CAPM (THE CAPITAL ASSETS PRICING MODEL) N-MOMEN PADA ASURANSI BENCANA
SEPTIAWATI G54103054
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
ABSTRACT SEPTIAWATI. CAPM (The Capital Assets Pricing Model) N-Moment On Catastrophe Insurance. Supervised by EFFENDI SYAHRIL and DONNY CITRA LESMANA. Skewness is a deviation that occurs to the distribution of rate of return. Skewness causes disequilibrium in premium, rate of return and risk. One of the application of skewness can be found in catastrophe insurance. Because of the rareness and randomness of catastrophe, the rate of return is asymmetrically distributed. Hence, we need an estimator model in risk and returns that is asymmetrically distributed. CAPM is a risk and return estimator of risky assets. CAPM accurately predict the relationship of risk and return of normally distributed data. However, it is not accurate for asymmetrically distributed data. For this kind of data, we need to modify 2-moment CAPM to be 3-moment CAPM. Using third central moment, we can calculate the distribution of rate of return for asymmetrically distributed data. Further more, a modification of 3-moment CAPM can be applied to calculate the risk of return of catastrophe insurance companies.
ABSTRAK SEPTIAWATI. CAPM (The Capital Assets Pricing Model) N-Momen pada Asuransi Bencana. Dibimbing oleh EFFENDI SYAHRIL dan DONNY CITRA LESMANA. Skewness adalah ukuran penyimpangan yang terjadi pada nilai dari sebaran imbal hasil. Skewness dalam suatu nilai pada sebaran imbal hasil menyebabkan terjadinya ketidakseimbangan pada nilai premi, imbal hasil, dan risiko. Contoh nyata dari sebaran yang mengalami penyimpangan adalah nilai imbal hasil perusahaan asuransi bencana. Bencana yang bersifat acak dan langka menyebabkan nilai dari sebaran imbal hasil perusahaan asuransi bencana mengalami penyimpangan dan menyebar asimetris, sehingga diperlukan suatu model penduga risiko dan imbal hasil yang menyebar asimetris. CAPM (The Capital Assets Pricing Model) adalah suatu model penduga imbal hasil dan risiko pada aset berisiko. CAPM digunakan untuk data yang menyebar normal dan kurang tepat untuk suatu nilai imbal hasil yang menyebar asimetris. Untuk dapat menghitung nilai dari imbal hasil yang mengalami penyimpangan diperlukan pengembangan CAPM yang hanya melibatkan 2momen pertama menjadi CAPM 3-momen. Keterlibatan momen pusat ke-3 pada CAPM 3-momen menyebabkan CAPM 3-momen ini dapat digunakan untuk menghitung sebaran imbal hasil yang asimetris. Kemudian, CAPM 3-momen akan dikembangkan lagi untuk aplikasi pada imbal hasil perusahaan asuransi bencana. Dengan menggunakan pengembangan CAPM 3-momen perusahaan asuransi bencana dapat menghitung suatu imbal hasilnya yang mengalami penyimpangan.
CAPM (THE CAPITAL ASSETS PRICING MODEL) N-MOMEN PADA ASURANSI BENCANA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh: SEPTIAWATI G54103054
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
Judul Nama NIM
: CAPM (The Capital Assets Pricing Model) N-Momen pada Asuransi Bencana : Septiawati : G54103054
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Effendi Syahril, Grad.Dipl.
Donny Citra Lesmana, M.Sc.
NIP. 131 804 163
NIP. 132 311 927
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 3 September 1984 dari pasangan M Yusuf dan Hilalia. Penulis merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 48 Pinang Ranti Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Badan Eksekutif Mahasiswa maupun oleh GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2004/2005 dan periode 2005/2006.
KATA PENGANTAR Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman. Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada program studi Matematika. Penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad.Dipl. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, pengarahan, semangat, dan saran sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. 2. Bapak Donny Citra Lesmana, M.Sc. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah diberikan. 3. Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku Penguji yang telah memberikan saran dan masukannya. 4. Keluarga di Condet (Mama dan Papa, Kaka, Kiki, Mbam, dan De’Dhika) terima kasih atas doa, cinta, semangat, dan kasih sayangnya. 5. Dian Eka Pratiwi (Iwit), Ifni Husnul Khotimah (Ifni), dan Dwi Putri Methasari (Metha) atas persahabatan, semangat, dan kebersamaannya selama di IPB. 6. Mansyur Husjaini, S.Si. atas doa, nasihat, perhatian, semangat, dan kasih sayangnya. 7. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staff departemen matematika, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika. 8. Sahabat-sahabat : Vina (yang selalu memberikan keceriaan dan semangat), Gatha, Amie (makasih buat perhatian dan bantuannya), Gandronk, Mika, Icha, Achie (terima kasih atas semangat dan bantuannya), Muchie, Om Rama, Bedu, Azis, dan Rusli (terima kasih atas semangat, persahabatan, jalan-jalannya, dan keceriaannya). 9. Teman-teman tercinta : Manto, Sri (makasih atas semangatnya), Elis, Mita, Uly, Kafi, Ari, Ali, Mayang, Herni, Walidah, Sawa, Dimas, Fee, Jayu, Abay, Marlin, Nchie, Putra, Uve, Berry, Prima, Yuda, Dwi Puspa, Nisa (tetap semangat, makasih telah bersedia menjadi pembahas), Aam, Lili, Anton, Ucup, Demi. Terima kasih atas kebersamaannya selama ini. 10. Semua mahasiswa/i matematika atas dukungannya, khususnya Ka Dc 38 (terima kasih atas bantuannya), Echie, Fitri, Sita, Kuren math 41, Pipit 42. Terima kasih atas bantuannya. 11. Keluarga mungil Pondok Kencana (Venny, Ale, Anjun, dan Lalis) atas kebersamaannya dan wisma Blobo atas semua bantuannya. 12. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.
Bogor, Oktober 2007
Septiawati
DAFTAR ISI Halaman PENDAHULUAN Latar Belakang .............................................................................................................................. 1 Tujuan ........................................................................................................................................... 1 Metodologi .................................................................................................................................... 1 Sistematika Penulisan ................................................................................................................... 1 LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang ........................................................................................ 2 Peubah Acak, Fungsi Sebaran, dan Fungsi Kerapatan Massa ..................................................... 2 Nilai Harapan, Standar Deviasi, Koragam ................................................................................... 2 Fungsi Pembangkit Momen, Momen, Momen Pusat .................................................................. 3 Skewness, Coskewness.................................................................................................................. 3 Deret Taylor, Fungsi Utilitas Joan, Teorema Lagrange .............................................................. 3 PEMBAHASAN Model Seleksi Portofolio Markowitz ........................................................................................... 4 Pemilihan Portofolio..................................................................................................................... 5 CAPM 2-Momen .......................................................................................................................... 6 CAPM 3-Momen .......................................................................................................................... 7 CAPM N-Momen ......................................................................................................................... 8 Sifat-Sifat Koragam dan Coskewness .......................................................................................... 8 CAPM 3-Momen pada Asuransi Bencana ................................................................................... 9 CAPM N-Momen pada Asuransi Bencana ................................................................................ 10 SIMPULAN ...................................................................................................................................... 10 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................................... 10 LAMPIRAN ..................................................................................................................................... 12
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang Banyak kejadian alam yang tidak dapat diduga-duga kejadiannya misalnya banjir, tanah longsor, tsunami, angin badai, gempa, dan lain-lain. Tidak seorangpun yang mengetahui kapan bencana alam yang merugikan banyak orang itu akan terjadi. Kerugian yang diderita pun cukup besar. Untuk mengatasi kerugian akibat bencana, salah satu alternatifnya adalah dengan mengikuti jaminan asuransi bencana. Asuransi merupakan salah satu cara pembayaran ganti rugi kepada pihak yang mengalami musibah, sehingga orang yang mengalami musibah dapat mengatasi risiko yang ditimbulkan akibat suatu bencana walaupun kerugian tetap terjadi. Bencana yang bersifat acak dan langka dapat menyebabkan nilai dari imbal hasil perusahaan asuransi menyebar asimetris. Karena itu, dapat ditemui suatu kecondongan (skewness) pada nilai sebarannya. Skewness digunakan untuk mengukur sebaran asimetris dari sebaran peluang yang memiliki peubah acak yang bernilai riil. Dalam bencana terdapat risiko, kerugian, dan ketidakpastian. Sehingga pihak (perusahaan) asuransi bencana perlu mempertimbangkan imbal hasil yang akan didapatkan. Perusahaan asuransi bencana tidak ingin mengalami kerugian dan untuk itu diperlukan manajemen risiko, yaitu mengurangi kemungkinan kerugian atau mengurangi risiko yang diakibatkan oleh kerugian yang terjadi. Dengan demikian, diperlukan suatu model pendugaan mengenai kesetimbangan imbal hasil pada aset berisiko dan penentuan imbal hasil aset untuk menghitung imbal hasil perusahaan asuransi bencana. Dengan menggunakan model pendugaan, perusahaan asuransi dapat menghitung imbal hasil yang diharapkannya. The Capital Assets Pricing Model (CAPM) dapat memberikan prediksi yang tepat tentang hubungan antara risiko dan imbal hasilnya. Dalam CAPM, standar deviasi dari suatu nilai imbal hasil adalah ukuran dari risiko yang dihadapi oleh investor. Standar deviasi berakibat pada risiko sistematik (beta)
yang diperhitungkan dalam pasar finansial. CAPM ini melibatkan momen pusat ke-2, sehingga CAPM dapat digunakan untuk menghitung ketidakpastian imbal hasil. Namun CAPM 2-momen hanya berlaku untuk nilai dari sebaran imbal hasil yang menyebar simetris. Untuk menghitung suatu sebaran imbal hasil yang asimetris diperlukan momen pusat ke-3. Sehingga diperlukan pengembangan model CAPM 2-momen menjadi CAPM 3-momen. Untuk penerapan pada asuransi bencana, akan dilakukan modifikasi pada CAPM 3-momen. Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menelaah ulang pengembangan model CAPM 3-momen dan model asuransi CAPM 3-momen yang melibatkan skewness dari suatu aset untuk menghitung premi kesetimbangan pada asuransi bencana sebagai kompensasi dari biaya kecondongan yang terjadi. Metodologi Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi pustaka. Jurnal utama karya ilmiah ini merujuk pada Kozik, T. J. dan Larson, A. M. 2001. The N-Momen Insurance CAPM. Allstate Insurance Company. Bahan-bahan yang menunjang penulisan karya ilmiah ini diperoleh dari buku-buku dan jurnal yang terkait dengan tulisan. Sistematika Penulisan Penulisan karya ilmiah ini terdiri atas lima bab. Bab I berisi penjelasan mengenai latar belakang, tujuan, metodologi dari karya ilmiah ini. Pada Bab II dibahas mengenai nilai harapan, ekspansi deret Taylor, teorema Lagrange, skewness, dan fungsi utilitas Joan yang akan digunakan untuk menunjang karya ilmiah ini. Bab III menyajikan pembahasan dari model CAPM 2-momen, CAPM 3-momen, CAPM n-momen, perumusan model untuk asuransi CAPM 3-momen, dan asuransi CAPM n-momen. Pada Bab IV disajikan kesimpulan dari karya ilmiah ini.
