DAFTAR PUSTAKA Anderson, R. M, dan May, R. M, (1992) : Infectious Diseases of Human, Dynamics and Control, Oxford University Press. London. Atkinson, K. (1989) : An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley and Son. New York. Almond, J, Clemens, J, Engers, H, Halstead, S, Khiem H. B, Mendez, A. P, Pervikov, Y, dan Tram, T. T. (2002) : Accelerating the development and introduction of a dengue vaccine for poor children, 5 - 8 December 2001, Ho Chi Minh City, Vietnam, Vaccine, 20, 3043 – 3046. Bellman, R. (1970) : Introduction to Matrix Analysis, Mc Graw Hill. New York. Bertell, R. (1993) : Internal bone seeking radionuclides and monocyte counts, International Perpectives in Public Health, 9, 21 – 26. Castillo-Chavez, C, Feng, Z, dan Huang, W. (2002) : On The Computation of R0 and its Role on Global Stability, Journal of Mathematical Bioscience, 150, 131 – 151. DeRoeck, D, Deen, J, dan Clemens, J. D. (2003) : Policymakers’views on dengue fever / dengue haemorrhagic fever and the need for dengue vaccines in four southeast Asian countries, Vaccine, 22, 121 – 129. Derouich, M, Boutayeb A dan Twizell, EH. (2003) : A Model of Dengue Fever, BioMedical Engineering OnLine, 2 – 4. Diekmann, O dan Heesterbeek, J.A.P (2000) : Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases, John Wiley and Son. New York. Esteva, L, dan Vargas, C. (2002) : Coexistence of Different Serotypes of Dengue Virus, J. Math. Biol., 46, 31 – 47. Feng, Z, dan Velasco-Hernandez,J. X. (1997) : Competitive Exclusion in A VectorHost Model for the Dengue Fever, J. Math. Biol., 35, 523 – 544. Grabiner, D. J, (Nov.1999) : Descartes’ Rule of Signs: Another Construction, The American Math. Montly, Vol. 106 No.9, 854 – 856. Graham, R. R, Juffrie, M, Tan, R, Hayes, C. G, Laksono, I, Ma‘roef, C, Sutaryo, Erlin, Porter, K. R dan Halstead, S. B. (1999) : A prospective Seroepidemiologic Study on Dengue in Children Four to Nine Years of Age in Yogyakarta, 99
Indonesia. Studies in 1995 - 1996, Am. J. Trop. Med. Hyg., 61-3, 412 – 419. Gubler, D. J. (1998) : Dengue and Dengue Hemorrhagic Fever, Clinical Microbiology Reviews, 11-3, 480 – 496. Gubler, D. J. (2002) : Epidemic dengue/DHF as public health, social and economic problem in the 21st century, Trends in Microbiology, 10-2 . Guzman, M. G, dan Kouri, G. (2002) : Dengue: an update, The Lancent Infectious Diseases January 2, 2002. Halstead, S. B, (2002) : Two infections and antibody dependent enhancement, a brief story and personal memoir, Rev Cubana Med Trop, 54, 171 – 179. Halstead, S. B, dan Deen, J (2002) : The future of dengue vaccines, The Lancent, 360. Heesterbeek, J.A. P. (2002) : A Brief History of R0 and Recipe for its Calculation, The Journal of Infectious Diseases, 181, 2 – 9. Hethcote, H. W. (2000) : The Mathematics of Infectious Disease, SIAM REVIEW, 42, 599 – 653. Hill, A. N, Longini, Jr, dan Ira, M (2003) : The Critical Vaccination Fraction for Heterogeneous Epidemic Models, Mathematical Biosciences, 181, 85 – 106. Kurane, I, dan Takasaki, T. (2001) : Dengue fever and dengue haemorrhagic fever: challenges of controlling an enemy still at large, Rev.Med. Virol, 11, 301 – 311. Marques, C. A, Forattini, O. P, dan Massad, E. (1994) : The basic reproductive number for dengue fever in Sao Paulo state, Brazil : 1990 - 1991 epidemic, Transaction of The Royal Society of Tropical Medicine and Hygiene, 88, 58 – 59. Malavige, G. N, Fernando, S, Fernando, D. J, dan Seneviratne, S. L. (2004) : Dengue viral infections, Postgrad Med Journal, 80, 588 – 601. McLean, A.R., dan Michie, C.A. (1995) : In vivo estimates of division and death rates of human T lymphocytes, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 92, 3707 – 3711. Nowak, M. A., dan May, R. M. (2000) : Virus dynamics; mathematical principles of immunology and virology, Oxford University Press Inc., NY. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2004) : Effect of Vaccination in a Dengue Fever Disease Transmission with Two-strain Viruses, Proceedings SEAMS, 321 100
