Csavarokról és rokon témákról A Gépészeti alapismeretek tantárgy tanítása / tanulása során megbeszéljük a csavarvonal és a csavarmenet származtatását, például mozgásgeometriai alapon. Azonban ez talán még kevés, egy amúgy térgeometriai alapokkal már rendelkező, érdeklődő középiskolás tanulónak. Most – egyebek mellett – összeállítjuk néhány fontos és egyszerűbb csavarmenet - felület matematikai megadásának egyenleteit. Ebben lényegesen támaszkodunk a szakirodalomra. A felsoroltak közül [ 1 ] ajánlható szakközépiskolásoknak is. A közönséges csavarvonal és vetületei Az egyenes körhengerre írt, más néven: közönséges csavarvonal egy térgörbe, melynek származtatása az alábbi – [ 2 ]. Ha egy P pont úgy mozog, hogy a t egyenessel párhuzamos eltolódása a t tengely körüli elfordulás szögével arányos és mindig ugyanolyan irányú, akkor a P pont pályája: közönséges csavarvonal – 1. ábra. Az imént leírt mozgás: a csavarmozgás, amely ezek szerint egy állandó szögsebességű forgómozgás, és egy a kör síkjára merőleges egyenes vonalú egyenletes haladó mozgás eredője. Ha a haladó mozgás v || t sebességvektora és a forgómozgás ω || t szögsebesség - vektora egyállásúak, akkor a csavarmozgás jobbos, ellenkező esetben balos. Ennek megfelelően a mozgó P pont jobbmenetű, illetve balmenetű csavarvonalat ír le.
1. ábra A definíció matematikai leírása:
s p ,
ahol: ~ s: a P pont t tengely menti eltolódása; ~ φ: a P pont t tengely körüli elfordulási szöge; ~ p: arányossági tényező.
(1)
2 A közönséges csavarvonal egyenletét egy ( Oxyz ) derékszögű koordináta - rendszerben írjuk fel – 2. ábra.
2. ábra Legyen a csavarvonal tengelye a z tengely, az x tengely haladjon át a csavarvonal K kezdőpontján, és legyen R az OK szakasz hossza! Az egyenletek független változója a φ szögelfordulás lesz, függő változói pedig a csavarvonalat leíró P pont ( x , y , z )P merőleges vetületei. A 2. ábra alapján, ( 1 ) - gyel is:
x() R cos , y() R sin , z() p .
(2)
A ( 2 ) egyenlet szerinti koordinátákat tekinthetjük az r OP helyvektor koordinátáinak, így a megfelelő ( i, j, k ) egységvektorokkal:
r ( ) x( ) i y( ) j z( ) k ,
(3)
majd ( 2 ) és ( 3 ) - mal:
r ( ) R cos i R sin j p k .
( 4 )A
( 4 ) egyenlet: a közönséges csavarvonal vektoregyenlete. A p paraméterre fennáll, hogy
p
h , 2
(5)
ahol: h: a menetmagasság, amellyel ( 1 ) és ( 5 ) szerint:
s( 2 ) z( 2 ) p 2
h 2 h , 2
(6)
3 vagyis ( 6 ) szerint a menetmagasság: a φ = 2π szögelforduláshoz tartozó eltolódás. Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel:
r ( ) R cos i R sin j
h k . 2
(7)
A csavarvonal ( 7 ) egyenlete alapján mondhatjuk, hogy a csavarvonal geometriai paraméterei: ~ R: az alapkör sugara, ~ h: a menetmagasság. Az eddigiek alapján könnyen felírhatjuk a csavarvonalnak a koordináta - síkokra vett vetületi görbéinek egyenleteit is. Az ( xy ) - síkra vett vetület ( felülnézet ): rxy ( ) R cos i R sin j , (8) vagyis
x() R cos , y() R sin ,
(8/1)
ami egy R sugarú kör egyenlete, hiszen négyzetre emeléssel és összeadással:
x 2 y 2 R 2 cos 2 sin 2 R 2 .
(9)
Az ( yz ) - síkra vett vetület ( elölnézet ):
ryz ( ) R sin j
h k , 2
( 10 )
vagyis
y() R sin , h z( ) . 2
( 10 / 1 )
Hogy ez milyen síkgörbének felel meg, azt kiküszöböléssel állapítjuk meg:
2 z , h
( 10 / 2 )
amit ( 10 / 1 ) első képletébe helyettesítve:
2 y(z) R sin z . h
( 11 )
Tehát a csavarvonal elölnézete szinuszgörbe. Az ( xz ) - síkra vett vetület ( oldalnézet ):
rxz () R cos i
h k , 2
( 12 )
4 vagyis a fentiekhez hasonlóan:
x() R cos h z() . 2
,
( 12 / 1 )
Innen kiküszöböléssel:
2 x(z) R cos z . h
( 13 )
Tehát a csavarvonal oldalnézete koszinuszgörbe.
