, mindegyik véletlenszerűen fej vagy írás. Ezután a bűvész hátat fordít. A segítő feladata, hogy mindkét kezével felfordítson egy-egy érmét. Ezt addig ismételheti, amíg akarja. Ezután eltakar egy érmét, a bűvész megfordul, és kitalálja, hogy az eltakart érme fej vagy írás. Ha a 30

diákok közül van, aki sejti a trükköt, akkor nem szabad elárulnia, ő lesz a bűvész, így kipróbálhatja, hogy helyes-e a sejtése. Így lehetőség van arra, hogy szinte mindenki maga fedezze fel a mutatvány trükkjét. A trükk lényegére rájöhetünk, ha végignézzük, hogy mi történik két érme fordításakor. Ha két fejet fordítunk két írásra, akkor a fejek száma 2-vel csökken, az írásoké 2-vel nő. Ha két írást fordítunk két fejre, akkor fordítva, a fejek száma nő, az írásoké csökken 2-vel. Ha egy fejet, egy írást fordítunk, akkor se a fejek, se az írások száma nem változik. Észrevehetjük, hogy a fejek (és az írások száma is) páros számmal változik, tehát a fejek számának paritása invariáns. Így a bűvésznek az a feladata, hogy az elején gyorsan figyelje, meg, hogy páros számú fejet dobott-e. Ha a végén is páros számú fejet lát, akkor írás van elrejtve, ha páratlan számú fejet lát, akkor pedig fej. Az invariancia elvének alkalmazásában az invariáns mennyiség megtalálása jelenti a legnagyobb nehézséget, de sok feladatot látva könnyebb megsejteni, hogy ez a stratégia segíthet, és céltudatosabban kereshetjük az invariáns mennyiséget. 4. Modellalkotás - műveletek Peti és Panni felír 15 tetszőleges egész számot a táblára. A két játékos felváltva lép. Egy lépésben kiválaszthatnak két számot, azokat letörlik és helyettük az összegüket írják fel. Peti nyer, ha a végén kapott szám páros, Panni nyer, ha páratlan. Kinek van nyerő stratégiája? A játékot változatos számokkal játszhatjuk alsó tagozaton az összeadás gyakorlására is. A többféle számsor elfedi, hogy valójában a játékosok lépéseitől független az eredmény. A megoldáshoz többféleképpen is eljuthatunk. Az egyik út az invariancia elvének alkalmazása. Vizsgáljuk meg, hogyan változik egy lépésben a páratlan számok száma. Két páros szám összege páros, a páratlan számok száma nem változik, két páratlan szám összege páros, a páratlan számok száma 2-vel csökken. Egy páros és egy páratlan szám összege páratlan, a páratlan számok száma nem változik. Így azt kaptuk, hogy a lépések során a páratlan számok száma párossal változik, tehát a páratlan számok számának paritása invariáns. Így a játék előre meghatározott, ha kezdetben páros számú páratlan szám volt, akkor végül 0 lesz (nem lehet 1), ha páratlan számú páratlan szám volt, akkor végül 1 lesz (nem lehet 0). A másik út, hogy észrevesszük, hogy a játék algoritmusa végül a táblára felírt számok összegét adja, csak nem a felírás sorrendjében végezzük el az összeadást. Az összeg paritása pedig a tagok paritásától függ, páratlan számú páratlan tag esetén kapunk páratlan számot, különben párosat. A játék többféle formában játszható. Játszhatjuk összeadás helyett kivonással is, ekkor az összeadás modell természetesen nem működik, de az invariáns stratégia célravezető. Ha +1-eket és – 1-eket írunk fel kezdetben a táblára, és két szám helyett a játékosok mindig a szorzatukat írják, Peti nyer, ha végül +1-et, Panni, ha – 1-et kapnak. Ezt játszhatják olyan számokkal is, melyek abszolút értéke eltérhet 1től (0 nem lehet), és Peti nyer, ha végül pozitív, Panni nyer, ha negatív számot kapnak. Ezekben a játékokban a szorzás szerepel modellként, de ugyanúgy alkalmazható az invariáns stratégia is. Játszhatjuk a játékot piros, kék korongokkal is, véletlenszerűen kiszórva valamennyit az asztalra. Egy lépésben a soron következő játékos elvesz két korongot, és egyet visszatesz a következő szabály szerint: két kék helyett egy pirosat, két piros helyett egy pirosat, egy piros és egy kék helyett pedig egy kéket kell visszarakni. Az egyik megoldást most is az invariáns stratégia adja, a kék korongok számának paritása lesz invariáns. Másrészt észrevehetjük, hogy a 31

