Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtani Ph.D. Program
SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN
Ph.D. értekezés tézisgyűjtemény
Bozóki Sándor
Budapest, 2006
MTA SZTAKI-ba kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék
Témavezető: Dr. Rapcsák Tamás
c Bozóki Sándor Copyright
Tartalomjegyzék 1. Többszempontú döntési problémák
2
2. Hasznossági függvények
3
3. Többszempontú döntési modellek
5
4. A kutatásban felhasznált módszerek 4.1. Rezultáns módszer . . . . . . . . . . 4.2. Gröbner-bázisok . . . . . . . . . . . . 4.3. Általánosított rezultáns módszer . . . 4.4. Homotópiás algoritmus . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9 9 10 10 10
5. Elméleti és módszertani eredmények 11 5.1. Az LSM feladat megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2. Számítási tapasztalatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.3. Kutatási lehetőségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6. A páros összehasonlítás mátrix a makro-ökonómia Leontiefféle input-output modelljében 14 7. Alkalmazás: banki projektek rangsorolása
15
8. Modellezés: Agyfarm
16
9. Főbb hivatkozások
17
10.Saját ill. társszerzős publikációk és tanulmányok
20
1
1.
Többszempontú döntési problémák
Melyiket válasszam? – ez a napi gyakorisággal felmerülő kérdés az emberi gondolkodás és viselkedés alapvető mozzanata. A válasz megkeresésére fordított energia- és időmennyiség elsősorban a probléma fontosságától függ. A kis jelentőségű feladatok megoldása egyszerű, rutinszerű, a komoly következményekkel járó döntéseket azonban mérlegelés előzi meg. Dolgozatom az utóbbi feladatosztályra koncentrál, azaz amikor a probléma fontossága megkívánja a részletes elemzést. A többszempontú döntési feladat célja: adott alternatívák közül az adott szempontok szerint összességében legjobb kiválasztása vagy az alternatívák rangsorolása. A teljesség igénye nélkül megemlítek néhány olyan magyarországi problémát, amelyek 2004-ben a sajtó által széles körben nyilvánosságra kerültek. • M6-os autópálya koncessziós megépítésének és üzemeltetésének pályázata; • Malév-privatizáció; • a Nemzeti Tankönyvkiadó privatizációja; • harmadik generációs mobiltender; • a nagykörúti villamosok megrendelése; • MTV elnöki pozíciójára kiírt pályázat. A különböző területekről származó példák a következő közös tulajdonságokkal rendelkeznek: – az értékelési szempontok között vannak egymásnak ellentmondók; – nincs (matematikai értelemben vett) egyetlen legjobb megoldás; – a döntésben szubjektív tényezők is szerepelnek. A fenti feladatok között találhatók olyanok, amelyek komoly politikai és társadalmi konfliktushoz vezettek. A döntéshozatal folyamata a legtöbb példában nem nyilvános, ezért nehéz szakmai szempontból megítélni, hogy mi lehetett az oka az egyes pályázati értékelések, tenderek botrányba fulladásának. A tények mindenesetre rávilágítanak a szakmai megalapozottságú döntéselemzés szükségességére. 2
2.
Hasznossági függvények
A közgazdaságtan egyik alapfogalma, a hasznossági függvény Bernoulli [1], Ramsey [27] és Menger [26] várható hasznosság elméletében, majd Wald statisztikai döntéselméletében [35] is fontos szerepet játszik. Az alapfeladat a következő: adottak az A1 , A2 , . . . , An cselekvési lehetőségek (alternatívák), valamint a világ lehetséges s1 , s2 , . . . , sk állapotai és azok p1 , p2 , . . . , pk bek P következési valószínűségei ( pi = 1), valamint az alternatíváknak az egyes i=1
állapotokhoz tartozó értékeit – melyet nevezhetünk a kifizetések vagy nyeremények hasznosságának – tartalmazó táblázat: Világállapotok Bekövetkezési valószínűségek
s1
s2
...
sk
p1
p2
...
pk
Alternatívák A1 A2 .. .
c11 c21 .. .
c12 c22 .. .
... ... ...
c1k c2k .. .
