Celkem existuje asi 300 zobrazení, používá se jen několik desítek

ZÁKLADY KARTOGRAFIE PRO SŠ

KARTOGRAFICKÉ ZOBRAZENÍ Kartografické zobrazení je způsob, který každému bodu na referenčním elipsoidu resp. referenční kouli přiřazuje body v rovině. Určení věrných obrazů bodů na kouli či elipsoidu v rovině mapy je velmi složité. Každým kartografickým zobrazením totiž dochází k jisté deformaci, tj. ke zkreslení některých prvků (veličin) v mapě. Při stanovení zobrazovacích rovnic, podle nichž k převodu bodů z koule či elipsoidu do roviny mapy dochází, lze však zabezpečit takové podmínky, aby se některá z veličin převedených do mapy nezkreslovala (zůstala stejná). Celkem existuje asi 300 zobrazení, používá se jen několik desítek. Dělení kartografických zobrazení I. Podle cesty ..............................................................................................

a) kartografické zobrazení – odvozeno matematicky b) kartografická projekce – poměr mezi referenční a zobrazovací plochou je určen centrálním promítáním (odvození geometrickou cestou) II. Podle zobrazovací plochy ...........................................................................

a) Jednoduchá (pravá) – vznikají převedením referenční plochy do roviny přímo nebo prostřednictvím válce či kužele; zobrazovací rovnice jsou funkcí jedné proměnné. Azimutální zobrazení – zobrazovací plocha je rovina. Zkreslení roste s rostoucí vzdáleností od dotykového bodu. Vhodné pro zobrazení oválných území. Válcová zobrazení – zobrazují referenční plochu nejprve na plášť válce, který se potom rozvine do roviny. Hodí se pro mapy území protáhlých podél dotykové kružnice. V tomto zobrazení jsou mapy světa. Válec může být tečný i sečný. Kuželová zobrazení – zobrazují referenční plochu na plášť kužele, který se pak rozvine do roviny. Vhodné pro zobrazení menších částí zemského povrchu (např. mapa ČR). Kužel může být tečný i sečný. b) Obecná – ostatní zobrazení, jejichž konstrukci nelze vysvětlit názorně prostřednictvím jediné zobrazovací plochy. Používají se takřka výhradně pouze v normální poloze. 

Nepravá zobrazení – odvozena z jednoduchých zobrazení (dávají lepší výsledky), dělí se dále na nepravá azimutální zobrazení (např. Aitovovo zobrazení, Hammerovo zobrazení, Wagnerovo zobrazení, Winkelovo zobrazení), nepravá válcová zobrazení (např. Eckertovo zobrazení, Mollweidovo zobrazení, Robinsonovo zobrazení) a nepravá kuželová zobrazení (Bonneovo zobrazení).



Polykonická zobrazení – používají nekonečně mnoho tečných kuželů (každá rovnoběžka má svůj vlastní kužel), cílem je zobrazit větší území bez nárůstu zkreslení (např. Hasslerovo zobrazení, CNIIGAIK).



Víceplošná zobrazení – zmenšují zkreslení pomocí rozdělení zobrazovaného území na více ploch (Gauss-Krügerovo zobrazení, UTM). Matematická kartografie – kartografická zobrazení

1




Neklasifikovaná zobrazení – ostatní zobrazení.

c) Geodetická – úhlojevná zobrazení, která se používají pro geodetické účely a mapování velkých měřítek. Vycházejí výhradně z elipsoidu (např. Křovákovo zobrazení, UTM, Gauss-Krügerovo zobrazení). III. Podle polohy konstrukční osy ......................................................................

a)

Normální (polární) poloha – konstrukční osa roviny, válce či kužele je shodná se zemskou osou. V této poloze je běžné použití válcového a kuželového zobrazení, azimutální vzácně (pro polární oblasti).

b) Příčná (transverzální, rovníková) poloha – konstrukční osa je shodná s rovinou rovníku. Používá se u azimutálních zobrazení hlavně pro mapy polokoulí. c) Šikmá poloha – konstrukční osa prochází středem glóbu v libovolném jiném směru. Tato poloha je využívána především u azimutálních a kuželových zobrazení, u kuželových je používána pro české civilní mapy (Křovákovo zobrazení).

Matematická kartografie – kartografická zobrazení

2


IV. Podle vlastností z hlediska zkreslení .............................................................

a) Plochojevná (ekvivalentní) zobrazení – nezkreslují plochy, zkreslují úhly a délky. Uplatňují se především v geografii. b) Úhlojevná (konformní) zobrazení – nezkreslují úhly a poměrně dobře zachovávají tvar, ale na úkor zkreslení ploch a délek. Používají se hodně v geodézii a pro námořní mapy. c) Délkojevná (ekvidistantní) zobrazení – nezkreslují některé délky v mapě (nejčastěji ve směrech poledníků či rovnoběžek), celá mapa však délkojevná být nemůže. d) Vyrovnávací (kompenzační) zobrazení – zkreslují vše, ale ne příliš.


