LAMPIRAN
49
50 Lampiran 1 Validitas dan Reliabilitas Instrumen Posttest
Pengujian 1
Reliability Statistics Cronbach's Alpha N of Items ,778 31
Item-Total Statistics
VAR00001 VAR00002 VAR00003 VAR00004 VAR00005 VAR00006 VAR00007 VAR00008 VAR00009 VAR00010 VAR00011 VAR00012 VAR00013 VAR00014 VAR00015 VAR00016 VAR00017 VAR00018 VAR00019 VAR00020 VAR00021 VAR00022 VAR00023 VAR00024 VAR00025 VAR00026 VAR00027 VAR00028 VAR00029 VAR00030 VAR00031
Ket
Scale Mean if Item Deleted 20,8000 20,6769 20,7077 20,8462 20,8154 20,7846 20,7538 20,8308 20,7077 20,7538 20,9538 20,8000 20,7846 20,9231 20,7692 20,7538 20,8000 20,6769 20,8615 20,7077 20,8154 20,9077 20,8000 20,8308 20,9231 20,7692 20,8000 20,8615 20,7846 20,7385 20,8308
Scale Variance if Corrected ItemItem Deleted Total Correlation 24,412 ,394 25,753 ,135 25,148 ,270 25,132 ,223 25,372 ,179 25,672 ,120 24,970 ,288 25,487 ,151 24,898 ,332 24,845 ,317 24,170 ,409 25,006 ,262 24,484 ,385 24,510 ,341 24,774 ,326 24,626 ,368 25,537 ,146 25,316 ,247 24,715 ,308 24,960 ,316 24,903 ,280 23,960 ,460 24,225 ,437 24,268 ,414 24,135 ,420 24,774 ,326 24,600 ,352 25,559 ,131 26,234 -,001 25,540 ,162 25,362 ,177
item gugur
Cronbach's Alpha if Item Deleted ,766 ,778 ,772 ,775 ,777 ,779 ,771 ,778 ,770 ,770 ,765 ,773 ,767 ,769 ,770 ,768 ,778 ,773 ,770 ,770 ,772 ,763 ,764 ,765 ,765 ,770 ,768 ,779 ,785 ,777 ,777
51
a. Pengujian kedua Reliability Statistics Cronbach's Alpha N of Items ,793 22
Item-Total Statistics
VAR00001 VAR00003 VAR00004 VAR00007 VAR00009 VAR00010 VAR00011 VAR00012 VAR00013 VAR00014 VAR00015 VAR00016 VAR00018 VAR00019 VAR00020 VAR00021 VAR00022 VAR00023 VAR00024 VAR00025 VAR00026 VAR00027
Scale Mean if Item Deleted 14,4923 14,4000 14,5385 14,4462 14,4000 14,4462 14,6462 14,4923 14,4769 14,6154 14,4615 14,4462 14,3692 14,5538 14,4000 14,5077 14,6000 14,4923 14,5231 14,6154 14,4615 14,4923
Ket
Scale Variance if Item Deleted 17,535 17,994 18,377 17,782 17,713 17,657 17,232 18,004 17,441 17,709 17,627 17,501 18,080 17,782 17,775 17,598 17,088 17,348 17,472 17,115 17,940 17,566
Corrected ItemTotal Correlation ,368 ,290 ,139 ,323 ,373 ,358 ,407 ,244 ,400 ,292 ,357 ,401 ,286 ,284 ,354 ,345 ,451 ,418 ,372 ,441 ,272 ,359
item gugur
b. Pengujian Ketiga Reliability Statistics Cronbach's Alpha N of Items ,797 21
Cronbach's Alpha if Item Deleted ,784 ,788 ,797 ,787 ,784 ,785 ,782 ,791 ,782 ,789 ,785 ,783 ,789 ,789 ,785 ,786 ,779 ,781 ,784 ,780 ,790 ,785
52
Item-Total Statistics
VAR00001 VAR00003 VAR00007 VAR00009 VAR00010 VAR00011 VAR00012 VAR00013 VAR00014 VAR00015 VAR00016 VAR00018 VAR00019 VAR00020 VAR00021 VAR00022 VAR00023 VAR00024 VAR00025 VAR00026 VAR00027
Scale Mean if Item Deleted 13,8462 13,7538 13,8000 13,7538 13,8000 14,0000 13,8462 13,8308 13,9692 13,8154 13,8000 13,7231 13,9077 13,7538 13,8615 13,9538 13,8462 13,8769 13,9692 13,8154 13,8462
Scale Variance if Item Deleted 16,757 17,251 17,006 16,907 16,850 16,563 17,320 16,674 17,124 16,809 16,694 17,297 16,991 16,938 16,840 16,170 16,538 16,641 16,374 17,122 16,726
Corrected Item-Total Correlation ,369 ,277 ,322 ,381 ,366 ,382 ,217 ,399 ,243 ,369 ,411 ,285 ,287 ,372 ,340 ,491 ,429 ,388 ,434 ,282 ,377
Cronbach's Alpha if Item Deleted ,788 ,793 ,791 ,788 ,789 ,788 ,797 ,787 ,796 ,788 ,786 ,793 ,793 ,789 ,790 ,781 ,785 ,787 ,784 ,793 ,788
Lampiran 2. Uji Normalitas a. Uji normalitas UAN One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test XA N a,b Normal Parameters Most Extreme Differences
Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a. Test distribution is Normal. b. Calculated from data.
Mean Std. Deviation Absolute Positive Negative
35 5,7429 1,33599 ,109 ,109 -,049 ,647 ,796
XC 30 6,3517 1,58078 ,088 ,088 -,085 ,482 ,974
53 b. Uji Normalitas Posttest One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test XA N a,b Normal Parameters
Mean Std. Deviation Absolute Positive Negative
Most Extreme Differences
Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed)
XC
35 6,7709 1,93814 ,165 ,165 -,122 ,977 ,296
30 7,0913 2,17911 ,148 ,127 -,148 ,809 ,529
Lampiran 3. Uji T posttest Independent Samples Test Nilai
Levene's Test for Equality of Variances t-test for Equality of Means
Equal Equal variances variances not assumed assumed 1,090
F Sig.
,301
T Df Sig. (2-tailed) Mean Difference Std. Error Difference 95% Confidence Interval of the Difference
Lower Upper
-,628
-,622
63 ,533 -,32048 ,51070 -1,34102 ,70007
58,658 ,536 -,32048 ,51537 -1,35186 ,71091
Lampiran 4 . Soal Posttest
Uji Kompetensi Bentuk Pangkat Dan Akar Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada lembar jawaban yang tersedia! 1. Bentuk panjang dari 4w3 adalah a. (4w) × (4w) × (4w) d. (-4w) × (−4w) × (−4w) b. 4 × 𝑤 × 𝑤 × 𝑤 e. 4 × 𝑤 × 𝑤 c. 4 × 4× 𝑤 × 𝑤 × 𝑤
54 2. Sifat perkalian bilangan berpangkat adalah a.
𝑎𝑚 = 𝑎𝑚 −𝑛 , ( 𝑎 𝑎𝑛 mxn m n
≠0)
1
e. . a-n = 𝑎 𝑛 , (a ≠ 0)
b. (𝑎 ) = = a c. a0 = 1 , (a ≠ 0) 3. (43 )2 sama dengan a. 212 b. 26
d. am x an = a m+ n
d. 2−12 e. 2−3
1
c. 23 4. Di antara bilangan – bilangan berikut ini manakah yang merupakan bentuk akar adalah.... a.
𝑥2
d.
16 25
b. 2 e. 9 c. 144 5. Dari pilihan jawaban berikut manakah pernyataan yang benar? a. p 𝑎 + q 𝑎 =pq 2𝑎 ;𝑎 ≥ 0 b. p 𝑎 - q 𝑎 =(p-q) 2𝑎 ;𝑎 ≥ 0 c. p 𝑎 × q 𝑎 =pq 𝑎 ;𝑎 ≥ 0 d. p 𝑎 × q 𝑏 = (p× q) 𝑎𝑏 ;𝑎 ≥ 0 dan 𝑏 ≥ 0 e. p 𝑎 - q 𝑎 =(p-q) 𝑎𝑏 ;𝑎 ≥ 0 dan 𝑏 ≥ 0 6. Dari pilihan jawaban berikut manakah pernyataan yang benar? 1
𝑎
𝑎n
a. 𝑎−𝑛 = 𝑎 −𝑛 d. (𝑏 )𝑛 = b n ,(b≠0) b. 𝑎0 = 0 e. p2 + q2 = (p + q)2 3 c. 4𝑤 = 4𝑤 × 4𝑤 × 4𝑤 7. Dari pilihan bentuk akar berikut manakah yang dalam bentuk paling sederhana? a. b.
𝑥5
d. 𝑥 2
1 x x 2
e.
5 2
c. 8. Jika p= 4 dan q = 3, nilai terbesar di antara perpangkatan berikut adalah ….. 1
a. pq
d. (𝑞 )−𝑞
b. qp
e. (𝑝 )−𝑝
1
55 1
c. (𝑞 )−𝑝 Untuk no 9-10 sederhanakanlah menjadi bentuk yang paling sederhana dengan menggunakan teorema pangkat bulat positif 9. 5ab x 2(ab)2 =........... a. 7a2b3 d. 10(ab)3 3 3 b. 7a b e. 10 ab3 c. 20 (ab)3 10.
9𝑎𝑏 6 𝑐 12 12𝑎𝑏 𝑐 6
a.
=..........
−3𝑏 6 𝑐 5 𝑎 6 5
3𝑏 6 𝑐 6 4 3(𝑏𝑐)6 e. 4
d.
b. −3𝑏 𝑐 c.