A csavarokról A csavarok – melyek fizikailag mint kötőelemek, gépelemek, stb. jelennek meg – olyan testek, vagy azok részei, melyek határoló felületei között csavarfelületek is szerepelnek. A csavarfelületek adott vonal csavarmozgásából származtatott felületek. Egyes csavarok mozgásgeometriai származtatása: ~ laposmenetű csavar: egy derékszögű négyszög csavarmozgásából származik; ~ élesmenetű csavar: egy egyenlőszárú háromszög csavarmozgásából származik – lásd 3. ábra! A téglalap, illetve a háromszög által súrolt térrész a csavarmenet.
3. ábra A 4. ábrán már nemcsak a csavarorsók, hanem a csavaranyák felületei is szemlélhetők.
5
4. ábra Az ábrák szerint e csavarokat csavar ~ és hengerfelület - darabok határolják. A csavarfelület definíciójának megfelel a henger is: a csavarmozgást végző vonal ekkor a henger egyenes alkotója, amely a csavar tengelyével párhuzamos helyzetű. A minket érdeklő esetek nem ennyire egyszerűek: a két legfontosabb csavarfelület esetén a csavarmozgást végző vonal – az alkotó – egy egyenes, amely valamilyen szögben metszi a csavartengelyt. Ennek megfelelően beszélünk: ~ laposmenetű egyenes vonalú csavarfelületekről – derékszögű a metsződés, és ~ élesmenetű egyenes vonalú csavarfelületekről – nem derékszögű a metsződés. Mindkettő gyakorlatilag is nagyon fontos, a gépészet, az építészet, stb. számára is.
A lapos - és az élesmenetű csavarfelületek leírása Ehhez tekintsük az 5. ábrát! Itt a csavartengellyel ε hegyesszöget bezáró egyenes alkotó egy b hosszúságú szakaszát rajzoltuk meg, a „0” és az „1” helyzetekben. A csavarfelület tetszőleges P pontját az u és φ változókkal adjuk meg, ahol:
b u b , 0 2 .
( 14 )
A P élesmenetű csavarfelületi pont koordinátái az 5. ábra szerint:
x(u, ) u sin cos , y(u, ) u sin sin , h z(u, ) u cos . 2 A P laposmenetű csavarfelületi pont koordinátái, az
( 15 )
6
5. ábra
, 2
bR
( 16 )
specializációval ( 15 ) - ből:
x(u, ) u cos , y(u, ) u sin , h z(u, ) . 2
( 17 )
Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Érdekes lehet még néhány további, könnyen megkapható eredmény tanulmányozása is. Ezek: a t = z tengelyű csavarfelület ~ meridiánmetszete, melyre φ = φ1 = konst. , ~ normálmetszete / keresztmetszete, melyre z = z1 = konst. A meridiánmetszetek az 5. ábráról közvetlenül leolvashatóan 2b hosszúságú egyenes szakaszok; az ábrán ennek csak a fele lett megrajzolva. A vetületi egyenesek egyenleteinek a felírását az Olvasóra bízzuk, mindkét felületre. A normálmetszetek egyenletéhez: ( 15 ) harmadik egyenletéből, z = z1 - gyel:
z1
h u1 cos , 2
innen:
7
u1
1 h z1 ; cos 2
( 18 )
továbbá ( 15 ) első egyenletével:
x(u1 , ) u1 sin cos
sin h z1 cos , cos 2
azaz:
h x(u1 , ) tg z1 cos ; 2
( 19 )
hasonlóképpen ( 15 ) második egyenletével:
y(u1 , ) u1 sin sin
sin h z1 sin , cos 2
azaz:
h y(u1 , ) tg z1 sin . 2
( 20 )
Most bevezetjük az
h r1 ( ) r(z1 , ) tg z1 2
( 21 )
képlettel értelmezett vezérsugarat; ezzel ( 19 ) és ( 21 ) így alakul:
x1 () r1 () cos ; y1 () r1 () sin .
