CHARAKTERISTIKY STATISTICKÉ VAZBY DEPENDENCE MEASURES

´ UCEN ˇ Í TECHNICKE ´ V BRNE ˇ VYSOKE BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ˇ YRSTV ´ Í FAKULTA STROJNÍHO INZEN ´ USTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS

´ VAZBY CHARAKTERISTIKY STATISTICKE DEPENDENCE MEASURES

´ RSK ˇ A ´ PRACE ´ BAKALA BACHELOR’S THESIS ´ AUTOR PRACE AUTHOR

RADEK JANDA

´ VEDOUCÍ PRACE SUPERVISOR

doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.

BRNO 2012

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Ústav matematiky Akademický rok: 2011/2012

ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE student(ka): Radek Janda který/která studuje v bakalářském studijním programu obor: Matematické inženýrství (3901R021) Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce: Charakteristiky statistické vazby v anglickém jazyce: Dependence Measures Stručná charakteristika problematiky úkolu: V práci uveďte přehled charakteristik statistické vazby pro různé typy měřených dat. Jednotlivé míry porovnejte na simulovaných datech nebo je použijte ke zpracování reálných datových souborů. Cíle bakalářské práce: Prehled měr statistické vazby pro různé typy měřených dat. Porovnání jednotlivých měr pomocí simulací nebo jejich vlastnosti demonstrovat na zpracování reálných dat.

Seznam odborné literatury: Agresti A.: Categorical Data Analysis. New York. Wiley. 1990 Agresti A.: Analysis of Ordinal Categorical Data. New York. Wiley. 1984 Anděl J.: Statistické metody, MATFYZPRESS, 1993 Časopisecká literatura - česká a anglická podle doporučení školitele

Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc. Termín odevzdání bakalářské práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2011/2012. V Brně, dne 19.11.2010 L.S.

_______________________________ prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. Ředitel ústavu

_______________________________ prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c. Děkan fakulty

Abstrakt Tato bakaláˇrská práce se zab´ yvá charakteristikami statistické vazby mezi náhodn´ ymi veliˇcinami a jejich praktick´ ym vyuˇzit´ım v pr˚ umyslu. Teoretická ˇca´st je zamˇeˇrena na v´ yˇcet a popis statistick´ ych vazeb. Dále je zde popsán statistick´ y software Statistica, kter´ y umoˇzn ˇuje ˇradu uveden´ ych charakteristik poˇc´ıtat. Na jednoduch´ ych pˇr´ıkladech je uveden zp˚ usob pouˇzit´ı statistick´ ych vazeb. Praktická ˇcást se zamˇeˇruje na statistickou anal´ yzu pr˚ umyslov´ ych reáln´ ych dat s vyuˇzit´ım znalost´ı z teoretické ˇcásti bakaláˇrské práce.

Abstract This thesis focuses on characteristics of the dependence measures among random quantities, as well as its use in industry. The theoretical part focuses on examples of the characteristics used. Furthermore, the software Statistica is described here, for its possibilities of implementing such characteristics. On simple examples, the use of dependence measures is shown. In the practical part, the thesis focuses on statistical analysis of real industrial data, whilst implementing the theory mentioned above.

kl´ıˇ cov´ a slova Statistická data, nomináln´ı promˇenné, ordináln´ı promˇenné, kvantitativn´ı promˇenné, kvalitativn´ı promˇenné, statistická vazba, korelace, korelaˇcn´ı koeficient, Statistica.

key words Statistic data, nominal variables, ordinal variables, quantitative variables, qualitative variables, dependence measures, correlation, correlation coefficient, Statistica.

JANDA, R.: Charakteristiky statistické vazby, Brno, Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, Fakulta strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı, 2012 (33 stran). Vedouc´ı bakaláˇrské práce doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem bakaláˇrskou práci Charakteristiky statistické vazby vypracoval samostatnˇe pod veden´ım doc. RNDr. Jaroslava Michálka, CSc. s pouˇzit´ım materiál˚ u uveden´ ych v seznamu literatury.

Radek Janda

Dˇekuji svému ˇskoliteli doc. RNDr. Jaroslavu Michálkovi, CSc. za ˇcetné rady a pˇripom´ınky pˇri veden´ı mé bakaláˇrské práce. Dále bych chtˇel podˇekovat TSC Daˇcice, zkuˇsebnˇe spoleˇcnosti TRW, za poskytnut´ı dat ke zpracován´ı.

Radek Janda

Obsah ´ 1 Uvod

8

2 Statistick´ a data

9

3 Z´ akladn´ı statistick´ e vazby 3.1 Statistické vazby pro dvˇe promˇenné 3.1.1 Kvantitativn´ı promˇenné . . 3.1.2 Nomináln´ı promˇenné . . . . 3.1.3 Ordináln´ı promˇenné . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

11 11 11 13 14

4 Statistick´ y software 16 4.1 Statistica 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 Uk´ azka aplikace statistick´ ych vazeb

19

6 Aplikace statistick´ ych vazeb v pr˚ umyslu 6.1 Seznámen´ı s technick´ ym prostˇred´ım . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Pnut´ı ve ˇsroubu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Uveden´ı do problému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Popis experimentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Zpracován´ı dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Statistické vyhodnocen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Technické vyhodnocen´ı, jeho vyuˇzit´ı a dalˇs´ı zpracován´ı 6.3 Volba volantu a airbagu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Uveden´ı do problému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Popis experimentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Zpracován´ı dat, vyhodnocen´ı v´ ysledku a jeho vyuˇzit´ı . 6.4 S´ıla potˇrebná k manipulaci se sloupkem v axiáln´ım smˇeru . . . 6.4.1 Uveden´ı do problému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Popis experimentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Zpracován´ı dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 23 23 24 26 27 27 28 28 28 29 29 29 29 31

7 Z´ avˇ er

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

32

7

1

´ Uvod

S vyuˇzit´ım statistick´ ych anal´ yz se v dneˇsn´ı dobˇe setkáváme v kaˇzdém pr˚ umyslovém odvˇetv´ı.V této práci se lze bl´ıˇze seznámit s tˇemito anal´ yzami a jejich praktick´ ym vyuˇzit´ım. Hlavn´ım c´ılem této práce je charakterizovat statistickou vazbu a pˇredvést jejich vyuˇzit´ı pˇri zpracován´ı reáln´ ych dat. Tuto práci m˚ uˇzeme rozˇclenit na dvˇe hlavn´ı ˇca´sti, z nichˇz prvn´ı ˇca´st je teoretická pˇr´ıprava k ˇcásti druhé. Druhá kapitola se zab´ yvá statistick´ ymi daty. Vysvˇetluje se zde, co jsou to statistická data a jak je z´ıskáváme. Hlavn´ım bodem kapitoly je rozdˇelen´ı dat do skupin podle jejich vlastnost´ı. Tˇret´ı kapitola pojednává o statistické vazbˇe, tento pojem je zde vysvˇetlen. Budeme se zde zab´ yvat základn´ımi statistick´ ymi vazbami a jejich ˇclenˇen´ım do skupin v závislosti na tom, s jak´ ymi typy dat pracuj´ı. Ve ˇctvrté kapitole bude pˇredstaven a popsán jeden ze statistick´ ych softwar˚ u. V´ ypoˇcet teoretick´ ych pˇr´ıklad˚ u a zpracován´ı dat bude proveden pomoc´ı statistického softwaru Statistica. V následuj´ıc´ı, páté, kapitole budou statistické vazby aplikovány na jednoduch´ ych pˇr´ıkladech. Pˇri jejich v´ ypoˇctech bude pouˇzit jiˇz pˇredstaven´ y software Statistica. ˇ a kapitola se bude zab´ Sest´ yvat zpracován´ım reáln´ ych dat. Tato data byla z´ıskána z testován´ı funkˇcn´ıch ˇca´st´ı ˇr´ıdic´ıho systému automobilu ve zkuˇsebnˇe TSCD v Daˇcic´ıch, jediné zkuˇsebnˇe této spoleˇcnosti u nás. Jedná se pˇr´ımo o testy provádˇené na prototypu, kter´ y bude uveden na trh v nejbliˇzˇs´ı dobˇe. Mˇeˇren´ı, zpracován´ı a vyhodnocován´ı dat, které jsou popsány v této bakaláˇrské práci, byly vyuˇzity ke koneˇcné realizaci celého projektu.