An
cn1
cn2
...
cnk
Ha a kifizetéseket az u : R → R hasznossági függvénnyel vesszük figyelembe, akkor azt az alternatívát fogjuk választani, amelynek a várható hasznossága, k X pi u(c.i ) i=1
maximális. Ez a várható hasznosság elméletének alapfeladata. A bizonytalanság melletti feladat átfogalmazható többszempontú döntési feladattá az alábbi megfeleltetéssel:
3
Bizonytalanság melletti döntéshozatal
Többszempontú döntéshozatal
Cselekvési lehetőségek (alternatívák)
←→
Alternatívák
Világállapotok (kimenetelek)
←→
Szempontok
Világállapotok bekövetkezési valószínűsége
←→
Szempontsúlyok
Kifizetések hasznossága
←→
Az alternatívák szempontok szerinti értékelése
A hasznossági függvény additív alakban való megadásának lehetőségét és a többszempontú döntési feladatokra való alkalmazását Fishburn [14], valamint Keeney és Raiffa [22] dolgozta ki, magyar nyelvű összefoglalás Temesi könyvében [32] található. A hasznossági függvény fogalmának gyakorlati problémákban történő felhasználására az értekezés alkalmazási (8.) és modellezési (9.) fejezetében mutatok konkrét példákat. A problémákat többszempontú döntési feladatként megfogalmazva, az egyes szempontok szerint történő értékelésekre mutatok számszerű hasznossági függvény-konstrukciókat.
4
3.
Többszempontú döntési modellek
A többszempontú döntési feladatok modellezése fiatal tudomány. Az elmúlt fél évszázadban megjelent többszempontú döntési modellek az alábbi három csoportba oszthatók: • elemi szabályokra épülő modellek; • az alternatívák szempontok szerinti értékeléseit a szempontsúlyok figyelembevételével aggregáló módszerek; és az • outranking rangsoroló eljárások. Az elemi szabályokra épülő módszerek könnyen megfogalmazható megfontolásokon, heurisztikákon alapulnak. Ha ismert az alternatívák értékelése (pontszámai) a szempontok alapján, valamilyen egyszerű elv alapján kiválasztható a legjobb, vagy legalábbis szűkíthető a vizsgálandó alternatívák halmaza. Például a lexikografikus modellben, ha ismert a szempontok fontossági sorrendje, akkor a legfontosabb szempont szerinti legjobb alternatíva lesz a győztes. Ha több ilyen is van, akkor továbblépünk a második legfontosabb szempontra és az aszerinti legjobb(ak)at választjuk. Az eljárást addig folytatjuk, amíg egyetlen alternatíva marad. Az alternatívák szempontok szerinti értékeléseit aggregáló módszerekben a többszempontú döntési feladat megoldása az alternatívák szempontok szerinti értékelésén, a szempontok fontosságának meghatározásán, majd az értékeléseknek a szempontsúlyokkal vett aggregálásán keresztül vezet. A legtöbbet hivatkozott modellek a Multi Attribute Utility/Value Theory (MAUT/MAVT, [22]), az Analytic Hierarchy Process (AHP, [29]) és a Simple Multi Attribute Ranking Technic (SMART, [9]). Az alternatívák összehasonlítására szolgáló outranking relációt Roy [28] vezette be. A módszer egy elemi lépése annak a kérdésnek a megválaszolása, hogy milyen mértékben állítható alternatíva preferáltsága egy másikkal szemben egy-egy rögzített szempont esetében. A legismertebb outranking típusú eljárások az ELECTRE [28] és a PROMETHEE [3] módszercsaládok, magyarországi viszonylatban pedig a KIPA [23]. Az elemi szabályokon alapuló modellek kivételével minden módszertanban szükség van a szempontok fontosságának számszerű kifejezésére, azaz a szempontsúlyok meghatározására. A szempontok súlyai mutatják meg a döntéshozó céljait és preferenciáit. A feladat egyik nehézsége, hogy a fontosságnak nincs általánosan elfogadott mértékegysége, azt csak valamilyen skálával együtt lehet értelmezni. Előfordul, hogy a döntéshozó közvetlenül, számszerűen meg tudja adni a szempontsúlyokat, ezt egyszerű közvetlen becslésnek 5