3𝑏 5 𝑐 6 4
5
11. nyatakan bentuk ( 𝑎+𝑏)3 ke dalam pangkat negatif a. -5 𝑎 + 𝑏 b. c.
5 𝑎+𝑏 −3 5 e. 𝑎 −3 +𝑏−3
−3
d.
𝑎+𝑏 −3 5−1 5 𝑎 −3 +𝑏 3 𝑎𝑚
12. Perhatikan sifat 𝑎 𝑛 = 𝑎𝑚 −𝑛 , a ≠ 0. Jika diambil m = n maka yang anda peroleh adalah a. 𝑎0 = 𝑎
c. 𝑎0 = 1
b. 𝑎0 = 0
d. 𝑎𝑛 = .
1
1 𝑎 −𝑛
e. 𝑎 −𝑛 = 𝑎𝑛 1
c −2
13. Dipunyai beberapa bentuk pangkat yaitu 𝑎 2 , b3, dan d 2 . apabila bentuk pangkat tersebut dinyatakan dalam bentuk pangkat negatif maka akan menjadi a. b.
1 𝑎 −2
c −2
, b-3, dan d−2
1 𝑎
−2 ,
c. 𝑎
−2
1 𝑏
−3 , dan
1
c −2 . d−2 −2 −2
, 𝑏 −3 , dan c
d. 𝑎−2 ,
1 𝑏 −3
c −2 d−2 c −2 c −2 2 d−
, dan c −2
e. 𝑎−2 , b−3 , dan
d
56 Sederhanakanlah dan tulislah tanpa pangkat negatif 𝑎 2 𝑏 −2 𝑎 −5 𝑏 −1
14. a. b. c. d.
−1 −2
𝑎−14 𝑏−2 (𝑎−7 )2 𝑏−2 𝑎14 𝑏 −2 𝑎14 𝑏 −4
d. 𝑎−14 𝑏 2 e. 𝑎14 𝑏 2
Untuk no 15 -16 Sederhakanlah bentuk akar berikut 15.
180
a. 18 10 b. 6 10 c. 6 5 16. ( 3x + 5)9
d. 36 5 e. 5 36
a. ( 3x + 5) ( 3x + 5) b. 3𝑥 4 + 5 3x + 5 4 4 c. 3𝑥 + 5 ( 3x + 5)
d. 3𝑥 4 + 625 ( 3x + 5) e. ( 3x + 5)4 ( 3x + 5)
Untuk soal no 17 –20 Selesaikanlah operasi hitung aljabar berikut 17. 12 5 - 5 + 2 a. 13 10 b. 13 7 c. 11 5 + 2 18. 2 8 + 18 +
1 4
d. 13 10 e. 10 10
32 + 200
a. 4 2 d. 10 2 b. 6 2 e. 18 2 c. 8 2 19. 3 5𝑥 (4 𝑥 - 5 ); x ≥ 0 a. 60 𝑥 + 15 𝑥 b. 12 𝑥 + 15 𝑥 c. 12 𝑥 - 15 𝑥
d. 12𝑥 5 - 15 𝑥 e. 12𝑥 5 + 15 𝑥
57 20. (1 + 2)( 3− 2 ) a. 2 d. 2 2 - 1 b. 1 + 2 2 e. 2 2 c. 1 - 2 2 21. Dari langkah langkah penyelesaian berikut pada langkah ke berapa yang menyebabkan penyelesaian soal tersebut menjadi salah m −1 +1 m+1
1 +1 𝑚
=
Langkah 1
𝑚 +1
=
1 𝑚 + 𝑚 𝑚
= =
Langkah 2
𝑚 +1 1+𝑚 𝑚2
Langkah 3
𝑚 +1 m+1 m2
1
× m+1
Langkah 4
1
= m2 a. Langkah 1 b. Langkah 2 c. Langkah 3
Langkah 5 d. Langkah 4 e. Langkah 5
22. Penyelesaian soal no 19 akan dapat menjadi benar apabila a. Pada Langkah 3 b. Pada langkah 5 =
c.
Pada langkah 1
d. Pada Langkah 3 m+1 menjadi m
×
×
𝑚+1 1 m2
diganti menjadi
1 +1 𝑚
𝑚 +1 1+𝑚 𝑚2
1+𝑚 𝑚2
1 𝑚
𝑚+1
diganti menjadi m-2
diganti menjadi
diganti menjadi
𝑚+1 1 dan m+1
e. Pada Langkah 3 m+1 menjadi m
1+𝑚 𝑚2
𝑚+1
𝑚 +1
langkah 4
langkah 5 menjadi
diganti menjadi
𝑚+1 1 dan m+1
1+𝑚 𝑚
2 𝑚
1+𝑚 𝑚
𝑚+1
1 m2
langkah 4
langkah 5 menjadi
1 m
23. Jika panjang diagonal sebuah persegi adalah 8 cm, maka keliling persegi tersebut adalah....
58 13 2 cm 16 2 cm 20 2 cm
a. b. c.
d. 13 3 cm e. 20 3 cm
Untuk soal 24 dan 25 ubahlah bentuk pecahan bersusun menjadi bentuk pecahan yang paling sederhana 24.
𝑥−𝑥 −1 1 − 𝑥 −2
a. 𝑥 1 b. 𝑥 c.
1 𝑥2
25. (𝑥 −1 a. b. c.
d. 1 1 e. 1+𝑥
𝑥 −1 )−1 − 𝑦 −1 −𝑦 𝑦−𝑥 𝑦 𝑥−𝑦 𝑦−𝑥 𝑦
𝑥
d. 𝑥−𝑦 𝑥
e. 𝑦−𝑥
26. sebuah kubus dengan panjang sisi 10 cm tentukan panjang AC dan AG
a. 10 2 cm dan 10 3 cm b. 10 3 cm dan 10 2 cm c. 5 3 cm dan 5 2 cm
d. 5 2 cm dan 5 2 cm e. 20 10 cm dan 30 10 cm
27. Sebuah kubus dengan panjang rusuk 8cm maka volume kubus tersebut adalah : a. 216 cm2 d. 343 cm2 2 b. 512 cm e. 729 cm2 c. 125 cm2
59 28. Diketahui segitiga ABC siku – siku di B, dengan AB = 2 2 cm dan BC = 4 cm, seperti diperlihatkan pada gambar disamping. Tentukanlah panjang AC dalam bentuk akar yang paling sederhana a. 24 d. 2 12 b. 2 6` e. 6 4 c. 6 2 29. Sebuah persegi panjang mempunyai panjang ( 2 + 3 ) cm sedangkan lebarnya ( 5 - 3 ) cm tentukan luas persegi panjang tersebut! a. 13 3 cm2 d. 13 6 cm2 2 b. 3 3 cm e. 3 6 cm2 c. 7+3 3 cm2 30. Panjang rusuk sebuah kubus adalah (5 + 3)dm. Hitunglah luas permukaan nya. (ingat luas permukaan kubus adalah 6s2 a. (168 + 60 3) dm2 d. (168 + 60 2) dm2 b. (158 - 6 3) dm2 e. (168 - 6 2) dm2 c. (148 +60 3) dm2 31. Perhatikan langkah langkah penyelesaian menyederhanakan pecahan bersusun berikut : 𝑥 −1 + 𝑦 −1 𝑥 +𝑦
1 1 + x y
= 𝑥+𝑦
Langkah 1
=
Langkah 2
𝑦 𝑥 + 𝑥𝑦 𝑥𝑦
=
=
𝑥 +𝑦 𝑦 +𝑥 𝑥𝑦
Langkah 3
𝑥+𝑦
x+y xy
1
1
× 𝑥+𝑦 = xy
Langkah 5
Apakah yang dapat anda simpulkan dari hasil penyelesaian tersebut? a. b. c.
Langkah – langkah penyelesaian tersebut benar Langkah – langkah penyelesaian tersebut salah dan kesalahan dilakukan pada langkah 1 Langkah – langkah penyelesaian tersebut salah dan kesalahan dilakukan pada langkah 2
60 d. e.
Langkah – langkah penyelesaian tersebut salah dan kesalahan dilakukan pada langkah 3 Langkah – langkah penyelesaian tersebut salah dan kesalahan dilakukan pada langkah 4
LAMPIRAN 5 Kunci Jawaban N0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
JAWABAN B D A B D D C E D C B C C C C E
NO 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
JAWABAN C E D B C E B A C A B B C A A
61 LAMPIRAN 6 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Satuan Pendidkan
: SMA
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/Semester
: X/Gasal
Tahun Pelajaran
: 2012 – 2013
Standar Kompetensi
: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar
: 1.1 Menggunakan aturan pangkat ,akar,dan logaritma
Indikator
:
Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat positif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat positif. Alokasi Waktu : 2 x 45 menit I.
Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat positif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat positif. II. Materi Pembelajaran Pangkat bulat positif III. Model pembelajaran 1. Model Pembelajaran : Model pembelajaran kooperatif tipe JIGSAW IV. Lan gkah – langkah Pembelajaran Tahap Pembel ajaran Kegiata n Awal
Kegiatan
1. Mengucapkan salam dan mengabsen siswa. 2. Memberitahu siswa apa yang dipelajari
Waktu (Menit )
62 hari ini? 3. Guru memberikan contoh masalah bilangan berpangkat yang berhubungan dengan kehidupan sehari – hari
7
Sebagai contoh Saturnus salah satu planet yang mempunyai massa 5,69 × 1026 kg (jika tidak menggunakan bilangan berpangkat pasti kita akan sulit dalam menulis massa planet ini) 4. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini. Kegiata n Inti
Guru membentuk kelompok siswa yang anggotanya terdiri dari 5 siswa (jumlah anggota kelompok tergantung pada subtopik yang akan dipelajari) yang bersifat heterogen, baik dari segi kemampuan,jenis kelamin,budaya, dan sebagainya. Kemudian guru menyajikan pelajaran atau materi yang akan dipelajari. Eksplorasi Guru bertanya jawab tentang materi prasyarat di antaranya yaitu Bentuk – bentuk bilangan berpangkat Menulis bentuk panjang bilangan berpangkat a3 = a × a × a a4 = a × a × a × a a5 = a × a × a × a × a . . . an = a × a × a … × a (sebanyak n kali) Elaborasi Siswa bekerja secara berkooperatif
10
63 sesuai dengan karakteristik jigsaw yaitu siswa bekerja secara kooperatif pada kelompok asal dan kelompok ahli untuk mempelajari materi dan menyelesaikan tugas kelompok yang ada pada LKS. Jumlah kelompok ahli ada lima kelompok. Tiap kelompok ahli mempunyai tugas masing – masing yaitu kelompok 1 menemukan sifat perkalian bilangan berpangkat kelompok 2 menemukan sifat pembagian bilangan berpangkat , kelompok 3 menemukan sifat pemangkatan bilangan berpangkat , kelompok 4 menemukan sifat pemangkatan bentuk pecahan, dan kelompok 5 menemukan sifat pemangkatan bentuk berpangkat. Guru memfasilitasi siswa selama berdiskusi dikelompok ahli agar dapat memahami sub topik yang dipelajari. siswa berdiskusi di kelompok ahli hingga guru merasa yakin bahwa siswa mampu menyampaikan dan memecahkan persoalan yang menyangkut subtopik yang dipelajari agar tidak terjadi kesalahan informasi yang akan dibagikan. Setelah berdiskusi di kelompok ahli para anggota kelompok ahli masing – masing kembali ke kelompok asal untuk membagi informasi dengan anggota kelompok asal. Setelah informasi dibagikan guru memberikan tugas untuk dikerjakan di kelompok asal. Siswa mempresentasikan hasil diskusi kelompok dan guru bertindak sebagai fasilitator. Guru memberikan kuis / tes individu.
50
10
64 Konfirmasi
Kegiata n Akhir
Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat, maupun hadiah terhadap keberhasilan siswa; memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh pengalaman belajar yang telah dilakukan; memberikan motivasi kepada siswa yang kurang atau belum berpartipasi aktif. 1. Memberikan informasi tentang kegiatan pertemuan berikutnya. 2. Salam penutup
10
3
V. Sumber / Media Pembelajaran Sumber Kanginan, Marthen. Matematika untuk kelas X semester 1 Sekolah Menengah Atas .Bandung: Grafindo Media Pratama,2007 Wiridikromo,Sartono. Matematika SMA Kelas X . Jakarta : Erlanga,2007 Media LKS VI. PENILAIAN HASIL BELAJAR 1. Tugas kelompok hal 16 2. Tugas individu Sederhanakan bentuk pangkat berikut 2
𝑝4𝑞3 𝑝2𝑞2
dan 𝑎2 𝑏 5
4
Jawab a.
b.
𝑝4𝑞3 𝑝2𝑞2
2
=
𝑝8𝑞6 𝑝4𝑞4 8−4 6−4
=𝑝 𝑞 = 𝑝4 𝑞 2 𝑎2 𝑏 5 4 = 𝑎2 .4 𝑏5.4 = 𝑎8 𝑏 20
65 Kalabahi, ...Agustus 2012 Mengetahui Guru Bidang studi,
David Dapa, S.Pd NIP.196212311994121018
Peneliti
Imanuel Yosafat .H.M NIM 202008012
66
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Satuan Pendidkan
: SMA
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/Semester
: X/Gasal
Tahun Pelajaran
: 2012 – 2013
Standar Kompetensi
: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar
: 1.1 Menggunakan aturan pangkat ,akar,dan logaritma
Indikator
:
Alokasi Waktu
Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat negatif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat negatif . Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat nol dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat nol. Pecahan bersusun Sifat – sifat bentuk akar : 2 x 45 menit
Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat negatif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat negatif . Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat nol dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat nol. Agar siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pecahan bersusun. Agar siswa dapat memahami sifat – sifat bentuk akar
Materi Pembelajaran Bentuk pangkat dan bentuk akar
67 1.
Model pembelajaran Model Pembelajaran
:
Model pembelajaran kooperatif tipe JIGSAW
Lan gkah – langkah Pembelajaran Tahap Pembela jaran
Waktu
Kegiatan (Menit)
Kegiatan Awal
1. Mengucapkan salam dan mengabsen siswa. 2. Memberitahu siswa apa yang dipelajari hari ini? 3. Guru melakuakan apersepsi mengenai sifat – sifat bilangan berpangkat bulat bulat positif,operasi hitung bilangan pecahan, dan bilangan kuadrat 4. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini.
Kegiatan Inti
Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok jumlah anggota kelompok sesuai dengan jumlah topik yang akan dipelajari. Eksplorasi
5
Guru bertanya jawab tentang : Apa yang siswa ketahui bilangan berpangkat bulat negatif dan nol Apa yang siswa ketahui tentang pecahan bersusun Apa yang siswa ketahui tentang bentuk akar ? Elaborasi Siswa bekerja secara
10
68
berkooperatif sesuai dengan karakteristik jigsaw yaitu siswa bekerja secara kooperatif pada kelompok asal dan kelompok ahli untuk mempelajari materi yang ada pada LKS. Jumlah kelompok ahli ada empat kelompok. Tiap kelompok ahli mempunyai tugas masing – masing yaitu kelompok 1 mempelajari sifat – sifat sifat – sifat bentuk pangkat negatif kelompok 2 mempelajari bilangan berpangkat nol kelompok 3 mempelajari pecahan bersusun dan kelompok 4 mempelajari sifat – sifat bentuk akar. Guru memfasilitasi siswa berdiskusi dikelompok ahli agar dapat memahami sub topik yang dipelajari . Setelah berdiskusi di kelompok ahli para anggota kelompok ahli masing – masing kembali ke kelompok asal untuk membagi informasi dengan anggota kelompok asal namun sebelum kembali ke kelompok asal guru memfasilitasi kelompok ahli agar tidak terjadi kesalahan informasi yang akan dibagian. Setelah informasi dibagikan, guru memberikan tugas untuk dikerjakan dalam kelompok kemudian guru meminta
60
69 salah satu kelompok mempresentasikan hasil diskusinya. Guru memberikan tes individu Konfirmasi Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat, maupun hadiah terhadap keberhasilan siswa; memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh pengalaman belajar yang telah dilakukan; memberikan motivasi kepada siswa yang kurang atau belum berpartipasi aktif. Kegiatan Akhir
3. Memberikan informasi tentang kegiatan pertemuan berikutnya. 4. Salam penutup
10
5
Sumber / Media Pembelajaran Sumber Kanginan, Marthen. Matematika untuk kelas X semester 1 Sekolah Menengah Atas .Bandung: Grafindo Media Pratama,2007 Wiridikromo,Sartono. Matematika SMA Kelas X . Jakarta : Erlanga,2007 Media LKS PENILAIAN HASIL BELAJAR 1. Tugas kelompok hal 16 -17 2. Tugas individu a. Sederhanakanlah (-9)0 dan -10080 x 1000 b. Nyatakan dalah bentuk positif setiap bentuk berikut 2 -5 dan −𝑥𝑦 −3 c. Sederhanakanlah bentuk berikut
70 𝑏 −2 − 𝑎 −2 𝑎 −1 + 𝑏 −1
Jawab a. (-9)0 = 1 -10080 x 1000 = (-1) x (1) = -1 1 1 b. 2 -5 = 25 = 32 𝑥
−𝑥𝑦 −3 = − 𝑦 3
c.
𝑏 −2 – 𝑎 −2 𝑎 −1 + 𝑏 −1
1 2
= 𝑏1 = =
1
– 2 𝑎
1 + 𝑎 𝑏 2 𝑎 − 𝑏2 𝑎 2𝑏 2 𝑎 +𝑏 𝑎𝑏 2 𝑎 − 𝑏2
= =
𝑎𝑏 x 𝑎+𝑏 𝑎 2𝑏2 𝑎𝑏 𝑎+𝑏 (𝑎−𝑏 ) x 𝑎+𝑏 𝑎 2𝑏2 𝑎−𝑏 𝑎𝑏
Kalabahi, ...Agustus 2012 Mengetahui Guru Bidang studi,
David Dapa, S.Pd NIP.196212311994121018
Peneliti
Imanuel Yosafat .H.M NIM 202008012
71 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Satuan Pendidkan
: SMA
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/Semester
: X/Gasal
Tahun Pelajaran
: 2012 – 2013
Standar Kompetensi
: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar
: 1.1 Menggunakan aturan pangkat ,akar,dan logaritma
Indikator
:
Menyederhanakan bentuk akar dan melakukan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar. Alokasi Waktu : 2 x 45 menit I.
Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menyederhanakan bentuk akar dan melakukan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar. II. Materi Pembelajaran Bentuk akar III. Model pembelajaran 1. Model Pembelajaran : Model pembelajaran kooperatif tipe JIGSAW
IV. Lan gkah – langkah Pembelajaran Tahap Pembelajar an Kegiatan Awal
Waktu
Kegiatan (Menit) 1. Mengucapkan salam dan mengabsen siswa. 2. Memberitahu siswa apa yang dipelajari hari ini?