8

2

Statistick´ a data

Datové soubory, statisticky zpracovatelné, se poˇrizuj´ı mˇeˇren´ım, pozorován´ım nebo jin´ ym zjiˇst’ován´ım hodnot sledovan´ ych ukazatel˚ u na vybran´ ych prvc´ıch dané mnoˇziny. Tyto prvky naz´ yváme statistické jednotky, a mnoˇzinu, kterou tvoˇr´ı, a která je pˇredmˇetem naˇseho pozorován´ı, naz´ yváme statistick´ y soubor. Tento soubor je vymezen z vˇecného, prostorového a ˇcasového hlediska. Ukazatel, kter´ y na prvc´ıch ze statistického souboru mˇeˇr´ıme nebo pozorujeme, se naz´ yvá statistick´ y znak X. Moˇzné hodnoty statistického znaku se naz´ yvaj´ı varianty nebo obmˇeny znaku a tvoˇr´ı mnoˇzinu, kterou oznaˇc´ıme M . Znak X je moˇzné charakterizovat jako náhodnou veliˇcinu a potom mnoˇzina M je oznaˇcena jako obor hodnot náhodné veliˇciny X. Podle toho, jaké má tato mnoˇzina M vlastnosti, m˚ uˇzeme jiˇz znaky dˇelit. Pokud je mnoˇzina M koneˇcná nebo spoˇcetná (jej´ı prvky m˚ uˇzeme uspoˇra´dat do posloupnosti), mluv´ıme o diskrétn´ım znaku. Pokud je mnoˇzina variant diskrétn´ıho znaku X koneˇcná, pak ji oznaˇc´ıme MX = {x[1] , x[2] , . . . , x[r] }, kde ˇc´ıslo r je poˇcet variant diskrétn´ıho znaku X. V pˇr´ıpadˇe, ˇze mnoˇzina M je tvoˇrena intervalem, pak statistick´ y znak nazveme spojit´ ym. Jiné rozdˇelen´ı statistick´ ych znak˚ u dostaneme, budeme-li se zab´ yvat stupnˇem jejich ˇ ıslo n kvantifikace. Vezmˇeme statistick´ y soubor, kter´ y obsahuje n statistick´ ych jednotek. C´ nazveme rozsahem statistického souboru. Hodnoty, oznaˇcené x1 , x2 , . . . , xn , jsou hodnoty znaku X zjiˇstˇené na jednotliv´ ych statistick´ ych jednotkách. Podle obsahové kvantifikace hodnot znaku se pak znaky rozdˇeluj´ı do skupin. a) Nomin´ aln´ı znaky Tyto znaky pˇripouˇstˇej´ı mezi hodnotami statistick´ ych znak˚ u x1 , x2 , . . . , xn pouze relaci rovnosti, o dvou variantách nomináln´ıho znaku m˚ uˇzeme pouze konstatovat, ˇze ˇ ıslo pˇriˇrazené variantˇe znaku nereprezentuje skuteˇcnou jsou bud’ stejné nebo r˚ uzné. C´ hodnotu, ale je pouh´ ym oznaˇcen´ım varianty znaku. Pˇr´ıkladem nomináln´ıho znaku m˚ uˇze b´ yt odpovˇed’ v dotazn´ıku, barva oˇc´ı, typ profese atd. Nomináln´ı znak nab´ yvaj´ıc´ı pouze dvou hodnot se naz´ yvá alternativn´ı, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o znaku mnoˇzném. b) Ordin´ aln´ı znaky Tyto znaky pˇripouˇstˇej´ı kromˇe relace rovnosti i relaci uspoˇra´dán´ı, m˚ uˇzeme konstatovat, ˇze varianta x[i] < x[j] nebo (x[i] > x[j] ). Uspoˇra´dán´ım vyjádˇr´ıme vˇetˇs´ı nebo menˇs´ı intenzitu popisované vlastnosti. Pˇr´ıklad ordináln´ıho znaku: ˇskoln´ı klasifikace, r˚ uzná bodován´ı atd. c) Kardin´ aln´ı znaky Tyto znaky pˇripouˇstˇej´ı obsahovou interpretaci jak relac´ı rovnosti a uspoˇrádán´ı, tak operac´ı souˇctu x[1] + x[2] a rozd´ılu x[1] − x[2] . Tyto znaky se dále ˇclen´ı do dvou podskupin.

9

• Pomˇ erov´ e znaky Znaky pˇripouˇstˇej´ı nav´ıc obsahovou interpretaci operace pod´ılu. Stejn´ y pomˇer mezi jednou dvojic´ı hodnot a jinou dvoj´ıc´ı hodnot vyjadˇruje i stejn´ y pod´ıl ve zkoumaném statistickém souboru. Spoleˇcn´ y rys pomˇerov´ ych znak˚ u je, ˇze pomˇerov´ y znak má pˇrirozen´ y poˇcátek, ke kterému jsou vztahován´ y vˇsechny dalˇs´ı hodnoty znaku. Pˇr´ıklady pomˇerov´ ych znak˚ u: hmotnost osob v kg, délka mˇeˇrená v cm atd. • Intervalov´ e znaky Je to pˇr´ıpad znak˚ u, kdy operace pod´ılu nemá smysl, tud´ıˇz se jedná o kardináln´ı znaky bez operace pod´ılu. Spoleˇcn´ ym znakem intervalov´ ych znak˚ u je to, ˇze nula byla stanovena umˇele, pouhou konvenc´ı. Pˇr´ıklady intervalov´ ych znak˚ u: kalendáˇrn´ı systém, mˇeˇren´ı teploty ve stupn´ıch Celsia atd. V nˇekter´ ych monografi´ıch (napˇr. [3]) b´ yvaj´ı nomináln´ı a ordináln´ı znaky souhrnnˇe pojmenovány jako znaky kvalitativn´ı a znaky kardináln´ı jako kvantitativn´ı znaky.

10

3

Z´ akladn´ı statistick´ e vazby

Statistickou vazbou mezi dvˇema znaky se rozum´ı popis vzájemného vztahu. Pozorujeme, zda hodnoty jednoho znaku, které pˇri experimentu pozorujeme, jsou vázány na hodnoty druhého znaku. Pokud hodnoty jednoho znaku nejsou vázány na hodnoty znaku druhého, jedná se o nulovou vazbu a mezi znaky nen´ı závislost. Velikost statistické vazby je ˇc´ıselnˇe charakterizována. Poˇrad´ı pˇrehledu vybran´ ych mˇer statistick´ ych vazeb je uvedeno podle [1].

3.1

Statistick´ e vazby pro dvˇ e promˇ enn´ e

Charakteristika statistické vazby se zavád´ı podle typu znak˚ u, které jsou zkoumány. 3.1.1

Kvantitativn´ı promˇ enn´ e

Necht’ (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) jsou nezávislé pozorované hodnoty náhodného vektoru (X, Y ) Pro tyto hodnoty se uˇz´ıvá tˇechto koeficient˚ u: a) Pearson˚ uv korelaˇ cn´ı koeficient n P

R= s

(Xi − X)(Yi − Y )

i=1 n P

n P (Xi − X)2 (Yj − Y )2

i=1

kde X =

n P i=1

Xi a Y =

n P

,

R ∈ h−1, 1i ,

(3.1)

j=1

Yi .

i=1

Pomoc´ı tohoto koeficientu se urˇcuje lineárn´ı závislost mezi znaky X a Y . Pokud se R bl´ıˇz´ı k ±1, pak je mezi znaky X a Y lineárn´ı závislost. Podle hodnot R m˚ uˇzeme urˇcit velikost lineárn´ı závislosti mezi znaky X a Y . V´ ysledné hodnoty se mohou dále testovat na statistickou v´ yznamnost. Je urˇcena hladina statistické v´ yznamnosti α = 0, 05, která m˚ uˇze b´ yt povaˇzována za hranici v´ yznamnosti. Statistickou v´ yznamnost koeficientu R se testuje T testem √ R n−2 T = √ , (3.2) 1 − R2 kde T má Studentovo t rozdˇelen´ı o n − 2 stupn´ıch volnosti. Tedy T ∼ t(n − 2). V´ ysledek je platn´ y za pˇredpokladu, ˇze jde o v´ ybˇer z dvourozmˇerného normáln´ıho rozdˇelen´ı. V´ ysledek se porovnává s kvantily t1− α2 (n − 2). Pokud |T | ≥ t1− α2 (n − 2), pak vypoˇctená hodnota R je statisticky v´ yznamná.

