Chování perforované lišty v ocelobetonových konstrukcích

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE – FAKULTA STAVEBNÍ Doktorský studijní program: STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ Studijní obor: POZEMNÍ STAVBY

Ing. Jan Samec

Chování perforované lišty v ocelobetonových konstrukcích Behaviour of Perforated Shear Connector in Composite Steel and Concrete Structures Disertační práce k získání akademického titulu Ph.D.

Školitel: Prof. Ing. Jiří Studnička, DrSc. Praha, únor 2004

Poděkování Tato disertační práce byla vypracována na Katedře ocelových konstrukcí, Fakulty stavební, Českého vysokého učení technického v Praze v rozmezí let 2001-2004. Upřímné poděkování patří mému školiteli profesoru Jiřímu Studničkovi za cenné rady, podněty a připomínky při sepisování disertační práce a podporu, kterou mi během celého doktorského studia poskytoval. Dále bych rád poděkoval všem členům Katedry ocelových konstrukcí, zejména profesoru Josefu Macháčkovi, s kterým jsem si v počátcích studia vyměňoval názory na modelování betonu v programu ANSYS. Zvláštní poděkování patří doktoru José Luizovi a profesoru Enrique Mirambellovi z univerzity UPC v Barceloně, kteří mě při půlroční zahraniční stáži zasvětili do problematiky numerické analýzy kvazikřehkých materiálů. Rád bych také ocenil pomoc pracovníků Experimentálního centra, FSv ČVUT při provádění experimentů, zejména Ing. Karla Hořejšího a technika katedry OK Jaroslava Broje. Předkládaná disertační práce byla finančně podpořena interním grantem ČVUT č. CTU 0301811 a grantem prof. Studničky GAČR 103/02/0008.

Praha, únor 2004

Jan Samec

Spřažení perforovanou lištou – Obsah

Ing. Jan Samec

Obsah Obsah.......................................................................................................................................... 1 1. Cíle disertační práce ............................................................................................................... 3 1.1 Cíle experimentální části práce ........................................................................................ 3 1.2 Cíle teoretické části práce ................................................................................................ 3 2. Seznam použitých symbolů.................................................................................................... 4 3. Úvod ....................................................................................................................................... 5 3.1 Ocelobetonové konstrukce ............................................................................................... 5 3.2 Smykové spojení .............................................................................................................. 5 3.3 Spřahovací prvky.............................................................................................................. 6 3.3.1 Spřahovací trny ......................................................................................................... 6 3.3.2 Spřahovací prvky HILTI ........................................................................................... 7 3.3.3 Perforovaná lišta........................................................................................................ 8 4. Současný stav problematiky................................................................................................. 10 4.1 Předpisy pro navrhování................................................................................................. 11 4.2 Spřažení perforovanou lištou ......................................................................................... 12 4.2.1 Vývoj perforované lišty........................................................................................... 12 4.2.2 Výzkum perforované lišty na Fakultě stavební ČVUT v Praze .............................. 13 5. Experimentální výzkum ....................................................................................................... 17 5.1 Protlačovací zkoušky...................................................................................................... 17 5.2 Modifikace v použití lišty .............................................................................................. 19 5.3 Značení vzorků............................................................................................................... 19 5.4 Vyztužení ....................................................................................................................... 20 5.5 Výsledky zkoušek .......................................................................................................... 22 5.5.1 Vzorky nevyztužené................................................................................................ 22 5.5.2 Vzorky slabě vyztužené .......................................................................................... 22 5.5.3 Vzorky středně vyztužené ....................................................................................... 22 5.6 Rekapitulace výsledků.................................................................................................... 35 6. Teoretická analýza................................................................................................................ 36 6.1 Numerický model........................................................................................................... 36 6.2 Model v programu ANSYS............................................................................................ 36 6.3 Typy prvků ..................................................................................................................... 37 6.3.1 Betonová část vzorku .............................................................................................. 37 6.3.2 Ocelové části vzorku ............................................................................................... 38 6.4 Materiálové vlastnosti .................................................................................................... 39 6.4.1 Beton ....................................................................................................................... 39 6.4.1.1 Modely kvazikřehkých materiálů......................................................................... 40 6.4.1.2 Podmínka plasticity – CONCRETE..................................................................... 46 6.4.1.3 Fyzikální vztahy prvku SOLID65 ........................................................................ 51 6.4.2 Ocel ......................................................................................................................... 56 6.4.2.1 Fyzikální vztahy prvku SHELL41 ....................................................................... 57 6.4.2.2 Fyzikální vztahy prvku LINK8 ............................................................................ 57 6.5 Model vzorku A2/1 ........................................................................................................ 58 6.5.1 Geometrie vzorku.................................................................................................... 58 6.5.2 Vstupní data............................................................................................................. 61 6.5.2.1 Vstupní data – beton............................................................................................. 61 6.5.2.2 Vstupní data – HEB profil a perforovaná lišta..................................................... 64 -1-

6.5.2.3 Vstupní data – výztuž........................................................................................... 66 6.5.2.4 Možnosti prvků v numerickém modelu ............................................................... 66 6.5.2.5 Reálné konstanty prvků........................................................................................ 67 6.5.2.6 Zatížení................................................................................................................. 69 6.5.2.7 Výpočet ................................................................................................................ 73 6.5.2.8 Výsledky............................................................................................................... 75 7. Závěr..................................................................................................................................... 87 7.1 Experimentální výzkum ................................................................................................. 87 7.2 Numerická analýza......................................................................................................... 87 7.3 Doporučení pro praktický návrh .................................................................................... 89 7.4 Přínos k řešené problematice.......................................................................................... 89 7.5 Náměty pro další výzkum .............................................................................................. 89 8. Literatura .............................................................................................................................. 90 8.1 Normy............................................................................................................................. 90 8.2 Publikace ........................................................................................................................ 90 8.3 Publikace autora ............................................................................................................. 93

-2-

Spřažení perforovanou lištou – Cíle disertační práce

Ing. Jan Samec

1. Cíle disertační práce Tématem disertační práce je experimentální i teoretický rozbor chování perforované lišty, progresivního způsobu spřažení ocelobetonových konstrukcí. Důraz je kladen na numerickou analýzu statické protlačovací zkoušky se základní perforovanou lištou ČVUT 50/10 [mm].

1.1 Cíle experimentální části práce • provedení tří sérií experimentů statických protlačovacích zkoušek s různým stupněm vyztužení a modifikací v prostorovém uspořádání lišty (paralelní uspořádání), • analýza vlivu tohoto uspořádání z hlediska dvou parametrů: únosnosti lišty a prokluzu mezi betonovou deskou a ocelovým nosníkem.

1.2 Cíle teoretické části práce • numerická analýza základní perforované lišty na výpočtovém modelu v programu ANSYS s dalším možným využitím pro parametrickou studii chování lišty s ohledem na změnu materiálových vlastností a geometrie perforované lišty, •

kalibrace parametrů materiálových modelů oceli a betonu s ohledem na plasticitu,

•

doporučení pro praktický návrh spřažení perforovanou lištou

-3-

Spřažení perforovanou lištou – Seznam použitých symbolů

Ing. Jan Samec

2. Seznam použitých symbolů Ast b Fc

Fcf

plocha příčné výztuže na 1 mm délky lišty vzdálenost paralelních lišt v modifikovaném uspořádání tlaková síla v betonové části spřaženého průřezu při namáhání ohybovým momentem M Sd síla v betonové desce při úplném spojení

M a. pl . Rd

plastický moment únosnosti ocelové části spřaženého průřezu

M pl . Rd

plastický moment únosnosti plně spřaženého průřezu

M Sd N Sd N N / Nf

ohybový moment od návrhového zatížení normálová síla od návrhového zatížení počet trnů stupeň spřažení (poměr skutečného počtu trnů umístěných na nosníku k počtu

P PRk PRd Ia If L f ck ,cyl

trnů potřebných pro úplné smykové spojení) zatěžovací síla charakteristická smyková únosnost perforované lišty návrhová smyková únosnost perforované lišty moment setrvačnosti samotného ocelového profilu moment setrvačnosti spřaženého průřezu s úplným smykovým spojením

délka nosníku válcová pevnost betonu v tlaku

f ck ,cub

krychelná pevnost betonu v tlaku

f sk f tk

mez kluzu výztuže krychelná pevnost betonu v příčném tahu mezní prokluz při protlačovací zkoušce prokluz při 90% maximální síly při protlačovací zkoušce

δu δ 0,9 εa εc

poměrná deformace oceli poměrná deformace betonu

-4-

Spřažení perforovanou lištou –Úvod

Ing. Jan Samec

3. Úvod Mezi nejčastěji používané materiály na nosné konstrukce pozemních staveb i v mostním stavitelství bezesporu patří ocel a beton v nejrůznějších podobách. Mezi hlavní důvody jejich použití patří: • Ocel: Ze statického hlediska lze za nejdůležitější vlastnost oceli považovat vysokou pevnost v tahu a tlaku. V důsledku nízké hmotnosti materiálu se na celkovém zatížení konstrukce vlastní nosná konstrukce podílí méně než je tomu např. u betonu. Ocel je také materiál, který má výrazně izotropní charakter, což usnadňuje navrhování. Z hlediska architektů je ocel oblíbena pro svoji lehkost a vzdušnost, kdy lze vytvořit volnou dispozici i pro velká rozpětí za současného zachování subtilních profilů, které umožňují snížit konstrukční výšky objektu a tím minimalizovat celkové náklady na stavební dílo. Dalším aspektem, který kladně ovlivňuje cenu stavby, je skutečnost, že ocelovou konstrukci je možné na staveništi montovat bez ohledu na počasí. Z důvodu ochrany životního prostředí je potřeba u stavebních materiálů věnovat značnou pozornost otázce recyklovatelnosti použitých surovin. Ocelová konstrukce je po skončení životnosti stavby lehce demontovatelná. Téměř celé množství lze v podobě šrotu využít jako vsázku v ocelárně pro výrobu nové oceli. Mezi nevýhody lze zařadit nižší tuhost ocelových prvků, požární odolnost a odolnost vůči korozi. Poslední dvě zmiňované nevýhody je možné různými způsoby vhodně eliminovat. • Beton: Betonové konstrukce jsou dostatečně tuhé, avšak v důsledku malé pevnosti v tahu musí tahovou sílu v betonovém průřezu přenášet výztuž. Ve výpočtu se s působením betonu v tahu neuvažuje. Další nevýhodou betonových konstrukcí je špatná recyklovatelnost a vyšší vlastní tíha nosné konstrukce, která jen z hlediska stavební fyziky (akustiky) může být považována za výhodu.

3.1 Ocelobetonové konstrukce Z výše uvedených charakteristik vyplývá, že spřažené ocelobetonové konstrukce mohou vhodným způsobem skloubit výhody oceli i betonu. Umístěním betonové části průřezu do tlačené oblasti a ocelového nosníku do tahové docílíme optimálního návrhu kompozitní konstrukce. Spřažení betonu a oceli se využívá jak pro svislé tak pro vodorovné konstrukce. V obou případech beton zvyšuje požární odolnost celé konstrukce. Nezanedbatelné je navýšení tuhosti ocelobetonového průřezu. Ve stropní konstrukci plní železobetonová deska při vhodném umístění a účinném spřažení vedle své primární funkce v příčném směru (kolmo na podélnou osu nosníku) i cennou službu přenosu části tlakového namáhání ve směru podélném. Spřažené ocelobetonové konstrukce jsou převážně navrhovány jako prostě podepřené nosníky, tj. betonová deska je po celé délce nosníku tlačená. Pokud je konstrukce navržena jako spojitý nosník o dvou a více polích, dojde v místě záporných momentů nad podporou k popraskání betonu tahem, tím dojde ke změně tuhosti (oslabení) průřezu a k redistribuci vnitřních sil, kterou lze i za cenu náročnějšího výpočtu využít ke zhospodárnění návrhu. U návrhu spřažených ocelobetonových rámů je možné postupovat dle [63].

3.2 Smykové spojení Aby ocelobetonový nosník působil skutečně jako kompozitní (spřažený), je nezbytné zajistit dostatečně účinné smykové spojení mezi železobetonovou deskou a ocelovým nosníkem. Způsoby spřažení prochází soustavným vývojem a na současném stupni poznání

- 5-


Ing. Jan Samec

jsou možné tři základní typy smykového spojení: mechanickými zarážkami, lepením a spínáním předpjatými šrouby. Nejpoužívanější je spřažení mechanickými smykovými zarážkami – spřahovacími prvky. Takto působí svařované zarážky (kozlíky), poloautomaticky přivařované trny, přistřelované plechové zarážky HILTI, popřípadě v této práci zkoumaný spřahovací prvek – perforovaná lišta.

3.3 Spřahovací prvky 3.3.1 Spřahovací trny V současné době patří mezi nejvíce používané spřahovací prostředky spřahovací trny, které díky své automatické výrobě a relativně jednoduchému poloautomatickému přivařování svařovací pistolí zastínily do té doby běžně používané spřahovací prvky.

Obr. 1 Tvar spřahovacího trnu, poloautomatické přivařování svařovací pistolí Detailně se chování trnů věnoval R. P. Johnson ve své práci [22], kde nastínil tři nové studie, ve kterých upřesňuje návrh trnů s ohledem na platné normy. Studie A: Trny v žebrech trapézového plechu Statistické analýzy ukazují, že při návrhu spřahovacích trnů umístěných v žebru trapézového plechu jsou opominuty některé důležité parametry. Předpoklad obsažený v EC4, že únosnost dvojice trnů přivařených diagonálně k žebru trapézového plechu s výztuhou uprostřed, který je uložen kolmo na ocelový nosník, je shodná s únosností dvojice trnů umístěných vedle sebe, je na straně nebezpečné a to mezi 5% a 10%. U trapézového plechu uloženého rovnoběžně s ocelovým nosníkem není chování při protlačovacích zkouškách citlivé na uspořádání trnů v žebru při dodržení minimálních konstrukčních požadavků předepsaných v EC4. Studie B: Únosnost trnů při únavě Z mnoha publikací a výsledků testů je zřejmé, že existuje nekonzistence mezi současnými návrhovými modely a metodami spřažení pomocí trnů při únavovém namáhání dle jednotlivých norem. Největší rozdíl byl zjištěn v hodnotě exponentu m. Ve většině případů platí, že výraz N (∆τ )m = konst. Nesrovnalost v udávané velikosti m (většinou mezi 5 a 8) není způsobena rozptylem hodnot získaných z testů, ale neshodou mezi autory norem, jak vyhodnocovat data z provedených zkoušek pomocí regresní analýzy. Doporučená hodnota exponentu m je 5,5. Spolehlivost návrhu tohoto typu spřažení je rozdílná podle jednotlivých norem a to z mnoha příčin. Neznalost způsobu porušení trnu vyplývá z použitých metod výpočtu, kdy ve skutečnosti jsou na vzorku menší napětí než z jakými je počítáno při návrhu. Studie C: Lokální vlivy koncentrovaného podélného smyku ve spřažených nosnících mostů V kontinentální Evropě se často při návrhu spřažených ocelobetonových mostů s nosníky o více polích v místě záporných ohybových momentů betonová deska předepíná a to z důvodu snížení popř. úplné eliminace trhlin v betonu, které vede k prodloužení životnosti celé - 6-


Ing. Jan Samec

konstrukce mostu. Toto předpětí se pak přenáší přes spřažení do ocelového profilu. Chování při přenosu podélné smykové síly mezi betonovou deskou a ocelovým profilem je závislé na flexibilitě smykového spřažení a lokálních deformacích betonu a oceli. Tato studie rozdělení koncentrované podélné síly je podobná problému, kdy působí nepoměrně větší síla vzhledem k únosnosti jednoho spřahovacího prostředku. Výsledkem této studie ověřené na 108 FEM modelech jsou pravidla pro navrhování nosníků se středním a velkým rozpětím. Vzhledem k tomu, že se jedná o velmi zjednodušenou metodu, nelze ji aplikovat v případě únavového chování. Moderní tvary průřezů ocelobetonových konstrukcí vedou k návrhu spřahovacích prostředků s neobvyklým umístěním ve vodorovné poloze uvnitř tenké betonové desky. Tomuto novému trendu v oblasti trnů se věnuje U. Kuhlmann, U. Breuninger, viz [25]. Celkem bylo provedeno kolem 50 protlačovacích zkoušek s vodorovně přivařenými trny, jejichž výsledky byly porovnány s numerickým modelem. Jak teoretická tak experimentální část výzkumu prokázala, že chování trnů ve svislé a ve vodorovné poloze je obecně ovlivněno jinými parametry. Na základě těchto zjištění, byl vytvořen vzorec pro určení únosnosti trnu přivařeného v horizontální poloze. Mezi hlavní parametry ovlivňující únosnost tohoto spřažení patří: • pevnost betonu v tlaku • průměr trnu • vzdálenost trnu od povrchu betonové desky • množství a uspořádání výztuže

3.3.2 Spřahovací prvky HILTI Kromě různých modifikací trnů je celosvětově velký zájem o nové typy spřažení vzhledem k tomu, že trny potřebují příliš velký příkon elektřiny. Alternativou je spřažení pomocí kotev HVB, RIBCONu a STRIPCONu. Tyto prvky jsou vyvíjeny lichtenštejnskou firmou HILTI s ohledem na co nejnižší pracnost při montáži ocelobetonové konstrukce. Cílem vývoje je zajistit vysokou smykovou únosnost spřažení na jeden hřeb s dostatečnou tažností tak, aby bylo možné navrhovat prvky plasticky. HILTI spřahovací prostředky jsou vhodné pro běžné pozemní stavby, přičemž oblast jejich použití se rozšiřuje především směrem ke spřažení prvků z obtížně svařitelné oceli, které se často vyskytují při rekonstrukcích. Navíc nedochází k porušení povrchové úpravy trapézových plechů a realizace není závislá na počasí. Mezi nevýhody, bránící širšímu využití HILTI prvků, patří hluk při přistřelování, zplodiny hoření (prachová náplň nábojky) a zdravotní omezení, protože i při nepřímém vstřelu je počet vstřelů omezen na pracovníka a na směnu. Poměr cena ku návrhové únosnosti prvků vychází výrazně hůř než je tomu u trnů. Kotvy HVB patří mezi nejvyhledávanější spřahovací prvky firmy HILTI. Kotva je přistřelena k podkladu dvěma hřeby. Působení tohoto typu spřažení při statickém namáhání je dobře známo a posudek HVB kotvy je obdobně jednoduchý jako v případě návrhu trnu. Na základě experimentálního výzkumu konaného na ETH Zürich a ČVUT Praha se určila také mezní únosnost a tažnost přistřeleného RIBCONu. RIBCON se vyrábí ohnutím tenkostěnného plechu do tvaru podobného úhelníku. Jedno rameno je perforované a druhé je přistřeleno hřeby k pásnici ocelového profilu. Způsob přenášení sil je díky tvaru velmi podobný perforované liště. Z experimentů lze usuzovat plastické chování spřažení a přenesení charakteristického zatížení většího než 18 kN na hřeb. Užití trapézových plechů jako systému ztraceného bednění si vynutilo modifikovat prvek RIBCON v závislosti na tom, zda je trapézový plech položen rovnoběžně nebo kolmo na osu nosníku. V druhém případě je nutné vyříznout otvory v obou ramenech tak, aby vlna trapézového plechu zůstala průběžná. - 7-


Ing. Jan Samec

Z protlačovacích zkoušek spřaženého nosníku s prvkem RIBCON vyplývají následující poznatky: • O únosnosti a tažnosti spřažení rozhoduje připojení hřebem na styku betonové desky a ocelového profilu. • O únosnosti a tažnosti spřažení rozhoduje připojení hřebem na styku betonové desky a ocelového profilu. • Volbou vhodného materiálu pro spřahovací prvek, tloušťky (1,5 až 2 mm) a pevnosti (350 až 450 MPa) lze zajistit plastické chování, protože se prvek chová tažně. • Systém RIBCON je vhodný jak pro běžné ocelobetonové konstrukce tak pro speciální konstrukce typu zpevnění nosníků z ocelolitiny při rekonstrukcích, spřažení systému „slim floor“.

Obr. 2 Kotvy HVB, detail nastřelovacího hřebu

Obr. 3 Spřahovací prostředky RIBCON a STRIPCON V současnosti na ČVUT Praha probíhá výzkum třetího HILTI prvku – STRIPCONu. Tento spřahovací prvek je navržen pro smykové spojení betonové desky a ocelového nosníku s vlnitou stojinou, viz [40].

3.3.3 Perforovaná lišta Použitelnost obou výše uvedených typů spřažení je omezena únosností spřažení, dosažitelnou při dodržení konstrukčních zásad a vhodných parametrů ocelové pásnice. Při spřažení velkorozponových konstrukcí v pozemním stavitelství nebo ocelobetonových mostů - 8-


Ing. Jan Samec

je výhodné použít, např. z důvodů zajištění úplného spřažení, únosnějších spřahovacích prvků, mezi které patří perforovaná lišta. Perforovaná lišta umožňuje jednoduché, levné a účinné spřažení betonové desky s ocelovým nosníkem. Podélná smyková síla se přenáší přes betonové „roubíky“ z betonové desky do lišty a z ní oboustranným koutovým svarem do pásnice ocelového profilu. Únosnost lišty je závislá na následujících parametrech: • tvar a rozměry lišty • výška svaru • zda je svar přerušovaný nebo kontinuální • pevnosti betonu v tlaku • množství příčné výztuže procházející otvory v liště Vzhledem k tomu, že perforovaná lišta je přivařena po celé délce ocelového profilu bez přerušení, nelze za normálních okolností použít trapézový plech coby systém ztraceného bednění. Vhodným konstrukčním opatřením je možné tento problém vyřešit a to tak, že se trapézový plech navrhne jako prostě podepřený vždy mezi sousedními ocelovými profily a vlny se v místě uložení na pásnici zploští a připojí k ní přistřelovacími hřeby. Tento způsob byl aplikován na několika stavbách v Německu.