piros korongnak megfeleltethető a +1, a kék korongnak a – 1, a művelet pedig a szorzás, így éppen az előző változatát kapjuk a játéknak. A különböző változatokat érdemes eltérő időpontokban játszani gyerekekkel, így még érdekesebb a különböző reprezentációk közötti analógiák felfedezése. 5. Gráfok – Euler-vonal Bemutatunk néhány bűvészmutatványt dominókészlet segítségével. Egy dominókészlet dominóin 1-től 6-ig vannak a számok. Rakd sorba a dominókat! Megjósolom, hogy kimarad két dominó, és ha azokat ideadod, megmondom, mely számok vannak a kirakott sor két végén anélkül, hogy odanéznék. A mutatványt megelőzi a dominókészlet elemeinek rendszerezése, amikor megmutatjuk, hogy a dominókon mindegyik szám mindegyikkel egyszer fordul elő, így a fenti készlet 21 dominót tartalmaz. Ez alapján a diákok észreveszik, hogy mindegyik szám 7-szer fordul elő egy dominóoldalon. A kirakáskor a számokat párba állítjuk, így mindegyik számból kimarad egy. A kimaradó 6 számból kettő a kirakott lánc két végén van. Még 4 szám marad ki, így két dominó mindenképpen kimarad, amelyeken ez a 4 szám van. Tehát az 1-6-ig számok közül az a kettő van a lánc két végén, amelyek nincsenek a kimaradt két dominón. Bemutathatjuk a mutatványt azzal a dominókészlettel is, amelyen 0-6-ig vannak a számok. A bűvész most is megjósolja a diákok által kirakott lánc két végén levő számot. Ekkor a dominókat zárt láncba lehet rakni. A bűvész kilop egy dominót, amikor az asztalon összekeveri a dominókat, és amikor a diákok kirakják a láncot, ennek a dominónak a számai lesznek a lánc két végén, mert a hiányzó dominó teszi zárttá a láncot. A következő keveréskor észrevétlenül visszateszi a kilopott dominót, és másikat vesz el, így a közönség kevésbé veszi észre a trükköt. A trükk matematikai hátterét bemutathatjuk, ha a dominókészletnek megfeleltetünk egy gráfot. A számoknak a pontok felelnek meg, a dominóknak az élek. Két pont közötti él azt a dominót jelenti, amin az a két szám áll. A hurokél azt a dominót jelenti, amelyen két azonos szám áll.

A dominólánc kirakása azt jelenti, hogy végighaladunk a gráf élein, mindegyiken legfeljebb egyszer. Ha a készlet dominóin 1-6-ig vannak a számok, akkor nem tudunk végigmenni az összes élen, mert a páratlan fokú pontok száma 6. Két él 32