is nevezi az irodalom [23]. Nagyobb méretű, összetett feladatoknál azonban nem várható el, hogy a modellező rendelkezésére bocsássa a számszerűsített értékeket. A probléma kisebb részekre történő bontásával azonban elérhető, hogy a döntéshozónak csak egyszerű, világos kérdéseket kell megválaszolnia, azokból mégis előállítható az egész feladat szempontsúly-rendszere. A súlymeghatározás módszerei közül legismertebbek a már említett egyszerű közvetlen súlybecslés, a Churchman-Ackoff- ill. Guilford-féle eljárások [23], lineáris programozási technikák, a SMART súlyozásos módszer [32] és a páros összehasonlításon alapuló modellek, ez utóbbiak egy részosztályával foglalkozok részletesen az értekezésben. Axiómaként elfogadjuk a preferencia-modellezésben használt feltételt, miszerint a döntéshozó képes két dolog (ami lehet pl. a szempontok fontossága) összehasonlítására: meg tudja mondani, hogy valamelyik jobb (vagy nagyobb) a másiknál, vagy egyformák. Condorcet [6] és Borda [2] szavazási feladataikban már az 1780-as években bevezették a páros (vagy páronkénti) összehasonlítás fogalmát mint az egyéni preferenciák alapján felállított rangsor két eleme közötti viszonyt. A kísérleti pszichológiában először Weber és Fechner [13] használták e fogalmat a 19. század közepén, majd az 1920-as években Thorndike [33] és Thurstone [34]. A páros összehasonlítás mint módszer alkalmazási lehetőségeit Kindler [23] történeti és módszertani áttekintése tárgyalja. Az értekezésben a páros összehasonlítások azon változatát tárgyalom, amelyben az elemeket arányskálán hasonlítjuk össze, azaz a döntéshozótól olyan formában várjuk az elemek összehasonlítását, hogy hányszor tekinti az egyiket jobbnak vagy nagyobbnak a másiknál [29]. Az összehasonlítandó elemek a probléma jellegétől függően lehetnek: • szempontok fontosságai; • az alternatívák rögzített szempont szerinti értékelései; • csoportos döntés esetén a döntéshozók szavazóerői. A páronkénti összehasonlításokból felépíthető egy négyzetes mátrix, melynek definíciója a következő: Definíció. Jelölje Rn×n a pozitív valós + osztályát. Az 1 a12 a13 1/a12 1 a23 1/a13 1/a23 1 A= .. .. .. . . . 1/a1n 1/a2n 1/a3n 6
elemekből álló n × n-es mátrixok . . . a1n . . . a2n . . . a3n ∈ Rn×n + . ... . . ... 1
mátrixot páros összehasonlítás mátrixnak nevezzük, ha minden i, j = 1, . . . , n indexre teljesül, hogy aii = 1, 1 aij = . aji
(1) (2)
A mátrix aij eleme azt mutatja meg, hogy a döntéshozó hányszor jobbnak ítéli meg az i-edik objektumot a j-ediknél. (1) alapján az önmagával való összehasonlítás eredménye mindig 1. A (2) tulajdonság azon a feltételezésen alapul, hogy ha a döntéshozó számára az i-edik objektum aij -szer akkora, mint a j-edik, akkor a j-edik pontosan 1 -szer akkora, mint az i-edik. Az (1)-(2)-ből adódóan n objektum esetén aij n = n(n−1) összehasonlítással adható meg a mátrix. 2 2 Definíció. Ha egy A = [aij ]i,j=1,2,...,n ∈ Rn×n mátrixra (1)-(2)-n túl még + aij ajk = aik
(3)
is teljesül minden i, j, k = 1, . . . , n indexre, akkor konzisztens páros összehasonlítás mátrixnak nevezzük. Az (1)-(2) feltételeket igen, de (3)-at nem teljesítő mátrixot inkonzisztens mátrixnak nevezzük. A feladat: az elemek páronkénti összehasonlításának (A mátrix) ismeretében a w1 , w2 , . . . , wn súlyok meghatározása, ahol wi > 0, n X
i = 1, 2, . . . , n,
(4) (5)
wi = 1.
i=1
A súlyokat együttesen a w = (w1 , w2 , . . . , wn )T súlyvektorral jelöljük. A problémára több megoldási lehetőség kínálkozik. Az Analytic Hierarchy Process (AHP, [29]) módszertanban a mátrix legnagyobb sajátértékéhez tartozó jobboldali sajátvektor komponensei adják a súlyokat. Más, távolságminimalizáló módszerekben a mátrix valamilyen célfüggvény szerinti legjobb közelítése alapján lehet a súlyokra következtetni. A legkisebb négyzetek módszere [5] és annak relaxált változatai, mint pl. a súlyozott legkisebb négyzetes, a logaritmikus legkisebb négyzetes, vagy a χ2 -es feladatok mellett olyan megközelítések találhatók, mint a szinguláris felbontás [17], célprogramozás és lineáris programozás. 7