2
LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi dapat diketahui kemungkinan hasil yang muncul. [Hogg dan Craig, 1995]
Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real A= { x : x = X (ω ), ω ∈ Ω} . [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 6 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran peubah acak X adalah fungsi F : R → [0,1] , yang didefinisikan oleh FX ( x ) = P ( X ≤ x ) .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 2 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan yang beranggotakan semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan acak dan biasa dinotasikan dengan Ω . [Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 7 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika himpunan semua nilai { x1 , x2 ,...} merupakan
Definisi 3 (Medan- σ ) Medan- σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω , yang memenuhi kondisi berikut: 1. ∅ ∈ F ,
Definisi 8 (Fungsi Kerapatan Massa) Fungsi kerapatan massa dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : R → [0,1] , yaitu
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka
Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan F adalah medan- σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi: 1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 ,
Nilai Harapan, Standar Deviasi, Koragam Definisi 9 (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan massa p X ( x ) , maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E [ X ] , adalah
E [ X ] = ∑ x pX ( x) x
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk
pasangan
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
i
i =1
i ≠ j,
maka
⎛ ⎞ P ⎜ U Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) . ⎝ i =1 ⎠ i =1 [Grimmett dan Stirzaker, 1992] ∞
pX ( x ) = P ( X = x ) .
∞
UA ∈F ,
3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
setiap
himpunan tercacah. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
∞
Peubah Acak, Fungsi Sebaran, dan Fungsi Kerapatan Massa Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω ∈ Ω ke satu dan hanya satu bilangan real X (ω ) = x disebut peubah acak.
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. Beberapa sifat dari nilai harapan 1. Jika k suatu konstanta, maka E [ k ] = k . 2. Jika k suatu konstanta dan v1 , v2 adalah peubah acak, maka E [ k1v1 + k 2 v2 ] = k1 E [ v1 ] + k2 E [ v2 ] . Secara umum, jika k1 , k2 ,..., kn adalah konstanta dan v1 , v2 ,..., vn adalah peubah acak, maka E [ k1v1 + k2 v2 + ... + kn vn ]
= k1 E [ v1 ] + k2 E [ v2 ] + ... + kn E [ vn ] . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 10 (Ragam) Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya, didefinisikan sebagai berikut
3
σ 2 = Var ( X ) = E ⎡⎣ ( X - E[ X ]) 2 ⎤⎦ = E[ X 2 ] − ( E[ X ]) 2 . [Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 11 (Standar Deviasi) Jika X adalah peubah acak maka standar deviasi dari X didefinisikan sebagai berikut
σ X = Var ( X ) . [Ghahramani, 2005]
Definisi 12 (Koragam) Misalkan X dan Y dua peubah acak dengan E ( X ) = µ1 dan E (Y ) = µ 2 , maka
Cov( X , Y ) = E ⎡⎣( X − µ1 )(Y − µ2 ) ⎤⎦ = E ( XY ) − µ1 µ 2 disebut koragam peubah acak X dan Y . [Hogg dan Craig, 1995]
Fungsi Pembangkit Momen Pusat
Momen,
Momen,
Definisi 13 (Fungsi Pembangkit Momen) Jika X adalah peubah acak diskret, t merupakan konstanta maka fungsi pembangkit momen didefinisikan sebagai berikut M X (t ) = E ⎡⎣ etX ⎤⎦ = ∑ etx f ( x) x
dengan −h < t < h . Selanjutnya, turunan pertamanya sebagai nilai harapan dari peubah acak X d M X' (t ) = M X (t ) dt M X' (t ) = ∑ xetx f ( x)
mk = E ( X k ), k = 1, 2,3,... [Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 15 (Momen Pusat) Misalkan nilai harapan dari peubah acak X , m1 , maka momen pusat ke-k dari peubah acak X didefinisikan sebagai k m pk = E ⎡( X − m1 ) ⎤ , ⎣ ⎦ dengan k = 1, 2,3,.. [Hogg dan Craig, 1995] Skewness, Coskewness Definisi 16 (Skewness) Misalkan X peubah acak dengan nilai harapan µ , ragam σ 2 , dan momen pusat 3 ke-3 E ⎡⎢( X − µ ) ⎤⎥ . Dalam teori peluang dan ⎣ ⎦ statistik, skewness mengukur sebaran 3⎤ ⎡ E ⎢( X − µ ) ⎥ ⎣ ⎦ disebut asimetris. Nilai dari 3
σ
sebagai ukuran dari skewness. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 17 (Coskewness) Misalkan X dan Y dua peubah acak dengan E ( X ) = a dan E (Y ) = b , maka
(
Cos ( X , Y , Y ) = E [ X − a ][Y − b ]
2
)
disebut coskewness peubah acak X dan Y. [Kozig dan Larson, 2001] Deret Taylor, Fungsi Teorema Lagrange
Utilitas
Joan,
x
M X' (0) = ∑ xe0 x f ( x) = ∑ xf ( x) x
x
M X' (0) = E[ X ] . Kemudian, turunan keduanya sebagai nilai harapan dari peubah acak X 2 d M "X (t ) = M X' (t ) dt
M "X
Definisi 18 (Deret Taylor) Jika suatu fungsi y = f ( x) memiliki turunan maka fungsi tersebut memiliki ekspansi deret Taylor h2 f ( x + h) = f ( x) + hf '( x) + f "( x) 2! +
2 tx
(t ) = ∑ x e f ( x) x
M "X
(0) = ∑ x 2 e0 x f ( x) = ∑ x 2 f ( x) x x M "X (0) = E[ X 2 ] . [Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 14 (Momen) Momen ke-k dari didefinisikan sebagai
peubah
acak
X
h3 f '''( x) + ... 3!
yaitu f ( xn +1 ) = f ( xn ) + hf '( xn ) +
+
h2 f "( xn ) 2!
h3 f "'( xn ) + ... 3! +
h p ( p) f ( xn ) + Ο (h p +1 ) p!
4
dengan h = xn +1 − xn . [Fisher, 1988]
Definisi 19 (Fungsi Utilitas Joan) Fungsi utilitas Joan didefinisikan sebagai berikut u ( x) = x dengan x adalah kekayaan. [Winston, 2004]
Teorema 1 (Metode Lagrange) Masalah dengan dua variabel dan satu kendala Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f ( x1 , x2 ) terhadap kendala g ( x1 , x2 ) = 0 , selesaikan sistem persamaan berikut maksimumkan f ( x1 , x2 ) dengan kendala g ( x1 , x2 ) = 0 . Dari masalah tersebut, maka diperoleh fungsi Lagrange sebagai berikut: l = ( x, λ ) = f ( x ) + λ g ( x ) . Syarat perlu untuk eksistensi titik ekstrim X = X * akan terpenuhi jika turunan parsial dari fungsi Lagrange sama dengan nol, sehingga menghasilkan: ∂l ( x1 , x2 , λ ) ∂x1 =
∂f ∂g ( x1 , x2 ) + λ ( x1 , x2 ) = 0 ∂x1 ∂x1
∂l ( x1 , x2 , λ ) ∂x2 =
∂f ∂g ( x1 , x2 ) + λ ( x1 , x2 ) = 0 ∂x2 ∂x2
(b)
dan ∂l ( x1 , x2 , λ ) = g ( x1 , x2 ) = 0 . ∂λ Dari Persamaan (a) dan (b) akan dihasilkan
(
)
titik ekstrim x1* , x*2 . λ yang berpadanan dengan fungsi g ( x1 , x2 ) = 0 disebut pengali Lagrange. [Rao, 1978]
Definisi 20 (Asuransi) Asuransi atau pertanggungan adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih. Pihak penanggung mengikatkan diri kepada pihak tertanggung dengan menerima premi asuransi untuk memberikan penggantian kepada tertanggung atas kerugian, kerusakan atau kehilangan, atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau untuk memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan (UndangUndang Republik Indonesia Nomor 2 Tahun 1992). [Iskandar, 01-07-2007]
(a)
PEMBAHASAN
Model Seleksi Portofolio Markowitz Pada tahun 1952, Markowitz mempublikasikan tulisannya yang berjudul “Portfolio Selection”. Dalam tulisannya, Markowitz memperlihatkan bagaimana membuat suatu portofolio dengan peluang yang lebih besar pada imbal hasil yang diharapkan dengan suatu tingkat risiko. Sejak saat itu, seleksi portofolio menjadi hal penting dalam ekonomi keuangan dan digunakan dalam pasar modal untuk membuat suatu portofolio efisien. Markowitz memasukkan prinsip diversifikasi, yang akhirnya membuatnya memperoleh nobel ekonomi 1990. Prinsip diversifikasi adalah suatu prinsip berinvestasi pada beragam aset.