mindenképpen kimarad. Ha azt a készletet ábrázoljuk gráffal, amelyen 0-6-ig szerepelnek a számok, akkor minden pont fokszáma páros, ezért létezik zárt Eulervonal, ami a zárt dominóláncot jelenti. A trükk így segíti a modellalkotást, és láthatjuk a probléma gráfelméleti hátterét. 4. Összegzés A kidolgozott játékok, tevékenységek egyértelműen megváltoztatták a problémamegoldók hozzáállását, sokkal nagyobb motivációval fogtak neki a feladatnak. Ezáltal nőtt az aktivitásuk, kitartásuk, hajtotta őket a megoldás, a győzelem elérésének vágya. A játékok változatos reprezentációkat adtak egyes stratégiákra, ami a problémaháló kiterjedését növelte. Játék közben szabadon fogalmaztak meg sejtéseket, és ellenőrizték azokat a kísérletezés során. A játékosok közötti kommunikáció az érvelést, vitakészséget is fejlesztette, amely az egyén önmagával a problémamegoldás során folytatandó párbeszédét is segíti. A tevékenységek során a diákok új kérdéseket, új problémákat fogalmaztak meg, így a problémaalkotás folyamata is elindult. Hasonló eredményeket kaptunk a gyerekek, a hallgatók és a gyakorló tanárok foglalkozásain, tehát minden korosztályban hasznos a tevékenységek, játékok alkalmazása a problémamegoldás fejlesztése során.

Irodalom AMBRUS A. A konkrét és vizuális reprezentációk szükségessége az iskolai matematikaoktatásban. http://xml.inf.elte.hu/~mathdid (2007. 03. 21.) FLAWELL, J. H.: Metacognitive aspects of problem solving. In L. B. Resnick (Ed.) The nature of intelligence. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates,1976. KILPATRICK, J.: A retrospective Account of the Past Twenty-five Years of Research on Teaching Mathematical Problem Solving. In E. A. Silver (Ed.), Teaching and Learning Mathematical Problem solving: Multiple Research Perspectives (pp. 1−16.). Routledge, New York and London, 2009. LESTER, F. K. Jr.: Musings about Mathematical Problem-Solving Research: 1970−1994. Journal for Research in Mathematics Education 1994, Vol. 25., No. 6, 660−675. MAYER, R. E.: Implication of Cognitive Psychology for Instruction in Mathematical Problem Solving. In F. K. Lester & J. Garofalo (Eds.) Mathematical Problem Solving: Issues in Research, Philadelphia: The Franklin Institute Press, 1982. PÓLYA György: A gondolkodás iskolája, Gondolat, Budapest, 1977. SCHOENFELD, A.: Mathematical Problem Solving, Academic Press INC.,New York, 1985.

33

FÜLÖP Zsolt Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet A szuperpozíció elvének alkalmazása a fizika-feladatok megoldásában A fizika tudományok területén sok olyan probléma vetődik fel, amelynek megoldásában a szuperpozíció elve jelentős szerepet játszik. Leginkább olyan problémákról van szó, amelyek esetében az általános megoldást megtalálni nagyon bonyolult számításokat igényel. Ebben az esetben célszerű, hogy az első lépésben keressünk könnyen kezelhető speciális eseteket, majd találjuk meg az ezekre vonatkozó speciális megoldásokat. A második lépésben több ilyen speciális esetet kombinálva alkotjuk meg azt a minden korlátozástól mentes megoldást, amely már az általános esetre is alkalmazható, ezáltal a probléma általános megoldását képezi. Tehát a szuperpozíció elve nem jelent mást, mint a speciális megoldások lineáris kombinációjával eljutni az általános megoldáshoz. A szuperpozíció elvének alkalmazása a matematikai feladatok megoldásában megtalálható Pólya György munkájában (Pólya 1967). Jelen írás célja rávilágítani a szuperpozíció elvének a fizikai feladatok megoldásában betöltött szerepére. A szuperpozíció elvének segítségével megoldható fizikai problémák például az egyenáramú áramkörökkel kapcsolatos feladatok vagy a testek vízszintes és ferde hajítását leíró mozgástörvények. A szuperpozíció elvének alkalmazása lehetővé teszi, hogy elkerüljük a komplikált számításokat, illetve hogy egyszerűbb matematikai eszköztárral jussunk el a megoldáshoz. Sok fizikai feladat esetében a szuperpozíció elve úgy jelentkezik, mint egy alternatív megoldás, amely lényegesen több kreativitást feltételez, mint a fizikai jelenséget leíró matematikai törvények algoritmikus alkalmazása. A szuperpozíció elvének alkalmazására egyik legragyogóbb példa a Kirchhoff törvényeinek segítségével megoldható egyenáramú áramkörök problematikája, amelyek esetében egy túlzottan algoritmusokon alapuló, bonyolult és hosszadalmas számítást helyettesíthetünk egy lényegesen kreatívabb és kevesebb számolást igénylő megoldási módszerrel. Ennek érdekében tekintsük a következő feladatot! Feladat: Számítsuk ki az egyes ellenállásokon átfolyó áramok erősségét, az ábra szerinti kapcsolásban, ahol R1= 10 , R 2= 20 , R3= 30 , R 4= 40 , R5= 50 , R6= 60 , R7= 70 , E 1= 10 V és E 2= 20 V !

