Cvičení 11 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze © Rudolf Blažek 2011
Pravděpodobnost a statistika BI-PST, LS 2010/11
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnos@
Cvičení
Bodové odhady
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
2
Cvičení
Bodové odhady Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto:
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
2
Cvičení
Bodové odhady Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto:
•
Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
2
Cvičení
Bodové odhady Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto:
• •
Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
2
Cvičení
Bodové odhady Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto:
• •
Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku.
Odpovězte následující dotazy
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
2
Cvičení
Bodové odhady Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto:
• •
Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku.
Odpovězte následující dotazy
•
Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez výpočtů)
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
2
Cvičení
Bodové odhady Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto:
• •
Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku.
Odpovězte následující dotazy
• •
Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez výpočtů) Nechť N je skutečný počet kaprů v rybníku. Najděte výraz pro pravděpodobnost, že 10 ze 100 chycených kaprů má značku.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
2
Cvičení
Bodové odhady Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto:
• •
Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku.
Odpovězte následující dotazy
• •
Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez výpočtů)
•
Najděte hodnotu N, která maximizuje předchozí výraz. Toto je odhad metodou maximální věrohodnosti. Rada: Uvažujte poměr výrazů pro N a N + 1
Nechť N je skutečný počet kaprů v rybníku. Najděte výraz pro pravděpodobnost, že 10 ze 100 chycených kaprů má značku.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
2
Cvičení
24
CHAPTER 5. IMPORTANT DI
Bodové odhady
5 3 125 (b) P (T > 3) = ( ) = . 6 216 5 3 125 (c) P (T > 6 | T > 3) = ( ) = . 6 216 9. (a) 1000 ⇥ 100 N (b)
10
N 100
100 90
⇥
⇥
(c) N = 999 or N = 1000 13. .7408, .2222, .0370 Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
3
Cvičení
24
CHAPTER 5. IMPORTANT DI
Bodové odhady Odpovědi
5 3 125 (b) P (T > 3) = ( ) = . 6 216 5 3 125 (c) P (T > 6 | T > 3) = ( ) = . 6 216 9. (a) 1000 ⇥ 100 N (b)
10
N 100
100 90
⇥
⇥
(c) N = 999 or N = 1000 13. .7408, .2222, .0370 Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
3
Cvičení
24
CHAPTER 5. IMPORTANT DI
Bodové odhady Odpovědi
•
5 3 125 (b) P (T > 3) = ( ) = . 6 216
Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez 5 3výpočtů) 125 (c) P (T > 6 | T > 3) = ( ) = . N = 1000 6 216
9. (a) 1000 ⇥ 100 N (b)
10
N 100
100 90
⇥
⇥
(c) N = 999 or N = 1000 13. .7408, .2222, .0370 Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
3
Cvičení
24
CHAPTER 5. IMPORTANT DI
Bodové odhady Odpovědi
5 3 125 (b) P (T > 3) = ( ) = . 6 216
•
Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez 5 3výpočtů) 125 (c) P (T > 6 | T > 3) = ( ) = . N = 1000 6 216
•
Nechť N je skutečný počet kaprů v rybníku. Najděte výraz pro 9. (a) 1000 pravděpodobnost, že 10 ze 100 chycených kaprů má značku.
(b)
100 10
⇥
N 100 90 ⇥ N 100
⇥
(c) N = 999 or N = 1000 13. .7408, .2222, .0370 Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
3
Cvičení
24
CHAPTER 5. IMPORTANT DI
Bodové odhady Odpovědi
5 3 125 (b) P (T > 3) = ( ) = . 6 216
•
Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez 5 3výpočtů) 125 (c) P (T > 6 | T > 3) = ( ) = . N = 1000 6 216
•
Nechť N je skutečný počet kaprů v rybníku. Najděte výraz pro 9. (a) 1000 pravděpodobnost, že 10 ze 100 chycených kaprů má značku.