Obr. 4 Spřažení perforovanou lištou ČVUT Následující srovnání únosnosti nejčastěji používaných spřahovacích prostředků (tab. 1) ilustruje největší výhodu perforované lišty a to její vysokou smykovou únosnost. Jsou srovnány trny, HVB kotvy HILTI umístěné v jedné řadě v betonové desce (beton kvality C20/25) perforovaná lišta v základním uspořádání ve stejném betonu, viz obr. 4. Charakteristická únosnost PRk = 354 N / mm

PRki / PRk .lišta

PRk = 175 N / mm

0,27

PRk = 644 N / mm Základní perforovaná lišta Tab. 1 Porovnání únosností spřahovacích prvků

1,00

Označení Trn 18,2/90 à 200 mm Kotvy HVB 95 à 200 mm

- 9-

0,55

Spřažení perforovanou lištou –Současný stav problematiky

Ing. Jan Samec

4. Současný stav problematiky Chování spřaženého ocelobetonového nosníku je ovlivňováno mnoha faktory, ze kterých je třeba se při návrhu konstrukce zaměřit na ty, které budou skutečně na ocelobetonový prvek působit a jejichž vliv nelze zanedbat. Důležitou charakteristikou je teplotní roztažnost, která je u obou materiálů betonu i oceli stejná, díky čemuž je možné ocelobetonové konstrukce vyrábět. Slabým místem je jiná vlastnost týkající se teploty a to tepelná vodivost. Šíření tepla betonem a ocelí je jiné, proto při změnách teploty dochází k namáhání spřaženého průřezu, respektive smykového spřažení. Dále je nutné věnovat pozornost dotvarování a smršťování betonu, únavovému namáhání, únosnosti a poddajnosti spřahovacího prvku a s tím související plastické únosnosti průřezu. Aby bylo možné mluvit o spřažené ocelobetonové konstrukci, je nutné zajistit vzájemné smykové spojení betonové desky a ocelového nosníku. Podle velikosti prokluzu těchto dvou částí lze spřažení charakterizovat jako poddajné nebo tuhé. Na obr. 5 je vidět rozdíl mezi poddajným a tuhým spřažením z hlediska poměrné deformace po výšce průřezu. Jakýkoli spřahovací prvek může být klasifikován jako poddajný, pokud je schopen dostatečné deformability pro zajištění plastického chování spřažení a tím i celého průřezu.

Obr. 5 Spřažení tuhé a poddajné Za poddajné spřahovací prvky ve smyslu norem, např. [1], lze považovat ty, které mají charakteristický prokluz δ k (tj. δ 0,9 snížený o 10%) při standardní protlačovací zkoušce alespoň 6 mm (obr. 6).

Obr. 6 Prokluz δ 0,9 a δ k dle EC4 -10-


Ing. Jan Samec

Spřažení se při navrhování podle norem dále ještě dělí podle množství spřahovacích prostředků umístěných na nosníku na spřažení úplné nebo částečné. Pokud se jedná o úplné smykové spojení, pak spřahovací prvky přenášejí podélný smykový tok odpovídající plnému plastickému využití průřezu. U částečného spřažení je naopak celková únosnost limitována spřažením a je stanovena pouze pro očekávané zatížení dle obr. 7.

Obr. 7 Vztah mezi tlakovou silou v betonu Fc a ohybovým momentem M Sd Tlaková síla Fc v betonové desce vyvolaná kladným ohybovým momentem M Sd se konzervativně určí ze vztahu: Fc =

M Sd − M a. pl . Rd M pl . Rd − M a. pl . Rd

Fcf

(4.1)

4.1 Předpisy pro navrhování Prvotní přístup k navrhování kompozitních konstrukcí složených z více materiálů předpokládal dokonalé smykové spolupůsobení všech částí průřezu a pružné chování konstrukce jako celku. V bývalém Československu se pro navrhování spřažených ocelobetonových konstrukcí vytvořila v roce 1962 norma ČSN 73 2089, která je již v současnosti neplatná. Experimentální výzkum poukázal na možné odchylky a nedostatky původních předpokladů, které se zohlednily při tvorbě normových předpisů. Složitá teorie navrhování je z důvodů snížení pracnosti v normách zjednodušena, přičemž popsané chování konstrukce je stále ještě dostatečně přesné. Počátkem 80. let minulého století se v Evropě zřetelně rýsuje snaha o vytvoření komplexního systému evropských norem, který by usnadnil mezinárodní spolupráci při projektování konstrukcí, dodávce a realizaci stavby. Nejprve vznikaly tzv. Model Codes, které od 1990 přešly do projektu Eurokódů. Tato snaha vedla v oblasti spřažených konstrukcí v roce 1993 k vytvoření evropské předběžné normy ENV 1994-1-1. Vychází především z existujících britských a německých norem obohacena o nejnovější teoretické i experimentální poznatky. V rámci jednotlivých evropských zemí, sdružených v Evropské organizaci pro normalizaci (CEN), jsou všechny Eurokódy, tedy i ENV 1994-1-1, doplněny národním aplikačním dokumentem (NAD), který zohledňuje regionální odlišnosti, technologickou vyspělost a tradice při navrhování každé země. -11-


Ing. Jan Samec

V oblasti smykového spřažení norma ENV 1994-1-1 stanovuje hodnoty únosností těchto spřahovacích prvků: • přivařených trnů, kozlíků, smyček z betonářské oceli a úhelníků • předpjatých šroubů spřahujících ocelový nosník s prefabrikovanou deskou Navrhování jiných alternativních spřahovacích prvků norma umožňuje na základě výsledků provedených experimentů standardizovaných protlačovacích zkoušek, ze kterých je možné určit charakter porušení vzorku, závislost působící síly na prokluzu, zda je možné daný typ spřažení považovat za poddajný nebo tuhý. Jak již bylo uvedeno výše, pouze poddajné spřažení dokáže realizovat plastické chování ocelobetonového prvku. Posudek prvků s nepoddajným spřažením je možný pouze podle teorie pružnosti. Dle EC4 patří mezi poddajné tyto typy spřažení: • trny při vhodném stupni smykového spojení ( N / N f ) • třecí vysokopevnostní šrouby • spřahovací prvky, jejichž hodnota charakteristického prokluzu při protlačovací zkoušce je minimálně 6 mm • z výzkumu [50] provedeného na FSv ČVUT v Praze vyplývá, že mezi poddajné prvky je možné zařadit i zarážky HILTI.

Výsledkem několikaletého úsilí je vznik normy EN 1994-1-1, která nahradí do té doby používanou přednormu ENV 1994-1-1.

4.2 Spřažení perforovanou lištou 4.2.1 Vývoj perforované lišty Perforovanou lištu – perfobond poprvé použil jako prvek pro spřažení ocelobetonových konstrukcí poprvé Andrä v roce 1987 [29]. Následný výzkum [7], [15] prokázal vysokou smykovou únosnost lišty při statickém namáhání. Spřažení perforovanou lištu bylo v praxi poprvé použito na mostu přes řeku Caroni v Ciudad Guayana ve Venezuele postavený v roce 1989, viz [7], [54], kde smykové spolupůsobení betonové desky a ocelového profilu zajišťuje perforovaný pás 70x12 mm s otvory průměru 35 mm. V ČR se lišta používá pro konstrukce pozemních staveb (LEGO Kladno) a mostů pozemních komunikací, viz [54], mosty v Kamýku nad Vltavou, v Litoli a další menší mosty na Moravě. Ve své práci se výzkumem chování perforované lišty u mostu s komorovým průřezem a s vlnitou ocelovou stojinou zabýval Tategami [60]. Cílem této práce bylo zjistit chování spřahovacích prostředků (perfobond) u mostů dle obr. 8 v závislosti na průměru otvoru v liště a na množství výztuže.

Obr. 8 Příčný řez spřaženým ocelobetonovým mostem

-12-


Ing. Jan Samec

Pro zjištění pevnostních charakteristik mezi ocelovou stojinou a betonovou deskou provedl Tategami experimenty – protlačovací zkoušky, na jejichž základě se stanovil prokluz lišty perfobond přivařené k ocelové pásnici vůči betonové desce v závislosti na zatěžovací síle. Z provedených experimentů došel k těmto závěrům: • Prokázalo se, že u spřažení nedochází k žádnému prokluzu při hodnotě návrhového zatížení (cca třetina mezního zatížení) a může tedy bez problému přenést podélný smyk. • Výztuž procházející otvory v liště jednoznačně zvyšovala smykovou únosnost spřažení, ale zjistilo se, že z důvodu zúžení otvoru lišty nemohly největší frakce kameniva volně procházet. Proto se doporučuje zajistit, aby světlý rozměr díry (zmenšený o průměr prutu výztuže) byl minimálně 4/3 maximální velikosti kameniva. • Při betonáži jak horní tak i dolní betonové desky neměl postup betonáže žádný vliv na smykovou únosnost spřahovacích prostředků. • Protlačovací zkoušky prokázaly v závislosti na průměru otvoru v liště dobrou tažnost (ne méně než 7 mm) při dosažení mezního namáhání. • Testované vzorky s lištou ze žebrovaného plechu přenášely vyšší smykovou sílu než vzorky s lištou bez žebrování. Pokud i v tomto případě otvory procházela výztuž, došlo ke zvýšení tažnosti spřažení. • Výpočty smykové únosnosti popsané v tomto článku jsou platné pro perfobond s otvory průměru 40÷80 mm. Porovnání s odpovídající lištou ČVUT 100/12 [mm] s průměrem otvoru 60 mm je uvedeno níže. • U vzorku s příčnou výztuží došlo k signifikantnímu zvýšení smykové únosnosti až pro p = 0, 06 , kde p je poměr plochy výztuže ku ploše otvorů lišty vyplněné betonem. Pro lištu s otvory ø60 mm platí, že plocha výztuže Ast = 1 mm 2 / mm ∼ p = 0, 056 dle Tategamiho.

Mosty lze navrhovat na základě [3], ale spřažení lištou přednorma neobsahuje. Pro použití spřahovací lišty byla vytvořena německá směrnice [51] a řada zemí v západní Evropě má toto řešení patentově chráněno. Hodnoty únosnosti lišty zkoumané na Fakultě stavební ČVUT v Praze jsou uvedeny v [38] pro statické namáhání. U železničních mostů je velký důraz kladen na únosnost konstrukce vystavené cyklickému únavovému namáhání a to jak celku tak i jednotlivých komponent včetně spřažení. Výzkum chování lišty při únavě právě probíhá a v současné době jsou známy pouze dílčí výsledky jednotlivých zkoušek, viz [71].

4.2.2 Výzkum perforované lišty na Fakultě stavební ČVUT v Praze Základní perforovaná lišta s otvory ø32 mm Základní spřahovací lišta 50 mm vysoká, tloušťky 10 mm s otvory o průměru 32 mm byla vyvinuta Studničkou a Macháčkem na Fakultě stavební ČVUT v Praze v roce 1994. Teoretická práce vycházela z provedených experimentů protlačovacích zkoušek, kdy se zkoumal vliv množství příčné výztuže a pevnosti betonu v tlaku na výslednou únosnost spřažení. Geometrie lišty je patrná z obr. 9.

Obr. 9 Perforovaná lišta 50/10 [mm] s otvory ø32 mm -13-


Ing. Jan Samec

V prvním kroku bylo odzkoušeno 27 protlačovacích vzorků základní lišty. Jednotlivá tělesa se lišila pevností betonu v tlaku a stupněm vyztužení. Výsledky tesů se statisticky vyhodnotily podle přílohy Z normy ENV 1993-1-1. V dalším kroku se zkoušelo ještě sedm dalších vzorků, které jsou uvedeny v experimentální části této práce. Výsledky z první série byly podrobeny regresní analýze, viz [32], z které vyplynuly následující vztahy: a) Charakteristická únosnost: PRk = − 68 + 12, 4 f ck ,cyl + 797 Ast ≤ 1000 (4.2) [ N / mm] lišta z oceli S235 ≤ 1500

[ N / mm] lišta z oceli S355

Pozn.: Omezení smykové únosnosti vyplývá z únosnosti lišty v lomeném řezu mezi otvory. b) Návrhová únosnost: (4.3) PRd = − 49 + 8,8 f ck ,cyl + 568 Ast [ N / mm] c) Odpovídající parciální součinitel spolehlivosti: γ v = PRd / PRk = 1, 4

[ −]

c) Průměrná smyková pevnost podle [31]: PA = − 87,374 + 15,836 f ck ,cyl + 1020, 471Ast

(4.4)

[ N / mm]

(4.5)

Vztahy odvozené dalšími autory [45] a [51] jsou pro tento konkrétní typ lišty nevhodné, protože nedostatečně přesně zahrnují vliv pevnosti betonu v tlaku na únosnost spřažení. Vztahy z [60] jsou odvozeny pouze pro otvory v liště v rozmezí 40÷80 mm. Při návrhu spřažení perforovanou lištou je potřeba vzít v potaz hodnotu prokluzu δ 0,9 , která je menší než normou požadovaných 6 mm. Ohybové zkoušky tří spřažených nosníků s lištou 50/10 [mm] však naznačily, viz [33], že i při nízké poddajnosti spřažení k částečné plastické redistribuci smykových sil dochází. Na obr. 10 a 11 je vidět geometrie nosníku a způsob vnášení sil do konstrukce.

Obr. 10 Geometrie spřaženého nosníku

Obr. 11 Ohybová zkouška nosníku v laboratoři, detail lišty na ocelové pásnici

-14-


Ing. Jan Samec

Modifikace základní perforované lišty – vysoká lišta 100/10 [mm] Použití základní spřahovací lišty sebou přináší některé problémy. Bez jistým konstrukčních opatření nelze trapézový plech použít jako ztracené bednění. Ze stejného důvodu nelze použít prefabrikované betonové desky, které jsou dnes v pozemním stavitelství velmi rozšířené. Aby bylo možné tuto nevýhodu eliminovat, přistoupilo se k modifikaci lišty, viz [59]. Výsledný tvar je zřejmý z obr. 12.

Obr. 12 Perforovaná lišta 100/10 [mm] s otvory ø32 mm

Vliv zvýšení únosnosti u modifikace lišty 100/10 [mm] je zahrnut v součiniteli kh , kterým se pronásobí únosnost základní lišty Pbasic dle vztahu (4.2). Z experimentů plyne, že únosnost vzroste nejméně o 15%. K upřesnění této hodnoty by však bylo potřeba provést doplňující protlačovací zkoušky. V současnosti je možné použít vztah: Ph = kh ⋅ Pbasic (4.6) [ N / mm] , kde kh = 1,1 Modifikace základní perforované lišty – paralelní uspořádání Druhou modifikaci základní perforované lišty představuje její paralelní uspořádání podle obr. 13. Takovéto spřažení je schopno přenášet větší podélnou smykovou sílu než je tomu u prvku 50/10 [mm]. Kromě parametrů pevnosti betonu a stupně vyztužení je nezbytné věnovat pozornost vlivu osové vzdálenosti b mezi jednotlivými lištami na únosnost spřažení.

Obr. 13 Paralelní uspořádání základní lišty

Z práce [38] a doplňujících zkoušek uvedených v [71] lze předpokládat nárůst smykové únosnosti nejméně o 40% v porovnání se základní lištou a lze použít vztah: Pdouble = kd ⋅ Pbasic (4.7) [ N / mm] , kde kd = 1, 66 +

( b − 100 ) ≤ 1,85 14000

-15-

(4.8)


Ing. Jan Samec

Perforovaná lišta s otvory ø60 mm Použití spřahovací lišty 100 mm vysoká, tloušťky 12 mm s otvory o průměru 60 mm se přepokládá především v mostním stavitelství a pro velkorozponové konstrukce v pozemním stavitelství. Únosnost této lišty se zjišťovala pro normální a lehčený beton. Parametry vzorku pro protlačovací zkoušku (velikost vzorku, způsob zatěžování i vyhodnocení) jsou shodné se vzorkem se základní lištou. Tvar lišty 100/12 [mm] je vidět na obr. 14.

Obr. 14 Perforovaná lišta 100/12 [mm] s otvory ø60 mm

Odzkoušelo se celkem 16 vzorků s rozdílným stupněm vyztužení a pevností betonu. Vzorky se v tomto případě nevyhodnocovali podle Přílohy Z normy ENV 1993-1-1, ale zjednodušenou metodou, která je obsažena v ENV 1994-1-1. Výsledkem je následující vztah pro charakteristickou únosnost lišty 100/12 [mm]: PRk = 235 + 14,1 f ck ,cyl + 313 Ast (4.9) [ N / mm] Pokud je množství výztuže alespoň Ast = 0, 25 mm2/mm´ a pevnost betonu v tlaku minimálně 20 MPa, pak lze spřažení perforovanou lištou posuzovat jako poddajné, tj. lze uvažovat plastický návrh spřažení. V případě, že stupeň vyztužení nebo pevnost betonu je nižší, jedná se o spřažení tuhé. Tategami ve své práci [60] odvodil vztahy pro charakteristickou únosnost lišty perfobond platný pro lištu s jedním otvorem. Z porovnání tohoto vzorce (s uvážením konkrétního tvaru lišty 100/12 [mm]) a vzorce (4.9) při Ast = 0, 25 mm2/mm´ a f ck ,cyl = 20 MPa vyplývá, že dle Tategamiho je smyková únosnost o 60% větší než podle (4.9). V případě lišty bez příčné výztuže je rozdíl v hodnotách obou vzorců dokonce 100%. Perforovaná lišta s otvory ø60 mm s lehčeným betonem Betonová směs pro testované vzorky byla připravena z kameniva Liapor®, jejíž objemová hmotnost se pohybuje mezi ρ = 1600 ÷ 1770 [kg/m3] a válcová pevnost betonu v tlaku mezi 20 a 40 MPa. Celkem se odzkoušelo 9 vzorků. Z výsledků se, stejným způsobem jako v případě normálního betonu, určila charakteristická únosnost spřažení, která je dána jako součin únosnosti lišty v normálním betonu a součinitele zohledňujícího objemovou hmotnost betonové směsi. Platí následující vztah: PRk .light = η ⋅ PRk (4.10) [ N / mm] ,

kde ⎛ ρ ⎞ kd = 0,3 + 0, 7 ⎜ ⎟ ⎝ 2400 ⎠

-16-

2

(4.11)

Spřažení perforovanou lištou –Experimentální výzkum

Jan Samec

5. Experimentální výzkum Na katedře ocelových konstrukcí se v v posledním desetiletí provedla řada experimentů se spřaženými ocelobetonovými konstrukcemi. Popisovaný experimentální výzkum navazuje na výsledky zkoušek základní perforované lišty 50/10 mm prováděných na Fakultě stavební ČVUT v Praze do roku 2000, viz [56], [48], [34]. K doplnění experimentů byly autorem této práce vykonány v roce 2001 následující zkoušky. Cílem těchto zkoušek je zjistit únosnost perforované lišty v různých modifikacích.

5.1 Protlačovací zkoušky Zkušební vzorek je v souladu se zkušebním postupem podle ENV 1994-1-1 zatěžován staticky s postupným zvětšováním zatížení až do hodnoty 40 % předpokládané únosnosti. Potom se vzorek 25x zatíží a odlehčí mezi 5 % a 40 % předpokládané únosnosti. Dále se vzorek přitěžuje tak, aby k porušení vzorku došlo nejdříve po 15 minutách. Mezní prokluz mezi ocelovým profilem a betonovou deskou se určí jako hodnota odpovídající charakteristickému zatížení vzorku PRk dle obr.15.