Konzisztens mátrixok esetén minden súlyozási eljárás ugyanazt az eredményt adja. Inkonzisztens esetben a különböző módszerek által eredményezett súlyvektorok kisebb-nagyobb mértékben eltérnek. Golany és Kress [18] több szempont alapján történő összehasonlító elemzéséből kiderül, hogy minden súlyozási módszernek van előnye és hátránya, egyik sem nevezhető „a legjobb”-nak. A legkisebb négyzetes közelítés feladata (LSM ) közel 30 éves, megoldásával azonban kevés dolgozat foglalkozik. A többi módszerrel ellentétben a legkisebb négyzetes feladatról általában nem mondható el, hogy megoldása egyértelmű [20]. A célfüggvény ugyanis nem feltétlenül konvex, és az eddigiekben publikált eljárásoknál ([20], [11]) jelentős nehézséget okoz a stacionárius pontok meghatározása, mivel azok az iterációs elvű numerikus módszereket használják. Az optimális megoldás tehát általában függ az indulópont választásától. Az irodalomban nem találtam olyan eredményt, amely az összes megoldás előállítására ad módszert. Kutatásom célja a következő, tudomásom szerint mások által még nem tárgyalt kérdések vizsgálata volt: • a páros összehasonlítás mátrixokra felírt legkisebb négyzetes feladat összes megoldásának előállítása; • az összes megoldás ismeretében a páros összehasonlítás mátrixok struktúrájának feltárása; • a megoldás nem egyértelműségének döntéselméleti következményei, pl. a döntéshozó ill. az általa kitöltött páros összehasonlítás mátrix inkonzisztenciájára vonatkozóan. A súlyozási módszerek fő alkalmazási területe a többszempontú döntési feladatok szempontjainak meghatározása, de felhasználható az alternatívák értékelésére vagy csoportos döntési problémákban a döntéshozók szavazóerőinek (kompetencia-súlyainak) meghatározására is. Rámutatok továbbá, hogy a legkisebb négyzetes közelítés alkalmazha n tóságának nem feltétele az összes 2 elempár összehasonlításának megléte, ebben az értelemben tehát általánosabbnak tekinthető, mint pl. a sajátvektor módszer.
8
4.
A kutatásban felhasznált módszerek
Polinomrendszerek megoldása A legkisebb négyzetes célfüggvény minimalizálásának problémáját az optimalitás elsőrendű feltételeinek többváltozós polinomrendszerre történő átírásával közelítem meg. A matematikai (főleg geometriai) és fizikai-mérnöki problémák (kinetika és egyensúly) gyakran vezetnek polinomiális rendszerek megoldására, mely – mint a nemlineáris rendszerek megoldása általában – nem könnyű. Az alábbi négy módszert tekintem át, amelyek segítségével kisméretű feladatok megoldhatók: • rezultáns módszer; • Gröbner-bázisok; • általánosított rezultáns módszer; • homotópiás algoritmus. Mivel egy adott polinomrendszer összes megoldását keressük, a Newtoniteráción alapuló algoritmusokat nem tárgyalom. Megjegyzem azonban, hogy valamely polinomrendszer-megoldó algoritmus által szolgáltatott megoldás, mely szükségképpen csak közelítő megoldás lehet, a Newton-iteráció indulóértékéül választva tetszőlegesen pontosítható.
4.1.
Rezultáns módszer
A rezultáns két egyváltozós polinom gyökeiből származtatható, és azt hivatott kifejezni, hogy a polinomoknak létezik-e közös gyöke. Ha igen, a rezultáns definíció szerint nulla. A közös gyök létezésének ezen szükséges feltétele lehetőséget ad arra, hogy egy kétváltozós, kétegyenletes polinomrendszer megoldását egyváltozós polinomok gyökeiből írjuk fel. A rezultáns-módszer elméleti szempontból elegáns, a gyakorlatban való alkalmazhatósága azonban a kétváltozós esetre korlátozódik.
9
4.2.
Gröbner-bázisok
A polinomgyűrűk és ideálok tanulmányozására vezette be Buchberger [4] a Gröbner-bázis fogalmát. Egy adott polinomrendszerhez tartozó Gröbnerbázis egy az eredetivel ekvivalens rendszer, azaz pontosan ugyanazok a gyökei, mint az eredetinek. A Gröbner-bázisbeli polinomrendszer azonban rendelkezik bizonyos tulajdonságokkal is, melyek jól használhatók a polinomokkal való osztás és egyéb vizsgálatok során.
4.3.
Általánosított rezultáns módszer
A kettő és annál több egyenletből álló polinomrendszerek megoldására vezette be Dixon [7] a később róla elnevezett általánosított rezultáns fogalmát. A Dixon-rezultáns szerepe azonos a rezultánséval: olyan kifejezést keresünk, amely kifejezhető a többváltozós polinomok együtthatóival, és pontosan akkor nulla, ha a polinomiális egyenletrendszernek van megoldása (közös gyöke). A Dixon-rezultánson alapuló Bezout-Dixon-Kapur-Saxena-Yang módszert [21] Lewis implementálta az általa kifejlesztett Fermat szoftverben [24].
4.4.