Imbal hasil yang diharapkan dari suatu portofolio adalah penjumlahan dari imbal hasil yang diharapkan dari tiap sekuritas pembentuk portofolio dikalikan dengan bobot masing-masing sekuritas dalam portofolio. Misalkan E ( rp ) merupakan nilai harapan imbal hasil portofolio P dan wi merupakan bobot-bobot sekuritas dalam portofolio, maka E ( rp ) dapat dituliskan sebagai berikut E ( rp ) = ∑ wi E ( ri ) . n
i =1
Karena dalam pembentuk portofolio hanya dilihat sekuritas yang berisiko saja, maka
5
jumlah bobot dalam suatu portofolio adalah satu, atau secara matematis ditulis n
∑w
i
i =1
Gambar 1: Frontier ragam minimum aset berisiko
E (r )
=1.
Ragam portofolio, σ , mencerminkan risiko 2 p
dari portofolio dan wi adalah bobot-bobot sekuritas dalam portofolio. Secara matematis ragam dari suatu portofolio dituliskan sebagai berikut: n
portofolio ragam minimum global
frontier efisien
aset individual
frontier ragam minimum
n
σ p2 = ∑∑ wi w jσ ij
σ
i =1 j =1
dengan σ ii = σ , σ adalah ragam sekuritas ke- i . σ ij adalah koragam sekuritas i dan j , 2 i
dengan
2 i
σ ij = σ ji ,
wi w j = w j wi .
i≠ j,
untuk
Portofolio
Markowitz
dan ini
digunakan untuk memilih wi sehingga σ p2 minimum atau dapat dituliskan min σ p2 {wi }
dengan kendala n
∑w i =1
i
=1.
Pemilihan Portofolio Pemilihan suatu sekuritas dalam pembentukan portofolio dibagi ke dalam kasus sekuritas berisiko dan bebas risiko. Ketika menunjukkan suatu peluang risiko imbal hasil yang ada bagi investor dapat ditunjukkan oleh frontier ragam minimum. Frontier adalah kurva ragam terendah yang bisa dicapai untuk imbal hasil yang diharapkan dari portofolio tertentu. Dalam menghadapi masalah pemilihan portofolio, jika diperbolehkan short sales dalam pembentukan portofolio berisiko maka portofolio berisiko yang hanya terdiri atas sebuah aset menjadi tidak efisien. Tetapi jika short sales tidak diperbolehkan maka sekuritas tunggal mungkin berada pada frontier, yaitu kurva ragam terendah yang dicapai untuk nilai harapan dari imbal hasil portofolio tertentu. Dengan menggunakan imbal hasil yang diharapkan, ragam, dan koragam maka dapat dihitung portofolio ragam minimum untuk setiap imbal hasil yang diharapkan. Semua portofolio yang ada pada frontier ragam minimum dari portofolio ragam global dan yang di atasnya memberikan kombinasi imbal hasil risiko terbaik menjadi calon portofolio optimal.
Bagian frontier yang ada di atas portofolio minimum global disebut frontier efisien dari aset berisiko (efficient frontier of risky assets). Selanjutnya, bagian dari optimisasi adalah keterlibatan aset bebas risiko. Garis CAL (Capital Alocation Line) adalah suatu garis yang menunjukkan semua kombinasi risiko imbal hasil yang mungkin dan tersedia dari berbagai pilihan alokasi aset. Garis ini bermula dari r f dan lurus sampai titik M. Kemiringan CAL sama dengan kenaikan imbal hasil yang diharapkan dari portofolio lengkap untuk setiap kenaikan dari standar deviasi. Kemiringan tersebut disebut rasio imbal hasil terhadap variabilitas. Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa titik M adalah titik singgung dari CAL dan frontier. Titik M merupakan titik portofolio optimal pada CAL. CAL dari portofolio optimal, M, menyinggung frontier efisien. CAL unggul di atas garis yang lain. Oleh karena itu, portofolio M merupakan portofolio optimal. Gambar 2: CAL dan frontier
E (r )
E ( rM )
frontier
M E ( rM ) − rf
rf
dengan E ( rM ) − rf
σM
CAL
σM
σ
= kemiringan CAL,
rf
= imbal hasil bebas risiko,
E ( rM )
= imbal hasil yang diharapkan
σM
pada pasar, = standar deviasi pada pasar.
6
Model CAPM dibentuk dari CAL yang bersinggungan dengan portofolio yang efisien. Pada garis CAL ini menunjukkan pertukaran risiko imbal hasil. CAL diperoleh dari portofolio bebas risiko dan berisiko, M. Investor akan memilih CAL yang curam karena imbal hasil yang diharapkan semakin besar.
Model CAPM 2-Momen Kemampuan untuk mengestimasi imbal hasil suatu sekuritas individu merupakan hal yang sangat penting dan diperlukan oleh investor. Untuk dapat mengestimasi imbal hasil suatu sekuritas dengan baik diperlukan suatu model estimasi. CAPM merupakan suatu model untuk mengestimasi kesetimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko. Model CAPM 2-momen (klasik) sebagai berikut (1) E (ri ) = rf + βi [ E ( rM ) − r f ] (lihat Lampiran 1) dengan rf = nilai imbal hasil bebas risiko, ri E (ri ) − r f
= nilai imbal hasil pada aset ke-i, = premi risiko atas sekuritas
individu, E (rM ) − r f = premi risiko atas portofolio pasar, dan = risiko sistematis. Ide dasar dari CAPM (The Capital Assets Pricing Model) adalah menentukan harga kesetimbangan aset pada pasar. Model klasik CAPM telah diperkenalkan oleh Sharp (1964), Lintner (1965), dan Mossin (1966), dan itu telah dicatat sebagai kerangka dari kesetimbangan pasar modal sampai sekarang. Hubungan kesetimbangan pada imbal hasil hanya pada satu aset dan hanya pada satu faktor risiko yaitu beta. CAPM merupakan suatu alat penetapan harga aset yang memprediksi tentang bagaimana hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. Hubungan ini mempunyai dua fungsi penting. Pertama, menyediakan tolok ukur tingkat imbal hasil untuk mengevaluasi alternatif investasi yang mungkin. Kedua, model ini dapat digunakan untuk menduga imbal hasil yang diharapkan atas aset yang belum diperdagangkan di pasar. CAPM mempunyai beberapa asumsi penyederhanaan untuk mengarahkan pada versi dasar CAPM sebagai berikut
βi
1. Investor bersifat price takers. Artinya, investor tidak dapat mempengaruhi harga dan tidak ada monopoli dari investor tertentu. 2. Terdapat banyak investor, masing-masing dengan jumlah kekayaan yang sangat kecil dibandingkan dengan total kekayaan seluruh investor. 3. Seluruh investor merencanakan untuk satu periode investasi yang identik. yang rasional berusaha 4. Investor mengoptimalkan imbal hasil dan risiko. 5. Semua investor memiliki nilai harapan yang seragam pada imbal hasil sekuritas untuk sebarang waktu periode. 6. Tidak ada pajak dan tidak ada ongkos transaksi. Inti dari asumsi ini adalah mencoba untuk memastikan bahwa individu adalah mirip satu sama lain, kecuali dalam hal besarnya kekayaan awal dan sikap penghindaran terhadap risiko (risk aversi). Implikasi dari model CAPM adalah 1. Setiap investor akan berinvestasi pada portofolio yang sama (portofolio pasar). 2. Portofolio pasar memuat semua aset yang diperdagangkan di pasar dengan proporsi investasi adalah sama seperti proporsi saham dalam portofolio pasar. 3. Premi risiko pasar bergantung pada tingkat penghindaran risiko semua pelaku pasar. Premi risiko pasar merupakan selisih imbal hasil aset berisiko dan aset bebas risiko. 4. Premi risiko masing-masing saham bergantung pada koragam saham tersebut dengan pasar. Nilai harapan imbal hasil portofolio atas aset bebas risiko pada CAPM 2-momen sama dengan premi risiko pasarnya dengan nilai β adalah sama dengan satu. Model CAPM 2-momen ini diasumsikan menyebar simetris. Selama sebaran peluangnya lebih atau kurang simetris di sekitar rata-rata, σ merupakan ukuran risiko yang cukup. Dalam kasus tertentu saja bahwa imbal hasilnya dapat diasumsikan menyebar normal. Sebaran normal memiliki 2 ciri penting. Pertama, sebaran normal adalah simetris dan digambarkan secara lengkap oleh 2 parameter yaitu rata-rata dan standar deviasi. Ciri pertama ini berakibat bahwa risiko imbal hasil yang menyebar normal dapat digambarkan secara penuh oleh standar deviasinya. Kedua, rata-rata tertimbang dari variabel-variabel yang menyebar normal juga akan menyebar normal. Oleh karena itu, jika imbal hasil aset individu menyebar normal,
7
imbal hasil portofolio apapun yang mengkombinasikan kumpulan aset ini akan menyebar normal pula dan standar deviasinya akan secara penuh menunjukkan risikonya.
