Cvičení 5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze © Rudolf Blažek 2011
Pravděpodobnost a statistika BI-PST, LS 2010/11
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnos@
´ ıch jevu˚ a pravdepodobnost ˇ Cvičení Prostor elementarn´
ˇ Pravdepodobnost
Pˇr´ıklad ˇ Pro nejv´ysˇ e spoˇcetnou ⌦ staˇc´ı zadat funkci (hustota pravdepodobnosti, ˇ pravdepodobnostn´ ı hmota) p : ⌦ ! [0, 1] tak, zˇ e ˇ ´ Pravdepodobnost P je pak dana jako P (A) = Intermezzo:
P
P
!2⌦ p (!)
= 1.
´A !2A p (!) pro kaˇzde
⇢ ⌦.
Pro nespoˇcetnou ⌦ vˇsak nen´ı moˇzne´ definovat P (A) pro kaˇzde´ A ⇢ ⌦. ˇ (Vitali, 1905) Veta ˇ ıc´ı zakladn´ ´ Budiˇz ⌦ = {0, 1}N . Neexistuje funkce P : P(⌦) ! [0, 1] splnuj´ ı ´ axiomy (Nezapornost, Normalizace, Aditivita), a nav´ıc i podm´ınku Invariance. Pro kaˇzde´ A ⇢ ⌦ a n
1 je P (Tn A) = P (A).
Zde
Tn : ! = (!1 , !2 , . . . ) ! (!1 , . . . , !n
kde b 0 = 1, b 1 = 0, a Tn (A) = {Tn (!) : ! 2 A}.
ˇ RomanRudolf KoteckBlažek, y, ´ Rudolf Blaˇzek (FIT CVUT) Ph.D. (ČVUT)
´Pravděpodobnost ˇ statistika Zakladn´ ı pojmy pravdaepodobnosti
1
,! cn , !n+1 , . . . ), ˇ BI-PST, LSBI-PST, 2010/11, Pˇredna´ ska 1 LS2010/11
9 / 18 2
Cvičení
Poznámky k Vitaliho větě Čísla v intervalu (0,1) lze popsat nekonečnou řadou 0 a 1
• •
0.1110111110110101111111111110111011... 0.31415926... je možné zapsat v binárním kódu
Vitaliho věta se dá chápat i tak, že hovoří o existenci neměřitelných množin např. v intervalu (0,1) V čem je problém:
•
Na intervalu (0,1) uvažujme pravděpodobnost tak, že délka intervalu je jeho pravděpodobností (Lebesgueova míra)
•
Existuje neměřitelná množina U ⊂ (0,1) v tom smyslu, že ji nesmíme přiřadit pravděpodobnost
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
3
Cvičení
Poznámky k Vitaliho větě Co to znamená, že množině U ⊂ (0,1) nesmíme přiřadit pravděpodobnost?
9 > =
•
Pokud přiřadíme P(U) = ε > 0, pak dojdeme k závěru P( (0,1) ) = ∞
•
Pokud přiřadíme P(U) = 0, pak dojdeme k závěru P( (0,1) ) = 0
•
My ale samozřejmě potřebujeme P( (0,1) ) = 1
> ;
Vitaliho věta využívá axiom výběru
Proto potřebujeme opatrně vybrat množiny, kterým smíme přiřadit pravděpodobnost:
• F
je sigma-algebra (sigma-field) všech měřitelných jevů
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
4
Cvičení
Jak bezpečně definovat pravděpodobnosti výsledků experimentu ´ ıch jevu˚ a pravdepodobnost ˇ Prostor elementarn´
ˇ Pravdepodobnost
Pˇr´ıklad ˇ Pro nejv´ysˇ e spoˇcetnou ⌦ staˇc´ı zadat funkci (hustota pravdepodobnosti, ˇ pravdepodobnostn´ ı hmota) p : ⌦ ! [0, 1] tak, zˇ e ˇ ´ Pravdepodobnost P je pak dana jako P (A) = Intermezzo:
P
P
!2⌦ p (!)
= 1.
´A !2A p (!) pro kaˇzde
⇢ ⌦.
