Opakování
Co známe z minulé přednášky ? Co je to signál? Co všechno může být signálem? Jaké typy signálů známe? Které základní signály jsme poznali?
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
1 / 35
Obsah
Čím se budeme zabývat? Co je to systém. . . Jak ho popsat. . . Jak systém reaguje na signál. . . Co udělá systém se signálem. . . Jaké jsou typy systémů. . . Jak systémy spojovat. . .
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
2 / 35
Úvod
Co nás zajímá?
VSTUPNÍ SIGNÁL VÝSTUPNÍ SIGNÁL
Biologický systém - evokované potenciály: diagnostika i výzkum činnosti mozku a vazeb signálů v těle člověka Jak získat užitečnou informaci? T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
3 / 35
Úvod
Co nás zajímá? +15V R6 10K VSTUPNÍ SIGNÁL
C4 R5 P1
M22 D2
C5
R7 10K T5
68K
R8 T4 C6
10K 10M
T6 VÝSTUPNÍ SIGNÁL
Zpracování signálu: pouze vstup/výstup nebo i signály v jednotlivých místech zapojení? Jak kdy
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
4 / 35
Úvod
Co nás zajímá?
VSTUPNÍ SIGNÁL
SYSTÉM
VÝSTUPNÍ SIGNÁL
Vnější popis: systém=černá skříňka; systém přijímá vstupní signál (buzení), produkuje výstupní signál (odezvu) Ovšem: odezva závisí i na (počátečním) stavu systému (el. obvod, člověk a jeho rozpoložení) Vnitřní popis: umožňuje nahlédnout do struktury systému
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
5 / 35
Úvod
Co pro to musíme udělat? Zjednodušit problém, pokud je to přínosné. . . Popsat vlastnosti systému (fyzikální popis systému). . . Popsat vstupní signál. . . Určit stav systému. . . Určit výstupní signál. . .
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
6 / 35
Příklad - čarodějnice na pružině
Čarodějnice na pružině
Definice problému: Jak se bude čarodějnice pohybovat, když za ní budeme tahat?
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
7 / 35
Příklad - čarodějnice na pružině
Zjednodušení problému: Uvažujme jen vertikální pohyb Považujme čarodějnici za hmotný bod :-) Pružina se bude chovat hezky (tedy lineární vztah pro vratnou sílu F = −kz) Ztráty pouze třením
v pružině
Žádné rušení, apod.
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
8 / 35
Příklad - čarodějnice na pružině
Popis systému
k z
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
β m
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
9 / 35
Příklad - čarodějnice na pružině
Fyzikální popis systému
β
k z
m
Hlavní myšlenka: rovnováha sil použijeme 2. Newtonův zákon: F = ma Jaké působí síly? Budící, tlumící, vratná
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
10 / 35
Příklad - čarodějnice na pružině
Fyzikální popis systému
k
β m
z
Hlavní myšlenka: rovnováha sil použijeme 2. Newtonův zákon: F = ma Jaké působí síly? Budící, tlumící1 , vratná
Fo (t) − β
dz d2 z − kz = ma = m 2 dt dt
(1)
1
pro malé rychlosti je síla lineárně závislá na rychlosti (laminární proudění)=Stokesův vztah, pro větší rychlosti kvadratická závislost (turbulentní proudění), pro rychlosti větší než Machovo číslo kubická závislost (rázová vlna) T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
11 / 35
Příklad - čarodějnice na pružině
m
d2 z dz +β + kz = Fo (t) 2 dt dt
Zkusme to napsat jinak: ½ ¾ d2 d m 2 + β + k z = Fo (t) dt dt
(2)
½ ¾ d d2 m 2 +β +k = Fo (t) z |{z} | {z } dt dt | {z } výstupní signál vstupní signál popis systému, operátor
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
12 / 35
Příklad - čarodějnice na pružině
½ ¾ d2 d m 2 +β +k z = Fo (t) |{z} | {z } dt dt | {z } výstupní signál vstupní signál popis systému