Model CAPM 3-Momen Model klasik CAPM 2-momen yang diperkenalkan oleh Sharp (1964), Lintner (1965), dan Mossin (1966) mendapat banyak penolakan dan kritikan dari beberapa orang. Berdasarkan hasil empiris yang telah dilakukan menunjukkan bahwa CAPM klasik tidak konsisten. Kraus-Litzenberger memulai suatu diskusi tentang momen yang lebih tinggi dalam CAPM yang dituliskan pada sebuah tulisan berjudul “Skewness Preference and The Valuation of Risk Assets”. KrausLitzenberger juga menyampaikan bahwa perlu ditambahkan skewness pada CAPM untuk penilaian suatu aset. Berdasarkan pendugaan beta dan gamma saham NYSE dari Januari 1926 sampai Desember 1935, Kraus-Litzenberger mendapatkan bukti yang melibatkan skewness pada premi risiko (dikutip dari tesis yang berjudul “Pricing Skewness and Kurtosis Risk on the Swedish Stock Market”). Sehingga CAPM 3-momen dapat lebih efektif pada proses pembentukan harga aset daripada 2momen mean-variance. Berdasarkan tes empiris juga, bahwa CAPM 3-momen menunjukkan hubungan yang negatif antara sistematik skewness dengan imbal hasil aset. Dengan demikian, sistematik skewness positif lebih disukai dibanding dengan yang negatif. Aset dikatakan memiliki coskewness positif (negatif) apabila dapat mengurangi (melebihkan) risiko portofolio untuk imbal hasil pasar yang mutlak besar dan tingkat risiko rendah (tinggi) pada kesetimbangan. Dengan menambahkan ruas kanan pada CAPM 2-momen dengan gamma dikali premi penyimpangan pasar, maka didapat CAPM 3momen. Model kesetimbangan imbal hasil ini mengasumsikan bahwa nilai imbal hasil pada portofolio pasar bersifat menyebar asimetris sebagai berikut: (2) E ( Ri ) = R f + b1 βi + b2 γ i (lihat Lampiran 2) dengan R f = 1 + rf , Ri = 1 + ri , RM = 1 + rM , rf = nilai imbal hasil bebas risiko, ri
= nilai imbal hasil pada aset ke-i,
rM = nilai imbal hasil pada portofolio pasar, b1 = premi risiko pasar, b2 = premi penyimpangan (skewness) pasar,
βi = =
σRR i
M
2
σ RM
=
Cov( Ri , RM ) Var ( RM )
E ( ⎣⎡ Ri − E ( Ri )⎦⎤ ⎡⎣ RM − E ( RM )⎤⎦ )
(
E ⎣⎡ RM − E ( RM )⎦⎤
2
)
.
(3)
Standar deviasi dinyatakan sebagai berikut:
(
( ))
1
2 ⎤2 ⎡ σ RM = ⎢ E RM − E RM ⎥ . (4) ⎣ ⎦ Gamma (risiko sistematis) dinyatakan sebagai berikut:
γi
=
=
τ Ri RM RM τ 3R
(
M
E ⎣⎡ Ri − E ( Ri )⎦⎤ ⎡⎣ RM − E ( RM )⎤⎦
(
E ⎡⎣ RM − E ( RM )⎤⎦
3
2
)
) . (5)
Kemiringan dari nilai imbal hasil pada keseluruhan portofolio didefinisikan:
(
⎦)
1
3 τ RM = E ⎡( RM − E ( RM )) ⎤ 3 .
(6) ⎣ Beta dan gamma pada CAPM 3-momen sama dengan ukuran risiko sistematis. Dengan menyederhanakan Persamaan (2) sebagai berikut: E ( Ri ) = R f + b1 βi + b2 γ i E (1 + ri ) = (1 + r f ) + b1 βi + b2 γ i
E (1) + E (ri ) = 1 + rf + b1 βi + b2 γ i E ( ri ) = r f + b1 β i + b2 γ i
(7)
maka diperoleh Persamaan (7) sebagai model CAPM 3-momen. Pada model CAPM 3-momen nilai imbal hasilnya (premi risiko pada investor) sama dengan penjumlahan dari premi risiko pasar dan premi penyimpangan pasar, dengan nilai β dan γ sama dengan satu. Selanjutnya, dari Persamaan (7) akan didapat portofolio pasar yaitu E ( rM ) − r f = b1 + b2 . (8) Dalam model CAPM 3-momen dihasilkan bahwa b2 merupakan premi penyimpangan pasar. Model ini memperhitungkan kecondongan, dan momen pusat ke-3 dari model ini menunjukkan ukuran asimetri. Angka positif pada ukuran skewness menunjukkan kecondongan yang positif dan lebih disukai.
8
Model CAPM N-Momen Model kesetimbangan CAPM ini kemudian diperumum menjadi CAPM n-momen. Model kesetimbangan CAPM n-momen mengasumsikan bahwa nilai imbal hasil pada portofolio pasar adalah sebagai berikut: ∞
E ( Ri ) = R f + ∑ b( n −1) vni
(9)
n=2
(lihat Lampiran 2) dengan Ri = 1 + ri , R f = 1 + rf , ri rf
= nilai imbal hasil sekuritas ke-i, = nilai imbal hasil bebas risiko.
Kemudian, b( n −1) dan vni dapat dirumuskan sebagai berikut:
rZ = tingkat imbal hasil dari portofolio, rM = imbal hasil pada portofolio pasar, S = ∑ Si , i
b( n −1) = θ n P n −1 E ( RM − E ( RM ) ) . n
vni =
(coskewness) adalah komponen dari suatu penyimpangan aset yang terkait pada penyimpangan portofolio pasar. Sebagai sebuah ukuran risiko, beta bersifat linier yaitu beta pada suatu kombinasi linier atas sekuritas adalah kombinasi linier dari nilai-nilai beta pada sekuritas itu sendiri. Artinya, suatu beta dari suatu portofolio sama dengan rataan terboboti dari nilai-nilai beta suatu sekuritas pada portofolio. Misalkan Z = portofolio dari n sekuritas, Si = uang yang diinvestasikan pada sekuritas ke-i, ri = tingkat imbal hasil pada sekuritas ke-i,
{
E ( Ri − E ( Ri ) ) ( RM − E ( RM ) ) E ( RM − E ( RM ) )
n
n −1
(10)
}.
maka
βZ =
(11)
(lihat Lampiran 2) Dengan menyederhanakan Persamaan (9) sebagai berikut:
=
∞
E ( Ri ) = R f + ∑ b( n −1) vni
=
n=2
(
)
(
(
E ⎡⎣ rM − E ( rM ) ⎤⎦ ⎛ ⎡⎛ S r E ⎜ ⎢⎜ ∑ i i ⎝ ⎣⎝ S
n=2
(12)
maka diperoleh persamaan CAPM n-momen. Dengan tidak memakai momen yang lebih tinggi dari rata-rata dan ragam tidak akan mempengaruhi nilai imbal hasil, tetapi bukan berarti bahwa kecondongan (skewness) tidak penting. Dalam hal ini, suatu imbal hasil yang asimetris, yang terkait dengan skewness, dapat dihitung dengan momen ketiga.
Sifat-Sifat Koragam dan Coskewness Koragam menghitung potensi diversifikasi dari sebuah aset. Koragam mengukur banyaknya imbal hasil dari 2 aset berisiko bergerak bersamaan. Koragam positif artinya aset tersebut bergerak bersamaan jika imbal hasil keduanya melampaui harapan atau keduanya lebih rendah dari harapannya. Koragam negatif artinya aset tersebut bergerak berlawanan jika aset yang satu melampaui harapan dan yang satu lebih kecil dari harapannya. Menurut Kozig dan Larson, berdasarkan Campbell Harvey dan Akhtar Siddique (2000), risiko sistematik
=
2
)
∑
(
)
⎞ ⎞ ⎛ Si ri ⎞ ⎤ ⎟ − E ⎜ ∑ S ⎟ ⎥ ⎣⎡ rM − E ( rM ) ⎦⎤ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎠
(
E ⎡⎣ rM − E ( rM ) ⎤⎦
∞
E ( ri ) = r f + ∑ b( n −1) vni n=2
σ r2M
E ⎡⎣ rZ − E ( rZ ) ⎤⎦ ⎡⎣ rM − E ( rM ) ⎤⎦
E (1 + ri ) = 1 + r f + ∑ b( n −1) vni ∞
σ rZ rM
2
)
Si E ⎡ ri − E ( ri ) ⎦⎤ ⎡⎣ rM − E ( rM ) ⎤⎦ S ⎣
(
E ⎡⎣ rM − E ( rM ) ⎤⎦
2
)
)
∑ Si β i . (13) S Untuk Z sama dengan portofolio pasar, sehingga nilai beta adalah satu, maka koragam dari tingkat imbal hasil portofolio pasar dengan portofolio pasar itu sendiri sama dengan ragam dari tingkat imbal hasil portofolio pasar. Dengan demikian, penjumlahan terboboti dari koragam-koragam pada tingkat imbal hasil semua sekuritas portofolio pasar sama dengan nilai ragam dari tingkat imbal hasil portofolio pasar. Serupa dengan itu, nilai gamma dari suatu portofolio adalah rataan terboboti dari nilainilai gamma dari masing-masing sekuritas. τr r r γ Z = Z 3M M =
τr
=
(
M
E ( rZ − E ( rZ )) ( rM − E ( rM ))
(
E ( rM − E ( rM ))
3
)
2
)
9
=
⎛ ⎡⎛ S r ⎞ 2⎞ ⎛ S r ⎞⎤ E ⎜ ⎢⎜ ∑ i i ⎟ − E ⎜ ∑ i i ⎟⎥ ⎣⎡rM − E ( rM )⎦⎤ ⎟ S S ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎣⎝ ⎠
(
E ( rM − E ( rM ))
(
3
)
2 ⎛S ⎞ ∑ ⎜ i ⎟E ⎡⎣ri − E ( ri )⎤⎦ ⎡⎣rM − E ( rM )⎤⎦ S⎠ ⎝ = 3 E ⎣⎡rM − E ( rM )⎦⎤
(
)
)
Si γ i . (14) S Coskewness dari imbal hasil pada portofolio pasar dengan dirinya sendiri sama dengan skewness dari imbal hasil pada portofolio pasar. Maka penjumlahan terboboti coskewness dari imbal hasil semua sekuritas dalam portofolio pasar sama dengan skewness dari imbal hasil portofolio pasar.