1. ábra 34

A feladat megoldására Kirchhoff törvényeit alkalmazhatjuk, melyek Ohm törvényének egy általánosítását képezik. Kirchhoff I. törvénye a csomóponti törvény néven ismeretes, elágazó áramkörökre vonatkozik, a csomópontok az elágazásoknál találhatók. A törvény értelmében a csomópontba befolyó áramok összege megegyezik az onnan elfolyó áramok összegével. A törvény alapja az, hogy egy villamos hálózat csomópontjaiban nincs töltés-felhalmozódás. Kirchhoff II. törvénye, más néven a hurok-törvény, értelmében bármely zárt áramhurokban a részfeszültségek előjeles összege zérus. Mivel mindkét törvény mindenféle elektromos hálózatra igaz, bármely korlátozás nélkül lehet alkalmazni ezeket az áramerősségek kiszámítására. A két törvény párhuzamos alkalmazásával bármilyen, tetszőlegesen bonyolult elektromos hálózattal kapcsolatos feladatot meg tudunk oldani, feltéve, ha adottak a megfelelő számú adatok, például az elektromotoros feszültségek és az ellenállások. A Kirchhoff törvényekről elmondható, hogy a fizika és matematika területén kevés ilyen módszer létezik, amelyet bármilyen tetszőleges probléma esetén ennyire egyszerűen és algoritmizálható lépések mellett alkalmazhatunk. Kirchhoff törvényeit a mi feladatunkra alkalmazva a következő összefüggésekhez jutunk (az egyenletek felírásánál I i -vel az Ri ellenálláson átfolyó áram erősségét jelöltük, az áramok irányát az ábra tartalmazza):  E1 + I 1  R1 + I 2  R 2 = 0  E 2 + I 4  R4 + I7  R7 + I 2  R2 = 0 I5  R5 + I3  R3  I7  R7 = 0 I5  R5  I6  R6 = 0

(1)

I1 + I 3 + I7  I 2 = 0 I5 + I6  I3 = 0 I4  I7  I5  I6 = 0

Majd a feladat adatait behelyettesítve adódik a következő hétismeretlenes egyenletrendszer: 10  I 1 + 20  I 2 = 10 20  I 2 + 40  I 4 + 70  I 7 = 20 30  I 3 + 50  I 5  70  I 7 = 0 50  I 5  60  I 6 = 0

(2)

I1  I 2 + I 3 + I7 = 0  I3 + I5 + I6 = 0 I4  I5  I6  I7 = 0

Az egyenletrendszer megoldására érdemes a változószám csökkentésének módszerét alkalmazni. Ennek a lényege, hogy valamelyik változót kifejezzük az egyik egyenletből és behelyettesítjük a többi egyenletbe, majd ezekkel az egyenletekkel számolunk tovább. Ezáltal eggyel csökken az ismeretlenek száma, ugyanakkor a megoldandó egyenletek száma is. Ezt a lépést többször alkalmazva az utolsó 35