3


Způsoby transformace souřadnic mezi referenčními plochami a zobrazovací rovinou. Konečné souřadnice jsou vždy pravoúhlé souřadnice x, y.

V praxi se lze setkat se všemi kombinacemi transformace.  Zobrazení vojenských topografických map je přímou transformací mezi zeměpisnými souřadnicemi φ, λ na referenčním elipsoidu na rovinné pravoúhlé souřadnice x, y.  Zobrazení základních map ČR je naopak postupnou transformací od zeměpisných souřadnic na referenčním elipsoidu, přes zeměpisné souřadnice na referenční kouli, kartografické souřadnice, polární souřadnice k výsledným rovinným pravoúhlým souřadnicím.


4


AZIMUTÁLNÍ ZOBRAZENÍ Jsou limitním případem kuželových zobrazení, kdy vrchol kužele má „nulovou" výšku nad zemským povrchem. Zobrazovací rovnice: ρ = f(Š) nebo ρ = f(U) nebo ρ = f(Z) ε = D nebo ε = V RZ ... poloměr Země Lambertovo ekvivalentní zobrazení Johann Heinrich Lambert (1772)

Zobrazovací rovnice:   2 RZ sin

Z 2

ε=V

Charakteristickým znakem je pozvolné zmenšování vzdálenosti mezi dvěma rovnoběžkami směrem od středu mapy. Použití: Vhodné pro zobrazení polárních oblastí a pro mapy hemisfér (východní a západní). Další použití je např. pro školní nástěnné mapy a v atlasech. Postelovo ekvidistantní zobrazení Guillaume Postel (1581)

Zobrazovací rovnice:   RZ  arcZ

ε=V

Délkojevné po polednících. Patří mezi tzv. vyrovnávací zobrazení a má důležitou vlastnost pro konstrukci map v seismice a letectví. Udává totiž skutečnou sférickou vzdálenost libovolného bodu mapy od jejího středu (tento kruhový oblouk se zobrazuje do mapy jako přímka a to nezkresleně). Také azimut ortodromy procházející středem mapy je nezkreslen. Použití: Pro mapy v seismice a letectví a dále pro konstrukci map polárních oblastí. Projekce – gnómonická, stereografická, ortografická


5


Gnómonická projekce Thalés z Milétu (7. stol. př. n. l.)

    

projekce ze středu Země rovnoběžky se zobrazí jako kuželosečky poledníky se zobrazí jako svazek přímek procházející obrazem pólu (severního či jižního) ortodroma se zobrazí jako přímka nelze zobrazit celou polokouli

cvičení: Normální poloha (do 30° z. š.) Měřítko volíme tak, aby kružnice představující třicátou rovnoběžku měla poloměr 120 mm, S (obraz pólu) umístíme v CorelDRAW do bodu [210; 140]. Poledníky se zobrazí jako svazek 240 mm dlouhých úseček procházejících bodem S = [210; 140]. Rovnoběžky se zobrazí jako soustředné kružnice se středem S. Jejich vzájemné vzdálenosti narůstají směrem od středu mapy.

Transformace souřadnic: U, V → ρ, ε → x, y Příčná poloha Měřítko volíme tak, abychom na dotykovém poledníku byli schopni zobrazit Zemi až do 60° z. š., S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [210; 140]. Poledníky se zobrazí jako různě dlouhé svislé úsečky. Jejich vzájemné vzdálenosti narůstají směrem od středu mapy. Rovnoběžky (kromě rovníku) se zobrazí jako kuželosečky osově souměrné podle dotykového poledníku. Rovník se zobrazí jako vodorovná úsečka délky 240 mm procházející bodem S = [210; 140].

Transformace souřadnic: U, V → x, y Šikmá poloha Nechť bod dotyku (kartografický pól) má souřadnice [Uk, Vk]. Měřítko mapy volíme tak, abychom na dotykovém poledníku (poledníku se zeměpisnou délkou Vk) byli schopni zobrazit rozmezí zeměpisných šířek Uk – 60° až Uk + 60° úsečkou délky 240 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [210; 140]. Transformace souřadnic: U, V → Š, D → ρ, ε → x, y Poledníky se zobrazí jako různě dlouhé úsečky procházející obrazem pólu. Rovnoběžky (kromě rovníku) se zobrazí jako kuželosečky osově souměrné podle dotykového poledníku. Rovník se zobrazí jako vodorovná úsečka délky menší než 240 mm. Návody, dodatečné pokyny, ukázky, zobrazovací a transformační rovnice ke stažení na adrese:

http://www.bossof105.cz/html_kartografie/kartografie.html


6


Stereografická projekce Hipparchos (2. stol. př. n. l.)