11

b) Spearman˚ uv poˇ radov´ y korelaˇ cn´ı koeficient (Xi , Yi ), i = 1, 2, . . . , n je n pozorován´ı veliˇcin X a Y . X(1) , X(2) , . . . , X(n) jsou uspoˇra´dané X-ové hodnoty. Pak r = (r1 , . . . , rn ) je vektor poˇrad´ı, kde ri je poˇrad´ı Xi ve v´ ybˇeru. Stejn´ y je postup s hodnotami Y . Poloˇzme n P 6 (ri − si )2 , RS ∈ h−1, 1i (3.3) RS = 1 − i=1 2 n(n − 1) Pak RS naz´ yváme Spearman˚ uv poˇradov´ y korelaˇcn´ı koeficient. Pokud se hodnota RS bl´ıˇz´ı k 0, mezi znaky X a Y nen´ı závislost . Stanovme hypotézy a zda jsou v´ ysledné hodnoty v´ yznamné : • H0 : mezi X a Y neexistuje závislost • H1 : mezi X a Y existuje závislost Zvol´ıme hladinu v´ yznamnosti α = 0, 05 a testujeme statistickou v´ yznamnost pomoc´ı T testu √ RS n − 2 T = p (3.4) 1 − RS2 kde T má Studentovo t rozdˇelen´ı o n − 2 stupn´ıch volnosti. Tedy T ∼ t(n − 2). V´ ysledek se porovnává s kvantily t1− α2 (n − 2). Pokud |T | ≥ t1− α2 (n − 2), pak vypoˇctená hodnota RS je statisticky v´ yznamná. Dále urˇc´ıme, které hypotézy zam´ıtneme. • H0 a H1 : je-li |T | ≥ t1− α2 zam´ıtáme H0 ve prospˇech H1 je-li |T | < t1− α2 nemáme d˚ uvod H0 zam´ıtnout c) Kendall˚ uv korelaˇ cn´ı koeficient V´ ypoˇcet tohoto koeficientu vycház´ı z poˇrad´ı hodnot znak˚ u. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe Speamanova korelaˇcn´ıho koecientu zavedeme vektory poˇrad´ı r1 , . . . , rn a s1 , . . . , sn a poloˇzme n X 1 sign (ri − rj )(si − sj ), τ= n(n − 1) i6=j i,j=1

kde

 −1   0 sign x =   1

pro

x<0

pro

x=0

pro

x > 0.

Pak τ nazveme Kendall˚ uv korelaˇcn´ı koeficient.

12

τ ∈ h−1, 1i

(3.5)

d) Kolmogorov˚ uv distribuˇ cn´ı deviaˇ cn´ı koeficient (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) jsou nezávislé pozorované hodnoty náhodného vektoru (X, Y ). Zavedeny v´ ybˇerové distribuˇcn´ı funkce pro 1. v´ ybˇer, 2. v´ ybˇer a sdruˇzenou v´ ybˇerovou distribuˇcn´ı funkci: n P I[Xi ≤x] F1n (x) = n1 F2n (y) =

1 n

Fn (x, y) =

i=1 n P

I[Yi ≤y] i=1 n P 1 I[Xi ≤x,[Yi ≤y] , n i=1

kde IA je indikátor jevu A, kter´ y nab´ yvá hodnot ( 0 pokud jev A nenastane IA = 1 pokud jev A nastane . dK = 4 sup |Fn (x, y) − F1n (x)F2n (y)| dK ∈ h−1, 1i

(3.6)

1≤x,y≤n

Koeficient dK vyjadˇruje odchylku od nezávislosti. Je to univerzáln´ı koeficient, ale nen´ı ˇcasto pouˇz´ıvan´ y. Pˇri jeho pouˇzit´ı se doporuˇcuje n velké (n > 30). 3.1.2

Nomin´ aln´ı promˇ enn´ e

Pˇredpokládejme, ˇze r je poˇcet variant X a s je poˇcet variant znaku Y . Poˇr´ıd´ıme náhodn´ y v´ ybˇer rozsahu n znaku (X, Y ). Oznaˇcme nij ˇcetnost jevu, kdy X = X[i] a Y = Y[j] , i = 1, . . . , r a j = 1, . . . , s. Zjiˇstˇené hodnoty uspoˇrádáme do tabulky, která se naz´ yvá kontingenˇcn´ı: P

X/Y X[1] X[2] .. .

Y[1] n11 n21 .. .

Y[2] n12 n22 .. .

... ... ... .. .

Y[s] n1s n2s .. .

n10 n20 .. .

X[r] P

nr1 n01

nr2 n02

... ...

nrs n0s

nr0 n

Pak zavedeme chi-kvadratickou statistiku χ2 =

r X c X (nij − eij )2 , e ij i=1 j=1

n n

(3.7)

kde eij = i0n 0j , i = 1, . . . , r a j = 1, . . . , s je oˇcekávaná ˇcetnost tˇr´ıdy i, j. Oˇcekávaná ˇcetnost eij je ˇcetnost, kdy znak X = X[i] a znak Y = Y[i] . Testujeme hypotézu H0 : znaky jsou nezávislé oproti hypotéze H1 : znaky nejsou nezávislé. V´ yslednou hodnotu χ2 porovnáváme s kvantily rozdˇelen´ı χ2α ((r − 1)(s − 1)). Pokud 2 χ20 > χ2α ((r − 1)(s − 1)) pak hypotézu H0 zam´ıtáme. 2 Test je asymptotick´ y a je platn´ y za pˇredpokladu, ˇze oˇcekávané ˇcetnosti jsou alespoˇ n 5. Následuj´ıc´ı statistické vazby vycházej´ı ze statistiky χ2 . 13

a) Koeficient ϕ Koeficient vycház´ı z kontingenˇcn´ı tabulky. Je definován r χ2 , ϕ≥0 ϕ= n

(3.8)

K 0 bl´ıˇz´ıc´ı se ϕ znaˇc´ı nezávislost. Horn´ı hranice závis´ı na r a s. Pro tabulku 2×2 se ϕ rovná Pearsonovu koeficientu dvou znak˚ u. V tomto pˇr´ıpadˇe je ϕ bodov´ y biseriov´ y korelaˇcn´ı koeficient a ϕ ∈ h−1, 1i. b) Cram´ erovo V Koeficient vycház´ı z kontingenˇcn´ı tabulky. Je definován s χ2 , V ∈ h−1, 1i V = n min(r − 1, c − 1)

(3.9)

Pro tabulky vˇetˇs´ı neˇz 2×2, z toho vypl´ yvá, ˇze pro tabulky 2×2 dostaneme rovnost ϕ = V . V bl´ıˇz´ıc´ı se k nule znaˇc´ı nezávislost , pokud se bl´ıˇz´ı k 1 znaˇc´ı to silnou závislost. Nejv´ıce doporuˇcovaná statistická vazba. c) Kontingenˇ cn´ı koeficient (Pearsonovo C) Koeficient vycház´ı z kontingenˇcn´ı tabulky. Je definován s χ2 , C ∈ h−1, 1i C= χ2 + n

(3.10)