(b)
•
100 10
⇥
N 100 90 ⇥ N 100
⇥
Najděte hodnotu N, která maximizuje předchozí výraz. Toto je (c) N = 999 or N = 1000 odhad metodou maximální věrohodnosti. N = 999 nebo N = 1000
13. .7408, .2222, .0370
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
3
Cvičení
Bodové odhady ´ ´ ˇ 10 par ´ u˚ (xi , yi ) jsme spocˇ etli Z nahodn eho v´yberu
P10
x = 10 i i=1
P10
y = 4 i i=1
P10
2 x = 15 i i=1
P10
2 y = 7 i i=1
P10
x y = 6 i i i=1
2 2 ˇ ˇ ˇ ´ ˇ 1. Spoctete v´yberove prum ˚ ery x a y a rozptyly sx a sy .
ˇ v´yberovou ˇ 2. Najdete covarianci SX ,Y 2
ˇ bodov´y odhad stˇredn´ı hod3. Pro Z = X + Y najdete noty EZ pomoc´ı momentove´ metody. Je tento odhad nevych´ylen´y? Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
4
Cvičení
Bodové odhady
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
5
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
5
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé.
•
Odvoďte odhad θ metodou maximální věrohodnosti a momentovou metodou.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
5
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé.
•
Odvoďte odhad θ metodou maximální věrohodnosti a momentovou metodou.
•
Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní?
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
5
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé.
•
Odvoďte odhad θ metodou maximální věrohodnosti a momentovou metodou.
• •
Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní? Z logu jsme zjistili, že délky posledních 10 transakcí byly + 5.4, 15.6, 15.4, 9.3, 0.5, 14.4, 2.6, 0.7, 40.4, 21.9 ms
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
5
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé.
•
Odvoďte odhad θ metodou maximální věrohodnosti a momentovou metodou.
• •
Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní?
•
Odhadněte θ pomocí obou odhadů.
Z logu jsme zjistili, že délky posledních 10 transakcí byly + 5.4, 15.6, 15.4, 9.3, 0.5, 14.4, 2.6, 0.7, 40.4, 21.9 ms
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
5
Cvičení
Bodové odhady
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
6
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3, ..., Xn, které mají konečnou střední hodnotu µ a konečný rozptyl σ2.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
6
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3, ..., Xn, které mají konečnou střední hodnotu µ a konečný rozptyl σ2.
•
Uvažujme odhady µ a σ2 výběrovým průměrem a výběrovým rozptylem s2.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
6
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3, ..., Xn, které mají konečnou střední hodnotu µ a konečný rozptyl σ2.
•
Uvažujme odhady µ a σ2 výběrovým průměrem a výběrovým rozptylem s2.
•
Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní?
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
6
Cvičení
Bodové odhady
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
7
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3, ..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ2).
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
7
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3, ..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ2).
•
Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
7
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3, ..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ2).
•
Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti.
•
Je tento odhad nevychýlený a konzistentní?
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
7
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3, ..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ2).
•
Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti.
• •
Je tento odhad nevychýlený a konzistentní?
Předpokládejme, že σ je neznámé. Odvoďte odhad (µ, σ2) metodou maximální věrohodnosti.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
7
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3, ..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ2).
•
Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti.
• •
Je tento odhad nevychýlený a konzistentní?
Předpokládejme, že σ je neznámé. Odvoďte odhad (µ, σ2) metodou maximální věrohodnosti.
•
Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní?
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
7
Cvičení
Bodové odhady Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3, ..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ2).
•
Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti.
• •
Předpokládejme, že σ je neznámé. Odvoďte odhad (µ, σ2) metodou maximální věrohodnosti.
• •
Je tento odhad nevychýlený a konzistentní?
Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní?
Porovnejte získaný odhad σ2 s výběrovým rozptylem s2.
Rudolf Blažek, Ph.D. (ČVUT)
Pravděpodobnost a statistika
BI-PST, LS2010/11
7
