(Cormen 2002) III PEMBAHASAN. yt : pendapatan rumah tangga pada periode t, dengan yt 0

5

Variabel s disebut variabel slack. Penambahan variabel slack bertujuan untuk mengubah pertaksamaan yang mengandung tanda “  ” menjadi sebuah persamaan. Pertaksamaan (1) benar jika dan hanya jika persamaan (2) dan pertaksamaan (3) benar. Penulisan variabel s biasanya disesuaikan dengan variabel yang digunakan dalam fungsi, misalnya: xn i untuk variabel slack pada pertaksamaan ke- i . Sehingga kendala ke- i menjadi: n

xn i  bi   aij x j , dengan xn i  0 . j 1

(Cormen 2002) 2.18 Persamaan Hamilton Persamaan Hamilton didefinisikan sebagai berikut: H  x t  , y t  ,  t  , t 

 f  x t  , y t  , t    t  g  x  t  , y  t  , t  dengan

 t 

Costate

variable

disebut

 t 

costate

variable.

menaksir

nilai

marginal atau mengikuti perubahan dari variabel state x  t  . (Dowling 2001) 2.19 Fungsi Utilitas (Utility Function) Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut: U t  U  x1 , x2 ,..., xn  dengan U t adalah kegunaan/utilitas total, dan x1 , x2 ,..., xn

merupakan banyaknya produk

yang dikonsumsi. Kegunaan total barang yang dikonsumsi seorang individu biasanya makin meningkat pada saat dia mengonsumsi suatu produk. Hingga pada tingkat tertentu, kegunaan marginalnya menjadi lebih kecil dibandingkan dengan sebelumnya. Hal ini terjadi sejalan dengan kejenuhan individu bersangkutan akan produk itu. (Pass et al 1994)

III PEMBAHASAN Analisis mengenai pengaruh kebijakan moneter dan fiskal terhadap pertumbuhan ekonomi dibuat atas dasar sebuah model dinamik dengan variabel-variabel tertentu dari tipe Sidrauski-Brock (Obsfeld & Rogoff, 1983). 3.1 Model Perilaku Ekonomi Sektor Rumah Tangga dan Pemerintah Pada bagian ini akan dibahas sebuah model dinamik, dengan asumsi: 1. Rumah tangga dengan waktu hidup tanpa batas dan memperoleh pendapatan konstan tiap periode. 2. Rumah tangga membayar pajak konstan dan konsumsi tiap periode konstan. 3. Ada agen swasta yang representatif dan sektor pemerintah yang terdiri atas gabungan otoritas fiskal dan moneter (bank sentral). 4. Tidak ada ketidakpastian dan pasar dalam kondisi sempurna. Variabel-variabel yang digunakan sebagai berikut: t : periode waktu. Pada model diskret, interval antar satuan waktu adalah sama.

yt : pendapatan rumah tangga pada periode

t , dengan yt  0 . ct

:konsumsi pada periode

t , dengan

ct  0 . ht

: pengeluaran untuk pembayaran lumpsum tax pada periode t .

Pt : nilai uang dari output pada periode t . M t : jumlah uang pada awal periode t (atau di akhir periode t -1 ).

Bt : obligasi nominal yang belum dilunasi pada awal periode t (atau di akhir periode t -1 ).

it : suku bunga nominal bebas risiko untuk satu periode t .

rt : suku bunga real bebas risiko untuk satu periode t .

 t : tingkat inflasi. xt : variabel slack. g t : belanja/pengeluaran real pemerintah pada periode t .

6

Diketahui Persamaan Fisher: 1  it 1  rt  1 t

Wt 1

(1)

Pt 1

dengan, 1   t 

. Pt Kendala anggaran rumah tangga untuk suatu periode: B Pt ct  M t 1  t 1  M t  Bt  Pt yt  Pt ht , 1  it (2) t  0 Dengan kata lain, jumlah pengeluaran lebih kecil atau sama dengan pendapatan setelah dikurangi pajak. Didefinisikan kekayaan real, Wt , sebagai berikut: Wt  Bt  M t .