Obr. 15 Pracovní diagram zkušebního vzorku Tvar zkušebních těles včetně vyztužení je dán ENV 1994-1-1, obr. 16,17. Ocelový nosník je profilu HE260B. Na tento prvek je k oběma pásnicím přivařena oboustranným koutovým svarem perforovaná lišta v různých modifikacích uspořádání. Lištou je protažena měkká výztuž ve dvou vrstvách. Dolní výztuž (výztuž blíže pásnici) je jednoznačně určena a odpovídá konkrétnímu stupni vyztužení. Aby byla zajištěna správná poloha výztuže, jsou jednotlivé pruty dolní výztuže lehce přivařeny k otvorům lišty. Pásnice HEB profilu je natřena olejem, aby se neprojevil vliv soudržnosti betonu a oceli. Potom je lišta a výztuž zabetonována při dodržení konstrukčních zásad pro betonové konstrukce (min. krycí vrstva výztuže). Vzorek je následně hutněn na vibračních stolech. V den zkoušky se souběžně zjistí i pevnost použitého betonu a to pevnost v tlaku na válci a krychli a pevnost v příčném tahu na krychli. Zatížení je při protlačovacích zkouškách vyvozováno lisem EDB 400 U. Vzhledem k použitému lisu se jedná o zatěžování řízené silou. Rozsah působící síly byl volen v rozmezí 300 kN až 1700 kN v závislosti na stupni vyztužení a geometrickém uspořádání perforované lišty. Vzájemný posun betonové desky a ocelového profilu je odečítán na číselníkovém -17-

Spřažení perforovanou lištou –Experimentální výzkum

Jan Samec

úchylkoměru SOMET (přesnost přístroje 0,01 mm). Maximální relativní posun dosahoval hodnoty 4,45 mm. V této fázi výzkumu proběhlo 12 zkoušek, které doplnily poznatky z [59] o chování lišty vysoké 50 mm a s otvory průměru 32 mm. Zkoušky probíhaly ve třech etapách, z nichž každá obsahovala vzorek (obr.17) se základním uspořádáním lišty a tři vzorky s modifikovaným uspořádáním, kde jsou použity dvě paralelní lišty, obr.18. Tělesa jedné skupiny byla vybetonována během jednoho dne. Za dodržení těchto podmínek bylo možné určit poměr smykové únosnosti lišty v základním a modifikovaném uspořádání. Skupiny vzorků byly rozděleny takto: • 4 vzorky bez vyztužení • 4 vzorky se slabým vyztužením Ast = 0, 25 mm 2 / mm ' • 4 vzorky se středním vyztužením Ast = 0,58 mm 2 / mm ' Z odměřených hodnot síla-relativní posun jsme vytvořili pracovní diagramy jednotlivých vzorků, určili charakteristickou únosnost a mezní prokluz.

Obr. 16 Prostorové uspořádání vzorku se základní lištou

Obr. 17 Uspořádání vzorku s jednou lištou -18-

Spřažení perforovanou lištou – Experimentální výzkum

Ing. Jan Samec

5.2 Modifikace v použití lišty Součástí výzkumu chování perforované lišty bylo zjištění vlivu modifikovaného uspořádání lišt na smykovou únosnost. Lišty na zkušebních tělesech byly od sebe osově vzdáleny b=100, 150 a 200 mm, obr. 18. Již ve zprávě [59] bylo zkoumáno, jak se bude lišit únosnost dvou lišt umístěných poměrně blízko sebe od součtu únosností dvou nezávislých lišt. Byl stanoven i předběžný vzorec vystihující závislost únosnosti na vzdálenosti lišt b, viz. např. [38]. Nový výzkum má tento vzorec potvrdit či zpřesnit.

Obr. 18 Paralelní uspořádání lišt

5.3 Značení vzorků Pro celou sérii vzorků byl zvolen jednotný způsob označování. První číslice určuje umístění ve skupině, druhá identifikuje modifikaci lišty. Písmeno je pro všechna zkušební tělesa shodné a označuje celou sérii. Příklad značení je na obr. 19, fotografie z přípravy zkoušek je na obr. 20. Souhrn všech vyzkoušených vzorků je zřejmý z tab. 2. paralelní lišty b=150 mm

A2/3 série

2. skupina – slabé vyztužení

Obr. 19 Příklad značení vzorků

-19-


Označení

Ing. Jan Samec

Popis skupiny

Uspořádání lišty

základní

A1/1 A1/2

bez vyztužení

paralelní b=100 mm

A1/3

paralelní b=150 mm

A1/4

paralelní b=200 mm

A2/1

základní

A2/2 A2/3

slabé vyztužení Ast = 0, 25 mm 2 / mm '

paralelní b=100 mm paralelní b=150 mm

A2/4

paralelní b=200 mm

A3/1

základní

A3/2 A3/3

střední vyztužení Ast = 0,58 mm 2 / mm '

paralelní b=100 mm paralelní b=150 mm paralelní b=200 mm

A3/4 Tab. 2 Značení zkušebních těles

5.4 Vyztužení Slabé vyztužení s plochou měkké výztuže Ast = 0, 25 mm 2 / mm ' odpovídá u zkoušených vzorků dvěma prutům ø 10 mm z oceli R 10 505 provlečených otvory v liště v osové vzdálenosti 315 mm. Střední vyztužení s plochou měkké výztuže Ast = 0,58 mm 2 / mm ' odpovídá pěti prutům ø 10 mm z oceli R 10 505 provlečených otvory v liště v osové vzdálenosti 135 mm. Z obr. 21 a 22 je patrné prostorové uspořádání prutů výztuže v betonové desce zkušebního tělesa s jednou lištou.

Obr. 20 Vzorek se základní lištou (A2/1) a vzorek se 2 lištami a vzdáleností b=100 mm (A2/2) -20-


Ing. Jan Samec

Obr. 21 Prostorové uspořádání výztuže – slabé vyztužení

Obr. 22 Prostorové uspořádání výztuže – střední vyztužení

-21-


Ing. Jan Samec

5.5 Výsledky zkoušek Porušování vzorků probíhalo u všech vzorků podobně, v několika krocích. Nejdříve se v betonové desce objevila vlasová trhlina kopírující lištu, viz např. obr. 24, která se při dalším přitěžování rozrůstala po celé výšce vzorku. Současně s růstem trhliny se snižovala tuhost vzorku. V okamžiku, kdy bylo dosaženo maximální síly, dramaticky vzrůstala deformace a následně došlo k porušení vzorku. V závislosti na modifikaci uspořádání perforované lišty se měnila geometrie i růst trhlin. Oproti základní liště, kde trhlina věrně kopírovala umístění lišty, došlo u paralelního uspořádání k porušení ve tvaru obráceného písmene V, viz např. obr. 25.

5.5.1 Vzorky nevyztužené Z níže uvedených výsledků zkoušek vyplývá, že únosnost perforované lišty vzrůstá při zvyšující se vzdálenosti paralelních lišt. Nejnižší únosnosti bylo dosaženo u lišty v základním provedení a nejvyšší – téměř čtyřnásobné – u vzorku se vzdáleností b=200 mm. Otvory v liště se během zkoušky nezdeformovaly, z čehož vyplývá, že o únosnosti celého vzorku rozhodovala pouze smyková pevnost betonu.

5.5.2 Vzorky slabě vyztužené Obdobné závislosti lze vysledovat i u vzorků druhé skupiny. Jedinou výjimkou bylo zkušební těleso s paralelními lištami A2/4 (b=200 mm), které vykazovalo nižší únosnost než vzorek A2/3 (b=150 mm). Je to nejspíš způsobeno tím, že vzorek A2/4 byl méně hutněn a nebyla dostatečně zajištěna svislost bednění při betonáži. Ani v případě slabého vyztužení nedošlo ke zdeformování otvorů lišty, přestože únosnost vzrostla. Je zřejmé, že sílu při vyšším prokluzu (po vzniku trhlin v betonu) přebírala převážně měkká výztuž, obr. 23.

5.5.3 Vzorky středně vyztužené I třetí skupina vzorků potvrdila předpoklady z [59], že zvětšením vzdálenosti b se zvýší únosnost vzorku. Tělesa A3/1 vykazovalo, oproti ostatním vzorkům ve skupině, výraznější vzrůst deformace v první fázi zatěžování způsobený imperfekcemi, ke kterým došlo při betonáži a následném hutnění betonové směsi. Otvory v liště u všech vzorků zůstaly i v tomto případě beze změny. Měkká výztuž v okolí lišty se vlivem působící smykové síly významně zdeformovala.

Obr. 23 Způsob porušení vzorku – slabé a střední vyztužení

-22-


Ing. Jan Samec

Výsledky vzorku A1/1

Protlačovací zkouška: perforovaná lišta vzorek A1/1 průměr otvorů 32 mm, délka lišty 590 mm /50/10 7.8.2001 3.7.2001 datum zkoušky: datum betonáže: výztuž: 0 profilů průměru 10 mm délka lišty: 590 mm b= 0 mm únosnost lišty na 1 mm= 0,2542 kN/mm 0,710 mm δ 0.9 = max. síla=

300 kN

nul. čtení 1=

0,000 nul. čtení 2=

0,000

Pracovní diagram A1/1 350 300

Síla [kN]

250 200 Průběh zatěžování

150 100 50 0 0,000

0,200

0,400

0,600

Deformace [mm]

Graf 1 Diagram síla-deformace

Obr. 24 Způsob porušení vzorku A1/1

-23-

0,800


Ing. Jan Samec



600 kN


nul. čtení 1=

0,000


Síla [kN]


300 200 100 0 0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

Deformace [mm]



-24-

0,600

0,700


Ing. Jan Samec



950 kN

nul. čtení 1=


0,899


Síla [kN]

800 700 600 500 400

Průběh zatěžování

300 200 100 0 0,000

0,200

0,400

0,600

Deformace [mm]



-25-

0,800

1,000


Ing. Jan Samec



1150 kN

nul. čtení 1=


0,000


Síla [kN]


600 400 200 0 0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

Deformace [mm]



-26-

1,000

1,200


Ing. Jan Samec


Protlačovací zkouška: perforovaná lišta vzorek A2/1 průměr otvorů 32 mm, délka lišty 590 mm /50/10 datum zkoušky: 19.11.2001 datum betonáže: 12.10.2001 výztuž: R 10 505 2 profily průměru 10 mm délka lišty: 590 mm b= 0 mm únosnost lišty na 1 mm= 0,6356 kN/mm 4,451 mm δ 0.9 = max. síla=

750 kN

nul. čtení 1=


0,073


Síla [kN]

600 500 400


300 200 100 0 0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

Deformace [mm]



-27-

6,000

7,000


Ing. Jan Samec



1100 kN

nul. čtení 1=


0,056


Síla [kN]

800 600


400 200 0 0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

Deformace [mm]



-28-

2,500

3,000


Ing. Jan Samec



1350 kN

nul. čtení 1=


0,000


Síla [kN]

1200 1000 800


600 400 200 0 0,000

0,500

1,000

1,500

Deformace [mm]



-29-

2,000

2,500


Ing. Jan Samec



1250 kN

nul. čtení 1=


0,248


Síla [kN]


600 400 200 0 0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

Deformace [mm]



-30-

2,500

3,000


Ing. Jan Samec


Protlačovací zkouška: perforovaná lišta vzorek A3/1 průměr otvorů 32 mm, délka lišty 590 mm /50/10 datum zkoušky: 23.11.2001 datum betonáže: 18.10.2001 výztuž: R 10 505 5 profilů průměru 10 mm délka lišty: 590 mm b= 0 mm únosnost lišty na 1 mm= 0,8475 kN/mm 3,598 mm δ 0.9 = max. síla=

1000 kN

nul. čtení 1=


0,310


Síla [kN]

800 600


400 200 0 0,000

1,000

2,000

3,000

Deformace [mm]



-31-

4,000


Ing. Jan Samec



1250 kN


nul. čtení 1=

0,091


Síla [kN]


600 400 200 0 0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

Deformace [mm]



-32-

3,000

3,500


Ing. Jan Samec



1430 kN

nul. čtení 1=


0,005


Síla [kN]

1200 1000 800


600 400 200 0 0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

Deformace [mm]



-33-

2,500

3,000


Ing. Jan Samec



1700 kN

nul. čtení 1=


1,096

Pracovní diagram A3/4 1800 1600 1400 Síla [kN]

1200 1000


800 600 400 200 0 0,000

0,500

1,000

1,500

Deformace [mm]



-34-

2,000


Ing. Jan Samec

5.6 Rekapitulace výsledků Výsledky testů prokázaly zvýšení únosnosti spřažení u paralelních lišt v porovnání s únosností jedné lišty. Vliv geometrie perforované lišty a stupně vyztužení na únosnost smykového spřažení je patrný z provedených experimentů a tab. 3, ve které poslední sloupec vyjadřuje poměr smykové únosnosti jedné lišty v paralelním uspořádání k únosnosti jedné lišty v základním uspořádání. Je zřejmé, že i u paralelních lišt je únosnost přímo úměrná množství příčné betonářské výztuže. Vliv vzdálenosti b na únosnost je méně významný a není zatím přesně určen. Spřažení perforovanou lištou je podle ČSN P ENV 1994-1-1 klasifikováno jako tuhé, protože se mezní prokluzy δ0.9 ve spřažení při protlačovacích zkouškách pohybovaly v rozmezí 0,6 až 4,5 mm. Není tedy dosaženo normou požadovaných 6 mm pro poddajné spřažení. S rostoucím stupněm vyztužení se prokluz zvětšuje.

Označení

A1/1 A1/2 A1/3 A1/4 A2/1 A2/2 A2/3 A2/4 A3/1 A3/2 A3/3 A3/4

Pevnost betonu v Pevnost betonu Vyztužení tlaku (f sk = 490 MPa) v tahu

Smyková únosnost lišty

A st

f ck,cyl

f ck, cub

f tk

P R.exp

PR 1

[mm2/mm] 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 0,25 0,25 0,25 0,58 0,58 0,58 0,58

[MPa] 28,58 28,58 28,58 28,58 25,65 25,65 25,65 25,65 23,58 23,58 23,58 23,58

[MPa] 28,53 28,53 28,53 28,53 29,62 29,62 29,62 29,62 26,85 26,85 26,85 26,85

[MPa] 3,16 3,16 3,16 3,16 2,82 2,82 2,82 2,82 2,71 2,71 2,71 2,71

[kN/mm] 0,2542 0,2542 0,4025 0,4873 0,6356 0,4661 0,5720 0,5297 0,8475 0,5297 0,6059 0,7203

[kN/mm] 0,2864

Tab. 3 Porovnání únosností jednotlivých vzorků Použité symboly: Ast ……plocha příčné výztuže fsk ……mez kluzu příčné výztuže fck,cyl ……válcová pevnost betonu v tlaku fck,cub ……krychelná pevnost betonu v tlaku ftk ……krychelná pevnost betonu v příčném tahu PR.exp ……experimentálně zjištěná únosnost jedné lišty PR1 ……únosnost jedné lišty zjištěná dle vzorce PR1 = − 68 + 12, 4 f ck ,cyl + 797 Ast

-35-

0,4494

0,6866

Poměr smykové únosnosti Ai / k Ai /1

[-] 1,00 1,00 1,58 1,92 1,00 0,73 0,90 0,83 1,00 0,63 0,72 0,85

Spřažení perforovanou lištou – Teoretická analýza

Ing. Jan Samec

6. Teoretická analýza Prudký rozvoj výpočetní techniky je neustálý a napomohl vzniku nových metod pro numerické řešení fyzikálních problémů. V současnosti jsou nejpoužívanější dvě metody a to metoda konečných prvků (MKP) a metoda hraničních prvků (MHP). Existují však i další metody, které ale mají pouze speciální uplatnění, např. statistická metoda Monte Carlo (MC), metoda LHS či upravená pravděpodobnostní metoda konečných prvků (PMKP). Většina nejznámějších numerických programů vyvíjených pro inženýrské účely preferuje metodu MKP. Vzhledem k tomu, že je k dispozici velké množství softwaru založeného na uvedených metodách, není nezbytně nutné snažit se postihnout skutečné chování konstrukcí, konstrukčních prvků či zkoušených vzorků tvorbou vlastního programu popř. zakomponováním nového prvku do programu stávajícího. Většinou zcela postačuje vybrat vhodný MKP program, který je schopen (s dostatečnou mírou přesnosti) simulovat řešený fyzikální problém. Vhodná volba spočívá také v optimalizaci nároků na znalost vstupních parametrů a okrajových podmínek a na jednoduchost obsluhy programu vzhledem k výsledkům, kterých je možné dosáhnout.

6.1 Numerický model Numerická simulace zkoumaného problému si v našem případě klade za cíl potvrdit výsledky získané z experimentálních zkoušek. Pokud by se výsledky obou přístupů významněji lišily, je třeba odhalit příčiny vzniklých nesrovnalostí. Ze zkušenosti lze soudit, že nejčastěji bývají rozdíly ve výsledcích zapříčiněny chybným nebo nedostatečně přesným odhadem okrajových podmínek problému, nekvalitní sítí konečných prvků (kde může docházet až k řádovým chybám v hodnotách) popřípadě nevhodně zvoleným typem konečného prvku, který není schopen dostatečně výstižně postihnout danou problematiku. Nedostatky se většinou hledají na straně numerického modelu, přesto nelze vyloučit, že odchylka může vzniknout i na straně provedených experimentů kupř. vlivem neočekávané materiálové vady, apod. Z výše uvedeného vyplývá, že je třeba během celého procesu tvorby modelu (preprocessingu), volby numerického řešiče (processingu), i vyhodnocení (postprocessingu), důkladně dbát na znalost a věrohodnost zadávaných parametrů i zvolené cesty výpočtu. Cílem je, aby po kalibraci numerického modelu s výsledky protlačovacích zkoušek bylo možno už pouze na základě MKP modelu vytvořit parametrickou studii perforované lišty s různým stupněm vyztužení a pevností betonu v tlaku, eventuelně i lišty modifikovaného tvaru. Tato studie by měla minimalizovat potřebu dalších finančně nákladných protlačovacích zkoušek, které by byly nutné, pokud by se postupovalo pouze cestou experimentální.

6.2 Model v programu ANSYS Nejschůdnějším řešením problému chování perforované lišty se zdá použití MKP programu ANSYS ve verzi 7.1. Tento software patří mezí nejpropracovanější systémy, které jsou v současnosti k dispozici. K velkým kladům lze řadit to, že program je licencován pro univerzitní účely přímo na půdě ČVUT v Praze a je tedy volně k dispozici. S tím souvisí i obecně dobrá znalost obsluhy ANSYSu v rámci ČVUT. Program sám je schopen generovat síť konečných prvků tak, aby výpočet byl optimalizován a mohl probíhat v reálném čase. Cílem disertační práce je vytvoření funkčního modelu základní perforované lišty působící jako spřahovací prvek mezi betonovou deskou a ocelovým profilem. Model je od počátku tvořen v prostoru, aby bylo možné lépe vystihnout skutečné chování prvku v reálné

-36-


Ing. Jan Samec

konstrukci. I při dnešním dostatečně vyspělém hardwarovém vybavení na školícím pracovišti je z důvodu úspory času vhodné využít symetrie vzorku. Jak je vidět na obr. 36, modeluje se pouze čtvrtina protlačovacího vzorku, což zvlášť při užití 3D prvků výrazně sníží nároky na procesorový čas počítače. Protlačovací vzorek je podrobně popsán na str. 17 disertační práce.

Obr. 36 Čtvrtina protlačovacího vzorku s lištou Model se bude zatěžovat přírůstkově, přičemž se bude sledovat závislost působící síly a prokluzu mezi betonovou deskou a ocelovým nosníkem. Hodnoty takto získaného pracovního diagramu se porovnají s hodnotami známými z velkého množství experimentů vykonaných na ČVUT [71]. Model se následně odladí tak, aby si hodnoty z numerického modelu a experimentálně zjištěné hodnoty odpovídaly v celém rozsahu provedených zkoušek. Bude sledován vliv stupně vyztužení a pevnosti betonu v tlaku na únosnost lišty. V této fázi bude sledován pouze základní tvar lišty, ale model by měl umožnit i modifikaci tvarů lišty v budoucnosti. Vhodná volba konečných prvků (stejný počet stupňů volnosti) zajistí vyšší numerickou stabilitu modelu při výpočtu.

6.3 Typy prvků 6.3.1 Betonová část vzorku Jako nejvhodnějším prvkem pro modelování nelineárního chování železobetonové desky zkušebního vzorku se v programu ANSYS jeví 8-uzlový prvek SOLID65. Jedná se o trojrozměrný prvek se třemi stupni volnosti v každém uzlu (posuny ve směrech os x, y, z). Nejvyšší přesnosti výpočtu je dosaženo, jestliže element má všech osm uzlů (hranol). Pokud model vyžaduje změnu počtu uzlů z důvodu např. složité geometrie, na kterou nelze aplikovat strukturovanou neboli mapovanou síť konečných prvků, pak může prvek „degenerovat“ až na čtyřstěn se čtyřmi uzly. V tomto případě se uzly M, N, O, P sloučí do jediného uzlu. Úpravy tvaru jsou zřejmé z obr. 37. Čísla označují plochy, na které lze aplikovat zatížení. SOLID65 má schopnost simulovat plastické chování – plastickou deformaci, vznik trhlin ve třech vzájemně kolmých směrech a drcení materiálu tlakem. U prvku je možno zadat volitelné parametry, tzv. reálné konstanty REBARs, díky kterým se může betonový prvek -37-


Ing. Jan Samec

vyztužit ve třech směrech ocelovou výztuží. Tato výztuž charakterizovaná vlastním pracovním diagramem se v modelu chová jako rozptýlená výztuž (drátkobeton). Zadává se poměrem objemu výztuže ku celkovému objemu prvku. Malou nevýhodou tohoto typu vyztužení je již výše zmíněná „rozptýlenost“ výztuže v celém objemu betonové desky, která nerealisticky zvyšuje únosnost v tlaku oproti stejnému železobetonovému prvku. Další malou nevýhodou je fyzikální chování výztuže zadané pomocí konstant REBARs. Výztuž přenáší tlakové a tahové síly, ale neúčastní se přenosu sil smykových, což je způsobeno tím, že výztužný prvek má jen tři stupně volnost obdobně, jako je tomu u samotného prvku SOLID65. Tato vlastnost je bohužel dána matematicko-fyzikálním modelem prvku, a proto ji nelze měnit.