  

projekce z obrazu bodu dotyku ve středové souměrnosti se středem ve středu Země všechny poledníky a rovnoběžky se zobrazí jako kružnice (přímku lze chápat jako kružnici s nekonečným poloměrem) konformní zobrazení

cvičení: Normální poloha Měřítko volíme tak, aby kružnice představující rovník měla poloměr r = 120 mm, S (obraz pólu) umístíme v CorelDRAW do bodu [210; 140]. Poledníky se zobrazí jako svazek 240 mm dlouhých úseček procházejících bodem S = [210; 140]. Rovnoběžky se zobrazí jako soustředné kružnice se středem S. Jejich vzájemné vzdálenosti narůstají směrem od středu mapy.

Transformace souřadnic: U, V → ρ, ε → x, y Příčná poloha Měřítko volíme tak, aby úsečka odpovídající rovníku (resp. dotykovému poledníku) měla délku 240 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [210; 140]. Poledníky (kromě dotykového) se zobrazí jako části nesoustředných kružnic s různými poloměry se středy na přímce obsahující rovník. Rovnoběžky (kromě rovníku) se zobrazí jako části nesoustředných kružnic s různými poloměry se středy na přímce obsahující dotykový poledník. Rovník se zobrazí jako vodorovná úsečka procházející středem mapy S = [210; 140], obraz dotykového poledníku prochází bodem S a je kolmý na rovník.

Transformace souřadnic: U, V → x, y Šikmá poloha Nechť bod dotyku (kartografický pól) má souřadnice [Uk, Vk]. Měřítko mapy volíme tak, abychom na dotykovém poledníku (poledníku se zeměpisnou délkou Vk) byli schopni zobrazit rozmezí šířek Uk – 90° až Uk + 90° úsečkou délky 240 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [210; 140]. Transformace souřadnic: U, V → Š, D → ρ, ε → x, y Poledníky (kromě dotykového) se zobrazí jako části nesoustředných kružnic s různými poloměry. Rovnoběžky se zobrazí jako části nesoustředných kružnic s různými poloměry se středy na přímce obsahující dotykový poledník. Dotykový poledník se zobrazí jako 240 mm dlouhá úsečka procházející bodem S = [210; 140]. Návody, dodatečné pokyny, ukázky, zobrazovací a transformační rovnice ke stažení na adrese:



7


Ortografická projekce Apollonius (3. stol. př. n. l.)

  

projekce z nekonečna lze zobrazit maximálně jednu polokouli použití zejména pro mapy Měsíce a jiných vesmírných těles

cvičení: Normální poloha Měřítko volíme tak, aby kružnice představující rovník měla poloměr r = 120 mm, S (obraz pólu) umístíme v CorelDRAW do bodu [210; 140]. Poledníky se zobrazí jako svazek 240 mm dlouhých úseček procházejících bodem S = [210; 140]. Rovnoběžky se zobrazí jako soustředné kružnice se středem. Jejich vzájemné vzdálenosti se s rostoucí vzdáleností od středu mapy zmenšují.

Transformace souřadnic: U, V → ρ, ε → x, y Příčná poloha Měřítko volíme tak, aby úsečka odpovídající rovníku (resp. dotykovému poledníku) měla délku 240 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [210; 140]. Každý poledník (kromě dotykového) se zobrazí jako polovina elipsy se středem v bodě S a se svislou hlavní poloosou délky 120 mm. Rovnoběžky se zobrazí jako vodorovné úsečky a jejich vzájemné vzdálenosti (a taktéž délky) se zmenšují od rovníku k pólům. Rovník se zobrazí jako vodorovná úsečka procházející středem mapy S, obraz dotykového poledníku prochází bodem S a je kolmý na rovník.

