Cvičení 8 (Teplotní vlivy v pružnosti a pevnosti)

VŠB – Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339)

Pružnost a pevnost v energetice (Návody do cvičení)

Cvičení 8 (Teplotní vlivy v pružnosti a pevnosti)

Autor: Jaroslav Rojíček Verze: 0 Ostrava 2009

PPE

Cvičení 8

1 Řešené příklady na procvičení – Cv_8_Př_1 – Tah, konstantní teplota Dáno: L, D, E, ΔT, α. ØD

L

ΔT

Kde α je koeficient teplotní roztažnosti. Urči:  Prodloužení válcového tělesa. Obr. 1

F

Předpoklady řešení – platnost principu superpozice:  Pohybujeme se v oblasti platnosti Hookova zákona (lineární oblast chování materiálu).  Změna teploty je dostatečně malá a způsobí pouze zanedbatelné změny chování materiálu (při změně teploty nedochází ke změně materiálových vlastností).  Při zatěžování vznikají pouze malé deformace. Za těchto předpokladů můžeme úlohu rozdělit na dvě části a samostatně řešit prodloužení od teplotních vlivů a prodloužení od sil (momentů apod. dle typu úlohy). Řešení je velmi jednoduché a je ukázáno v Tab. 1. Tab. 1 Vliv změny teploty ΔT Vliv síly F LTeplota    T  L

LSíla 

FL ES

L  LTeplota  LSíla    T  L 

FL ES

2 Řešené příklady na procvičení – Cv_8_Př_2 – staticky neurčitá úloha – plynulá změna teploty. ΔT2 ØD

L

Dáno: L, D, E, ΔT1, ΔT2, α. Urči:  Reakční síly.

ΔT1 Obr. 2 Postup řešení bude stejný jako u „klasické“ staticky neurčité úlohy:  Uvolnění.  Rovnice rovnováhy.  Deformační podmínka.  Vyřešení deformační podmínky.  Vyřešení soustavy rovnic. a/Uvolnění, sestavení rovnic rovnováhy, stupeň statické neurčitosti: Postup je naznačen v následující Tab. 2. 2/7

PPE

Cvičení 8

Tab. 2.  Uvolnění

S

A

RA

L  Rovnice rovnováhy

 Fx  0  R

A

ΔT

RB B

 RB  0

Získali jsme jednu rovnici rovnováhy a dvě neznámé - reakce RA , RB . K řešení potřebujeme ještě jednu rovnici (deformační podmínku) – úloha je jednou staticky neurčitá. Hledáme jednu deformační podmínku. b/ Deformační podmínky: K vytvoření deformační podmínky můžeme často využít vazeb mezi tělesy, případně těleso rozdělit na několik částí apod. viz Tab. 3. Tab. 3. Varianta 1: V místě A, B je vetknutí, které S ΔT v tomto případě zachycuje prodloužení A B způsobené změnou teploty. Rovnice těchto vazeb můžeme použít přímo jako L deformační podmínky. Deformační podmínky: y A  0 , yB  0 . c/ Vyřešení posunů či natočení: V tomto kroku lze s výhodou použít Castigliánových vět. Postup u deformačních podmínek podtržených v předchozí tabulce je naznačen v Tab. 4. Tab. 4. Varianta: Schéma: Hledáme prodloužení: yB  ? . S ΔT B RB  L A yB      T  L . RB ES L d/ Řešení soustavy rovnic, stanovení reakcí: Nalezené funkce dosadíme zpět do deformačních podmínek a úpravou (řešením soustavy rovnic) získáme hodnoty reakcí. Postup je naznačen v Tab. 5. Tab. 5. Varianta: Reakce: RB  L R L    T  L  0  B    T  L ES ES RA  RB  0 yB  

RB    T  E  S RA    T  E  S

Z výsledku je patrné, že velikost reakcí nezávisí na délce prutu. Jedná se o zatížení tlakovou osovou silou, proto bychom měli ještě zkontrolovat tvarovou stabilitu.