lépésben már csak egy egyenlet marad, amelyben egy ismeretlen szerepel. Ezt az ismeretlent kiszámítjuk, majd lépésenként visszahelyettesítve megkapjuk a többi ismeretlent is. A fenti hétismeretlenes egyenletrendszer ilyen megoldása nagy mennyiségű számolást igényel, az egyenletrendszerek megoldásánál alkalmazott behelyettesítő módszer többszöri alkalmazásából áll. A számítások végrehajtása nem igényel különösebb ötleteket a diák részéről, egy jól betanult módszer többszöri reprodukálását jelenti, nem veszi igénybe és nem fejleszti a diák kreativitását. Ugyanakkor nem alkalmas az elektromosságtannal kapcsolatos ismeretek begyakorlására, a diák nagy mennyiségű időt fecsérel hosszadalmas és bonyolult számítások elvégzésére. Tényleges haszna csak az egyenletrendszer felírásának van, ezáltal a diák begyakorolja Kirchhoff törvényeinek felírását a csomópontokra és hurkokra vonatkozóan. Megpróbálunk más utat keresni feladatunk megoldására. Célunk, hogy a számítások mennyiségét csökkentsük, ugyanakkor a diák több ismeretet alkalmazzon és ötletesebb számítások során jusson el a megoldáshoz. Megpróbáljuk módosítani a kezdőfeltételeket. Például tekintsük az eredeti áramkört, amelyből kiiktatjuk az E 2 elektromotoros erővel rendelkező feszültségforrást. Így könnyebben kezelhető speciális esethez jutunk. Mivel csak egy feszültségforrás van az áramkörben, könnyen boldogulunk a Kirchhoff törvényeknél jóval egyszerűbb Ohm törvénnyel is. A számítások elvégzéséhez szükségünk lesz a következő elméleti fogalmakra, melyeket a diákok ismernek, a feladat megoldása során pedig remek lehetőség nyílik arra, hogy ezeket az ismereteket kellőképpen begyakorolják:  Ohm törvénye kimondja, hogy az áramerősség a vezeték két rögzített pontja között mérhető feszültséggel egyenesen arányos, a feszültség és az áramerősség aránya az adott vezetékszakaszra jellemző elektromos ellenállás: U R= I ahol U – a két rögzített pont között mérhető feszültség I - a vezetéken átfolyó áram erőssége R – a vezetékszakasz elektromos ellenállása R R  Az 1 és 2 ellenállások eredő ellenállása a következőképpen számítható ki: o Soros kapcsolás esetén: Re =R1 +R2 o Párhuzamos kapcsolás esetén: R⋅R Re =R1× R2= 1 2 R1 +R2 

A feszültségosztás szabálya: A sorosan kapcsolt R1 és R 2 ellenállásokból álló rendszer végeire kapcsolt feszültség az ellenállásokon megoszlik, az ellenállások értékeivel arányosan, vagyis: R1 R2 U 1 =U⋅ U 2 =U⋅ és R1 +R 2 R1 +R2

36

2. ábra Az E 2 elektromotoros erejű feszültségforrás kiiktatása után az áramkört a 2. ábrán látható alakba lehet átrajzolni. A diák feladata felismerni, hogy a különböző áramköri elemek sorosan vagy párhuzamosan vannak kapcsolva, ezek szerint készíti el az átrajzolt ábrát. Az ábra alapján első lépésben kiszámíthatja az eredő ellenállást, gyakorolja az eredő ellenállás kiszámításának szabályát sorosan, illetve párhuzamosan kapcsolt áramköri elemek esetén. A továbbiakban például R356 -tal az R3 , R5 és R6 ellenállások eredőjét, míg Re -vel az áramkörben levő összes ellenállás eredőjét jelöljük. Az eredő ellenállás kiszámítása több lépésben a következőképpen történik: R 356 = R 3 +  R 5  R 6  = R 3 + R 3567 = R 7  R 356 =

Re = R1 +

R 7  R 356

R5  R6

= 57,3 Ω

R5 + R6 = 31,5 Ω

R 7 + R 356

 R 4 + R 3567   R 2  =

25,6 Ω

A következő lépésben kiszámítjuk az egyes ellenállások kivezetésein mérhető feszültséget a feszültségosztás szabályát alkalmazva:  R 4 + R 3567   R 2 R4 U