Maximáln´ı hodnota C závis´ı na r a s. 3.1.3

Ordin´ aln´ı promˇ enn´ e

Pˇredpokládejme, ˇze znaky X a Y jsou ordináln´ı, uspoˇrádáme je (napˇr. od nejniˇzˇs´ı po nejvˇetˇs´ı) podle hodnot znaku X nebo znaku Y . Mˇejme dvojice pozorován´ı (Xi , Yj ) a (Xk , Yl ). Vol´ıme P a Q, které jsou definované: • P = poˇcet dvojic pozorován´ı (Xi , Yj ) a (Xk , Yl ), pro které plat´ı bud’ Xi > Xk a Yj > Yl nebo Xi < Xk a Yj < Yl (shodné páry) • Q = poˇcet dvojic pozorován´ı (Xi , Yj ) a (Xk , Yl ), pro které plat´ı bud’ Xi > Xk a Yj < Yl nebo Xi < Xk a Yj > Yl (neshodné páry) • TX = poˇcet dvojic pozorován´ı (Xi , Yj ) a (Xk , Yl ), pro které plat´ı Xi = Xk (vázané ve znaku X, poˇcet pár˚ u, kdy X má stejné hodnoty) • TY = poˇcet dvojic pozorován´ı (Xi , Yj ) a (Xk , Yl ), pro které plat´ı Yj = Yl (vázané ve znaku Y, poˇcet pár˚ u, kdy Y má stejné hodnoty)

14

a) Goodman-Kruskal˚ uv koeficient γ γ=

P −Q , P +Q

h−1, 1i

(3.11)

Pokud se γ bl´ıˇz´ı k 0, znaky X a Y jsou nezávislé. Naopak γ bl´ıˇz´ıc´ı se k 1 nebo -1 znaˇc´ı silnou závislost. b) Kendallovo τb 2(P − Q) , τb = p (P + Q + TX )(P + Q + TY )

Tb ∈ h−1, 1i

(3.12)

Koeficient v´ ykladem podobn´ y Goodman-Kruskalovu γ. Nejv´ıce doporuˇcovan´ y a uˇz´ıvan´ y koeficient. c) Kendallovo (Stewartsovo) τc τc =

2 min(r, c)(P − Q) , n2 [min(r, c) − 1]

τc ∈ h−1, 1i

(3.13)

Interpretace podobná Goodman-Kruskalovu γ. d) Sommerovo d dXY =

P −Q P + Q + TX

(3.14)

dY X =

P −Q , P + Q − TY

(3.15)

−1 ≤ dXY , dY X ≤ 1 Asymetrické koeficienty pˇredpokládaj´ıc´ı jednosmˇernou závislost. Interpretaˇcnˇe podobné Goodman-Krusklovu γ. Jelikoˇz jsou poˇrad´ı hodnot znak˚ u dobˇre definované, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt také: e) Spearman˚ uv poˇ radov´ y korelaˇ cn´ı koeficient RS (3.3) f ) Kendall˚ uv poˇ radov´ y korelaˇ cn´ı koeficient τ (3.5)

Praktick´ ym uˇzit´ım tˇechto koeficient˚ u na pˇr´ıkladech se bude zab´ yvat kapitola 5. V´ ypoˇcet koeficient˚ u bude proveden pomoc´ı softwaru Statistica. Tento software bude pˇredstaven v následuj´ıc´ı kapitole.

15

4

Statistick´ y software

S pouˇz´ıván´ım poˇc´ıtaˇc˚ u se dnes setkáváme v kaˇzdém technickém oboru. Nicménˇe kaˇzd´ y obor je specifick´ y a je doporuˇcené, ˇci dokonce nutné, uˇz´ıvat specializovan´ y software. V této kapitole se budeme zab´ yvat statistick´ ym matematick´ ym softwarem Statistica 10. Tento software si pˇribl´ıˇz´ıme, protoˇze jej vyuˇzijeme v následuj´ıc´ıch kapitolách.

4.1

Statistica 10

Statistica je program produkovan´ y firmou Statsoft, kter´ y obsahuje prostˇredky pro správu dat, jejich anal´ yzu a vizualizaci. Nab´ız´ı ˇsirok´ y v´ ybˇer základn´ıch i pokroˇcilejˇs´ıch technik pro statistické zpracován´ı dat. Vyuˇzit´ı nacház´ı hlavnˇe v podnikán´ı, vˇedˇe a pˇri inˇzen´ yrsk´ ych aplikac´ıch. V této kapitole si ukáˇzeme, jak naˇc´ıst data do programu, a pˇredvedeme postup, jak spoˇc´ıtat jednotlivé korelaˇcn´ı koeficienty. • Naˇ cten´ı souboru s daty Po spuˇstˇen´ı programu nás program Statistica uv´ıtá a nab´ıdne nám typy soubor˚ u, se kter´ ymi m˚ uˇzeme pracovat. Zde zvol´ıme moˇznost otevˇr´ıt seˇsit Excel, jelikoˇz data, která budeme dále pouˇz´ıvat, máme v excelovském souboru. Najdeme si námi vybran´ y soubor a zvol´ıme otevˇr´ıt. V dalˇs´ım kroku zvol´ıme moˇznost otevˇr´ıt jako pracovn´ı seˇsit Excelu. T´ım jsme nahráli soubor do programu a m˚ uˇzeme s n´ım dále pracovat.

• Pˇ riˇ razen´ı dat do promˇ enn´ ych Abychom mohli pokroˇcit k test˚ um, mus´ıme si data pˇriˇradit do promˇenn´ ych, se kter´ ymi potom program pracuje. To udˇeláme tak, ˇze si zvol´ıme v horn´ı liˇstˇe moˇznost Statistiky.

16

Zde v nab´ıdce vybereme statistiku, kterou jsme se rozhodli pouˇz´ıt. Dále vybereme sloupce a ˇrádky, které pˇriˇrad´ıme do promˇenn´ ych, které potom pouˇz´ıváme pˇri v´ ypoˇctech.

• V´ ypoˇ cty Po vytvoˇren´ı promˇenn´ ych se m˚ uˇze pˇrikroˇcit k samotn´ ym v´ ypoˇct˚ um. Pro pˇr´ıpad dˇr´ıve uveden´ ych statistick´ ych vazeb se budeme zab´ yvat hlavnˇe moˇznost´ı Základn´ı statistiky a Neparametrická statistika. • Základn´ı statistiky Zde je pro nás nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı moˇznost Korelaˇcn´ı matice, kde v´ ybˇerem moˇznosti Korelace spoˇc´ıtáme Pearsonovo R.

17

• Neparametrická statistika

V nab´ıdce neparametrické statistiky m˚ uˇzeme zadat v´ ypoˇcet korelac´ı, máme na v´ ybˇer ze Spearmanova R, Gama nebo Kendallova tau.

18

5

Uk´ azka aplikace statistick´ ych vazeb

S praktick´ ym vyuˇzit´ım statistick´ ych vazeb se setkáváme v mnoha oblastech. V této kapitole si ukáˇzeme jejich aplikaci na typov´ ych pˇr´ıkladech ˇcerpan´ ych z [4] .