Model CAPM 3-Momen pada Asuransi Bencana Menurut Kozig dan Larson pada tulisannya yang berjudul “The N-Moment Insuranse CAPM”, berdasarkan penurunan asuransi CAPM yang dikerjakan oleh D’Arcy dan Doherty, tingkat imbal hasil untuk ekuitas, re , tersusun atas kombinasi linier dari imbal hasil underwriting, ru , dan imbal hasil investasi, ri .
ru P (1 − tu ) ri ( S + kP ) (1 − ti ) + S S
P βu (1 − tu ) ( S − kP ) βi (1 − ti ) + S S
(17)
dan
Pγ u (1 − tu ) ( S − kP ) γ i (1 − ti ) . (18) + S S Substitusi Persamaan (15) ke Persamaan (16), maka diperoleh E ( ru ) P (1 − tu ) E ( ri ) ( S + kP ) (1 − ti ) + S S (19) = r f + b1β e + b2γ e .
γe =
=∑
re =
βe =
(15)
dengan: re = tingkat imbal hasil pada ekuitas, P = premi pada tahun yang ditentukan, S = modal pemegang saham (shareholder’s equity), ru = imbal hasil penjamin (underwriting) per unit premi, tu = tingkat pajak pada pendapatan underwriting, k = koefisien pembangkit dana (perbandingan antara dana cadangan terhadap premi total), ri = imbal hasil atas investasi per unit yang diinvestasikan, ti = pajak pada pendapatan investasi. Berdasarkan Persamaan (7), nilai harapan ekuitas 3-momen diperoleh E ( re ) = r f + b1β e + b2γ e . (16)
Beta (gamma) dari ekuitas merupakan kombinasi linier suatu beta (gamma) underwriting dan suatu beta (gamma) investasi dan dapat dinyatakan sebagai berikut
Substitusi Persamaan (7), (17), dan (18) ke Persamaan (19) sehingga diperoleh E ( ru ) P (1 − tu ) S ( S + kP ) ( rf + b1βi + b2γ i ) (1 − ti ) + S P (1 − tu )(b1βu − b2γ u ) = rf + S ( S − kP ) (1 − ti )(b1βi + b2γ i ) . (20) + S Dengan menyederhanakan dan menyelesaikan Persamaan (20) maka diperoleh imbal hasil kesetimbangan underwriting setelah dipotong pajak sebagai berikut ti r f S E ( ru )(1 − tu ) = − kr f (1 − ti ) + P +b1β u (1 − tu ) + b2γ u (1 − tu ) (21)
(lihat Lampiran 3) dengan b1 = premi risiko pasar, b2 = premi penyimpangan pasar,
βu =
γu =
Cov ( ru , rM ) Var ( rM )
,
(
E ⎣⎡ ru − E ( ru ) ⎦⎤ ⎡⎣ rM − E ( rM ) ⎤⎦ E ( rM − E ( rM ) )
3
2
).
Imbal hasil kesetimbangan underwriting setelah dipotong pajak terdiri atas empat komponen yaitu 1. Mewakili bunga yang dibayarkan ke policy holder (pemegang kebijakan untuk penggunaan dana mereka), 2. Untuk menangkap ulang penalti pajak selama menjadi underwriting, 3. Persiapan untuk kompensasi risiko, dan untuk kompensasi 4. Persiapan penyimpangan.
10
Model CAPM N-Momen pada Asuransi Bencana Model CAPM diperumum menjadi n-momen, dengan mengasumsikan bahwa modal pemegang saham adalah S , nilai imbal hasilnya ∞
E ( re ) = r f + ∑ b( n −1) vne . n=2
(22)
Berdasarkan Persamaan (15) maka vne =
Pvnu (1 − tu ) S
+
( S + kP ) vni (1 − ti ) S
. (23)
Substitusi Persamaan (15) ke Persamaan (22) diperoleh kesetimbangan sebagai berikut E ( ru ) P (1 − tu ) E ( ri ) ( S − kP ) (1 − ti ) + S S ∞
= r f + ∑ b( n −1) vne . n=2
(24)
Dengan melakukan substitusi Persamaan (12) dan Persamaan (23) ke Persamaan (24) maka dihasilkan
E ( ru ) P (1 − tu ) S +
( S + kP ) ⎛⎜ rf ⎝
∞ ⎞ + ∑ b( n −1) vni ⎟ (1 − ti ) ⎠ n=2 S
= rf ∞ ⎡ Pvn (1 − tu ) ( S + kP ) vni (1 − ti ) ⎤ + ∑ b( n −1) ⎢ i + ⎥. S S n=2 ⎢⎣ ⎥⎦ (25) Dengan menyederhanakan dan menyelesaikan Persamaan (25) untuk imbal hasil kesetimbangan underwriting setelah dipotong pajak, maka dihasilkan model asuransi CAPM n-momen sebagai berikut ti r f S E ( ru )(1 − tu ) = − kr f (1 − ti ) + P
∞
+ ∑ b( n −1) vnu (1 − tu ) . (26) n=2
(lihat Lampiran 4)
SIMPULAN Suatu skewness pada tingkat sebaran imbal hasil tidak bisa diabaikan begitu saja. Munculnya sebaran-sebaran imbal hasil yang menyimpang menyebabkan terjadinya ketidakseimbangan pada premi, imbal hasil yang diharapkan serta risikonya. Karena sebaran tersebut mengalami penyimpangan, penting untuk menilai sistematik skewness (coskewness) ketika menentukan imbal hasil kesetimbangan dan premi yang dibutuhkan pada kasus jaminan asuransi bencana. Pada CAPM 2-momen hanya melibatkan standar deviasi dan diketahui bahwa standar deviasi merupakan akar dari momen pusat ke2. Momen pusat ke-2 hanya dapat menghitung ketidakpastian imbal hasil. Model CAPM 2momen hanya dapat menghitung imbal hasil
yang sebarannya simetris sehingga diperumum CAPM 3-momen untuk mengukur imbal hasil yang sebarannya asimetris. Sedangkan untuk menghitung imbal hasil underwriting pada asuransi bencana diperlukan pengembangan model asuransi CAPM 3-momen dari model CAPM 3-momen yang melibatkan suatu kecondongannya. Secara eksplisit, hal ini akan menghasilkan penentuan atas akibat dari penyimpangan terhadap premi kesetimbangan. Tetapi belum diketahui secara jelas dampak yang ditimbulkan untuk momen yang lebih tinggi dari momen ke-3 karena belum dilakukan analisis secara empiris dan masih bersifat teoritis saja.
DAFTAR PUSTAKA Bodie, Z, Kane, A, dan Marcus, A J. 2002. Investment. Ed. ke-6. The McGraw-Hill Companies, Inc. New York. Fisher, M. E. 1988. Introductory Numerical Methods with the NAG Software Library.
Mathematics Department. The University of Western Australia. Ghahrahmani, Saeed. 2005. Fundamental of Probability. Ed. Ke-2. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
11
Grimmet, G. R. dan D.R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. NewYork. Hogg, R. V. dan A. T. Craig. 1995. Intoduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice-Hall, Inc. New Jersey. Johansson, Andreas. 2005. Pricing Skewness and Kurtosis Risk on the Swedish Stock Market. Master Thesis. Department of Economics, Lund University, Sweden. Kozik, T. J. dan Larson, A. M. 2001. The N-Momen Insurance CAPM. Allstate Insurance Company.
Rao, S. S. 1978. Optimization Theory andApplications. San Diego: San Diego State University. Wikipedia. 2007. Definisi Asuransi. www.ryaniskandar.wordpress.com.[01 Juli 2007]. Winston, W. L. 2004. Operation Research Applications and Algoritms. Brooks/Cole, A Division of Thomson Learning, Inc. USA.
LAMPIRAN
13
Lampiran 1 Bukti Persamaan (1) Gambar: Kurva Frontier dan CAL E (r )
CAL
E ( rM )
frontier
M E ( rM ) − rf
rf
σ
σM E ( rM ) − rf
, merupakan market price of risk (risiko harga pasar) σM dan disebut rasio imbal hasil terhadap variabilitas. Misalkan imbal hasil yang diharapkan pada portofolio E ( rP ) , a adalah bobot dari investor. Dapat digambarkan dalam suatu prospek sederhana sebagai berikut:
Kemiringan garis CAL adalah
E ( rP )
a
E ( ri )
1− a
E ( rM )
E ( rP ) = a E ( ri ) + (1 − a ) E ( rM ) .