Transformace souřadnic: U, V → x, y Šikmá poloha Nechť bod dotyku (kartografický pól) má souřadnice [Uk, Vk]. Měřítko mapy volíme tak, abychom na dotykovém poledníku (poledníku se zeměpisnou délkou Vk) byli schopni zobrazit rozmezí šířek Uk – 90° až Uk + 90° úsečkou délky 240 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [210; 140]. Transformace souřadnic: U, V → Š, D → ρ, ε → x, y Každý poledník (kromě dotykového) se zobrazí jako část elipsy se středem v bodě S a s hlavní poloosou délky 120 mm. Rovnoběžky se zobrazí jako elipsy (nebo jejich části) s vodorovnou hlavní poloosou a se středem na přímce obsahující dotykový poledník. Dotykový poledník se zobrazí jako 240 mm dlouhá svislá úsečka procházející bodem S. Návody, dodatečné pokyny, ukázky, zobrazovací a transformační rovnice ke stažení na adrese:



8


VÁLCOVÁ ZOBRAZENÍ Vznikají zobrazením glóbu na plášť válce. V normální poloze je dotykovou kružnicí rovník, v příčné poloze hlavní poledník, v šikmé poloze kterákoliv jiná hlavní kružnice. Dotyková kružnice se volí tak, aby tvořila osu zobrazovaného území. Válec také může protínat glóbus ve dvou vzájemně paralelních kružnicích o stejném poloměru (sečný válec). V normální poloze má obraz celé zeměpisné sítě tvar obdélníku, poledníky jsou stejně dlouhé, taktéž rovnoběžky. V příčné a šikmé poloze vytváří obraz zeměpisné sítě složité křivky.

Marinovo (čtvercové) zobrazení Marinus z Tyru (cca 100), použito údajně již Archimédem ve 3. stol. př. n. l.

Zobrazovací rovnice: x = RZV

y = RZU

Obrazy rovnoběžek a poledníků tvoří čtvercovou síť. Délkojevné po polednících a na rovníku (v normální poloze). Použití: V kartografické praxi se příliš se nepoužívá. Vhodné pro mapy území kolem rovníku, v atlasech je občas užíváno pro mapy pásmových časů. Lambertovo ekvivalentní zobrazení Johann Heinrich Lambert (1772)

Ortografická projekce na plášť válce. Zobrazovací rovnice: x = RZV

y = RZ sin U

Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se od rovníku k pólům zmenšují, vzdálenosti obrazů poledníků jsou stejné. Pól se zobrazí jako úsečka, rovník je délkojevný. Použití: Nepoužívá se pro extrémní zkreslení v oblasti pólů. Behrmannovo ekvivalentní zobrazení Walter Behrmann (1909)

Odvozené z Lambertova válcového ekvivalentního zobrazení, tečný válec nahrazen sečným válcem (U0 = 30°). Upravuje nevhodný obrys Země u Lambertova zobrazení (úzký a protáhlý obdélník). Důsledkem je menší úhlové zkreslení. Délkojevné podél sečných rovnoběžek.

Zobrazovací rovnice: x = RZVcosU0

y = RZ

sin U cos U 0

Použití: ?? Mercatorovo konformní zobrazení V roce 1569 použito Gerhardem Mercatorem bez uvedení matematických vztahů. Ty odvodil v roce 1645 Henry Bond.

o Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se směrem k pólům zvětšují, vzdálenosti poledníků jsou stejné. o Pól se nezobrazí.


9


o Rovník a hlavní poledník jsou délkojevné. o Velké plošné zkreslení. o Loxodroma se zobrazí jako úsečka (výhodné při námořní navigaci). Zobrazovací rovnice: x = RZV

 U  y = RZ ln tg   45    2

Použití: Námořní mapy, navigační letecké mapy. Poměrně časté i v atlasech. Web Mercator – standard pro webové mapy. Pro snazší a rychlejší výpočty počítá z referenční koule, nicméně zeměpisné souřadnice bere z elipsoidu WGS84. To při větších měřítkách způsobuje mírné zkreslení tvarů (ztrátu konformity). Mercatorovo zobrazení v transverzální poloze – propracováno a prvně použito Gaussem (Gaussovo zobrazení). Použití: V geodézii. UTM – síť šedesáti zón zobrazených Mercatorovým zobrazením v příčné poloze. Vyvinuto v USA pro vojenské mapy NATO. Používá se pouze na území mezi osmdesátými rovnoběžkami. Gnómonická projekce Stereografická projekce


10


KUŽELOVÁ ZOBRAZENÍ Zobrazení glóbu na plášť kužele. Ten může být tečný i sečný. V normální poloze je délkově zachovanou kružnicí některá rovnoběžka, v ostatních polohách jiná kružnice (volí se tak, aby probíhala středem zobrazovaného územního pásu). Obrazy poledníků jsou v normální poloze stejně dlouhé úsečky sbíhající se v počátku soustavy souřadnic, obrazy rovnoběžek jsou oblouky kružnic se středem v počátku soustavy souřadnic. Ptolemaiovo zobrazení Ptolemaios (cca 150)

