LAMPIRAN
Lampiran 1. Pembuktian Lema 1 Lema 1 (Jumlah Peubah Acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut λ1 dan λ2. Maka X + Y memiliki sebaran Poisson dengan parameter λ1 + λ2. (Taylor and Karlin 1984) Bukti : Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), dapat kita nyatakan
P X Y n P X k ,Y n k k 0
P X k P Y n k
(X dan Y saling bebas)
k 0 k e 1 2n k e 2 1 k ! (n k )! k 0 e 1 e 2 n! 1k 2n k n ! k 0 k !( n k )!
(1) Ingat, dengan perluasan binomial kita dapat menyatakan, untuk setiap integer positif n, n n 1 2 1k 2nk k 0 k n! 1k 2n k k 0 k !(n k )! (2) Sehingga dengan mensubstitusikan (2) ke (1) kita peroleh ruas kanan (1) adalah
e ( 1 2 ) n 1 2 . n! (3) Bentuk (3) di atas adalah fungsi peluang dari sebaran Poisson dengan parameter (λ1 + λ2). Maka Lema 1 terbukti.
Lampiran 2. Pembuktian Lema 3 Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan rataan µ dan ragam σ2, maka untuk setiap k > 0, P X k
2 . k2 (1) (Ross 2007)
Bukti : Untuk membuktikan pertidaksamaan Chebyshev diperlukan Pertidaksamaan Markov (Lema 4) berikut : Lema 4 (Pertidaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak dengan E(X) terbatas, maka untuk setiap a > 0, P X a
E X a
. (2)
Bukti : Misalkan A X a maka | | ≥ , 1, jika X a dengan adalah fungsi indicator dari A, yaitu : I A . 0, jika X a Jika kita tentukan nilai harapannya, maka akan diperoleh E X E aI A aEI A aP X a .
Sehingga diperoleh P X a
E X a
.
Jadi Lema 4 terbukti. Selanjutnya dengan Pertidaksaman Markov (Lema 4) maka kita dapat membuktikan Lema 3.
X k E X 2
P X k P
2
k2
2
Jadi Lema 3 terbukti.
. k2
2
Lampiran 3. Program Penentuan Gambar (s) Random<-function(n,tau) { maxlambda<-5.5 LAB<-(maxlambda)*n N<-rpois(1,LAB) points<-runif(N,0,n) lambda<-2*exp(cos((2*pi*points)/tau)) p<-lambda/maxlambda p[p<0]<-0.00001 p[p>=1]<-0.99999 hold<-rbinom(N,1,p)==1 selected<-points[hold] return(selected) } # Membangkitkan proses Poisson tak homogen dengan n = 1000 dan tau = 5
Lampiran 3. (Lanjutan) Duga<-function(Data,n,titik,band,tau) { K<-floor((n-titik)/tau) vdt<-1:K for(k in 1:K) { pusat<-titik+(k-1)*tau bawah<-pusat-band atas<-pusat+band sample<-Data[Data>=bawah&Data<=atas] vdt[k]<-length(sample)/(2*band) } Dugaan<-(sum(vdt)*tau)/n return(Dugaan) } Penduga<-function(Data,n,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.1) yduga<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga) for(k in 1:K) { titik1<-x[k] yduga[k]<-Duga(Data,n,titik1,band,tau) } return(yduga) } Gambar<-function(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.1) ytrue<-2*exp(cos((2*pi*x)/tau)) plot(x,ytrue,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="l",col=4) par(new=T) plot(x,yduga,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="o",col=6) } # Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya vs fungsi dugaan dengan a,b adalah batas bawah dan batas atas dan bandwidth 0.8. # Untuk me-run program: Data<-Random(n,tau) yduga<-Penduga(Data,n,a,b,band,tau) Gambar1<-Gambar(a,b,tau)