Homotópiás algoritmus
Az utóbbi 25 év során a homotópiás kontinuitási módszerek megbízható és hatékony technikává fejlődtek a nemlineáris rendszerek összes megoldásának meghatározására. Garcia és Zangwill [16], valamint tőlük függetlenül Drexler [8] javasolta elsőként a homotópiás módszerek alkalmazását polinomiális rendszerek összes gyökének numerikus meghatározására. A többváltozós polinomok összes közös gyökének előállítására mint a nemlineáris rendszerek speciális esetének megoldására Li és Gao [25, 15] algoritmusát választottam.
10
5.
Elméleti és módszertani eredmények
5.1.
Az LSM feladat megoldása
Az értekezés első részében a páros összehasonlítás mátrixok alapján történő súlyozási módszerek közül a legkisebb négyzetes feladatot (LSM ) oldottam meg a 3 × 3, 4 × 4, . . . , 8 × 8-as mátrixokra. A minimalizálandó nemlineáris célfüggvény nemkonvexitása miatt az optimumhely általában nem egyértelmű. A feladat megoldására korábban használatos Newtoniterációs technikák sajátossága, hogy a megoldás érzékeny az indulópont választására. Az általam tárgyalt módszerek az összes lokális és globális minimumhely megkeresésére alkalmasak. Tapasztalataim alapján a 3 × 3-as mátrixok esetére használható a rezultáns-módszer és a Gröbner-bázisok, 3 × 3-as és 4 × 4-es esetben az általánosított rezultánsokat alkalmazó Fermat szoftver, 3×3-astól 8×8-as méretig pedig a homotópiás kontinuitási módszer. Önálló eredmények: • a legkisebb négyzetes célfüggvény optimalizálási feladat átírása többváltozós polinomrendszer gyökeinek megkeresésére [S-1]; • 3×3-as esetben a rezultáns-módszer implementálása a Maple és a Matlab szoftverekben; • tetszőleges méretű mátrix esetében az LSM -feladathoz tartozó polinomrendszer megadása [S-3]. Közös együttműködésben elért eredmények: • a 4 × 4-es mátrixokból felírt 3 egyenletes 3 változós polinomrendszer megoldása a Lewis által implementált Fermat szoftverrel [S-2]; • Gao homotópiás algoritmusának alkalmazása a 3 × 3, 4 × 4, . . . , 8 × 8-as mátrixokból felírt polinomrendszerek megoldására [S-3].
11
5.2.
Számítási tapasztalatok
Önálló eredmények: A kutatás jelenlegi fázisában a 3 × 3-as esetben tudok páros összehasonlítás mátrixokat nagy számban generálni, majd azokból automatikusan LSM súlyokat számolni. A sajátvektor-, a legkisebb négyzetes és a szinguláris módszerek összehasonlítása alapján az alábbi következtetésekre jutottam: • a három módszerhez tartozó inkonzisztencia-mérőszámok közül a szinguláris jelentős eltérést mutat a másik kettőhöz képest. A közel konzisztens tartományban a szinguláris módszer inkonzisztencia-definíciója teszi leginkább lehetővé a döntéshozó következetlenségi fokozatainak megkülönböztetését; • az EM -inkonzisztenciára felírt 10%-os szabály szerint elfogadhatónak minősített mátrixok LSM -értelemben is kis hibával közelíthetők; • példát mutattam olyan mátrixra, amelynek EM -inkonzisztenciája 10% alatti, SV D-inkonzisztenciája viszont nagy; • az inkonzisztencia mértékének növekedésével a különböző súlyozási módszerek által adott súlyvektorok egyre jobban eltérnek egymástól; • magas inkonzisztencia-szint mellett az EM -megoldás az egyenlő súlyok ( 13 , 31 , 13 ) közelében marad, a legkisebb négyzetes megoldás pedig többnyire nem egyértelmű. A páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának mérésére szolgáló EM -inkonzisztencia (CR) értéket nagy mintaszámú, véletlenül generált mátrixok statisztikai elemzésével közelítettem meg. Számításaim szerint az EM inkonzisztenciára felírt 10%-os szabály lényeges különbséget mutat a mátrix méretének függvényében: • n = 3-ra a véletlen mátrixok jelentős része (28%) elfogadható; • n = 4, 5-re kis százaléka fogadható el; • n = 6, 7-re található néhány elfogadható; • n = 8, 9, 10-re egyetlen elfogadható inkonzisztencia-szintű mátrix sem fordult elő a több milliós mintában.
12
Utóbbi eredményem jelenlegi formájában elsősorban kérdésfelvető célzatú: teremthető-e – és ha igen, milyen – kapcsolat a valós döntési szituációkban konkrét döntéshozó által konkrét problémára felírt páros összehasonlítás mátrixok és a véletlen módon generált mátrixok inkonzisztenciája között? A válaszokhoz további, a gyakorlati feladatokból származó mátrixokat is szerepeltető kutatás szükséges.