Zobrazovací rovnice:   RZ cotg U 0  RZ U 0  U 

  V sin U 0

Délkojevné v polednících. Dotyková rovnoběžka nezkreslena, přičemž zkreslení přibývá od základní rovnoběžky rychleji k severu než k jihu. Použití: Pro zobrazení velkých částí Země (světadílů) v normální poloze (až třetina map ve školním atlase). Další kuželová zobrazení: Albersovo, Delisleovo, Lambertovo, Gaussovo, Křovákovo. Žádné z nich není projekcí, odvození rovnic je u některých z nich dosti náročné. Křovákovo zobrazení Pro geodetické a kartografické práce v ČR má prvořadý význam obecné konformní kuželové zobrazení Křovákovo, neboť tohoto zobrazení používáme v současné době jak pro geodetické výpočty, tak i pro mapy velkých a středních měřítek. Zobrazení je pojmenováno po svém autorovi Ing. Josefu Křovákovi, který jej odvodil pro potřeby vytvoření nové a přesnější trigonometrické sítě na území tehdejšího Československa. Navrhl jej roku 1922 jako prozatímní a od roku 1933 je používáno jako definitivní zobrazení, které je základem pro soustavu rovinných souřadnic systému S-JTSK. Obecné konformní kuželové zobrazení Křovákovo je dvojitým zobrazením, jímž byl nejprve zobrazen Gaussovým konformním zobrazením Besselův elipsoid na kouli o poloměru R = 6 380 703,6105 m. Na kouli byla provedena transformace kulových souřadnic U, V na kartografické souřadnice Š, D s pólem Q o souřadnicích φQ = 48°15´ s. š. a λQ = 42°30´ východně od Ferra na Besselově elipsoidu, jimž odpovídají kulové souřadnice UQ = 59°42´42,6969´´ s. š., VQ = 42°31´31,41725´´ východně od Ferra. Zobrazení koule do roviny bylo provedeno konformním kuželovým zobrazením v obecné poloze s pólem Q. Použit byl tečný kužel se základní rovnoběžkou o šířce Š0 = 78°30´. Za základní poledník byl zvolen poledník, spojující zemské póly a pól zobrazení Q. Maximální délkové zkreslení na okraji státního zemí bylo sníženo zavedením redukovaného poloměru referenční koule R´ = 0,9999R. Tímto obratem bylo dosaženo obdobného výsledku jako při použití sečného kužele. Délkové zkreslení základní rovnoběžky má hodnotu m = 0,9999, rovnoběžky na okraji státního území hodnotu m = 1,00014. Dvě kartografické rovnoběžky o šířce Š1 = 79°18´03´´ a Š2 = 77°40´50´´ mají délkové zkreslení m = 1. Maximální délkové zkreslení na okraji státního území bylo ještě sníženo obecnou polohou kužele při tomto zobrazení. V případě normální polohy kuželové plochy by byl totiž pás území Československa mnohem širší než při poloze obecné, určené z podmínky, aby se státní


11


území vešlo do šířkově (ve smyslu kartografické šířky) nejužšího pásu. Je známo, že s rostoucí šířkou pásu roste maximální zkreslení v okrajových částech. Zatímco pro normální polohu je vliv zkreslení při tečném kuželu na okrajích asi 43 cm na jeden kilometr, v poloze obecné je maximální zkreslení přibližně poloviční. Zemské poledníky a rovnoběžky se v tomto zobrazení jeví jako křivky na sebe kolmé s výjimkou poledníku bodu Q, který se zobrazí jako přímka a je volen za osu x pravoúhlých souřadnic, jejíž kladný směr byl zvolen k jihu. Osa y prochází obrazem bodu Q´ a je kladná směrem k západu. Tímto uspořádáním bylo dosaženo, že celé státní území Československa leží v prvním kvadrantu a tedy všechny souřadnice x, y bodů na státním území jsou kladné. Navíc pro libovolný bod na území bývalé ČSR platí y < x. Zkreslení délek je tedy velmi malé. Dosahuje hodnot od –10 cm/km po +14 cm/km. Úhlové zkreslení je nulové (konformní zobrazení).

Umístění kartografického pólu Křovákova zobrazení na Gaussově kouli. SP = severní pól.