– 330. Nuraini, N, Ari, Y, dan Soewono, E (2006) : Model Matematik Prnyebaran Internal Demam Berdarah di dalam Tubuh Manusia, Prosiding Konferensi Nasional Matematika XIII, Jurusan Matematika FMIPA, UNS, 765 – 772. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2007a) : Numerical Simulation of The Vaccination Scenarios Against dengue Transmission, Proceedings Of International Conference on Mathematics and Natural Sciences, FMIPA, ITB, 709 – 713. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2007b) : A Mathematical Model of Dengue Internal Transmission Process , Journal Indones. Math. Soc. (MIHMI), Vol. 13, No. 1, 123 – 132. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2007c) : Mathematical model of dengue disease transmission with Severe DHF compartment , Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 2, Vol. 30, No. 2, 15 – 29. OOi, E. E, Hart, T. J, Tan, H. C, dan Chan, S. H. (2001) : Dengue seroepidemiology in Singapore, The Lancent, 357, 685 – 686. Patumanond, J, Tawichasri, C, dan Nopparat, S. (2003) : Dengue haemorragic fever Uttaradit, Thailand, Emerging Infectious Disease, 9. Porter, K. R, Beckett, C. G, Kosasih, H, Tan, R. I, Alisjahbana, B, Rudiman, P. F, Widjaja, S, Listiyaningsih, E, Ma’roef, C. N, McArdle J. L, Parwati, I, Sudjana, P, Jusuf, H, Yuwono, J, dan Wuryadi, S. (2005) : Epidemiology of dengue and dengue hemorrhagic fever in cohort of adults living in Bandung, West Java, Indonesia, Am. J. Trop. Med. Hyg., 72-1, 60 – 66. Roberts, M. G, dan Heesterbeek, J.A. P. (2003) : A new method for estimating the effort required to control an infectious disease, Proc. R. Soc. Lond. B, 1359 – 1364. Soewono, E. dan Supriatna A. K. (2001) : A Two-dimensional Model for Transmission of Dengue Fever Disease, Bull. Malay. Math. Sci. Soc., 24, 49 – 57. Tacio, H. D. (2003) : Dengue vaccine: Now in the offing?, Sun Star Davao August 13, 2003. Vaughn, D. W, Green, S, Kalayanarooj, S, Innis, B. L, Nimmannitya, S, Suntayakorn, S, Endy, T. P, Raengsakulrach, B, Rothman, A. L, Ennis, F. A, dan Nisalak, A. (2000) : Dengue Viremia Titer, Antibody Response Pattern, and Virus Serotype Correlate with Disease Severity, The Journal of Infectious 101
Diseases, 181, 2 – 9. Wiggins, S. (1990) : Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer - Verlag. New York Inc. Yang, H. M. (2002) : The effects of re-infection in directly transmitted infectious modeled with vaccination, Mathematical Medicine and Biology, 19, 113 – 135. Rujukan lain: Levin, S. A. (2002) : Descartes’ Rule of Signs - How hard can it be?, http://sepwww.stanford.edu/oldsep/stew/descartes.pdf. 6 Februari 2008. CDC Dengue Fever Home Page : Dengue, http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/dengue-/index.htm.6 Februari 2008. WHO Home Page : Dengue, http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs117/en/print.html.6 Februari 2008. WHO, Dengue haemorrhagic fever, Diagnosis, Treatment and Control, Ginebra, 1986, http://www.who.int/csr/disease/dengue/resources/en/index.html.6 Februari 2008. Laporan Khusus Demam Berdarah, halaman 11 alinea 7, Kompas 7 Februari, 2007.