AC

= E1 

= 6,1 V

U

Re

37

AB

= U

AC



= 3,4 V

R 3567 + R 4

U

U

BC

= U

= U

AC



R 3567

= 2,7 V

U

R 3567 + R 4 

R3

= U

BC



R5  R6 R 3 + R 5  R 6



= 1,4 V

= 1,3 V

 Az egyes ellenállásokon átfolyó áramok erősségét Ohm törvényének segítségével számítjuk ki, vagyis az ellenálláson átfolyó áram erőssége egyenlő az illető ellenállás kivezetésein mérhető feszültség és az ellenállás értékének a hányadosával: E U U I 1 '= 1 = 390 mA I 2 '= AC = 305 mA I 3 '= CD = 47 mA Re R2 R3 U U U I 4 '= AB = 85 mA I 5 '= BD = 26 mA I 6 '= BD = 21 mA R4 R5 R6 U I 7 '= BC = 38 mA R7 A második speciális esethez úgy jutunk, hogy az áramkörből az E 1 elektromotoros erejű feszültségforrást kiiktatjuk, így az áramot az áramkörben az E 2 elektromotoros erejű feszültségforrás biztosítja. A 3. ábrán láthatjuk az E 1 elektromotoros erejű CD

BC

R 3 + R 5  R 6

BD

feszültségforrás kiiktatásával keletkező áramkört, megfelelően átrajzolva.

3. ábra Az eredő ellenállás, az ellenállások kivezetésein mérhető feszültségek és az ellenállásokon átfolyó áramerősségek kiszámítása az első speciális esethez hasonlóan történik: R⋅R R3567 = 31,5 R1× R 2= 1 2 = 6,7 R1 +R 2 Re = R 1× R 2 +R4 +R3567 = 78,2

38

R1× R2 R = 1,7 V U BC =E 2⋅ 3567 = 8,08 V Re Re R3 R5 × R6 U BD =U BC⋅ = 4,22 V U CD =U BC⋅ = 3,86 V R3 +R5× R6 R3 +R5× R6 U U U I 1 = AB = 170 mA I 2 = AB = 85 mA I 3 = BD = 141 mA R1 R2 R3 E U U I 4 = 2 = 256 mA I 5 = CD = 77 mA I 6 = CD = 64 mA Re R5 R6 U I 7 = BC = 115 mA R7

U AB =E 2⋅

″

″

″

″

″

″

″

A két speciális esetben az áramkört úgy tekintettük mintha az elektromos töltések szállítását az E 1 , illetve E 2 elektromotoros erejű feszültségforrás egymagukban biztosítanák. Tehát a különböző speciális esetekben a két feszültségforrás egymástól függetlenül létrehozza a saját elektromotoros erejének megfelelő áramerősségeket az egyes ellenállásokon keresztül. A feladat általános megoldását a két speciális eset megoldásainak előjeles összegezése adja (az előjeles összegezés azt jelenti, hogy a speciális esetek megoldásai közül azok az áramerősségek, amelyek iránya megegyezik az 1. ábrán jelölt áramerősségek irányával pozitív előjelet, míg az ellentétes irányúak negatív előjelet kapnak): I 1 =I 1 − I 1 = 390 mA− 170 mA=220 mA I 2 =I 2 +I 2 = 305 mA+85 mA=390 mA I 3= − I 3 +I 3 = − 47 mA+141 mA=94 mA I 4= − I 4 +I 4 = − 85 mA+256 mA=171 mA I 5= − I 5 +I 5 = − 26 mA+77 mA=51 mA I 6 =I 6 − I 6 = − 21 mA+64 mA=43 mA I 7 =I 7 − I 7 = − 38 mA+115 mA=77 mA A fenti általános megoldás adatai kielégítik a (2) egyenletrendszert, tehát meggyőződhetünk, hogy a két speciális eset előjeles összegzése elvezetett minket az általános megoldáshoz. Összegzésként elmondhatjuk, hogy a végeredményt két lépésben értük el. Először kerestünk viszonylag könnyű speciális esetet, és egy jól rászabott, de csak erre az esetre alkalmazható megoldást találtunk. Majd két ilyen speciális esetet kombinálva (a speciális megoldás ezekre alkalmazható volt), sikerült minden korlátozástól mentes megoldáshoz jutni, és ez már az általános esetre is alkalmazható. Az első lépésben olyan speciális helyzetről volt szó, amely nemcsak különlegesen jól kezelhető, de különlegesen hasznos is, ugyanis elvezetett az általános megoldás útjára. Ezt a speciális helyzetet egy fizikai intuíció vezérelte: gyakorlati szempontból, ha egy áramkörben két feszültségforrás üzemel, akkor a két feszültségforrás egymástól függetlenül fejti ki hatását. Tehát a két speciális helyzet két, egymástól független, speciális megoldást eredményez. A második lépés meghatározott algebrai művelet, nevezetesen az előjeles összegzés segítségével kapcsolja össze a két speciális megoldást. Az előjeles összegzés műveletének alapját is gyakorlati megfontolás indokolja: ha az áramkör egy ágában a két feszültségforrás ellentétes irányban mozgatja a töltéshordozókat, akkor a külön-külön vett áramerősségeket egymásból kivonjuk, míg ha az ′