12


KARTOGRAFICKÉ ZKRESLENÍ Protože referenční plocha (eliptická nebo kulová) a rovinný obraz (mapa) mají rozdílnou křivost, deformují se délky, úhly a plochy. Pro určení hodnot zkreslení používáme tzv. Tissotovu indikatrix = elipsu zkreslení. Ta podává informace o průběhu zkreslení v daném bodě. Zkreslení může být: Délkové – poměr délkového elementu v mapě a délkového elementu na referenční ploše. Plošné – poměr ploch nekonečně malých obrazců v mapě a referenční ploše. Úhlové – rozdíl velikosti úhlu na mapě a odpovídajícího úhlu na referenční ploše. Míra zkreslení narůstá spojitě směrem od dotykových bodů v závislosti na použitém zobrazení a referenční ploše. V bodech dotyku je poměr zkreslení k = 1. kp ... zkreslení v poledníkovém směru kr ... zkreslení v rovnoběžkovém směru Je-li k p  k r  1 , pak je mapa plochojevná. Je-li k p  k r , pak je mapa úhlojevná. Výpočty týkající se kartografického zkreslení mohou být dosti složité a ani u těch nejjednodušších příkladů se nevyhneme matematice nad rámec běžně probíraného učiva na SŠ. Přesto se pokusím danou problematiku vysvětlit na dvou konkrétních (a co možná nejjednodušších) příkladech. Příklad 1: Lambertovo azimutální ekvivalentní zobrazení – dokážeme jeho plochojevnost. Příklad 2: Stereografická projekce (azimutální) – dokážeme její úhlojevnost.


13


Příklad 1)

Lambertovo azimutální ekvivalentní zobrazení v normální poloze

Zobrazení je určeno rovnicemi:

  2 RZ sin

Z 2

ε=V Pro většinu smrtelníků nic neříkající matematická formule ohledně polární souřadnice ρ se stane srozumitelnou díky obrázku na další straně. Přehled značení: SP ... severní pól, bod dotyku roviny mapy s referenční koulí S ... střed Země RZ ... poloměr Země (6378 km) P1, P2, P3 ... vybrané body ležící na tomtéž poledníku oP1, oP2, oP3 ... obrazy bodů P1, P2, P3 ZP1, ZP2, ZP3 ... zenitové šířky bodů P1, P2, P3 ΔZ ... desetistupňový oblouk na poledníku ρP1 ... polární souřadnice bodu oP1


14


Princip zobrazení je názorně demonstrován na dvojici bodů P1 a oP1. 1 Trojúhelník STV je pravoúhlý, úhel VST má velikost Z P1 . 2 VT VT Z Z Platí: sin P1  → VT  2 RZ sin P1  2 ST 2 RZ 2 VT   P1

Tím je princip zobrazení vysvětlen. Nyní vyšetříme zkreslení kr v rovnoběžkovém směru. Ještě dodám, že u úhlů budeme pracovat výhradně v radiánech. Skutečná délka rovnoběžky (o zenitové šířce Z): Délka obrazu této rovnoběžky v mapě:

dreal = 2    RZ  sin Z Z dmapa = 4    RZ  sin 2


15


Vzhledem k normální poloze je zkreslení kr v každém bodě rovnoběžky stejné, a proto platí:

kr 

d mapa d real

Z Z 2 sin 2  2  sin Z 2    RZ  sin Z 4    RZ  sin

Následující tabulka udává zkreslení kr pro vybrané rovnoběžky. Všimněte si, jak zkreslení směrem od severního pólu k jihu narůstá. V reálu je nejdelší rovnoběžka rovník, v mapě se jako nejdelší rovnoběžka jeví jižní pól (což je bod, takže zkreslení kr je zde nekonečně velké). Vzdálenosti jsou v kilometrech.

Z (°)

skutečná délka délka rovnoběžky rovnoběžky v mapě

kr

10

6958,80414 6985,38564 1,00381984

20

13706,1685 13917,6083 1,01542661

30

20037,0779 20743,9095 1,03527618

40

25759,1709 27412,3371 1,06417777

50

30698,5844 33872,1402 1,10337792

60

34705,237 40074,1559 1,15470054

70

37657,3886 45971,183 1,22077459

80

39465,3394 51518,3417 1,30540729

90

40074,1559 56673,4148 1,41421356

100

39465,3394 61397,1689 1,55572383

110

37657,3886 65653,6534

1,7434468

120

34705,237 69410,4741

2

130

30698,5844 72639,0391 2,36620158

140

25759,1709 75314,7771

150

20037,0779 77417,3243 3,86370331

160

13706,1685 78930,6788 5,75877048

170

6958,80414 79843,3233 11,4737132

180

rovník

0

2,9238044

80148,3118 nekonečno

jižní pól

Nyní vyšetříme zkreslení kp v poledníkovém směru. Tady už bude situace trošičku složitější. Souvisí to s tím, že zkreslení kp směrem od severního pólu k jihu narůstá spojitě, tzn. je pro každou zenitovou šířku Z různé. Znovu připomínám, že budeme pracovat výhradně v radiánech.