10
72
Kegiatan Inti
3. Guru melakukan apersepsi mengenai sifat – sifat bentuk akar dan operasi hitung aljabar. 4. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini. 5. Guru menginformasikan skor awal atau skor dasar yang dimiliki siswa. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok jumlah anggota kelompok sesuai dengan jumlah topik yang akan dipelajari. Eksplorasi Guru bertanya jawab tentang materi prasyarat di antaranya yaitu Apa yang siswa ketahui tentang bentuk akar ? Cara merasionalkan bentuk 𝑎 𝑏
=
𝑎 𝑏
x
𝑏 𝑏
=
𝑎𝑏 𝑏
10
Beberapa pemfaktoran dasar a( b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a2 – b2 = (a +b)(a-b) a2± 2ab + b2 = (a ± b)2 Elaborasi Siswa bekerja secara berkooperatif sesuai dengan karakteristik jigsaw yaitu siswa bekerja secara kooperatif pada kelompok asal dan kelompok ahli untuk mempelajari materi yang ada pada LKS. Jumlah kelompok ahli ada empat kelompok. Tiap kelompok ahli mempunyai tugas masing – masing yaitu
60
73 kelompok 1 mempelajari mederhanakan bentuk akar, kelompok 2 mempelajari operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, kelompok 3 mempelajari perkalian bentuk akar, dan kelompok 4 mempelajari pembagian bentuk akar . Guru memfasilitasi siswa berdiskusi dikelompok ahli agar dapat memahami sub topik yang dipelajari . Setelah berdiskusi di kelompok ahli para anggota kelompok ahli masing – masing kembali ke kelompok asal untuk membagi informasi dengan anggota kelompok asal namun sebelum kembali ke kelompok asal guru memfasilitasi kelompok ahli agar tidak terjadi kesalahan informasi yang akan dibagian. Setelah informasi dibagikan, guru memberikan tugas untuk dikerjakan dalam kelompok. Siswa mempresentasikan hasil kerja kelompok. Guru memberikan tugas individu. Konfirmasi Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat, maupun hadiah terhadap keberhasilan siswa; memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh
74
Kegiatan Akhir
pengalaman belajar yang telah dilakukan; memberikan motivasi kepada siswa yang kurang atau belum berpartipasi aktif. 5. Memberikan informasi tentang kegiatan pertemuan berikutnya. 6. Salam penutup
10
5
V. Sumber / Media Pembelajaran Sumber Kanginan, Marthen. Matematika untuk kelas X semester 1 Sekolah Menengah Atas .Bandung: Grafindo Media Pratama,2007 Wiridikromo,Sartono. Matematika SMA Kelas X . Jakarta : Erlanga,2007 Media LKS VI. PENILAIAN HASIL BELAJAR 1. Tugas kelompok pada materi hal 17 - 18 2. Tugas Individu a. Sederhanakanlah bentuk berikut menjadi bentuk yang paling sederhana 16𝑥 6 𝑦 4 dan 108 b. Selesaikanlah operasi aljabar berikut 8 2+6 2,
3 ( 6 + 2 3 ) , dan
96 27
Kunci jawaban a.
16𝑥 6 𝑦 4 = 4𝑥 3 𝑦 2 108 = 36 .3 =6 3
b. 8 2 + 6 2 = (8+ 6) 2 = 14 2 3 ( 6 + 2 3 ) = 18 + 9 = 9.2 + 9 = 3 2 +3
c.
96 27
16 .6 9.3
= 4
=3 4
6 3
=3 2
75 Kalabahi, ...Agustus 2012 Mengetahui Guru Bidang studi,
Peneliti
David Dapa, S.Pd NIP.196212311994121018
Imanuel Yosafat .H.M NIM 202008012
76 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Satuan Pendidkan
: SMA
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/Semester
: X/Gasal
Tahun Pelajaran
: 2012 – 2013
Standar Kompetensi
: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar
: 1.1 Menggunakan aturan pangkat ,akar,dan logaritma
Indikator
:
Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat positif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat positif. Alokasi Waktu : 2 x 45 menit I.
Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat positif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat positif. II. Materi Pembelajaran Pangkat bulat positif III. Model pembelajaran Model pembelajaran kooperatif tipe 1. Model Pembelajaran : STAD
IV. Langkah – langkah Pembelajaran Tahap Pembelajar an Kegiatan Awal
Waktu
Kegiatan (Menit) 1. Mengucapkan salam dan mengabsen siswa. 2. Memberitahu siswa apa yang dipelajari hari ini? 3. Guru memberikan contoh masalah bilangan
7
77
Kegiatan Inti
berpangkat yang berhubungan dengan kehidupan sehari – hari Sebagai contoh Saturnus salah satu planet yang mempunyai massa 5,69 × 1026 kg (jika tidak menggunakan bilangan berpangkat pasti kita akan sulit dalam menulis massa planet ini) 4. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini. 5. Guru menginformasikan skor awal atau skor dasar yang dimiliki siswa. Guru membentuk kelompok siswa yang anggotanya terdiri dari 4 -5 siswa yang bersifat heterogen, baik dari segi kemampuan,jenis kelamin,dan sebagainya. Kemudian guru menyajikan materi yang akan dipelajari. Eksplorasi Guru bertanya jawab tentang materi prasyarat di antaranya yaitu Bentuk – bentuk bilangan berpangkat Menulis bentuk panjang bilangan berpangkat a3 = a × a × a a4 = a × a × a × a a5 = a × a × a × a × a . . .
10
78 an = a × a × a … × a (sebanyak n kali) Elaborasi Guru membagikan materi dan bahan diskusi kelompok untuk dipelajari dan didiskusikan bersama – sama, dan saling membantu antar anggota lain dalam kelompoknya untuk menemukan sifat – sifat bentuk pangkat bulat positif (langkah – langkah ada pada Lks siswa) Guru memfasilitasi siswa dalam memahami materi dan menyelesaikan tugas kelompok selama siswa berdiskusi seperti bertanya jawab untuk mengecek pemahaman siswa, memotivasi siswa,membantu siswa yang mengalami kesulitan, dan mengamati kerjasama tiap anggota dalam kelompok diskusi. Salah satu kelompok mempresentasikan hasil diskusi kelompok didepan kelas dan guru bertindak sebagai fasilitator. Guru memberikan kuis / tes individu . Konfirmasi Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat,
50
10
79 maupun hadiah terhadap keberhasilan siswa; memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh pengalaman belajar yang telah dilakukan; memberikan motivasi kepada siswa yang kurang atau belum berpartipasi aktif. 7. Memberikan informasi tentang materi pertemuan berikutnya. 8. Salam penutup
Kegiatan Akhir
10
3
V. Sumber / Media Pembelajaran Sumber Kanginan, Marthen. Matematika untuk kelas X semester 1 Sekolah Menengah Atas .Bandung: Grafindo Media Pratama,2007 Wiridikromo,Sartono. Matematika SMA Kelas X . Jakarta : Erlanga,2007 Media LKS VI. PENILAIAN HASIL BELAJAR 1. Tugas kelompok hal 16 2. Tugas individu Sederhanakan bentuk pangkat berikut 2
𝑝4𝑞3 𝑝2𝑞2
dan 𝑎2 𝑏 5
4
Jawab c.
d.
𝑝4𝑞3 𝑝2𝑞2
2
=
𝑝8𝑞6 𝑝4𝑞4 8−4 6−4
=𝑝 𝑞 = 𝑝4 𝑞 2 𝑎2 𝑏 5 4 = 𝑎2 .4 𝑏 5.4 = 𝑎8 𝑏 20
80
Kalabahi,...Agustus 2012 Mengetahui Guru Bidang studi,
David Dapa, S.Pd NIP.196212311994121018
Peneliti
Imanuel Yosafat .H.M NIM 202008012
81 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Satuan Pendidkan
: SMA
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/Semester
: X/Gasal
Tahun Pelajaran
: 2012 – 2013
Standar Kompetensi
: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar
: 1.1 Menggunakan aturan pangkat ,akar,dan logaritma
Indikator
:
Alokasi Waktu
Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat negatif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat negatif . Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat nol dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat nol. Pecahan bersusun Sifat – sifat bentuk akar : 2 x 45 menit
I. Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat negatif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat negatif . Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat nol dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat nol. Agar siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pecahan bersusun. Agar siswa dapat memahami sifat – sifat bentuk akar II.
Materi Pembelajaran Bentuk pangkat dan bentuk akar
III. Model Pembelajaran 1. Model Pembelajaran
:
Model pembelajaran kooperatif tipe STAD
82 IV. Lan gkah – langkah Pembelajaran Tahap
Waktu Kegiatan
Pembelajar an Kegiatan Awal
Kegiatan Inti
(Menit) 1. Mengucapkan salam dan mengabsen siswa. 2. Memberitahu siswa apa yang dipelajari hari ini? 3. Guru melakuakan apersepsi mengenai sifat – sifat bilangan berpangkat bulat bulat positif,operasi hitung bilangan pecahan, dan bilangan kuadrat 4. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini. 5. Guru memberikan penghargaan kepada kelompok melalui nilaipenghargaan berdasarkan perolehan nilai peningkatan individualdari nilai dasar ke nilai berikutnya setelah mereka melalui kegiatan kelompok 6. Guru menginformasikan skor awal atau skor dasar yang dimiliki siswa. Guru membentuk kelompok siswa yang anggotanya terdiri dari 4 -5 siswa yang bersifat heterogen, baik dari segi kemampuan,jenis kelamin,budaya, dan sebagainya. Kemudian guru materi yang akan dipelajari. Eksplorasi Guru bertanya jawab tentang materi prasyarat di antaranya yaitu Apa yang siswa ketahui
10
83 bilangan berpangkat bulat negatif dan nol Apa yang siswa ketahui tentang pecahan bersusun Apa yang siswa ketahui tentang bentuk akar ? Elaborasi Guru membagikan materi dan bahan diskusi kelompok untuk dipelajari dan didiskusikan bersama – sama, dan saling membantu antar anggota lain dalam kelompoknya untuk menemukan dan menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan sifat – sifat bilangan berpangkat negatif , berpangkat nol, dan mempelajari dan menyelesaikan masalah – masalah yang berhubungan dengan pecahan bersusun dan sifat – sifat bentuk akar Guru memfasilitasi siswa dalam memahami materi dan menyelesaikan tugas kelompok selama siswa berdiskusi seperti bertanya jawab untuk mengecek pemahaman siswa, memotivasi siswa, membantu siswa yang mengalami kesulitan, dan mengamati kerjasama tiap anggota dalam kelompok diskusi. Guru meminta salah satu kelompok siswa mempresentasikan hasil
10
50
84 diskusi kelompok didepan kelas dan guru bertindak sebagai fasilitator. Guru memberikan kuis / tes individu .