5.3.
Kutatási lehetőségek
A 4 × 4-estől 8 × 8-as méretig a súlyok számítása jelenleg egyedileg történik, ezért a statisztikai jellegű elemzés lehetősége korlátozott. A futási eredmények (különösen n = 7, 8 esetében) azt mutatják, hogy döntési feladatok valós időben történő megoldására még nem használhatók, az általam alkalmazott módszertan a kutatás fázisában van. A jelenlegi algoritmusok és számítástechnikai eszközök által megoldható legnagyobb mátrixméret a 8 × 8-as. Összetett feladatokban azonban felmerülhet ennél nagyobb számú objektum összehasonlításának igénye, ezért keresem a megoldás lehetőségét 9 × 9-es és 10 × 10-es mátrixokra is. Döntési szempontból alapvető fontosságú annak biztosítása, hogy egy páros összehasonlítás mátrixból számolt súlyvektor egyértelmű legyen, ami a sajátvektor- és szinguláris módszerek esetében biztosított. A legkisebb négyzetes megoldás egyértelműségére vonatkozó szükséges és elégséges feltétel azonban még nem ismert. A páros összehasonlítás mátrixok egy osztályában a megoldás nem-egyértelműségére Farkas és Rózsa [12] adott elégséges feltételt. Döntéselméleti és alkalmazási szempontból is lényeges kérdés a különböző súlymeghatározó módszerek összehasonlítása. Célunk, hogy a döntési feladatok jellegzetes vonásainak, típusainak leginkább megfelelő módszert ki tudjuk választani. Ezen jellegzetességek feltérképezése és azonosítása jelenleg is kutatás tárgya. A legkisebb négyzetes közelítés feladata olyan esetekben is felírható, amikor a páros összehasonlítás mátrix nincs teljesen kitöltve. Elsősorban nagyobb méretű (8 × 8, 9 × 9, 10 × 10) mátrixok esetén fontos gyakorlati szempont a döntéshozó idejének hatékony igénybevétele. Kezdeti stádiumban levő páronkénti összehasonlítás eredményeim azt mutatják, hogy az összes n(n−1) 2 helyett elegendő lehet lényegesen kevesebb is. 13
6.
A páros összehasonlítás mátrix a makroökonómia Leontief-féle input-output modelljében
A páros összehasonlítás mátrixok a többszempontú döntési problémákon kívül más feladatokban is megjelennek. Ilyen például a Leontief-féle input-output modell dinamikus változata stacionárius növekedés esetén. Stojanović [31] az általa definiált növekedési mátrixot az egyenletesen bővülő gazdaság (minden szektor növekedési rátája azonos) esetében egy páros összehasonlítás mátrix konstansszorosaként írta fel, ahol a konstans a növekedési ráta. Steenge [30] megmutatta, hogy mind a statikus, mind a dinamikusstacionárius Leontief-féle input-output modell felírható páros összehasonlítás mátrix segítségével. Kutatási irányok A gyakorlatban az egyes szektorok növekedésének mért értékeiből felépített mátrix csak közelítőleg teljesíti a fenti modellek feltételeit. A mátrix sajátértékeinek feltérképezésével a modell mint dinamikai rendszer stabilitására vonatkozóan lehet következtetéseket levonni, mint ahogy azt Farkas és Rózsa [10] tette a páros összehasonlítás mátrixok egy speciális szerkezetű perturbált változatának vizsgálatán keresztül.
14
7.