( 22 )
A ( 22 ) képlet a metszeti síkgörbe polárkoordinátás és derékszögű koordinátás egyenletei közti átszámítást tartalmazza, így a metszeti görbe polárkoordinátás kifejezése, ( 21 ) - ből:
h h 2 h r1 ( ) tg z1 tg z1 tg 1 , ( 23 ) 2 2 h 2 ahol bevezettük a
1 2
z1 h
( 24 )
jelölést is. Tovább alakítjuk ( 23 ) - at, a
h 2 1* 1 k tg
,
újabb jelölések bevezetésével. Most ( 23 ) és ( 25 ) - tel:
( 25 )
8
r1 (1*) k 1 *.
( 26 )
A ( 26 ) képlet az Arkhimédész - féle spirális polárkoordinátás kifejezése – [ 5 ]; ezek szerint a laposmenetű csavarfelület keresztmetszeti görbéje egy Arkhimédész - féle spirális. Most nézzük meg, hogyan alakul a keresztmetszeti görbe ( 16 ) esetén! ( 17 ) harmadik egyenletéből:
z1
h 1 , innen: 2
1 2
z1 . h
(a)
Majd ( 17 ) első két egyenletével is:
z x1 (u) u cos 1 u cos 2 1 h z y1 (u) u sin 1 u sin 2 1 h
, ;
(b)
Képezve az utóbbiak hányadosát:
y1 z tg 2 1 , x1 h
(c)
vagyis:
z y1 (x1 ) tg 2 1 x1 . h
(d)
Ez egyenes egyenlete, vagyis a spirális egyenessé fajul el ( 16 ) fennállása esetén. Összefoglalva: ~ a laposmenetű ( zárt ) csavarfelület meridiánmetszetei és keresztmetszetei is egyenesek: a felület alkotói; ~ az élesmenetű ( zárt ) csavarfelület meridiánmetszetei egyenesek, keresztmetszetei pedig Arkhimédész - féle spirálisok. Az eddigiekben talált síkgörbék – kör, szinuszhullám, koszinuszhullám, spirális – szemléltetéséhez – 6., 7., 8., 9. ábra – az alábbi adatokat vettük fel: R = 3 cm; h = 2cm ; ε = 45°; z1 = 0. ( Az egyeneseket nem szemléltetjük. ) Az ábrák a Graph függvényrajzoló program „paraméteres” és „polárfüggvény” függvénytípusai alkalmazásával készültek.
9 y 4
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3 x(t)=3*cos(t) , y(t)=3*sin(t)
-4
6. ábra 3.5
z
3
2.5
2
1.5
1
0.5
y -3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5 x(t)=3*sin(t) , y(t)=t/pi
-1
-1.5
7. ábra
10 z
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x -3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.5
-1 x(t)=3*cos(t) , y(t)=t/pi
-1.5
8. ábra y 0.6
0.4 r(t)=t/pi
0.2
x -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
9. ábra
11 Meridiánkör - csavarfelület leírása Ez a felület akkor keletkezik, ha az alkotókör síkja tartalmazza a csavartengelyt. Egy ilyen felület egyenleteinek felírásához tekintsük a 10. ábrát!
10. ábra A meridiánkör egy P0 pontjának koordinátái – a 10. ábrán 0 u − :
x(u) R r cos u y(u) 0 , z(u) r sin u .
,
( 27 )
A φ szöggel elforgatott és ezzel egyidejűleg s úton eltolt meridiánkör, illetve az általa súrolt csavarfelület P1 pontjának koordinátái:
x(u, ) R r cos u cos , y(u, ) R r cos u sin , h z(u, ) r sin u . 2
( 28 )
12 A ( 28 ) egyenletek lehetnek például egy csigalépcső feletti félkörboltozat felületének egyenletei. Egy másik lehetséges felületfajta a zsinórmeneté, melynek profilja a 11. ábrán szemlélhető.
11. ábra Megjegyezzük, hogy h = 0 esetén a ( 28 ) - ból kapott forgásfelület neve: körgyűrűfelület ( tórusz; a 10. ábra esetében a gyűrű hosszában meg lett felezve ). Ezzel a feladatot megoldottuk. Javasoljuk, hogy az Olvasó írja fel a zsinórmenet felületének egyenleteit, az előzőek alapján.
Irodalom: [ 1 ] – Karl Lichtensteiner: Műszaki ábrázoló geometria B+V Lap és Könyvkiadó Kft., Budapest, 1994 [ 2 ] – Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995. [ 3 ] – Strommer Gyula: Ábrázoló geometria 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. [ 4 ] – Romsauer Lajos – Ábrázoló geometria Franklin - Társulat, Budapest, 1929. [ 5 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. december 21.