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu! m, β, k jsou koeficienty diferenciální rovnice nejvyšší derivace udává řád
Je to všechno? Ne! Musíme znát ještě stav systému, tedy počáteční podmínky z(0) = c1 , dz dt (0) = c2 rovnice 2. řádu ↔ 2 počáteční podmínky
Řešení rovnice potom platí pro dané počáteční podmínky c1 , c2 buzení (vstupní signál) Fo (t) Demonstrace řešení - průmět na pohybující se papír T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
13 / 35
Příklad - kyvadlo
Matematické kyvadlo Tc θ
mglsinθ
Rovnice2 nebo přehledněji
l mg
Tc − mgl sin θ = J θ¨ g Tc θ¨ + sin θ = l ml 2
(3)
Nelineární! diferenciální rovnice 2. řádu (θ¨ je úhlové zrychlení) 2
vychází z rovnice M = J², která je obdobou 2. Newtonova zákona F = ma. Místo rovnosti sil platí rovnost momentů. M
zastupuje sílu F , moment setrvačnosti J zastupuje hmotnost m a úhlové zrychlení ² = θ¨ zastupuje zrychlení a. Pro hmotný bod platí J = ml 2 . Na kyvadlo působí dva momenty v opačných směrech: moment Mg = mgl sin θ způsobený gravitací a externí moment (buzení) Tc . Součet momentů Tc − mgl sin θ uděluje hmotnému bodu s momentem setrvačnosti J úhlové zrychlení ¨ ² = θ. T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
14 / 35
Příklad - kyvadlo
Nelineární diferenciální rovnice se nám nelíbí!
:-(
V určitých případech můžeme problém zjednodušit linearizací: sin(θ) ≈ θ, tedy
g Tc θ¨ + θ = (4) l ml 2 Linearizace funguje jen pro malé výchylky kolem rovnovážné polohy = pracovního bodu Všimněme si, že chybí tlumení (člen u první derivace) - dáno zjednodušením problému ↔ matematické kyvadlo Opět musíme znát ještě stav systému, tedy počáteční podmínky ˙ θ(0) = c1 , θ(0) = c2
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
15 / 35
Příklad - kyvadlo
Jednoduchá realizace kyvadla (už ne matematického)
Co představuje jednotkový skok?
zanedbání nehomogenit proudu vzduchu
A jak to vlastně kmitá?
Pro lineární model platící pro malé výchylky je to v ustáleném tvaru sinusový průběh Jak vypadá celá odezva se naučíme v příští přednášce T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
16 / 35
Model kyvadla bez tlumení pro SIMULINK
Model poskytuje numerické řešení diferenciální rovnice - pro nás velmi příjemné :-)
2 Step
Gain1
Add
1 s
1 s
Integrator
Integrator1
Scope
Trigonometric Function
Gain
sin
-K-
Add1
1 s
1 s
Integrator2
Integrator3
Gain2 -K-
Jak tento model sestavíme? T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
17 / 35
Řešení Výstup modelu kyvadla pro jednotkový skok
Numerické řešení diferenciální rovnice (tiny pro daný vstup a počáteční podmínky ) = výstup modelu kyvadla zde: pro jednotkový skok a nulové poč. podm.
Porovnání řešení nelineární a lineární diferenciální rovnice 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1 5
10
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
15
20
25
30
Předmět A3B31TES Př. 2
35
40
45
únor 2010
18 / 35
Řešení Výstup modelu kyvadla pro jednotkový skok
ALE POZOR :-x i mistr tesař se utne numerické řešení diferenciální rovnice nemusí vždy dát správný výsledek :-x Porovnání řešení nelineární a lineární diferenciální rovnice 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
10
20
30
40
Proč?????? Vrátíme se k tomu později T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
50
60
70
80
:-o
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
19 / 35
Shrnutí - typy systémů
Systémy rozlišujeme3 na: Lineární X Nelineární Bez paměti X S pamětí Deterministický X Stochastický Stabilní X Nestabilní Stacinární X Nestacionární Bez zpětné vazby X Zpětnovazební Kauzální X Nekauzální Podle počtu vstupů a výstupů ...