Obr. 37 Konečný prvek Solid65 3D Druhý prvek použitý při modelování železobetonové desky je LINK8, který má stejné vlastnosti jako rozptýlená výztuž přímo implementovaná v SOLID65. Každý z uzlů prvku LINK8 má tři stupně volnosti (posuny ve směrech os x, y, z). Prvek má schopnost plastické deformace. LINK8 byl v našem případě využit při modelování příčné výztuže procházející otvory perforované lišty, jejíž důležitost plynoucí z experimentů je velmi významná. Jeho výhodou je možnost přesného umístění v otvoru lišty. Pro výztuž ve zbylých dvou rovinách byly zadány reálné konstanty pro REBAR, protože nepřesnost způsobená rozptylem po celém objemu desky nemá podstatný vliv na výsledek celého modelu. Geometrie elementu LINK8 a umístění uzlů jsou patrné z obr. 38.

Obr. 38 Konečný prvek Link8 3D

6.3.2 Ocelové části vzorku Jak ocelová stojina a pásnice HEB profilu, tak vlastní plech perforované lišty byly modelovány pomocí 4-uzlového prvku SHELL41. Jedná se o dvourozměrný prvek se třemi stupni volnosti v každém uzlu (posuny ve směrech os x, y, z). Z výše uvedeného plyne, že -38-


Ing. Jan Samec

prvek nemá schopnost přenášet zatížení ohybem. Působí jako membrána přenášející síly pouze ve střednicové rovině. Základní charakteristikou elementu SHELL41 je schopnost velké deformace prvku. Z definice prvku plyne, že nejvyšší přesnosti výpočtu je dosaženo, pokud použijeme při modelování síť čtyřúhelníkových prvků. V případech, kdy se jedná o složitou geometrii, je možné prvek „degenerovat“ na trojúhelník. V tomto případě se uzly K, L sloučí do jediného uzlu. Úpravy tvaru a celková geometrie prvku jsou vidět na obr. 39. Čísla označují plochy, na které lze aplikovat zatížení.

Obr. 39 Konečný prvek Shell41 3D

6.4 Materiálové vlastnosti 6.4.1 Beton Modelovat betonový vzorek je v současnosti (při uvažování nelineárních materiálových vlastností) v kterémkoli z běžných FEM programů nelehký úkol. I přes poměrně široké spektrum přístupů různých autorů ve světě je jen málo možností, jak tyto charakteristiky určit jinak než experimentálně. Beton je, jak známo, materiál kvazikřehký a má rozdílné vlastnosti v tlaku a tahu. Pevnost v tahu betonu dosahuje zpravidla 8÷15% pevnosti v tlaku, viz [55]. Obr. 40 ukazuje typický pracovní diagram betonu obvyklých pevností a objemové tíhy dle [8].

Obr. 40 Pracovní diagram – jednoosá napjatost pro beton obvyklé pevnosti

-39-


Ing. Jan Samec

V tlačené oblasti se beton chová lineárně (pružně) do cca 30% maximálního napětí v tlaku. Nad touto hodnotou se začíná projevovat plastické chování a napětí roste společně s deformací až do dosažení maximálního napětí σ cu (meze pevnosti v tlaku), pak se pracovní diagram dostává do oblasti tzv. změkčení. Beton přestává přenášet tlak v okamžiku podrcení, kterému odpovídá poměrná deformace ε cu . Velikosti ε 0 a ε cu se zjistí při zkoušce a průměrné hodnoty jsou pro obvyklé betony známé. Chování betonu v tahu při jednoosé napjatosti je kvalitativně jiné. Vztah napětí-deformace je až do okamžiku dosažení maximální pevnosti v tahu téměř lineární, poté se začínají objevovat trhliny a pevnost rapidně klesá k nule. 6.4.1.1 Modely kvazikřehkých materiálů V komerčních programech (ANSYS, ABAQUS, ATENA, atd.) existuje velké množství modelů popisující chování kvazikřehkých materiálů při prostorové napjatosti. Mezi nejpoužívanější patří:

•

Druckerova-Pragerova podmínka plasticity

•

Chenova podmínka plasticity

•

Rankinova podmínka plasticity

Před vlastním popisem jednotlivých modelů je potřeba ozřejmit základní pojmy a vztahy, které se vážou na problematiku pružnoplastického chování materiálů při složité prostorové napjatosti. Napjatost v jistém bodě tuhého tělesa lze jednoduše znázornit v prostoru hlavních napětí vektorem σ (obr. 41). Spolu s růstem zatížení se mění i koncový bod tohoto vektoru po křivce Li zvané dráha zatěžování. Zlom mezi pružným a plastickým stavem je v prostoru vymezen plochou plasticity popsanou skalární funkcí, tzv. podmínkou plasticity. f (σ , k ) = 0

Obr. 41 Dráhy zatěžování Li a plocha plasticity -40-

(6.1)


Ing. Jan Samec

Pokud materiál vykazuje zpevnění, plocha popsaná rovnicí (6.1) se mění v závislosti na historii zatížení, což vystihují parametry zpevnění k = k ( t ) . Z tohoto důvodu je f (σ , k ) nazývána funkcí zatěžování. Na obr. 42 jsou znázorněny 2 křivky zatěžování (plasticity) odpovídající dvěma časovým okamžikům t1 , t2 . Tyto časové okamžiky identifikují dva napjatostní stavy, pružnoplastické vlastnosti materiálu jsou však na čase nezávislé. Nerovnost výrazu f (σ , k ) < 0 popisuje buď počáteční pružné zatěžování nebo pružné odtěžování po předchozí plastifikaci.

Obr. 42 Křivky zatěžování Jestliže materiál zůstává v plastickém stavu, pak zůstává v platnosti i rovnice (6.1) (stav, kdy f (σ , k ) > 0 nemůže v důsledku definice funkce f nastat) a její diferenciací získáme podmínku konzistence: T

T

∂f ∂f ⎛ ∂f ⎞ ⎛∂f ⎞ df = dσ ij + dkk = ⎜ ⎟ dσ + ⎜ ⎟ dk = 0 ∂σ ij ∂kk ⎝ ∂σ ⎠ ⎝ ∂k ⎠

(6.2)

Parametr zpevnění k = k ( t ) je materiálovou konstantou a lze ho vhodně zvolit znaménkově tak, aby při zatěžování

( ∂f / ∂k )

T

dk < 0 , pak lze na základě podmínky

konzistence definovat kritérium zatěžování:

⎧> 0 plastické zatěžování T ⎛ ∂f ⎞ T ∂f ⎪ ⎨= 0 neutrální zatěžování ⎜ ⎟ dσ = dσ ∂σ ⎪ ⎝ ∂σ ⎠ ⎩< 0 pružné odtěžování

(6.3)

Kritérium je vyjádřeno skalárním součinem vektorů dσ a ∂ f ∂σ , které na obr. 42 postupně svírají úhly α1 < π 2 , α 2 = π 2 , α 3 > π 2 . Praktická demonstrace výše uvedených vztahů je zřejmá z Chenovy podmínky plasticity.

-41-


Ing. Jan Samec

A. Druckerova-Pragerova podmínka plasticity

f (σ , k ) = J 2 + Ψ (σ v ) − k = 0 ,

(6.4)

kde 1 sij sij 2

J2

……druhý invariant deviátoru tenzoru napětí sij ; J 2 =

σv

……střední napětí úměrné prvnímu invariantu tenzoru napětí σ ij ; σ v =

I1

……první invariant tenzoru napětí σ ij ; I1 = σ kk

Ψ k

pravidlo) ……empirická, monotónně rostoucí funkce; často Ψ = α I1 ……kladná materiálová konstanta ……kladná materiálová konstanta

α

I1 3 = σ x + σ y + σ z (Einsteinovo sumační

Obr. 43 Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Výše zmíněná rovnice (6.4) odpovídá v prostoru tvořeném osami hlavních napětí σ 1 , σ 2 , σ 3 rotačnímu tělesu - kuželu. Osou symetrie je hydrostatická osa σ 1 = σ 2 = σ 3 , viz obr. 43. Podmínka plasticity je splněna, pokud výslednice hlavních napětí není vně pláště kužele. Závislost f (σ , k ) na σ v je podstatná u materiálů, které se vyznačují rozdílnou mezí plasticity v tlaku a tahu. Mez plasticity je hranice, které pokud není při zatěžování dosaženo, tak se materiál chová pružně, jinak se v materiálu začne objevovat plastické přetvoření. Podmínka Drucker-Pragerova našla uplatnění především v oblasti mechaniky zemin a při vyšetřování přetvárných vlastností betonu a dalších porézních materiálů. Velkým problémem je určení empirických materiálových vlastností, které nejsou v literatuře dostatečně popsány, respektive tyto charakteristiky není snadné na beton konkrétních pevností v tahu a tlaku a modulu pružnosti aplikovat.

-42-


Ing. Jan Samec

B. Chenova podmínka plasticity Tato podmínka plasticity je využívána k popisu plasticity betonu. Je složena ze dvou funkcí: f c s platností omezenou pouze na tlačenou oblast a ft , která určuje vznik plastického přetváření betonu namáhaného tlakem a tahem při obecné napjatosti. Rozdělení obecné napjatosti je znázorněno na obr. 44 v rovině souřadnic I1 - J 2 .

Jednotlivé oblasti jsou vymezeny podmínkami:

•

Tlak – tlak:

I1 < 0 ,

J2 +

I1 <0 3

(6.5a)

•

Tlak – tah:

I1 < 0 ,

J2 +

I1 >0 3

(6.5b)

•

Tah – tah:

I1 > 0 ,

J2 −

I1 <0 3

(6.5c)

•

Tah – tlak:

I1 > 0 ,

J2 −

I1 >0 3

(6.5d)

Obr. 44 Chenova podmínka plasticity v rovině I1 - J 2 a σ 1 - σ 2 (rovinná napjatost σ 3 = 0 ) V tlakové zóně vymezené podmínkami uvedenými v rovnici (6.5a) je počáteční plocha plasticity popsána rovnicí: f c (σ ) = J 2 +

A I1 − k 2 = 0 3

(6.6)

Ve zbylých zónách napjatosti vymezených podmínkami uvedenými v rovnicích (6.5bcd) je plocha plasticity popsána rovnicí: f t (σ ) = J 2 +

A 1 I1 − I12 − k 2 = 0 , 3 6 -43-

(6.7)


kde A, k

Ing. Jan Samec

…… materiálové konstanty závislé na experimentálně zjištěných mezích plasticity betonu Ryt , Ryc při jednoosém namáhání v tahu a tlaku a Rybc při dvouosém tlaku

•

Zóna dle (6.5a):

•

Zóna dle (6.5bcd):

A=

2 Rybc − Ryc2

2 Rybc − Ryc

A=

, k2 =

Ryc − Ryt 2

Ryc Rybc ( 2 Ryc − Rybc ) 3 ( 2 Rybc − Ryc )

, k2 =

Ryc Ryt 6

(6.8)

(6.9)

Tzv. následné plochy plasticity vznikají postupným zvětšováním plochy plasticity definované rovnicemi (6.6) a (6.7) a jsou popsány funkcemi: ⎛ α ⎞ I1 − κ 2 ⎜1 − I1 ⎟ = 0 3 ⎝ 3 ⎠

(6.10)

1 ⎛ α ⎞ I1 − I12 − κ 2 ⎜1 − I1 ⎟ = 0 , 3 6 ⎝ 3 ⎠

(6.11)

f c (σ , k ) = J 2 +

•

Tlaková zóna:

•

Zóna tah, tah a tlak: ft (σ , k ) = J 2 +

β

β

kde α , β …… materiálové konstanty určené výrazy:

α=

Au − A Aku2 − Au k 2 = , β ku2 − k 2 ku2 − k 2

(6.12)

Au , ku …… materiálové konstanty určené ze vztahů (6.8) a (6.9) záměnou meze plasticity za meze pevnosti betonu Rt , Rc při jednoosém namáhání v tahu a tlaku a Rbc při dvouosém tlaku Rovnice (6.10) a (6.11) jsou závislé na parametru zpevnění κ, který se určí z ekvivalentní plastické deformace. Při κ = k se funkce zatěžování zredukují na počáteční funkce zatěžování (počáteční plocha plasticity). Pokud je κ = ku , stávají se naopak podmínkami porušení a to: •

Tlaková zóna:

•

Zóna tah, tah a tlak:

Au I1 − ku2 = 0 3

(6.8)

Au 1 I1 − I12 − ku 2 = 0 3 6

(6.9)

f cu (σ ) = J 2 + ftu (σ ) = J 2 +

Funkce porušení jsou zobrazeny na obr. 44 křivkou porušení. Při splnění podmínek porušení – v okamžiku, kdy dosáhne koncový bod vektoru napětí plochy porušení v tlakové oblasti, dochází k podrcení betonu. Ve zbylých oblastech (zóna tahu, tahu a tlaku) nastane roztržení betonu.

-44-


Ing. Jan Samec

C. Rankinova podmínka plasticity Často užívanou podmínkou vyjadřující chování betonových prvků je tzv. Rankinova podmínka plasticity popsána kritériem:

σ c < σ i < σ t , i = 1, 2,3 ,

(6.10)

kde

σt σc σi

……experimentálně získaná hodnota maximálního normálového napětí betonu v tahu ……experimentálně získaná hodnota minimálního normálového napětí betonu v tlaku ……hlavní normálové napětí

V Mohrově zobrazení toto kritérium vymezuje Mohrovy kružnice úsečkami σ = σ c a σ −σc . σ = σ t , přičemž smykové napětí je implicitně omezeno hodnotou τ lim = t 2

Obr. 45 Rankinova podmínka plasticity v rovině Ve 3D prostoru hlavních normálových napětí musí být koncový bod vektoru napětí uvnitř krychle s úhlopříčkou danou body {σ t ; σ t ; σ t } a {σ c ; σ c ; σ c } , viz obr. 46. Rankinova podmínka plasticity poměrně věrohodně charakterizuje stav napjatosti tělesa z kvazikřehkého materiálu. Velká část komerčních programů ji buď přímo nebo v modifikované úpravě využívá v oblasti tah – tah.

Obr. 46 Rankinova podmínka plasticity v prostoru

-45-


Ing. Jan Samec

6.4.1.2 Podmínka plasticity – CONCRETE

Program ANSYS zavádí místo vyjmenovaných vlastní podmínku, tzv. materiálový model CONCRETE, který je charakterizován tím, že využívá upravenou Chenovu podmínku plasticity v oblasti tlak-tlak a Rankinovu podmínku plasticity v oblasti tah-tah. Podmínka CONCRETE je vyjádřena následujícím vztahem: F −S ≥0, f c′ kde F f c′ S

(6.11)

……funkce hlavních napětí σ 1 , σ 2 , σ 3 , ……pevnost betonu v tlaku při podrcení (jednoosá napjatost), ……plocha porušení vyjádřena v hlavních napětích a pěti vstupních parametrech:

Vstupní parametry f c′ ……uvedeno výše, fr ……pevnost betonu v tahu (jednoosá napjatost), f cb ……pevnost betonu v tlaku (dvouosá napjatost),

σ ha

……hydrostatický stav napjatosti,

f1

……pevnost betonu v tlaku (dvouosá napjatost) při napjatosti σ ha ,

f2

……pevnost betonu v tlaku (jednoosá napjatost) při napjatosti σ ha ,

Plocha porušení v programu ANSYS tedy obecně vyžaduje zadání všech parametrů. Pokud nejsou k dispozici, je nutné zadat alespoň první dva parametry ( f c′ , f r ). Zbylé hodnoty se nastaví automaticky dle [64]: f cb = 1, 2 f c′

(6.12a)

f1 = 1, 45 f c′

(6.12b)

f 2 = 1, 725 f c′

(6.12c)

Platnost vzorců (6.12abc) je omezena vztahem pro hydrostatické napětí:

σ h ≤ 3 ⋅ f c′ ; σ h =

σ1 + σ 2 + σ 3 3

(6.13)

Tento předpoklad odpovídá situacím, kdy působí malá hodnota hydrostatické složky napětí. Jak funkce F , tak plocha porušení S jsou vyjádřeny v napětích σ 1 , σ 2 , σ 3 , kde:

σ 1 = max(σ 1 , σ 2 , σ 3 )

(6.14)

σ 3 = min(σ 1 , σ 2 , σ 3 )

(6.15)

a σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . Porušení betonového prvku je (stejně jako u Chenovy podmínky plasticity) rozděleno do čtyř oblastí.

-46-


Ing. Jan Samec

•

Tlak – tlak – tlak:

0 ≥σ1 ≥σ 2 ≥σ 3

(6.16a)

•

Tah – tlak – tlak:

σ1 ≥ 0 ≥σ 2 ≥σ 3

(6.16b)

•

Tah – tah – tlak:

σ1 ≥σ 2 ≥ 0 ≥σ 3

(6.16c)

•

Tah – tah – tah:

σ1 ≥σ 2 ≥σ 3 ≥ 0

(6.16d)

V každé této oblasti popisují F a plochu porušení S nezávislé funkce. Jsou označeny jako F1 , F2 , F3 , F4 a S1 , S2 , S3 , S4 . Funkce S1 , S2 mají tu vlastnost, že popisovaná plocha je spojitá, ale gradient funkce je nespojitý, jestliže alespoň jedno z hlavních napětí změní znaménko. Zóna tlak – tlak – tlak ( 0 ≥ σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ) Funkce F je definována vztahem: F = F1 =

1 15

(σ

1

−σ 2

) + (σ 2

2

−σ 3

) + (σ 2

3

−σ1

)

2

(6.17)

a funkce plochy porušení S : S = S1 =

2r2 ( r22 − r12 ) cosη + r2 ( 2r1 − r2 ) 4 ( r22 − r12 ) cos 2 η + 5r1 − 4r1r2 4 ( r22 − r12 ) cos 2 η + ( r2 − 2r1 )

2

,

(6.18)

kde cosη =

2σ 1 − σ 2 − σ 3

(

2 ⎡ σ 1 −σ 2 ⎢⎣

) + (σ 2

−σ 3

) + (σ

3

−σ1

)

2

⎤ ⎥⎦

(6.19)

r1 = a0 + a1ξ + a2ξ 2

(6.20)

r2 = b0 + b1ξ + b2ξ 2

(6.21)

ξ= a0 , a1 , a2 b0 , b1 , b2

2

2

σh

f c′

(6.22)

…materiálové charakteristiky dle vzorce (6.23), …materiálové charakteristiky dle vzorce (6.25).

Na obr. 47 je znázorněna plocha porušení v prostoru hlavních napětí. Úhel η (neboli úhel podobnosti) vyjadřuje relativní velikost hlavních napětí. Z rovnice (6.19) plyne, že η = 0° odpovídá napjatosti, pro kterou platí σ 3 = σ 2 > σ 1 (tj. jednoosý tlak, dvouosý tah), zatímco η = 60° odpovídá napjatosti, pro kterou platí σ 3 > σ 2 = σ 1 (tj. jednoosý tah, dvouosý tlak). Všechny zbylé víceosé napjatostní stavy mají úhel podobnosti 0° ≤ η ≤ 60° . Pokud je η = 0° , pak S1 je rovno r1 . Proto funkce r1 reprezentuje plochu porušení všech napjatostních stavů pro η = 0° . V případě η = 60° je S1 je rovno r2 a platí totéž.

-47-


Ing. Jan Samec

Obr. 47 Plocha porušení v prostoru Z obr. 47 je zřejmé, že průřez plochou plasticity (označen zeleně) je symetricky rozdělen na tři části vždy po úhlu 120°. Funkce r1 je určena koeficienty a0 , a1 , a2 nastavenými tak, aby f r , f cb a f1 ležely na ploše plasticity. Tyto koeficienty se stanoví z následujícího vztahu: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ F1 ⎪ ⎩ f c′

⎫ ⎪ ⎪ ⎡1 ξ r ξ r2 ⎤ ⎧a0 ⎫ ⎪ ⎢ F1 ⎪ 2 ⎥⎪ σ 1 = 0r , σ 2 = σ 3 = − f cb ⎬ = ⎢1 ξ cb ξ cb ⎥ ⎨ a1 ⎬ , f c′ ⎪ ⎢1 ξ ξ 2 ⎥ ⎪a ⎪ 1 1 ⎦⎩ 2⎭ ⎪ ⎣ a σ 1 = −σ h , σ 2 = σ 3 = −σ h − f1 ⎪ ⎭

(

F1 σ 1 = fr ,σ 2 = σ 3 = 0 f c′

(

)

)

(

(6.23)

)

kde 2 f cb σ ha 2 f1 fr ξr = , ξ cb = − , ξ1 = − − 3 f c′ f c′ 3 f c′ 3 f c′

(6.24)

Funkce r2 je závislá na koeficientech b0 , b1 , b2 získaných ze vztahu: ⎧ ⎫ F1 σ 1 = σ 2 = 0, σ 3 = − f c′ 1 1⎤ ⎪ ⎪ ⎡ f c′ ⎪ ⎪ ⎢1 − 3 9 ⎥ ⎧b0 ⎫ ⎪ F1 ⎪ ⎢ ⎪ 2⎥⎪ a a ⎨ σ 1 = σ 2 = −σ h , σ 3 = −σ h − f 2 ⎬ = ⎢1 ξ 2 ξ 2 ⎥ ⎨ b1 ⎬ , ⎪ f c′ ⎪ ⎢1 ξ ξ02 ⎥ ⎪⎩b2 ⎪⎭ 0 ⎪ F1 ⎪ ⎢ ⎥ 0 ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ ⎩ f c′ ⎭

(

)

(

)

-48-

(6.25)


Ing. Jan Samec

kde

ξ2 = −

σ ha

−

f c′

f2 3 f c′

(6.26)

a ξ 0 je kladný kořen rovnice: r2 (ξ 0 ) = a0 + a1ξ 0 + a2ξ 02 = 0

(6.27)

Řešení rovnice (6.27) v rovině τ − ξ ( τ - smykové napětí) vyjadřuje, že plocha porušení daná funkcemi r1 a r2 má vrchol v bodě ξ = ξ 0 . Průběh obou funkcí v závislosti na parametru ξ je znázorněn na obr. 48. Horní křivka reprezentuje všechny stavy napjatosti při úhlu podobnosti η = 60° a dolní křivka všechny stavy napjatosti při η = 0° .