Alkalmazás: banki projektek rangsorolása
Első gyakorlati problémánkban egy nemzetközi háttérrel rendelkező bank projektjeinek rangsorolására adtunk modellt [S-4]. A feladatot egy nemzetközi bank magyarországi fiókja megbízásából az MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Osztályán végeztük el 2001/2002-ben. A feladat olyan rendszer tervezése és annak szoftveres megvalósítására vonatkozó javaslat elkészítése volt, amely egyidejűleg 50-100 projekt kezelésére alkalmas, az alternatívák dinamikusan változó halmazát is megengedve. A szakirodalomban található modellek közül egyiket sem találtuk közvetlenül adaptálhatónak a feladat megoldására, ezért egy új modellt építettünk fel. A bank szakembereivel közösen kialakított szempontrendszert fastruktúrába rendeztük, majd a banki felsővezetés által megadott páros összehasonlításokból számított szempontsúlyokkal láttuk el. Ez lehetővé tette a rangsoroló mechanizmus működésének a banki stratégiákhoz való illesztését. A projektek (alternatívák) szempontok szerinti értékelését a bank által megadott támpontokon alapuló értékelő (hasznossági) függvények konstrukciójával javasoltuk. A objektív szempontok szerint történő értékelés a beépített függvényeken keresztül automatikusan történik, a szubjektív szempontok szerinti értékelésre pedig egységes, áttekinthető skálákat vezettünk be, megkönnyítendő a folyamatban résztvevő döntéshozók munkáját. A bank 2002-ben vezette be az általunk javasolt módszertan alkalmazását, melynek sikeres működéséről írásbeli referenciát kaptunk. Önálló eredmények: • a bank felsővezetése és szakértői által kitöltött páros összehasonlítás mátrixok alapján a szempontsúlyok meghatározása; • az alternatívák szempontok szerinti értékelési mechanizmusának kidolgozása, hasznossági függvények konstrukciója a bank képviselője által megadott instrukciók alapján; • az Expert Choice szoftver alkalmazhatósági területének körülhatárolása ebben a döntési feladatban.
15
8.
Modellezés: Agyfarm
Második feladatunk az Agyfarm (az akadémiai kutatás kollaboratív kommunikációs és tudományszervezési modellje on-line technológiai környezetben) modellezésében az ajánló rendszer, a felhasználók közötti kapcsolatok feltárása, valamint a csoportképződés folyamatának döntési feladatként való megfogalmazása és megoldása volt [S-5]. Az Agyfarm modellezése a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Média Oktató és Kutatóközpontja (BMGE-MOKK), az MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Osztálya, és a Frutta Elettronica közös együttműködésében készült. Munkánk során a nemzetközi szakirodalomban is újnak tekinthető döntési modelleket építettünk fel, amelyek lehetővé teszik olyan feladatok kezelését, mint • az Agyfarm többezres felhasználói létszámra és több tízezres oldal- és dokumentumszámra tervezett rendszerében valós időben működő ajánlás; • a felhasználói aktivitás követése és annak a rendszerbe történő visszacsatolása; • a felhasználók egymás közötti kapcsolatainak létrehozása és erősítése; • a működtetés során fellépő döntési szituációk.
Önálló eredmények: • döntési problémaként kezelhető feladatok azonosítása és modellezése; • többszempontú döntési problémák szempontrendszerének kidolgozása; • szempontok szerinti értékelési mechanizmusok (hasznossági függvények) konstrukciója; • szempontsúlyok kiszámítása páros összehasonlítás mátrixok alapján; • az Agyfarmban szereplő felhasználói profilok ill. értékelések hasonlóságának mérésére szolgáló lehetőségek áttekintése.
16
9.
Főbb hivatkozások
Hivatkozások [1] Bernoulli, D. [1738]: Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperalis Petropolitanae, Angol fordításban: Exposition of a new theory of measurement of risk, Econometrica 51(4), July, pp. 1065-1092. [2] Borda, J.C. de [1781]: Mémoire sur les électiones au scrutin, Histoire de l’Académie Royale des Sciences, Paris. [3] Brans, J.P. [1982]: L’ingéniérie de la décision, Élaboratorion d’instruments d’aide ŕ la décision. Méthode PROMETHEE, Université Laval, Collogue d’Aide ŕ la Décision Québec Canada, pp. 183-213. [4] Buchberger, B. [1985]: An algorithmic method in polynomial ideal theory, in: Multidimensional System Theory, N.K. Bose (editor), D. Rediel Publishing Company, Dordrecht, Boston, Lancaster, pp. 184-232. [5] Chu, A.T.W., Kalaba, R.E., Spingarn, K. [1979]: A comparison of two methods for determining the weight belonging to fuzzy sets, Journal of Optimization Theory and Applications, 4, pp. 531-538. [6] Condorcet, M. [1785]: Essai sur l’Application de l’Analyse à la Probabilité des Décisions Rendues á la Pluralité des Voix, Paris. [7] Dixon, A.L. [1908]: The eliminant of three quantities in two independent variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 7, pp. 50-69, pp. 473-492. [8] Drexler, F.J. [1978]: Eine Methode zur Berechnung sämtlicher Lösungen von Polynomgleichungssystemen, Numerische Mathematik, 29, pp. 4558. [9] Edwards, W. [1977]: How to use multiattribute utility measurement for social decision making, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, SMC-7, 5, pp. 326-340. [10] Farkas, A., Rózsa, P. [2001]: Data Perturbations of Matrices of Pairwise Comparisons, Annals of Operations Research, 101, pp. 401-425. [11] Farkas, A., Lancaster, P., Rózsa, P. [2003]: Consistency adjustment for pairwise comparison matrices, Numerical Linear Algebra with Applications, 10, pp. 689-700. 17