3
podle rovnice, která je popisuje
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
20 / 35
Typy systémů
Lineární X Nelineární: kyvadlo s malým a velkým rozkmitem Další příklad: limitér x[n]
y[n]
0.1, x > n @ ! 0.1 ° y > n @ ® 0.1, x > n @ 0.1 ° ¯ x > n @ , 0.1 d x > n @ d 0.1
Vstup ⇐ a ještě: lineární: y [n] = x[n] + x[n − 1] nelineární: y [n] = (2x[n] − x 2 [n])2 schema: T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
21 / 35
Typy systémů
Bez paměti X S pamětí:
paměť ↔ prvek akumulující energii nebo klopný obvod; brzda - lanko X voda
- přehrada; odporový dělič X RC článek;
Deterministický X Stochastický Stabilní X Nestabilní -
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
při stejných podmínkách alternativy (překvapení)
kyvadlo X inverzní kyvadlo (kladivo na obr., večerníček na kole . . .)
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
22 / 35
Typy systémů
Převzato z www.ceskatelevize.cz, upraveno
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
23 / 35
Typy systémů
Stacinární X Nestacionární -
parametry systému = koeficienty dif. rovnice konstantní X proměnné
(hubnutí)
Bez zpětné vazby X Zpětnovazební -
např. stabilizace systému: večerníček bez záporné
zpětné vazby spadne
Kauzální X Nekauzální -
vypínač, schody v metru X zpracování obrázků (data uložena v paměti!!!)
Podle počtu vstupů a výstupů - SISO (Single Input Single Output), SIMO, MISO, MIMO (Multiple Inputs Multiple Outputs) Kauzální zesilovač digitální a analogový (spojitý v čase) +Un
R1
RC
Uout
Systém vzorkování A / D pĜevod
x[n]
2
Uin
y[n] D / A pĜevod
R2
RE Au = -RC/RE
y[n] = 2x[n]
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
24 / 35
Typy systémů
Kauzální digitální filtr typu dolní propust a pásmová propust
(naučíte se navrhovat a
používat)
y[n]
x[n]
+
+ -
x[n]
+
+ +
+
D
y[n]
D 1.97
+
D
D
D
0.98
D -0.98
y > n @ 0.98 y > n 1@ x > n @ x > n 1@
y > n @ 1.97 y > n 1@ 0.98 y > n 2@ x > n @ x > n 2@
y = filter([1 1], [1 -0.98], x);
y = filter([1 0 1], [1 -1.97 0.98], x);
Námět: poslech součtu a rozdílu vzorků (dopředné cesty obou filtrů) Vstup ⇐ Nekauzální diferenční filtr: y [n] = x[n + 1] − x[n − 1]
zpožděním výstupu o 1 vzorek lze
použít pro výpočet v reálném čase bez uložení vzorků signálu T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
25 / 35
Typy systémů
Nekauzální zpracování obrazu -
vzorky uloženy v paměti → nekauzální zpracování je možné
Metoda souĜadnice
koeficienty
x-1 y-1
x y-1
x+1 y-1
1
2
1
1
0
-1
x-1 y
x y
x+1 y
0
0
0
2
0
-2
x-1 y+1
x y+1
x+1 y+1
-1
-2
-1
1
0
-1
horizontální hrany
vertikální hrany
HH 2 VH 2
Obrázky
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
26 / 35
Zapojení systémů
Základní zapojení systémů Sériové (kaskádní) Paralelní Zpětnovazební Schemata: Systém 1 Systém 1
Systém 1
Systém 2
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Systém 2
Předmět A3B31TES Př. 2
Systém 2
únor 2010
27 / 35
Formální popis systémů
Dále už budeme požívat jen formální popis systémů Tedy např. místo m
d2 z dz +β + kz = Fo (t) dt 2 dt
budeme psát a2 y¨ + a1 y˙ + a0 y = x Proč formální popis? Protože různé systémy/úlohy mnohdy vedou na stejné rovnice. Nehledě na fyzikální pozadí nám pak bude stačit znát kvalitativní chování příslušné formální rovnice
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
28 / 35
Řešení diferenciálních rovnic
Řešení diferenciálních rovnic: klasické metody -
matematické učebnice, symbolický TOOLBOX MATLABu, MAPLE, MATEMATIKA, . . .