102
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Malang, 14 April 1974, dari pasangan suami istri Harsoko dan Djuariah. Ia menyelesaikan pendidikan dasar dan menengahnya di Malang. Pada tahun 1993, ia diterima sebagai mahasiswa Politeknik ITB (sekarang POLBAN) di jurusan Telekomunikasi. Pada tahun 1994 ia mengikuti UMPTN dan diterima sebagai mahasiswa program Sarjana Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Bandung, dan program itu diselesaikannya pada tahun 1998. Pada tahun 1998 juga ia mulai bekerja sebagai asisten di Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Bandung, dan setahun kemudian resmi menjadi staf pengajar di tempat yang sama. Selanjutnya ia menyelesaikan program Magister di Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung, pada tahun 2001. Pada tahun 2000 ia menikah dengan Uji Trenggono dan dikaruniai dua orang anak, Fairuz Syifa Iftinan dan Razan Zhafir Husnaini. Pada tahun 2003 penulis terdaftar sebagai mahasiswa program Doktor pada Departemen Matematika Institut Teknologi Bandung. Selama mengikuti program Doktor ia melakukan kegiatan penelitian dan kegiatan lain, yang berkaitan dengan penelitian. Hasil penelitiannya telah dipublikasikan secara tertulis dan dipresentasikan dalam pertemuan ilmiah bertaraf nasional maupun internasional. Berikut ini dikemukakan secara rinci hasil kegiatan tersebut. Daftar Publikasi Ilmiah : 1. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2004) : Effect of Vaccination in a Dengue Fever Disease Transmission with Two-strain Viruses, Proceedings SEAMS, 321 – 330. 2. Nuraini, N, Ari, Y, dan Soewono, E (2006) : Model Matematik Penyebaran Internal Demam Berdarah di dalam Tubuh Manusia, Prosiding Konferensi Nasional Matematika XIII, Jurusan Matematika FMIPA, UNNES, 765 – 772. 3. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2007) : Numerical Simulation of The Vaccination Scenarios Against dengue Transmission, Proceedings Of International Conference on Mathematics and Natural Sciences, FMIPA, ITB, 709 – 713. 4. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2007) : A Mathematical Model of Dengue Internal Transmission Process , Journal Indones. Math. Soc. (MIHMI), Vol. 13, No. 1, 123 – 132. 5. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2007) : Mathematical model of dengue disease transmission with Severe DHF compartment , Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 2, Vol. 30, No. 2, 15 – 29.
103
6. Nuraini, N, Soewono, E, Sidarto, A. K dan Heesterbeek,J. A. P (2007) : Population affect of dengue vaccine , dikirim ke International Journal of Applied Mathematical Sciences. 7. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2007) : Random Vaccination for Dengue Transmission with Two-strain Viruses, revisi akan dikirimkan kembali ke Journal of Mathematical Biosciences. 8. Nuraini, N, Tasman, H, Soewono, E, dan Sidarto, A. K (2007) : Dengue infection within a host, dikirim ke Journal of Mathematical and Computer Modeling.
Presentasi Ilmiah : 1. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Effect of Vaccination in a Dengue Fever Disease Transmission with two-strain viruses, SEAMS-GMU International Conference on Mathematics and Its Applications, Universitas Gajah Mada, Yogyakarta, 14 - 17 Juli 2003. 2. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : SIR Model for Dengue, Open Presentation, ICTP, Trieste, Italy, 30 Maret 2004. 3. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Analisis Dinamik Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Efek Vaksinasi Konferensi Matematika Nasional XII, Univ. Udayana, Bali, 23 - 27 Juli 2004. 4. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Pengembangan Early Warning System Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Vaksinasi (MSA MA ITB - 27 Agustus 2004). 5. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Design of the Early Warning System for Dengue Fever Transmission Disease Model with Vaccination Effect, Seminar MIPA IV, ITB, 6 Oktober 2004, dipresentasikan sebagai poster dan mendapatkan gelar Poster Terbaik dari dewan juri serta Poster Favorit dari peserta seminar . 6. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Mathematical Model of Dengue Disease Transmission with Severe DHF Compartment and Vaccination , Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematika dan Pendidikan Matematika se-Indonesia, Universitas Gajah Mada Yogyakarta, 18 Desember 2004. 7. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : On The Vaccination Model on Dengue Disease Transmission, International Conference on Applied Mathematics 05 (ICAM 05), ITB, Bandung, 22 - 26 Agustus 2005.