3/7

PPE

Cvičení 8

3 Řešené příklady na procvičení – Cv_8_Př_3 – staticky určitá tyč nekonstantní teplota T2

ΔT2 ØD αP ΔT1

ΔT(x)

L λ

T0

x T1

Obr. 3

Dáno: L, D, E, ΔT1, ΔT2, α, αp, λ. Urči: Prodloužení a/ Pro T ( x)  A  Bx . cosh( K ( L  x)) b/ Pro T ( x)  T0 , cosh( KL)  D kde K  P , λ je tepelná vodivost tyče, αp je S součinitel přestupu tepla, S je plocha průřezu tyče.

Máme tyč, kterou na jedné straně zahřejeme (ve vetknutí), řešíme ustálený stav. Prvním krokem při řešení teplotně-deformační úlohy je určení teplotního pole. V naší úloze je teplotní pole přímo zadáno dvěma rovnicemi (a, b). Teplotní pole je v případě a/ určeno rovnicí přímky. V případě b/ rovnicí popisující stacionární vedení tepla tyčí konečné délky. Při řešení této úlohy vyjdeme z rovnice pro prodloužení v elementu tyče a po integraci této L

rovnice získáme celkové prodloužení: dL    T ( x)  dL  L     T ( x)  dL . 0

a/ U první varianty je nutné nejprve určit konstanty A, B. Přímka prochází body [0,ΔT1], [L,ΔT2]. Dosazením do rovnice a úpravou získáme potřebné konstanty: T1  A  B  0  T1  A T  T1 . T2  A  B  L  T2  T1  B  L  B  L  T2  T1  B  2 L Nyní po integraci získáme prodloužení: L   L2  T  T1 L2   T  T2  L     A  Bx  dL     AL  B      T1  L  2      L   1 . 2 L 2 2     0 b/ U druhé varianty jsou konstanty součástí řešení teplotní úlohy. Můžeme tedy rovnou řešit integrál (s využitím substituce): L L cosh( K ( L  x))   T0 L     T0  dL    cosh( K ( L  x))  dL cosh( KL) cosh( KL) 0 0

  T0

L

  T0  sinh( KL)   T0  sinh( K ( x  L))  L      tgh ( KL) .  cosh( KL)  K K  cosh( KL) K 0 Složitější integrály můžeme řešit pomocí symbolických řešičů, např. v programu MATHCAD, nebo pomocí matematických tabulek integrálů. Jedná se o určité integrály a můžeme tedy pro řešení využít i numerických metod.

4/7

PPE

Cvičení 8

4 Řešené příklady na procvičení – Cv_8_Př_4 – staticky určitá ohyb nekonstantní teplota ΔT1

Dáno: L, a, b, E, ΔT1, ΔT2, α. ΔT2

a

Urči: Napjatost a průhyb pro T ( y)  A  By .

L

T0 T1

Obr. 4 T2

Máme obdélníkovou tyč s rozměry a x b, kterou zahřejeme na kratších stranách (b) na rozdílné teploty T1 , T2. Řešíme ustálený stav za předpokladu, že rozložení teplot v tělese bude lineární (vyjádřeno rovnicí T ( y)  A  By , parametry A, B určíme podobně jako v předchozím příkladu). M(x) σ

L ΔT2 x ΔT1

z

Obr. 5

dS y

x

Vlivem rozdílného rozložení teplot v tělese vznikne ohyb. Obecně napětí nebude konstantní, bude záviset na poloze v řezu (souřadný systém zy), viz Obr. 5. V řezu musí platit rovnice rovnováhy, v tomto případě budou nenulové tři rovnice:  Fix  0 ,  M iz  0 ,