Příklad − Borelova sigma-algebra měřitelných množin
Pro nespoˇcetnou ⌦ vˇsak nen´ı moˇzne´ definovat P (A) pro kaˇzde´ A ⇢ ⌦.
Pro experiment s výsledky v intervalu, tj. s Ω = (a, b) stačí zadat ˇ (Vitali, 1905) Veta P( (a, x] ) = F(x) ∈ [0, 1] ∀x ∈ (a, b) ˇ ıc´ı zakladn´ ´ Budiˇz ⌦ = {0, 1}N . Neexistuje funkce P : P(⌦) ! [0, 1] splnuj´ ı kde F(x) je neklesající funkce s:$ $ F(x ) → 0 když x → a ´ ! ! Normalizace, axiomy a nav´ ıc i podm´ nku ! ! (Nez ! !apornost, ! ! ! !Aditivita), F(x ) → 1 když x → ıb. Invariance. Pro kaˇzde´ A ⇢konzistentně ⌦ a n 1 je definována P (Tn A) = Ppro (A)všechny . Pak je pravděpodobnost intervaly v Zde (a, b), jejich spočetná sjednocení a průniky ... atd... Tn : ! = (!1 , !2 , . . . ) ! (!1 , . . . , !n
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
1
,! cn , !n+1 , . . . ),
BI-PST, LS2010/11
5
Cvičení
Spojité náhodné veličiny Nechť X je náhodná veličina s hustotou f(x): h
0
• • • •
1
2
Najděte hodnotu konstanty h Najděte analytické vyjádření hustoty f(x) Spočtěte střední hodnotu EX Vypočítejte rozptyl Var X
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
6
Cvičení
Spojité náhodné veličiny ´ ´ ım Uvaˇzujme nahodnou velicˇ inu X ⇠ Exp( ), t.j. s exponencialn´ ˇ ım s intenzitou . rozdelen´ ˇ EX pomoc´ı definice stˇredn´ı hodnoty. 1. Najdete ˇ Var X pomoc´ı definice rozptylu. 2. Najdete ˇ tj. zˇ e 3. Dokaˇzte, zˇ e X nema´ pamet’, P(X
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
s > t |X > s) = P(X > t),
Pravděpodobnost a statistika
8t
0
BI-PST, LS2010/11
7
Discussion Session
Exponenciální rozdělení nemá paměť (T–s | T>s) ~ Exp(λ)
Chceme dokázat: T ~ Exp(λ)
Je snadnější použít funkci přežití (the survival function): ´ eˇ kdyˇz P(T > t) = e T ⇠ Exp( ) prav
P(T 8s, t
t
, 8t
P(T > t + s, T > s) s > t |T > s) = P(T > s) 0 e P(T > t + s) = = e P(T > s) =e
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
t
0.
(t+s) s
... Exp( ).
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
8
Cvičení
Rozdělení, která nemají paměť Dokázali jsme, že
•
N ~ Geometrické(p)
•
T ~ Exp(λ)
(N – k | N > k) ~ Geometrické(p)
(T–s | T>s) ~ Exp(λ)
Toto jsou jediná taková rozdělení
• •
Geometrické(p) je jediné diskrétní rozdělení bez paměti Exp(λ) je jediné spojité rozdělení bez paměti
Podobnost
• •
Geometrické rozdělení: čekání na pannu v sérii hodů mincí Exponenciální rozdělení: čekání na příchod zákazníka
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
9
Cvičení
Normální náhodné veličiny ´ eˇ rozdelen ˇ a´ nahodn ´ Necht’ X ⇠ N(5, 4) je normaln a´ velicˇ ina ´ ´ se stˇredn´ı hodnotou 5 a rozptylem 4. Pro nasleduj´ ıc´ı otazky pouˇzijte statisticke´ tabulky. ˇ P(X > 7.5) 1. Najdete ˇ P(2.3 < X < 6.1) 2. Najdete ˇ z0.025 3. Najdete ˇ a takove, ´ zˇ e P(X < a) = 0.86 4. Najdete ˇ a takove, ´ zˇ e P( a < X < a) = 0.99 5. Najdete Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
10