104
8. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Mathematical Model of Dengue Disease Transmission, The 2nd ASEAN Conggress on Parasitology and Epidemiology, Horizon Hotel, Bandung, 21 - 23 Mei 2006. 9. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Dengue Internal Model with Immune Response, The 2nd IMT-GT 2006 Regional Conference on Mathematics, Statistics and Applications, Penang, Malaysia 13 - 15 Juni 2006. 10. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Model Matematika Penyebaran Virus Demam Berdarah dalam Tubuh Manusia Konferensi Matematika Nasional XIII, Univ. Negeri Semarang, 27 - 29 Juli 2006. 11. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Mathematical Model of Internal Dengue Transmission, International Conference on Mathematics and Natural Sciences (ICMNS), FMIPA, ITB, Bandung, 29 - 30 November 2006. 12. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Simulasi Numerik Perbandingan Vaksin Bi-valent dan Mono-valent pada Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah , Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematika dan Pendidikan Matematika se-Indonesia, Institut Teknologi Bandung, 14 April 2007. 13. Nuraini, N, Sidarto, A. K dan Soewono, E : A mathematical modeling of vectorborne disease : Dengue, Workshop Sistem Informasi Deteksi Dini Penyebaran Flu Burung di Bandung, STIE, Institut Teknologi Bandung, 6 - 8 Juni 2007. 14. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Population effect of Dengue Vaccination, SEAMS-GMU International Conference on Mathematics and Its Applications, Universitas Gajah Mada, Yogyakarta, 24 - 27 Juli 2007. 15. Nuraini, N, Soewono, E, dan Sidarto, A. K : Early Warning System of Dengue Disease Transmission, International Conference on BioMathematics, Institut Teknologi Bandung, 27 - 29 Agustus 2007.
Keikutsertaan dalam Workshop dan kegiatan lain: 1. Workshop Modeling in Life and Material Science in Technology ( 8 Maret sampai 21 April 2004 ) di ICTP, Trieste, Italy. 2. Workshop on Epidemiology, NUS Singapore, Sept 5-9 2005. 3. Ketua Panitia Konferensi Internasional BioMathematics (ICOBM 07), ITB, Bandung, 27 - 29 Agustus 2007.
105
LAMPIRAN A
Beberapa teori yang digunakan dalam disertasi ini
Lampiran A.1. Teorema Cakram Gershgorin. Misalkan A adalah matriks ukuran nxn, dengan elemen matriks A adalah anggota bilangan kompleks. Misalkan aii adalah elemen diagonal dari matriks A. Lingkaran dengan titik pusat aii dan radius jumlah norm semua elemen matriks pada baris P yang sama, j6=i |aij | disebut sebagai cakram Gershgorin.
Teorema Setiap nilai eigen dari matriks A terletak dalam salah satu cakram Gershgorin. Bukti Misalkan λ adalah nilai eigen dari matriks A dan x adalah vector eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen λ. Pilih i sedemikian sehingga |xi | = maxj |xj |. Karena x tidak sama dengan nol, maka |xi | > 0. Selanjutnya karena Ax = λx, maka pada komponen ke i dapat dilihat bahwa (λ − aii )xi =
X
aij xj
j6=i
dan |λ − aii | =
X aij xj j6=i
xi
Detail dapat dilihat pada (Atkinson, 1989).
106
6
X j6=i
|aij |.