10
Konfirmasi Kegiatan Akhir
Penutup
Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat, maupun hadiah terhadap keberhasilan siswa; memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh pengalaman belajar yang telah dilakukan; memberikan motivasi kepada siswa yang kurang atau belum berpartipasi aktif. 1. Memberikan informasi tentang materi pertemuan berikutnya. 2. Salam penutup
7
3
V. Sumber / Media Pembelajaran Sumber Kanginan, Marthen. Matematika untuk kelas X semester 1 Sekolah Menengah Atas .Bandung: Grafindo Media Pratama,2007 Wirodikromo,Sartono. Matematika SMA Kelas X . Jakarta : Erlanga,2007 Media LKS VI. PENILAIAN HASIL BELAJAR 1. Tugas kelompok hal 16 -17 2. Tugas individu b. Sederhanakanlah (-9)0 dan -10080 x 1000 d. Nyatakan dalah bentuk positif setiap bentuk berikut 2 -5 dan −𝑥𝑦 −3
85 e.
Sederhanakanlah bentuk berikut 𝑏 −2 − 𝑎 −2 𝑎 −1 + 𝑏 −1
Jawab b. (-9)0 = 1 -10080 x 1000 = (-1) x (1) = -1 1 1 c. 2 -5 = 25 = 32 𝑥
−𝑥𝑦 −3 = − 𝑦 3
d.
𝑏 −2 – 𝑎 −2 𝑎 −1 + 𝑏 −1
1 2
= 𝑏1 = =
1
– 2 𝑎
1 + 𝑎 𝑏 2 𝑎 − 𝑏2 𝑎2𝑏2 𝑎 +𝑏 𝑎𝑏 2 𝑎 − 𝑏2
= =
𝑎𝑏 x 𝑎+𝑏 𝑎 2𝑏2 𝑎𝑏 𝑎+𝑏 (𝑎−𝑏 ) x 𝑎+𝑏 𝑎 2𝑏2 𝑎−𝑏 𝑎𝑏
Kalabahi, ...Agustus 2012 Mengetahui Guru Bidang studi,
David Dapa, S.Pd NIP.196212311994121018
Peneliti
Imanuel Yosafat .H.M NIM 202008012
86 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Satuan Pendidkan
: SMA
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/Semester
: X/Gasal
Tahun Pelajaran
: 2012 – 2013
Standar Kompetensi
: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar
: 1.1 Menggunakan aturan pangkat ,akar,dan logaritma
Indikator
:
Menyederhanakan bentuk akar dan melakukan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar. Alokasi Waktu : 2 x 45 menit I.
Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menyederhanakan bentuk akar dan melakukan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar.
II.
Materi Pembelajaran Bentuk akar
III. Model pembelajaran 1. Model Pembelajaran
:
Model pembelajaran kooperatif tipe STAD
87 IV. Langkah – langkah Pembelajaran Tahap
Waktu Kegiatan
Pembelaj aran Kegiatan Awal
Kegiatan Inti
(Menit) 1. Mengucapkan salam dan mengabsen siswa. 2. Memberitahu siswa apa yang dipelajari hari ini? 3. Guru melakukan apersepsi mengenai sifat – sifat bentuk akar dan operasi hitung aljabar. 4. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini. 5. Guru memberikan penghargaan kepada kelompok melalui nilaipenghargaan berdasarkan perolehan nilai peningkatan individualdari nilai dasar ke nilai berikutnya setelah mereka melalui kegiatan kelompok 6. Guru menginformasikan skor awal atau skor dasar yang dimiliki siswa. Eksplorasi
7
Guru bertanya jawab tentang materi prasyarat di antaranya yaitu
Apa yang siswa ketahui tentang bentuk akar dan sifat – sifat bentuk akar? Beberapa pemfaktoran dasar a( b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a2 – b2 = (a +b)(a-b) a2± 2ab + b2 = (a ± b)2
10
88
Elaborasi Guru membagikan materi dan bahan diskusi kelompok untuk dipelajari dan didiskusikan bersama – sama, dan saling membantu antar anggota lain dalam kelompoknya untuk mempelajari menyederhanakan bentuk akar dengan menggunakan sifat – sifat bentuk akar, dan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar Guru memfasilitasi siswa dalam memahami materi dan menyelesaikan tugas kelompok selama siswa berdiskusi seperti bertanya jawab untuk mengecek pemahaman siswa, memotivasi siswa,membantu siswa yang mengalami kesulitan, dan mengamati kerjasama tiap anggota dalam kelompok diskusi. Guru meminta salah satu kelompok siswa mempresentasikan hasil diskusi kelompok didepan kelas dan guru bertindak sebagai fasilitator. Guru memberikan kuis / tes individu . Kegiatan Akhir
Konfirmasi Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan
55
10
89 dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat, maupun hadiah terhadap keberhasilan siswa; memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh pengalaman belajar yang telah dilakukan; memberikan motivasi kepada siswa yang kurang atau belum berpartipasi aktif.
Penutup
5
3
1. Memberikan informasi tentang materi pertemuan berikutnya. 2. Salam penutup
V. Sumber / Media Pembelajaran Sumber Kanginan, Marthen. Matematika untuk kelas X semester 1 Sekolah Menengah Atas .Bandung: Grafindo Media Pratama,2007 Wirodikromo,Sartono. Matematika SMA Kelas X . Jakarta : Erlanga,2007 Media LKS VI. PENILAIAN HASIL BELAJAR 1. Tugas kelompok pada materi hal 17 -18 2. Tugas Individu c. Sederhanakanlah bentuk berikut menjadi bentuk yang paling sederhana 16𝑥 6 𝑦 4 dan 108 d. Selesaikanlah operasi aljabar berikut 8 2+6 2,
3 ( 6 + 2 3 ) , dan
96 27
90 Kunci jawaban c.
16𝑥 6 𝑥 4 = 4𝑥 3 𝑥 2 108 = 36 .3 =6 3
c.