Ragam portofolio didapat sebagai berikut: 2 σ rp = w'Vw ⎛ σ i2
σ rp2 = ( a 1 − a ) ⎜
⎝ σ Mi
σ iM σ M2
(
= aσ i2 + (1 − a ) σ iM
⎞⎛ a ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎝1 − a ⎠
⎛ a ⎞ aσ iM + (1 − a ) σ M2 ⎜ ⎟ ⎝1 − a ⎠
)
= a 2σ i2 + a(1 − a)σ Mi + a (1 − a ) σ iM + (1 − a ) σ M2 2
= a 2σ i2 + (1 − a ) σ M2 + 2a (1 − a ) σ iM 2
dengan w = vektor bobot, w' = vektor transpose dari w , V = matriks ragam-koragam. Standar deviasi = σ = Varrp = a 2σ i2 + (1 − a ) σ M2 + 2a (1 − a ) σ iM . 2
Setiap investasi akan trade off imbal hasil dan standar deviasinya merupakan perubahan imbal hasil terhadap perubahan standar deviasi sebagai berikut:
( ) = ∂E ( rp ) / ∂a
dE rp dσ rP
∂E ( rP ) ∂a
∂σ rp ∂a
=
∂σ rP / ∂a
= E ( ri ) − E ( rM )
(
1 2 2 2 a σ i + (1 − a ) σ M2 + 2a (1 − a ) σ iM 2
) ( 2aσ −
1 2
2 i
+ 2 (1 − a )( −1) σ M2 + 2σ iM − 4aσ iM
)
14
aσ i2 − (1 − a ) σ M2 + σ iM − 2aσ iM
=
a 2σ i2 + (1 − a ) σ M2 + 2a (1 − a ) σ iM 2
.
Kemudian dE ( rP ) ∂E ( rP ) / ∂a = dσ rP ∂σ rP / ∂a E ( ri ) − E ( rM )
=
.
aσ − (1 − a ) σ M2 + σ iM − 2aσ iM 2 i
a 2σ i2 + (1 − a ) σ M2 + 2a (1 − a ) σ iM 2
Karena setiap investor memegang portofolio yang sama yaitu portofolio pasar (pada titik ekuilibrium) maka a = 0 . dE ( rP ) dσ rP
E ( ri ) − E ( rM )
=
2 −σ M + σ iM
a =0
.
σM
Kemiringan CAL sama dengan perubahan imbal hasil yang diharapkan terhadap perubahan standar deviasi maka diperoleh E ( rM ) − r f E ( ri ) − E ( rM ) = 2 σM −σ M + σ iM
σM
E ( rM ) − r f
σM
( E ( ri ) − rf ) − ( E ( rM ) − rf )
=
−σ M +
σ iM σM
( E ( rM ) − rf ) ⎜ −σ M + σσiM ⎟ = σ M ( ( E ( ri ) − rf ) − ( E ( rM ) − rf ) ) ⎛
⎞
⎝
(
M
⎛ σ E ( rM ) − r f ⎜ −1 + iM ⎜ σ M2 ⎝
)
(
⎠
⎞ ⎟⎟ = ⎠
(( E ( r ) − r ) − ( E ( r
) (
− E ( rM ) − r f + E ( rM ) − r f
i
f
M
) − rf ) )
) σσiM2 = ( ( E ( ri ) − rf ) − ( E ( rM ) − rf ) ) M
( E ( rM ) − rf ) σσiM2
= E ( ri ) − r f
M
E ( ri ) = r f +
σ iM ( E ( rM ) − rf σ M2
)
σ iM = βi adalah risiko sistematis. σ M2 Sehingga model CAPM klasik adalah E ( ri ) = r f + βi ( E ( rM ) − r f ) .
dengan
terbukti
15
Lampiran 2 Bukti Persamaan (2) dan (9) Misalkan W j adalah kekayaan awal tahun oleh individu ke-j. Kemudian semua kekayaan diinvestasikan dalam uang pada salah satu sekuritas ke-i. Misalkan Sij adalah banyaknya investasi yang dilakukan pada salah satu sekuritas ke-i oleh individu ke-j. Kekayaan awal tahun didefinisikan sebagai berikut W j = ∑ Sij .
(L .27)
i
Kekayaan akhir tahunnya adalah W% j = ∑ Sij Ri .
(L.28)
i
Ri = 1 + ri , ri merupakan nilai imbal hasil sekuritas ke-i. Anggap bahwa setiap individu ingin
( ( ))
memaksimumkan E j U j W% j
dengan kendala W j = ∑ Sij . Di mana U j adalah fungsi utilitas i
yang terdiferensial dan kontinu pada fungsi kekayaan oleh individu ke-j. Ekspansi deret Taylor U j W% j di sekitar E j W% j sebagai berikut ~ (n) ~ ~ ∞ Uj ( E j (W j )) ~ (W j − E j (W j ))n . U j (W j ) = ∑ (L.29) n! n =0 Kemudian nilai harapan dari Persamaan (L.28) adalah n ~ (n) ~ ~ ⎞ ∞ U j ( E j (W j )) ⎛ ~ (L.30) E (U j (W j ) = ∑ E ⎜ W j − E j (W j ) ⎟ n! n=0 ⎝ ⎠ ~ dimana U (jn ) adalah turunan ke-n dari U j yang dievaluasi pada E j (W j ) . Dari Persamaan (L.30) ~ dimisalkan momen pusat ke-n dari peubah acak W j adalah
( )
( )
⎛~
~
⎞
n
µ jn = E ⎜ W j − E j (W j ) ⎟ .
(L.31) ⎝ ⎠ Kemudian dengan membentuk Lagrange, masing-masing individu memaksimumkan Z. ~ ⎞ ∞ ⎛ Z = E ⎜ U j (W j ) ⎟ dengan kendala W j = ∑ Sij . i ⎝ ⎠ ~ ∞ (L.32) Sehingga maksimumkan Z = E (U j (W j )) + L j (W j − ∑ Sij ) . i =0
Substitusi Persamaan (L.30) dan Persamaan (L.331) ke Persamaan (L.32) sehingga ~ (n) ∞ U j ( E j (W j )) ∞ Z= ∑ µ jn + L j (W j − ∑ Sij ) . n ! n =0 j =0
(L.33)
Untuk penyederhanaan dimisalkan saja j=1 dan turunkan Persamaan (L.33) terhadap Si , maka diperoleh ∞ ⎛ ∂ U (n) ∂Z ∂ U (n) ⎞ = ∑ ⎜⎜ µn + µn (L.34) ⎟−L = 0 . ∂Si n = 0 ⎝ ∂Si n ! ∂Si n ! ⎟⎠ Dengan j = 1 , kekayaan awal tahunnya menjadi W = ∑ Si
(L.35)
~ dan kekayaan akhir tahunnya W = ∑ Si Ri .