Obr. 48 Plocha porušení v rovině τ − ξ Aby existovalo řešení funkce plochy porušení, musí být tato funkce konvexní. Požadavek je splněn, pokud poměr r1 / r2 je v rozmezí ( 0,5;1, 25 ) , přičemž horní hranice nebývá pro materiály typu beton zpravidla dosažena a pohybuje se kolem hodnoty 1,0. Také pro koeficienty a0 , a1 , a2 a b0 , b1 , b2 existují omezení, a to: a0 > 0 , a1 ≤ 0 , a2 ≤ 0 a b0 > 0 , b1 ≤ 0 , b2 ≤ 0 . Pokud je splněna podmínka plasticity v zóně tlak – tlak – tlak, pak dochází u materiálu k podrcení. Zóna tah – tlak – tlak ( σ 1 ≥ 0 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ) V tomto intervalu je funkce F popsána vztahem: F = F2 =

1 15

(σ

2

−σ 3

)

2

2

2

+σ 2 +σ 3

(6.28)

a funkce plochy porušení S : 2 2 2 2 2 ⎛ σ 1 ⎞ 2 p2 ( p2 − p1 ) cosη + p2 ( 2 p1 − p2 ) 4 ( p2 − p1 ) cos η + 5 p1 − 4 p1 p2 , (6.29) S = S2 = ⎜1 − ⎟ 2 fr ⎠ 4 ( p22 − p12 ) cos 2 η + ( p2 − 2 p1 ) ⎝

kde p1 = a0 + a1 χ + a2 χ 2

(6.30)

p2 = b0 + b1 χ + b2 χ 2

(6.31)

χ=

(

1 σ 2 +σ 3 3 -49-

)

(6.32)


Ing. Jan Samec

Pokud je splněna podmínka plasticity v zóně tah – tlak – tlak, dochází u materiálu ke vzniku trhlin v rovině kolmé na směr hlavního napětí σ 1 . Zóna tah – tah – tlak ( σ 1 ≥ σ 2 ≥ 0 ≥ σ 3 ) V oblasti tah – tah – tlak je funkce F přímo rovna dvěma hlavním napětím: F = F3 = σ i , i = 1, 2

(6.33)

a funkce S : S = S3 =

fr ⎛ σ 3 ⎞ ⎜1 + ⎟ , i = 1, 2 f c′ ⎝ f c′ ⎠

(6.34)

Pokud je splněna podmínka plasticity v zóně tah – tah – tlak pro obě i = 1, 2 , dochází u materiálu ke vzniku trhlin v rovině kolmé na směr hlavního napětí σ 1 a σ 2 . Pokud je podmínka splněna pouze pro i = 1 , dochází ke vzniku trhlin pouze v rovině kolmé na směr hlavního napětí σ 1 . Zóna tah – tah – tah ( σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ≥ 0 ) V poslední oblasti je funkce F rovna všem hlavním napětím: F = F4 = σ i , i = 1, 2,3

(6.35)

a funkce plochy porušení S : S = S4 =

fr f c′

(6.36)

V tomto intervalu dochází při splnění podmínky plasticity: • ve směru 1, 2 a 3 ke vzniku trhlin v rovině kolmé na směr hlavního napětí σ 1 , σ 2 a σ 3 , • ve směru 1 a 2 ke vzniku trhlin v rovině kolmé na směr hlavního napětí σ 1 a σ 2 , • ve směru 1 ke vzniku trhlin v rovině kolmé na směr hlavního napětí σ 1 . Obr. 49 znázorňuje 3D plochu plasticity pro napjatosti rovinné nebo téměř rovinné (dvouosá napjatost). Pokud jsou hlavní napětí σ 1 a σ 2 výrazně nenulová, pak tři plochy plasticity jsou dány vztahem: σ 3 nepatrně větší než nula, σ 3 rovno nule a σ 3 nepatrně menší než nula. Ačkoli jsou tyto plochy v rovině hlavních napětí σ 1 − σ 2 téměř totožné a 3D plocha plasticity je spojitá, způsob porušení materiálu závisí na znaménku σ 3 . Pokud jsou obě napětí σ 1 a σ 2 záporná a σ 3 (nepatrně) kladné, dojde ke vzniku trhlin kolmo na směr napětí σ 3 . Pokud však σ 3 je rovno nule nebo (nepatrně) záporné, materiál se podrtí tlakem, viz [67].

-50-


Ing. Jan Samec

Obr. 49 Plocha porušení v rovině σ 1 − σ 2 V betonovém prvku se trhliny objeví pokud alespoň jedno z hlavních tahových napětí leží vně plochy porušení. Po vzniku trhliny se modul pružnosti prvku ve výpočtovém modelu nastaví na hodnotu nula ve směru kolmém na směr hlavního tahového napětí. Podrcení prvku naopak nastane pokud všechna hlavní tlaková napětí leží vně plochy porušení. V tomto případě se modul pružnosti nastaví na hodnotu nula ve všech směrech a prvek se automaticky přestane podílet na přenášení sil. 6.4.1.3 Fyzikální vztahy prvku SOLID65

Je zřejmé, že při tvorbě modelu FEM programem má každý použitý prvek pouze omezené možnosti využití a je zaváděn s jistými předpoklady a omezeními. Pro prvek SOLID65 platí následující. Předpoklady a omezení • • • • •

vznik trhliny je umožněn pouze ve třech navzájem kolmých směrech v každém integračním bodě. pokud dojde ke vzniku trhliny v integračním bodě, je tato trhlina modelována jako rozptýlené trhliny po prvku (namísto jedné hlavní trhliny) a do výpočtu se promítne úpravou materiálových vlastností. materiálové vlastnosti betonu jsou na počátku výpočtu vždy izotropní. pokud je prvek SOLID65 vyztužen alespoň v jednom směru, je tato výztuž po prvku (v tomto směru) rovnoměrně rozptýlena. kromě podrcení a vzniku trhlin je prvek schopen plastického přetváření, které odpovídá podmínce plasticity Drucker-Prager nebo CONCRETE. Plasticita se tudíž v prvku projeví ještě před vznikem trhlin nebo podrcení. Popis

Jak již bylo uvedeno na str. 37, prvek SOLID65 umožňuje zadat v rámci jednoho prvku čtyři různé materiály. Materiál CONCRETE je schopen plastického přetváření, porušení betonu tahem (trhliny) a tlakem (podrcení). Zbylé tři materiály se týkají výztužných prutů REBARs, které mohou být ve třech směrech různé. Vyztuž je také schopna plastifikace. Důležitou charakteristikou je, že tuhost REBARs se uvažuje pouze v tahu a tlaku a je vždy rozptýlena v celém objemu prvku. -51-


Ing. Jan Samec

Lineární chování - obecně Ve výpočtu betonového prvku SOLID65 je použita tato matice tuhosti [ D ] : NR ⎛ NR R ⎞ C ⎡ ⎤ [ D ] = ⎜1 − ∑ Vi ⎟ ⎣ D ⎦ + ∑ Vi R ⎡⎣ D R ⎤⎦ i , i =1 ⎝ i =1 ⎠

kde NR

(6.37)

……počet materiálů výztužných prutů; max. tři, ale v našem příkladě předpokládáme rozptýlenou výztuž pouze ve dvou směrech (podélnou a rozdělovací) ……poměr objemu i-té výztuže k celkovému objemu prvku

Vi R

⎡⎣ D C ⎤⎦ ……matice tuhosti betonu ⎡⎣ D R ⎤⎦ …… matice tuhosti i-té výztuže i

Lineární chování - beton Matice tuhosti ⎡⎣ D C ⎤⎦ pro beton má tvar:

ν ν ⎡1 −ν ⎢ ν 1 −ν ν ⎢ ⎢ ν ν 1 −ν ⎢ ⎢ 0 E 0 0 ⎡⎣ D C ⎤⎦ = ⎢ (1 +ν )(1 − 2ν ) ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎣ kde E ν

0

0

0

0

0

0

1 − 2ν 2

0

0

1 − 2ν 2

0

0

0 ⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥, ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 − 2ν ⎥ ⎥ 2 ⎦

(6.38)

……Youngův modul pružnosti betonu, ……Poissonův součinitel betonu.

Lineární chování - výztuž Orientace i-té výztuže v prvku SOLID65 je zřejmá z obr. 50. Souřadný systém prvku je označen ( X , Y , Z ) a souřadný systém výztuže ( xiR , yiR , ziR ) . Osa X svírá s průmětem osy xiR v rovině XY úhel Θi . Φ i je úhel, který svírá osa xiR s rovinou XY .

-52-


Ing. Jan Samec

Obr. 50 Souřadný systém výztuže Matice tuhosti ⎡⎣ D R ⎤⎦ s ohledem na souřadný systém výztuže ( xiR , yiR , ziR ) má tvar: i ⎧σ xR ⎫ ⎧ ε xR ⎫ ⎡ EiR ⎪ R⎪ ⎪ R⎪ ⎢ ⎪σ y ⎪ ⎪ε y ⎪ ⎢ 0 R ⎪⎪σ z ⎪⎪ ⎪⎪ ε zR ⎪⎪ ⎢ 0 R ⎡ ⎤ ⎨ R ⎬ = ⎣ D ⎦i ⎨ R ⎬ = ⎢ ⎪τ xy ⎪ ⎪γ xy ⎪ ⎢ 0 R ⎪τ yz ⎪ ⎪γ yzR ⎪ ⎢ 0 ⎪ R⎪ ⎪ R⎪ ⎢ ⎪⎩τ xz ⎪⎭ ⎪⎩γ xz ⎪⎭ ⎢⎣ 0

kde EiR

0 0 0 0 0 ⎤ ⎧ ε xR ⎫ ⎥⎪ ⎪ 0 0 0 0 0 ⎥ ⎪ ε yR ⎪ 0 0 0 0 0 ⎥ ⎪⎪ ε zR ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬, 0 0 0 0 0 ⎥ ⎪γ xyR ⎪ 0 0 0 0 0 ⎥ ⎪γ yzR ⎪ ⎥⎪ ⎪ 0 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎪⎩γ xzR ⎪⎭

(6.39)

……Youngův modul pružnosti i-té výztuže

Ze vztahu (6.39) vyplývá, že jediná nenulová složka napětí je σ xR ve směru osy xiR i-té složky výztuže. Směr výztuže xiR se transformuje do složek souřadného systému betonového prvku pomocí vzorce: ⎧ X ⎫ ⎧cos Θi cos Φ i ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ R ⎨ Y ⎬ = ⎨ sin Θi cos Φ i ⎬ xi ⎪ Z ⎪ ⎪ sin Θ ⎪ i ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

-53-

(6.40)


Ing. Jan Samec

Nelineární chování - beton Jak již bylo výše zmíněno, do materiálových vlastností betonu patří kromě lineární odezvy i plastické přetvoření, porušení betonu v tahu vznikem trhlin a porušení v tlaku podrcením. Chování materiálového modelu betonu je detailně uvedeno v odstavci 6.4.1.1. Model předpokládá lineární chování betonu až do okamžiku vzniku první trhliny, popř. prvního znaku drcení betonu. Při lineárním chování betonu platí fyzikální vztahy uvedené výše v této kapitole. Pokud dojde u prvku k porušení v tahu nebo tlaku, změní se matice tuhosti betonu ⎡⎣ D C ⎤⎦ v závislosti na způsobu porušení prvku.

Model trhliny Vznik trhliny v integračním bodě prvku způsobí změnu materiálových vlastností ve směru kolmém na rovinu trhliny. Pro materiál, který se poruší pouze v jednom směru, platí: ⎡ Rt (1 −ν ) 0 ⎢ E ⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ 1 −ν ⎢ ν ⎢ 0 E ⎢ 1 −ν ⎡⎣ DckC ⎤⎦ = ⎢ (1 +ν ) ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎣ kde Rt

βt

……tečný modul betonu v tahu dle obr. 51, …… koeficient smykového přenosu.

Obr. 51 Pracovní diagram při vzniku trhliny

-54-

0

ν 1 −ν 1 1 −ν

0

0

0

0

0

0

0

βt

0

0

1 2

0

0

0

2

0

⎤ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥, 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ βt ⎥ ⎥ 2⎦

(6.41)


Ing. Jan Samec

Matice tuhosti ⎡⎣ DckC ⎤⎦ uvedená v (6.41), odpovídá souřadnému systému rovnoběžnému se směry hlavních napětí a s osou xck kolmou na rovinu trhliny. Tečný modul betonu v tahu Rt lze nastavit na hodnotu nula nebo nechat program nastavit jím vypočtenou počáteční tuhost, která při přitěžování klesá až na nulu, kdy dojde ke konvergenci řešení. Koeficient smykového přenosu β t vyjadřuje redukci smykové pevnosti, která se projeví při dalším přitěžování prvku. Týká se pouze zatížení, které způsobuje vzájemný posun ploch trhliny. Z důvodů numerické stability výpočtového modelu je po vzniku trhliny doporučeno (viz [60]) snížit napětí z hodnoty f r na hodnotu Tc f r . Součinitel Tc vyjadřuje relaxaci tahového napětí při vzniku trhliny a je implicitně nastaven na 0,6. Pokud dojde při zatěžování k uzavření již vzniklé trhliny, pak dojde v matici ⎡⎣ DckC ⎤⎦ ke změně a uplatní se nový člen – koeficient smykového přenosu β c , který vyjadřuje redukci smykové pevnosti uzavřené trhliny.

ν ν ⎡1 −ν ⎢ ν 1 −ν ν ⎢ ⎢ ν ν 1 −ν ⎢ ⎢ 0 E C 0 0 ⎣⎡ Dck ⎦⎤ = (1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢⎣

0 0 0

β c (1 − 2ν ) 2

0 0 0 0

0

1 − 2ν 2

0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ β c (1 − 2ν ) ⎥ ⎥ ⎥⎦ 2 0 0 0

(6.42)

V případě vzniku trhliny ve dvou směrech, popř. třech směrech, je upravená matice tuhosti betonu ⎡⎣ DckC ⎤⎦ závislá opět na Rt a β t . Závislost ⎡⎣ DckC ⎤⎦ na β c je při uzavřené trhlině ve dvou nebo třech směrech obdobná. Celkem existuje 16 kombinací uspořádání otevřených a uzavřených trhlin. Z definice koeficientů β t a β c je zřejmé, že platí 1 > β c > β t > 0 . Důležitou charakteristikou, která rozhoduje, zda je trhlina otevřená nebo uzavřená, je veličina ε ckck . V případě předpokládané trhliny ve směru x se přetvoření ε ckck určí z následujících vztahů:

ε ckck

kde ε xck , ε yck , ε zck

ν ck ⎧ ck ck ⎪ε x + 1 −ν ε y + ε z ⎪ =⎨ ε xck +νε zck ⎪ ε xck ⎪ ⎩

pokud nevznikne žádná trhlina pokud vznikne trhlina ve směru y

(6.43)

pokud vznikne trhlina ve směru y a z

…složky (normály) poměrného přetvoření kolmé na směr trhliny.

Je-li ε ckck < 0 , je uvažovaná trhlina uzavřená. V případě, že ε ckck ≥ 0 , je trhlina otevřená. Pokud se v integračním bodě objeví první trhlina, je tato trhlina pro další iterační krok brána vždy jako otevřená.

-55-


Ing. Jan Samec

Model podrcení Signalizuje-li výpočet v integračním bodě prvku poruchu způsobenou jedno, dvou nebo trojosým tlakem, jde ve skutečnosti o podrcení betonu. V prvku SOLID65 je drcení reprezentováno porušením celistvosti materiálu, jako je odlupování povrchových vrstev, atd. Jestliže nastane podrcení, pevnost materiálu se sníží do té míry, že prvek není ve výpočtovém modelu schopen podílet se dále na přenosu zatížení a zaniká. Nelineární chování - výztuž Z důvodů co největšího zjednodušení našeho modelu protlačovacího vzorku se výztuž reprezentovaná reálnými konstantami REBARs ani příčná výztuž (prvek LINK8) neuvažuje jako materiálově nelineární. Tento předpoklad sníží náročnost výpočtu na procesorový čas a zajistí vyšší numerickou stabilitu celého modelu. Pro veškerou výztuž v naší práci tedy platí matice tuhosti ⎡⎣ D R ⎤⎦ . i

6.4.2 Ocel Vzhledem k tomu, že protlačovací vzorek je spřažená ocelobetonová konstrukce, je nutné klást důraz na dostatečně přesný popis materiálových charakteristik obou materiálů, tzv. nejenom betonu ale i oceli. Materiálové charakteristiky oceli při jednoosé napjatosti jsou dány pracovním diagramem, jak je uvedeno na obr. 52. Předpoklad, že se ocel chová stejně v tlaku i tahu je všeobecně uznáván.

Obr. 52 Pracovní diagram oceli V programu ANSYS je ocel jednoduše modelována bilineárním nebo multilineárním pracovním diagramem. Ocel se v tomto modelu chová elasticky nelineárně. Na rozdíl od plasticity nedochází ke ztrátě energie. Na pracovním diagramu se při odtížení ocel pohybuje po stejné křivce jako při zatěžování, tj. nedochází k žádným trvalým plastickým přetvořením materiálu, viz obr. 53. Toto zjednodušení není samozřejmě podstatné, pokud náš vzorek zatěžujeme pouze kladnými přírůstky zatížení.

-56-


Ing. Jan Samec

Obr. 53 Multilineární pracovní diagram 6.4.2.1 Fyzikální vztahy prvku SHELL41

I pro membránový prvek SHELL41 platí jistá omezení použití. Předpoklady a omezení •

jak plyne z definice membrány, prvek nemůže přenášet zatížení působící kolmo na svoji rovinu (nulová tuhost prvku z roviny). V našem případě jsou ohybové účinky oproti smykovým zanedbatelné a netuhost z roviny se neprojeví. vzhledem k tomu, že rovina je dána třemi body, může v případě použití čtyřúhelníkového prvku (nezdegenerovaný tvar) dojít k tomu, že všechny uzly nebudou ležet v jedné rovině. Takto zdeformovaný prvek by se neměl v modelu objevit, jinak dojde k divergenci řešení. Prvek musí splnit následující podmínku:

•

φ= kde D A

D ≤ 0, 04 , A

(6.44)

……složka vektoru (spojující dva uzly) rovnoběžná s normálou prvku, ……plocha prvku.

Popis SHELL41 umožňuje zadat v rámci prvku nelineární, respektive multilineární materiál, který je schopen plastického přetváření a velkých deformací. Prvek je definován čtyřmi uzly a tloušťkou prvku (reálná konstanta). Jak již bylo uvedeno výše, i malé zatížení působící z roviny prvku způsobí nestabilitu výpočtu. Zadání malé tuhosti z roviny (reálná konstanta EFS) zlepší konvergenci ocelového prvku a tím i celého výpočtového modelu. 6.4.2.2 Fyzikální vztahy prvku LINK8

Posledně zmíněný prvek našeho výpočtového modelu je LINK8, který simuluje chování příčné výztuže procházející otvory perforované lišty. Předpoklady a omezení • •

LINK8 je přímý prut zatížený osově v uzlech charakteristikami po délce prvku. délka prvku a plocha průřezu musí být nenulová. -57-

s neměnnými

materiálovými


•

Ing. Jan Samec

prvek je schopen přenášet jenom osové síly (tah, tlak), ne ohybové momenty. Napětí je po délce prvku konstantní. Popis

LINK8 se trojrozměrný prvek, který umožňuje zohlednit plasticitu a velké deformace. Prvek je definován dvěma uzly, plochou průřezu (reálná konstanta) a materiálovými vlastnostmi. Osa prutu x je definována jako spojnice krajních uzlů. Lineární chování Výztuž ve všech třech směrech se ve výpočtovém modelu (oproti HEB profilu a perforované liště) uvažuje jako lineární a tudíž pro ni platí Hookův zákon. Matice tuhosti prvku je dána vztahem: ⎡1 ⎢0 ⎢ AE ⎢ 0 [K ] = ⎢ L ⎢ −1 ⎢0 ⎢ ⎣0 kde A E L

0 0 0 0 0 0

0 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥, 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

(6.45)

……plocha průřezu, ……Youngův modul pružnosti oceli, ……délka prvku.