Lampiran 4. Program Penentuan Gambar ’(s) Penduga_tp<-function(Data,n,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.1) yduga_tp<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga_tp) for(k in 1:K) { titik2<-x[k]+band titik3<-x[k]-band duga1<-Duga(Data,n,titik2,band,tau) duga2<-Duga(Data,n,titik3,band,tau) yduga_tp[k]<-((duga1-duga2)/(2*band)) } return(yduga_tp) } Grafik<-function(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.1) ytrue_tp<-(-4*exp(cos((2*pi*x)/tau))*pi*sin((2*pi*x)/tau))/tau plot(x,ytrue_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="l",col=4) par(new=T) plot(x,yduga_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="o",col=6) }
# Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya vs fungsi dugaan dengan a,b adalah batas bawah dan batas atas dan bandwidth 0.3053, 0.4220, dan 0.2612. # Untuk me-run program: Data<-Random(n,tau) yduga_tp<-Penduga_tp(Data,n,a,b,band,tau) Gambar2<-Grafik(a,b,tau)
Lampiran 5. Program Penentuan Gambar ’’(s) Penduga_tk<-function(Data,n,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.1) yduga_tk<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga_tk) for(k in 1:K) { titik4<-x[k]+(2*band) titik5<-x[k]-(2*band) titik6<-x[k] duga3<-Duga(Data,n,titik4,band,tau) duga4<-Duga(Data,n,titik5,band,tau) duga5<-Duga(Data,n,titik6,band,tau) yduga_tk[k]<-((duga3+duga4-(2*duga5))/(4*(band)^2)) } return(yduga_tk) } Kurva<-function(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.1) ytrue_tk<-((8*pi^2* exp(cos((2*pi*x)/tau))* sin((2*pi*x)/tau)^2)/(tau^2))-( 8*pi^2* exp(cos((2*pi*x)/tau))* cos((2*pi*x)/tau))/(tau^2) plot(x,ytrue_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="l",col=4) par(new=T) plot(x,yduga_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="o",col=6) }
# Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya vs fungsi dugaan dengan a,b adalah batas bawah dan batas atas serta bandwidth 0.3065, 0.5589, dan 0.2747. # Untuk me-run program: Data<-Random(n,tau) yduga_tk<-Penduga_tk(Data,n,a,b,band,tau) Gambar3<-Kurva(a,b,tau)
Lampiran 6. Program Penentuan Nilai Harapan dan Ragam Turunan Pertama dan Kedua Penduga<-function(n,titik,band,tau,M) { Dugaan<-1:M for(m in 1:M) { Data<-Random(n,tau) Dugaan[m]<-Duga(Data,n,titik,band,tau) } return(Dugaan) } Penduga1<-function(n,titik,band,tau,M) { titik1<-titik+band titik2<-titik-band Dugaan_Turunan1<-1:M for(m in 1:M) { Data<-Rpnh(n,tau) Dugaan1<-Duga(Data,n,titik1,band,tau) Dugaan2<-Duga(Data,n,titik2,band,tau) Dugaan_Turunan1[m]<-((Dugaan1-Dugaan2)/(2*band)) } return(Dugaan_Turunan1) } Penduga2<-function(n,titik,band,tau,M) { titik3<-titik+(2*band) titik4<-titik-(2*band) Dugaan_Turunan2<-1:M for(m in 1:M) { Data<-Rpnh(n,tau) Dugaan<-Duga(Data,n,titik,band,tau) Dugaan3<-Duga(Data,n,titik3,band,tau) Dugaan4<-Duga(Data,n,titik4,band,tau) Dugaan_Turunan2[m]<-((Dugaan3+Dugaan4-(2*Dugaan))/(4*(band)^2)) } return(Dugaan_Turunan2) }
# Untuk mencari nilai harapan dan ragam turunan pertama dengan nilai s = 0.8, s = 2 dan s = 4.1 dengan nilai bandwidth-nya masing-masing. Dugaan_Turunan1<-Penduga1(n,titik,band,tau,M) Nilai_Harapan1<-mean(Dugaan_Turunan1) Ragam1<-(sd(Dugaan_Turunan1))^2 # Untuk mencari nilai harapan dan ragam turunan kedua dengan nilai s = 3.9, s = 4.1 dan s = 4.9 dengan nilai bandwidth-nya masing-masing. Dugaan_Turunan2<-Penduga2(n,titik,band,tau,M) Nilai_Harapan2<-mean(Dugaan_Turunan2) Ragam2<-(sd(Dugaan_Turunan2))^2