(L.36)
i
i
~ Dimisalkan W = E (W ) . Substitusi Persamaan (L.36) ke Persamaan (L.37) diperoleh ~ W = E (W ) = E (∑ Si R j ) =E ( Ri )∑ Si . i
i
(L.37) (L.38)
16
Turunkan Persamaan (L.38) terhadap Si ∂W = E ( Ri ) . ∂Si Kemudian, lihat Persamaan (L.34) dan Persamaan (L.39) maka diperoleh ∂ ⎛ U ( n ) ⎞ U ( n +1) ∂W U ( n +1) E ( Ri ) . = ⎜ ⎟= n ! ∂Si n! ∂Si ⎜⎝ n ! ⎟⎠ Lihat Persamaan (L.31) dan Persamaan (L.34) diperoleh ~ ⎞n ⎞ ∂ ⎛ ⎛~ ∂ ⎜ E ⎜ W − E (W ) ⎟ ⎟ ( µn ) = ∂Si ⎜ ⎝ ∂Si ⎠ ⎟⎠ ⎝ n ∂ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ E ⎜ ∑ Si Ri − E ⎛⎜ ∑ Si Ri ⎞⎟ ⎟ ⎟ = ∂Si ⎜ ⎝ i ⎝i ⎠ ⎠ ⎠⎟ ⎝ n ∂ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = ⎜ E ⎜ ∑ Si Ri − ∑ Si E ( Ri ) ⎟ ⎟ ∂Si ⎜⎝ ⎝ i i ⎠ ⎟⎠ n −1 ⎧⎪⎛ ~ ∂ ⎛ ⎞ ⎞ ⎫⎪ = nE ⎨⎜ W − W ⎟ ⎜ ∑ Si Ri − ∑ Si E ( Ri ) ⎟ ⎬ i ⎠ ⎭⎪ ⎠ ∂Si ⎝ i ⎩⎪⎝ n −1 ⎧⎪⎛ ~ ⎫⎪ ⎞ nE ⎨⎜ W − W ⎟ ( Ri − E ( Ri ) ) ⎬ . ⎠ ⎩⎪⎝ ⎭⎪ Subtitusikan Persamaan (L.40) dan Persamaan (L.41) ke Persamaan (L.42) diperoleh ∞ ⎛ ∂ U (n) U (n) ⎞ ∂Z ∂ µn + µn = ∑ ⎜⎜ ⎟=L n ! ⎟⎠ ∂Si n =0 ⎝ ∂Si n ! ∂Si n −1 ∞ ⎛ U ( n +1) ∂Z ⎛~ ⎞ ⎪⎫ U ( n ) ⎟⎞ ⎪⎧ = ∑⎜ =L. E ( Ri ) µn + nE ⎨( Ri − E ( Ri ) ) ⎜ W − W ⎟ ⎬ n! ⎟ ∂Si n =0 ⎜ n ! ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠
=
(L.39)
(L.40)
(L.41)
(L.42)
Pada Persamaan (L.42), ekspansi deret Taylor untuk U (1) di sekitar W sebagai berikut U ( n +1) µn . n! n =0 Substitusi Persamaan (L.43) ke Persamaan (L.42) diperoleh n −1 ⎧⎪ ∞ U (n) ⎛~ ⎞ ⎫⎪ E ( Ri )U (1) + ∑ nE ⎨( Ri − E ( Ri ) ) ⎜ W − W ⎟ ⎬ = L n=2 n! ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ n −1 ⎧⎪ ∞ U ( n) ⎛~ ⎞ ⎫⎪ E ( Ri )U (1) + ∑ nE ⎨( Ri − E ( Ri ) ) ⎜ W − W ⎟ ⎬ = L . n = 2 n( n − 1)! ⎝ ⎠ ⎭⎪ ⎩⎪ Lihat pada Persamaan (L.31) dengan indeks i=1 maka ~ ⎞n ⎛~ µn = E ⎜⎜ W − E (W ) ⎟⎟ . ∞
∑
⎝
⎠
Jika n = 0 0 ⎛~ ⎛ ~ ⎞⎞ µ0 = E ⎜ W − E ⎜ W ⎟ ⎟ = E (1) = 1 ⎝ ⎠⎠ ⎝ dan jika n = 1 1 ~ ⎞ ~ ~ ⎞ ~ ~ ⎛~ ⎛ ~ ⎞⎞ ⎛~ ⎛ µ1 = E ⎜ W − E ⎜ W ⎟ ⎟ = E ⎜ W − E ⎛⎜ W ⎞⎟ ⎟ = E ⎛⎜ W ⎞⎟ − E ⎜ E ⎛⎜ W ⎞⎟ ⎟ = E ⎛⎜ W ⎞⎟ − E ⎛⎜ W ⎞⎟ = 0 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝
(L.43)
(L.44)
(L.45)
(L.46)
(L.47)
17
Selanjutnya, turunkan Persamaan (L.46) dan Persamaan (L.47) terhadap Si ∂ ∂ (L.48) ( µ0 ) = ( µ1 ) = 0 . ∂Si ∂Si Persamaan (L.48) mengakibatkan n = 2,3, 4,..., ∞ . Kemudian kurangkan sekuritas ke-i dengan sekuritas ke-k pada Persamaan (L.44) dengan L=0, sehingga diperoleh n −1 ⎧⎪ ∞ U (n) ⎛~ ⎞ ⎫⎪ E ( Ri − Rk ) U (1) + ∑ E ⎨( Ri − Rk − E ( Ri − Rk ) ) ⎜ W − W ⎟ ⎬ = 0 n = 2 ( n − 1)! ⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎩ n − 1 ⎧⎪ ⎛~ ⎞ ⎫⎪ U ( n ) E ⎨( Ri − Rk − E ( Ri − Rk ) ) ⎜ W − W ⎟ ⎬ ∞ ⎝ ⎠ ⎭⎪ ⎩⎪ E ( Ri − Rk ) = − ∑ (1) n=2 U (n − 1)! n −1 ⎧⎪ ⎛~ ⎞ ⎫⎪ U ( n ) E ⎨ Ri − Rk − ( E ( Ri ) − E ( Rk ) ) ⎜ W − W ⎟ ⎬ ∞ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ . E ( Ri ) = E ( Rk ) − ∑ (1) n=2 U (n − 1)! Pada Persamaan (L.49), misalkan −U ( n ) θ n = (1) U ( n − 1) !
(
)
(L.49)
(L.50)
Substitusi Persamaan (L.50) ke Persamaan (L.49) n −1 ⎧⎪ ∞ ⎛~ ⎞ ⎫⎪ (L.51) E ( Ri ) = E ( Rk ) + ∑ θ n E ⎨ Ri − Rk − ( E ( Ri ) − E ( Rk ) ) ⎜ W − W ⎟ ⎬ . n=2 ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ Anggap ada sekuritas yang bebas risiko. Misalkan R f = 1 + r f . Kemudian subsitusi R f ke Rk
(
)
pada Persamaan (L.51) diperoleh ⎧⎪ ∞ E ( Ri ) = R f + ∑ θ n E ⎨ Ri − R f − E ( Ri ) − R f n=2 ⎩⎪
(
(
) ) ⎛⎜W − W ⎞⎟ ~
⎝
⎠
n −1 ⎫
⎪ ⎬ ⎭⎪
n −1 ⎧⎪ ∞ ⎛~ ⎞ ⎫⎪ = R f + ∑ θ n E ⎨ Ri − R f − E ( Ri ) + R f ⎜ W − W ⎟ ⎬ n=2 ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ n − 1 ⎧⎪ ∞ ⎛~ ⎞ ⎫⎪ = R f + ∑ θ n E ⎨( Ri − E ( Ri ) ) ⎜ W − W ⎟ ⎬ . (L.52) n=2 ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ Misalkan S f adalah banyaknya investasi yang telah ditanamkan pada sekuritas bebas risiko.
(
)
Banyaknya investasi yang telah ditanamkan pada portofolio dari sekuritas-sekuritas berisiko adalah (L.53) P =W −Sf R p = 1 + rp .
(L.54)
rp adalah nilai imbal hasil pada portofolio dari sekuritas berisiko.
Substitusi Persamaan (L.35) dan (L.53) ke Persamaan (L.36) menghasilkan W% = ∑ Si Ri i
W% = W ∑ R W% = ( P + S f ) ∑ R ~ W = P Rp + S f R f .
(L.55)
18
Nilai harapan dari Persamaan (L.55) ⎛~⎞ E ⎜W ⎟ = W = P E Rp + S f R f . ⎝ ⎠ Substitusi Persamaan (L.55) dan Persamaan (L.56) ke Persamaan (L.52), maka diperoleh n −1 ⎧⎪ ∞ ⎛~ ⎞ ⎫⎪ E ( Ri ) = R f + ∑ θ n E ⎨( Ri − E ( Ri ) ) ⎜ W − W ⎟ ⎬ n=2 ⎝ ⎠ ⎭⎪ ⎩⎪
( )
∞
{ {(
(
( )
= R f + ∑ θ n E ( Ri − E ( Ri ) ) PR p + S f R f − PE R p − S f R f n=2
∞
(
( ))
= R f + ∑ θ n E Ri − E ( Ri ) ) PR p − PE R p n=2
{
∞
(
n −1
( ))
= R f + ∑ θ n P n −1 E ( Ri − E ( Ri ) ) R p − E R p n=2
}
n −1
}
)
n −1
}
.
(L.57)
Misalkan RP = RM Kemudian substitusi Persamaan (L.58) ke Persamaan (L.57) sehingga diperoleh
{
∞
E ( Ri ) = R f + ∑ θ n P n −1 E ( Ri − E ( Ri ) ) ( RM − E ( RM ) ) n=2
n −1
}.
E ( Ri ) = R f + ∑ θ n P n=2
n −1
E ( RM − E ( RM ) )
n
{
E ( Ri − E ( Ri ) ) ( RM − E ( RM ) ) E ( RM − E ( RM ) )
(L.58)
(L.59)
Kemudian, Persamaan (L.59) dibuat sedemikian sehingga ∞
(L.56)
n
n −1
}.
(L.60)
Misalkan, pada Persamaan (L.60) b( n −1) = θ n P n −1 E ( RM − E ( RM ) )
dan vni =
n
{
E ( Ri − E ( Ri ) ) ( RM − E ( RM ) ) E ( RM − E ( RM ) )
n
(L.61) n −1
}.
(L.62)
Untuk lebih memudahkan, substitusi Persamaan (L.61) dan (L.62) ke Persamaan (L.60) menjadi model CAPM n-momen sebagai berikut ∞
E ( Ri ) = R f + ∑ b( n −1) vni
(L.63)
Berdasarkan Persamaan (L.63) maka untuk CAPM 3-momen dengan n=2,3 diperoleh E ( Ri ) = R f + b1 v2i + b2 v3i .
(L.64)
n=2
Misalkan v2i = β i . v3i = γ i . Substitusi Persamaan (L.65) dan (L.66) ke Persamaan (L.64) sehingga E ( Ri ) = R f + b1 βi + b2 γ i .
(L.65) (L.66) (L.67)
Untuk koefisien b1 dan b2 diperoleh sebagai berikut Misalkan RZ = 1 + rZ , rZ adalah nilai imbal hasil pada keseluruhan portofolio yang dimiliki oleh suatu individu. Misalkan σ RZ = standar deviasi dari nilai imbal hasil pada keseluruhan portofolio yang dimiliki oleh suatu individu, dan τ RZ = kemiringan dari nilai imbal hasil pada keseluruhan portofolio yang dimiliki oleh suatu individu. Misalkan β Z = nilai beta dari keseluruhan portofolio yang dimiliki oleh suatu individu, dan
19
γ Z = nilai gamma dari keseluruhan portofolio yang dimiliki oleh suatu individu. Berdasarkan pada rumus CAPM n-momen, maka ∞ Si β i σ R M σ RZ = ∑ . S i Berdasarkan sifat-sifat koragam dan coskewness yaitu ∑ Si β i βZ = S maka ∞ Si β i σ R M σ RZ = ∑ S i σ RZ = β Z σ RM
βZ =
σ RM
(L.68)
(L.69)
σ RZ
dan ∞
τ RZ = ∑
Si γ i τ RM
. S Berdasarkan sifat-sifat koragam dan coskewness yaitu Sγ γZ = ∑ i i S maka τ RZ = γ Z τ RM
(L.70)
i
γZ =
τ RM τ RZ
.