16


Pro názornost si vybereme např. oblouk P1P2. Skutečná délka tohoto oblouku = RZ  Z P 2  Z P1  Délka úsečky oP1oP2 =  P 2   P1  2 RZ sin

Z P2 Z Z Z    2 RZ sin P1  2 RZ  sin P 2  sin P1  2 2 2 2  

Následující tabulka udává, jak se mění délky desetistupňových oblouků ΔZ na poledníku. Vzdálenosti jsou v kilometrech. 10° oblouk (ΔZ)

S: skutečná délka 10° oblouku na kulové ploše

M: vzdálenost na mapě

M:S

90°- 80°

1113,170997 1111,75865 0,99873124

80°- 70°

1113,170997

70°- 60°

1113,170997 1086,43959 0,97598625

60°- 50°

1113,170997 1061,31321 0,95341436

50°- 40°

1113,170997

40°- 30°

1113,170997 987,081453 0,8867294

30°- 20°

1113,170997 938,541022 0,84312385

20°- 10°

1113,170997 882,857727 0,79310163

10°- 0°

1113,170997 820,455352 0,73704341

0°-(-10)°

1113,170997 751,808816 0,67537586

1103,2975

1028,1096

0,9911303

0,9235864

-10°-(-20)° 1113,170997 677,440561 0,60856828 -20°-(-30)° 1113,170997 597,916574 0,53712913 -30°-(-40)° 1113,170997 513,842081 0,46160211 -40°-(-50)° 1113,170997 425,856939 0,38256201 -50°-(-60)° 1113,170997 334,630769 0,30061039 -60°-(-70)° 1113,170997 240,857857 0,21637094 -70°-(-80)° 1113,170997 145,251871 0,13048478 -80°-(-90)° 1113,170997 48,5404311 0,04360555

Zatímco na kulové ploše mají všechny oblouky stále stejnou délku, v mapě tomu tak není. Obrazy rovnoběžek se směrem od severu k jihu zhušťují. Podíl M:S však nelze považovat za zkreslení kp, je to jen jakýsi „nástřel situace“. Zkreslení kp je limitním případem tohoto podílu, kdy délka oblouku P1P2 bude nekonečně malá, tj. ZP1 → ZP2. Teď trochu té matematiky.

Z Z   Z Z 2 RZ  sin P 2  sin P1  sin P 2  sin P1 2 2   2 2 k p  lim  2 lim Z P1  Z P 2 Z  Z P1 P2 RZ Z P 2  Z P1  Z P 2  Z P1


17


V čitateli i jmenovateli zaměníme pořadí rozdílu (zlomek rozšíříme číslem – 1). Dostaneme: sin k p  2 lim

Z P1 Z P 2

Z P1 Z  sin P 2 2 2 Z P1  Z P 2

Považujeme-li Z P1 za proměnnou blížící se k Z P 2 , pak výše uvedená limita je derivací funkce Z sin P1 v bodě Z P 2 a platí: 2 Z Z  sin P1  sin P 2 Z P1  Z Z 1  2 2 = 2   sin k p  2 lim   2  cos P1  cos P1 Z P1 Z P 2 Z P1  Z P 2 2  2 2 2  Zrušíme-li indexy (tj. opustíme konkrétní body a zobecníme), dostaneme: k p  cos

Z . 2

Má-li být mapa plochojevná (ekvivalentní), musí platit k r  k p  1 .

Z Z Z 2 sin cos Z 2  cos  2 2  sin Z  1 sin Z 2 sin Z sin Z

2 sin

(v čitateli zlomku jsme použili vzorec pro dvojnásobný úhel)

Tím je plochojevnost Lambertova azimutálního zobrazení v normální poloze dokázána.


18


Příklad 2)

Stereografická projekce (azimutální) v normální poloze

Zobrazení je určeno rovnicemi:

U Z    2 RZ tg  45   = 2 RZ tg 2 2  ε=V

Na rozdíl od Lambertova zobrazení, ve stereografické projekci nelze zobrazit celou Zemi (o což se však ani v případě Lambertova zobrazení rozhodně nikdo nesnaží). Ještě připomenu, že budeme opět pracovat v míře obloukové. Nejprve vyšetříme zkreslení kr v rovnoběžkovém směru. Skutečná délka rovnoběžky (o zenitové šířce Z): Délka obrazu této rovnoběžky v mapě:

dreal = 2    RZ  sin Z Z dmapa = 4    RZ  tg 2

Vzhledem k normální poloze je zkreslení kr v každém bodě rovnoběžky stejné, a proto platí:

kr 

d mapa d real

Z Z tg 2  2 2  sin Z 2    RZ  sin Z 4    RZ  tg

Tabulka na následující straně udává zkreslení kr pro vybrané rovnoběžky. Zkreslení směrem od severního pólu k jihu narůstá, ovšem mnohem rychleji než u Lambertova zobrazení. Rovník na mapě je dvakrát delší než ve skutečnosti (v Lambertově zobrazení je tento poměr roven 2 : 1 ). Vzdálenosti jsou v kilometrech.