M

 0 . Tedy sestavíme silovou rovnici rovnováhy v ose x, momentovou rovnici rovnováhy vzhledem k ose z a momentovou rovnici rovnováhy vzhledem k ose y. Normálové napětí σ působí na ploše dS, poloha plochy dS je určena souřadnicemi y a z. Silová rovnice rovnováhy v ose x:  Fix  0    dS  0 Po dosazení a úpravě z této iy

rovnice plyne, že počátek souřadného systému yz je v těžišti plochy. Momentová rovnice rovnováhy vzhledem k ose y:  M iy  0     z dS  0 . Po

dosazení a úpravě z této rovnice plyne, že deviační moment musí být nulový. Momentová rovnice rovnováhy vzhledem k ose z:  M iy  0     y dS  M ( x)  0 . Dosadíme Hookův zákon pro prostý tah (   E   ) a definici poměrného prodloužení při změně teploty (    T ) :

  y dS  M ( x)  0   E    y dS  M ( x)  E   T ( y)  y dS  M ( x) .

Rozdílné teploty se tedy projeví podobně jako moment M(x) (ohyb), který již umíme řešit. Postup řešení je naznačen v následující tab. 6.

5/7

PPE

Cvičení 8

Tab.6 Varianta: Hledáme moment:

Schéma: S

M ( x)  E  T ( y)  y dS

L

ΔT2 ΔT1

Výsledný moment je konstantní: a 2

a

 y2 y3  2 a3 M ( x)  E  ( A  By )  y dS  E  A  B   EB M 2 3 a 12 a   2

2

Z parametru A vyplývá prodloužení nosníku, viz příklad 1. Úlohu můžeme nahradit - ohybem a řešit jako ohyb: M ( x) S M Napětí:   y Jx M ( x) Průhyb: y   L E  Jx

5 Příklady na procvičení – Cv_8_Př_5 – tenkostěnná nádoba ØD

t

L p

ΔT

Dáno: L, D, p, E,t, ΔT, α. Urči:  Změnu průměru D vlivem tlaku a teploty.  Samostatně změnu délky L vlivem teploty a tlaku. Uvažujte pouze vliv tlaku p a změny teploty ΔT, ostatní vlivy zanedbejte (např. vlastní tíha nádoby).

Obr. 6 Řešíme zjednodušenou úlohu: předpokládáme konstantní teplotu po tloušťce stěny, nádoba je tenkostěnná a ve stěně je membránová napjatost (bez momentů). Úlohu rozdělíme pomocí superpozice na samostatné řešení tenkostěnné nádoby (viz cvičení 4) a samostatné řešení teploty. Řešení tenkostěnné nádoby zatížené vnitřním přetlakem: K řešení napjatosti využijeme   p Laplaceovu rovnici (cvičení 4 příklad 1): m  t  .  m t t Meridiánové napětí (ve směru osy válce):  m 

p  D2 (pro změnu délky L). 4t

pD (pro změnu průměru D). 2t U tenkostěnné nádoby předpokládáme konstantní napětí po tloušťce nádoby, v nádobě vzniká tahová napjatost. Obecně pro prodloužení musí platit L    L , z Hookova zákona

Tečné napětí:  t 

dosadíme za poměrné prodloužení L 



E

 L . V případě, že chceme zjistit změnu průměru,

6/7

PPE

Cvičení 8

dosadíme místo L obvod nádoby L D 

t E

   D . Nyní zjistíme změnu průměru porovnáním

obvodu o(D): o( D  D )  o( D)  L D    ( D  D )    D 

  D    D    D 

t

   D  D 

t

t E

  D

D E E Řešení tenkostěnné nádoby se změnou teploty: Pro prodloužení musí platit L    T  L . V případě, že chceme zjistit změnu průměru, dosadíme místo L obvod nádoby LT D    T    D . Nyní zjistíme změnu průměru porovnáním obvodu o(D): o( D  DT )  o( D)  LT D    ( D  DT )    D    T    D   D    DT    D    T    D  DT    T  D Celková změna průměru způsobená tlakem a změnou teploty je: D  D  DT . Samostatně dosaďte číselné hodnoty a spočtěte změnu délky L nádoby.

6 Literatura [1] Sazima, M. a kol. Sdílení tepla

7/7