(L.71)
Kemudian diketahui bahwa σ Z = W σ RZ .
(L.72)
τ Z = W τ RZ .
(L.73)
Substitusi Persamaan (L.36) dan (L.67) ke Persamaan (L.37) diperoleh ⎛~⎞ W = E ⎜W ⎟ ⎝ ⎠ ∞ W = E ⎛⎜ ∑ S Z RZ ⎞⎟ ⎝Z ⎠
∞
= E ( RZ ) ∑ S Z Z
= E ( RZ ) W
= ( R f + b1 β Z + b2 γ Z ) W
= W R f + W b1 β Z + W b2 γ Z .
(L.74)
Kemudian, substitusi Persamaan (L.69), (L.71), (L.72), (L.73) ke Persamaan (L.74) maka diperoleh W = W R f + W b1
= W R f + b1
σ RZ
σ RM
+ W b2
τ RZ
τ RM
σZ τ + b2 Z . σ RM τ RM
Karena portofolio pasar tak berubah, σ RM dan τ RM bernilai tetap. Kemudian turunkan Persamaan (L.75) terhadap σ Z sehingga diperoleh
(L.75)
20
b ∂W = 1 ∂σ Z σ RM b1 =
∂W σ RM . ∂σ Z
(
)
(L.76)
Turunkan Persamaan (L.75) terhadap τ Z sehingga diperoleh b ∂W = 2 ∂τ Z τ RM b2 =
∂W τ RM . ∂τ Z
( )
(L.77) terbukti
21
Lampiran 3 Bukti Persamaan (21) r P (1 − tu ) ri ( S + kP ) (1 − ti ) . re = u + S S Berdasarkan Persamaan (7) maka nilai harapannya maka E ( re ) = r f + b1β e + b2γ e
(M.78) (M.79)
Kemudian, beta (gamma) dari ekuitas dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari suatu beta (gamma) underwriting dan suatu beta (gamma) investasi dinyatakan sebagai berikut
βe =
P βu (1 − tu ) βi ( S + kP ) (1 − ti ) + . S S
(M.80)
γe =
Pγ u (1 − tu ) γ i ( S + kP ) (1 − ti ) . + S S
(M.81)
Substitusi Persamaan (M.78) ke Persamaan (M.79) maka ⎛ r P (1 − tu ) ri ( S + kP ) (1 − ti ) ⎞ + E ⎜⎜ u ⎟⎟ = r f + b1β e + b2γ e S S ⎝ ⎠
E ( ru ) P (1 − tu ) S
+
E ( ri ) ( S + kP ) (1 − ti ) S
= r f + b1β e + b2γ e .
(M.82)
Subsitusi Persamaan (7), (M.80), (M.81) ke Persamaan (M.82) maka E ( ru ) P (1 − tu ) S
( rf + b1βi + b2γ i ) ( S + kP ) (1 − ti )
+
S
⎛ Pγ u (1 − tu ) γ i ( S + kP ) (1 − ti ) ⎞ ⎛ P β (1 − tu ) βi ( S + kP ) (1 − ti ) ⎞ ⎟ = r f + b1 ⎜⎜ u + + ⎟⎟ + b2 ⎜⎜ ⎟ S S S S ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(
E ( ru ) P (1 − tu ) + r f + b1βi + b2γ i
) ( S + kP ) (1 − ti )
= Sr f + b1 ( P βu (1 − tu ) + ( S + kP ) βi (1 − ti ) ) + b2 ( Pγ u (1 − tu ) + ( S + kP ) γ i (1 − ti ) )
(
E ( ru ) P (1 − tu ) = − r f + b1βi + b2γ i
) ( S + kP ) (1 − ti ) + Srf
+b1 ( P βu (1 − tu ) + ( S + kP ) βi (1 − ti ) ) + b2 ( Pγ u (1 − tu ) + ( S + kP ) γ i (1 − ti ) )
(
E ( ru ) P (1 − tu ) = − r f + b1βi + b2γ i
) ( S + kP ) (1 − ti ) + Srf + b1Pβu (1 − tu )
+b1βi ( S + kP ) (1 − ti ) + b2 Pγ u (1 − tu ) + b2γ i ( S + kP ) (1 − ti )
(
E ( ru ) P (1 − tu ) = − r f + b1βi + b2γ i
) ( S + kP ) (1 − ti ) + Srf
+ P (1 − tu ) [b1βu + b2γ u ] + ( S + kP ) (1 − ti ) [b1βi + b2γ i ] E ( ru ) P (1 − tu ) = Sr f + P (1 − tu ) [b1βu + b2γ u ]
+ ( S + kP ) (1 − ti ) ⎡⎣b1βi + b2γ i − rf − b1β i − b2γ i ⎤⎦
E ( ru ) P (1 − tu ) = Sr f + P (1 − tu ) [b1β u + b2γ u ] − r f ( S + kP ) (1 − ti )
E ( ru )(1 − tu ) =
E ( ru )(1 − tu ) = E ( ru )(1 − tu ) =
Sr f P rf
P rf P
+ (1 − tu ) [b1βu + b2γ u ] −
r f ( S + kP ) (1 − ti ) P
( S − ( S + kP ) (1 − ti ) ) + (1 − tu ) b1βu + b2γ u (1 − tu ) ( S − ( S − Sti + k P − k P ti ) ) + b1 βu (1 − tu ) + b2 γ u (1 − tu )
22
E ( ru )(1 − tu ) = E ( ru )(1 − tu ) =
rf P rf P
( S ti − k P + k P ti ) + b1 βu (1 − tu ) + b2 γ u (1 − tu )
( S ti − k P (1 − ti ) ) + b1 βu (1 − tu ) + b2 γ u (1 − tu )
E ( ru )(1 − tu ) = − k r f (1 − ti ) +
ti r f S P
+ b1 βu (1 − tu ) + b2 γ u (1 − tu ) .
(M.83) terbukti
23
Lampiran 4 Bukti Persamaan (26) Substitusi Persamaan (15) ke Persamaan (22) sehingga diperoleh ∞ ⎛ r P (1 − tu ) ri ( S + k P ) (1 − ti ) ⎞ + E ⎜⎜ u ⎟⎟ = r f + ∑ b( n −1) vne S S n=2 ⎝ ⎠ ∞ E ( ru ) P (1 − tu ) E ( ri ) ( S + k P ) (1 − ti ) + = r f + ∑ b( n −1) vne . S S n=2 Kemudian, substitusi Persamaan (12) dan (23) ke Persamaan (N.84) maka diperoleh ∞ ⎛ ⎞ r f + ∑ b( n −1) vni ⎟ ( S + k P ) (1 − ti ) ⎜ E ( ru ) P (1 − tu ) ⎝ n=2 ⎠ + S S ∞ ⎛ P v (1 − tu ) ( S + k P ) vni (1 − ti ) ⎞ = r f + ∑ b( n −1) ⎜⎜ nu + ⎟⎟ S S n=2 ⎝ ⎠ ∞ ⎛ ⎞ E ( ru ) P (1 − tu ) + ⎜ r f + ∑ b( n −1) vni ⎟ ( S + k P ) (1 − ti ) n=2 ⎝ ⎠
(N.84)
∞
= S r f + ∑ b( n −1) ( P vnu (1 − tu ) + ( S + k P ) vni (1 − ti ) ) n=2
∞ ⎛ ⎞ E ( ru ) P (1 − tu ) = − ⎜ r f + ∑ b( n −1) vni ⎟ ( S + k P ) (1 − ti ) + S r f n=2 ⎝ ⎠ ∞
+ ∑ b( n −1) ( P vnu (1 − tu ) + ( S + k P ) vni (1 − ti ) ) n=2
∞ ⎛ ⎞ E ( ru ) P (1 − tu ) = − ⎜ r f + ∑ b( n −1) vni ⎟ ( S + k P ) (1 − ti ) + S r f n=2 ⎝ ⎠ ∞
∞
n=2
n=2
+ ∑ b( n −1) P vnu (1 − tu ) + ∑ b( n −1) ( S + k P ) vni (1 − ti ) ∞ ∞ ⎛ ∞ ⎞ E ( ru ) P (1 − tu ) = ⎜ ∑ b( n −1) vni − r f − ∑ b( n −1) vni ⎟ ( S + k P ) (1 − ti ) + S rf + ∑ b( n −1) P vnu (1 − tu ) n=2 n=2 ⎝ n=2 ⎠
∞
E ( ru ) P (1 − tu ) = − r f ( S + k P ) (1 − ti ) + S r f + P ∑ b( n −1) vnu (1 − tu ) n=2
E ( ru )(1 − tu ) = − E ( ru )(1 − tu ) = E ( ru )(1 − tu ) = E ( ru )(1 − tu ) = E ( ru )(1 − tu ) =
rf
rf P rf
P
Sr f
( S + k P ) (1 − ti ) +
P
∞
+ ∑ b( n −1) vnu (1 − tu ) n=2
∞
( S − ( S + k P ) (1 − ti ) ) + n∑=2 b( n−1) vnu (1 − tu ) ∞
( S − ( S − S ti + k P − k P ti ) ) + n∑=2 b(n −1) vnu (1 − tu ) P
rf P rf P
( S ti − k P + k P ti ) +
∞
∑ b( n −1) vnu (1 − tu )
n=2 ∞
( S ti − k P (1 − ti ) ) + n∑=2 b(n −1) vnu (1 − tu )
E ( ru )(1 − tu ) = − kr f (1 − ti ) +
ti r f S P
∞
+ ∑ b( n −1) vnu (1 − tu ) . n=2
(N.85) terbukti