(3)

Untuk mengubah pertaksamaan (2) menjadi sebuah persamaan, diberikan variabel slack xt , x  0 , t  0 . t

Persamaan menjadi: Pc  M t 1  t t



Bt 1 1  it

Bt 1

 M t 1  

(2)

1  it

dapat

disederhanakan

T 1  k 1  1  Wt  j       j 0 1  i k 0 j 0 1  i t j   t j  

T 1



1

= 

[ Pt 1  ht  k  g t  k  

 Wt  Pt yt  Ph  Pc t t t t

1  it  k

M t  k 1  xt  k ]. (7)

(Bukti lihat Lampiran 1) Jika kondisi transversalitas:



Bt  M t  

k 0

 Wt  Pt  yt  ht  ct 



1

(8)

1  it Pada kondisi kesetimbangan, saat pengeluaran yang direncanakan sama dengan pendapatan, persamaan di atas mengikuti kaidah umum dalam ilmu ekonomi, yakni ct  g t  yt , t  0 . (5) persamaan

(4)

 k 1 1    [ Pt  k  ht k  gt  k   j 0 1  it  j  it  k

1  it  k

(9)

M t  k 1  xt  k ]

Persamaan (9) menggambarkan kondisi kesanggupan pemerintah untuk membiayai pengeluaran, termasuk melunasi hutangnya. Dengan menyubstitusi kembali g t  yt  ct pada persamaan (9), maka akan diperoleh persamaan (10) yang menggambarkan kondisi kesanggupan rumah tangga untuk membiayai pengeluarannya:

 k 1 1  it  k M t  k 1  [ k 0  j 0 1  i 1  i   t j t k   

Bt  M t  

- Pt  k  yt  k - ht  k - ct  k   xt  k ].

(4)

.

demikian

it  k

dipenuhi, maka persamaan (7) menjadi:

Karena Wt 1  Bt 1  M t 1 , maka dengan menambahkan variabel slack, diperoleh persamaan berikut W i x  t 1  t  Wt  Pt  yt  ht  ct   Mt 1 t . 1  it 1  it 1  it Atau dapat ditulis Wt 1 i  Wt  Pt  yt  ht  ct   M t 1 t 1  it 1  it

Dengan menjadi

xt

  WT  j  0 T  j  0 1  i t j  

Mt 1  Bt 1 i  Wt  Pt  yt  ht  ct   Mt 1 t 1  it 1  it

xt

M t 1 

dapat dituliskan sebagai berikut: W i x Wt  t 1  Pt  ht  g t   t M t 1  t . 1  it 1  it 1  it (6b) Dengan Persamaan Beda, persamaan (6b) dapat dipecahkan untuk mendapatkan hasil berikut: Wt  Bt  M t

lim  

 M t  Bt  Pt yt  Pt ht

1  it

it

1  it 1  it 1  it (6a) Untuk mendapatkan Wt , persamaan di atas

 T 1

Mt 1  Mt 1it  Bt 1



 Wt  Pt  g t  ht  

(10) 3.2 Model Masalah Optimasi Misalkan kita notasikan: Z t  M t 1

(11)

dan faktor diskon  nilainya sama dengan:

 

1 1 

,  0

(12)

7

dengan  >0 adalah suku bunga subjektif. Konsumen memaksimumkan fungsi J yang diberikan oleh persamaan: 



t

J    U  ct ,



t 0

  Pt 

Zt

Persamaan Hamilton-nya: (Altar, 2003) t



Zt 



Pt 

H t   U  ct ,

(13)

   t {(1  it )[Wt  Pt ( yt

 ht  ct )]  it Z t  xt }  t {(1  it )[Wt

tersebut merupakan fungsi naik, konkaf dan terturunkan dua kali:

 Pt ( yt  ht  ct )]  (1  it ) Z t  xt }  t xt (22) dengan  t melambangkan variabel dual; t

(14)

dan t adalah pengali Lagrange (Lagrange

dengan U .,. adalah fungsi utilitas. Fungsi U c ., .  0, U z ., .  0

dan Matriks Hess-nya:

 U cc U cz  U U   zc zz 

(15)

adalah definit negatif, dengan U U ; Uz  ; Uc  c z

U cc 

 2U 2

;

U zz 

 2U 2

;

U cz 

c z 2 U . dan U zc  cz Lebih jauh lagi,  Z  Z lim U c  c,   lim U z  c,    c 0  P  z 0  P 

 2U ; zc

H t x

 Z   0.   P

c 

(23)

(17)

Agen memaksimumkan (13) terhadap kendala berikut: Wt 1  1  it  [Wt  Pt ( yt  ht  ct )]  it Z t  xt

Wt 1  Z t

(dengan W0 ditentukan)

xt  0

 T 1

(18) (19) (20)

  WT  j  0 . T  j  0 1  i i j   lim  

1

0.

