Cvičení 1 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze © Rudolf Blažek 2011
Pravděpodobnost a statistika BI-PST, LS 2010/11
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnos@
Cvičení
Pravděpodobnost & Statistika Vše začalo hazardními hrami !
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
2
Cvičení
Věštění & Hazardní hry Starobylé Civilizace:
•
Házení několika kostiček prstů s očíslovanými stranami (astragali = talus = knucklebone)
Egyptské Hrobky
•
Kostky nalezeny v hrobech z doby 2000 let před Kristem
Renezance
•
Hazardní hry s kostkami
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
3
Cvičení
Chevalier de Méré, 1654 Dva lidé, A a B, hrají opakovaně férové (50:50) náhodné hry dokud jeden hráč nevyhraje 6x. Oba hráči vsadili stejnou částku, vítěz bere vše. Série her je předčasně přerušena:
•
A vyhrál 5x a B vyhrál 3x.
Jak by si měli rozdělit vloženou sázku?
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
4
Cvičení
Blaire Pascal and Pierre de Fermat A by měl dostat 7/8 celkové výhry.
•
Proč?
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
5
Cvičení
Blaire Pascal and Pierre de Fermat A by měl dostat 7/8 celkové výhry.
Nápověda:
• •
A vyhrál 5x a B vyhrál 3x. Pokud by se ve hře pokračovalo, jak by B mohl vyhrát 6x?
• • •
Hráči A stačí vyhrát pouze jednou Takže B už nesmí prohrát P(BBB) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
6
Cvičení
Házení mincí Měl bych hrát následující hru?
• •
Hoď 2x mincí (Head / Tail; Panna / Orel) Vyhraji, pokud se výsledky liší: HT or TH
Pravděpodobnost výhry
• • • •
P(HT, TH) = P(HT) + P(TH) = P(H1)P(T2) + P(T1)P(H2) Vyvážená mince: (1/2) (1/2) + (1/2) (1/2) = 1/2 P(H) = 1/4: (1/4) (3/4) + (3/4) (1/4) = 3/8 P(H) = 3/4: (3/4) (1/4) + (1/4) (3/4) = 3/8
Ujistěte se, že mince je vyvážená! Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
7
Statistické Metody
Pravděpodobnost versus statistické metody
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
8
Statistické Metody
Pravděpodobnost Vyberu náhodně 30 kuliček (s vracením)
Nevidím do dlaně P(20 z 30 je červených) = ?
Vidím do krabičky: V krabičče mám 60% červených kuliček Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
✓ ◆ 30 20
20
(0.6)
Pravděpodobnost a statistika
(0.4)
10
= 0.1152
BI-PST, LS2010/11
9
Statistické Metody
Statistika Vyberu náhodně 30 kuliček (s vracením)
Vidím do dlaně: 20 z 30 je červených Nevidím do krabičky
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Kolik procent kuliček v krabičce je asi červených?
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
10
Statistické Metody
Statistika: Bodové a intervalové odhady Vyberu náhodně 30 kuliček (s vracením)
Vidím do dlaně: 20 z 30 je červených Kolik procent kuliček v krabičce je asi červených? Nevidím do krabičky Bodový odhad: cca 2/3 = 66.67% Intervalový odhad s 95% spolehlivostí: 48.76% – 84.57% Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
11
Statistické Metody
Statistika: Testování hypotéz Vyberu náhodně 30 kuliček (s vracením)
Vidím do dlaně: 20 z 30 je červených Nevidím do krabičky
Je v krabičce 40% červených kuliček? Závěr s 95% jistotou: NE Protože na 95% věřím: 48.76% – 84.57%
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
12
Cvičení
• Intuition: Probability of an event A is the proportion of its “size” relative uition: to Probability of an event A is the proportion of its “size” the sample space
Pravděpodobnosti theZáklady sample space
rela
size of A P (A) = size of
size of A P (A) = distribution of probability over This approach assumes uniform size of
– “Size” can ybe number of items, length, area, volume, duration, etc.1: Basic P rmatics — –Blaˇ zek, Koteck´ (Winter 2010) Discussion
Vennův • BasicDiagram properties of P
be understood using the of Venn diagram This approach assumes can uniform distribution probability over ! “Size” can be number of items, length, area, volume, duration, et A
Properties of Probability — the Venn Diagra area(A)
(A) = the Venn diagram sic properties of P can be understood Pusing area( )
!