6.5 Model vzorku A2/1 Protlačovací vzorek A2/1 (popsán v [70]) byl vybrán pro kalibraci našeho výpočtového (numerického) modelu. Jedná se o vzorek s malou lištou 50/10 [mm] s otvory o průměru 32 mm a stupněm příčného vyztužení 0, 25 mm 2 / mm′ . Úkolem je věrohodně popsat chování perforované lišty během celé zkoušky a mimo jiné tak zjistit maximální zatížení, které je vzorek při daném stupni vyztužení a kvalitě betonu schopen přenést. Výhodou numerického modelu je možnost sledovat průběh různých charakteristik modelu (napětí, deformace, tvar a průběh trhlin) v závislosti na přírůstcích zatížení na všech částech vzorku. Například napětí kolem trhliny uprostřed tloušťky betonové desky by bylo při dnešních možnostech a vybavení laboratoří jen velmi těžko zjistitelné a znamenalo by enormní zvýšení finančních nákladů na protlačovací zkoušku.

6.5.1 Geometrie vzorku Již bylo uvedeno, že z důvodů zjednodušení výpočtového modelu a náročnosti na procesorový čas jsme využili symetrie protlačovacího vzorku podle dvou rovin a modelovali pouze čtvrtinu vzorku, obr. 54. Chyba, která tím vznikne při řešení, je oproti náročnosti výpočtu celého modelu zanedbatelná. Tvar modelované čtvrtiny vzorku včetně rozměrů je patrná z obr. 55, 56.

-58-


Ing. Jan Samec

Obr. 54 Modelovaná čtvrtina vzorku A2/1

Obr. 55 Geometrie vzorku A2/1 – betonová deska

-59-


Ing. Jan Samec

Obr. 56 Geometrie vzorku A2/1 – výztuž, ocelový profil s lištou Popis Vzorek je modelován bez horního roznášecího plechu, který by výsledky výpočtu nijak neovlivnil. Zatížení bude v modelu působit přímo na pásnici a stojinu HEB profilu v místě uzlu FEM sítě. Rozměry a tloušťky všech ocelových částí modelu jsou shodné s reálnými hodnotami protlačovacího vzorku. Z důvodů symetrie protlačovacího vzorku procházející osou stojiny a perforované lišty je tloušťka obou prvků uvažována poloviční. Ze stejného důvodu je stojina HEB profilu zatížena poloviční silou. První model protlačovacího vzorku A2/1 byl připraven z plošných čtyrúhelníkových prvků a objemové prvky z kombinace čtyřbokých a trojbokých hranolů (obr. 37) z důvodu přesnějšího tvaru otvorů lišty. Tento model však vykazoval nízkou únosnost zcela neodpovídající experimentu. Proto autor model pozměnil a použil pouze plošné čtyřúhelníkové prvky a jako objemové prvky čtyřboké hranoly. Tato skutečnost zvýšila počet konečných prvků (kvalitu výsledků) a eliminováním trojbokých hranolů způsobila vzrůst (o 41,3%) únosnosti protlačovacího vzorku, tak, že se výsledky uspokojivě blíží experimentu, viz. dále. Aby kvalita sítě konečných prvků byla vysoká, bylo nezbytné upravit i geometrii lišty, jak je uvedeno na obr. 57. Úprava spočívá v záměně kruhového otvoru o průměru d = 32mm za čtvercový se stranou a o shodné ploše dle vztahu: Acircle = Asquare ⇒

πd2 4

= a2 ⇒ a =

d π 32 π = = 28mm 2 2

-60-


Ing. Jan Samec

Obr. 57 Úprava geometrie otvoru lišty (červená=skutečnost, zelená=model)

6.5.2 Vstupní data V této kapitole jsou uvedena základní data modelu a to materiálové charakteristiky betonu a oceli, včetně reálných konstant a způsob zatěžování. Hodnoty všech parametrů jsou zadány s ohledem na omezení a předpoklady použitých prvků. ANSYS umožňuje používat různé jednotkové soustavy (SI, …), autor uvažuje v modelu tyto jednotky: • • •

délkové: mm, síly: N, napětí: MPa.

6.5.2.1 Vstupní data – beton

Aby model betonové desky věrně popisoval chování reálného materiálu včetně materiálových nelinearit, musí být splněna následující kritéria: • • •

lineární chování betonu dle Hookova zákona, bilineární nebo multilineární chování při jednoosé napjatosti; je nutno zadat tlačenou větev pracovního diagramu, podmínka plasticity (např. Druckerova-Pragerova podmínka plasticity nebo podmínka plasticity CONCRETE); konvergence je zajištěna, pokud pro všechny prvky modelu platí, že ∆ε pl / ε el ≤ v programu nastavené kritérium. Materiálové charakteristiky odvozené z experimentů

Při každé sérii experimentů, byla stanovena pevnost betonu na krychlích a válcích. V sérii se vzorkem A2/1 měl beton tyto vlastnosti: • • •

f ck ,cyl = 25, 65MPa (v konstitutivních vztazích v kapitole 6.4.1.2 a následných výpočtech označována f c′ ), f ck ,cub = 29, 62MPa , ftk = 2,82MPa .

-61-


Ing. Jan Samec

Lineární chování Program ANSYS vyžaduje zadání elastických materiálových vlastností i v případě, že se jedná o výpočet zohledňující plasticitu. Na základě zobecněného Hookova zákona jsou požadovány: •

modul pružnosti betonu - Ec ,

•

Poissonův součinitel - ν c ,

Protože se během zkoušek zjišťovali pouze pevnostní charakteristiky, modul pružnosti betonu byl stanoven výpočtem pro stáří betonu 28 dní z následujícího vztahu dle [12]: Ec = α E ⋅ 3

f ck + ∆f f′ = αE ⋅ 3 c f cm 0 f cm 0

[ MPa ] ,

(6.46)

kde

α E = 2,15 ⋅104 MPa , f ck …… charakteristická pevnost betonu v tlaku [ MPa ] odpovídající f c′ z kapitoly 5.6 snížená o ∆f , ∆f = 8 MPa , f cm 0 = 10 MPa . Po dosazení do vztahu (6.46) získáme hodnotu: •

Ec = α E ⋅ 3

f c′ f cm 0

= 2,15 ⋅104 3

25, 65 = 29, 43 ⋅103 MPa 10

Poissonův součinitel ν c se pro betony běžných pevností pohybuje kolem hodnoty 0,1÷0,2. V našem případě uvažujeme ν c = 0, 2 . Nelineární (multilineární) chování Kromě lineární závislosti napětí na přetvoření musíme také zadat multilineární pracovní diagram betonu pro jednoosou napjatost. Použitý tvar je uveden na obr. 58. Z obrázku je patrné, že se zadává pouze tlaková větev pracovního diagramu. Po dosažení napětí f c′ roste přetvoření betonu do nekonečna. Multilineární diagram není schopen postihnout poslední fázi diagramu – změkčení, tj. derivace funkce závislosti σ − ε nemůže být záporná. Body grafu 1÷5 jsou propojeny úsečkami. Souřadnice bodů jsou dány následujícími vztahy dle [13]: •

•

lineární závislost (bod

)

přetvoření při napětí f c′ (bod

ε=

f Ec

(6.47)

ε0 =

2 f c′ Ec

(6.48)

)

-62-


•

kvadratická závislost (bod

,,

Ing. Jan Samec

,

)

f =

Ecε ⎛ε ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ε0 ⎠

2

(6.49)

Obr. 58 Multilineární pracovní diagram betonu Dosazením do vzorců (6.47 až 6.49) získáme souřadnice všech bodů. V konkrétním případě vzorku A2/1: •

•

•

: lineární chování se předpokládá do hodnoty 0,3 f c′ = 0,3 ⋅ 25, 65 = 7, 7 MPa 0,3 f c′ 0,3 ⋅ 25, 65 f = = = 2, 615 ⋅10−4 o ε= 3 Ec Ec 29, 43 ⋅10 bod : přetvoření při mezním napětí f c′ −4 2f′ 2 ⋅ 25, 65 −3 ε = 6,319 ⋅10 o ε0 = c = = ⋅ 1, 743 10 Ec 29, 43 ⋅103 bod

bod o

•

bod o

•

bod o

: napětí při přetvoření ε = 6,319 ⋅10−4 f =

Ecε

f =

Ecε

f =

Ecε

2

=

2

=

2

=

29, 43 ⋅103 ⋅ 6,319 ⋅10−4

= 16, 4 MPa

2

⎛ε ⎞ ⎛ 6,319 ⋅10−4 ⎞ 1+ ⎜ 1+ ⎜ ⎟ −3 ⎟ ⎝ 1, 743 ⋅10 ⎠ ⎝ ε0 ⎠ : napětí při přetvoření ε = 1, 002 ⋅10−3 29, 43 ⋅103 ⋅1, 002 ⋅10−3 2

⎛ε ⎞ ⎛ 1, 002 ⋅10−3 ⎞ 1+ ⎜ 1+ ⎜ ⎟ −3 ⎟ ⎝ 1, 743 ⋅10 ⎠ ⎝ ε0 ⎠ : napětí při přetvoření ε = 1,373 ⋅10−3 ⎛ε ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ε0 ⎠

= 22, 2MPa

29, 43 ⋅103 ⋅1,1,373 ⋅10−3 ⎛ 1,373 ⋅10−3 ⎞ 1+ ⎜ −3 ⎟ ⎝ 1, 743 ⋅10 ⎠

2

-63-

= 24,9MPa


Ing. Jan Samec

Podmínka plasticity Poslední charakteristikou určující vlastnosti betonu je chování při prostorové napjatosti. Tento fenomén je vyjádřen podmínkou plasticity. Ačkoli je Druckerova-Pragerova podmínka plasticity doporučována mnoha autory pro modelování kvazikřehkých materiálů, jejímu použití brání komplikované zadání všech potřebných parametrů vyžadovaných programem. Dále jsme si potvrdili, Druckerova-Pragerova podmínka plasticity vede k výrazně rychlejší divergenci řešení. Z obou výše uvedených důvodů autor nahradil tuto podmínku ve svém modelu podmínkou CONCRETE. Konstitutivní vztahy a tvar plochy plasticity je uveden v 6.4.1.2. Jak již bylo uvedeno dříve, ANSYS vyžaduje zadání minimálně čtyř z devíti možných parametrů, týkající se přenosu smyku trhlinou a pevnosti při jednoosé napjatosti. Zbylé pevnostní parametry se nastaví automaticky dle vzorce (6.12abc). V našem případě nebylo možné stanovit všechny parametry, proto do výpočtu vstupuje jen následujících pět: koeficient smykového přenosu pro otevřenou trhlinu - β t Hodnota koeficientu se pohybuje mezi 0÷1,0. Nula reprezentuje hladkou trhlinu (úplná ztráta přenosu smyku), naopak 1,0 reprezentuje hrubou (zdrsněnou) trhlinu bez ztráty přenosu smyku. Z prvotních výpočtů samotného betonu vyplynulo, že když se zvolí β t < 0, 2 , nastává problém s konvergencí i při malých hodnotách zatížení. V této studii je proto β t = 0, 2 . •

koeficient smykového přenosu pro otevřenou trhlinu - β c Pro hodnotu součinitele β c platí stejný interval jako v případě β t , tj. má se pohybovat mezi 0÷1,0. Z předběžné numerické analýzy vyplynulo, že β c je vhodné volit nad 0,5 (náš model bere β c = 0, 7 ). • pevnost betonu v tlaku při podrcení (jednoosá napjatost) - f c′ = 25, 65MPa •

•

pevnost betonu v tahu (jednoosá napjatost) - f r = f tk = 2,82MPa

•

součinitel relaxace - Tc Součinitel Tc vyjadřuje pokles (relaxaci) napětí při vzniku trhliny v tažené oblasti betonu. Pro náš výpočet byla použita doporučená hodnota Tc = 0, 6 , viz [69]. 6.5.2.2 Vstupní data – HEB profil a perforovaná lišta

Ocel je zadána obdobným způsoben jako beton. Pro nastartování konvergence je nezbytné zadat počáteční tuhost pracovního diagramu, tj. lineární chování. Nelineární chování oceli je popsáno trilineárním pracovním diagramem. Sofistikovanější popis plasticity (kinematické, izotropní zpevnění, …) při monotónním přitěžování nepřináší výrazné zpřesnění výsledků, proto nebyl z důvodů zjednodušení do modelu zapracován. Materiálové charakteristiky Materiálové charakteristiky ocelových částí vzorku A2/1 (HE260B a perforovaná lišta) jsme zadali tak, aby odpovídaly normovým hodnotám pro materiálu S235. Maximální hodnoty izolinií napětí pro podmínku H-M-H, jak je uvedeno ve výsledcích na obr. 72, se pohybují kolem 185 MPa. Není tudíž dosaženo meze kluzu oceli a platí, že chování nosníku i lišty je závislé jen na Youngově modulu pružnosti. Charakteristiky jsou následující:

-64-


Ing. Jan Samec

•

f y .a = 235MPa

……mez kluzu oceli,

•

fu .a = 360MPa

……mez pevnosti oceli.

Lineární chování Program ANSYS vyžaduje zadání elastických materiálových vlastností i v případě, že se jedná o výpočet zohledňující nelineární chování. Na základě zobecněného Hookova zákona jsou požadovány: •

modul pružnosti oceli - Ea ,

•

Poissonův součinitel - ν a .

Hodnota modulu pružnosti Ea je brána 210 ⋅103 MPa . Poissonův součinitel ν a uvažujeme hodnotou 0,3. Nelineární (multilineární) chování Kromě lineární závislosti napětí na přetvoření musíme i u oceli zadat multilineární pracovní diagram pro jednoosou napjatost. V našem případě se jedná o trilineární pracovní diagram, jehož tvar je uveden na obr. 59.

Obr. 59 Multilineární pracovní diagram oceli Z obrázku je patrné, že se zadává pouze tlaková větev pracovního diagramu. Po dosažení pevnosti oceli fu .a roste přetvoření oceli do nekonečna. Body grafu 1 a 2 jsou propojeny úsečkami. Souřadnice bodů jsou dány následujícími vztahy: lineární závislost (bod

) f (6.50) Ea ) – předpoklad tisícinové tuhosti oceli po dosažení meze

ε=

přetvoření při napětí (bod f u .a kluzu

ε1 = ε +

f u .a − f y .a Ea /1000

-65-

(6.51)


Ing. Jan Samec

Dosazením do vzorců (6.50 a 6.51) získáme souřadnice bodů 1 a 2. V konkrétním případě vzorku A2/1: •

bod

•

f f 235 = y .a = = 1,12 ⋅10−3 Ea Ea 210 ⋅103 bod : přetvoření při dosažení pevnosti fu .a f − f y .a 360 − 235 = 1,12 ⋅10−3 + = 1,12 ⋅10−3 + 5,952 ⋅10−1 = 5,964 ⋅10−1 o ε 1 = ε + u .a Ea /1000 210 o

: lineární chování se předpokládá do hodnoty f y.a

ε=

6.5.2.3 Vstupní data – výztuž

Výztuž betonové desky (reprezentovaná prvkem LINK8 i reálnými konstantami prvku SOLID65) je zadána materiálově lineárně. Důvodem je snaha o zjednodušení modelu všech částí vzorku a také předpoklad malého vlivu materiálové nelinearity oceli. Z dílčího numerického modelu vyplynulo, že chování protlačovacího vzorku jako celku není citlivé na změny materiálových charakteristik výztuže v rozsahu, který lze očekávat mezi normovou hodnotou a hodnotou z tahové zkoušky. Materiálové charakteristiky Základním předpokladem modelu výztuže betonové desky je, že u vzorku A2/1 je materiál uvažován v kvalitě žebírkové výztuže 10505 dle [5]. Pevnostní charakteristiky (v souladu se závěry dílčího modelu) jsme zvolili normové: •

f yk = 490 MPa

……mez kluzu výztuže

Pozn.: V našem modelu je použita výztuž dvojí kvality (označení R a V), tj. s dvojí mezí kluzu. Záměrně však neuvádíme hodnotu meze kluzu výztuže V, protože se chováním v lineární větvi pracovního diagramu nijak neliší od výztuže typu R. Lineární chování Program ANSYS vyžaduje na základě zobecněného Hookova zákona tyto charakteristiky: •

modul pružnosti výztuže - Es ,

•

Poissonův součinitel - ν s .

Hodnota modulu pružnosti Es je brána 200 ⋅103 MPa a odpovídá doporučením [5]. Poissonův součinitel ν s uvažujeme hodnotou 0,3. 6.5.2.4 Možnosti prvků v numerickém modelu

Pro většinu prvků v programu ANSYS je možné (pro složitější úlohy dokonce nezbytné) upravovat parametry, tzv. KEYOPTIONs, které částečně ovlivňují materiálové vlastnosti a -66-


Ing. Jan Samec

hodnoty ukládané v souboru výsledků. V našem případě je možné zadat parametry pouze pro prvek SOLID65 a SHELL41. SOLID65 (betonová deska) • • • •

zvláštní tvary deformací výstup lineárního řešení výstup nelineárního řešení relaxace napětí po vzniku trhliny

K(1)=0 (obsaženo), K(5)=1 (ve všech integračních bodech), K(6)=3 (ve všech integračních bodech), K(7)=1 (obsaženo).

SHELL41 (HEB profil a lišta) • • • • •

chování prvku zvláštní tvary deformací výstup napětí výstup prutových sil výstup vnitřních sil na hranách

K(1)=0 (prvek působí v tahu i tlaku), K(2)=0 (obsaženo), K(4)=3 (v uzlech prvku), K(5)=0 (neobsaženo), K(6)=0 (neobsaženo).

6.5.2.5 Reálné konstanty prvků

V kapitole 6.3.1 je zmínka o tzv. reálných konstantách, které lze obecně chápat jako soubor vlastností prvků, jako jsou průřezové charakteristiky u prutů, tloušťky plošných prvků, atd. Abychom tyto konstanty mohli zadávat, musíme předem zvolit jednotný souřadný systém, kterým definujeme vlastnosti ve třech navzájem kolmých směrech. Na obr. 60 je naznačen globální souřadný systém našeho numerického modelu.

Obr. 60 Globální souřadný systém

-67-


Ing. Jan Samec

SOLID65 (rozptýlená výztuž) Rebar 1 • materiál: lineární dle kapitoly 6.5.2.3, • poměr RV mezi objemem ocelového prutu ku celkovému objemu betonového prvku, o 1. předpoklad: výztuž procházející celým objemem betonové desky ⇒ objemový poměr se změní na plošný s plochami kolmými na osu výztuže o 2. předpoklad: výztuž je v daném směru osy x rozptýlena ve všech prvcích odpovídající globálnímu souřadnému systému o tvar betonové desky včetně stupně vyztužení je brán dle obr. 55, 56

πd2

RVx = • •

π ⋅ 82

2⋅ 2⋅ Vrebar . x A 4 = 4 = 4,928 ⋅10−4 = rebar . x = Vconcrete Aconcrete 300 ⋅ 680 300 ⋅ 680

směrový úhel rozptýlené výztuže v rovině XY dle obr. 37: Θ = 0° , směrový úhel rozptýlené výztuže z roviny XY dle obr. 37: Φ = 0° .

Rebar 2 • materiál: lineární dle kapitoly 6.5.2.3, • poměr RV mezi objemem ocelového prutu ku celkovému objemu betonového prvku, o 1. předpoklad: výztuž procházející celým objemem betonové desky ⇒ objemový poměr se změní na plošný s plochami kolmými na osu výztuže o 2. předpoklad: výztuž je v daném směru osy y rozptýlena ve všech prvcích odpovídající globálnímu souřadnému systému o tvar betonové desky včetně stupně vyztužení je brán dle obr. 55, 56

RVy = • •

Vrebar . y Vconcrete

=

Arebar . y Aconcrete

=

4⋅

πd2

4⋅

π ⋅ 82

4 = 4 = 4, 468 ⋅10−3 300 ⋅150 300 ⋅ 680

směrový úhel rozptýlené výztuže v rovině XY dle obr. 37: Θ = 90° , směrový úhel rozptýlené výztuže z roviny XY dle obr. 37: Φ = 0° .

Pozn.: Výztuž ve směru osy z procházející otvory perforované lišty při dolním povrchu a betonovou deskou při horním povrchu se modelovala namísto rozptýlené výztuže diskrétními prvky. SHELL41 (HEB profil a lišta) Stojina HE260B • materiál: multilineární dle kapitoly 6.5.2.2, • tloušťka plošného prvku: tw.red = 5mm - reálně tw = 10mm , ale z důvodů symetrie vzorku uvažována pouze polovina tloušťky.