• Realizace vytyˇ cen´ ych z´ amˇ er˚ u V panelové studii vybavován´ı domácnost´ı byl zjiˇst’ován zámˇer t´ ykaj´ıc´ı se koupˇe pˇredmˇetu (napˇr. lednice) bˇehem pˇr´ıˇst´ıch dvanácti mˇes´ıc˚ u a po jednom roce byla zjiˇst’ována realizace koupˇe tohoto pˇredmˇetu. V tabulce jsou uvedeny ˇcetnosti v´ yskytu jednotliv´ ych znak˚ u. Realizace Zámˇer Koup´ı Nekoup´ı

Koupil Nekoupil 61 14

12 78

Tabulka zjiˇstˇených u ´daj˚ u V´ ypoˇcet korelace mezi tˇemito jevy provedeme v softwaru Statistica. V´ ypoˇcet provedeme podle vztahu 3.1. Z´ıskáváme hodnotu Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu R = 0, 682. V´ ysledek otestujeme na statistickou v´ yznamnost pomoc´ı T testu. α Z tabulek jsme z´ıskali t1− 2 (n − 2) = 1, 975 a vypoˇc´ıtali jsme T = 11, 91. Tedy T ≥ t1− α2 a z definice v kapitole 2 vypl´ yvá, ˇze v´ ysledek je statisticky v´ yznamn´ y. • Studijn´ı v´ ysledky uˇ cn ˇ˚ u pˇ ri navˇ stˇ evov´ an´ı z´ ajmov´ ych krouˇ zk˚ u V jedné internátn´ı uˇcn ˇovské ˇskole byla zjiˇstˇena souvislost mezi dobr´ ymi v´ ysledky studia a aktivn´ı prac´ı v zájmovém krouˇzku. V tabulce jsou uvedeny ˇcetnosti v´ yskytu jednotliv´ ych znak˚ u. Aktivita Studium Pr˚ umˇerné a ˇspatné Dobré

Aktivn´ı Neaktivn´ı 92 17

10 33

Tabulka zjiˇstˇených u ´daj˚ u Korelaˇcn´ı koeficient je vypoˇc´ıtán opˇet pomoc´ı softwaru Statistica. Vyuˇzijeme vztahu 3.1. Spoˇctená hodnota Pearsonova koeficientu je R = 0, 586. V´ ysledek otestujeme na statistickou v´ yznamnost pomoc´ı T testu. Z tabulek jsme z´ıskali t1− α2 (n − 2) = 1, 976 a vypoˇc´ıtali jsme T = 8, 86. Tedy T ≥ t1− α2 a z definice v kapitole 2 vypl´ yvá, ˇze v´ ysledek je statisticky v´ yznamn´ y.

19

• Z´ ajem o urˇ cit´ y poˇ rad pˇ ri sledov´ an´ı televizi Pˇri studiu chován´ı televizn´ıch divák˚ u a jejich zájm˚ u byla sledována statistická souvislost mezi frekvenc´ı sledován´ı TV a urˇcitého televizn´ıho poˇradu. ˇ Cetnosti v´ yskytu jednotliv´ ych znak˚ u jsou uvedeny v tabulce.

Poˇrad sleduji TV sleduji Jen obˇcas 1-2x t´ ydnˇe Skoro dennˇe Kaˇzd´ y den

V˚ ubec nesleduji 3 6 78 59

Jen obˇcas 1-2x t´ ydnˇe Skoro dennˇe Kaˇzd´ y den 2 1 52 33

4 4 87 88

10 12 202 184

6 8 126 156

Tabulka zjiˇstˇených u ´daj˚ u V´ ypoˇcet statistické vazby provedeme softwarem Statisticka podle vztahu 3.11. Program nám spoˇc´ıtal hodnotu Goodman-Kruskalova koefientu γ = 0, 12 . Statistick´ y závˇer zn´ı: mezi frekvenc´ı sledován´ı televize a frekvenc´ı sledován´ı urˇcitého poˇradu je malá závislost. Tud´ıˇz sledován´ı tohoto poˇradu nevypl´ yvá z intenzity sledován´ı televize. • Z´ avislost platov´ e tˇ r´ıdy na vzdˇ el´ an´ı oper´ ator˚ u Pr˚ uzkumem v továrnˇe jsme z´ıskali u ´daje o platovém ohodnocen´ı pracovn´ık˚ uau ´daje o jejich dosaˇzeném vzdˇelán´ı. Tyto promˇenné statisticky zpracujeme. Rozhodneme, zda má dosaˇzené vzdˇelán´ı vliv na platové ohodnocen´ı pracovn´ıka. Platová tˇr´ıda Dosaˇzené vzdˇelán´ı Základn´ı Stˇredn´ı s vyuˇcen´ım Stˇredn´ı s maturitou Vysokoˇskolské s bakaláˇrsk´ ym titulem Vysokoˇskolské s magistersk´ ym titulem

E

D

C

B

A

4 16 7 5 0

17 13 7 1 5 4 1 0 3 2 1 2 3 3 1 14 1 7 12 12

Tabulka zjiˇstˇených u ´daj˚ u Pro stanoven´ı statistické vazby m˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr´ıklad Speaman˚ uv poˇradov´ y koeficient RS (3.3). V´ ypoˇcet provedeme softwarovˇe pomoc´ı programu Statistica. Z´ıskáme v´ ysledek Spearmanova koefientu RS = 0, 44. V´ ysledek otestujeme na statistickou v´ yznamnost T testem (3.4). Z tabulek jsme z´ıskali t1− α2 (n − 2) = 1, 978 a vypoˇc´ıtali jsme T = 5, 78. Tedy T ≥ t1− α2 a z definice v kapitole 2 vypl´ yvá, ˇze v´ ysledek je statisticky v´ yznamn´ y. Dalˇs´ı pouˇzit´ı koeficient˚ u bude pˇredvedeno v následuj´ıc´ı kapitole.

20

6

Aplikace statistick´ ych vazeb v pr˚ umyslu

V této ˇca´sti bakaláˇrské práce se seznám´ıme s vyuˇzit´ım statistiky v pr˚ umyslu a ukáˇzeme si pouˇzit´ı vybrané m´ıry statistické vazby. Konkrétnˇeji, jak se vyuˇz´ıvá statistika v Technical Support Center Daˇcice (zkrácenˇe TSCD), zkuˇsebnˇe firmy TRW se s´ıdlem v Daˇcic´ıch. Seznám´ıme se se zjednoduˇsen´ ym technologick´ ym postupem. Bude zde popsáno, jaká data z´ıskáme mˇeˇren´ım a jak tyto data vyhodnot´ıme. Dále zde bude uvedeno, jaké závˇery lze z tˇechto statistick´ ych v´ ysledk˚ u vyvodit. Pod´ıváme se na tyto v´ ysledky z technického hlediska a uvedeme je v praxi. V této kapitole bude uvedeno, jak se tyto statistické v´ ysledky prom´ıtaj´ı do jednoho z hlavn´ıch test˚ u provádˇen´ ych v TSCD. V rámci zachován´ı technologického a marketingového ,,know-how”nebude v této bakaláˇrské práci uveden název zákazn´ıka ani podrobné technické postupy.

6.1

Sezn´ amen´ı s technick´ ym prostˇ red´ım

Bude se jednat o pouˇzit´ı statistiky pˇri ˇreˇsen´ı aktuáln´ıho technického problému. Pˇri vytváˇren´ı funkˇcn´ıho prototypového sloupku pomoc´ı urˇcitého testu docház´ı ˇcasto ke zmˇenˇe funkˇcn´ıch ˇca´st´ı nebo jejich parametr˚ u. Naˇs´ım pˇrednostn´ım u ´kolem je statisticky zpracovat závislosti mezi jednotliv´ ymi zmˇenami a v´ ysledky, popˇr´ıpadˇe jak se obmˇena parametr˚ u jednotliv´ ych funkˇcn´ıch ˇca´st´ı prom´ıtne do zmˇeny parametr˚ u jin´ ych ˇca´st´ı. Tyto zmˇeny se pr˚ ubˇeˇznˇe testuj´ı dalˇs´ımi testy. Z TSCD jsme z´ıskali data z mˇeˇren´ı funkˇcn´ıho prototypu sloupku ˇr´ızen´ı do automobilu, kter´ y se v nejbliˇzˇs´ı dobˇe dostane do sériové v´ yroby. • Sloupek ˇ r´ızen´ı Je to ˇca´st ˇr´ıdic´ı soustavy automobilu, na které je um´ıstˇen volant a která je pˇres Ishaft spojena s hydraulicky nebo elektricky posilovan´ ym ˇr´ızen´ım. Sestavu si rozdˇel´ıme na dvˇe ˇca´sti - sloupek a gearbox s ECU. Pro nás je d˚ uleˇzit´ y hlavnˇe samotn´ y sloupek, kter´ y lze zjednoduˇsenˇe dále rozdˇelit na vnitˇrn´ı trubku (Inner column tube - ICT), vnˇejˇs´ı trubku (Outer column tube - OCT) a hlavn´ı braketu. Dalˇs´ı v´ yznamné ˇcásti jsou: páka, zámek, spindl, vnitˇrn´ı shaft, vaˇcka.