19


Z (°)

skutečná délka rovnoběžky

délka rovnoběžky v mapě

kr

10

6958,80414 7012,06868 1,00765427

20

13706,1685 14132,3098

30

20037,0779 21475,6754 1,07179677

40

25759,1709 29171,5998 1,13247433

50

30698,5844 37373,7716 1,21744283

60

34705,237

70

37657,3886 56120,4521

80

39465,3394 67252,4189 1,70408819

90

40074,1559 80148,3118

100

39465,3394 95517,0385 2,42027663

110

37657,3886 114463,652 3,03960673

120

34705,237

130

30698,5844 171878,609 5,59890993

140

25759,1709 220205,677 8,54863217

150

20037,0779 299117,572 14,9282032

160

13706,1685 454543,663 33,1634375

170

6958,80414 916099,396 131,646096

180

0

1,0310912

46273,6494 1,33333333

138820,948

nekonečno

rovník

1,4902906

2

4

nekonečno

jižní pól

Nyní vyšetříme zkreslení kp v poledníkovém směru (analogicky jako v předchozím příkladu). Vybereme si opět oblouk P1P2. Skutečná délka tohoto oblouku = RZ  Z P 2  Z P1  Délka obrazu oblouku v mapě =  P 2   P1  2 RZ tg

Z P2 Z Z   Z  2 RZ tg P1  2 RZ  tg P 2  tg P1  2 2 2 2  

Následující tabulka udává, jak se mění délky desetistupňových oblouků ΔZ na poledníku. Vzdálenosti jsou v kilometrech.


20


10° oblouk (ΔZ)

S: skutečná délka 10° oblouku na kulové ploše

M: vzdálenost na mapě

M:S

90°- 80°

1113,170997 1116,00539 1,00254624

80°- 70°

1113,170997 1133,22157 1,01801213

70°- 60°

1113,170997 1168,73293 1,04991321

60°- 50°

1113,170997 1224,84441 1,10032009

50°- 40°

1113,170997 1305,41618 1,1727005

40°- 30°

1113,170997 1416,45955 1,27245459

30°- 20°

1113,170997 1567,16732 1,4078406

20°- 10°

1113,170997 1771,70754 1,59158615

10°- 0°

1113,170997

0°-(-10)°

2052,4451 1,84378241

1113,170997 2446,00883 2,19733431

-10°-(-20)° 1113,170997 3015,44715 2,70888045 -20°-(-30)° 1113,170997 3876,58413 3,48246957 -30°-(-40)° 1113,170997 5261,29018 4,7263989 -40°-(-50)° 1113,170997 7691,49168 6,90953295 -50°-(-60)° 1113,170997 12559,2181

11,28238

-60°-(-70)° 1113,170997 24736,8308 22,2219505 -70°-(-80)° 1113,170997 73458,8763 65,9906488 -80°-(-90)° 1113,170997

nekonečná

nekonečno

Zatímco na kulové ploše mají všechny oblouky stále stejnou délku, v mapě tomu tak není. Obrazy rovnoběžek se směrem od severu k jihu rozestupují. Zkreslení kp je limitním případem podílu M:S, kdy délka oblouku P1P2 bude nekonečně malá, tj. ZP1 → ZP2. A teď zas trochu té matematiky.

Z   Z Z Z 2 RZ  tg P 2  tg P1  tg P 2  tg P1 2 2   2 2 k p  lim  2 lim Z P1  Z P 2 Z P1  Z P 2 RZ Z P 2  Z P1  Z P 2  Z P1 Budeme postupovat analogicky jako v předchozím příkladu. tg k p  2 lim

Z P1  Z P 2

Z P1 Z   tg P 2 1 1 2 2 = 2   tg Z P1   2   Z Z 2  Z P1  Z P 2  2 cos 2 P1 cos 2 P1 2 2


21


Opět zrušíme indexování a dostaneme: k p 

1 Z cos 2

.

2

Má-li být mapa úhlojevná (konformní), musí platit k r  k p .

Z 2 2 = sin Z tg

1 cos 2

Z 2

Rovnici vynásobíme výrazem cos 2

Z . 2

Z Z  tg 2 2 1 2 sin Z Z sin Z 2 cos 2  Z 2 cos 2 1 2 sin Z cos 2

cos 2

Z Z  sin 2 2 1 sin Z

Použijeme vzorec pro dvojnásobný úhel.

sin Z 1 sin Z

1=1 Tím je úhlojevnost stereografické projekce v normální poloze dokázána.


22

Celkem existuje asi 300 zobrazení, používá se jen několik desítek

Recommend Documents