96 27
16 .6 9.3
= 4
=3
6 3
4
=3 2
d. 8 2 + 6 2 = (8+ 6) 2 = 14 2 3 ( 6 + 2 3 ) = 18 + 9 = 9.2 + 9 = 3 2 +3
Kalabahi, ...Agustus 2012 Mengetahui Guru Bidang studi,
David Dapa, S.Pd NIP.196212311994121018
Peneliti
Imanuel Yosafat .H.M NIM 20200801
91 Lampiran 7 Surat Ijin penelitian
Lampiran 8 Surat Keterangan Penelitian
92 Lampiran 7 Surat keterangan penelitian
93 Lampiran 9. Dokumentasi Kegiatan
94 Lampiran 10. Hasil Belajar Siswa Kelas XA NO
Kode siswa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
A1
Nilai UN
Nilai UN Posttest
posttest
NO
Kode siswa
4,75
8,09
A33
6,5
5,71
A2
8
5,23
A34
5,75
4,76
A3
4
7,14
33 34 35
A35
5,75
5,23
A4
6,25
4,76
A5
5,75
10
A6
4,5
3,8
A7
8
5,23
A8
4,5
5,71
A9
7,5
5,71
A10
5,5
6,19
A11
5,75
3,8
A12
7,25
5,23
A13
5,25
9,52
A14
5,5
6,66
A15
6
7,61
A16
4,25
5,71
A17
5
9,52
A18
3,75
7,14
A19
5
6,66
A20
6
A21
5,75
8,09
A22
9
8,57
A23
4
3,8
A24
7
5,71
A25
6,5
A26
7,75
8,09
A27
4,25
5,23
A28
3,25
6,66
A29
5,25
6,19
A30
5,25
10
A31
6
9,52
A32
6,5
5,71
10
10
95 Lampiran 11 Hasil Belajar Siswa Kelas XC Nilai NO
Kode siswa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18 C19 C20 C21 C22 C23 C24 C25 C26 C27 C28 C29 C30
UN 5,75 4,75 6,75 6 5,5 4,5 5,75 7,75 7,25 4 3,75 8,75 7 5,75 4 3,75 9,25 6,5 5,75 8,25 7,8 6,75 7,75 5,75 9,25 4,75 6,75 7,5 6 7,5
Posttest 9,04 4,76 4,76 6,19 7,14 9,52 2,85 10 6,19 9,52 5,71 9,52 5,23 4,76 3,8 8,09 9,52 6,19 5,71 8,09 5,71 8,57 7,14 7,14 5,23 10 10 9,04 9,52 3,8
96 Lampiran 12 Hasil Tes Kelas Eksperimen Sub Yek
ITEM SOAL 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
A2
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
A3
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
A4
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
A5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A6
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
A7
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
A8
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
A9
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
A10
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
A11
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A12
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
A13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A14
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
A15
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
A16
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
A17
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A18
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
A19
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
A20
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A21
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
A22
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
A23
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
A24
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
A25
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A26
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
A27
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
A28
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
A29
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
A30
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A31
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
A32
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
A33
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
97 ITEM SOAL
Sub Yek
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A34
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
A35
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
Su b ye k A1
1 7
1 8
1 9
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
2 7
2 8
2 9
3 0
3 1
Tota l SKO R
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
24
A2
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
19
A3
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
21
A4
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
15
A5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
31
A6
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
15
A7
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
16
A8
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
16
A9
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
16
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
A1 0 A1 1 A1 2 A1 3 A1 4 A1 5 A1 6 A1 7 A1 8 A1 9 A2 0 A2 1 A2 2 A2 3
20 16 17 27 21 24 20 29 19 18 29 22 25 15
98 Su b ye k A2 4 A2 5 A2 6 A2 7 A2 8 A2 9 A3 0 A3 1 A3 2 A3 3 A3 4 A3 5
1 7
1 8
1 9
2 0
2 1
2 2
Item Soal 2 2 2 3 4 5
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
2 6
2 7
2 8
2 9
3 0
3 1
Tota l skor 19 31 25 18 21 22 31 28 20 18 17 17
99 Lampiran 13 Hasil Tes Kelas Kelas Kontrol Item Soal
Sub Yek
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
C1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
C2
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
C3
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
C4
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
C5
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
C6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C7
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C9
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
C10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C11
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
C12
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
C13
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
C14
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
C15
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
C16
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
C17
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C18
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
C19
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
C20
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
C21
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
C22
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
C23
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
C24
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
C25
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
C26
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C27
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C28
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
C29
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C30
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
100 S u b y e k
Item Soal To tal sk or
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
C1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
29
C2
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
16
C3
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
18
C4
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
18
C5
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
22
C6
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
29
C7
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
14
C8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
30
C9
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
20
C10
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
27
C11
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
20
C12
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
25
C13
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
15
C14
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
14
C15
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
15
C16
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
22
C17
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
26
C18
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
20
C19
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
18
C20
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
22
C21
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
20
C22
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
25
C23
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
22
C24
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
19
C25
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
18
C26
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
31
C27
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
29
C28
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
29
C29
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
27
C30
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
15
101
Materi BENTUK PANGKAT DAN AKAR
IMANUEL YOSAFAT HM
𝑛
WE MATH
102
A. Definisi pangkat bulat positif Definisi bilangan berpangkat bulat positif telah anda pelajari di kelas IX. Definisinya adalah sebagai berikut. Untuk a bilangan real dan n bilangan bulat positif berlaku 𝑎𝑛 = 𝛼 × 𝛼 × 𝛼 × … . 𝛼 n faktor
𝑎𝑛 dibaca “ a pangkat n” disebut bilangan berpangkat (bilangan eksponen).a disebut bilangan pokok ( basis ) dan n disebut pangkat (eksponen)
Dengan menggunakan definisi tersebut, Anda dapat menuliskan suatu perkalian berulang dengan lebih praktis, seperti ditunjukan dalam Contoh soal berikut. Contoh soal 1. Tuliskan perkalian berulang berikut dalam notasi pangkat a. 7 × 7 × 7× 7× 7 b. 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎
c. 3 × 3 × 𝑥 × 𝑥 × 𝑥 d. (10 × 𝑡) (10 × 𝑡) (10 × 𝑡)
Jawab a. 7 × 7 × 7× 7× 7 = 75 lima faktor
b. 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎
= 𝑎4
Empat faktor
c. 3 × 3 × 𝑥 × 𝑥 × 𝑥 = 3𝑥 3 dua faktor tiga faktor
d. (10 × 𝑡) (10 × 𝑡) (10 × 𝑡) = (10 × 𝑡) 3 tiga faktor
103 Latihan soal 1 kerjakan soal berikut dalam buku latihan anda Tulislah tanpa menggunakan notasi pangkat a. 25 b. 4w 3
c. ( 4w)3 d. 32 +42
e. (-1)3 f. (-1)4
1.
Sifat – sifat bilangan berpangkat positif Untuk mengetahui sifat – sifat bilangan berpangkat bulat positif lakukanlah kegiatan berikut . Untuk mengetahui sifat – sifat bilangan bulat berikut, lakukanlah Kegiatan 1.1 kegiatan Lakukanberikut. kegiatan ini secara berpasangan di buku latihan. Kemudian kemukakan hasilnya didepan kelas. 1. Bagaimana sifat perkalian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, 5 3 hitunglah a x a . 5 3 Tulis a dan a masing – masing dalam faktor a 5 3 a x a = a x a x .. x a x a x …x a ….faktor 5
… faktor
3
a x a = a x a x.. x a (… +….) faktor
……(1)
Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (1). Kemudian n 5 3 … , tulislah dalam bentuk a . jadi, a x a = a Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real real dan m,n bilangan bulat. m
n
a x a = a x a x .. x a x a xa …x a m faktor m
n faktor
n
a x a = a x a x .. x a (… +….) faktor …+….
= a n …+…. Jadi, a x a = a m
104
2.
Bagaimana sifat pembagian bilagan berpangkat ? untuk mengetahuinya, hitunglah
𝑎7 𝑎3
, untuk a≠0 7
3
Tulis a dan a masing – masing dalam faktor a. …..faktor 3 faktor ..faktor 𝑎7
=
𝑎3
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎𝑥 …𝑎 𝑎𝑥 ..𝑥𝑎
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 (𝑎𝑥𝑎𝑥 …𝑎)
=
(𝑎𝑥 ..𝑥𝑎 )
3 faktor
…..(2)
3 faktor
Sederhanakanlah faktor yang sama pada pembilang dan penyebut dalam ruas kanan persamaan (2). Hitung banyak n faktor a yang tersisa dalam bentuk a . 𝑎7
Jadi
𝑎3
=a
…-…
=a
…
Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, lakukanlah perkalian berikut dengan a sebarang bilanagn real, a ≠0, dan m,n bilangan bulat dengan m > n. m faktor 𝑎m 𝑎n
=
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎𝑥 …𝑎 𝑎𝑥 ..𝑥𝑎
n faktor
=
….faktor
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 (𝑎𝑥𝑎𝑥 …𝑎) (𝑎𝑥 ..𝑥𝑎 )
n faktor
…..(2)
n faktor
= a x a x .. x a = a
…-…
(… -….) faktor 𝑎𝑚
Jadi
𝑎𝑛
=a
…-…
=a
…
,m>n
3. Bagaimana sifat pemangkatan 5 mengetahuinya, hitung (ab) .
bilangan
berpangkat?
Untuk
5
Tulis (ab) = (ab)x(ab)x…x(ab) …… faktor
Kumpulkan faktor a dan faktor b dalam ruas kanan secara tersendiri . 5
(ab) = axax…xa x bxbx….xb … faktor
… faktor
…..(3).
105
Hitung masing – masing banyak faktor a dan banyak faktor b dalam ruas kanan persamaan (3). Kemudian, tulislah masing n n masing dalam bentuk a dan b . 5
….
…
(ab) = a x b Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real dan n bilangan bulat. n
(a x b) = (a x b) x (a x b) x …..x (a x b) ......faktor …. … = axax…xa x b x b x….x b = a x b … faktor n
… faktor
….
Jadi ( a x b) = a x b 4.
…
Bagaimana sifat pemangkatan bentuk pecahan? Untuk 𝑎 mengetahuinya, ( )5 , untuk b ≠ 0. 𝑏
Tulis dalam faktor 𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
( )5 = x x …x
𝑎 𝑏
,
……..faktor
Kumpulkan faktor a pada pembilang dan faktor b pada penyebut secara tersendiri. ……..faktor 𝑎
𝑎 𝑥 𝑎𝑥𝑎 …𝑥𝑎
𝑏
𝑏 𝑥 𝑏 𝑥..𝑥𝑏
( )5 =
=
𝑎… b…
……(4)
……..faktor Hitunglah masing – masing banyak faktor a pada pembilang dan banyak faktor b pada penyebut dalam persamaan (4). n Kemudian, tulislah masing – masing dalam bentuk a dan n b. 𝑎
𝑎…
𝑏
b…
( )5 =
Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real, b ≠ 0, dan n bilangan bulat.
106
……..faktor 𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
(𝑏 )n = 𝑏 x 𝑏 x …x 𝑏 = ……..faktor 𝑎 𝑏
Jadi ( )𝑛 =
𝑎… b…
𝑎 𝑥 𝑎𝑥𝑎 …𝑥𝑎 𝑏 𝑥 𝑏 𝑥..𝑥𝑏
𝑎…
= b…
……(4)
....faktor
, b ≠ 0.
5. Bagaimana sifat pemangkatan bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya,hitunglah susah gimana sih??? td cm becanda doang??? Tulis (𝑎2 )5 dalam faktor (a)2. (𝑎2 )5 = (a)2 x (a)2 x ….x (a)2 5 faktor
= (a x a ) (a x a )...... (a x a ) ….(5) .....…x…..faktor
Hitung banyak faktor a dalam ruas kanan persamaan (5). Kemudian,tulislah dalam bentuk an
Jadi, (𝑎2 )5 = a….. Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real dan m,n bilangan bulat. m
m
m
(𝑎m )n = (a) x (a) x ….x (a)
n faktor = (a x .. x a) x (ax .. x a) x …x ( a x .. x a) ….(5) …..faktor
…..faktor …..faktor
= (a x a x .. x a) = a ……x…..faktor Jadi (𝑎m )n = a
…x….
…x….
…..faktor
107 Contoh soal 2 (tentukan operasi dari bilangan - bilangan berikut
2.