Obrázek 1: Sloupek ˇr´ızen´ı

21

Tento sloupek je nastaviteln´ y ve dvou osách, mluv´ıme tedy o double sloupku. Sloupek je zároveˇ n jeden z bezpeˇcnostn´ıch prvk˚ u v autˇe. Pˇri nehodˇe se ICT zasouvá a uvolˇ nuje t´ım m´ısto tˇelu ˇridiˇce, které naráˇz´ı do airbagu a volantu. Zde záleˇz´ı na s´ıle, kterou sv´ırá OCT ICT. • Body block test Jedná se o jeden z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch test˚ u, které se na sloupku provádˇej´ı. Testuje se pˇredevˇs´ım bezpeˇcnostn´ı stránka sloupku. Sloupek je upevnˇen v rámu, pˇriˇsroubován k bariéˇre a je osazen volantem s airbagem. Pˇredem urˇcenou rychlost´ı naráˇz´ı figur´ına na vystˇrelen´ y airbag a tlaˇc´ı na volant i se sloupkem. T´ım se testuje se schopnost sloupku ,,uhnout”ˇridiˇcovˇe tˇelu, to znamená, ˇze se sloupek mus´ı zasunout do nejkrajnˇejˇs´ı polohy. Zatlaˇcen´ım sloupku se sniˇzuje riziko zlomen´ı kost´ı, napˇr. ˇridiˇcov´ ych ˇzeber. Pˇri tomto testu je zásadn´ı pˇresné nastaven´ı a pˇr´ıprava, protoˇze je jedn´ım z d˚ uleˇzit´ ych test˚ u, po kter´ ych vznikaj´ı rozhodnut´ı o tom, jak´ ym smˇerem se bude ub´ırat následn´ y v´ yvoj sloupku, a sebemenˇs´ı odchylka a nepˇresnost m˚ uˇze vést k finanˇcn´ım ztrátám.

Obrázek 2: Body block test

Zákazn´ık pˇresnˇe definuje nastaven´ı testu, napˇr. u ´hel náklonu, rychlost let´ıc´ı figur´ıny, jak´ y volant a airbag se pˇri testu pouˇzij´ı. Na u ´spˇeˇsnost testu má vliv mnoho faktor˚ u. Pro statistické vyhodnocován´ı si uvedeme nˇekolik z nich: • Pnut´ı ve ˇsroubu (Bolt tension) Je to s´ıla, kterou sv´ırá vnˇejˇs´ı trubka vnitˇrn´ı. Nejdˇr´ıve mus´ıme ovˇeˇrit, zda m˚ uˇzeme testovat podle tohoto parametru. Dále otestujeme závislost bolt tensionu na v´ ysledku testu. 22

• Volba typu volantu Testujeme dva typy volant˚ u. Statisticky vyhodnocujeme vliv zvoleného typu na v´ ysledku testován´ı. • Velikost s´ıly nutné k posunut´ı sloupku v axiáln´ım smˇeru (Reach force) Na tuto s´ılu má vliv troje tˇren´ı: tˇren´ı mezi vnˇejˇs´ı a vnitˇrn´ı trubkou, tˇren´ı mezi spindlem a vnitˇrn´ım shaftem a tˇren´ı mezi vnˇejˇs´ı trubkou a braketou. Zamˇeˇr´ıme se pouze na velikost s´ıly pro zasunut´ı sloupku. Urˇc´ıme závislost mezi touto silou a silou p˚ usob´ıc´ı pouze pˇri zasouván´ı spindlu a vnitˇrn´ım shaftem, tzv. insertion force.

6.2 6.2.1

Pnut´ı ve ˇ sroubu Uveden´ı do probl´ emu

Zasouván´ı ICT do OCT ovlivˇ nuje tˇren´ı, které je pˇr´ımo u ´mˇerné s´ıle, kterou sv´ırá OCT ICT. Tuto s´ılu m˚ uˇzeme urˇcitˇe dvˇema zp˚ usoby: pˇr´ım´ ym a nepˇr´ım´ ym. Nepˇr´ım´ y zp˚ usob je urˇcen´ı momentu, kter´ y je potˇreba k zamˇcen´ı páky. Z tohoto momentu vypoˇc´ıtáme pomoc´ı vztahu M = F × l, kde l je délka páky, s´ılu potˇrebnou k zamˇcen´ı páky, tzv. s´ılu na páce. Ve v´ yrobˇe se sloupek nastavuje právˇe podle s´ıly na páku. Pˇri urˇcován´ı této s´ıly ale p˚ usob´ı negativn´ı veliˇciny, které mohou stanoven´ı této s´ıly znehodnotit, nejv´ıce tˇren´ı ve vaˇcce páky. Tomuto negativn´ımu p˚ usoben´ı se vyhneme, pokud zvol´ıme pˇr´ımou metodu. Pomoc´ı této metody urˇc´ıme pˇr´ımo s´ılu sevˇren´ı FCLAM P .

Obrázek 3: Nákres p˚ usob´ıc´ıch sil

Tato s´ıla se urˇcuje pomoc´ı senzoru, kter´ y je pˇri zamˇcen´ı stlaˇcen. Tak z´ıskáme s´ılu sevˇren´ı, aniˇz by zde p˚ usobila jakákoliv neˇza´douc´ı veliˇcina, jako je napˇr. tˇren´ı. Pro dalˇs´ı pouˇzit´ı tuto s´ılu oznaˇc´ıme jako pnut´ı ve ˇsroubu. Aby se mohly sloupky na testy nastavovat pouze podle pnut´ı, je nutné otestovat a statisticky vyhodnotit, zda je toto pnut´ı ve vazbˇe se silou na páce, podle které se budou sloupky nastavovat ve v´ yrobˇe. Provedeme tedy nˇekolik mˇeˇren´ı, které statisticky zpracujeme a vyhodnot´ıme. 23

6.2.2

Popis experimentu

Sloupek upevn´ıme do rámu a tuto soustavu pˇripevn´ıme na stroj AME. Sloupek nastav´ıme do polohy MID/MID, tzn. do stˇredu v axiáln´ım a radiáln´ım smˇeru. Nastav´ıme pákov´ y aktuátor, hlavnˇe jeho souosost se ˇsroubem, abychom data nezkreslili ˇspatnˇe nastavenou délkou páky. Danou s´ılu na páku nastav´ıme utaˇzen´ım matice. Jelikoˇz máme pˇredem dané hodnoty s´ıly, mus´ıme kaˇzdou hodnotu co nejpˇresnˇeji nastavit. Postupujeme tak, ˇze utáhneme matici a potom páku zamkneme a odemkneme. T´ım zjist´ıme s´ılu na páce.

Obrázek 4: Stroj AME s upevnˇen´ ym sloupkem

Abychom páku prohlásili za nastavenou, mus´ı se hodnota s´ıly tˇrikrát zopakovat, pˇriˇcemˇz povolené odchylky se mus´ı vej´ıt do rozmez´ı jednoho newtona. Tˇret´ı hodnotu bereme jako koneˇcnou. Pˇri odeˇcten´ı tˇret´ı hodnoty z poˇc´ıtaˇce zároveˇ n odeˇcteme hodnotu pnut´ı z mˇeˇr´ıc´ıho pˇr´ıstroje Kistler. kter´ y je propojen se sn´ımaˇcem na ˇsroubu. Z´ıskané hodnoty zaznamenáme do tabulky. 24

Obrázek 5: Upraven´ y mˇeˇric´ı ˇsroub se sn´ımaˇcem

Nastaven´ a s´ıla Namˇ eˇ ren´ e [N ] 26,64 42,05 40,4 56,43 55,71 58,16 35,45 57,29 36,57 36,2 54,44 34,08 34,28 36,13 35,54 58,42 34,14 63,9 84,6 35,4 34,7

pnut´ı [kN ] 1,58 2,65 2,65 2,64 2,68 2,68 1,56 2,63 1,55 1,55 2,65 1,59 1,53 1,59 1,57 2,66 1,56 3 3,96 1,58 1,48

Tabulka namˇeˇrených hodnot

25

Obrázek 6: Mˇeˇr´ıc´ı pˇr´ıstroj Kistler

6.2.3

Zpracov´ an´ı dat

Nyn´ı data zpracujeme. V tabulkov´ ych hodnotách lze vypozorovat jisté nesrovnalosti. Pro názornˇejˇs´ı pˇrestavu vytvoˇr´ıme graf.