ility of the complement of an event: A Pravděpodobnost negace, doplňku
¯ =1 P (A) Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
area(A) P (A) = area( ) P (A)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
7
13
Basic Properties Probability Venn Diagra Basic Properties of of Probability —— thethe Venn Diagram Cvičení
• Probability of the complement obability of the complement of an event:of an event: • Probability of the complement of an event: • Probability of the complement of an event:
Základy Pravděpodobnosti
¯ = 1 P (A) P ( A) ¯ P (A) =P 1(A) P ¯ (A) P¯ (A) P (A) = 1= 1P (A)
• Probability ofofsjednocení the union of (A twonebo eventsB) obability of the union two events Pravděpodobnost • Probability of the union of two events • Probability of the union of two events !
A
! ! ! A A A
B
B B B
area(A B) area(A B) area(A area(A B) B) P (A B) = P=(A P (A B) B) = = P (A B) area( ) area( ) area( ) area( )
area(AB) B) B) =area(A) area(A) +area(B) area(B) area(A ⌦ B) area(A = + area(A ⌦ B) area(A = area(A) + area(B) area(A ⌦ B) a(A B) = area(A) + area(B) area(A ⌦ B) P (A (AB) B) B) =(A) (A) (B) B) PP(A) PP(B) PP(A ⌦⌦B) P (A = P= + P++ (B) P (A ⌦(A B)
A
A
B) = P (A) + P (B) P (A ⌦ B) (AB) B) B) =(A) (A) (B) ifand andare aredisjoint disjoint ⌦B P (A PP(A) PP(B) AAand BBare B = P (A = P= + P++ (B) if Aifpro B disjoint (A (A ⌦ (A B⌦= ) =) ) disjunktní jevy B) = P (A) + P (B) if A and B are disjoint (A ⌦ B = ) Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
14
´ ıch jevu˚ a pravdepodobnost ˇ Prostor elementarn´ Cvičení
ˇ Pravdepodobnost
ˇ ´ Pravdepodobnostn´ ı zakon ´ ´ ´ ˇ Kaˇzdemu nahodn emu jevu A pˇriˇrad´ıme jeho pravdepodobnost P ( A) . ˇ Ta mus´ı splnovat pˇrirozene´ axiomy: ˇ Definice (Axiomy pravdepodobnosti) ´ Nezapornost. P (A)
0 pro kaˇzd´y jev A.
ˇ ´ ıch jevu˚ je 1, Normalizace. Pravdepodobnost souboru vˇsech elementarn´ P (⌦) = 1. (Mnoˇzina ⌦ je ve sv´ em souhrnu vyˇcerp´ avaj´ıc´ı.) Aditivita. Jsou-li A a B dva disjunktn´ı jevy (jin´ymi slovy vz´ ajemnˇe exklusivn´ı), je ˇ ˇ pravdepodobnost jejich sjednocen´ı souˇctem jejich pravdepodobnost´ ı, P (A [ B ) = P (A) + P (B ). ˇ je-li A1 , A2 , . . . posloupnost disjunktn´ıch jevu˚ (Ai \ Aj = ? pro i 6= j), Obecneji, pak
P ([i
1 Ai
)=
X i
ˇ RomanRudolf KoteckBlažek, y, ´ RudolfPh.D. Blaˇzek (FIT CVUT) (ČVUT)
P (Ai ).
1
´Pravděpodobnost ˇ statistika Zakladn´ ı pojmy pravdaepodobnosti
ˇ BI-PST, LSBI-PST, 2010/11,LS2010/11 Pˇredna´ ska 1
8 / 1815
Cvičení
Základy Pravděpodobnosti
Dokaˇzte, zˇ e pro jevy A, B a C plat´ı P(A [ B [ C) = P(A) + P(B) + P c P(A \ B)
P(B \ C)
+ P(A \ B \ C)
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
P(C \ A)
BI-PST, LS2010/11
16
Cvičení
Základy pravděpodobnosti Student si musí vybrat přesně dva ze tří volitelných předmětů
•
Kreslení; Francoužština; Matematika
Víme, že si vybere
•
Kreslení s pravděpodobností 5/8 Francoužštinu s pravděpodobností 5/8 Kreslení a Francoužštinu zároveň s pravděpodobností 1/4
Jaká je pravděpodobnost, že student si vybere
• •
Matematiku? Kreslení nebo Matematiku?
Rada: Nakreslete si Vennův diagram Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
17