použití Laplaceovy transformace numerické metody -
přednáška 6 a dále
SIMULINk & MATLAB: ODE23, ODE45
Řešení závisí na: vlastnostech systému, tedy tvaru diferenciální rovnice -
lin./nelin, . . .
na buzení (vstupním signálu) na počátečních podmínkách
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
29 / 35
Numerické řešení diferenciálních rovnic
Hlavní kroky numerického řešení diferenciálních rovnic: rozvoj nelineární funkce do Taylorovy řady v bodě a: 2 00 0 (b−a)3 000 f (b) = f (a) + (b − a)f (a) + (b−a) 2! f (a) + 3! f (a) + ... použijeme konečný počet členů řady - jejich součet aproximuje hodnotu 0 nelineární funkce v bodě b : f (b) ≈ f (a) + (b − a)f (a) Tento postup se postupně opakuje pro vybrané diskrétní hodnoty nezávislé proměnné (např. čas) Př. Rungova-Kuttova metoda používá několik prvních členů rozvoje (funkce ODE23, ) a je rovněž základem simulace v SIMULINKU
ODE45 - čísla značí použité členy
Důležité: numerické řešení je citlivé na volbu diskretizačního kroku T = b − a !!! Vysvětlení chybného řešení pro kyvadlo -
ilustrace postupné aproximace funkce sinus
Rungovou-Kuttovou metodou
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
30 / 35
Příklady aproximace funkcí
Obecný tvar Taylorova polynomu: 2 00 0 f (x) = f (a) + (x − a)f (a) + (x−a) 2! f (a) + kde Rn+1 je zbytek
(x−a)3 000 3! f (a)
+ ... + Rn+1
Příklad1: náhrada sinousovky/kosinusovky v bodě a = 0 polynomem 4. stupně: 3 sin(x) = x − x3! + R5 použili jsme sin(x) ≈ x pro linearizaci popisu kyvadla 2 4 cos(x) = 1 − x2! + x4! + R5 Příklad2: aproximace odmocniny √ 1 1 + x = 1 − 2x − 8x1 2 + ... pro |x| ≤ 1
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
31 / 35
Soustava diferenciálních rovnic
Motivace: Chceme-li použít funkce ODExy k nalezení numerického řešení nelineární diferenciální rovnice vyššího řádu je třeba tuto rovnici nahradit soustavou rovnic 1. řádu při použití SIMULINKu stačí sestavit model přímo z rovnice
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
32 / 35
Soustava diferenciálních rovnic
Převod diferenciální rovnice vyššího řádu na soustavu rovnic prvního řádu: g Tc θ¨ + sin θ = l ml 2
(5)
Tato rovnice je vnějším popisem kyvadla
Zavedeme nové proměnné x1 a x2 pomocí substituce: x1 = θ x2 = θ˙ Vyjádříme rovnici (5) pomocí proměnných x1 a x2 : Tc x˙2 + gl sin x1 = ml 2 získali jsme první rovnici 1. řádu
Nalezněme vztah mezi x1 a x2 : θ˙ = x2 = x˙ 1 získali jsme druhou rovnici 1. řádu
Tedy rovnici θ¨ + gl sin θ = x˙ 1 = x2 g Tc x˙2 = ml 2 − l sin x1
Tc ml 2
lze zapsat soustavou dvou rovnic 2. řádu
Soustava rovnic je vnitřním popisem kyvadla T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
33 / 35
Soustava diferenciálních rovnic
Shrnutí: Nelineární diferenciální rovnici 2. řádu Tc θ¨ + gl sin θ = ml 2 lze zapsat soustavou dvou rovnic 1. řádu x˙ 1 = x2 g Tc x˙2 = ml 2 − l sin x1 s počátečními podmínkami: θ(0) = x1 (0) = c1 ˙ θ(0) = x2 (0) = c2 a použít funkci ODExy k numerickému výpočtu
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
34 / 35
Souhrn
Co jsme se naučili? Co je to systém. . . Jak ho popsat. . . Jak reaguje systém na signál. . . Co udělá systém se signálem. . . Jaké jsou typy systémů. . . Jak systémy spojovat. . .
T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka ()
Předmět A3B31TES Př. 2
únor 2010
35 / 35