Sehingga diperoleh (16)

lim U c  c,

multiplier) yang sesuai dengan kendala (19) dan (20). Syarat perlu untuk kondisi optimalnya adalah sebagai berikut: H t 0 c H t 0 Z

(21)

Kendala (19) dapat dituliskan sebagai berikut: Bt 1  M t 1  M t 1 atau Bt 1  0 . (19’) Untuk memperoleh kondisi yang optimal, digunakan Prinsip Maksimum untuk sistem dinamik dengan variabel diskret.

   1  it  Pt  t  t   Pt   Z  1 t  U z  ct , t  .  it t  1  it  t  Pt  Pt t



 U c  ct ,

Zt

 t  t  t (24) (Bukti lihat Lampiran 2) Persamaan dinamik dari variabel dual  t adalah sebagai berikut: (Altar, 2003) H t  t 1  Wt sehingga  t 1  1  it  t  1  it  t .

(25)

(26)

Untuk pengali Lagrange (berdasarkan Prinsip Maksimum), diperoleh (Altar, 2003): t  0 ; t Wt 1  Z t   0

t  0 ;

t . xt  0 . (27a)

8

Dari persamaan t  0 ;

t . xt  0 , dapat

dilihat bahwa jika xt  0 maka t  0 . Dalam persamaan membuat Sementara

hal ini, persamaan ketiga pada (24) menjadi  t  t , sehingga kondisi di atas tidak optimal. itu, jika xt  0, t  0 , maka

kendala anggaran konsumen (2) pada kurva/lintasan optimal dipenuhi sebagai sebuah persamaan, yaitu Bt 1

Pc t t  M t 1 

1  it

 M t  Bt  Pt yt  Pt ht ,

t  0

(27b) Dari persamaan pertama (27a), bila t  0 maka Wt 1  Z t  0 ,

 Bt 1  M t 1  Z t  0 Karena M t 1



Z t , maka dapat ditulis

Dengan kata lain, jika t  0 , maka agen tidak akan membeli obligasi pada periode bersangkutan. Didefinisikan:

t t

; t 

t t

,

  maka kondisi optimal (24) menjadi:



(28)

Zt

t  0 , sehingga  t  0 . Persamaan (30), (32), (33) menjadi: 1 qt  qt 1 (34)  1  it  V '  ct   1  it  Pq t t

(35)

 Zt    Pit t qt .  Pt 

(36)

 '

V '  ct 1   1  it 1  Pt 1qt 1 .

Dengan mengambil rasio kedua persamaan tersebut dan menggunakan persamaan (34), diperoleh V '  ct 

V '  ct 1 

V '  ct 

V '  ct 1 

atau qt 1   t .  1  it  (Bukti lihat Lampiran 4)

Berdasarkan persamaan (27a), jika Bt 1  0 (agen membeli obligasi) maka nilai



1

Pt

1

 1  it 1 Pt 1

.

(37)

(38)

periode t  1 , persamaan (37) menjadi:

(Bukti lihat Lampiran 3). Persamaan dinamiknya sebagai berikut: qt 1   1  it  qt   t  1

(33)

dengan  t 1 menunjukkan tingkat inflasi pada (29)

qt 

 t

(Bukti: lihat Lampiran 5) Diketahui P 1   t 1  t , Pt 1

   1  it  Pt  qt   t   Pt   Z  U z  ct , t   Pi q  Pt 1  it   t t t t  Pt  U c  ct ,

Z   '  t   it Pq  Pt (1  it ) t . t t P

Penulisan kondisi optimal (35) untuk dua periode berurutan adalah sebagai berikut: V '  ct   1  it  Pq t t

 Bt 1  0 .

qt 

Dalam kasus ini, kondisi optimal (29) menjadi: (32) V '(ct )  (1  it ) Pt ( qt   t )

(30)

3.3 Analisis Kualitatif Lintasan Optimal Untuk mempermudah analisis ini, diasumsikan bahwa fungsi utilitas dapat dipisahkan dalam dua argumen berikut: Z Z (31) U (ct , t )  V (ct )   ( t ) . Pt Pt



1  1  rt 1

.