3x 2 3 ) y
3. 5(x 2 )3
1. 43 x 47 57
5. (
, y≠0
4. (3a3b2)4
53
Jawab: 1. 43 x 47 = 4 3+7 = 410 5𝟕 53
sifat 1
= 5 7-3 = 54
sifat 2
3. 5(x 2 )3 = 5x2x3 = 5x6
sifat 5
4. (3a3b2)4 = 34 x (𝑎3 )4 x (𝑏 2 )4 = 81 x a3x4 x b2x4 = 81a12b8
sifat 3 sifat 5
2.
5.
3x 2 3 ) y
(
=
(3x 2 )3 y3
=
33 (x 2 )3 y3
=
27x 6 y3
sifat 4 , sifat 3, dan sifat 5
108 2. Sifat Bilangan berpangkat bulat negatif . Anda telah memahami definisi bilangan berpangkat bulat positif bagaimana dengan definisi bilangan berpangkat bulat negatif? Untuk memahaminya, lakukanlah Kegiatan 1.2 berikut.
Kegiatan 1.2 Lakukanlah kegiatan ini secara perseorangan di buku latihan anda. 𝑎𝑚
Perhatikan sifat
2.
Sifat pada Langkah 1 hanya berlaku untuk m ≥ n jika ditetapkan bilangan bilangan m dan n dengan m < n misalnya m = 5 dan n = 7 maka sifat pada langkah 1 memberikan : 𝑎5 𝑎7
=a
…-…..
=a
…
𝑎𝑛
=a
m-n
1.
untuk a ≠ 0 dan m ≥ n.
…..(1)
Sekarang, hitunglah
𝑎5 𝑎7
5
7
dengan menyatakan a dan a dalam
perkalian berulang a … faktor 3.
𝑎5 𝑎7
=
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 …𝑥𝑎 𝑎 𝑥𝑎𝑥 ..𝑥𝑎
……faktor Sederhanakanlah faktor yang sama pada pembilang dan penyebut diruas kanan dan tulis hasilnya 𝑎5 𝑎7
=
1 𝑎 ….
…..(2)
4. Ruas kiri persamaan (1) dan (2) adalah sama sehingga Anda dapat …
menyamakan ruas kananya dan diperoleh a =
1 𝑎 ….
….(3)
5. Ulangi Langkah 2 sampai langkah 4 untuk nilain m dan n lainya dengan m < n. Perhatikan persamaan (3) yang anda peroleh.
109
Dengan melakukan kegiatan 1.2,dapatkah anda memberikan dugaan definisi bilangan berpangkat bulat negatif ? apakah dugaan anda sama dengan kesimpulan berikut: Jika a bilangan real, a dan n bilangan positif maka a-n =
1 𝑎𝑛
atau an =
1 𝑎 −𝑛
Coba kemukakan definisi tersebut dalam kata – kata anda sendiri berikan hasilnya keteman anda untuk dikomentari. Contoh soal 3 Nyatakan bilangan berpangkat bulat negatif berikut ke bilangan berpangkat bulat positif kemudian, tentukan hasil pemangkatannya. 1
1. 3-4
b. (-2)-5 c. 4 −3
Jawab 1. 3-4 =
1 34
1
1
= 3 x 3 x 3 x 3 = 81 3-4 ≠ -34 ≠ (-4)(3)
2. (-2)-5 = 3.
1 4 −3
1 (−2)5
=
1 −2 x −2 x −2 x −2 x(−2)
1
= − 32
= 43 = 4 x 4 x 4 x 4 = 64
Tugas Perhatikan sifat
𝑎𝑚 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚 −𝑛 , a ≠ 0. Sifat tersebut berlaku untuk m
> n. Jika diambil m = n, apa yang anda peroleh? Subsitusikan m = n pada kedua ruas persamaan tersebut ( ganti m dengan n). kemudian, sederhanakan kedua ruas.
110 Akhirnya, anda dapat merangkum sifat – sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat, baik pangkat bilangan bulat, baik pangkat bilangan bulat positif , nol maupun negatif, seperti berikut. Untuk a , b bilangan real, dan m ,n bilangan bulat, berlaku: 1. am x an = a m+ n 2.
𝑎𝑚 𝑎𝑛
3. ( a x b)n = an. x bm 𝑎
= 𝑎𝑚 −𝑛
5. (𝑎m )n = am x n 7. a-n =
𝑎n
4. (𝑏 )𝑛 = b n ,(b≠0) 6. a0 = 1 , (a ≠ 0)
1 𝑎𝑛
8. an =
1 𝑎 −𝑛
3. Pecahan bersusun Suatu pecahan yang memiliki pembilang atau penyebut berbentuk pecahan (memuat pangkat negatif) disebut pecahan bersusun. Berikut ini contoh pecahan bersusun. 𝑚 −1 +1 𝑚 +1
,
𝑚 −2 −1 𝑚 −2 +1
, dan
𝑥 −1 +𝑦 −1 𝑥+𝑦
. Pecahan bersusun ini dapat
dijadikan pecahan sederhana dengan menggunakan langkah – langkah berikut. 1. Nyatakan semua pangkat negatif pada pecahan bersusun menjadi pangkat positif. 2. Samakan penyebut dari pecahan pembilang dan juga pecahan penyebut. 3. Sederhanakan pecahan pembilang dan pecahan penyebut sehingga pecahan bersusun menjadi pecahan sederhana.
Anda tentu saja mengingat kembali cara menyamakan penyebut dua bilangan pecahan. Salah satu cara menyamakan penyebut adalah dengan mengalikan kedua penyebutnya seperti berikut.
111 𝑎 𝑏
+
𝑐 𝑑
𝑎𝑑
𝑐𝑏 𝑏𝑑
= 𝑏𝑑 + =
Menyamakan penyebut
𝑎𝑑 +𝑐𝑏 𝑏𝑑
Contoh soal a.
𝑚 −1 +1 𝑚 +1
b.
𝑚 −2 −1 𝑚 −1 +1
,
c.
𝑥 −1 + 𝑦 −1 𝑥 +𝑦
d.
𝑥𝑦 −2 − 𝑦𝑥 −2 𝑦 −1 − 𝑥 −1
Jawab
a.
m −1 +1 m +1
1
+1
= 𝑚𝑚 +1 1
=𝑚
+
𝑚 𝑚
𝑚 +1
=
b.
𝑚 −2 −1 𝑚 −1 +1
1+𝑚 𝑚
𝑚+1
1 −1 𝑚2 1 +1 𝑚
=
1−𝑚 2 𝑚2 1+𝑚 𝑚
=
=
c.
𝑥 −1 + 𝑦 −1 𝑥 +𝑦
m+1 m
=
=
=
= 𝑥+𝑦 =
=
𝑦 +𝑥 𝑥𝑦
𝑥+𝑦
=
1
𝑚2 1 − 2 𝑚2 𝑚 1 𝑚 + 𝑚 𝑚
1− m 2 m2
𝟏+𝐦 (𝟏−𝐦) 𝐦(𝟏+𝐦) 1 1 + x y
1
× m+1 = m
=
m
× 1+m
𝟏−𝐦 𝐦
𝑦 𝑥 + 𝑥𝑦 𝑥𝑦
𝑥+𝑦
x+y xy
1
1
× 𝑥+𝑦 = xy
, ,
112
d.
𝑥𝑦 −2 − 𝑦𝑥 −2 𝑦 −1 − 𝑥 −1
=
𝑥 𝑦 − 𝑦2 𝑥2 1 1 − 𝑦 𝑥
=
=
=
=
𝑥3− 𝑦 3 𝑦 2𝑥2 𝑥 −𝑦 𝑦𝑥
𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 − 𝑦 2𝑥2 𝑦 2𝑥2 𝑥 𝑦 − 𝑦𝑥 𝑦𝑥
=
𝑥3− 𝑦 3 𝑦 2𝑥2
𝑦𝑥
×𝑥−𝑦
𝑥 –𝑦 (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) 𝑥𝑦 ( 𝑥−𝑦) (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) 𝑥𝑦
B. Bentuk akar dan PANGKAT PECAHAN Dikelas VII, anda telah mempelajari Teorema Phytagoras. Teorema tersebut menyatakan bahwa dalam segitiga siku – siku, kuadrat dari panjang sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kedua sisi siku – sikunya. Untuk segitiga siku – siku pada Gambar 1.1, berlaku c2 = a2 + b2 Sisi miring c Sisi siku – siku di b
Gambar 1.1 Sisi siku – siku di a
Sekarang perhatikan Gambar 1.2 . Berapakah panjang sisi miring ( hipotenusa) dari segitiga siku – siku pada gambar 1.2? Dengan menggunakan teorema phytagoras, diperoleh c2 = a2 + b2 = c2 = 12 + 12 = 2
c= ?