Lampiran A.2. Kriteria Routh - Hurwitz. Misalkan A adalah matriks ukuran 3x3. Perhatikan persamaan |λI − A| = λ3 + a1 λ2 + a2 λ + a3 = 0
(VI.1)
dan dua deret tak hingga yang dibentuk dari polinom VI.1 adalah a1
1
0
0 0 0 ...
a3 a2 a1 1 0 0 ... dengan ak bernilai nol untuk k > 3. Syarat cukup dan perlu agar semua akar-akar persamaan (VI.1) memiliki bagian real yang negatif adalah barisan dari determinan yang dibentuk oleh dua deret tak hingga di atas a1 1 h1 = |a1 |, h2 = a3 a2
,
bernilai positif. Dengan menggunakan kriteria ini syarat cukup dan perlu agar λ3 +a1 λ2 +a2 λ+a3 memiliki akar-akar dengan bagian real negatif adalah a1 , a2 , a3 > 0 and a1 a2 > a3 . Detail lihat pada (Bellman,1970). Lampiran A.3. Aturan Perubahan Tanda Descartes.
Misalkan f (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a0 , a0 6= 0. 1. Banyaknya akar real positif dari polinom f (x) sama dengan banyaknya perubahan tanda koefisien polinom f (x). 2. Banyaknya akar real negatif dari polinom f (x) sama dengan banyaknya perubahan tanda koefisien polinom f (−x). Detail dapat dilihat pada (Levin, 2002 dan Grabiner, 1999). Lampiran A.4. Basic Reproductive Number, <0 . Beberapa informasi tentang <0 107
1. Rata-rata banyaknya kasus sekunder yang dihasilkan oleh seseorang yang terinfeksi selama masa menularnya ketika ia dimasukkan dalam sebuah populasi yang susceptible 2. Besaran yang tidak berdimensi 3. <0 < 1 : tidak terjadi wabah, <0 > 1 : terjadi wabah 4. Umumnya merupakan titik bifurkasi dari suatu sistem dinamik epidemiologi Penentuan <0 dapat diperoleh dari 1. Pencarian titik equilibrium endemik 2. Analisis kestabilan titik equilibrium non endemik (bebas penyakit) 3. Melalui operator matriks pembangkit. Dari ketiga cara di atas pada lampiran ini akan dijelaskan cara yang ketiga, yakni menggunakan matriks pembangkit. Misalkan suatu sistem epidemiologi dapat ditulis dalam bentuk: dX = f (X, Y, Z), dt dY = g(X, Y, Z), dt dZ = h(X, Y, Z), dt dengan X ∈ Rr , Y ∈ Rs , Z ∈ Rn , r, s, n ≥ 0 dan h(X, 0, 0) = 0. Komponen X memuat subpopulasi individu yang susceptible atau sembuh (recover ). Komponen Y memuat subpopulasi individu yang terinfeksi (dalam masa inkubasi), dan komponen Z memuat subpopulasi individu yang terinfeksi dan dapat mentransmisikan penyakit (dalam masa menular). Prosedur untuk menentukan nilai <0 adalah 1. Misalkan E0 = (X ∗ , 0, 0) ∈ Rr+s+n adalah titik equilibrium bebas penyakit. Akibatnya f (X ∗ , 0, 0) = g(X ∗ , 0, 0) = h(X ∗ , 0, 0) = 0. 108
2. Asumsikan g(X ∗ , Y, Z) = 0 menentukan secara implisit fungsi Y = g˜(X ∗ , Z). ∗ ∗ 3. Misalkan A = DZ h(X , g˜(X , Z), Z) . Z=0
4. Misalkan A dapat ditulis dalam A = M − D, dengan M ≥ 0 (mi,j ≥ 0) dan D > 0 suatu matriks diagonal. 5. <0 = ρ(M D−1 ) dengan M D−1 disebut sebagai matriks pembangkit Sebagai contoh misalkan model (generik) Kermack dan Mckendrick dengan faktor kelahiran dan kematian sebagai berikut. dS I = Λ−βS − µ S, dt N I dI = βS − (µ + γ) I, dt N dR = γ I − µ R, dt dengan N = S + I + R. Maka diperoleh X = (S, R); Z = (I); h(X, Z) = β S
I − (µ + γ) I. N
Dengan mengaplikasikan prosedur pencarian <0 pada model di atas diperoleh 1. E0 = (X ∗ , 0) =
Λ , 0, 0 µ
2. A = DZ h(X ∗ , Z) Z=0 = 3. <0 =
.
∂h(X ∗ ,Z) ∂Z Z=0
= β − (µ + γ)
β µ+γ
Detail lihat pada (Castillo dkk.,2002).
109