Obrázek 7: Graf závislosti pnut´ı na s´ıle

Na grafu jsou vidˇet odchylky. Mus´ıme vyˇsetˇrit, proˇc se liˇs´ı tyto tˇri hodnoty. Zpˇetn´ ym vyˇsetˇren´ım pr˚ ubˇehu mˇeˇren´ı jsme zjistili, ˇze byl ˇspatnˇe nastaven pákov´ y aktuátor a namˇeˇrené hodnoty byly zkresleny ˇspatnou délkou páky. Tyto hodnoty jsou pro nás nenáhodnou chybou, proto je odstran´ıme a vytvoˇr´ıme nov´ y graf. Na novém grafu je vidˇet, jak jsou data lineárnˇe závislá. Tuto závislost vyjádˇr´ıme korelaˇcn´ım koeficientem spoˇcten´ ym pomoc´ı programu Statistica. Vyuˇzijeme vztahu pro Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient (3.1). V´ ysledná hodnota je R = 0, 994. V´ ysledek otestujeme na statistickou v´ yznamnost pomoc´ı T testu (3.2). 26

Obrázek 8: Graf závislosti pnut´ı na s´ıle bez odchylek

Z tabulek jsme pro hladinu v´ yznamnosti α = 0, 05 z´ıskali hodnotu t1− α2 (n−2) = 2, 120, yvá, ˇze v´ ypoˇctem hodnotu T = 36, 35. Tedy T ≥ t1− α2 a z definice v kapitole 2 vypl´ v´ ysledek je statisticky v´ yznamn´ y. 6.2.4

Statistick´ e vyhodnocen´ı

Z v´ ysledné hodnoty vypl´ yvá, ˇze mezi hodnotami pnut´ı a s´ıly je silná kladná závislost. To znamená, ˇze pokud zv´ yˇs´ıme s´ılu na páku utaˇzen´ım matice, zv´ yˇs´ı se t´ım i pnut´ı ve ˇsroubu. Naopak sn´ıˇzen´ım pnut´ı sn´ıˇz´ıme i s´ılu potˇrebnou k zamknut´ı páky.

6.2.5

Technick´ e vyhodnocen´ı, jeho vyuˇ zit´ı a dalˇ s´ı zpracov´ an´ı

Potvrzen´ım závislosti mezi tˇemito veliˇcinami se m˚ uˇze zmˇenit postup sestavován´ı sloupk˚ u na testy. Jeden z hlavn´ıch pˇr´ınos˚ u zmˇeny testovac´ıho procesu je urychlen´ı, protoˇze nastaven´ı páky podle pnut´ı je o poznán´ı rychlejˇs´ı. Dále testujeme pouze omezen´ y poˇcet hodnot pnut´ı. Urˇcen´ım testovac´ıch hodnot a stanoven´ım toleranc´ı pˇri jejich nastavován´ı zároveˇ n urˇcujeme intervaly nastavované s´ıly potˇrebné k zamknut´ı sloupku. Tyto intervaly se vyuˇzij´ı pozdˇeji v sériové v´ yrobˇe. Následuje testován´ı, na jaké hodnoty je ideáln´ı sloupek nastavit, aby se v automobilu pˇri nehodˇe zachoval tak, jak má. Pro testován´ı vol´ıme pouze dvˇe hodnoty, vˇetˇs´ı a menˇs´ı. Otestujeme, zda má velikost pnut´ı vliv na v´ ysledek testu. Vytvoˇr´ıme si tabulku z´ıskan´ ych hodnot. Pnut´ı V´ ysledek testu Kladn´ y Záporn´ y

Malé Velké 8 1

Tabulka hodnot 27

47 9

Pro v´ ypoˇcet závislosti pouˇzijeme vztah pro v´ ypoˇcet koeficientu ϕ (3.8). V´ ysledek ϕ = −0, 047 nám podle uvedené definice v kapitole 2 ˇr´ıká, ˇze mezi nastaven´ ym pnut´ım a v´ ysledkem testu nen´ı závislost. Pro dalˇs´ı testován´ı tedy vol´ıme nastaven´ı niˇzˇs´ı hodnoty pnut´ı.

6.3 6.3.1

Volba volantu a airbagu Uveden´ı do probl´ emu

Zákazn´ık definuje nastaven´ı testu, tedy i pouˇzit´ı testovac´ıho volantu s airbagem. Na zaˇcátku seriálu test˚ u se pouˇz´ıvaly testovac´ı volanty, které byly primárnˇe urˇceny pro jiné typy sloupk˚ u. Protoˇze se vyv´ıjel nov´ y typ sloupku, urˇcily se pro testován´ı jiˇz odzkouˇsené volanty. Pro v´ yvoj nového sloupku bylo ale nutné vyvinout nov´ y typ volantu. Pˇri body block testu se vyuˇz´ıvá stˇr´ıdavˇe nov´ y i odzkouˇsen´ y typ volantu. Po nˇekolika proveden´ ych testech jsme z´ıskali v´ ysledky a naˇs´ım u ´kolem je zjistit, zda pouˇzit´ y volant má vliv na v´ ysledek testu. 6.3.2

Popis experimentu

Pro z´ıskán´ı dat je nutné test pˇripravit. Zamˇeˇrme se pˇredevˇs´ım na volant, na kterém velmi záleˇz´ı, protoˇze se k nˇemu vztahuje nastaven´ı geometrie testu. Nastaven´ı polohy sloupku se totiˇz urˇc´ı podle spodn´ı hrany volantu. Samozˇrejmost´ı je pouˇzit´ı odpov´ıdaj´ıc´ıho airbagu, kter´ y designovˇe odpov´ıdá volantu. Zde máme na v´ ybˇer z jedno nebo dvoukanálov´ ych airbag˚ u. Ty se liˇs´ı zp˚ usobem nafukován´ı vzduchového pytle, kdy prvn´ı obsahuj´ı pouze jednu patronu, která vybouchnut´ım nafoukne pytel zplodinami, které postupnˇe unikaj´ı otvory v pytli. Druh´ y typ, dvoukanálové, obsahuj´ı patrony dvˇe, kdy druhá patrona vybuchuje se zpoˇzdˇen´ım, t´ım pádem dofukuje pytel.

Obrázek 9: Airbag a volant ze sestavy 1

Obrázek 10: Airbag a volant ze sestavy 2

28

Vybereme tedy volant dle zadán´ı a po skonˇcen´ı nˇekolika test˚ u statisticky zpracujeme v´ ysledky. 6.3.3

Zpracov´ an´ı dat, vyhodnocen´ı v´ ysledku a jeho vyuˇ zit´ı

Ze z´ıskan´ ych dat utvoˇr´ıme tabulku. Jelikoˇz nesm´ıme uvést pˇresné technologické postupy a nastaven´ı, oznaˇc´ıme volanty a airbagy jako Sestava 1 a Sestava 2. Sestava V´ ysledek testu Kladn´ y Záporn´ y

1 2 9 1 2 5

Tabulka hodnot Pro v´ ypoˇcet pouˇzijeme Cramérovo V a to ze vztahu 3.9. Z´ıskali jsme v´ ysledek V = 0, 63. To znamená, ˇze mus´ıme uváˇzit, jak´ y volant na test pouˇzijeme. Z hodnot vypl´ yvá, ˇze pˇri pouˇzit´ı sestavy 2 je test ne´ uspˇeˇsn´ y ˇcastˇeji. Je tedy d˚ uleˇzité zjistit, proˇc je sestava 2 ménˇe pouˇzitelná. Z vide´ı jsme vypozorovali, ˇze sklon volantu a airbagu zp˚ usobuje to, ˇze pytel je po vystˇrelen´ı pˇr´ıliˇs vysoko a figur´ına do nˇej naráˇz´ı ve v´ yˇsce jej´ı hlavy. To zp˚ usobuje, ˇze energie nárazu nep˚ usob´ı pˇr´ımo na sloupek, ale je rozloˇzena na boˇcn´ı s´ıly. Tento problém jsme prozat´ım vyˇreˇsili drobnou u ´pravou airbagu, kter´ y jsme na urˇcit´ ych m´ıstech naˇr´ızli, abychom usmˇernili rozvinut´ı pytle.