(39)

(Bukti: lihat Lampiran 6) Dengan asumsi bahwa fungsi dari konsumsi di atas adalah fungsi satu-satu, maka persamaan (39) berimplikasi pada situasi berikut: a) Jika rt 1   , maka ct  ct 1 . b)

Jika rt 1   , maka ct  ct 1 .

c)

Jika rt 1   , maka ct  ct 1 .

Oleh karena itu, perkembangan inflasi dan suku bunga nominal bebas risiko menyebabkan konsumsi dapat menjadi konstan, naik ataupun turun. Selanjutnya, dengan mengambil rasio persamaan (36) untuk dua periode berurutan

9

dan menggunakan persamaan (34), diperoleh

Z   ' t  1  Pt   Pt it  Z  Pt 1 it 1  1  it   '  t 1   Pt 1 

Karena WT  BT  M T dengan BT  0 dan

MT  0 , (40)

kondisi

transversalitas

menjadi:

lim  T qT BT  0

(46a)

lim  T qT M T  0 .

(47a)

T 

atau

T 

Dari persamaan dinamik (34) diperoleh:

Z   ' t   Pt   Pt it 1   .  Z  Pt 1 it 1 1  it  '  t 1   Pt 1 

(41)

Inflasi konstan, yaitu

b)

it  it 1 .

c)

  r  1   1 r 

Pt 1

 1  .

1 i 1 

 Zt    Pt   1 Z   '  t 1   Pt 1  .

T

 1  M  0.  T T   1  i  (42)

Ini berarti bahwa barisan

M T tN harus

Prinsip kondisi (44)

Substitusikan menggunakan persamaan (28), maka persamaan (44) menjadi: lim  T qT WT  0 . (45) T 

(46c)

lim 

  1. Mt Pt 1 Jadi, dengan persamaan (13), asumsi (b), dan asumsi (c), diketahui bahwa permintaan terhadap uang tumbuh dengan laju yang sama dengan pertumbuhan inflasi. M t 1  1    .M t . (43)

T 

(47b)

T

Pt

3.4 Kondisi Transversalitas Untuk lintasan optimal, Maksimum menyediakan transversalitas atau syarat batas: lim  T WT  0 .

(46b)

 1  B 0  T T   1  i 

Karena Z t  M t 1 , maka M t 1

 1   BT  0 T  k  0 1  i  k T  1  lim    MT  0 . T  k  0 1  i  k lim  

lim 

atau Pt 1

(48)

maka kondisi transversalitas menjadi:

 '

Pt

T



Jika tingkat bunga nominal bebas risiko konstan, yaitu (49) ik  ik 1  i , k  0

.

Maka, dari (41) diperoleh:

Z t 1

 1   q0  T k 1  1  ik  1

T

Pt

a)



qT 

(Bukti lihat Lampiran 8) Dengan menyubstitusi (48) ke persamaan (46a) dan (47a), diperoleh:

(Bukti lihat Lampiran 7) Jika diasumsikan bahwa:

Zt

(45)

barisan

(47c)

BT tN dan

naik lebih lambat dari pada

 1 t  .    1  i  tN

3.5 Kasus Fungsi Utilitas Tipe Bernoulli Diasumsikan bahwa fungsi utilitas V (.) dan  (.) pada persamaan (31) merupakan tipe Bernoulli. Misalkan: 1 1  V c  c 1-

Z  t  Pt

1

 1  Zt    1  P    t

(50) dengan   (0,1) Dengan mengetahui konsumsi pada dua periode berurutan di persamaan (39), diperoleh persamaan konsumsi pada kondisi optimal sebagai berikut:

10

1

 1  rt 1   c . ct    t 1  1 

(51a)