″

′

″

′

″

′

″

′

″

′

″

′

″

39

feszültségforrások a töltéshordozókat ugyanolyan irányban mozgatják, akkor a különkülön vett áramerősségeket összeadjuk. A feladat megoldásához a matematikában ismert szuperpozíció elvét használtuk fel olyanszerűen, hogy két célravezető speciális helyzetből indultunk ki, majd a speciális esetek szuperpozíciójával jutottunk el az általános megoldáshoz. A szuperpozíció elvének ilyenszerű alkalmazása megkönnyítheti az egyenáramú áramkörökkel kapcsolatos feladatok megoldását, ugyanis a sok számolást igénylő több ismeretlenes egyenlet-rendszerek megoldását kiküszöböli a speciális esetek tárgyalása. Ugyanakkor hátrányos is lehet azokban az esetekben, amikor sok feszültségforrás üzemel egy olyan áramkörben, amelynek kevés különálló ága van, ugyanis kevés ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert helyettesítünk sok speciális eset megoldásával. Például egy olyan három külön ággal rendelkező áramkör esetében, melyben öt feszültségforrás üzemel, öt speciális eset tárgyalásával helyettesítjük egy három ismeretlenes egyenlet-rendszer megoldását. Megjegyezhetjük, hogy az ilyen esetek meglehetősen ritkák, mivel gyakorlati szempontból indokolatlan, hogy az áramkör egy ágán két vagy több feszültségforrás legyen beiktatva, ugyanakkor több olyan ág is létezhet, amelyen nincs feszültségforrás, ezáltal a speciális esetek száma jóval kevesebb az egyenletrendszerben szereplő ismeretlenek számánál. Fontos kihangsúlyozni a szuperpozíció-elvével kapcsolatban azokat az előnyöket, amelyeket szakmódszertani szempontból jelent az elv alkalmazása. A mi feladatunk esetében a szuperpozíció elvének alkalmazásával egy túlzottan algoritmizált megoldási módszert (amelyet a Kirchhoff törvényeinek alkalmazása jelent) helyettesítettünk egy lényegesen kreatívabb módszerrel. A szuperpozíció elvének alkalmazásakor a diáknak át kell tudnia rajzolni az áramkört, felismerni a sorosan, illetve párhuzamosan kapcsolt áramköri elemeket, kiszámítani az eredő ellenállást, alkalmazni a feszültség-osztás elvét és Ohm törvényét minden áramköri elemre. Ez nemcsak jóval több kreativitást igényel, hanem lényegesen nagyobb ismeret-halmazt feltételez. A Kirchhoff törvények alkalmazásakor egy jól betanult algoritmus szerint (amelyet a Kirchhoff törvények felírása jelent) megalkot egy egyenletrendszert, amelyet egy másik jól betanult algoritmus (amelyet a változószám fokozatos csökkentésének módszere jelent) segítségével megold. Mivel napjainkban a diákok egyre inkább hajlamosak arra, hogy algoritmusokban gondolkodjanak, megpróbálnak minél több megoldási módszert és sémát mechanikusan „betanulni”, nagyon fontos, hogy a tanárok a kreatívabb ismeret-szerzésre és tanulásra ösztönözzék őket, ebből a célból nagyon jó ötlet a szuperpozíció elvének alkalmazása a fizika oktatása során. A szuperpozíció alkalmazásának másik előnye, hogy a középiskolás diákok alacsonyabb szintű matematikai apparátus segítségével képesek megoldani olyan feladatokat, amelyeknek a megoldása egyébként egyetemi szintű matematikai ismereteket igényelne. Gondoljunk olyan problémákra, mint például a testek vízszintes és ferde hajítása esetén a mozgástörvények leírása. Ezekben az esetekben a testek mozgását egyetlen erő, nevezetesen a gravitációs erő befolyásolja, a legfőbb gondot viszont az okozza, hogy az erő hatásvonala nem esik egybe a test mozgásának irányával, ezért nemcsak a sebesség nagyságát, hanem irányát is befolyásolja. A dinamika alaptörvényét vektoriálisan felírva viszonylag bonyolult és nehezen kezelhető összefüggésekhez jutunk: 2 d r F g =m⋅ 2 dt 40