6.4 6.4.1

S´ıla potˇ rebn´ a k manipulaci se sloupkem v axi´ aln´ım smˇ eru Uveden´ı do probl´ emu

Jelikoˇz mluv´ıme o sloupku nastavitelném ve dvou osách, mus´ıme také odzkouˇset, jakou silou mus´ı bˇeˇzn´ y uˇzivatel tlaˇcit, aby si nastavil volant ve smˇeru dopˇredu a dozadu. Tato s´ıla mus´ı pˇrekonat tˇren´ı, které je mezi vnˇejˇs´ı a vnitˇrn´ı trubkou, dále tˇren´ı vznikaj´ıc´ı pˇri zasouván´ı vnitˇrn´ıho shaftu do spindlu a tˇren´ı p˚ usob´ıc´ı mezi vnˇejˇs´ı trubkou a braketou. Tuto s´ılu porovnáme se silou jednoho ze tˇr´ı parametr˚ u, a to silou, kterou namˇeˇr´ıme pˇri zasouván´ı vnitˇrn´ıho shaftu do spindlu. 6.4.2

Popis experimentu

Nejprve namˇeˇr´ıme Reach force. Tuto s´ılu mˇeˇr´ıme na stroji AME, stejnˇe jako s´ılu na páce. Zde je d˚ uleˇzité, aby byl sloupek upevnˇen v horizontáln´ı poloze. Dále je d˚ uleˇzité, aby bylo na sloupku pˇripevnˇeno závaˇz´ı, které p˚ usob´ı v tˇeˇziˇsti volantu, kdyby byl na sloupku pˇriˇsroubován. Dále strojovˇe sloupek vysouváme a zasouváme a mˇeˇr´ıme s´ılu, která je k tomu potˇreba. Jako v´ yslednou s´ılu bereme nejvyˇsˇs´ı namˇeˇrenou hodnotu. K urˇcen´ı vazby potˇrebujeme namˇeˇrit Insertion force. Tu namˇeˇr´ıme na jiném stroji, na Inovˇe TSM 10. Gearbox upevn´ıme do pˇr´ıpravku, na vnitˇrn´ı shaft nasuneme spind, tedy sloupek bez vnˇejˇs´ı trubky a brakety. Insertion force mˇeˇr´ıme v obou smˇerech. Jako v´ yslednou hodnotu bereme nejvˇetˇs´ı namˇeˇrenou s´ılu. 29

Obrázek 11: Stroj AME

Obrázek 12: INOVA TSM 10 s pˇripraven´ ym testovac´ım d´ılem

30

6.4.3

Zpracov´ an´ı dat

Z´ıskané hodnoty zaznamenáme do tabulky. Reach force Insertion force [N ] [N ] 95 13,14 114 29,5 88 22,93 112 27,84 78 23,69 67 16,79 85 43,47 93 23,65 72 14,82 71 9,79 61 6,29 62 19,16 58 19,16 72 11,6 77 9,79 83 5,09 70 4,51 67 6,85 112 15,23 68 14,34 58 9,79 72 13,47 65 7,46 77 6,58 72 12,16 Tabulka namˇeˇrených hodnot Protoˇze se jedná o kvantitativn´ı znaky, pouˇzijeme pro statistické vyhodnocen´ı Spearmano RS (3.3) a Kendallovo τ (3.5). Po v´ ypoˇctu programem Statistica jsme z´ıskali v´ ysledné RS = 0, 44 a τ = 0, 29. V´ ysledek RS otestujeme na statistickou v´ yznamnost pomoc´ı T testu (3.4). Z tabulek jsme pro hladinu v´ yznamnosti α = 0, 05 z´ıskali hodnotu t1− α2 (n − 2) = 2, 07, v´ ypoˇctem hodnotu T = 2, 35. Tedy T ≥ t1− α2 a z definice v kapitole 2 vypl´ yvá, ˇze v´ ysledek je statisticky v´ yznamn´ y. Z v´ ysledk˚ u tedy plyne, ˇze pˇri mˇeˇren´ı Reach force mus´ı existovat dalˇs´ı vlivy, které toto mˇeˇren´ı v´ yraznˇe ovlivˇ nuj´ı, napˇr´ıklad tˇren´ı mezi braketou a vnˇejˇs´ı trubkou. Proto m˚ uˇze b´ yt statistické vyhodnocen´ı nejednoznaˇcné.

31

7

Z´ avˇ er

C´ılem této práce byla charakterizace statistick´ ych vazeb a ukázka jejich vyuˇzit´ı v pr˚ umyslu. V prvn´ı ˇca´sti bakaláˇrské práce byly statistické vazby pˇredstaveny a popsány. V následuj´ıc´ı ˇctvrté kapitole byl uveden statistick´ y software Statistica 10, kter´ y byl pouˇzit k v´ ypoˇct˚ um v dalˇs´ıch kapitolách. V posledn´ı kapitole je tato práce zamˇeˇrena na aplikaci statistické vazby v pr˚ umyslu, na jej´ım vyuˇzit´ı pˇri stanovován´ı koneˇcn´ ych v´ ysledk˚ u, kdy správná interpretace v´ ysledné hodnoty vede ke správnému postupu. Statistickou závislost lze pouˇz´ıt i pˇri zjiˇstˇen´ı neodpov´ıdaj´ıc´ıch hodnot, kdy pˇri grafickém znázornˇen´ı lze urˇcit, o jaké hodnoty se jedná a zamˇeˇrit se na jejich v´ yklad a pˇr´ıpadnˇe jejich odstranˇen´ı. Data, která jsou v této práci zpracovávána, jsou z´ıskáná z projektu, kter´ y svou rozsáhlost´ı patˇr´ı k jedné z nejvˇetˇs´ıch zakázek TRW. Pˇri této bakaláˇrské práci jsem si vyzkouˇsel, jak z´ıskat v´ ysledky test˚ u, na nichˇz jsem se bud’ pod´ılel nebo je sám provádˇel. Pˇri zpracován´ı v´ ysledk˚ u jsem se mohl spolehnout na vlastn´ı znalosti z pˇredchoz´ıch kapitol a mohl tak statistické vyhodnocen´ı provést sám. Co se t´ yˇce technického vyhodnocen´ı, byl jsem pˇr´ıtomen rozhodován´ı o v´ yznamu statistick´ ych v´ ysledk˚ u a následném postupu, takˇze i tyto informace jsou z´ıskány z náleˇzit´ ych zdroj˚ u.

32

Reference ˇ zula, I.: Measuring dependence, Sborn´ık referát˚ [1] Zeˇ u: Hartmann, J., Michálek, J.: Bio´ UZ, ´ Brno, 2006. metrické metody a modely v souˇcasné vˇedˇe a výzkumu, UKZ [2] Michálek, J.: Pravdˇepodobnost a statistika, preprint, Brno, 2006. [3] Bud´ıková, M., Králová, M., Maroˇs, B.: Pr˚ uvodce základn´ımi statistickými metodami , Grada, Praha, 2010. ˇ ak, J., Reh´ ˇ aková, B.: Analýza kategorizovaných dat v sociologii, Academia, Praha, [4] Reh´ 1986.

33

CHARAKTERISTIKY STATISTICKÉ VAZBY DEPENDENCE MEASURES

Recommend Documents