(Bukti lihat Lampiran 9) Persamaan (51a) menggambarkan sebuah persamaan dinamik dengan variabel kontrol ct . Persamaan (51a) menunjukkan bahwa, untuk tujuan mengetahui dinamika konsumsi yang optimal, cukup dengan mengetahui perubahan dari tingkat suku bunga real bebas risiko dan nilai awal c0 untuk konsumsi. Dengan Persamaan Beda, persamaan (51a) dapat dipecahkan untuk mendapatkan hasil berikut: 1

 1  rk   c ct     0 k 0  1    t 1

(51b)

(Bukti lihat Lampiran 10) Dengan substitusi maju, diperoleh 1

ct T

 1  rt  k   c .    t k 0  1    T

(52)

(Bukti lihat Lampiran 11) Terkait permintaan terhadap uang, kita bagi persamaan (35) dengan persamaan (36), sehingga diperoleh persamaan berikut:

 Zt    Pt   it .

 '

V '  ct 

(53)

1  it

bentuk

1

 i     t  ct . Pt  1  it 

Zt

(54)

(Bukti lihat Lampiran 12) Karena Z t  M t 1 , maka persamaan (54) dapat ditulis sebagai berikut: 1

 i    Pt  t  ct .  1  it 

(55)

Dari persamaan (55) dapat disimpulkan bahwa permintaan terhadap uang, M t 1 , meningkat selama Pt dan ct naik. Diketahui: 1   t 

Pt 1 Pt

.

Misalkan: mt 1 

M t 1 Pt 1

Pt 1

, maka persamaan (55)

1 t

dapat ditulis sebagai berikut: 1

M t 1

 1  it       ct 1   t  it  Pt 1

1

M t 1

 1  it      ct . 1   t  it  1

Pt 1 Berdasarkan persamaan (56), diperoleh persamaan berikut: 1

 1  1  it    mt 1   ct . 1   t  it 

(56)

(57)

Dapat disimpulkan bahwa mt 1 akan turun mengikuti kenaikan tingkat inflasi,  t . Jika tingkat suku bunga nominal dan tingkat inflasi konstan: 1 i (58)  1  1 r  1  maka, berdasarkan persamaan (51a), dapat dikatakan bahwa konsumsi konstan. ct  ct 1 , t (59) Dalam kasus ini, permintaan real terhadap uang juga akan menjadi konstan: 1

Dengan menyubstitusikan turunannya diperoleh:

M t 1

Karena Pt 



 1  i  c  . m   1   i  1

(60)

Dari persamaan (58) kita memperoleh persamaan tingkat suku bunga nominal: (61) i  (1   )(1   )  1 . Sehingga persamaan permintaan real terhadap uang pada persamaan (60) di atas akan menjadi: 1

    1  1 m   c . 1 1    1  (1   )(1   )  (62) Karena itu, dengan asumsi di atas, jika bank sentral membuat keputusan seputar besarnya tingkat inflasi,  , (konstan), maka besarnya tingkat suku bunga diberikan oleh persamaan (61) dan permintaan real terhadap uang diberikan oleh persamaan (62).

11

3.6 Kesesuaian antara Kebijakan Fiskal dan Moneter Interaksi antara kebijakan fiskal dan moneter tetap menjadi topik yang menarik untuk dibahas oleh para ahli makroekonomi. Pada bagian ini, diambil beberapa asumsi mengenai kebijakan fiskal dan moneter, untuk melihat bagaimana kondisi kesanggupan membayar fiskal terpenuhi (juga kondisi transversalitas (46b) dan (47b)). Dalam kaitannya dengan kebijakan moneter oleh bank sentral, diasumsikan bahwa kondisi-kondisi berikut terpenuhi: 1. Tingkat inflasi konstan. 2. Tingkat suku bunga nominal konstan. Selanjutnya, diasumsikan juga bahwa tingkat suku bunga nominal telah diberikan pada persamaan (61), yang menyebabkan konsumsi konstan. Untuk penyederhanaan, diasumsikan juga pendapatan, y , sama untuk tiap periode:

yt 1  yt  y ,

t  0 .

(63)

Belanja real pemerintah tiap periode adalah g t  yt  ct . Karena yt dan ct tetap, maka g t juga tetap. Sehingga dapat ditulis: g t 1  g t  g , t  0 .