-68-


Ing. Jan Samec

Pásnice HE260B • materiál: multilineární dle kapitoly 6.5.2.2, • tloušťka plošného prvku: t f = 17,5mm . Perforovaná lišta 50/10 [mm] • materiál: multilineární dle kapitoly 6.5.2.2, • tloušťka plošného prvku: t p.red = 5mm - reálně t p = 10mm , ale z důvodů symetrie vzorku uvažována pouze polovina tloušťky. LINK8 (výztuž ve směru osy z) • •

materiál: lineární dle kapitoly 6.5.2.3, plocha příčného řezu výztuže Arebar . z jednoho prutu

Arebar . z

d2 102 =π =π = 78,54mm 2 4 4

6.5.2.6 Zatížení

Pod pojmem zatížení se v programu ANSYS rozumí působení sil, momentů, ale také podpory, okrajové podmínky symetrie a vazbové rovnice, jak je uvedeno dále. Ačkoliv je náš FEM model vytvořen z ploch a objemů 3D modelu, síly i podpory nejsou aplikovány na 3D model, ale přímo na síť konečných prvků. Tento způsob sebou přináší výhody i nevýhody. Výhody • redukuje možné chyby při numerické analýze, protože se síly i podpory zadávají přímo na uzly sítě prvků, • není třeba kontrolovat, zda nedošlo k nechtěnému nahrazení zatížení na FEM modelu zatížením z 3D modelu, které může nastat, pokud zatěžujeme 3D i FEM model v jednom místě. Nevýhody • jakákoli změna sítě konečných prvků způsobí ztrátu zadaných sil a podpor (nejprve je nutné smazat zatížení a následně změnit síť), • zadávání zatížení graficky na jednotlivé uzly je zdlouhavé. Síly Model protlačovacího vzorku A2/1 je zatěžován monotónně rostoucí silou ve shodě s provedenými experimenty [71]. Je zřejmé, že při zatěžování řízeném silou není model schopen popsat chování vzorku po dosažení maximální síly. Celkové zatížení působící na vzorek bylo rozděleno na diskrétní břemena působících v jednotlivých uzlech pásnice a stojiny HE260B tak, aby přírůstky zatížení vyvolaly v ocelovém profilu stejnou deformaci. Vzorek byl (z důvodu využívání již zmíněné symetrie, obr. 54) zatěžován pouze ¼ působící síly. Hodnota maximální síly působící na model odpovídá dosaženému maximu při protlačovací zkoušce v laboratoři. Obr. 61 znázorňuje rozdělení bodového zatížení po průřezu nosníku.

-69-


Ing. Jan Samec

Obr. 61 Zatížení v uzlech ocelového profilu Rozhodující data: • maximální zatížení dosažené během experimentu: Fexp = 750kN , •

maximální předpokládané zatížení během výpočtu: Fres = 800kN ,

•

zatížení čtvrtiny vzorku: Fcelk =

•

největší napětí σ celk

σ celk =

Fres AHE 260 B

Fres 800 ⋅103 = = 200 ⋅103 N 4 4 v ocelovém průřezu:

Fres 800 ⋅103 = = = 68,38MPa , b ⋅ tw + 2 ⋅ h ⋅ t f 260 ⋅10 + 2 ⋅ 260 ⋅17,5

kde AHE 260 B ……plocha zjednodušeného (ostrohranného) příčného řezu bez vlivu zaoblení

•

hodnoty sil F1 − F7 :

30 ⋅17,5 = 17948, 7 N 2 F2 = σ celk ⋅ l2 ⋅ t f = 68,38 ⋅ 25 ⋅17,5 = 29914,5 N

F1 = σ celk ⋅ l1 ⋅ t f = 68,38 ⋅

25 ⋅ (17,5 + 5 ) = 19230,8 N 2 = σ celk ⋅ l4 ⋅ tw.red = 68,38 ⋅ 25 ⋅ 5 = 8547, 0 N 30 = σ celk ⋅ l5 ⋅ tw.red = 68,38 ⋅ ⋅ 5 = 5128, 2 N 2 ⎛ 25 30 ⎞ = σ celk ⋅ l6 ⋅ t f = 68,38 ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅17,5 = 32906,1N 2 ⎠ ⎝ 2 ⎛ 25 30 ⎞ = σ celk ⋅ l7 ⋅ tw.red = 68,38 ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅ 5 = 9401, 7 N 2 ⎠ ⎝ 2

F3 = σ celk ⋅ l3 ⋅ ( t f + tw.red ) = 68,38 ⋅ F4 F5 F6 F7

• kontrola celkové síly na ¼ nosníku: Fcelk = F1 + 3F2 + F3 + 3F4 + F5 + F6 + F7 = 200 ⋅103 N

-70-


Ing. Jan Samec

Podepření vzorku Uzlům betonové desky na styku s podporou (v celé šířce betonové desky 150mm a délce 170mm ) je zabráněno v posunech ve směru globálních os x, y, z, obr. 62.

Obr. 62 Podepření betonové desky Symetrie Okrajové podmínky symetrie ¼ vzorku jsou obdobou podepření konstrukce. Jelikož je model symetrický ve dvou navzájem kolmých rovinách (v rovině XY procházející pásnicí a perforovanou lištou a v rovině YZ procházející kolmo na stojinu v její polovině), je zabráněno posunům u z , resp. u x , obr. 63. Rotacím není bráněno, protože všechny prvky mají pouze tři stupně volnosti - posuny.

Obr. 63 Okrajové podmínky symetrie

-71-


Ing. Jan Samec

Vazbové rovnice Aby bylo možné zkoumat chování samotné perforované lišty při protlačovací zkoušce bez vlivu spolupůsobení betonové desky a pásnice ocelového profilu soudržností, byla při zkouškách pásnice před betonáží potřena olejem. Takové chování kontaktu beton – pásnice je v modelu možné realizovat dvěma způsoby:

• •

vytvořením kontaktního prvku mezi uzly betonu a pásnice, vytvořením vazbových rovnic mezi uzly betonu a pásnice.

Použití kontaktního prvku je komplikované, protože mnohdy ovlivní stabilitu numerického modelu, která vede k předčasné divergenci řešení, aniž by došlo k plnému využití jednotlivých částí modelu. Z hlediska jednoduchosti a spolehlivosti jsme proto použili vazbové rovnice. Vazbové rovnice popisují vzájemný vztah dvou nebo více uzlů. V našem případě se jedná o posun uzlu betonové desky a uzlu pásnice. Vzhledem k tomu, že prvek SHELL41 tvoří membrána s nulovou tuhostí z roviny, musíme zajistit, aby posuny uzlů betonové desky neporušily rovinnost plošného elementu (pásnice), tj. je nutné zabránit posunu ve směru globálních os x a z a naopak zajistit nezávislý posun ve svislém směru (ve směru globální osy y). Vazbové rovnice mají následující tvar:

•

pro posun ve směru globální osy x:

u x.node1 − u x.node 2 = 0 , •

pro posun ve směru globální osy z:

u z .node1 − u z .node 2 = 0 , kde u x.node1 , u z .node1 u x.node 2 , u z .node 2

•

(6.52)

(6.53)

……posuny uzlu ocelového profilu ve směrech globálních os x a z ……posuny uzlu betonové desky ve směrech globálních os x a z

posunu ve směru globální osy y není bráněno (vazbová rovnice se neuplatní)

Obr. 64 Souřadný systém uzlu ocelové pásnice a betonové desky -72-


Ing. Jan Samec

Obr. 65 Vazbové rovnice aplikované na numerický model protlačovacího vzorku 6.5.2.7 Výpočet

Z podstaty analyzovaného problému je zřejmé, že numerický model musí vycházet z nelineárního řešení. Program ANSYS umožňuje výběr ze dvou v současnosti nejpoužívanějších iteračních metod řešení. První z nich je Newtonova-Raphsonova metoda, druhá metoda délky oblouku. Obecně lze říci, že metoda délky oblouku je vhodnější pro řešení nelineárních úloh, které jsou nestabilní. Nespornou výhodou této metody je schopnost analyzovat chování numerického modelu i po dosažení maximálního zatížení, kdy často dochází ke změkčení (poklesu zatížení a zvětšení deformace) konstrukce či vzorku. Nevýhodou je pomalejší konvergence modelu a obtížnější nastavení parametrů výpočtu. Newtonova-Raphsonova metoda je častěji používána hlavně z důvodů rychlého nastartování konvergence. Hodí se ale pouze pro monotónní přitěžování modelu. Metoda existuje v klasické podobě, kdy se v každém iteračním kroku sestavuje nová matice tečnové tuhosti, nebo jako modifikovaná Newtonova-Raphsonova metoda, která se liší tím, že matice tečnové tuhosti se změní pouze na začátku zatěžovacího přírůstku a během iteračního procesu zůstává neměnná. Nelineární chování betonu v našem případě vyžaduje použití pomaleji konvergující klasické Newtonovy-Raphsonovy metody, protože jsme umožnili relaxaci betonu v tahové oblasti pracovního diagramu (K(7)=1 pro SOLID65, viz str. 67). Při nelineárním řešení je nezbytné rozdělit celkové zatížení na sérii přírůstků zatížení zvaných mezikroky. Přírůstek zatížení začne působit na numerický model a hledá se odpovídající přírůstek deformace. Přírůstky zatížení jsou dále děleny na iterace. Po ukončení každé iterace se matice tečné tuhosti upraví tak, aby vyjadřovala nelineární změny tuhosti, ke kterým v modelu došlo. Než se přistoupí k dalšímu přitížení, Newtonova-Raphsonova metoda posoudí vektor nevyrovnaných sil (rozdíl mezi přírůstkem zatížení a vnitřními sílami). Následně program provádí lineární řešení s vektorem nevyrovnaných sil a kontroluje konvergenci. Pokud nejsou konvergenční kritéria splněna, vypočte se nový vektor nevyrovnaných sil z pozměněné matice tuhosti. Tento proces pokračuje až do okamžiku splnění konvergenčního kritéria.

-73-


Ing. Jan Samec

V této práci byla konvergenční kritéria založena na posudku sil a posunů. Limitní hodnoty pro obě kritéria byly nastaveny automaticky programem ANSYS. Vzhledem k tomu, že pro přednastavené hodnoty nebylo možné dosáhnout konvergence řešení, byly hodnoty v průběhu práce pozměněny v souladu s doporučením [23] na hodnotu pětinásobku původních hodnot (0,5% pro nevyrovnané síly a 5% pro nevyrovnané posuny).

Obr. 66 Newtonova-Raphsonova iterační metoda (3 přírůstky zatížení) Při řešení naší úlohy se přírůstek zatížení (velikost mezikroku) nastavil ručně, aby se předešlo předčasné divergenci řešení. Celkem bylo nastaveno 8000 mezikroků. Při samotném výpočtu pracuje ANSYS s veličinou nazývanou čas. Při statické analýze můžeme čas chápat jako imaginární veličinu, jejíž hodnota nejčastěji vyjadřuje poměr zatížení, pro které se v daném okamžiku hledá řešení, k maximálnímu předpokládanému zatížení modelu. V takovém případě čas nula znamená nezatížený model a čas jedna stav při maximálním zatížení. Z důvodů názornějšího výstupu vnitřních sil a deformací v postprocesoru, byl čas při maximálním zatížení nastaven na hodnotu 800 a odpovídá maximální předpokládané síle Fres . Lze tedy říct, že například hodnota času 150 znamená zatížení modelu silou 150 N . Výsledky jsou ukládány po 100 mezikrocích, což představuje přírůstek síly 100 N na celý vzorek a 25 N na modelovanou ¼ vzorku. Dělení je tak jemné proto, že jsme odzkoušeli, že větší gradient síly způsobuje divergenci řešení. Konkrétně při dělení maximálního zatížení na 800 mezikroků byla dosažená únosnost pouze 59% hodnoty z experimentu. Rychlost výpočtu (kromě konfigurace počítače) ovlivňuje použitý řešič soustavy lineárně závislých rovnic, kdy se hledá řešení následující rovnice:

{F } = [ K ]{u} , kde {F }

[K ] {u}

(6.53)

……vektor působících sil ……matice tuhosti ……neznámý vektor posunů

V programu jsou standardně k dispozici přímé i iterační řešiče. V našem numerickém modelu byl použit řešič Sparse direct, který je optimalizován pro úlohy s velkým množstvím stupňů volnosti.

-74-


Ing. Jan Samec

Shrnutí údajů o modelu •

• • • •

počet prvků modelu: o SOLID65: o SHELL41: o LINK8: počet rovnic modelu: doba výpočtu: pracovní stanice: velikost souboru výsledků:

3872 538 77 14611 30 hodin AMD Athlon 2600+, 1GB RAM, 80GB harddisk 1,1GB

6.5.2.8 Výsledky

Pro vzorek A2/1 bylo dosaženo těchto výsledků:

• maximální únosnost při porušení: Fnum = 698kN - vzhledem k ukládání výsledků po 10kN je poslední uložený mezikrok na úrovni 690kN , F 698 • porovnání výpočtu s experimentem : num = = 0,93 ⇒ 93% , Fexp 750 •

vypočítaný prokluz: δ num = 0,13mm ,

•

porovnání vypočítaného prokluzu s experimentem :

δ num 0,13 = = 0, 04 ⇒ 4% . δ exp 3, 75

Analýza výsledků Z porovnání výše uvedených výsledků vyplývá, že numerický model protlačovací zkoušky věrně popisuje chování z hlediska únosnosti. Také tvar a šíření trhlin v betonové desce, jak je uvedeno dále, se velmi dobře shoduje s experimentem. Na základě tohoto modelu ovšem nelze získat odpovídající deformace vzorku. Téměř absolutní nesoulad lze vysvětlit těmito příčinami:

• spojení výztuže s betonovým prvkem neumožňuje prokluz – uzly betonové desky a perforované lišty jsou pevně spojeny a prokluz je realizován jenom v rámci prvku SOLID65, obr. 67.

Obr. 67 Připojení prvku LINK8 na SOLID65 -75-


Ing. Jan Samec

• výztužné pruty jsou zadány materiálově lineárně (platí Hookův zákon). • vznik trhlin není diskretizovaný ale rozptýlený po celém objemu betonového prvku. • materiálové charakteristiky oceli i betonu jsou pouze aproximacemi reálného chování obou materiálů. • model nezohledňuje vznik trhlinek, ke kterému dochází od smršťování betonu. Pracovní diagram modelu Na grafu 13 je znázorněn pracovní diagram numerického modelu protlačovací zkoušky vzorku A2/1. I když je tuhost vzorku vysoká, můžeme na grafu sledovat změnu tuhosti spřažení. Se zvyšujícím se zatížením působícím na numerický model klesá tuhost spřažení a přibližuje se spojnici počátečního a koncového bodu pracovního diagramu (označena zelenou čárkovanou čarou). Pracovní diagram A2/1 - numerický model 700 600

Síla [kN]

500


400 300 200 100 0 0,00

0,02

0,04

0,06 0,08 0,10 Prokluz [mm]

0,12

0,14

0,16

Graf 13 Diagram síla-prokluz na numerickém modelu vzorku A2/1 Prokluz se stanovil z rozdílu svislé deformace uzlu ocelové pásnice umístěného přibližně v polovině její délky (uzel 1) a uzlu v polovině tloušťky betonové desky ve stejné vzdálenosti (uzel 2), viz obr. 68.

Obr. 68 Výběr uzlů pro stanovení prokluzu -76-


Ing. Jan Samec

Izolinie vnitřních sil Na následujících obrázcích jsou uvedeny izolinie deformací a napětí.

Obr. 69 Deformace protlačovacího vzorku Na obr. 69 jsou znázorněny tvary a hodnoty izolinií svislé deformace (ve směru globální osy y). Na obrázku vpravo je patrný vliv vazbových rovnic na posun betonové desky vůči pásnici ocelového nosníku. Zatímco izolinie ocelová pásnice v horní části má barvu tmavě modrou (odpovídá maximální svislé deformaci), betonová deska se ve stejném místě deformuje mnohem méně (barva izolinie světležlutá). V dolní části vzorku, kde končí perforovaná lišta, je deformace ocelové i betonové části téměř shodná. Důvodem je spolupůsobení lišty a betonové desky, jejíž míra vzrůstá od horní části vzorku k dolní. Vliv spolupůsobení je patrný z rozdílného sklonu izolinií ocelového nosníku ve vrcholu a patě.

Obr. 70 Průměrné srovnávací napětí v uzlech získané z pracovního digramu Na obr. 70 je vidět srovnávací napětí vykreslené v uzlech betonové desky získané z pracovního diagramu betonu. K porušení protlačovacího vzorku došlo při napětí 22MPa v uzlu betonové desky, který je připojen k liště v místě prvnímu otvoru perforované lišty, viz detail průběhu srovnávacího napětí na obr. 70 vlevo. Pokud si vykreslíme stejné srovnávací napětí v elementu, dosahuje izolinie maximální hodnoty 25, 65MPa , která je shodná s pevností betonu v tlaku zadanou do multilineárního pracovního diagramu v preprocesoru, obr. 50 bod . Po dosažení pevnosti v tlaku dochází -77-


Ing. Jan Samec

k nekontrolované změně přetvoření, aniž by se v materiálu dále zvyšovalo napětí a výpočet diverguje. Na obr. 71 vpravo je zachycen detail modelu u prvního otvoru lišty s dosaženým maximálním srovnávacím napětím.

Obr. 71 Průměrné srovnávací napětí v elementech získané z pracovního digramu V ocelové i betonové části vzorku se napětí koncentruje kolem prvních otvorů perforované lišty. Na obr. 72 vlevo je vykreslen průběh napětí odpovídající podmínce H-M-H pro ocelový HEB profil a lištu. Maximální dosažená hodnota napětí je 185MPa a to v prvním otvoru lišty. Je zřejmé, že ocelový profil ani perforovaná lišta nedosáhly normové meze kluzu (v našem případě f y .a = 235MPa ) a zůstávají v pružné oblasti pracovního diagramu. Výsledky numerické analýzy odpovídají experimentům, při nichž u tohoto typu lišty nikdy nedošlo k trvalým plastickým deformacím otvorů. Pásnice a stojina profilu HEB260B dosahuje maximálního napětí kolem 120 MPa . Na obr. 72 vpravo jsou vykresleny izolinie smykového napětí τ xy ocelových částí vzorku. Nejvyšší hodnoty napětí ( 89MPa ) je dosaženo v prvním otvoru perforované lišty a klesá směrem k dolním otvorům. Tato skutečnost dokazuje pružné rozdělení napětí po délce perforované lišty. Rozdělení smykového napětí také odpovídá vznik a následné šíření trhlin v betonové desce.

Obr. 72 Podmínka H-M-H a smykové napětí τ xy pro ocelovou část vzorku

-78-


Ing. Jan Samec

Šíření trhlin Abychom si mohli nechat v postprocesoru vykreslit vnitřní síly včetně tvaru a šíření trhlin v čase, musíme ukládat do výsledkového souboru všechny položky včetně hodnot v integračních bodech. Díky parametrům KEYOPTIONs K(5)=1 a K(6)=3 dle kapitoly 6.5.2.4 pro SOLID65 získáme tvar trhlin nejenom v těžišti prvku, ale přímo v integračních bodech, viz obr. 73.

Obr. 73 Osm integračních bodů prvku SOLID65 Trhlina je symbolicky označena kružnicí ležící v rovině kolmé na hlavní napětí, jehož hodnota přestoupila pevnost betonu v tahu. Pokud při zvýšení působící síly dosáhne i další hlavní napětí pevnost betonu v tahu vzniká v prvku sekundární trhlina. Další změny napjatosti pak mohou vyvolat vznik terciární trhliny. Celkem tedy mohou v jednom prvku vzniknout trhliny ve třech rovinách. Na obr. 74 je vidět rovina trhliny v prvku SOLID65.

Obr. 74 Rovina trhliny prvku SOLID65 Na obr. 75 až 87 je ukázán vznik a šíření trhlin v betonové desce (z důvodu přehlednosti pouze v těžišti prvků). První trhlina vzniká při zatížení 60kN a to v místě koncentrace namáhání u horního otvoru lišty. Poté bylo zachyceno šíření trhlin vždy po přírůstku 50kN . První diagonální trhlina na vnějším povrchu mezi perforovanou lištou a podporou se v experimentu objevila při 450kN . Lze se přesvědčit, že v numerickém modelu je to při 400kN . V pravé části každého obrázku je graf, který znázorňuje v jaké části pracovního diagramu se model právě nachází. Na obr. 88 je pro srovnání s numerickým modelem zobrazeno šíření povrchových trhlin experimentálního vzorku. -79-


Ing. Jan Samec

Obr. 75 Trhliny při zatížení 60kN


-80-


Ing. Jan Samec



-81-


Ing. Jan Samec


Obr. 80 Trhliny při zatížení 300kN - vznik sekundárních trhlin (označeny zeleně)

-82-


Ing. Jan Samec


Obr. 82 Trhliny při zatížení 400kN - první diagonální trhlina

-83-


Ing. Jan Samec

Obr. 83 Trhliny při zatížení 450kN - vznik terciálních trhlin (označeny modře)


-84-


Ing. Jan Samec



-85-


Ing. Jan Samec

Obr. 87 Trhliny při maximálním zatížení 690kN

Obr. 88 Povrchové trhliny experimentálního vzorku při porušení

-86-

Spřažení perforovanou lištou – Závěr

Ing. Jan Samec

7. Závěr Tato disertační práce si kladla za cíl hlouběji prozkoumat chování jednoho typu smykového spřažení u kompozitních ocelobetonových konstrukcí. Konkrétně je věnována pozornost progresivnímu způsobu spřažení perforovanou lištou ČVUT 50/10 [mm].