[12] Farkas, A., Rózsa, P. [2004]: On the Non-Uniqueness of the Solution to the Least-Squares Optimization of Pairwsie Comparison Matrices, Acta Polytechnica Hungarica, Journal of Applied Sciences at Budapest Polytechnic Hungary, 1, pp. 1-20. [13] Fechner, G.T. [1860]: Elemente der Psychophysik, Breitkopf und Härtel, Leipzig. [14] Fishburn, P.C. [1970]: Utility Theory for Decision Making, Wiley, New York. [15] Gao, T., Li, T.Y., Wang, X. [1999]: Finding isolated zeros of polynomial systems in Cn with stable mixed volumes, Journal of Symbolic Computation, 28, pp. 187-211. [16] Garcia, C.B., Zangwill, W.I. [1979]: Finding all solutions to polynomial systems and other systems of equations, Mathematical Programming, 16, pp. 159-176. [17] Gass, S.I., Rapcsák, T. [2004]: Singular value decomposition in AHP, European Journal of Operations Research, 154, pp. 573-584. [18] Golany, B., Kress, M. [1993]: A multicriteria evaluation of methods for obtaining weights from ratio-scale matrices, European Journal of Operations Research, 69 pp. 210-220. [19] Guilford, J.P. [1936]: Psychometric Methods, McGraw-Hill Book, New York. [20] Jensen, R.E. [1984]: An Alternative Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures, Journal of Mathematical Psychology, 28, pp. 317332. [21] Kapur, D., Saxena, T., Yang, L. [1994]: Algebraic and geometric reasoning using Dixon resultants. In: Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. A.C.M. Press. [22] Keeney, R.L., Raiffa, H. [1976]: Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs, John Wiley & Sons, New York. [23] Kindler J., Papp, O. [1977]: Komplex rendszerek vizsgálata – Összemérési módszerek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest. [24] Lewis, R.H. : Computer algebra system Fermat. http://www.bway.net/˜lewis/ 18
[25] Li, T.Y. [1997]: Numerical solution of multivariate polynomial systems by homotopy continuation methods, Acta Numerica, 6, pp. 399-436. [26] Menger, K. [1934]: Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre. Betrachtungen in Anschluss an das sogenannte Petersburger Spiel, Zeitschrift für Nationalökonomie, 5, pp. 459-485. [27] Ramsey, F.P. [1931]: Truth and probability, in: Ramsey, F.P.: The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, ed. R.B. Braithwaite, Kegan Paul, Trench, Trubner and Co., London. [28] Roy, Bernard [1969]: Algebre Moderne et Theorie des Graphes Orientees vers les Sciences Economiques et Sociales, Paris, Dunod. [29] Saaty, T.L. [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New York. [30] Steenge, A.E. [1981]: The Verification of Efficient Growth: An Approach via Stojanović’s Matrix of Growth, Journal of Macroeconomics, 3, No. 2, pp. 271-281. [31] Stojanović, D. [1974]: Model kretanja privede sap vojvodine na bazi matrice rasta, (English Summary), Mathematika Balkanika, 4. [32] Temesi, J. [2002]: A döntéselmélet alapjai, Aula Kiadó, Budapest. [33] Thorndike, E.L. [1920]: A Constant Error in Psychological Ratings, Journal of Applied Psychology, 4, pp. 25-29. [34] Thurstone, L.L. [1927]: The Method of Paired Comparisons for Social Values, Journal of Abnormal and Social Psychology, 21, pp. 384-400. [35] Wald, A. [1950]: Statistical Decision Functions, Wiley, New York.
19
10.
Saját ill. társszerzős publikációk és tanulmányok
Hivatkozások [S-1] Bozóki, S. [2003]: A method for solving LSM problems of small size in the AHP, Central European Journal of Operations Research, 11, pp. 17-33. [S-2] Bozóki, S., Lewis, R.H. [2005]: Solving the Least Squares Method problem in the AHP for 3 × 3 and 4 × 4 matrices, Central European Journal of Operations Research, 13, pp. 255-270. [S-3] Bozóki S. [2005]: Súlyok meghatározása páros összehasonlítás mátrixok legkisebb négyzetes közelítése alapján, Alkalmazott Matematikai Lapok (megjelenés alatt). [S-4] Rapcsák, T., Bozóki, S. [2001]: Banki projektek rangsorolása, MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Osztály. [S-5] Rapcsák, T., Bozóki, S., Lakatos, V., Selmeczy, I. [2003]: Döntési feladatok az Agyfarmban, MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Osztály.
20