C= 2 a= 1 Gambar 1.2
b=1
113 Tampak bahwa panjang hipotenusa dinyatakan dalam bentuk akar. Jika anda hitung nilai 2 dengan menggunakan kalkulator, diperoleh 2 = 1,414213562... 1 Sekarang, hitunglah nilai dari suatu bilangan pecahan misalnya 3 , 1
dengan kalkulator, diperoleh 3 = 0,33333333... Dapatkah anda melihat perbedaan antara bilangan pecahan dan bentuk akar Tampak bahwa
1 3
2
1 3
ketika keduanya dinyatakan dalam desimal?
dapat dinyatakan dengan desimal berulang (angka 3
di belakang tanda koma selalu betrulang). Adapun bentuk akar 2 tidak dapat dinyatakan dalam desimal berulang, Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau desimal berulang disebut bilangan rasional, sedangkan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau desimal berulang disebut bilangan irasional
( tak rasional ). Jadi, bilangan -4,
1 0,285714285714…,3
-
3 5
, 0, 1,
2 3
,
2 7
=
= 0,333333… termasuk bilangan irasional, 3
sedangkan bentuk akar seperti 2 , 3 , 9 adalah contoh bilangan irasional. Contoh bilangan irasional selain bentuk akar adalah π = 3,141592654…, log 2= 0,201029995…, dan log 5 = 0,698970004… 1. PEMAHAMAN BENTUK AKAR Dalam subbab ini , anda bekerja dengan pernyataan bentuk akar n
𝑥 dengan n bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Adapun n disebut
indeks dan notasi disebut tanda akar. Notasi untuk akar pangkat tiga 3 ditulis 𝑥 sedangkan notasi untuk akar kuadrat 2 𝑥 atau lebih sering disingkat dengan 𝑥. Selanjutnya, anda akan mempelajari tentang bentuk akar kuadrat. Oleh karena itu, jika disebut bentuk akar, yang dimaksud adalah bentuk akar kuadrat. Apa definisi bentuk akar kuadrat? Bentuk akar (kuadrat) adalah jika bilangan yang terdapat dalam tanda bukan bilangan kuadrat. Berdasarkan definisi tersebut, manakah dari bilangan – bilangan berikut yang merupakan bentuk akar: 2 , 3, 4 , 9 , 13 dan 6.
114 2. SIFAT – SIFAT BENTUK AKAR Seperti halnya bilangan berpangkat bulat, bentuk akarpun memiliki sifat – sifat tertentu. Anda hanya akan menyebutkan sifat – sifat ini tanpa menurunkannya. Sifat – sifat bentuk akar ini akan memudahkan Anda dalam melakukan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar. 𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
1.
𝑎2 = a
2.
𝑎 × 𝑏 = a × b; a ≥ 0 dan b
3.
=
; a ≥ 0 dan b
Dengan menggunakan sifat – sifat tersebut, Anda dapat menemukan apakah suatu bilangan yang terdapat di dalam tanda akar merupakan bentuk akar atau bukan, seperti pada contoh soal 4. Berikut ini. Contoh soal 4 (Lengkapilah bentuk dibawah ini dengan menggunakan sifat – sifat bentuk akar dan tentukan bentuk tersebut merupakan bentuk akar atau bukan merupakan bentuk akar ) a.
8
b. 9
c.
16 25
d. 45
Jawab a.
8 = … × … = … . . x … . . . = .... … .
adalah ..........
b.
16 = .....
adalah ..........
c.
16 25
d.
45 = … . .× … … = … … x … … .
=
…... …...
…..
= …..
= ..... … . .
adalah ..........
adalah ..........
115 3. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi aljabar, sebaiknya bentuk akar dituliskan dalam bentuk yang paling sederhana penulisan akar dikatakan sederhana jika memenuhi syarat – syarat tertentu . Syarat – syarat tersebut adalah sebagai berikut. a) Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih tinggi dari satu, contohnya 𝑥,𝑥>0 𝑥 3 dan
bentuk paling sederhana 𝑥5
bukan bentuk sederhana
b) Tidak ada bentuk akar pada penyebutnya, contohnya 1 𝑥
bukan bentuk sederhana
𝑥 𝑥
bentuk paling sederhana
c) Tidak mengandung pecahan contohnya 5 2
bukan bentuk sederhana
10 2
bentuk paling sederhana
Contoh soal 5 (Agar dapat memahami menyederhanakan bentuk akar kerjakan contoh soal) Isilah titik – titik dibawah ini! a.
12
c. 48𝑥 4 y13 𝑦 ≥ 0
b.
8𝑥 3 ; 𝑥 ≥ 0
d. (7𝑥 + 5)11 , 7𝑥 + 5 ≥ 0
Jawab a.
12 = … . .× … … = … . . x … . . = ...... … . .
116
b.
8𝑥 3 = 4 × … . .× … . .2 × … . = … . . 𝑥2 × … . 𝑥 = …… ……
c.
48𝑥 4 y13 = =
… … × … . 𝑥 4 × (… …1 × … … .12 ) … … y12 ×
…...𝑦
= ..... 3𝑦 d.
(7𝑥 + 5)11 = (… . . + ⋯ . . )…. × (… . + ⋯ )… = (… . . + ⋯ . . )…. ×
(… . . + ⋯ )….
= (… . . + ⋯ . . )….. … . . + ⋯ 4. OPERASI ALJABAR BENTUK AKAR a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar Di kelas VIII, anda telah mempelajari bahwa bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan pada variabel – variabel yang sejenis. Sebagai contoh 3a + 2a = (3+2)a = 5a 7b – 3b = (7 -3)b = 7b 3a + 2b Tidak dapat dijumlahkan karena variabel a dan b tidak sejenis Begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar . Variabel pada bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangi jika sejenis. Jika p,q Є R dan a ≥ 0 maka p 𝑎 + q 𝑎 = (p + q) 𝑎 p 𝑎 - q 𝑎 = (p - q) 𝑎
117 Contoh 3 2 + 4 2 = (..... + ......) … . . = … . . … . . 2 5 + 3 2 =..... keterangan ........................ 7 5 - 2 5 + 5 = (......... -....... + ...........) … . . = … . . … . . 2 + 3 - 5 2 + 2 3= ( … . . - … . . … . . ) + ( … . . + . . … . .) = (… .. -… ..) … . . + (… ..+… ..) … . . = ….. ….. + ….. …..
b. Perkalian bentuk akar Sebelumnya telah anda ketahui bahwa 𝑎 x b = 𝑎 x b. sifat ini tentu dapat dibalik menjadi 𝑎 x b = 𝑎 x b Untuk p,q Є R , a ≥ 0, dan b ≥ 0 berlaku p 𝑎 x q 𝑏 = pq 𝑎 × 𝑏
Dengan definisi tersebut, anda dapat menghitung dan menyederhanakan perkalian berikut. Contoh :
2 x 3=
2 2 x 5 3 = (… .. x… ..) … . .× … . . = … . . … . .
8 x 10 = … . .× … . . = … . . = … . .× … . .
… . .× … . . = … . .
= ….. x ….. = ….. …..
118 c. Pembagian bentuk akar 𝑎 𝑏
Sebelumnya, telah anda ketahui bahwa b≥ 0 ini tentu saja dapat di balik menjadi
𝑎 𝑏
=
Untuk a,b Є R , a ≥ 0, dan b ≥ 0 berlaku
=
𝑎 𝑏
; a ≥ 0 dan
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
=
𝑎 𝑏
Contoh
18 6
6 40 3 5
=
18 6 6
=3
= 3 40 5
=2 8=2 4 ×2=2( 4x 2)=2
(2 2) = 4 2
BENTUK AKAR DAN PANGKAT
Latihan Uji Kompetensi Bentuk pangkat positif 1. Selesaikanlah dengan menulis faktor – faktor perkaliannya a. 53 b. –(7)3 c. (-3)4 2. Sederhanakanlah a. (3x2)4 b. 3(x2)4 c. (5a2b)6 x a3b4 d. (2a3b2c4) x 2(ab)2
1 2 1 h. (- )3 3 1 0 i. (- 5 )
d. ( ) 3
119 3. Selesaikanlah 𝑥4
a. (𝑥 3 )3
c.
𝑥 7𝑦 4
b. ( 𝑥𝑦 3 )3
6𝑥 8 𝑦 11 2𝑥 2 𝑦 3
d.
12𝑎 6 𝑏 5 × 𝑎 7 𝑏 12 3𝑎 7 𝑏 10 ×4𝑎 2 𝑏 7
Bentuk pangkat negatif 4. Tulislah bentuk – bentuk dibawah ini dalam bentuk pangkat positif a. 2-6 b. 3-5
d. 5a-8 e. a-2b-3
c. 5-8
f. 𝑎 −2
4
5. Tulislah bentuk – bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat negatif! a. ( p +q)3 b.
(𝑥+𝑦) (𝑥+𝑦)5
c.
1 𝑥 3+ 𝑦 3
6. Sederhanakanlah dan tulislah tanpa pangkat negatif a.
𝑥 −2 𝑦 −4 𝑧 2 𝑥𝑦 −1 𝑧 −3
b.
𝑥 3 𝑏 −3 𝑥 −2 𝑏 −2
−1 −2
Bilangan berpangkat nol 7. Sederhanakanlah a. 50 b. 2 x (𝑎 + 2)0 c. 2 + 𝑎 + 20
d. (𝑥 2 − 2𝑥 − 6)0 3
e. -5(4)0
120 Pecahan bersusun 8. Sederhanakanlah bentuk – bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat positif . a.
𝑥 −2 + 𝑦 −1 𝑥 −1 + 𝑦 −2
b.
𝑥 −2 + 𝑥 −1 + 𝑥 0 𝑥 −4 + 𝑥 −3 + 𝑥 −2
Sifat – sifat bentuk akar 9. Sederhanakan bentuk berikut menjadi bentuk yang paling sederhana. a.
32
e. 44𝑎7 𝑏 5 𝑐 5
b.
28
d. ( 5𝑎 + 7𝑏)11
c.
80
d.
7𝑥 7
Operasi aljabar bentuk akar 10. Nyatakan bentuk penjumlahan dan pengurangan di bawah ini dalam bentuk akar yang paling sederhana. a. 2 3 + 4 3
c. 27 + 48 - 12
b. 8 5 - 5 5
d. 2 150 - 5 54 - 7 96
soal aplikasi bentuk akar 11. sebuah kubus dengan panjang sisi 10 cm tentukan panjang AG