7.1 Experimentální výzkum • autor ve své práci navázal na experimenty s lištou (Svitáková, Krpata, Chmelař), kdy bylo v laboratořích Fakulty stavební ČVUT v Praze do roku 2000 provedeno 47 protlačovacích zkoušek s malou (50/10 [mm]) i velkou lištou (100/12 [mm]), • provedl 12 doplňujících zkoušek s malou perforovanou lištou v základním i paralelním (modifikovaném) uspořádání a tím zkompletoval experimenty, • ze všech zkoušek byly odvozeny vzorce použitelné pro praktické navrhování lišty obou typů, • pro všechny další typy lišt by byly ovšem nutné další zkoušky – proto se disertace soustředila na numerický model, ve kterém byly ke kalibraci využity výsledky doplňujících experimentů. Chování lišty z hlediska únosnosti Výsledky paralelního uspořádání prokázaly nárůst únosnosti o nejméně 40% v porovnání se základní lištou. Únosnosti se pohybovaly mezi 0, 2542kN / mm′ až 0,8475kN / mm′ v závislosti na stupni vyztužení.

Chování lišty z hlediska prokluzu Oproti nárůstu únosnosti lišty v závislosti na rostoucí osové vzdálenosti paralelních lišt, hodnota prokluzu u základní lišty byla u všech doplňujících zkoušek znatelně vyšší než tomu bylo u paralelního uspořádání. Přesto ani v jednom případě nebyla taková, aby se spřažení dalo považovat za poddajné ve smyslu normy [1].

7.2 Numerická analýza Největší pozornost disertační práce je věnována teoretické části, která se zaměřuje na modelování protlačovací zkoušky. Úkolem bylo navrhnout FEM model v programu ANSYS, který při zachování materiálových i geometrických zjednodušení bude uspokojivě nahrazovat finančně nákladné experimenty protlačovacích zkoušek. Jako reprezentativní byl pro kalibraci modelu vybrán vzorek A2/1 s lištou v základním uspořádání a slabým stupněm vyztužení Ast = 0, 25mm 2 / mm′ . Připravit numerický model protlačovací zkoušky je v jakémkoli z běžných FEM programů nelehký úkol, neboť kvazikřehké chování betonu zavádí do výpočtu velké množství parametrů, které dokáží značně ovlivnit výsledné chování modelu. V současnosti se pro beton používají následující materiálové modely – Druckerova-Pragerova, Chenova a Rankinova podmínka plasticity, popř. jejich modifikace. Mnoho autorů doporučuje pro beton Druckerovu-Pragerovu podmínku plasticity. To však s sebou přináší komplikace se zadáním parametrů, které nejsou běžně při materiálových zkouškách betonu k dispozici. Model s touto podmínkou nebyl věrohodný, proto autor použil podmínku plasticity CONCRETE, která je součástí programu ANSYS. Podmínka CONCRETE je kombinací Chenovy podmínky

-87-


Ing. Jan Samec

v tlakové oblasti a Rankinovy podmínky v tahové oblasti a nejlépe popisuje skutečné chování betonu při složité prostorové napjatosti. Materiálový model je citlivý na zadání koeficientu smykového přenosu v otevřené a uzavřené trhlině, viz str. 55. Numerická stabilita výpočtu se snižuje, pokud se přenos smyku v otevřené trhlině redukuje pod 20% a v uzavřené trhlině pod 70%. Konvergenci ovlivňuje ještě součinitel relaxace, který poklesem napětí v betonu při vzniku trhliny zajistí stabilitu modelu. Doporučený pokles původního napětí je 60%. Při maximálním zatížení našeho modelu vznikalo v ocelových částech vzorku napětí (dle podmínky H-M-H) pod mezí kluzu. Je zřejmé, že při daném stupni vyztužení a kvalitě betonu se ocel chová pružně. Obecně však musíme počítat s nelineárním chováním. U tohoto typu modelu je nutné klást velký důraz na hodnotu přírůstku zatížení, velikost a tvar konečných prvků.

• Přírůstky zatížení je nutné volit s ohledem na nelineární chování modelu velmi malé. Náš model byl zatěžován malými, konstantními přírůstky zatížení od začátku výpočtu, aby bylo možné analyzovat problémy s konvergencí způsobené velikostí zatěžovacího kroku. Velký krok (bez vlivu na konvergenci) lze zadat pouze v pružné oblasti. V našem konkrétním případě se beton chová pružně do zatížení 60kN (9% dosažené únosnosti), při kterém vznikne první trhlina. Nad touto hodnotou je nutné krok zmenšit. Při velikosti zatěžovacího kroku 1kN začal model divergovat již při dosažení 59% únosnosti experimentu. Zmenšením velikosti kroku se únosnost zvyšovala. Při přírůstku menším než 0,1kN se jemnost dělení na zvýšení únosnosti projevila zanedbatelně. • Velikost konečných prvků znatelně ovlivňuje výsledky numerického modelu. Zhuštění sítě konečných prvků je důležité v místech vzniku velkých napětí. Na obr. 67 je patrná velikost sítě kolem perforované lišty a na zbytku modelu. • Při různě husté síti je nutné věnovat pozornost poměru délek hran prvku (nejlépe 1:1:1), aby se neztrácela přesnost řešení. Kromě poměru délek hran je důležité zvolit vhodný geometrický tvar prvku. Dle doporučení [68] by betonový prvek měl mít tvar čtyřbokého hranolu. První model protlačovací zkoušky (s kruhovými otvory v liště) byl z důvodu složitějšího tvaru lišty sestaven z trojbokých a čtyřbokých hranolů. V místě prvního otvoru, kde se koncentrovalo namáhání, se trojboký prvek porušil při 43% maximální únosnosti experimentu. Druhý model (se čtvercovými otvory) při použití čtyřbokých prvků již nebyl na koncentraci napětí v místě horního otvoru lišty citlivý. Chování lišty z hlediska únosnosti Shoda našeho numerického modelu s reálnou protlačovací zkouškou je vynikající – 93%. Je zřejmé, že ještě větším zjemněním mezikroku zatěžování se teoretická únosnost bude více přibližovat reálné hodnotě. Větší počet mezikroků ale vede k nadměrnému zvýšení náročnosti na procesorový čas. V našem případě nelineární výpočet při 8000 mezikrocích vyžadoval 7000 iterací a trval přes 30 hodin.

Chování lišty z hlediska prokluzu Model se z hlediska prokluzu výrazně rozchází s reálnou protlačovací zkouškou. To je způsobeno maximálním zjednodušením modelu a možnostmi použitých konečných prvků hlavně betonového prvku SOLID65. Na základě numerické analýzy tudíž nelze posoudit, zda se zkoumaný způsob spřažení chová tuze nebo poddajně. Konkrétní důvody jsou uvedeny v kapitole 6.5.2.8.

-88-


Ing. Jan Samec

Chování lišty z hlediska šíření trhlin Vznik a šíření trhlin v betonové desce se velmi obstojně blíží experimentu, neboť např. vznik trhliny na vnějším povrchu betonové desky u modelu a reálné zkoušky se liší pouze o 11%, vezmeme-li v úvahu velikost zatížení. Velkým kladem modelu je, že oproti experimentům můžeme sledovat šíření trhlin na povrchu i uvnitř betonové desky.

Shrnutí numerické analýzy Model je i přes zmíněné nedostatky ve vystižení tuhosti vzorku možno velmi dobře využít k simulaci chování perforované lišty při protlačovacích zkouškách. Model současně představuje výchozí základnu i pro výzkum lišty při opakovaném namáhání.

7.3 Doporučení pro praktický návrh Experimentální výzkum jednoznačně prokázal, že při praktickém návrhu spřažení pomocí perforované lišty 50/10 [mm] nelze při slabém a středním vyztužení uvažovat s plastickým rozdělením podélné smykové síly po nosníku a je tedy třeba brát rozdělení smykového toku dle teorie pružnosti. Únosnost spřažení lze při daném tvaru perforované lišty a kvality použitého betonu měnit zejména počtem a průměrem příčné výztuže procházející horním nebo dolním otvorem lišty. Při použití malé lišty 50/10 [mm] je třeba věnovat pozornost složení betonové směsi s ohledem na průměr výztuže. Doporučuje se, aby největší frakce použitého kameniva byla maximálně 3/4 světlého rozměru otvoru zmenšeného o průměr výztuže.

7.4 Přínos k řešené problematice Práce je dle mínění autora přínosná v těchto bodech:

• byl zkompletován experimentální výzkum dvou tvarů lišt, • byl vytvořen sofistikovaný numerický model umožňující detailní analýzu spřažení perforovanou lištou v celé tloušťce betonové desky, včetně tvaru a šíření trhlin, • vytvořený model je parametrizovatelný z hlediska materiálových vlastností, stupně vyztužení i změn geometrie perforované lišty za předpokladu monotónního zatěžování, • při uvažování cyklického zatížení lze model s dodatečnými úpravami materiálových modelů převzít.

7.5 Náměty pro další výzkum Na základě závěrů disertační práce je možné navázat na numerickou analýzu monotónně zatěžovaných vzorků s ohledem na parametrizaci materiálových charakteristik, stupně vyztužení a tvaru vzorku. Vzhledem k tomu, že na Katedře ocelových konstrukcí souběžně probíhá výzkum zaměřený na analýzu chování perforované lišty 100/12 [mm] při cyklickém namáhání, bude možné využít znalostí ze zde předkládaného numerického modelu pro monotónní zatěžování a připravit model vystihující i cyklické zkoušky. Je ale třeba zdůraznit, že model nebude zcela identický. Pro cyklicky namáhané protlačovací zkoušky doporučuji volit jinak nelineární chování oceli. Namísto multilineárního pracovního diagramu, který nezohledňuje skutečné plastické změny, je třeba vybrat materiálový model s věrnějším popisem plasticity (např. bilineární kinematické zpevnění – Bauschingerův efekt).

-89-

Spřažení perforovanou lištou – Literatura

Ing. Jan Samec

8. Literatura 8.1 Normy [1] [2] [3] [4] [5]

ČSN P ENV 1994-1-1: Navrhování spřažených ocelobetonových konstrukcí, Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, ČSNI, 1994 EN 1994-1-1: Design of Composite Steel and Concrete Structures, Part 1-1: General Rules and Rules for Buildings, Brussels, Final draft (stage 49), 2003 prEN 1994-2: Design of Composite Steel and Concrete Structures, Part 2: Bridges, Brussels, 2004 ČSN P ENV 1993-1-1: Navrhování ocelových konstrukcí, Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, Brussels, 1992 ČSN P ENV 1992-1-1: Navrhování betonových konstrukcí, Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, Brussels, 1991

8.2 Publikace [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]

Abe H., Andrä H. P., Grüter R., Haensel J., Ramondenc P., Saul R.: Steel Composite Railway Bridges, Structural Engineering International 4/1992, str. 259÷267 Andrä H. P.: Economical Shear Connectors with High Fatigue Strength, IABSE Symposium, Brussels, 1990, str. 167÷172 Bangash M. Y. H: Concrete and Concrete Structures: Numerical Modelling and Applications, Elsevier, London, 1989 Bittnar Z., Šejnoha J.: Numerické metody mechaniky I, ČVUT Praha, 1992 Bittnar Z., Šejnoha J.: Numerické metody mechaniky II, ČVUT Praha, 1992 Bujňák J., Furtak K., Odrobinák J.: On Shear Connection Design in Composite Beams, Komunikácie 3/2002, str. 13÷16 CEB-FIP Model Code 1990, Vienna, 1991 Desayi P., Krishnan S.: Equation for the Stress-Strain Curve of Concrete, Journal of the American Concrete Institute, 1964 Dorka U. E., Bode H.: Manson-Coffin Relationship for Shear Connectors, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 8 str. Ďuricová A., Rovňák M.: Porovnanie spriahnutia trňmi a pomocou perforovaného pásu, Sborník VI Vědecké konference, TU Košice, 1997, str. 251÷256 Ďuricová A., Rovňák M., Naď L‘.: Porovnanie spriahnutia pomocou trňov a perforovaného pásu, Stavební obzor 10/98, str. 295÷300 Ďuricová A., Rovňák M.: Experimental Analysis of Concrete Dowels, International Conference Concrete and Concrete Structures, Žilina, Apríl 1999 Felgr J.: Spřažení děrovanou lištou – Etapa I, Výzkumná zpráva, ČVUT Praha, leden 1995 Felgr J.: Spřažení děrovanou lištou – Etapa II, Výzkumná zpráva, ČVUT Praha, listopad 1995 Ferreira L. T. S., d’Andrade S. A. L., da S. Vellasco P. C. G.: A Design Model for Bolted Composite Semi-rigid Connectors, Stability and Ductility of Steel Structures, 1998, Fontana M., Beck H.: Novel Shear Rib Connectors with Powder Actuated Fasteners, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 12 str. Johnson R. P.: Shear Connection – Three Studies, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 12 str.

-90-


[23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]

Ing. Jan Samec

Kachlakev D., Miller T.: Finite Element Modelling of Reinforced Concrete Structures Strengthened with FRP Laminates, Oregon Department of Transportation, 2001 Kraus D., Wurzer O.: Bearing Capacity of Concrete Dowels, International Proc. Composite Structures, Innsbruck, 1997, str. 133÷139 Kuhlmann U., Breuninger U.: Behaviour of Lying Studs with Longitudinal Shear Force, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 12 str. Lam D., Elliot K. S., Nethercot D.A.: Push-off Tests on Shear Studs with Hollowcored Floor Slabs, The Structural Engineering Vol. 76, No. 9, 1998, str. 167÷174 Lam D., Elliot K. S., Nethercot D.A.: Design of Composite Steel Seam Using Precast Concrete Slabs, Nordic Steel Construction Conference 98, Bergen, 1998, str. 453÷465 Lam D.: New Tests for Shear Connectors in Composite Construction, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 11 str. Leonhardt F., Andrä W., Andrä H. P., Harre W.: Neues vorteilhaftes Verbundmittel für Stahlverbund – Tragwerke mit hoher Dauerfestigkeit, Beton und Stahlbeton, 1987, str. 325÷331 Macháček J., Peleška K.: Nové typy spřažení ocelobetonových konstrukcí, Sborník konference New Requirements for Structures and Their Reliability, Praha, 1994, str. 55÷60 Macháček J., Studnička J.: Strenght of Perforated Shear Connector, 5th International Conference Modern Building Materials, Structures and Techniques, Vilnius, 1997, str. 226÷232 Macháček J.: Návrhová únosnost stanovená z experimentů, Stavební obzor 5/97, str. 134÷138 Macháček J., Studnička J.: Ocelobetonový nosník s perforovanou lištou, Stavební obzor 2/98, str.36÷40 Macháček J., Studnička J., Krpata A., Svitáková M.: Perforovaná lišta, Sborník semináře Ocelové konstrukce, ČVUT Praha, 1998, str. 24÷27 Macháček J., Studnička J., Krpata A., Svitáková M.: Perforated Shear Connector for Composite Steel and Concrete Structures, Proc. Conference EUROSTEEL 1999, Praha, 1999, str. 589÷592 Macháček J., Studnička J., Krpata A., Svitáková M.: Perforated Shear Connector for Composite Steel and Concrete Beams, Proc. 6th Conference ASCCS Steel and Concrete Composite Structures, Los Angeles, 2000, str. 297÷304 Macháček J., Svitáková M., Novák R.: Příhradové nosníky spřažené s betonovou deskou, Sbor. konf. Ocelové konštrukcie a mosty 2000, Štrbské pleso, 2000, str. 359÷364 Macháček J., Studnička J.: Perforated shear connectors, Steel and Composite Structures, Vol. 2, No. 1, 2002, Korea, str. 51÷66 Matus A., Jullien J.F.: A High Seismic Performance Shear Connector for Composite Steel-Concrete Structures Subjected to Strong Earthquakes, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 11 str. Moták J., Macháček J., Studnička J: Ocelobetonový spřažený nosník s prvky STRIPCON, výzkumná zpráva grantu GAČR č. 103/99/0003, ČVUT Praha, prosinec 2002, str. 1-24 Naď L‘., Ďuricová A., Rovňák M.: Spriahnuté ocelobetonové mosty s netradičními spriahovacími prvkami, Inženýrské stavby 1/97 Naď L‘., Ďuricová A., Rovňák M.: Porovnanie spriahnutia pomocou trňov, perforovaného a hřebenového pásu, Konferencia Beton na Slovensku 1994-1998, Bratislava, 1998, str. 162÷167

-91-


[43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63]

Ing. Jan Samec

Nishido T., Fuji K., Ariyoshi T.: Slip Behavior of Perfobond Rib Shear Connectors and Its Treatment in FEM, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 11 str. Oguejifor E. C., Hosain M. U.: Behaviour of Perfobond Rib Shear Connectors in Composite Beams: Full-size Tests, Canadian Journal of Civil Engineering Vol. 19, No. 1, 1992, str. 224÷235 Oguejifor E. C., Hosain M. U.: A Parametric Study of Perfobond Rib Shear Connectors, Canadian Journal of Civil Engineering Vol. 21, No. 4, 1994, str. 614÷625 Oguejifor E. C., Hosain M. U.: Test of Full Size Composite Beams with Perfobond Rib Connectors, Canadian Journal of Civil Engineering Vol. 22, No. 1, 1995, str. 80÷92 Oguejifor E. C., Hosain M. U.: Numerical Analysis of Push-out Specimen with Perfobond Rib Connectors, Computers and Structures Vol. 62, No. 4, 1996, str. 617÷624 Peleška K., Studnička J., Macháček J.: Spřažení ocelobetonových konstrukcí pomocí kotev HVB, Sborník výsledků vědeckovýzkumných grantových úkolů, ČVUT Praha, 1995, str. 129÷130 Peleška K., Studnička J.: Spřažení ocelobetonových konstrukcí pomocí kotev HVB, Sborník výsledků vědeckovýzkumných grantových úkolů, ČVUT Praha, 1996, str. 80÷82 Peleška K.: Spřažení ocelobetonových konstrukcí kotvami HVB, výzkumná zpráva, ČVUT Praha, říjen 1998 Perfobond Leiste, Zulassungsbescheid, Z-26, 1-23, Institut für Bautechnik, Berlin, 1991 Publication Design of Composite Trusses, The Steel Construction Institute 1992, Silwood park, Ascot Roberts T. M., Dogan O.: Fatigue of Welded Stud Shear Connectors in SteelConcrete-Steel Sandwich Beams, Journal of Constructional Steel Research Vol. 45, No. 3, 1998, str. 301÷316 Saul R., Leonhardt F., Andrä H. P. : Bridges with Double Composite Action, Structural Engineering International 1/96, str. 32÷36 Shah S. P., Swartz S. E., Ouyang C: Fracture Mechanics of Concrete, Wiley, New York, 1995 Studnička J., Macháček J., Peleška K.: Nové prvky spřažení pro ocelobetonové konstrukce, Stavební obzor 2/96, str.42÷45 Studnička J.: Ocelobetonové konstrukce, ČVUT Praha, 2002 Studnička J., Macháček J., Krpata A., Svitáková M.: Perforated Shear Connector for Composite Steel and Concrete Beams, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 10 str. Svitáková M.: Zpráva o provedených experimentech s perforovanou lištou, výzkumná zpráva grantu GAČR č. 103/99/0003, ČVUT Praha, srpen 2000, str. 1-35 Tategami H., Ebina T., Uehira K., Sonoda K., Kitoh H.: Shear Connectors in PC Box Girder Bridges with Corrugated Steel Webs, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 11 str. Tenhovouri A.I., Leskelä M. V.: Method for Defining the Shear Behaviour of Composite Slabs from Tests, Nordic Steel Construction Conference 98, Bergen, 1998, str. 137÷148 Veldanda M. R., Hosain M. U.: Behaviour of Perfobond Rib Shear Connectors: Pushout Tests, Canadian Journal of Civil Engineering Vol. 19, No. 1, 1992, str. 1÷10 Wald F., Sokol Z.: Navrhování styčníků, ČVUT Praha, květen 1999, str. 53÷57

-92-


[64] [65] [66] [67] [68] [69]

Ing. Jan Samec

Willam, K. J., Warnke, E. D.: Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Concrete, International Association for Bridge and Structural Engineering, Bergamo, 1975 Wu H., Hosain M. U.: Composite Beams with Paralel Wide Ribbed Metal Deck: Pushout and Full Size Beam Tests, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 12 str. Zandonini R., Bursi O. S.: Cyclic Behavior of Headed Stud Shear Connectors, Proc. Conf. Composite Construction in Steel and Concrete IV, Banff, 2000, 12 str. ANSYS Reference Manual, on-line manual Modeling and Mashing Guide, on-line manual Structural Analysis Guide, on-line manual

8.3 Publikace autora [70] [71] [72] [73] [74]

Samec J., Studnička J: Experimenty s perforovanou lištou, výzkumná zpráva grantu GAČR č. 103/99/0003, ČVUT Praha, prosinec 2001, str. 1÷23 Samec J., Studnička J: Experimenty s perforovanou lištou, výzkumná zpráva grantu GAČR č. 103/02/0008, ČVUT Praha, prosinec 2002, str. 1÷25 Samec J., Studnička J.: Rozbor chování spřahovací lišty, Ocelové konstrukce a mosty 2003 , Praha, 2003, str. 379÷390 Samec J., Studnička J.: Numerical Analysis of Perforated Shear Connector, Advanced Engineering Design, Glasgow, 2004 Studnička J., Samec J.: Perforated Shear Connector for Composite Steel and Concrete Beams, Stability and Ductility of Steel Structures, Budapešť, 2002, str. 623÷630

-93-

Chování perforované lišty v ocelobetonových konstrukcích

Recommend Documents