(64)

Jika kita membagi persamaan anggaran rumah tangga (27b) dengan Pt , maka diperoleh: M P B P 1 ct  t 1 t 1  t 1 t 1 Pt 1 Pt Pt 1 Pt 1  i 

Mt



Bt

Pt Pt Misalkan B bt  t Pt

1 r

seignorage. St  ht   m  g .

(70)

Dalam kaitannya dengan kebijakan fiskal, diasumsikan lump-sum tax-nya konstan: (71) ht  h, t  0 . Dalam kasus ini, surplus seignorage adalah konstan: St  S , t  0

termasuk (72)

dan persamaan (69b) menjadi: bt 1  bt  S 1 r atau bt 1  1  r  bt  1  r  S .

(73a) (73b)

Dengan persamaan beda, persamaan (73b) dapat dipecahkan untuk memperoleh hasil berikut: 1 r T 1  r T  1 S . bT  1  r  b0   r  (74) (Bukti lihat Lampiran 14) Jika kedua ruas dibagi dengan 1  r  : T

(65)

bT

 y - ht

1  r 

T

 b0 

 1  S 1  T  r  1  r  

1 r

(75) ; mt 

Mt Pt

.

(66)

Karena y - c  g , maka persamaan (66) dapat ditulis sebagai berikut: bt 1

yang besarnya diberikan pada persamaan (62). Persamaan (67) dapat ditulis sebagai berikut: bt 1 (69a)  bt   g - ht  -  m 1 r atau bt 1 (69b)  bt - S t 1 r dengan St menunjukkan surplus termasuk

 bt   g - ht    mt 1 1     mt  .

Diketahui bahwa, B bT  T PT

PT  1    P0 , T

maka dari persamaan persamaan berikut:

(67) (Bukti lihat Lampiran 13) Berdasarkan asumsi mengenai tingkat inflasi dan tingkat suku bunga nominal di atas, dapat disimpulkan bahwa permintaan real terhadap uang juga konstan: mt 1  mt  m, t  0 (68)

BT

1  i 

T

P0



B0 P0



(75),

(76) diperoleh

  1 T   S 1   r  1 r  

1 r

(77) dan

lim

T 

BT

1  i 

T

P0

 b0 

1 r S. r

(78)

12

Kondisi transversalitas akan dipenuhi hanya jika: r (79) S b0 . 1 r Sehingga besarnya jumlah lump-sum tax adalah r (80) h  g -m  b0 1 r Jika nilai pajak diberikan oleh persamaan (80), maka dari persamaan dinamik (73a), diperoleh (81) b0  b1  b2  ...  bt , t  N Kewajiban real pemerintah bernilai konstan dan kewajiban nominal naik berdasarkan tingkat inflasi:

BT  1    B0 . T

m  m0

(83) M0

1



t  0 .

(86) nominal (87)

Dengan menggunakan persamaan (31) dan (50), persamaan (13) dapat ditulis sebagai berikut: 1  1 1 1  M t 1   J  ct    . t 0 1 -  1 -   Pt     

(88) (Bukti lihat Lampiran 16) Berdasarkan solusi optimal persamaan (85) dan (86), diperoleh

J 

1

c

 M0   .  -   P0 

1

 Dari persamaan (84), menjadi: J   

Dengan menggunakan persamaan (62), diperoleh

c  1   

t

uang

pada

(89)

persamaan (89) 1

diberikan.

P0

M t  1    M 0 ,

(82)

Dari persamaan kendala anggaran, untuk t  0 , maka:

dengan m0 

Sehingga permintaan diberikan oleh:

 1    1     1     1   1    m0 .      

(84) (Bukti lihat Lampiran 15) Dari hipotesis-hipotesis sebelumnya, solusi yang optimal adalah c0  c1  c2  ...  ct  c, t  0 (85) dengan c diberikan pada persamaan (84).

m0  m1  m2  ...  mt  m, t  0 .

1 

 



1   

1 

 -

 1    1     1     1   1    m0     

m0

(90) Dapat dilihat bahwa fungsi utilitas optimal bergantung pada tingkat inflasi. Karena itu bank sentral berperan penting dalam proses optimasi fungsi utilitas, melalui pengaturan tingkat inflasi, yang berdampak pada maksimalnya konsumsi sesuai dengan jumlah uang real.