Ebben az esetben a meghatározandó ismeretlen az r= r t vektor, amelyet a fenti differenciálegyenlet megoldásával kapunk, ez a megoldási módszer nem található meg egy középiskolás diák eszköztárában. Ezért sokkal célszerűbb a test mozgását két mozgás szuperpozíciójaként szemlélni: egy vízszintes irányú egyenes vonalú egyenletes mozgás és egy függőleges irányú egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás szuperpozíciójaként. Például ferde hajítás esetén a test helyzetét koordinátánként vizsgáljuk egy derékszögű koordináta-rendszerben: x=v 0⋅ t⋅ cos α

y=−

g⋅ t 2 +v 0⋅ t⋅ sin α 2

ahol α a hajítás szöge, v 0 pedig a kezdeti sebesség nagysága. A fenti mozgástörvények levezetésénél felhasználtuk a középiskolában ismeretes út törvényét, amelynek a levezetése középiskolás eszköztárral történik és bármely középiskolás tankönyvben megtalálható, ezért a levezetést mellőztük. A fenti egyenletek egyértelműen megadják a test helyzetét a koordináta-rendszerben, valamint ezekből az egyenletekből meghatározható például a pálya alakja (parabola) a t idő eliminációjával: g⋅ x 2 y=x⋅ tgα− ⋅ 1+tg 2 α 2⋅ v 0 Összegzésként a szuperpozíció elve nagyon hatékonyan alkalmazható a középiskolai oktatás során. Segítségével lényegesen kreatívabban közelíthetünk meg bizonyos feladatokat, elkerülhetünk bonyolult és fölösleges számításokat, valamint megoldhatunk olyan feladatokat is, amelyeket egyébként csak magasabb matematikai apparátus segítségével tudnánk megoldani. A pedagógus feladata, hogy a saját ismereteivel megoldható feladatok között olyan feladatokat találjon, amelyet a diákok ismereteire támaszkodó módszerekkel, a diákok eszköztárát felhasználva is meg lehet oldani. A tapasztalat azt mutatja, hogy nagyon sok esetben a diákok ismereteire épülő megoldás lényegesen kreatívabb. Ilyen megoldási módszerek megtalálásában a szuperpozíció elve is jelentős szerepet játszik, amint azt a fentiekben néhány példán bemutattuk.

Irodalom CONE Gabriela, STANCIU Gheorghe: Probleme de fizica. Bucuresti: Editura Academiei RSR, 1988. MOÓR Ágnes: Középiskolai fizikapéldatár. Budapest: Integra-Projekt Kft., 1994. PÓLYA György: A problémamegoldás iskolája I-II kötet. Budapest: Tankönyvkiadó,1967.

41